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第四章 三角函数与解三角形
第1讲 任意角和弧度制、三角函数的概念
课标要求 考情分析
1.了解任意角、弧度制的概念. 2.能进行弧度与角度的互化. 3.理解任意角的三角函数（正弦、余弦、正切）的定义. 命题形式 常以选择题或填空题的形式出现，难度较小. 常考内容 三角函数值符号的判断.
必备知识 自主排查
理一理
1．角的概念的推广
（1）定义：角可以看成一条射线绕着它的端点旋转所成的图形.
（2）
（3） 终边相同的角:所有与角 终边相同的角，连同角 在内，可构成一个集合_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ，即任一与角 终边相同的角，都可以表示成角 与整数个周角的和.
提醒 终边相同的角不一定相等，但相等的角其终边一定相同.
【答案】（2） 正角、负角、零角；象限角
（3） ，
2．弧度制的定义和公式
（1） 定义：长度等于_ _ _ _ _ _ 的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角,弧度单位用符号表示，读作弧度.
（2） 公式
角 的弧度数公式 （表示弧长）
角度与弧度的换算 ; ⑤_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
弧长公式 ⑥_ _ _ _ _ _
扇形面积公式 ⑦_ _ _ _ _ _ _ _ _ _
提醒 角度与弧度换算的关键是 ，在同一个式子中，采用的度量制度必须一致，不可混用.
【答案】（1） 半径长
（2） ；；
3．任意角的三角函数
（1）定义：设 是一个任意角，，它的终边与单位圆相交于点,那么⑧_ _ _ _ ,⑨_ _ _ _ ,⑩_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
（2）三角函数值在各象限内的符号：一全正、二正弦、三正切、四余弦，如图.
提醒 定义的推广:设是角 的终边上异于顶点的任意一点，其到原点的距离为,则,,.
【答案】； ；
常用结论
1.象限角的集合
2.轴线角的集合
3. 所在象限与所在象限的关系
所在象限 一 二 三 四
所在象限 一、三 一、三 二、四 二、四
练一练
1．判断正误（正确的打“√”,错误的打“×”）
（1） 锐角是第一象限角，第一象限角也都是锐角.（ ）
（2） 角 的三角函数值与其终边上点的位置无关.（ ）
（3） 不相等的角终边一定不相同.（ ）
（4） 若角 为第一象限角，则.（ ）
【答案】（1） ×
（2） √
（3） ×
（4） √
2．（必修第一册 练习 改编）（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】选..
3．下列与角的终边相同的角的表达式中正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】选.与角 的终边相同的角可以写成 或,但是角度制与弧度制不能混用，排除，，易知 错误，正确.
4．（必修第一册 改编）已知角 的终边经过点,则_ _ _ _ _ _ _ _ ,_ _ _ _ _ _ .
【答案】；
【解析】因为,,所以点 到原点的距离，则,.
5．已知扇形的圆心角为 ，其弧长为 ，则此扇形的面积为_ _ _ _ _ _ .
【答案】
【解析】设扇形的圆心角为 ,弧长为，半径为，则,因为,所以,所以扇形的面积 .
核心考点 师生共研
考点一 任意角与终边相同的角
［例1］ （多选）下列命题正确的是（ ）
A. 终边落在轴的非负半轴上的角的集合为 ,}
B. 终边落在直线上的角的集合为 ,
C. 第三象限角的集合为 ,
D. 在 范围内所有与 角终边相同的角为 和
【答案】ABD
【解析】 显然正确;对于,当角 的终边在第二象限时， ,；当角 的终边在第四象限时， ,.综上， ,.故 正确；对于,第三象限角的集合为 ,,故 错误;对于,所有与 角终边相同的角可表示为 ,,令 ,,解得,,从而当 时, ;当 时,,故 正确.
［感悟进阶］
(1)象限角的判断方法
①图象法：在平面直角坐标系中作出已知角并根据象限角的定义进行判断．
②转化法：将已知角化为α＋2kπ(k∈Z，0≤α<2π)的形式，即找出与已知角终边相同的角α，由α判断已知角是第几象限角．
(2)确定kα，(k∈N*)的终边位置的步骤
①用终边相同的角的形式表示出角α的范围．
②写出kα或的范围．
③根据k的可能取值确定kα或的终边所在的位置．
［对点训练］
1．集合,中的角所表示的范围（阴影部分）是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】选.当 时,,此时角 表示的范围与 表示的范围一样;当 时,,此时角 表示的范围与 表示的范围一样，结合选项知 正确.
2．已知角 与 角的终边关于轴对称，则是（ ）
A. 第二或第四象限角 B. 第一或第三象限角
C. 第三或第四象限角 D. 第一或第四象限角
【答案】A
【解析】选.由角 与 角的终边关于 轴对称，可得 ,,所以 ,，取,1可确定角 的终边在第二或第四象限.
考点二 扇形的弧长及面积公式
［例2］
（1） 已知扇形的周长是，面积是,则扇形的圆心角的弧度数是_ _ .
（2） 如图的曲边四边形，可视为由扇形截去同心扇形所得，已知，，，则此曲边四边形的面积为_ _ _ _ _ _ .
【答案】（1） 1或4
（2）
【解析】
（1） 设扇形的半径为,由扇形周长公式和扇形面积公式得,,消去 得,即,解得 或.
（2） 设圆心角为 ，则，所以，解得,所以，，所以此曲边四边形的面积为.
［感悟进阶］
应用弧度制解决问题的思路
(1)扇形面积的最大值问题，常转化为利用二次函数或基本不等式最值问题．
(2)在解决弧长问题、扇形面积问题时，要合理地利用圆心角所在的三角形．
注意　运用弧度制下有关弧长、扇形面积公式的前提是角的度量单位为弧度．
［对点训练］．若扇形长为,当扇形的圆心角的弧度数为_ _ _ _ 时，这个扇形的面积最大.
【答案】2
【解析】设扇形的半径为,圆心角为 ,弧长为.由题意，得,所以.所以.所以当 时，取得最大值，最大值为.此时,.所以当 时，这个扇形的面积最大.
考点三 三角函数的定义及其应用
角度1 三角函数的定义
［例3］
（1） 若角 的终边上有一点，且,则（ ）
A. 4 B. C. D.
（2） 已知角 的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边在直线上，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】（1） C
（2） D
【解析】
（1） 由已知，得 ,解得.
（2） 在角 的终边所在的直线 上任取一点，则.由三角函数的定义知,,故.
［感悟进阶］
利用三角函数的定义解决问题的策略
(1)已知角α终边上一点P的坐标，可求角α的三角函数值．先求点P到原点的距离，再用三角函数的定义求解．
(2)已知角α 的某个三角函数值，可根据三角函数定义求角α终边上的一点P的坐标中参数值．
(3)已知角α的终边所在的直线方程或角α的大小，根据三角函数的定义可求角α终边上某特定点的坐标．
角度2 三角函数值符号的判定
［例4］
（1） 点落在（ ）
A. 第一象限内 B. 第二象限内 C. 第三象限内 D. 第四象限内
（2） 若角 是第四象限角，则_ _ _ _ _ _ .
【答案】（1） D
（2）
【解析】
（1） 因为 角为第二象限角，所以，，所以点 落在第四象限内.
（2） 由题知，，，，所以 .
［感悟进阶］
三角函数值符号的判断方法
要判断三角函数值的符号，关键是要搞清三角函数中的角是第几象限角，再根据正弦、余弦和正切函数值在各象限的符号确定函数值的符号.如果不能确定角所在象限，那就要分类讨论进行求解.
［对点训练］
1．已知点,是角 的终边上一点，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】选.依题意，点 的坐标为,,
则（为坐标原点）,
故.
2．若 满足,，则 是（ ）
A. 第一象限角 B. 第二象限角 C. 第三象限角 D. 第四象限角
【答案】B
【解析】选.因为，所以 是第二或第四象限角，当 是第二象限角时，,,满足;当 是第四象限角时，,,则,不满足题意，所以 是第二象限角.
课后达标 分级演练
A 基础达标
1．将 改写成的形式是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】选.因为 ,所以 转化成弧度为.
2．下列选项中正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】选. ,则 角是第四象限角，故,错误; ,则 角是第一象限角，故，错误;,则 是第二象限角，故，错误;,则10是第三象限角，故，正确.
3．已知是角的终边上一点，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】选.因为 是角 的终边上一点，所以，,则.
4．某机器上有相互啮合的大小两个齿轮（如图所示），大轮有25个齿，小轮有15个齿，大轮每分钟转3圈，若小轮的半径为，则小轮每秒转过的弧长是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】选.由大轮有25个齿，小轮有15个齿，大轮每分钟转3圈，得小轮每分钟转的圈数为,因此小轮每秒转的弧度数为,所以小轮每秒转过的弧长是.
5．（多选）下列说法正确的是（ ）
A. 若 是第一象限角，则 是第四象限角
B. 若 ， 是第一象限角，且 ，则
C. 若扇形的圆心角为，弧长为 ，则该扇形的面积为
D. 若扇形的圆心角为,圆心角所对的弦长为，则该扇形的弧长为
【答案】AD
【解析】选.对于，若 为第一象限角，则 ,,,所以 ,,,所以 是第四象限角，故 正确；对于，若,，满足 ， 是第一象限角，且 ,但 ,故 错误；对于，设扇形所在圆的半径为,则 ,解得,所以该扇形的面积，故 错误；对于，若扇形的圆心角为,圆心角所对的弦长为，则扇形所在圆的半径，所以该扇形的弧长,故 正确.
6．在平面直角坐标系中，已知,,那么角 的终边与单位圆的交点坐标为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】
【解析】设角 的终边与单位圆的交点坐标为，因为,,由三角函数的定义，可得,,即,.
7．已知一扇形是从一个圆中剪下的一部分，半径等于圆半径的，面积等于圆面积的，则扇形的弧长与圆的周长的比为_ _ _ _ _ _ .
【答案】
【解析】设圆的半径为,则扇形的半径为,记扇形的圆心角为 ,则,所以,所以扇形的弧长与圆的周长的比为.
8．用弧度制表示终边落在如图所示的阴影部分内（含边界）的角 的集合是 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】
【解析】由题图，终边为 的角为,,终边为 的角为,，所以角 的集合是.
9．（13分）如图，在平面直角坐标系中，角 的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合且与单位圆交于点，它的终边与单位圆交于轴上方的一点,始边不动，终边在运动.
（1） 若点的横坐标为，求 的值；（6分）
（2） 若为等边三角形，写出与角 终边相同的角 的集合.（7分）
【答案】（1） 解：由题意可得,,根据三角函数的定义得.
（2） 因为 为等边三角形，则,
故与角 终边相同的角 的集合为 ,.
B 综合运用
10．下列角的终边落在射线上的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】选.在射线 上任取点，显然点 在第三象限，故该角是第三象限角，排除，两项；对于，因为,符合题意，故 正确；对于，因为,故 错误.
