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第一章 集合、常用逻辑用语与不等式
第1讲　集合
课标要求 考情分析
1.了解集合的含义，元素与集合的属于关系，能用列举法或描述法表示集合． 2．理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集；了解全集与空集的含义． 3．理解并会求并集、交集、补集，能用Venn图表示集合的关系与运算． 命题形式　多以选择题的形式出现，试题难度较低． 常考内容　集合的基本运算． 创新考法　将集合与函数、不等式等知识融合命题．
1．集合与元素
(1)集合元素的特征：确定性、____________、无序性．
(2)元素与集合的关系是____________或不属于，表示符号分别为∈和 .
(3)集合的表示方法：________________、 ____________、图示法．
(4)常见数集的记法
集合 非负整数集 (或自然数集) 正整数集 整数集 有理 数集 实数集
符号 N N*或N＋ Z Q R
2.集合间的基本关系
提醒　(1)空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，应时刻关注对空集的讨论；
(2)任何集合都是自身的子集，即A A.
3．集合的基本运算
类别 集合的并集 集合的交集 集合的补集
符号 表示 A∪B A∩B 若全集为U，则集合A的补集为 UA
图形 表示
集合 表示 {x|x∈A， 或x∈B} ________ __________ {x|x∈U， 且x A}
常用结论　
1．子集的传递性：A B，B C A C.
2．若有限集合A中有n(n∈N*)个元素，则A的子集有2n个，真子集有2n－1个，非空真子集有2n－2个．
3．等价关系：A B A∩B＝A A∪B＝B UA UB.　
[答案自填]
描述法　任意一个　A B　B A
x A　A?B　B?A　{x|x∈A，且x∈B}
核心考点 师生共研
考点一 集合的基本概念
［例1］
（1） 已知集合，且,,则（ ）
A. B. C. D.
（2） 设,，集合,,,则_ _ _ _ .
【答案】（1） D
（2） 0
【解析】
（1） 因为,所以,解得,又因为,所以,解得,所以.
（2） 由题意知,所以,则,所以,.故.
［感悟进阶］
解决与集合中元素有关的问题的一般思路
［对点训练］
[对点训练]　1.(2025·乐山模拟)已知集合A＝{(x，y)|x2＋y2≤10，x∈N*，y∈N*}，则集合A中元素的个数为(　　)
A．9 B．8 C．6 D．5
【答案】C
【解析】选.,,,,,,共6个元素.
2．已知集合,,,若,则实数的值为（ ）
A. 1 B. 1或0 C. 0 D. 或0
【答案】C
【解析】选.因为,若,即，此时,,,不符合集合中元素的互异性；若,即（舍去）或，此时,,，故.
考点二 集合间的基本关系
［例2］
（1） [2025·南通模拟]已知集合,,,,则（ ）
A. B. C. D.
（2） 已知集合,.若，则实数的取值范围是_ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】（1） A
（2）
【解析】
（1） ,,,,,,因为,表示所有的奇数，而,表示所有的整数，则.
（2） 由题意可知，，.当 时,,满足;当 时，因为，所以.综上，实数 的取值范围是.
［感悟进阶］
（1）空集是任何集合的子集，在涉及集合关系问题时，必须考虑空集的情况，否则易造成漏解.
（2）求参数的方法：将两集合间的关系转化为元素或区间端点间的关系，表示为参数满足的关系.解决这类问题还要合理利用数轴、图化抽象为直观进行求解.
［对点训练］
1．[2025·浙江模拟]已知集合,，若,则集合的个数为（ ）
A. 4 B. 6 C. 7 D. 8
【答案】C
【解析】选.因为，所以 可以是，,,,,,,共7个.
2．[2025·南宁适应性测试]已知集合,,,，且,则的取值集合为（ ）
A. B. ， C. ， D. ，0，
【答案】D
【解析】选.当 时， ,满足;当 时，,又,所以 或,所以 或.故满足题意的 的所有取值组成的集合是.
考点三 集合的基本运算
角度1　集合的基本运算
[例3]　(1)(2025·全国二卷)已知集合A＝{－4，0，1，2，8}，B＝{x|x3＝x}，则A∩B＝(　　)
A．{0，1，2} B．{1，2，8}
C．{2，8} D．{0，1}
(2)(2025·海南模拟)如图，已知全集U＝R，集合A＝{x|(2x－3)(x＋1)≤0}，B＝{x|x>0}，则图中阴影部分表示的集合为(　　)
A．{x|x≤－1}
B．{x|x<－1}
C．{x|x≤0或x>}
D．{x|x<0或x>}
【解析】　(1)通解：因为A＝{－4，0，1，2，8}，B＝{x|x3＝x}＝{－1，0，1}，所以A∩B＝{0，1}．故选D.
