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第五章 平面向量、复数
第1讲 平面向量的概念及线性运算
课标要求 考情分析
1.了解向量的实际背景，理解平面向量的概念和两个向量相等的含义，理解向量的几何表示. 2.掌握向量的加法、减法运算，理解其几何意义. 3.掌握向量的数乘运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义. 4.了解向量线性运算的性质及其几何意义. 命题形式 题型以选择题、填空题为主，难度属中、低档. 常考内容 平面向量的线性运算. 创新考法 与新情景结合命题,考查线性运算.
必备知识 自主排查
理一理
1．向量的有关概念
（1） 向量：既有大小又有①_ _ 的量叫做向量，向量的大小叫做向量的② .
（2） 零向量：长度为③_ _ 的向量，其方向是任意的.
（3） 单位向量：长度等于④_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 的向量.
（4） 平行向量：方向相同或⑤_ _ 的非零向量，又叫共线向量，规定：与任意向量平行.
（5） 相等向量：长度相等且方向⑥_ _ 的向量.
（6） 相反向量：长度相等且方向⑦_ _ 的向量.
提醒 单位向量有无数个，它们大小相等，但方向不一定相同；与向量平行的单位向量有两个，即向量和.
【答案】（1） 方向；模
（2） 0
（3） 1个单位长度
（4） 相反
（5） 相同
（6） 相反
2．向量的线性运算
向量运算 定义 法则（或几何意义） 运算律
加法 求两个向量和的运算 交换律：⑧_ _ _ _ _ _ ; 结合律：⑨_ _ _ _ _ _ _ _ _ _
减法 求两个向量差的运算
数乘 求实数 与向量的积的运算 ⑩_ _ _ _ _ _ _ _ ，当时,与的方向 _ _ ； 当时,与 的方向 _ _ ； 当时， _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ; _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ; _ _ _ _ _ _ _ _
【答案】； ； ； 相同； 相反； ； ； ；
3．向量共线定理
向量与共线的充要条件是：存在唯一一个实数 ，使 _ _ _ _ _ _ _ _ .
提醒 只有才能保证实数 的存在性和唯一性.
【答案】
常用结论
1.若为线段的中点,为平面内任一点,则
2.若为的重心，则有
（1）;（2）.
3.（ , 为实数），若点,,共线，则.
练一练
1．判断正误（正确的打“√”，错误的打“×”）
（1） 与是否相等，与，的方向无关.（ ）
（2） 若两个向量共线,则其方向必定相同或相反.（ ）
（3） 若向量与向量是共线向量,则,,,四点在一条直线上.（ ）
（4） 当两个非零向量,共线时,一定有,反之也成立.（ ）
【答案】（1） √
（2） ×
（3） ×
（4） √
2．（必修第二册P14例6改编）在平行四边形中,的中点为,且,,用,表示_ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】
【解析】
.
3．（必修第二册P22T4改编）化简：
（1） _ _ _ _ _ _ ；
（2） _ _ _ _ .
【答案】（1）
（2）
【解析】
（1） 原式.
（2） 原式.
4．（用结论）设,,在一条直线上，在该直线外，已知,则_ _ _ _ _ _ .
【答案】
【解析】因为,,三点共线，所以,解得.
5．若，，且，则四边形的形状是_ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】等腰梯形
【解析】因为，，故，且.
又，所以四边形 是等腰梯形.
核心考点 师生共研
考点一 平面向量的有关概念
［例1］ （多选）下列命题中为真命题的是（ ）
A. 若，则
B. 若,,,是不共线的四点，则“”是“四边形为平行四边形”的充要条件
C. 若,,则
D. 的充要条件是且
【答案】BC
【解析】两个向量的长度相等，但它们的方向不一定相同，是假命题;因为,所以 且,又,,,是不共线的四点，所以四边形 为平行四边形.反之，若四边形 为平行四边形，则,且,方向相同，因此,是真命题;因为,所以,的长度相等且方向相同，又,所以,的长度相等且方向相同，所以,的长度相等且方向相同，故,为真命题;当 且方向相反时，因为,所以,故 且 不是 的充要条件，是假命题.
［感悟进阶］
平面向量有关概念的四个关注点
（1）相等向量具有传递性,非零向量的平行也具有传递性.
（2）共线向量即为平行向量,它们均与起点和终点无关.
（3）向量可以平移,平移后的向量与原向量是相等向量,解题时,不要把它与函数图象的移动混淆.
（4）非零向量与的关系：是与同方向的单位向量.
［对点训练］
1．设，为非零向量，则下列四个条件中，使成立的充分条件是（ ）
A. B.
C. D. 且
【答案】C
【解析】选.因为向量 与向量 方向相同，向量 与向量 方向相同，且，所以向量 与向量 方向相同，故可排除选项，，.当 时，，故“”是“”成立的充分条件.
2．（多选）如图所示，四边形，，是全等的菱形,则下列结论中一定成立的是（ ）
A. B. 与共线
C. 与共线 D.
【答案】ABD
【解析】选.由四边形，，是全等的菱形，可知，故 正确；由题图可知 与 的方向相反，与 的方向相同且长度相等，即 与 共线，，故，正确；而 与 不一定相等，与 不一定共线，故 错误.
考点二 平面向量的线性运算
角度1 向量加、减法的几何意义
［例2］ 若向量,，且，则向量与向量的夹角是_ _ _ _ _ _ .
（用弧度表示）
【答案】
【解析】设,,以，为邻边作，如图所示，则,
，因为,
所以,
所以 是等边三角形，
所以，四边形 为菱形.
在菱形 中，对角线 平分，
所以向量 与向量 的夹角是.
［感悟进阶］
角度2 向量的线性运算
［例3］ [2025·漳州质检]在中，是边上一点，且，是的中点，记，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】.
［感悟进阶］
平面向量的线性运算的求解策略
角度3 根据向量线性运算求参数
［例4］ 如图，四边形为平行四边形，,,若,则（ ）
A. 1 B. C. D.
【答案】A
【解析】由题意可知，在 中，
,因为,,所以,又，可得.
［感悟进阶］
利用向量的线性运算求参数的步骤
先通过向量的线性运算用两个不共线的向量表示有关向量，然后对比向量等式求出参数或建立方程（组）求解.
［对点训练］
1．[2025·高三名校联考]如图，在四边形中，，分别为，的中点，若，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】选.由题意知，因为，分别为，的中点，所以，，所以，即，因为，，所以.
2．[2025·马鞍山模拟]在平行四边形中，，为线段的中点，为线段上的点，且，若，则_ _ _ _ _ _ .
【答案】
【解析】由题意可得,，，
所以
，
又，
所以，，
所以.
考点三 向量共线定理的应用
［例5］
（1） 已知，是平面内两个不共线的向量，，， ，，则，，三点共线的充要条件是（ ）
A. B. C. D.
（2） 已知点为中边上的中点，点满足，过点的直线与，分别交于，两点，且设，，则的值为（ ）
A. 5 B. 6 C. 9 D. 10
【答案】（1） C
（2） D
【解析】
（1） ，，三点共线的充要条件是 且，因为，，又，所以，即 所以.