11．如图，为某校数学社团用数学软件制作的“蚊香”．画法如下：在水平直线上取长度为1的线段AB，作一个等边三角形ABC；然后以点B为圆心，AB为半径逆时针画圆弧交线段CB的延长线于点D(第一段圆弧)；再以点C为圆心，CD为半径逆时针画圆弧交线段AC的延长线于点E；再以点A为圆心，AE为半径逆时针画圆弧……以此类推，当得到的蚊香恰好有八段圆弧时，蚊香的长度为(　　)
A．14π B．18π C．24π D．30π
解析：选C.由题意知，每段圆弧的圆心角均为，
第一段圆弧长度为×1＝，
第二段圆弧长度为×(1＋1)＝，
第三段圆弧长度为×3＝2π，
第四段圆弧长度为×4＝，
第五段圆弧长度为×5＝，
第六段圆弧长度为×6＝4π，
第七段圆弧长度为×7＝，
第八段圆弧长度为×8＝，
故得到的蚊香恰好有八段圆弧时，
蚊香的长度为＋＋2π＋＋＋4π＋＋＝24π.
12．（多选）若角 的终边在第三象限，则的值可能为（ ）
A. 0 B. 2 C. 4 D.
【答案】BC
【解析】选.由角 的终边在第三象限，得 ,，则 ,，因此 是第二象限角或第四象限角.
当 是第二象限角时，；
当 是第四象限角时，.
13．（13分）已知且有意义.
（1） 试判断角 是第几象限角；（6分）
（2） 若角 的终边上有一点,,且（为坐标原点），求实数的值及 的值.（7分）
【答案】
（1） 解：因为，所以,所以角 是第三或第四象限角或终边在 轴的非正半轴上的角.
由 有意义，可知,所以角 是第一或第四象限角或终边在 轴的非负半轴上的角.
综上所述，角 是第四象限角.
（2） 因为,所以,
解得.
又角 是第四象限角，故,
所以，所以.
14．（13分）在一块顶角为，腰长为2的等腰三角形厚钢板废料中，用电焊切割出一个扇形，如图，现有两种方案，既要充分利用废料，又要使切割时间最短，问哪一种方案最优？
解：由题意得，
所以，，，
所以方案一中扇形的弧长为，
方案二中扇形的弧长为；
方案一中扇形的面积为，
方案二中扇形的面积为.
由此可见，两种方案中利用废料切割出的扇形面积相等，方案一中扇形的弧长比方案二短，即方案一的切割时间短，因此方案一最优.
第2讲 同角三角函数的基本关系与诱导公式
课标要求 考情分析
1.理解同角三角函数的基本关系式： ，. 2.借助单位圆及三角函数定义推出诱导公式. 3.能够运用同角三角函数基本关系和诱导公式解决相关问题. 命题形式 常以选择题或填空题的形式出现，难度不大，属简单题. 常考内容 利用公式求值.
必备知识 自主排查
理一理
1．同角三角函数的基本关系
（1） 平方关系：_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
（2） 商数关系：_ _ _ _ _ _ _ _ 其中,.
提醒 平方关系对任意角都成立，而商数关系中.
【答案】（1）
（2）
2．三角函数的诱导公式
角
正弦 ③_ _ _ _ _ _ _ _ ④_ _ _ _ _ _ ⑤_ _ _ _ _ _ ⑥_ _ _ _ _ _ ⑦_ _ _ _ _ _
余弦 ⑧_ _ _ _ _ _ ⑨_ _ _ _ _ _ ⑩_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
正切 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
【答案】； ； ； ； ； ； ； ； ； ； ； ；
点拨 诱导公式可简记为：奇变偶不变，符号看象限.“奇”“偶”指的是“”中的是奇数还是偶数.“变”与“不变”是指函数名称的变化.“符号看象限”指的是在“”中，将 看成锐角，根据“”的终边所在的象限中函数值的正负确定符号.
常用结论
1.同角三角函数关系式的常用变形
（1）;
;
.
（2） ,.
（3）；
.
2.;
.
练一练
1．判断正误（正确的打“√”,错误的打“×”）
（1） 对任意的角 ， ，都有.（ ）
（2） 若，则恒成立.（ ）
（3） 成立的条件是 为锐角. （ ）
（4） 若，则.（ ）
【答案】（1） ×
（2） ×
（3） ×
（4） ×
2．[必修第一册改编]已知角 是第二象限角，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】选.因为角 是第二象限角，所以，又,所以.
3． _ _ _ _ _ _ ，_ _ _ _ _ _ .
【答案】；
【解析】，，.
4．（必修第一册 练习（1）改编）
_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】
【解析】原式 .
5．已知 , 是方程的两个实数根，则实数的值为_ _ _ _ _ _ .
【答案】
【解析】由题可得，，.由 可得,,解得，
经检验，当 时，满足，
即方程 有两个实数根.
核心考点 师生共研
考点一 同角三角函数基本关系
角度1 知一求二
［例1］ 已知,,,则（ ）
A. B. C. 1 D.
【答案】A
【解析】因为,,
所以,,
又 解得
所以.
［感悟进阶］
角度2 弦切互化
［例2］ 已知,则
（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由题意得，显然，因为，所以,解得,所以.
［感悟进阶］
利用“弦切互化”求齐次式值的方法
（1）若齐次式为分式，可将分子与分母同除以 的次幂，将分式的分子与分母化为关于 的式子，代入 的值即可求解.
（2）若齐次式为二次整式，可将其视为分母为1的分式，然后将分母1用 替换，再将分子与分母同除以 ，化为只含有 的式子，代入 的值即可求解.
角度3 与 之间的关系
［例3］ （多选）已知，，则下列结论正确的是（ ）
A. , B.
C. D.
【答案】AD
【解析】因为，①
所以，
则，
又因为，所以，，
所以，，故 正确；
所以,
又,
所以,②故 正确；
由①②联立可得，，，，故，错误.
［感悟进阶］
与 之间关系的应用
与 可通过平方关系联系到一起，即 ,.因此在解题中已知其中一个可求另外两个.
［对点训练］
1．已知角 的终边在直线上，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】选.因为角 的终边在直线 上，所以.
所以.
2．若,则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】选.由,
平方得,
所以,所以.
考点二 诱导公式
［例4］
（1） 已知,则的值为（ ）
A. B. C. D.
（2） 化简：_ _ _ _ _ _ .
【答案】（1） C
（2）
【解析】
（1） 因为 ,所以.
（2） 原式 .
［感悟进阶］
（1）诱导公式的应用思路
①求值思路：负角化正角，大角化小角，角中含有时，用公式去掉.
②化简思路：统一角、统一名、同角名少为终了.
（2）诱导公式的应用技巧
①常用互余的角：
与 , 与 , 与 等.
②常用互补的角：
与 , 与 ， 与 等.
［对点训练］
1．已知角 的终边过点，则（ ）
A. B. C. 0 D.
【答案】A
【解析】选.因为角 的终边过点，
所以,
则
.
2．已知,则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】选
.
考点三 诱导公式与同角关系式的综合应用
[例5]　(1)已知cos (α＋)＝2cos (α＋3π)，则＝(　　)
A．－ B． C．2 D．6
(2)已知－π【解析】　(1)由cos (α＋)＝2cos (α＋3π)，
得sin α＝2cos α，则tan α＝2，
所以＝＝tan2α＋tanα＝4＋2＝6.
(2)由已知，得sin x＋cos x＝，
两边平方得sin2x＋2sinx cos x＋cos2x＝，
整理得2sinx cos x＝－.
所以(sin x－cos x)2＝1－2sin x cos x＝，
由－π又sin x cos x＝－<0，
所以cos x>0，所以sin x－cos x<0，
故sin x－cos x＝－.
所以＝
＝＝＝－.
【答案】　(1)D　(2)－
［感悟进阶］
破解诱导公式与同角三角函数基本关系的综合应用的关键：一是熟记诱导公式，正确对三角函数进行化简；二是注意“切化弦、弦化切”的应用；三是“知正弦求余弦”或“知余弦求正弦”，需注意角的取值范围，明晰“负号”的取舍.
［对点训练］
1．已知 ，则（ ）
A. B. C. D. 2
【答案】D
【解析】选.由题意及诱导公式可得， ，所以.
因此，
.
2．已知，且，则_ _ _ _ _ _ ，_ _ _ _ _ _ .
【答案】；
【解析】
.
因为，所以 .
由 解得
课后达标 分级演练
A 基础达标
1．[2025·乌鲁木齐质检]已知角的顶点在坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边上点坐标为，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】选.根据诱导公式有,，所以 ，，又因为 ,所以 .
2．已知,,则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】选.由,
得,又,
则
,
所以.
3．已知角 的终边在直线上，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】选.因为角 的终边在直线 上，所以.
所以.
4．[2025·上饶阶段考]已知,且,则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】选.因为,所以,又,
所以,
.
5．（多选）已知,,则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ACD
【解析】选.因为,所以,故 正确；
因为,且,
所以,所以,,
由,可得,故 错误；
,故 正确；
，故 正确.
6． _ _ _ _ .
【答案】1
【解析】原式
.
7．已知，则_ _ _ _ _ _ .
【答案】
【解析】原式.
8．已知 ,,则_ _ _ _ _ _ .
【答案】
【解析】因为 ,可得,
又因为，可得,
整理得,
解得（舍去）或.
9．（13分）已知 ，.求：
（1） 的值；（6分）
（2） 的值.（7分）
【答案】
（1） 解：令，则，整理得，解得 或，
即 或,因为 ，
所以，故.
（2） 原式.
B 综合运用
10．在中，，，则为（ ）
A. 等腰三角形 B. 直角三角形
C. 等腰直角三角形 D. 等边三角形
【答案】B
【解析】选.由 可得，
即，又 ，
所以，,
再由 可得，
所以，又 ，所以，所以，所以 为直角三角形.
11．已知函数，则（ ）
A. 2 025 B. C. D.
【答案】B
【解析】选.由 得，所以 是以4为最小正周期的周期函数，又，所以.
12．已知,则_ _ _ _ _ _ .
【答案】
【解析】因为
,
所以
.
13．（13分）已知关于的方程的两根为 和 ，，.求：
（1） 实数的值；（6分）
（2） 的值.（7分）
【答案】
（1） 解：因为 ， 为方程 的两根，
所以
所以，即，解得，此时，
又，，，所以,所以，所以.
（2） 由（1）知 ，
所以，
所以.
14．（13分）在;; , 的终边关于轴对称，并且 这三个条件中任选一个，补充在横线上，并回答问题.
已知第四象限角 满足_ _ _ _ ，求下列各式的值.
（1） ;（6分）
（2） .（7分）
注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分.
【答案】
14．解：若选择条件①：
因为,所以 ,所以.
若选择条件②:
因为 是第四象限角，所以,,
又,
所以,
所以,,所以.