（2） 根据题意，得 .因为，，三点共线，所以，即.
［感悟进阶］
注意证明三点共线时，需说明共线的两个向量有公共点.
［对点训练］
1．已知平面向量，不共线，，，，则（ ）
A. ，，三点共线 B. ，，三点共线
C. ，，三点共线 D. ，，三点共线
【答案】D
【解析】选.对于，，与 不共线，不正确；对于，，，则 与 不共线，不正确；对于，，，则 与 不共线，不正确；对于，，即，又线段 与 有公共点，所以，，三点共线，正确.
2．如图，在中，，为上一点，且满足，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】选.由，可得，即.因为，，三点共线，所以，.
课后达标 分级演练
A 基础达标
1．如图所示，，为互相垂直的单位向量，则向量可表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】选.由题图得，，，所以.
2．设是非零向量， 是非零实数，下列结论中正确的是（ ）
A. 与的方向相反 B. 与的方向相同
C. D.
【答案】B
【解析】选.对于，，当 时，与 的方向相同，当 时，与 的方向相反，故 不正确，正确；对于，，由于 的大小不确定，故 与 的大小关系不确定，故 不正确；对于，是向量，而 表示长度，两者不能比较大小，故 不正确.
3．在四边形中，，，，则四边形的形状是（ ）
A. 矩形 B. 平行四边形 C. 梯形 D. 以上都不对
【答案】C
【解析】选.由已知得，所以，且，所以四边形 是梯形.
4．已知点为的外接圆的圆心，且，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】选.由,得.又点 为 的外接圆的圆心，根据向量加法的几何意义，四边形 为菱形，且 ，因此 .
5．如图，在中，点在边上，且,点在线段上，且,则用向量,表示（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】选.由平面向量的三角形法则及向量共线的性质可得.
6．如图，在中，是的中点，是上的一点，且，若，其中，，则的值为（ ）
A. 1 B. C. D.
【答案】C
【解析】选.在 中，，，，因为 是 中点，所以，所以，因为，所以，所以，又因为
，
所以 解得
所以.
7．（多选）已知,则下列结论正确的是（ ）
A. ,,,四点共线 B. ,,三点共线
C. D.
【答案】BD
【解析】选.因为,所以，所以，因为,有公共点，所以,,三点共线，且,所以,正确，错误；由,得,所以,所以 错误.
8．（多选）设点是所在平面内一点，则下列说法正确的是（ ）
A. 若，则点是边的中点
B. 若，则点在边的延长线上
C. 若，则点是的重心
D. 若，且,则的面积是面积的
【答案】ACD
【解析】选.若，则点 是边 的中点，故 正确；若，即有，即，则点 在边 的延长线上，故 错误；若，即，则点 是 的重心，故 正确；如图，若,且，
可得,设，则,,三点共线，且 为 的中点，则 的面积是 面积的，故 正确.
9．若，，则_ _ _ _ _ _ .
【答案】
【解析】由 可知，点 是线段 上靠近点 的三等分点，则，所以,解得.
10．[2025·河南联考]已知，分别为平行四边形的边，的中点，若点满足，则_ _ _ _ _ _ .
【答案】
【解析】因为，
则，
所以.
又，
，
所以.
B 综合运用
11．[2025·湖南模拟]如图1，儿童玩具纸风车的做法体现了数学的对称美，取一张正方形纸折出“十”字折痕,然后把四个角向中心点翻折，再展开，把正方形纸两条对边分别向中线对折，把长方形短的一边沿折痕向外翻折，然后把立起来的部分向下翻折压平，另一端折法相同，把右上角的角向上翻折，左下角的角向下翻折，这样，纸风车的主体部分就完成了，如图2是一个纸风车示意图，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】选.不妨设，则，对于 项，显然 与 方向不同，所以，故 项错误；对于 项，由题图知 是钝角，即，则，故 项错误；对于 项，由题意知点 是线段 的中点，则，即，故 项正确；对于 项，由，而 与 显然不共线，故.故 项错误.
12．已知向量,,,, ，是线段上依次从到排列的等分点，若,则_ _ _ _ ,_ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】1；
【解析】由,,三点共线知.
由题知
.
13．（13分）如图，在中，为的四等分点，且靠近点，，分别为，的三等分点，且分别靠近，两点，设,.
（1） 试用,表示,,;（6分）
（2） 证明：，，三点共线.（7分）
【答案】
（1） 解：在 中，因为,,
所以,
,
.
（2） 证明：因为,
,
所以,即 与 共线，且有公共点，所以，，三点共线.
14．[2025·淮安模拟]（13分）经过的重心的直线与，分别交于点，，设,.
（1） 证明：为定值；（6分）
（2） 求的最小值.（7分）
【答案】
（1） 解：证明：设,,因为点 是 的重心，所以,,,因为,,三点共线，所以存在实数 ，使得,即,
所以有.
（2） 因为,,
所以
,
当且仅当，即 时取等号，所以 的最小值为.
第2讲 平面向量基本定理及坐标表示
课标要求 考情分析
1.了解平面向量基本定理及其意义. 2.掌握平面向量的正交分解及其坐标表示. 3.会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算. 4.理解用坐标表示平面向量共线的条件. 命题形式 题型仍将是选择题或填空题，难度较小. 常考内容 平面向量基本定理及坐标运算.
必备知识 自主排查
理一理
1．平面向量基本定理
条件 ,是同一平面内的两个①_ _ _ _ _ _ _ _
结论 对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数,，使②_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
基底 若，不共线，把{,叫做表示这一平面内所有向量的一个基底
【答案】不共线向量；
提醒 （1）基底{,必须是同一平面内的两个不共线向量，零向量不能作为基底；
（2）基底给定，同一向量的分解形式唯一.
2．平面向量的坐标运算
（1） 向量的加法、减法、数乘及向量的模
设,,则
③_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ,
④_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ,
⑤_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ,⑥_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
（2） 向量坐标的求法
①若向量的起点是坐标原点,则终点坐标即为向量的坐标;
②设,,则
⑦_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ,
⑧_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】（1） ；；；
（2） ；
提醒 若,，则
3．平面向量共线的坐标表示
设,, ⑨_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】
提醒 （1）的充要条件不能表示为.因为,有可能为0；
（2）当且仅当时,与等价.即两个不平行于坐标轴的共线向量的对应坐标成比例.
常用结论
1.已知为线段的中点,若,,则点坐标为,.
2.已知的顶点,,,则的重心的坐标为,.
练一练
1．判断正误（正确的打“√”，错误的打“×”）
（1） 平面内的任意两个向量都可以作为一个基底. （ ）
（2） 若,不共线，且，则,.（ ）
（3） 平面向量不论经过怎样的平移变换其坐标不变.（ ）
【答案】（1） ×
（2） √
（3） √
2．已知平面向量,,且,则（ ）
A. 2 B. C. D.
【答案】D
【解析】选.因为，，且，所以，解得，所以 正确.
3．（必修第二册P26例1改编）在中，点满足,则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】选.
如图所示，.
4．（用结论）已知,,且,其中为坐标原点，则点坐标为（ ）
A. B. ， C. D. ，
【答案】B
【解析】选.由题意得，是 的重心，
又，,，
所以 点坐标为，.
5．（必修第二册P30例5改编）已知的顶点，，，则顶点的坐标为_ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】
【解析】设，则由,
得,即
解得 故顶点 的坐标为.
核心考点 师生共研
考点一 平面向量基本定理的应用
［例1］
（1） [2025·贵阳模拟]如图，在中，点为线段的中点，点是线段上靠近的三等分点，则（ ）
A. B.
C. D.
（2） 如图，在平行四边形中，,分别为边,的中点，连接,，交于点.若,则_ _ _ _ _ _ .
【答案】（1） A
（2）
【解析】
（1） 由题可知.
（2） 由题图可设,则 .因为,且 与 不共线，所以 所以.
［感悟进阶］
应用平面向量基本定理表示向量的实质是向量的线性运算，基本方法有两种：(1)运用向量的线性运算法则将所求向量不断进行转化，直至用基底表示为止；(2)将向量用含参数的基底表示，然后列方程或方程组，利用唯一性求解．
［对点训练］
1．（多选）下列命题中正确的是（ ）
A. 若，则与，共面
B. 若与，共面，则存在实数，使得
C. 若，则，，，共面
D. 若，，，共面，则存在实数，使得
【答案】AC
【解析】选.对于，若，共线，与，不共线，则不存在实数，使得，故 错误；对于，若，，共线，在直线 外，则不存在实数，使得，故 错误；由平面向量基本定理知，正确.
2．如图为正六边形，其中点为正六边形的中心，设，，若，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】选.连接，（图略），由正六边形的性质可知，，因为，，所以，，所以.
考点二 平面向量的坐标运算
[例2]　(1)(2025·郑州名校联考)已知点A，B，C，D为平面内不同的四点，若＝2－3，且＝(－2，1)，则＝(　　)
A．(4，－2) B．(－4，2)
C．(6，－3) D．(－6，3)
(2)(2025·全国一卷)帆船比赛中，运动员可借助风力计测定风速的大小与方向，测出的结果在航海学中称为视风风速．视风风速对应的向量是真风风速对应的向量与船行风风速对应的向量之和，其中船行风风速对应的向量与船速对应的向量大小相等、方向相反．图1给出了部分风力等级、名称与风速大小的对应关系．已知某帆船运动员在某时刻测得的视风风速对应的向量与船速对应的向量如图2所示(线段长度代表速度大小，单位：m/s)，则该时刻的真风为(　　)
A．轻风 B．微风 C．和风 D．劲风
【解析】　(1)由＝2－3得＋＝3－3，即＝3，又＝(－2，1)，所以＝3＝(－6，3).
(2)如图，设点A(3，3)，B(0，2)，C(2，0)，由题意知，视风风速对应的向量为，船速对应的向量为，因为船行风风速对应的向量与船速对应的向量为相反向量，所以船行风风速对应的向量为，则真风风速对应的向量为－＝＝(－2，2)，||＝＝2，而2∈(1.6，3.3)，故该时刻的真风为轻风．故选A.
【答案】　(1)D　(2)A
［感悟进阶］
平面向量坐标运算的技巧
(1)向量的坐标运算主要是利用向量加、减、数乘运算的法则进行求解的，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求向量的坐标．
(2)解题过程中，常利用“向量相等，则其坐标相同”这一原则，通过列方程（组）进行求解．
［对点训练］
1．已知,,若,则点的坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】选.设,则,,根据,得,即 解得 所以点 的坐标为.
2．已知向量,,在正方形网格中的位置如图所示，用基底｛,｝表示,则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】选.
如图，建立平面直角坐标系，设正方形网格的边长为1，
则,,
,,
所以,,,
设向量,
即,
则 解得
所以.
考点三 向量共线的坐标表示
［例3］
（1） [2025· 湘豫名校联考]已知向量，，，若，反向共线，则实数的值为（ ）
A. B. 3 C. 3或 D. 或7
（2） 已知点，，，为坐标原点，则与的交点的坐标为_ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】（1） A
（2）
【解析】
（1） 因为，，，所以，.因为，共线，所以，解得 或.又，反向共线，代入验证可知 时为同向，舍去.而 满足条件，所以.
（2） 方法一：由，，三点共线，可设，则.又，由 与 共线，得，解得，所以，所以点 的坐标为.方法二：设点，则，因为，且 与 共线，所以，即.又，，且 与 共线，所以，解得，所以点 的坐标为.
［感悟进阶］
利用两向量共线解题的技巧
（1）一般地，在求与一个已知向量共线的向量时，可设所求向量为，然后结合其他条件列出关于 的方程，求出 的值后代入即可得到所求的向量.
（2）如果已知两向量共线，求某些参数的取值时，利用“若，，则的充要条件是”解题比较方便.
［对点训练］
1．已知向量，，若，则下列关系一定成立的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】选.因为，，
所以，，
由 可得，整理得.
2．设点，，若点在直线上，且，则点的坐标为（ ）
A. B.
C. 或 D. 或
【答案】C
【解析】选.因为，，
所以.
因为点 在直线 上，且，
所以 或，
故 或，
故 点坐标为 或.
课后达标 分级演练
A 基础达标
1．若{，是平面 内的一个基底，则下列四组向量能作为平面 的一个基底的是（ ）
A. ， B. ，
C. ， D. ，
【答案】B
【解析】选.由{，是平面 内的一个基底，则，非零不共线，对于，，故，共线，不满足题意；对于，，不能互相线性表示，故不共线，满足题意；对于，，故，共线，不满足题意；对于，，故，共线，不满足题意.
2．已知点，,向量，则向量（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】选.由,，得，因为，所以.
3．[2025·雅安二诊]已知，分别为的边，的中点，若，，则点的坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】选.因为，分别为，的中点，所以，设，又，所以，即
解得
4．[2025·徐州联考]如图，在平行四边形中，，分别在边，上，，，与相交于点，记，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】选.因为，，三点共线，所以.因为，所以.因为，，三点共线，所以，.因为，不共线，所以 解得 所以.
5．（多选）已知为坐标原点，向量,,,若点,,能构成三角形，则实数的值可以是（ ）
A. B. C. 1 D.
【答案】ABD
【解析】选.易知,.假设,,三点共线，则,即，所以只要,,,三点就能构成三角形.
6．已知向量，，.若，则_ _ _ _ _ _ .
【答案】
【解析】由题意得，
因为，所以，解得.
7．已知点,,,若,且点在直线上，则_ _ _ _ _ _ .
【答案】
【解析】设,则由,得,所以,.又点 在直线 上，故,解得.
8．[2025·天津模拟]已知在中，，，，分别为，的中点，为与的交点，若，则_ _ _ _ _ _ .
【答案】
【解析】因为，分别为，的中点，所以 是 的中位线，所以，则，所以，，所以.
9．（13分）已知,,
（1） 当为何值时，与共线？（6分）
（2） 若,且,,三点共线，求的值.（7分）
【答案】
（1） 解：,.