若选择条件③：
因为 是第四象限角，所以,,又因为 , 的终边关于 轴对称，所以 , .又因为 ,所以 ,即.
（1）
.
（2） .
第3讲 两角和、差及倍角公式
课标要求 考情分析
1.会推导两角差的余弦公式. 2.能从两角差的余弦公式推导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式,二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系，并会简单应用. 命题形式 常以选择题或填空题的形式出现，属中、低档难度. 常考内容 变换求值.
必备知识 自主排查
理一理
两角和与差的正弦、余弦、正切公式
提醒　实际上，在两角和公式中令β＝α，即可得二倍角公式．逆用即为“降幂公式”，在考题中常有体现．
常用结论
1.升幂、降幂公式
, .
,.
2.公式的常用变形
，
,
,
.
，
，
若，则.
练一练
1．判断正误（正确的打“√”，错误的打“×”）
（1） 两角和与差的正弦、余弦公式中的角 ， 是任意角.（ ）
（2） 两角和与差的正切公式中的角 ， 是任意角. （ ）
（3） 存在实数 ， ，使等式成立. （ ）
【答案】（1） √
（2） ×
（3） √
2．[必修第一册例4（2）改编] （ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】选.原式.
3．已知,则_ _ _ _ _ _ .
【答案】
【解析】因为,故，所以.
4．若, 是第三象限角，则_ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】
【解析】因为 是第三象限角，所以,
所以
.
5．（用结论）求值：_ _ _ _ _ _ .
【答案】
【解析】因为
.
所以原式.
核心考点 师生共研
考点一 三角公式的基本应用
［例1］
（1） [2024· 新课标Ⅰ卷]已知,，则（ ）
A. B. C. D.
（2） [2024·全国甲卷]已知，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】（1） A
（2） B
【解析】
（1） 由 得.①由 得，②由①②得 所以.
（2） 根据题意有，即,所以，所以.
细研真题 本例源于教材人教版必修第一册和.考查两角和与差的三角公式，体现方程及整体思想，本题与2023年新课标Ⅰ卷第8题考法大致相同，以后高考仍会按照这个思路进行.
真题变式
1．已知,，则_ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】
【解析】,又，
则有，
可得.
2．已知， ,则_ _ _ _ _ _ .
【答案】
【解析】由 ，得,
所以 ,
又,
所以,,
所以.
［感悟进阶］
利用三角函数公式解题时应注意的问题
（1）首先要注意公式的结构特点和符号变化规律.例如两角差的余弦公式可简记为“同名相乘，符号相反”.
（2）应注意同角三角函数的基本关系与诱导公式的综合应用.
（3）应注意配方法、因式分解和整体代换思想的应用.
易错点 三角函数公式中的函数名称与符号记混记错.
[对点训练]　1.(2025·全国二卷)已知0＜α＜π，cos ＝，则sin (α－)＝(　　)
A． B． C． D．
解析：选D.因为cos ＝，所以cos α＝2cos2－1＝－.又0＜α＜π，所以sinα＝＝＝，则sin＝(sin α－cos α)＝×＝.故选D.
2． _ _ _ _ .
【答案】1
【解析】因为
,
所以原式.
考点二 三角公式的逆用与变形应用
角度1 辅助角公式及其应用
［例2］
（1） 设 满足,则（ ）
A. B. C. D.
（2） [2025·沈阳质量监测]已知,则（ ）
A. B. C. D.
【答案】（1） C
（2） B
【解析】
（1） 由题意可得,则，于是 ,,即,,所以.
（2） 由，得 ,所以,所以,则.
［感悟进阶］
辅助角公式及其应用
可化成,这里的辅助角 终边所在的象限由,的符号确定，角 由确定.
角度2 公式的灵活应用
［例3］
（1） （ ）
A. B. C. D.
（2） [2025·长沙模拟]已知 ，是方程的两个实根，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】（1） A
（2） A
【解析】
（1） .
（2） 因为,所以 ,是方程 的两个不同实根，所以，，所以，所以.
［感悟进阶］
三角函数公式逆用和变形应用的注意点
（1）三角函数公式逆用或变形应用时，一定要注意公式成立的条件和角之间的关系.
（2）注意特殊角的应用，当式子中出现，1，，等这些数值时，一定要考虑引入特殊角，把“值”变“角”，以便构造出适合公式的形式.
［对点训练］
1．[2025·抚州段考]已知 ,则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】选.由题意得 ,整理可得,所以.
2．若,则_ _ _ _ .
【答案】2
【解析】由题意得,,所以,所以.
考点三 角的变换
［例4］
（1） 已知,,则（ ）
A. 1 B. C. 2 D.
（2） [2025·安徽模拟]已知,,则（ ）
A. B. C. D.
【答案】（1） B
（2） B
【解析】
（1） 因为,所以 .则.
（2） 因为,故，则，又因为,所以 ,所以,故,故 .
［感悟进阶］
利用三角函数公式求值时“变角”的思路
（1）当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式.
（2）当“已知角”有一个时，应着眼于“所求角”与“已知角”的关系，再应用诱导公式用“已知角”表示“所求角”即可.
［对点训练］
1．已知,且,,则_ _ _ _ _ _ .
【答案】
【解析】因为,,所以,,
又，
所以,
所以
.
2．[2025·南宁适应性测试]已知 ,,,则_ _ _ _ _ _ .
【答案】
【解析】由题意知,因为 ,,所以 ,所以,所以.
课后达标 分级演练
A 基础达标
1．已知角 的顶点与坐标原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边过点，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】选.由角 的终边过点，可知，,，所以.
2．[2025·黄山质检]已知,,则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】选．因为,,所以,因此.
3．[2025·邵阳联考]已知 为锐角，若,则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】选.已知 为锐角，因为，则，所以.
4．已知,则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】选.由 两边平方得，
所以，
所以 ,
所以.
5．（多选）已知 ，,,,则（ ）
A. 为第二象限角 B.
C. D.
【答案】BC
【解析】选.因为，
所以 ，
所以 ，又,，
所以，
可得 且 为第一象限角，
故，,故 不正确，正确；
又，,,
故，所以，，故 正确；
由，，知，故 不正确.
6．已知,,,则_ _ _ _ _ _ .
【答案】
【解析】因为，,,所以，所以，所以.
7．已知,则_ _ _ _ _ _ .
【答案】
【解析】
.
8．化简：_ _ _ _ _ _ .
【答案】
【解析】
.
9．（13分）已知,,.求:
（1） 的值；（6分）
（2） 的值.（7分）
【答案】
（1） 解：因为,,,
所以.
故.
（2） 由（1）知
,
,
所以.
B 综合运用
10．已知，则实数 的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】选.由题意可得，，故 ，即 ,所以.
11．（13分）已知.求:
（1） 的值；（6分）
（2） 的值.（7分）
【答案】（1） 解：.
（2）
.
12．（13分）已知,,.求：
（1） 的值；（6分）
（2） 的值.（7分）
【答案】
（1） 解：因为,所以,
又，
所以，
所以
.
（2） 因为,所以,
又,
所以，
所以
.
C 素养提升
13．[2025·齐齐哈尔模拟]已知,,则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】选.由,
可得
,
故
整理得,
,
由，
得,所以，
整理得.
14．[2025·广州模拟]已知 ， 是函数在，上的两个零点，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】选.因为 , 是函数 在，上的两个零点，所以，,且,,,,
所以 ,所以,
所以.
第4讲 简单的三角恒等变换
课标要求 考情分析
1.会根据相关公式进行化简和求值. 2.会利用三角函数式的化简与求值解决一些简单的问题. 命题形式 常以选择题或填空题的形式出现，中等难度. 常考内容 三角函数式的求值. 创新考法 与三角函数的图象与性质、向量等知识综合考查.
考点一 三角函数式的化简
［例1］ 化简：
（1） ；
（2） ,.
【答案】（1） 【解】原式.
（2） 因为 ,所以,
所以原式
.
［感悟进阶］
三角函数式的化简要遵循“三看”原则
［对点训练］
1．化简：（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】选.原式
.
2．化简.
解：原式
.
考点二 三角函数式的求值
角度1 给角求值
［例2］ 求值：
（1） ；
（2） .
【答案】
（1） 【解】原式
.
（2） 原式
.
［感悟进阶］
给角求值问题的解题思路
给角求值问题中往往给出的角是非特殊角，求值时要注意：
(1)观察角：分析角之间的差异，巧用诱导公式或拆分；
(2)观察函数名：尽可能使函数名统一；
(3)观察结构：利用公式，整体化简．
角度2 给式（值）求值
［例3］
（1） [2024·九省联考]已知，,,则（ ）
A. B. C. 1 D.
（2） [2024·新课标Ⅱ卷]已知 为第一象限角， 为第三象限角，，，则_ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】（1） A
（2）
【解析】
（1） 因为,,所以.由 得,化简整理得，解得（舍去）或，所以.
（2） 由题知，即，又，可得.由,,,,得 ,.又，所以 是第四象限角，故.
［感悟进阶］
给值求值问题的基本步骤
（1）先化简所求式子或已知条件；
（2）观察已知条件与所求式子之间的联系（从三角函数名及角入手）；
（3）将已知条件代入所求式子，化简求值.
角度3 给值求角
［例4］ 已知 ,,且,,则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】因为,,
所以,,，
所以,
，
又,所以,,
又,
所以,,
所以,
故
,
因为,,,
所以,,则.
［感悟进阶］
“给值求角”实质上可转化为“给值求值”，即通过求角的某个三角函数值来求角（注意角的范围），在选取函数时，遵循以下原则：
（1）已知正切函数值，选正切函数；
（2）已知正弦、余弦函数值，选正弦或余弦函数，若角的范围是，，选正、余弦函数皆可；若角的范围是，选余弦函数；若角的范围为，，选正弦函数.
［对点训练］
1．已知，则
（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】选.因为，则,可得，所以原式.
2．求值：_ _ _ _ _ _ .
【答案】
【解析】原式.
考点三 三角恒等变换的综合应用
［例5］ 已知函数，且.
（1） 求的值;
（2） 若,求 的值.
【答案】
（1） 【解】因为,,
所以（舍去）或，
所以，故,
故.
（2） 由（1）及题意知,又,所以 ,
所以,
所以.
［感悟进阶］
进行三角恒等变换时要抓住：变角、变函数名称、变结构.尤其要注意角之间的关系及公式的合理使用；还需注意换元法在解题中的合理运用，可使复杂的结构简单化.
［对点训练］
1．已知向量,与向量,共线，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】选.由向量,共线可知,
则,即,
故.
2．[2025·西安联考]在平面直角坐标系中，锐角 的大小如图所示，则（ ）
A. B. 2 C. D. 3
【答案】B
【解析】选.由题图及正切函数的定义可知，
，即，
解得.
所以.