因为 与 共线,
所以,
即,得.
（2） 方法一：因为,,三点共线，
所以存在实数 ，使得,即,所以 解得.
方法二：,,
因为,,三点共线，所以,
所以,解得.
B 综合运用
10．在中，是直线上的点，若,记的面积为,的面积为,则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】选.依题意作图，如图所示，设,
由条件,
得,,,
所以点 在 的延长线上，
且，所以.
11．[2025·甘肃诊断考试]已知平行四边形，若点是边的中点，，直线与相交于点，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】选.
方法一：如图1，因为点 是边 的中点，所以.因为，所以.设 ，则在平行四边形 中，，因为，，三点共线，所以，解得.
图1
方法二：题目中的平行四边形 没有特别的要求，不妨假设平行四边形 为正方形，其边长为4.
如图2，建立平面直角坐标系，
则点，，，，故直线 的方程为，直线 的方程为，联立 可得 点的坐标为.
故，
又，故,即.
图2
12．（13分）如图，矩形与矩形全等，且.
（1） 用向量与表示,;（6分）
（2） 用向量与表示,.（7分）
【答案】12．解：由已知可得.
（1） 由题图可得,.
（2） 由（1）可知，
解得,.
C 素养提升
13．如图是由等边三角形和等边三角形构成的六角星，其中，，，，，均为三等分点，两个等边三角形的中心均为，若，则（ ）
A. B. C. D. 1
【答案】B
【解析】选.连接（图略），根据题意，可得，且，
即，，得，即，可得，，所以.
14．古希腊数学家帕波斯在其著作《数学汇编》的第五卷序言中，提到蜂巢，称蜜蜂将它们的蜂巢结构设计为相同并且拼接在一起的正六棱柱结构，从而储存更多的蜂蜜，提升了空间利用率，体现了动物的智慧，得到世人的认可.已知蜂巢结构的平面图形如图所示，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】选.以 为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系.不妨设，则，，，，，故，，.
设，
则 解得
所以.
第3讲 平面向量的数量积及应用
课标要求 考情分析
1.理解平面向量数量积的含义及几何意义. 2.了解平面向量的数量积与投影向量的关系. 3.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算. 4.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系. 5.会用向量的方法解决某些简单的平面几何问题、力学问题与其他实际问题. 命题形式 常以选择题、填空题的形式出现，难度中等. 常考内容 平面向量数量积的运算，与长度、夹角、垂直有关的问题.
必备知识 自主排查
理一理
1．向量的夹角
（1） 定义：已知两个非零向量和，是平面上的任意一点,作，，则①_ _ _ _ _ _ _ _ 叫做向量与的夹角.
（2） 范围：向量夹角 的范围是②_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】（1）
（2）
提醒 当与同向时， ;与反向时， ;与垂直时， .
2．平面向量的数量积
（1） 定义：已知两个非零向量与，它们的夹角为 ,把数量③_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 叫做向量与的数量积（或内积），记作，即④_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
规定：零向量与任一向量的数量积为⑤_ _ _ _ .
（2） 投影向量
如图，在平面内任取一点，作,，过点作直线的垂线，垂足为，则⑥_ _ _ _ _ _ _ _ 就是向量在向量上的投影向量.设与方向相同的单位向量为,与的夹角为 ，则与,, 之间的关系为⑦_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
（3） 运算律
①.
②.
⑧_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】（1） ；；
（2） ；
（3）
3．平面向量数量积的性质及坐标表示
已知非零向量,,与的夹角为 .
向量的有关概念 几何表示 坐标表示
模 ⑨_ _ _ _ _ _ ⑩_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
夹角 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
的充要条件 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
与的关系 _ _
【答案】； ； ； ； ；
常用结论
1.有关向量夹角的两个结论
（1）两向量与的夹角为锐角且与不共线.
（2）两向量与的夹角为钝角且与不共线.
2.在上的投影向量为，在上的投影向量的模为.
3.极化恒等式
（1）极化恒等式：.
（2）变式:,
.
（3）极化恒等式的几何意义：如图，在中，设为的中点，则,即向量的数量积可转化为中线长与半底边长的平方差.
练一练
1．判断正误（正确的打“√”，错误的打“×”）
（1） 两个向量的夹角的范围是，.（ ）
（2） 向量在另一个向量上的投影向量为数量，而不是向量. （ ）
（3） 若向量,满足，则.（ ）
（4） 若，则和的夹角为锐角.（ ）
（5） 若，则.（ ）
【答案】（1） ×
（2） ×
（3） √
（4） ×
（5） ×
2．在中，,, ,则的值为（ ）
A. 20 B. C. D.
【答案】B
【解析】选.由题意知， ,
所以，
.
3．（必修第二册P36练习T3改编）已知向量,,且与的夹角为，则（ ）
A. B. 2 C. 1 D.
【答案】B
【解析】选.由题意得,所以 ，且,解得.
4．已知向量,满足,,,则_ _ _ _ _ _ .
【答案】
【解析】由题设，,得,代入,，即，得.
5．（用结论）已知，，与的夹角 ，则向量在向量上的投影向量为_ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】
【解析】由题可得 在 上的投影向量为.
核心考点 师生共研
考点一 平面向量数量积的运算
［例1］
（1） [2025· 八省联考]已知向量，，则（ ）
A. 2 B. 1 C. 0 D.
（2） [2023·全国乙卷]已知正方形的边长为2，为的中点，则（ ）
A. B. 3 C. D. 5
【答案】（1） B
（2） B
【解析】
（1） 由题意得,.
（2） 方法一：以,}为基底，可知,，则,,所以.方法二：如图，以 为坐标原点，,所在直线为 轴，轴，建立平面直角坐标系，则,,，可得,,所以.
［感悟进阶］
计算平面向量数量积的主要方法
（1）定义法：当已知向量的模和夹角 时，可利用定义法求解，适用于平面图形中与向量数量积有关的计算问题.
（2）坐标法：当平面图形易建系求出各点坐标时，可利用坐标法求解.
（3）利用基底法求数量积.
（4）灵活应用平面向量数量积的几何意义.
［对点训练］
1．已知,,与的夹角为 ,则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】选.
2．[2025·阜阳模拟]如图，在四边形中，，分别为，的中点，，则_ _ _ _ _ _ .
【答案】
【解析】如图，连接，，所以，,又，分别为，的中点，所以，所以.
考点二 平面向量数量积的应用
角度1 平面向量的模
［例2］ [2024· 新课标Ⅱ卷]已知向量,满足,,且,则（ ）
A. B. C. D. 1
【答案】B
【解析】由,得.所以,将 的两边同时平方，得,即，解得,所以.
细研真题 本题由人教版必修第二册练习，改编，本题考查向量的模及向量垂直条件的应用，也可把垂直关系换成已知角求解.
真题变式
1．已知向量,,,,,,则（ ）
A. 2 B. 1 C. D.
【答案】B
【解析】选.由题得,所以,解得.
2．已知,且,则与的夹角为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】选.由 得，即,又,所以,,因为,，所以,.
［感悟进阶］
求平面向量的模的两种方法
角度2 平面向量的垂直与夹角
［例3］
（1） [2024· 新课标Ⅰ卷]已知向量,，若，则（ ）
A. B. C. 1 D. 2
（2） [2023·全国甲卷]已知向量,,满足,,且,则,（ ）
A. B. C. D.
【答案】（1） D
（2） D
【解析】
（1） 方法一（向量法 坐标法）：因为，所以,即.因为,，所以,,得,所以,解得.方法二（坐标法）：因为,,所以.因为,所以,所以,所以,解得.
（2） 由题意得,等式两边同时平方得,即,解得.方法一：,,所以,且,,所以,.方法二：如图，令向量,的起点均为，终点分别为，，以,的方向分别为 轴,轴的正方向建立平面直角坐标系，则,,,所以,,则,.
［感悟进阶］
（1）求非零向量的夹角的方法
①定义法：， 的取值范围为.
②坐标法：若,,则.
（2）两个向量垂直的充要条件
（其中,）.
角度3 投影向量
［例4］ [2025·南宁适应性测试]已知的外接圆圆心为，且，，则向量在向量上的投影向量为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】因为，所以 为 的中点，又 为 的外接圆圆心，所以 是直角三角形，且 ,如图，因为，所以 为等边三角形，则 ，所以向量 在向量 上的投影向量为.
［感悟进阶］
投影向量的求法
（1）用几何法作出恰当的垂线，直接得到投影向量.
（2）利用公式.向量在向量上的投影向量为 ，.
［对点训练］
1．[2025·南京联考]已知平面向量,,则向量与的夹角为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】选.因为，,所以,,,所以,所以,,又, ，所以向量 与 的夹角为.
2．[2025·广州综合测试]（多选）已知向量,不共线，向量平分与的夹角，则下列结论一定正确的是（ ）
A.
B.
C. 向量与在上的投影向量相等
D.
【答案】BC
【解析】选.在 中，令,,由题意可知，为菱形，所以，即,，.对于，因为,，所以只有当,时，才有,故 不一定正确；对于，由菱形的性质知，即,故 一定正确；对于，因为，所以,即，因为 在 上的投影向量为,在 上的投影向量为，所以向量 与 在 上的投影向量相等，故 一定正确；对于，菱形的对角线不一定相等，故 不一定正确.
3．在菱形中，， ，点是线段上的一点，已知，则线段的长为_ _ _ _ _ _ .
【答案】
【解析】因为点 是线段 上的一点,
所以，
所以，解得,即线段 的长为，所以.
考点三 平面向量的实际应用
［例5］ 如图，两根无弹性的绳子把物体吊在水平杆子上， .已知物体的重力大小为20，且 ,则当_ _ _ _ _ _ 时，绳承受的拉力最小.
【答案】
【解析】作出示意图如图所示，设与物体 的重力平衡的力对应的向量为，则，以 为对角线作平行四边形，其中，分别在，上，则，是绳 承受的拉力大小.由 ,得 ,所以 .在 中，由正弦定理得,即,可得，又 ，所以当 时，绳 承受的拉力最小.
［感悟进阶］
用向量方法解决实际问题的步骤
（1）表示：把实际问题中的相关量用向量表示出来.
（2）转化：转化为向量问题的模型，通过向量的运算解决问题.
（3）还原：把结果还原为实际问题.
[对点训练]　一条东西方向的河流，两岸平行，河宽为250 m，河水的速度大小为3 km/h，方向为正东．一艘小货船准备从河南岸码头P处出发，航行到河对岸Q处（PQ与河的方向垂直）的正西方向并在与Q相距250 m的码头
M处卸货．若水流的速度与小货船航行的速度的合速度的大小为5 km/h，则当小货船的航程最短时，小货船航行速度的大小为(　　)
A．3 km/h B．6 km/h
C．7 km/h D．3 km/h
解析：选C.由题意得，当小货船的航程最短时，航行路线为线段PM，设小货船航行的速度为v，水流的速度为v1，
水流的速度与小货船航行的速度的合速度为v2，作出示意图如图，
在Rt△PQM中，tan ∠PMQ＝＝＝，
因为∠PMQ∈，
所以∠PMQ＝，
所以∠MPQ＝，
所以〈v1，v2〉＝＋＝，
因为v＝v2－v1，
所以|v|＝＝＝＝7，所以当小货船的航程最短时，小货船航行速度的大小为7 km/h.
课后达标 分级演练
A 基础达标
1．[2025·宁波模拟]若,是夹角为 的两个单位向量，与垂直，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】选.由题意得,所以.
2．[2025·黄山质量检测]已知向量，，满足，，，则向量,的夹角为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】选.根据题意由 可得，又，，可得,设向量,的夹角为 ,,所以,可得,即.
3．已知向量,，若与反向，则（ ）
A. B. 30 C. D. 100
【答案】D
【解析】选.由已知得 与 共线，则,解得,所以,所以,因此.
4．[2025·赣州模拟]在平行四边形中，，，，，则（ ）
A. 16 B. 14 C. 12 D. 10
【答案】A
【解析】选.由题意，得.
5．[2025·聊城模拟]（多选）已知向量,,若在上的投影向量为，则（ ）
A. B.
C. D. 与的夹角为
【答案】ACD
【解析】选.对于，因为 在 上的投影向量为，即，所以,即,解得,故 正确；对于，，，所以,故 错误；对于，，所以，故 正确；对于，，,所以 与 的夹角为 ,故 正确.
6.（2025·全国二卷）已知平面向量a＝(x，1)，b＝(x－1，2x).若a⊥(a－b)，则|a|＝　　　　　　．
解析：方法一：由题意得a－b＝(1，1－2x)，由a⊥(a－b)，得a·(a－b)＝0，即x＋1－2x＝0，所以x＝1，所以a＝(1，1)，故|a|＝.
方法二：由a⊥(a－b)，得a·(a－b)＝0，即a2＝a·b，将a＝(x，1)，b＝(x－1，2x)代入，得x2＋1＝x(x－1)＋2x，解得x＝1，所以a＝(1，1)，故|a|＝.
答案：
7．已知两个力，作用于同一个质点，使该质点从点移到点，则这两个力的合力对质点所做的功为_ _ _ _ _ _ ．
【答案】
【解析】两个力，作用于同一个质点，其合力，从点 移到点，其位移，则这两个力的合力对质点所做的功为．
8．[2025·兰州诊断考试]在等边三角形中，点是的中点，点是上靠近点的三等分点，则，_ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】
【解析】如图，取 的中点，连接，以 为原点，所在直线为 轴，所在直线为 轴，建立平面直角坐标系，不妨设等边三角形 的边长为2，
则，，，
所以，，，，
则，，，，
所以，
.
9．（13分）已知向量,满足，，.
（1） 求向量与的夹角；（6分）
（2） 若,求实数的值.（7分）
【答案】
（1） 解：设向量
与 的夹角为 ,
因为，，
所以
,
所以,
因为 ,所以.
（2） 因为,
由（1）知，
所以,
则,解得.