课后达标 分级演练
A 基础达标
1．[2025·重庆开学考]已知,,则（ ）
A. B. C. 3 D. 4
【答案】A
【解析】选.因为,,
所以,
所以.
2．在平面直角坐标系中，已知角 的顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，则（ ）
A. 或2 B. 2 C. 或3 D. 3
【答案】B
【解析】选.由题意得，,,所以.
3．已知 为锐角，且,则 的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】选.由 可得,所以,所以 ,又 为锐角，所以 .
4．[2025·湘潭质检] （ ）
A. 1 B. C. D. 2
【答案】C
【解析】选.原式
.
5．（多选）已知 ,,,下列选项正确的有 （ ）
A. B.
C. D.
【答案】BD
【解析】选.由于 且,所以,又,,，故 或 .当 时， 不满足题意，又 满足题意,所以，故 错误；,故 正确；,故 错误；因为 ，则,所以,故 正确.
6．化简：_ _ _ _ .
【答案】1
【解析】原式.
7．若,，且，则_ _ _ _ _ _ .
【答案】
【解析】由，
得.
因为,,所以,故，所以.由,,得,,
则，解得.
8．已知,,,则_ _ _ _ _ _ .
【答案】
【解析】由题意可知,又因为，所以,即,又,
所以,,
故,
所以,所以.
9．（13分）已知，,且 , .求：
（1） 的值；（6分）
（2） 的值.（7分）
【答案】
（1） 解：因为,
所以.
（2） 因为, ,
所以
，
所以,
所以
.
因为 , ,
所以 ,所以.
B 综合运用
10．[2025·福建适应性考试]已知,则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】选.由题意得，
.
所以 ，
即
，
即，
解得 或（舍去）.
11．（13分）已知，.
（1） 证明：；（6分）
（2） 计算的值.（7分）
【答案】
（1） 解：证明：方法一：由，
,
得，
即
,
整理得 ,
即 ，得证.
方法二：由，,
即，
，
得，，
两式相除并整理得 ，得证.
（2） 由于，
即，
又由（1）知 ，
所以
.
12．（15分）已知,,,,设.
（1） 求当取最大值时，的取值集合；（7分）
（2） 若,,且,求的值.（8分）
【答案】
（1） 解：由题意得，.
当 ,,即 ,时，取得最大值1，所以当 取最大值时，的取值集合为.
（2） 因为,,所以,,又,
所以
,
所以,
所以.
C 素养提升
13．（多选）已知角 是锐角，角 是第四象限角，且,,,则下列结论正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ABD
【解析】选.因为，所以，因为角 是锐角，角 是第四象限角，所以,,,,因为，解得，.因为,所以,解得,因为,所以，解得,由两角和的余弦公式得,故 正确；
由两角和的正弦公式得,故 正确；
因为,,
所以,故 正确；
由二倍角公式得,
得,故 错误.
14．[2025·邯郸调研]正五角星是一个非常优美的几何图形，其与黄金分割有着密切的联系，如图所示，以，，，，为顶点的多边形为正五角星，设 ，则_ _ _ _ ，_ _ _ _ _ _ .
【答案】0；
【解析】正五角星可分割成5个三角形和1个正五边形，五个三角形各自内角和为 ，正五边形的内角和为 ，每个内角为 .因为三角形是等腰三角形，底角是五边形的外角，即底角为 ，顶角为 ,
即 .
.
,
因为，
所以.
第5讲 三角函数的图象与性质
课标要求 考情分析
1.能画出,,的图象，了解三角函数的周期性、单调性、奇偶性、最大（小）值. 2.能利用正弦、余弦函数在上及正切函数在,上的图象与性质解决问题. 命题形式 主要是以选择题或填空题为主，难度不大，属简单题. 常考内容 三角函数的单调性及对称性. 创新考法 与向量、解三角形等知识相结合，涉及整体思想、数形结合思想.
必备知识 自主排查
理一理
1．用五点法作正弦函数和余弦函数的简图
（1）正弦函数，的图象中，五个关键点是：，，，①_ _ _ _ _ _ _ _ ，②_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ，.
（2）余弦函数，的图象中，五个关键点是：，，，③_ _ _ _ _ _ _ _ ，④_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ，.
五点法作图有三步：列表、描点、连线（光滑的曲线）.
提醒 函数,,,的五个关键点的横坐标是零点或极值点（最值点）.
【答案】； ； ；
2．正弦、余弦、正切函数的图象与性质
函数
图象
定义域 ⑤_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
值域 ⑥_ _ _ _ _ _ _ _ ⑦_ _ _ _ _ _ _ _ ⑧_ _ _ _
奇偶性 ⑨_ _ _ _ _ _ ⑩_ _ _ _ _ _ 奇函数
最值 最大值为1，当且仅当 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 时取得;最小值为，当且仅当 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 时取得 最大值为1，当且仅当 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 时取得;最小值为，当且仅当 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 时取得 无最大值 和最小值
单调性 增区间: _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ; 减区间: _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 增区间: _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ; 减区间: _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 增区间： _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ； 无减区间
周期性 周期为 ,,，最小正周期为 _ _ _ _ 周期为 ,,，最小正周期为 _ _ _ _ 周期为 ,,，最小正周期为 _ _
对称性 对称中心 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
对称轴 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 无对称轴
零点 , , ,
提醒 正弦、余弦函数一个完整的单调区间的长度是半个周期;无单调递减区间；在整个定义域内不单调.
【答案】； ； ； ； 奇函数； 偶函数； ,； ,； ,； ,； ,； ,； ； ； ,； ； ； ； ,； ,； ,； ,； ,
常用结论
1.对称性与周期性
（1）正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是个周期，相邻对称中心与对称轴之间的距离是个周期；
（2）正切曲线相邻两对称中心之间的距离是个周期.
2.奇偶性
设，则
（1）为偶函数的充要条件是;
（2）为奇函数的充要条件是.
练一练
1．判断正误（正确的打“√”，错误的打“×”）
（1） 余弦函数图象的对称轴是轴.（ ）
（2） 正切函数在定义域内是增函数.（ ）
（3） 已知,,则的最大值为.（ ）
（4） 是偶函数.（ ）
【答案】（1） ×
（2） ×
（3） ×
（4） √
2．下列函数中，周期为 且是奇函数的选项为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】选.是周期为 的奇函数，故 正确；为偶函数;的周期为;为非奇非偶函数，故，，都不正确.
3．（必修第一册P207例5改编）函数，的单调递增区间是（ ）
A. , B. , C. , D. ,
【答案】D
【解析】选.令 ,,得 ,.因为,所以所求函数的单调递增区间为，.
4．[2024·全国甲卷]函数在区间的最大值为_ _ _ _ ．
【答案】2
【解析】由题意知，当 时，,,
所以，，
故，
故 在区间 的最大值为2.
5．（用结论）已知函数为偶函数，则_ _ .
【答案】
【解析】因为函数 为偶函数,所以 ,,所以 ,,又 ,所以 .
第1课时 三角函数的图象与性质（一）
考点一 三角函数的定义域
［例1］ 函数的定义域为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】
【解析】要使函数有意义，
则有
解得,
所以 ,,所以函数 的定义域为 ,.
［感悟进阶］
三角函数的定义域的求法
（1）求三角函数的定义域一般可归结为解三角不等式（或等式）.
（2）求三角函数的定义域经常借助两个工具：三角函数线和三角函数的图象，有时也利用数轴.
（3）对于较为复杂的求三角函数的定义域问题，应先列出不等式（组）分别求解，然后利用数轴或三角函数线求交集.
注意 解三角不等式时要注意周期，且不可忽略.
［对点训练］
1．[2025·绵阳段考]的定义域为（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】选.要使 有意义，则,即，解得 ,，故函数的定义域为 ,.
2．函数的定义域为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】
【解析】方法一：要使函数有意义，必须使.在同一平面直角坐标系中画出 和 在 上的图象，如图所示.
在 内，满足 的 的值为,,且在,内，，
又正弦、余弦函数的最小正周期是 ，
所以函数 的定义域为,.
方法二：,将 视为一个整体，由正弦函数 的图象和性质可知 ,,解得,，所以函数 的定义域为.
考点二 三角函数的单调性
角度1 求三角函数的单调区间
［例2］ [2025·赣州模拟]已知函数,,,则的单调递增区间是（ ）
A. ， B. ，，，
C. ， D. ，，，
【答案】D
【解析】,
则 ,,
解得,.
又，，
故令,则;
令,则,所以 的单调递增区间是，，，.
［感悟进阶］
求三角函数单调区间的方法
求形如或（其中）的单调区间时，要视“ ”为一个整体，通过解不等式求解.但如果,可借助诱导公式将 化为正数，防止把单调性弄错.
角度2 利用单调性比较大小
［例3］ 已知函数,设,,,则,,的大小关系是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由 ,得,,所以函数 的单调递减区间为,,
所以 在，上单调递减，
因为，
所以,即.
［感悟进阶］
利用单调性比较三角函数值大小的方法
先统一为同名的三角函数，然后利用诱导公式把角化为同一单调区间内的角，再利用函数的单调性进行比较.
角度3 根据三角函数单调性求参数
［例4］ [2025·长春模拟]已知函数,若在区间 ,上是单调函数，则实数 的取值范围是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】
【解析】，
因为，所以,，
因为 在区间 ,上单调，
所以，即.
所以实数 的取值范围为.
［感悟进阶］
根据函数单调性求参数
(1)明确一个不同
“函数f(x)在区间M上单调”与“函数f(x)的单调区间为N”两者的含义不同，显然M是N的子集．
(2)抓住两种方法
一是利用已知区间与单调区间的子集关系建立参数所满足的关系式求解；二是利用导数，转化为导函数在区间上的保号性，由此列不等式求解．
［对点训练］
1．函数的单调递减区间是（ ）
A. , B. ,
C. , D. ,
【答案】A
【解析】选.,
要求函数 的单调递减区间，
即求函数 的单调递增区间.
令 ,,
得 ,，
所以函数 的单调递减区间是,.
2．若函数在，上单调递减，且在，上的最大值为，则_ _ _ _ _ _ .
【答案】
【解析】因为函数 在，上单调递减，
所以,，
则,
又因为函数 在，上的最大值为,
即，
所以 ,,
即,,所以.
考点三 三角函数的值域（最值）
［例5］
（1） 已知函数的最小正周期为 ,则在上的最小值为（ ）
A. B. C. 0 D.
（2） 函数的值域为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】（1） D
（2） ,
【解析】
（1） 由 的最小正周期为 ，可得,所以,所以.当 时，,,，所以 在 上的最小值为.
（2） 由题知.令,则,，即,.
［感悟进阶］
求解三角函数的值域(最值)常见的几种类型
(1)形如y＝a sin ωx＋b cos ωx＋c的三角函数，先化为y＝A sin (ωx＋φ)＋c的形式，再求值域(最值).
(2)形如y＝a sin2x＋b sinx＋c的三角函数，可先设sin x＝t，再求关于t的二次函数的值域(最值).　
(3)形如y＝a sin x cos x＋b(sin x±cos x)＋c的三角函数，可先设t＝sin x±cos x，再求关于t的二次函数的值域(最值).
［对点训练］
1．已知函数,,，则函数的最小值是（ ）
A. B. C. 0 D.
【答案】D
【解析】选.令，由,得,,,又 在，上单调递减，所以当 时，,即函数 的最小值为.
2．已知函数的定义域是，值域为，则实数的最大值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】选.因为,所以,.
因为 的值域为，
所以,
解得，
所以实数 的最大值为.
课后达标 分级演练
A 基础达标
1．函数,,的值域为（ ）
A. B. ， C. D. ,
【答案】A
【解析】选.设,因为,，所以,，因为正切函数 在，上单调递增，且,,所以函数 的值域为.
2．的一个单调递增区间是（ ）
A. ， B. C. , D. ，
【答案】D
【解析】选.
将 的图象位于 轴下方的部分关于 轴对称向上翻折，轴上方（或 轴上）的图象不变，即得 的图象如图所示.由图可知 的一个单调递增区间是,，项正确，，，均不正确.
3．(2025·珠海期末)在[0，2π]内的函数f(x)＝＋ln (sin x－)的定义域是(　　)
A．[，] B．[，]
C．[，) D．[，]
解析：选C.由题意得
整理得解得k∈Z，
即＋2kπ≤x<＋2kπ，k∈Z，
又x∈[0，2π]，所以x∈.
4．若在上单调递减，则的最大值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】选.，令 ，，解得 ，,所以 的单调递减区间为 ,，.
因为,,，所以,,所以 的最大值为.
5．（多选）下列函数中，在区间，上单调递减的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】AC
【解析】选.对于，,
由，得,所以函数 在区间，上单调递减，符合题意；
对于，,由,得,所以函数 在区间 上单调递增，不符合题意；
对于，由,得 ,且,
所以函数 在区间，上单调递减，符合题意；
对于，,由,
得，所以 在区间 上不单调，不符合题意.
6． , , 的大小关系是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .（用“ ”连接）
【答案】
【解析】因为 ,又当 时，函数 单调递减,所以 ,即 .
7．已知函数,,,则函数的单调递减区间为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】，
【解析】由题意知，,
由 ,,
得,.
因为，令,
得,令,则,即函数 的单调递减区间为，.
8．当时，函数的最小值是_ _ _ _ .
【答案】4
【解析】由题可得.因为,所以.因为,所以当 时，取得最大值.所以 的最小值是4.
9．(13分)(2025·全国二卷)已知函数f(x)＝cos(2x＋φ)(0≤φ<π)，f(0)＝.
(1)求φ；(6分)
(2)设函数g(x)＝f(x)＋f(x－)，求g(x)的值域和单调区间．(7分)
解：(1)因为f(x)＝cos (2x＋φ)，且f(0)＝cos φ＝，φ∈[0，π)，所以φ＝.
(2)由(1)可知，f(x)＝cos ，
则g(x)＝cos ＋cos [2＋]＝cos ＋cos 2x
＝cos 2x－sin 2x＋cos 2x
＝cos 2x－ sin 2x
＝
＝ cos .
因为x∈R，所以cos ∈[－1，1]，
所以函数g(x)的值域为[－，].
令2kπ≤2x＋≤2kπ＋π，k∈Z，解得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z，
所以函数g(x)的单调递减区间为，k∈Z；
令2kπ－π≤2x＋≤2kπ，k∈Z，解得kπ－≤x≤kπ－，k∈Z，
所以函数g(x)的单调递增区间为，k∈Z.
B 综合运用
10．已知函数,若，是锐角三角形的两个内角，则一定有（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】选.因为，是锐角三角形的两个内角，所以,所以,因为 在，上单调递增，所以，又函数 在 上单调递减，所以,同理，,故 错误，正确；因为角，的大小关系不确定，故，错误.
11．[2025·广州阶段考]若函数在区间上单调递减，且,,，则（ ）
A. B. 1 C. D. 2
【答案】C
【解析】选.由函数,因为,,
所以，，
又因为 在区间 上单调递减，
所以 ,, ,，两式相减，可得,
因为，所以.
12．已知函数,若对于任意实数都有和恒成立，则的最小值为_ _ _ _ _ _ .
【答案】
【解析】,因为 恒成立，所以 ,,解得 ,.,因为 恒成立，所以 ,,解得 ,,所以,当，,时，取得最小值，最小值为.
13．（13分）已知函数.
（1） 若,求函数的单调递增区间；（6分）
（2） 当时，函数的值域是，求实数,的值.（7分）
【答案】13．解：函数.
（1） 当 时，,由,得,所以函数 的单调递增区间为,.
（2） 因为 ,所以,
所以,依题意知.
①当 时，得
解得
②当 时，得 解得
综上所述，或
14．（15分）已知函数.
（1） 求的单调递减区间；（7分）
（2） 若函数在,上有两个不同的零点，求实数的取值范围.（8分）
【答案】
（1） 解：因为,
令,,
解得,,所以 的单调递减区间为，,.
（2） 由,，可得,,
又 在,上单调递增，
在,上单调递减，
所以函数 在，上单调递增，
,在,上单调递减，,
所以若函数 在,上有两个不同的零点，即直线 与 的图象在 上有两个不同交点，如图所示，所以实数 的取值范围为.
第2课时 三角函数的图象与性质（二）
考点一 三角函数的周期性
［例1］
（1） 的最小正周期是 （ ）
A. B. C. D.
（2） [2024·北京卷]设函数.已知，，且的最小值为，则（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】（1） A
（2） B
【解析】
（1） 由于 ,所以函数的最小正周期为.
（2） 因为,且,,,所以的最小正周期 ,所以.
［感悟进阶］
求三角函数最小正周期的常用方法
(1)公式法：正弦型、余弦型、正切型函数的最小正周期分别是，，.
(2)最小公倍数：由几个三角函数的和组成的函数，可先找出每个函数的最小正周期，求出所有最小正周期的最小公倍数即可．
(3)图象法：通过函数的图象观察得到函数的最小正周期．
(4)定义法：对于较特殊的函数，不能用上述方法求解时，可用周期的定义验证函数的最小正周期．
［对点训练］
1．（多选）下列函数中，最小正周期为 的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ABC
【解析】选.选项，,最小正周期为 ，故 符合题意；选项，由图象（图略）知 的最小正周期为 ，故 符合题意；选项，的最小正周期 ，故 符合题意;选项，的最小正周期，故 不符合题意.
2．已知定义在上的非常数函数满足：,且.请写出符合条件的一个函数的解析式_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】（答案不唯一）
【解析】由,得出 图象的对称中心为，且由 得出 为偶函数，且，，，所以 的周期为4，符合题意.
考点二 三角函数的奇偶性与对称性
角度1 奇偶性
［例2］
（1） 函数是（ ）
A. 最小正周期为 的奇函数 B. 最小正周期为 的偶函数
C. 最小正周期为 的偶函数 D. 最小正周期为 的奇函数
（2） 已知函数，是偶函数，则 的值为_ _ _ _ _ _ .
【答案】（1） D
（2）
【解析】
（1） ,可得 的最小正周期为 .且 是奇函数，故 是最小正周期为 的奇函数.
（2） 因为函数 为偶函数，所以 ,,解得 ，.又，，所以，经检验，符合题意.
［感悟进阶］
三角函数奇偶性的判断及应用
三角函数奇偶性的判断借助定义，而根据奇偶性求解问题则利用性质若y＝A sin (ωx＋φ)(A>0，ω>0)为奇函数，则φ＝kπ(k∈Z)；若y＝A sin (ωx＋φ)(A>0，ω>0)为偶函数，则φ＝＋kπ(k∈Z).
角度2 对称性
［例3］ [2022·新高考Ⅰ卷]记函数的最小正周期为.若 ，且的图象关于点,中心对称，则（ ）
A. 1 B. C. D. 3
【答案】A
【解析】因为 ，所以 ，解得.因为 的图象关于点,中心对称，所以，且，所以，又,所以,所以 ，解得，所以，所以.
细研真题 考题源于教材人教版必修第一册.考查三角函数的周期性和三角函数图象的对称性，也可把正弦变为余弦研究此类问题.
真题变式
1．若本例中的函数变为, ,其他条件不变，则_ _ _ _ _ _ .
【答案】
【解析】由函数 的最小正周期 满足 ，得 ,解得,又因为函数图象关于点,中心对称，所以,且,所以,,所以,
即,
则.
2．已知函数的最小正周期为,最大值为1.若 ,且的图象关于直线对称，则_ _ _ _ _ _ .
【答案】
【解析】因为函数 的最大值为,所以.
由 ，得 ,解得.
由 的图象关于直线 对称可得， ,，
所以,.
所以,解得.
又,所以,所以,
所以.
故
.
［感悟进阶］
三角函数对称性的应用技巧
(1)求函数图象的对称轴方程或对称中心坐标时，可利用整体换元法进行求解，注意熟记正弦型、余弦型函数图象对称轴方程、对称中心坐标的形式．
(2)判断某一直线、某一点是否为函数y＝A sin (ωx＋φ)图象的对称轴、对称中心时，可根据对称轴一定经过图象的最高点或最低点，以及对称中心的横坐标一定是函数的零点这一性质进行检验判断．
[对点训练]　1.(2025·全国一卷)已知点(a，0)(a>0)是函数y＝2tan (x－)的图象的一个对称中心，则a的最小值为(　　)
A． B．
C． D．
解析：选B.正切函数y＝tan x图象的对称中心为(，0)(k∈Z).由点(a，0)(a＞0)是函数y＝2tan (x－)的图象的一个对称中心，可知a－＝(k∈Z)，即a＝＋(k∈Z).由a＞0可得，当k＝0时，a取得最小值.故选B.
2．已知函数是奇函数且在 处取得极大值，则 可能为_ _ _ _ ，此时满足题意的一个 为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】； （答案不唯一）
【解析】由题得 ,,因为 ,所以 或.又 在 处取得极大值，则 ,,当 时，,,当 时，,，当 时，取,则.
考点三 三角函数性质的综合应用
［例4］
（1） [2024· 新课标Ⅱ卷]（多选）对于函数和，下列说法中正确的有（ ）
A. 与有相同的零点
B. 与有相同的最大值
C. 与有相同的最小正周期
D. 与的图象有相同的对称轴
（2） [2024· 九省联考]（多选）已知函数,则（ ）
A. 函数为偶函数
B. 曲线的对称轴为直线 ,
C. 在区间,上单调递增
D. 的最小值为
【答案】（1） BC
（2） AC
【解析】
（1） 对于，令，则，，又，故 错误；对于,与 的最大值都为1，故 正确；对于，与 的最小正周期都为 ，故 正确；对于,图象的对称轴方程为 ，，即,，图象的对称轴方程为 ，,即，，故 与 的图象的对称轴不相同，故 错误.