B 综合运用
10．已知非零向量,满足,且,则为（ ）
A. 钝角三角形 B. 直角三角形
C. 等腰直角三角形 D. 等边三角形
【答案】D
【解析】选.由，
得，又 ，
所以.由,
得,
所以角 的平分线垂直于，所以,
又，所以 为等边三角形.
11．[2025·湘潭质检]已知圆的半径为1，，，为圆上三点，满足，则的取值范围为（ ）
A. B. C. ， D. ，
【答案】B
【解析】选.依题意，取 的中点为，
则，，，
所以，
因为，
所以.
12．[2025·广东模拟]如图所示，,,,是正弦函数图象上的四个点，且在,两点的函数值最大，在,两点的函数值最小，则_ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】
【解析】由题图知，,，,，,,,，
所以,,,,,,,，
所以,，
所以.
13．（13分）在中，角，，所对的边分别为,,，已知向量,,,且.
（1） 求的大小;（6分）
（2） 若点为边上一点，且满足，，，求的面积.（7分）
【答案】
（1） 解：因为,
,，
所以.
在 中，由正弦定理得，
，
整理得.
又,所以，
又,所以.
（2） 由 知，，
所以，两边平方得.①
又,
所以,②
由①②得,
所以.
14．（13分）如图所示，在等腰梯形中，，，，是边的中点.
（1） 试用，表示，；（6分）
（2） 求的值.（7分）
【答案】
（1） 解：，
，
.
（2） 由题意可知，，，
所以
.
培优课 平面向量中的最值与范围
平面向量中的范围、最值问题综合性强，体现了知识的交汇组合，其基本题型是根据已知条件求某个变量的范围、最值，比如向量的模、数量积、向量夹角、系数的范围等，解决思路是建立目标函数的函数解析式，转化为求函数的最值．同时，向量兼顾“数”与“形”的双重身份，所以解决平面向量的范围、最值问题的另外一种思路是数形结合．
类型一 与系数有关的最值（范围）
［例1］ 已知向量与的模均为2，且，，点在以为圆心的劣弧上运动，若，，，则的取值范围是_ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】
【解析】根据题意，作出如图所示的图形，
设，，
则点 的轨迹方程为,
可设,,.
因为,，
所以，
所以 解得
所以,因为,，所以,,所以,所以,即,所以 的取值范围是.
［感悟进阶］
　此类问题的一般解题步骤：一是利用平面向量基本定理把二维平面中的任一向量用不共线的两向量来表示；二是求目标代数式，通过对所引入的参数的判断，利用函数的单调性、配方法、基本不等式等求出参数的最值或范围．
［对点训练］．若点是的中线上的一点（不含端点），且，则的最小值为（ ）
A. 4 B. 8 C. 6 D. 12
【答案】B
【解析】选.因为 是 的边 上的中线，所以，所以，又，，三点共线，所以,且,，所以,当且仅当,即 时等号成立，所以 的最小值为8.
类型二 与数量积有关的最值（范围）
［例2］ [2024·天津卷]在边长为1的正方形中，为线段的三等分点，,，则_ _ _ _ _ _ ；为线段上的动点，为中点，则的最小值为_ _ _ _ _ _ _ _ ．
【答案】；
【解析】以点 为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系，
则，，，，，，
所以，，，，因为，
所以，,
所以,,所以.
由，，可得直线 的方程为,
设,
则,,
所以,,,
所以，
所以当 时，取得最小值，最小值为.
［感悟进阶］
与数量积有关的最值（取值范围）问题的解法
(1)坐标法：通过建立平面直角坐标系，运用向量的坐标运算将其转化为代数问题．
(2)向量法：运用向量数量积的定义、不等式、极化恒等式等有关向量知识解决．
［对点训练］．[2025·江西联考]如图，正六边形的边长为，半径为1的圆的圆心为正六边形的中心，若点在正六边形的边上运动，动点，在圆上运动且关于圆心对称，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】选.由题意可得，,当 与正六边形的边垂直时，，当点 运动到正六边形的顶点时，，所以，则，即.
类型三 与模有关的最值（范围）
［例3］ [2025·广东调研]已知向量，,满足，，，, ,则的最大值为（ ）
A. B. C. 2 D.
【答案】A
【解析】如图，设，，,则,,由题意，，而, ,则， .又因为, ，所以，，，四点共圆.要使 取得最大值，则 必过圆心，此时在 中，由余弦定理得，,即,设圆 的半径为，由正弦定理可得.
［感悟进阶］
　解决与平面向量的模有关的最值或范围问题的方法：一种是通过坐标法求解；另一种是借助向量的几何意义，数形结合进行求解．
［对点训练］．已知平面向量，,则的最大值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】选.方法一：因为，，且,即,所以,即,所以 的最大值为，当且仅当 与 方向相同时取最大值.
方法二：设 为坐标原点，,，建立如图所示的平面直角坐标系，由,,得点 的轨迹为以 为圆心，1为半径的圆，则当点 运动到图中的点 时，取得最大值，此时.
类型四 与夹角有关的最值（范围）
［例4］ 平面向量，满足，且，则与夹角的正弦值的最大值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】如图所示，设，，
则，
设,,,
由余弦定理的推论得，
,当且仅当,即 时等号成立，故，，当 最小时，最大，故 与 夹角的正弦值的最大值为.
［感悟进阶］
求夹角的最值（范围）问题要根据夹角余弦值的表达式，利用基本不等式或函数的性质进行计算.
［对点训练］．已知单位向量，,若对任意实数,恒成立，则向量，的夹角的取值范围为（ ）
A. ， B. ， C. ， D. ，
【答案】B
【解析】选.已知，是单位向量，由,得,则,依题意,不等式 对任意实数 恒成立，则,解得,而，，则,,又, ,函数 在 上单调递减，所以,,所以向量，的夹角的取值范围为，.
培优点 平面向量与三角形的“四心”
已知，，，是所在平面上的任意点，,,分别为三个内角，，所对的边.
垂心 为垂心
重心 为重心
外心 为外心
内心 为内心
提醒 内心：简证：,即,而，，则,知在的平分线上.余下证明同理，略.
［典例］
（1） [2025·哈尔滨模拟]已知点在所在平面内，在中，，那么动点的轨迹必经过的（ ）
A. 垂心 B. 内心 C. 重心 D. 外心
（2） [2025·南充模拟]已知点在内，若，则点是的（ ）
A. 外心 B. 垂心 C. 重心 D. 内心
【答案】（1） D
（2） D
【解析】
（1） 设线段 的中点为，连接（图略），则，因为，即，即，变形得，则，所以 垂直且平分线段，因此动点 的轨迹是 的垂直平分线，必经过 的外心.
（2） 在 中，由，得，即，由,同理得.显然,即 与 不重合，则，即，，于是 平分，同理 平分，所以点 是 的内心.
［对点训练］
1．已知为所在平面内一点，为的中点，动点满足，则点的轨迹一定过的（ ）
A. 内心 B. 垂心 C. 重心 D. 外心
【答案】C
【解析】选.由动点 满足，且，所以，，三点共线，又因为 为 的中点，所以 为 的边 的中线，所以点 的轨迹一定过 的重心.