（2） 由题知，.对于，,故函数 为偶函数，正确；对于，令 ,，解得,.故曲线 的对称轴为直线,，错误；对于，令，则当,时，,，因为 在，上单调递减，所以 在，上单调递增，即 在区间，上单调递增，正确；对于,函数 的最小值为，错误.
［感悟进阶］
利用三角函数定义解决问题的策略
（1）探究函数、或的性质（定义域、值域、单调性、对称性、最值等）的综合应用时，可利用换元思想，将 看作一个整体，结合,或，的性质求解.
（2）对于型的函数，首先用辅助角公式将其转化为的形式；若是弦切函数并存的函数式，可将切化弦后再转化为的形式.
［对点训练］
1．[2025·湖南模拟]已知函数,的最小正周期为 ，直线是图象的一条对称轴，则的单调递减区间为（ ）
A. , B. ,
C. , D. ,
【答案】B
【解析】选.由于,的图象是将 的图象在 轴下方部分翻折到 轴上方，其余不变得到，且,仅有单调递增区间，
故 和 的最小正周期相同，均为 ，则 ,所以,
即,又直线 是 图象的一条对称轴，则 ,,
即,,结合,
可得,故,
令 ,，
则,，即 的单调递减区间为,.
2．（多选）已知函数,若,且,则函数的最小正周期可能是（ ）
A. B. C. D.
【答案】BC
【解析】选.因为,所以当 时函数取得最小值，即直线 是函数 图象的一条对称轴，又,所以,即,所以，
所以
.
所以 ,,
解得,,则 的最小正周期，当 时，;当 时，.验证得，不符合题意.
课后达标 分级演练
A 基础达标
1．[2025· 八省联考]函数的最小正周期是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】选.由题意知函数 的最小正周期 .
2．以点,为对称中心的图象对应的函数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】选.对于，函数图象的对称中心为，故 不符合题意；对于，函数图象的对称中心为 ,，故 不符合题意；对于，函数图象的对称中心为,，故 符合题意；对于，函数图象不是中心对称图形，故 不符合题意.
3．[2023·天津卷]函数的图象关于直线对称，且的一个周期为4，则的解析式可以是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】选.对于，,最小正周期为，因为,所以函数 的图象不关于直线 对称，故 不符合题意；对于，,最小正周期为，因为,所以函数 的图象关于直线 对称，故 符合题意；对于,,函数 和 的最小正周期均为,故，不符合题意.
4．[2025·江西联考]（多选）已知函数,则（ ）
A. 的最小正周期是
B. 的值域是
C. 的图象关于点,中心对称
D. 的图象关于直线对称
【答案】ABD
【解析】选.对于，的最小正周期是 ，故 正确；
对于，由，得,所以 的值域是，故 正确；
对于，因为，所以 的图象不关于点，中心对称，故 不正确；
对于，因为，又3为函数 的最大值，所以 的图象关于直线 对称，故 正确.
5．[2025·福建适应性考试]（多选）在平面直角坐标系中，角 的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边过点，函数，则（ ）
A. 的图象关于直线对称
B. 的图象关于点,中心对称
C. 在,内恰有一个极大值点
D. 在，上单调递减
【答案】AD
【解析】选.由题意得，且 的终边在第四象限，所以 ,，因此.
对于，当 时，,故，所以 的图象关于直线 对称，故 正确；
对于，当 时，,所以,所以 的图象不关于点,中心对称，故 错误；
对于，当,时，,，结合 在,上的图象可知 在，内恰有一个极小值点，无极大值点，故 错误；
对于，当,时，,，结合 在,上的图象知 在，上单调递减，故 正确.
6．函数的最小正周期为_ _ .
【答案】
【解析】作出函数 的大致图象，如图所示.根据图象可知 为周期函数，最小正周期为 .
7．如果函数的图象关于点，中心对称，那么的最小值为_ _ _ _ .
【答案】
【解析】由题意得,,解得,,所以当 时，取得最小值，故 的最小值为.
8．[2025·合肥质检]已知函数图象的一条对称轴为直线,当时，的最小值为，则的最大值为_ _ _ _ _ _ .
【答案】
【解析】因为函数 图象的一条对称轴为直线,所以，所以,因为,所以当 时,,所以函数，当 时,,,因为函数 的最小值为,所以,解得,所以 的最大值为.
9．（13分）已知直线是函数图象的一条对称轴，其中,.
（1） 求 的值；（6分）
（2） 当,时，求函数的值域.（7分）
【答案】
（1） 解：由题意得,，
即,，
又,,所以.
（2） 由（1）可知，,
当,时，,,又 在,上单调递增，在,上单调递减，当 时，，所以函数 在,上的最大值为，最小值为,又,,所以当,时，函数 的值域为.
B 综合运用
10．若函数图象上相邻的一个最高点和一个最低点恰好都在圆上，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】选.设相交的最高点，最低点坐标分别为,，则,，又函数 为奇函数，所以，当，即 时，函数 取得最大值，所以,,由题意得，解得（负值已舍去）,则.
11．[2025·赣州模拟]（多选）已知函数,则（ ）
A. 是函数的一个周期 B. 函数的图象关于原点对称
C. 函数的图象过点 D. 函数为上的单调函数
【答案】ABC
【解析】选.对于，,所以 是函数 的一个周期，故 正确；
对于，,故函数 的图象关于原点对称，故 正确；
对于，当 时，,故 正确；
对于，因为,所以,，即,，所以函数 在 上不是单调函数，故 错误.
12．[2025·福州模拟]函数在区间，上单调，其中 为正整数，,且.写出曲线的一个对称中心的坐标为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ；
若为奇函数，则_ _ _ _ _ _ .
【答案】（答案不唯一）；
【解析】因为，,,
所以,在函数 的同一个单调区间上，又,
所以，所以曲线 的一个对称中心的坐标为,.
方法一：因为 在区间，上单调，所以 的最小正周期 ,即 ，所以，又 为正整数，所以,2.
当 时，,
因为点,为曲线 的一个对称中心，所以 ,,即 ,，又,所以.
,不为奇函数，不符合题意，舍去.
当 时，,因为点,为曲线 的一个对称中心，
所以 ,,
即 ,,
又,所以.
,为奇函数，符合题意.所以若 为奇函数，则.
方法二：由 为奇函数,可知函数 图象的一个对称中心是点，，结合图象知，两个对称中心之间的距离是,，为 的最小正周期，所以,,即,,，由 得,,所以,所以,接下来同方法一.
13．（13分）已知函数的最小正周期为 .求：
（1） 及的单调递增区间；（6分）
（2） 图象的对称中心.（7分）
【答案】（1） 解：.因为 的最小正周期为 ，所以 ，所以,所以,令 ,,解得 ,，所以 的单调递增区间为 ,.
（2） 由（1）及题意，令 ,，
解得,，
所以 图象的对称中心为,,.
14．(15分)若函数y＝f(x)满足f(x)＝f(x＋)且f(＋x)＝f(－x)(x∈R)，则称函数y＝f(x)为“M函数”．
(1)试判断y＝sin x是否为M函数，并说明理由；(7分)
(2)若函数f(x)为M函数，且当x∈[，π]时，y＝sin x，求y＝f(x)的解析式，并写出在[0，]上的单调递增区间．(8分)
解：(1)y＝sin x不是M函数，理由如下：
f(x＋)＝sin (x＋)
＝sin (x＋2π)＝sin x＝f(x)，
f(＋x)＝sin ＝sin (＋x)，
f(－x)＝sin (－x)＝sin (－x)，
即f(＋x)≠f(－x)，
故y＝sin x不是M函数．
(2)函数f(x)满足f(x)＝f(x＋)，故f(x)的周期为T＝，
因为f(＋x)＝f(－x)，
所以f(x)＝f(－x)，
当x∈[kπ＋，kπ＋π]时，
f(x)＝f(x－kπ)＝sin (x－kπ)，k∈Z，
当x∈[kπ－，kπ＋)时，
f(x)＝f[－(x－kπ)]
＝sin [－(x－kπ)]
＝cos (x－kπ)，k∈Z.
综上，f(x)＝
在f(x)＝sin (x－kπ)，x∈[kπ＋，kπ＋π]，k∈Z中，
当k＝0时，x∈[，π]，f(x)＝sin x，此时单调递增区间为[，]，在f(x)＝cos (x－kπ)，
x∈[kπ－，kπ＋)，
k∈Z中，当k＝1时，x∈[π，)，
f(x)＝cos (x－π)，
则x－π∈[－，)，当x－π∈[－，0]，
即x∈[π，]时，函数单调递增，经检验，其他区间不是单调递增区间，所以f(x)在[0，]上的单调递增区间为[，]，[π，].
第6讲 函数的图象及应用
课标要求 考情分析
了解函数的实际意义，能借助图象理解参数,,的意义，了解参数的变化对函数图象变化的影响. 命题形式 常以选择题或填空题的形式出现，属中档难度. 常考内容 三角函数图象及图象变换. 创新考法 函数的图象与三角函数式的求值、化简相结合.
必备知识 自主排查
理一理
1．函数 的有关概念
振幅 周期 频率 相位 初相
①_ _ _ _ _ _
【答案】
2．用五点法画一个周期内的简图时，要找五个关键点
②_ _ _ _ _ _ _ _ ③_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ④_ _ _ _ _ _ _ _ ⑤_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ⑥_ _ _ _ _ _ _ _
0
0 0 0
【答案】； ； ； ；
3.函数的图象经变换得到的图象的两种方法
提醒 变换的注意点：无论哪种变换，每一个变换总是针对自变量而言的，即图象变换要看“自变量”发生多大变化，而不是看“ ”的变化.
常用结论
1.函数的图象平移的规律为“左加右减，上加下减”.
2.由到的变换：向左平移个单位长度而非 个单位长度.
3.若函数的最大值为，最小值为，则，.
练一练
1．判断正误（正确的打“√”，错误的打“×”）
（1） 函数的最大值为,最小值为.（ ）
（2） 函数的初相为.（ ）
（3） 把函数的图象上各点的横坐标缩短为原来的,纵坐标不变,所得图象对应的函数解析式为.（ ）
（4） 将函数的图象向右平移个单位长度,得到的图象.（ ）
【答案】（1） ×
（2） √
（3） ×
（4） ×
2．用“五点法”作函数在一个周期内的图象时，第四个关键点的坐标是（ ）
A. ， B. ， C. ， D. ，
【答案】A
【解析】选.令,得.所以该点坐标为,.
3．（必修第一册（2）改编）为了得到函数的图象，只需把函数的图象上所有的点（ ）
A. 横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变
B. 横坐标缩短到原来的，纵坐标不变
C. 纵坐标伸长到原来的2倍，横坐标不变
D. 纵坐标缩短到原来的，横坐标不变
【答案】B
4．为了得到函数的图象，可以将函数的图象向平移_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 个单位长度.
【答案】右； （答案不唯一）
【解析】，故将函数 的图象向右平移 个单位长度即可得到 的图象（答案不唯一）.
5．已知函数,的部分图象如图所示，则_ _ _ _ .
【答案】2
【解析】设 的最小正周期为，根据题图可知，,所以 ，故.
核心考点 师生共研
考点一 五点法作图
［例1］ 用“五点法”画出函数的图象，并指出这个函数的最小正周期与单调区间.
【解】 ，
令,故列表如下，
0
0 2 0 0
在坐标系中描出相应的五点，用平滑的曲线连接起来，向两端伸展一下，如图所示.
从图象观察知该函数的最小正周期为 ，且函数的单调递增区间为 ,，函数的单调递减区间为 ,.
［感悟进阶］
用“五点法”作函数 的简图的关键点
（1）通过变量代换，设 ,由取0,, ,, 来求出相应的.
（2）通过列表，计算得出五点坐标，描点、连线后得出图象，其中相邻两点的横向距离均为.
［对点训练］．已知函数，
请利用“五点法”绘制该函数在一个周期内的图象，并求在区间，上的最值.
解：根据题意，令,则
0
0 2 0 0
得到图象，如图，
由图可知，在区间 上，当 时,取到最大值2；当 时，取到最小值.
考点二 函数的图象及变换
［例2］
（1） [2025·保定期末]（多选）
已知曲线,,则下面结论正确的是（ ）
A. 把曲线向左平移个单位长度，再把得到的曲线上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到曲线
B. 把曲线向左平移个单位长度，再把得到的曲线上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到曲线
C. 把曲线上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线
D. 把曲线上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线
（2） [2024· 新课标Ⅰ卷]当时，曲线与的交点个数为（ ）
A. 3 B. 4 C. 6 D. 8
【答案】（1） AD
（2） C
【解析】
（1） 对于，曲线 向左平移 个单位长度，得到曲线,再把得到的曲线上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到曲线,故 正确；对于，把曲线 向左平移 个单位长度，得到曲线,再把得到的曲线上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到曲线,故 错误；对于，把曲线 上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到曲线,再把得到的曲线向左平移 个单位长度，得到曲线,故 错误；对于，把曲线 上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到曲线，再把得到的曲线向左平移 个单位长度，得到曲线,故 正确.
（2） 因为函数 的最小正周期，所以函数 在 上的图象恰好是3个周期的图象，所以作出函数 与 在 上的图象如图所示，由图可知，这两个图象共有6个交点.
细研真题 本题源自人教版必修第一册例1，考查正弦函数的图象与性质，利用数形结合法求解，研究图象的交点个数.
真题变式．当时，曲线与的交点个数为（ ）
A. 4 B. 5 C. 6 D. 7
【答案】B
【解析】选.由题可得 的最小正周期，所以函数 在 上的图象恰好是3个周期的图象，又其值域为，且,在同一平面直角坐标系内作出 与 的图象，如图所示，由图象可得曲线 与 在 内有5个交点.
［感悟进阶］
三角函数图象平移变换问题的关键及解题策略
(1)确定函数y＝sin x经过平移变换得到的图象对应的解析式，关键是明确平移的方向，即按“左加右减”的原则进行．
(2)已知两个函数解析式判断其图象间的平移关系时，首先要将解析式化为同名三角函数形式，然后再确定平移方向和单位长度．
［对点训练］．
1．[2025·本溪模拟]将函数图象上所有的点向左平移个单位长度，再把所有点的横坐标变为原来的，纵坐标不变，得到函数的图象，则（ ）
A. B. C. D. 1
2．将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，若是奇函数，则_ _ _ _ _ _ .
【答案】1．A
2．
【解析】
1．选.将函数 图象上所有的点向左平移 个单位长度，得到函数 的图象,再把所有点的横坐标变为原来的，纵坐标不变，得到函数 的图象,所以.
2．将函数 的图象向左平移 个单位长度，得到函数 的图象,函数 是奇函数，则 ,,解得,，因为,,所以.
考点三 由图象确定的解析式
［例3］ [2025·长沙适应性考试]如图是函数的部分图象，则该函数的解析式是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】由各选项可知，,.由题图可知，,所以 ，则 ，所以，则.
方法一：因为函数 的图象过点，,所以,,即 ,，所以 ,,
则.
方法二：因为函数 的图象过点,，
且 在函数 的单调递减区间上，
所以 ,，
即 ,.
则.
［感悟进阶］
根据三角函数图象求解析式的三个关键
（1）根据最大值或最小值求出的值.
（2）根据周期求出 的值.
（3）求 的常用方法如下：①代入法：把图象上一个已知点的坐标代入（此时要注意该点的位置）或把图象的最高点或最低点的坐标代入.②五点法：确定 的值时，往往以寻找“五点法”中的特殊点作为突破口.
［对点训练］．
1．（多选）已知函数,,的部分图象如图所示，且图中阴影部分的面积为 ，则下列选项中正确的有（ ）
A.
B.
C. 直线是曲线的一条对称轴
D. 函数是奇函数
2．已知函数,的部分图象如图所示，则取得最小值时的取值集合为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】1．BC
2．,
【解析】
1．选.设函数 的最小正周期为，由题图可知， ，则 ，由 ，得，故.由题图得,所以,即,又,所以,所以，故 错误，正确；因为,为 的最大值，所以直线 是曲线 的一条对称轴，故 正确；,该函数图象不关于原点对称，故 错误.
2．根据题图，可得最小正周期 ,故,所以,因此,由题图知函数 的图象经过点,,得,所以,由,得,所以,所以,当,即 时，取得最小值.此时 的取值集合为,.
课后达标 分级演练
A 基础达标
1．函数在区间,上的简图是 （ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】选.令 得，排除,选项;令，得，令，得，排除 选项，经检验，符合题意.
2．要得到函数的图象，只需将的图象（ ）
A. 向左平移个单位长度 B. 向右平移个单位长度
C. 向左平移个单位长度 D. 向右平移个单位长度
【答案】D
【解析】选.因为,所以将 的图象向右平移 个单位长度即可得到 的图象.
3．已知函数,若将的图象向右平移个单位长度后,再把所得曲线上所有点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变）,得到函数的图象,则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】选.将函数 的图象向右平移 个单位长度后,得到函数 的图象，再把 图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到函数 的图象.
4．已知函数的最小正周期为 .将的图象向左平移个单位长度，所得图象关于轴对称，则 的一个值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】选.由题意得， ，得,所以,将 的图象向左平移 个单位长度，得 的图象,因为 的图象关于 轴对称，所以 ,，
则,，当 时，.
5．（多选）下列能把函数的图象变为的图象的变换是（ ）
A. 把函数图象上所有点的横坐标和纵坐标都变为原来的倍，再向右平移个单位长度
B. 把函数图象向右平移个单位长度，再把所有点的横坐标和纵坐标都变为原来的倍
C. 把函数图象向左平移个单位长度，再把所有点的横坐标和纵坐标都变为原来的倍
D. 把函数图象向右平移个单位长度，再把所有点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标变为原来的倍
【答案】ABC
【解析】选.对于,把函数 的图象上所有点的横坐标和纵坐标都变为原来的 倍，再向右平移 个单位长度，得到 的图象，故 正确；
对于，把函数 的图象向右平移 个单位长度，再把所有点的横坐标和纵坐标都变为原来的 倍，可得 的图象,故 正确；
对于，把函数 的图象向左平移 个单位长度，再把所有点的横坐标和纵坐标都变为原来的 倍，可得 的图象,故 正确；
对于，把函数 的图象向右平移 个单位长度，再把所有点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标变为原来的 倍，可得 的图象，故 错误.
6．函数，的部分图象如图所示，则函数的解析式为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】
【解析】根据题图，可得，
即，解得.点，是五点法中的第二个点，则，
解得，满足，
所以.
7．已知函数的最大值为4，最小值是0，最小正周期是，直线是其图象的一条对称轴，若,,,则函数解析式为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】
【解析】依题意，得,,
,所以,
所以,,
即,.
因为,所以当 时,，
所以函数解析式为.
8．[2025·达州模拟]将函数的图象向左平移个单位长度得到函数的图象.若,则的最小值为_ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】
【解析】,的图象向左平移 个单位长度所得图象的函数解析式为,,故,
故 ,，解得 ,，又，故当 时，取得最小值，最小值为.
B 综合运用
9．[2025·海口模拟]（多选）函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A.
B.
C. 的图象关于直线对称
D. 将函数的图象向右平移个单位长度所得图象的函数解析式为
【答案】AC
【解析】选.对于，，由题图可知，，解得 ，,
即，
又,所以,
即 ,,
解得 ，,
因为 ,所以,
故,故 正确，错误；
对于，由于,即 的图象关于直线 对称，故 正确；
对于，将函数 的图象向右平移 个单位长度所得图象的函数解析式为,故 错误.
10．如图，将绘有函数部分图象的纸片沿轴折成直二面角，若点，之间的空间距离为，则_ _ _ _ _ _ .
【答案】
【解析】设函数 的最小正周期为，由题设并结合题图可知，
,
得,又，则,
故，
所以.
11．如图，函数,的图象与轴的交点为，与直线,的交点分别为，，，.若梯形的面积为 ，则_ _ _ _ _ _ .
【答案】
【解析】如图，
设 的图象与 轴交于点，，根据对称性知，是梯形 的中位线.由题意得 ,
即 ,所以.
因此, ,,
故.
又,即,
得.
因为,,所以,
所以.
则.
12．（13分）把函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，函数的图象关于直线对称，记函数
（1） 求函数的最小正周期和单调递增区间；（6分）
（2） 用“五点法”画出函数在区间，上的大致图象.（7分）
【答案】
（1） 解：由题意知,
因为函数 的图象关于直线 对称，
所以，
即，又,
所以,则，
则
,
则函数 的最小正周期 .
令，得，
故函数 的单调递增区间是 ,.
（2） 列表如下，
0
2 1 1 3 2
描点并用光滑的曲线连接可得 在区间，上的大致图象如下.
13．（15分）已知函数,,的部分图象如图所示.
（1） 求的最小正周期及函数解析式；（7分）
（2） 将函数的图象向右平移个单位长度得到函数的图象，求函数在区间，上的最大值和最小值.（8分）
【答案】
（1） 解：由题图可知，的最大值为1，最小值为，故.
设 的最小正周期为，因为，所以 ，又,
所以，所以，
将点,代入，
得,
所以 ,，
解得 ,,
因为,所以,
故.
（2） 将 的图象向右平移 个单位长度得到 的图象.
因为,,所以,,
所以当,
即 时，，
当,即 时，.
综上，函数 在区间，上的最大值为1，最小值为.