2．已知是平面上的一个定点，,,是平面上不共线的三个点，动点满足，,则动点的轨迹一定经过的（ ）
A. 重心 B. 垂心 C. 外心 D. 内心
【答案】B
【解析】选.由题知，，与 不重合，所以,所以，所以点 在 的高线上，即动点 的轨迹一定经过 的垂心.
课后达标 分级演练
A 基础达标
1．已知平面向量，,,,且.若,则的最大值为（ ）
A. B. 10 C. 2 D. 5
【答案】A
【解析】选.设,的夹角为 ,
则,当,同向，即 时取等号.
2．已知在中，，，，若为边上的动点，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】选.由题意得，，，.
3．如图，点是线段，的延长线所围成的阴影区域（含边界）内任意一点，且，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】选.设 与线段 的延长线交于点，则，设，根据题意易知,当且仅当，重合时.所以，所以 ,,.
4．已知为等边三角形，，所在平面内的点满足,则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】选.因为，所以,所以,当且仅当 与 方向相反时，等号成立.因此 的最小值为.
5．如图，在中，，为线段上的动点（不含端点），且，则的最小值为（ ）
A. 8 B. 9 C. 12 D. 16
【答案】D
【解析】选.由已知得,所以,因为 为线段 上的动点（不含端点），所以，，三点共线，所以 且,,所以,当且仅当 时，等号成立.故 的最小值为16.
6．[2025·杭州联考]已知平面向量,满足，,,则的最大值为（ ）
A. 2 B. C. D. 3
【答案】C
【解析】选.作出满足题意的向量，，，，如图，设 ，因为，在 中，根据正弦定理，得,所以 .
在 中，由余弦定理得
,
当,即 时，取得最大值，最大值为.
7．[2025·邵阳联考]“四叶回旋镖”可看作是由四个相同的直角梯形围成的图形，如图所示，，， ,点在线段与线段上运动，则的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】选.如图，以 为原点建立平面直角坐标系，易知，，，，，.
当 在线段 上运动，
设,其中,所以，,则，因为,所以,当 在线段 上运动，
设,则,,且，则,故,,则,因为,所以,综上，的取值范围为.
8．已知平面向量，满足，，则当与的夹角最大时，（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】选.因为平面向量，满足，，所以，所以，所以.由夹角公式，得，（当且仅当，即 时等号成立）.
因为， ，所以,,
即 时，，最大值为.
此时.
9．已知向量，，，，则的最大值为_ _ _ _ .
【答案】3
【解析】,当 与 方向相同时，等号成立.
10．[2025·广州模拟]在中，为上一点且满足，若为上一点，且满足， ， 为正实数，则 的最大值为_ _ _ _ _ _ .
【答案】
【解析】因为 , 为正实数，，故，所以，又，，三点共线，所以，所以，当且仅当，时取等号，故 的最大值为.
11．在梯形中，， ，，，若在线段上运动，且，则的最小值为_ _ _ _ _ _ .
【答案】
【解析】如图所示，以 为坐标原点，的方向为 轴正方向，的方向为 轴正方向，建立平面直角坐标系，
则,,,.
不妨设,,
则,,,,
所以，,
,
所以当 时，取得最小值，最小值为.
12．[2025·辽宁模拟]如图，在矩形中，，，点，分别在线段，上，且，则的最小值为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】
【解析】设,
则 ,
故，，
故
.
当 ,时，,又,所以当 时，取最小值，最小值为.
B 综合运用
13．如图，是圆的一条直径，且，，是圆上的任意两点，，点在线段上，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】选.如图，为圆心，连接，由题意得，则.因为点 在线段 上，且，则圆心到 所在直线的距离,所以,所以,则,即 的取值范围是.
14．[2025·石家庄质检]在平行四边形中，，，则的取值范围是（ ）
A. ， B. ， C. ， D. ，
【答案】A
【解析】选.如图，在平行四边形 中，令,,因为，所以，以，为邻边作平行四边形，则,所以点 一定在 上.
在 中，，， ，，所以由余弦定理的推论得，，
又，所以，.
15．[2025·晋城模拟]如图，圆和圆外切于点，，分别为圆和圆上的动点，已知圆和圆的半径都为1，且，则的最大值为（ ）
A. 2 B. 4 C. D.
【答案】D
【解析】选.，所以,所以，即，解得.，即.
16．[2025·安徽联考]已知正方形的边长为2，四个半圆的圆心均为正方形各边的中点（如图），若在上，且，则 的最大值为_ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】
【解析】如图，以线段 所在直线为 轴，线段 的垂直平分线为 轴建立平面直角坐标系，设,,又，，，，则,,,
因为，
即，
所以 解得
,因为,则,,所以当 时，取得最大值1，则 的最大值为.
第4讲 复 数
课标要求 考情分析
1.通过方程的解认识复数. 2.理解复数的代数表示及其几何意义，理解两个复数相等的含义. 3.掌握复数的四则运算，了解复数加、减运算的几何意义. 命题形式 多以选择题的形式考查，属于低档题目. 常考内容 复数的四则运算. 创新考法 与平面向量、二项式定理交汇命题.
必备知识 自主排查
理一理
1．复数的有关概念
（1） 复数的定义
形如的数叫做复数，其中实部是①_ _ _ _ ，虚部是②_ _ _ _ .
（2） 复数的分类
复数分类如下：
提醒 一个复数为纯虚数，不仅要求实部为0，还要求虚部不为0.
（3） 复数相等
⑨_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
（4） 共轭复数
与共轭 ⑩_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
（5） 复数的模
向量的模叫做复数的模或绝对值，记作 _ _ _ _ _ _ 或 _ _ _ _ _ _ _ _ ,即 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】（1） ；
（2） ；；；；；
（3） 且
（4） 且
（5） ；；
2.复数的几何意义
（1）复数复平面内的点.
（2）复数平面向量.
提醒 复数的对应点的坐标为，而不是.
3．复数的运算
（1） 复数的加、减、乘、除运算法则：设，,,,,.
（2） 复数加法的运算律，设,,，则复数加法满足以下运算律：
① 交换律: _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ;
② 结合律： _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
（3） 复数乘法的运算律：设,,，则复数乘法满足以下运算律：
① 交换律： _ _ _ _ _ _ _ _ ；
② 结合律： _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ；
③ 分配律： _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】（1） ；；
（2） ①
②
（3） ①
②
③
常用结论
1.，，.
2.,，,，
.
3.,,，.
练一练
1．判断正误（正确的打“√”，错误的打“×”）
（1） 若，则.（ ）
（2） 复数的虚部为.（ ）
（3） 方程没有解.（ ）
（4） 复数中有相等复数的概念，因此复数可以比较大小. （ ）
【答案】（1） ×
（2） ×
（3） ×
（4） ×
2．若复数为纯虚数，则_ _ _ _ .
【答案】1
【解析】由题意知 解得.
3．（必修第二册 改编）的共轭复数是_ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】
【解析】,故其共轭复数是.