第7讲 三角函数图象与性质的综合应用
考点一 三角函数图象与性质的综合应用
［例1］ （多选）已知函数，其部分图象如图所示，则下列关于的结论正确的是（ ）
A. 在区间，上单调递增
B. ，
C. 若是偶函数，则正实数的最小值为
D. 的图象可由函数图象上所有点的纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，再把所得图象向右平移个单位长度得到
【解析】　由题图可知，A＝2，设函数f(x)的最小正周期为T，则＝－＝π，所以T＝4π，所以ω＝＝，由图象过点，可得当x＝时，×＋φ＝＋2kπ(k∈Z)，则φ＝＋2kπ(k∈Z)，又因为0<φ<π，所以φ＝，所以f(x)＝2sin (＋)，令－＋2kπ≤＋≤＋2kπ(k∈Z)，则－＋4kπ≤x≤＋4kπ(k∈Z)，所以f(x)在区间[－＋4kπ，＋4kπ](k∈Z)上单调递增，令当k＝1时，f(x)在区间[，]上单调递增，A正确；
令＋＝kπ＋，k∈Z，故f(x)图象的对称轴为直线x＝＋2kπ(k∈Z)，当k＝－1时，x＝－是f(x)图象的一条对称轴，所以f(－＋x)＝f(－－x)，所以f(x)＝f(－－x)成立，B正确；
若f(x＋m)＝2sin (＋＋)是偶函数，则＋＝kπ＋，k∈Z，即m＝＋2kπ(k∈Z)，当k＝0时，m取最小正实数，C正确；
函数y＝2sin (x＋)图象上所有点的纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，得到y＝2sin (x＋)的图象，再把所得图象向右平移个单位长度得到y＝2sin [(x－)＋]＝2sin (x＋)与f(x)不符，D错误．
【答案】　ABC
［感悟进阶］
三角函数图象与性质综合问题的求解思路
（1）将函数整理成的形式.
（2）把 看成一个整体.
（3）借助正弦函数的图象与性质（如定义域、值域、最值、周期性、对称性、单调性等）解决相关问题.
［对点训练］
1．[2025·甘肃诊断考试]（多选）已知函数在一个周期内的图象如图所示，图象与轴的交点为，则下列结论正确的是（ ）
A. 的最小正周期为
B. 的最大值为2
C. 直线是图象的一条对称轴
D. 在区间，上单调递增
【答案】ABD
【解析】选.对于,设函数 的最小正周期为.由题中图象可知，解得 ，故 正确;
对于，因为，由 可得.故.因为当 时，取得最大值，且,所以,即,因为 ,所以,所以.又函数 经过点，所以,解得.故 的最大值为2，故 正确；
对于，，由上述分析可知，当 时，,点，是函数 图象的对称中心，直线 不是函数 图象的对称轴.故 错误；当,时，,,令,因为 在，上单调递增，所以 在区间，上单调递增，故 正确.
2．已知函数的部分图象如图所示，其中阴影部分的面积为，则不等式的解集为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】,，
【解析】如图所示，由对称性可得题中阴影部分的面积等于矩形 的面积，所以，所以 的最小正周期,解得,
所以.
将点，代入，得,所以 ,，所以 ,.
因为,所以,
所以.
又,所以,所以 ,,解得,，即不等式 的解集为,，.
考点二 三角函数零点问题
［例2］ 将函数的图象向左平移个单位长度后，所得图象对应的函数是奇函数，函数.若关于的方程在内有两个不同的解 , ，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】将函数 的图象向左平移 个单位长度后，可得到函数 的图象，因为平移后所得图象对应的函数是奇函数，所以 ,,即,,又,所以,即.
由题意知 在 内有两个不同的解 ， ，即 在 内有两个不同的解 ， ，即方程 在 内有两个不同的解 ， .
所以,,因为 ，，所以,,所以 ,则,.
［感悟进阶］
巧用图象解决三角函数中的零点（方程根）问题
解决三角函数中的零点（方程根）问题的关键是根据条件作出对应函数的图象，然后再将方程根的问题转化为图象的交点问题，利用数形结合思想求解.
［对点训练］．已知函数，若关于的方程在，上有两个不同的根，则实数的取值范围是（ ）
A. ， B. ， C. ， D. ，
【答案】C
【解析】选.如图，作出函数,,的图象及直线.由图可知，当,时，直线 与曲线,,的图象有两个交点，即关于 的方程 在区间，上有两个不同的根.所以实数 的取值范围为,.
考点三 三角函数模型的应用
[例3]　(多选)筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，农业生产中至今还在使用(图1).一半径为2 m的筒车水轮如图2所示，水轮圆心O距离水面1 m．已知水轮每60 s逆时针匀速转动一圈，如果当水轮上点P从水中浮现时(图2中点P0)开始计时，则下列结论正确的是(　　)
A．点P再次进入水中时用时30 s
B．当水轮转动50 s时，点P处于最低点
C．当水轮转动150 s时，点P距离水面2 m
D．点P第二次到达距水面(1＋) m时用时25 s　
【解析】　由题意，角速度ω＝＝(rad/s)，又由水轮的半径为2 m，且圆心O距离水面1 m，可知半径OP0与水面所成角为，点P再次进入水中用时为＝40(s)，故A错误；
当水轮转动50 s时，半径OP0转动了50×＝(rad)，而－＝，点P正好处于最低点，故B正确；
建立如图所示的平面直角坐标系，设点P距离水面的高度H＝A sin (ωt＋φ)＋B(A>0，ω>0)，
由
得又角速度ω＝(rad/s)，
当t＝0时，∠xOP0＝，
所以ω＝，φ＝－，
所以点P距离水面的高度H＝2sin (t－)＋1，
当水轮转动150 s时，将t＝150代入，得H＝2，所以此时点P距离水面2 m，故C正确；
将H＝1＋代入H＝2sin (t－)＋1中，
得t－＝2kπ＋(k∈N)或t－＝2kπ＋(k∈N)，
即t＝60k＋15(k∈N)或t＝60k＋25(k∈N).
所以点P第二次到达距水面(1＋) m时用时25 s，故D正确．
【答案】　BCD
［感悟进阶］
利用三角函数模型解决实际问题的步骤
（1）寻找与角有关的信息，确定选用正弦、余弦还是正切型函数模型.
（2）寻找数据，建立函数解析式进行解题.
（3）将所得结果“翻译”成实际答案，要注意根据实际作答.
解题思路如下：
［对点训练］．某地农业监测部门统计发现：该地区近几年的生猪收购价格每四个月会重复出现.如表所示是今年前四个月的统计情况.
月份 1 2 3 4
收购价格（元/斤） 6 7 6 5
选用一个正弦型函数来近似描述收购价格（单位：元/斤）与相应月份之间的函数关系为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】（答案不唯一）
【解析】设,
由题意得，，，
因为,所以,
所以.
因为当 时，,所以,
即 ,,
可取,所以.
课后达标 分级演练
A 基础达标
1．某智能主动降噪耳机工作的原理是利用芯片生成与噪声的相位相反的声波，通过两者叠加完全抵消掉噪声(如图).已知噪声的声波曲线y＝A sin (ax＋φ)(其中A>0，a>0，0≤φ<2π)的振幅为1，周期为π，初相为，则用来降噪的声波曲线的解析式为(　　)
A．y＝sin 2x B．y＝cos 2x
C．y＝－sin 2x D．y＝－cos 2x
解析：选D.由已知可得A＝1，T＝π，φ＝，则a＝2，所以噪声的声波曲线为y＝sin (2x＋)，所以用来降噪的声波曲线的解析式为y＝－sin (2x＋)＝－cos 2x.
2．已知函数的图象是由函数的图象向左平移个单位长度得到的，若,则 的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】选.由题意得，.
因为,所以.
故可得,或,，
解得 ，或 ，，
又,所以.
3．[2025·南京、盐城调研测试]（多选）设，，为函数图象上三点，其中,,,已知，是函数的图象与轴的两个相邻交点，是图象在，之间的最高点，若，的面积是，点的坐标是，，则（ ）
A.
B.
C.
D. 函数在，间的图象上存在点，使得
【答案】BCD
【解析】选.记 的最小正周期为.如图，显然，，
，，，，
所以，
所以，.
因为 的面积是，所以,
即，联立 解得 故 错误；
由，得,故 正确；
由，，得 ,
即， ,,
得 ,,因为,解得,故 正确；
易得，，，，，的中点为，，故以 为直径的圆在点 的下方，作出以 为直线的圆，记以 为直径的圆与 的图象有交点，，故当点 位于 图象上的曲线段 或曲线段 上时，有,从而函数 在，间的图象上存在点，使得,故 正确.
4．（多选）已知函数,则下列说法正确的是（ ）
A. 函数的最小正周期为
B. 直线为函数图象的一条对称轴
C. 函数在，上单调递减
D. 函数在上有3个零点
【答案】BC
【解析】选.对于,由题意得,所以 的最小正周期 ，故 错误；
对于,,所以直线 为函数 图象的一条对称轴,故 正确；
对于,因为,,所以,,所以函数 在，上单调递减，故 正确；
对于,令,即,即,因为 ,所以,令,得,,则,所以将 项的问题转化为,,的图象与直线 的交点个数问题，如图所示，观察可知，图象有2个交点,所以 在 上有2个零点，故 错误.
5．写出一个同时具有下列性质①②③，且定义域为实数集的函数_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
①最小正周期为2；;③无零点.
【答案】 （答案不唯一）
【解析】 的定义域为，最小正周期为，.
因为,所以,
所以 无零点，
综上，符合题意.
6．如图，某地一天从时的温度变化曲线近似满足函数，则这段曲线的函数解析式为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】，
【解析】从题图中可以看出，时的图象是函数 半个周期的图象，所以，，，所以.又 ，,解得 ,,因为 ，所以，所以，.
7．函数的部分图象如图中实线所示，图中圆与的图象交于，两点，则_ _ _ _ _ _ .
【答案】
【解析】由题图可知，关于点 对称，
易得，，所以 的最小正周期 满足，则 .
又因为，所以,
所以.
因为函数图象经过点，，
所以,
即,所以 ,,.又因为 ,所以,
所以，
所以.
8．[2025·绵阳一诊]（13分）已知函数,的最小正周期为，且.
（1） 求函数的解析式；（6分）
（2） 函数的图象是由函数的图象向左平移个单位长度得到的，若,求 的最小值.（7分）
【答案】
（1） 解：因为,且,解得.
因为,
所以 ,,
解得 ,,又,
则,所以.
（2） 由题意可知,
因为,
，由,
即,
可知 ,，
解得,，且，
所以 的最小值为.
B 综合运用
9．[2025·河南质检]函数,,的部分图象如图所示，图象与轴的交点为，，与轴的交点为，最高点，且满足.则下列说法正确的是（ ）
A.
B. 函数在上单调递减
C. 若,则的最小值是1
D. 把的图象向左平移1个

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