4．（必修第二册 习题7.2改编）在复平面内，向量对应的复数是，向量对应的复数是,则向量对应的复数是 _ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】
【解析】因为，所以 对应的复数是.
5．（用结论）已知,则_ _ _ _ .
【答案】1
【解析】由题意可知.
核心考点 师生共研
考点一 复数的有关概念
［例1］
（1） 已知复数的实部与虚部的和为12，则（ ）
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
（2） [2024·上海卷]已知虚数,其实部为1，且,则实数为_ _ _ _ .
【答案】（1） C
（2） 2
【解析】
（1） ,因为复数 的实部与虚部的和为12，所以,得,所以.
（2） 设 且,则,因为,所以,得,所以.
［感悟进阶］
解决复数概念问题的两个注意事项
［对点训练］
1．[2025·开封质检]（多选）已知复数,（其中是虚数单位，,）,若为纯虚数，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】AC
【解析】选.，因为 为纯虚数，所以,且，即.
2．（多选）若复数，其中为虚数单位，则下列结论正确的是（ ）
A. 的虚部为 B.
C. 为纯虚数 D. 的共轭复数为
【答案】ABC
【解析】选.，的虚部为，，故,正确；因为，所以 为纯虚数，故 正确；的共轭复数为，故 错误.
考点二 复数的运算
［例2］
（1） [2024· 新课标Ⅰ卷]若,则（ ）
A. B. C. D.
（2） [2025·福建适应性测试]若复数满足,则（ ）
A. B. 0 C. D. 2
【答案】（1） C
（2） D
【解析】
（1） 依题意知,则.
（2） 由题意知，,所以,.
［感悟进阶］
复数代数形式运算的策略
［对点训练］
1．已知为虚数单位，则（ ）
A. 5 B. C. D.
【答案】A
【解析】选.方法一：
方法二：
2．[2025·郑州模拟]若,则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】选.
,
.
考点三 复数的几何意义
［例3］
（1） 如图，在复平面内，复数，对应的向量分别是，，则对应的点位于（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
（2） 已知复数满足,则的最小值为（ ）
A. 1 B. C. D. 3
【答案】（1） C
（2） B
【解析】
（1） 由复数的几何意义知,，则，在复平面内对应的点的坐标为,，位于第三象限.
（2） 设,因为,所以,即 在复平面内对应点的轨迹为圆,如图所示，又,所以 表示圆 上的动点到定点 的距离，所以.
［感悟进阶］
复数的几何意义及应用
（1）复数、复平面上的点及向量一一对应，即.
（2）由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系，因此可把复数、向量与解析几何联系在一起，解题时可运用数形结合的方法，使问题的解决更加直观.
［对点训练］
1．[2025·广州综合测试]已知复数满足,则在复平面内对应的点位于（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
【答案】D
【解析】选.由 及复数的几何意义，可得复数 在复平面内对应的点 的轨迹是以 为圆心、1为半径的圆，该圆的方程为,所以 在复平面内对应的点位于第四象限.
2．已知复数在复平面内对应的向量为（为坐标原点），按逆时针方向，向量与实轴正方向的夹角为 ，且，则（ ）
A. B. 2 C. D.
【答案】C
【解析】选.设复数，
因为按逆时针方向向量 与实轴正方向的夹角为 ，
且，所以，，
所以,.
课后达标 分级演练
A 基础达标
1．[2025· 八省联考] （ ）
A. 2 B. 4 C. D. 6
【答案】C
【解析】选..
2.（2025·全国二卷）已知z＝1＋i，则＝(　　)
A．－i B．i C．－1 D．1
解析：选A.由z＝1＋i，得＝＝＝－i.故选A.
3.（2025·全国一卷）(1＋5i)i的虚部为(　　)
A．－1 B．0 C．1 D．6
解析：选C.(1＋5i)i＝i＋5i2＝－5＋i，则虚部为1.故选C.
4.（2025·太原质检）在复平面内，复数z对应的点的坐标为(1，－1)，则－2i＝(　　)
A．－1－3i B．1－i C．1－3i D．－1＋i
解析：选A.根据题意，z＝1－i，则－2i＝－2i＝(1－i)(－i)－2i＝－1－3i.
5．若复数满足,则在复平面内，对应的点组成的图形的面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】选.由题意得复数 对应的点组成的图形是如图所示的圆环，小圆的半径，大圆的半径，所以圆环的面积 .
6．[2025·岳阳质检]若虚数单位是关于的方程的一个根，则（ ）
A. B. 2 C. D. 5
【答案】C
【解析】选.依题意，知,
即,又,,则,,所以.
7．复数满足（为虚数单位），为复数的共轭复数，则下列说法中正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】选.由题意，得,，，则，故 错误；，,，故 正确，，错误.
8．[2025·徐州适应性测试]（多选）已知复数在复平面内对应的点为，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ACD
【解析】选.由题可知,,故 正确；
,,故 错误；
,故 正确；
,所以,故 正确.
9．[2025·梅州模拟]（多选）已知，是复数，则下列说法正确的是（ ）
A. 若,则 B. 若,则
C. D. 若,则
【答案】ACD
【解析】选.对于，，则，解得，即，故 正确；
对于，取，，满足，但，故 错误；
对于，,,故 正确；
对于，，则，
即,即，故 正确.
10．如图所示，平行四边形，顶点，，分别对应0，,.向量所对应的复数为_ _ _ _ _ _ _ _ ，向量所对应的复数为_ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】；
【解析】，所以 所对应的复数为.,所以 所对应的复数为.
11．[2025·潍坊模拟]已知是虚数单位，若复数满足,则_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】
【解析】方法一（整体代入法）：由题知,所以.
方法二（直接法）：由题知,所以.
12．已知复数在复平面内对应的点在第二象限，为的共轭复数，且满足，则复数_ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】
【解析】由题意设,则.
因为，
则,即,
解得.
因为,,所以,，
所以.
B 综合运用
13.任何一个复数z＝a＋bi(a，b∈R)都可以表示成z＝r(cos θ＋isin θ)(r≥0，θ∈N*)的形式，通常称之为复数的三角形式．法国数学家棣莫弗发现：[r(cos θ＋isin θ)]n＝rn(cos nθ＋isin nθ)(n∈N*)，我们称这个结论为棣莫弗定理．根据上述定理可得（1－i）2 025＝(　　)
A．1 B．22 025 C．－22 025 D．i
解析：选C.1－i＝2（－i）
＝2[cos （－）＋isin （－）]，
所以（1－i）2 025
＝22 025[cos （－π）＋isin （－π）]
＝－22 025.
14．[2025· 高三名校联考]（多选）已知复数（为虚数单位）在复平面内对应的点为，的共轭复数在复平面内对应的点为,复数在复平面内对应的点为，且满足,则下列结论正确的是（ ）
A. 的坐标为 B. 点在一条直线上
C. 在点的轨迹上 D. 的最小值为
【答案】BCD
【解析】选.因为，所以 的坐标为，故 错误；设,由，得,于是有,化简得,故，正确；的最小值为点 到直线 的距离，即，故 正确.
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