快解(排除法)：因为2不满足x3＝x，所以2 B，故2 (A∩B)，排除A，B，C.故选D.
(2)依题意，集合A＝{x|－1≤x≤}，B＝{x|x>0}，则A∪B＝{x|x≥－1}，故题图中阴影部分表示的集合为 U(A∪B)＝{x|x<－1}．
【答案】　(1)D　(2)B
［感悟进阶］
集合基本运算的步骤
注意 对于集合中的运算，如果集合中的元素是离散的，用图表示；如果集合中的元素是连续的，用数轴表示，此时要注意端点的情况.
角度2 利用集合的运算求参数
［例4］ [2025·合肥质检]已知集合,，若 ,则实数的取值范围是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】
【解析】由题意得，集合,集合,因为 ,所以 或,解得 或,则实数 的取值范围是.
［感悟进阶］
利用集合的运算求参数的方法
（1）与不等式有关的集合，一般利用数轴解决，要注意端点值的取舍.
（2）若集合中的元素能一一列举，则一般先用观察法得到集合中元素之间的关系，再列方程（组）求解.
注意 在求出参数后，注意结果的验证（满足集合中元素的互异性）.
［对点训练］
1．[2023·全国甲卷]设全集,集合，,则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】选.由题意得，.又,所以.
2．设集合,,则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】选.方法一：因为,,所以,.
方法二（排除法） 因为,所以，又,所以,故排除,；因为,所以,又，所以,故排除.
3．[2025·西安五校联考]已知集合,.若,则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】选.因为集合,或,且,所以 解得,即 的取值范围是.
培优点 集合的新定义
［典例］
（1） 设是一个数集，且至少含有两个数，若对任意,，都有,,,（除数），则称是一个数域，则下列集合为数域的是（ ）
A. B.
C. D. ,}
（2） 定义,,叫做集合的对称差，若集合,，则_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】（1） C
（2）
【解析】
（1） 1,，，故 不是数域，选项错误，同理 选项错误；对任意,，都有,,,（除数），故 是一个数域，选项正确；对于集合,，，取，，则，故,}不是数域，选项错误.
（2） 由题得,则,，故，,
［感悟进阶］
解决集合新定义问题的注意点
（1）紧扣新定义：首先分析新定义的特点，把新定义所叙述的问题的本质弄清楚，应用到具体的解题过程中.
（2）用好集合的性质：解题时要善于从试题中发现可以使用集合性质的一些因素.
［对点训练］．设，,,记,,则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】选.设 中元素为,由方程,,解得,同理,所以.
课后达标 分级演练
A 基础达标
1．[2025· 八省联考]已知集合,0,，，则（ ）
A. B.
C. D. ，0，1，
【答案】C
【解析】选.因为集合，0，，，1，，所以，.
2．(2025·全国一卷)已知集合U＝{x|x是小于9的正整数}，A＝{1，3，5}，则 UA中元素的个数为(　　)
A．0 B．3 C．5 D．8
解析：选C.由题知U＝{1，2，3，4，5，6，7，8}，所以 UA＝{2，4，6，7，8}，有5个元素．故选C.
3．[2023·新课标Ⅱ卷]设集合,,,,,若,则（ ）
A. 2 B. 1 C. D.
【答案】B
【解析】选.由题意，得.又,,，所以 或.当 时，,此时,,,不满足,舍去；当 时，,此时,,,,，满足.综上所述，.
4．已知全集，集合,，则图中阴影部分表示的集合为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】选.由题图知，阴影部分表示的集合为,又,所以，或,又,所以.
5．[2025·贵阳段考]已知集合,,则的非空真子集个数为（ ）
A. 13 B. 14 C. 15 D. 16
【答案】B
【解析】选.因为 所以当 时，函数单调递增，当 时，函数单调递减.
又 表示以 为圆心，半径为2的圆，如图所示，根据图象可知，两图象共有4个交点，
所以 有4个元素，非空真子集个数为.
6．已知集合,,,且中只有一个元素，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】选.由题意得,,2,4,6,8,,,由于 中只有一个元素，所以,，因此，得.
7．定义集合，的一种运算：,,,若,,,则中的元素个数为（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】C
【解析】选.因为,,,当,时，；当,时，；当,时，；当,时，,所以,,,故 中的元素个数为3.
8．（多选）已知全集，集合,,,0,1,,则下列结论正确的是（ ）
A. B.
C. D. 的真子集个数是7
【答案】ACD
【解析】选.,}=,,,0,1,,,故 正确；,},故 错误；,,所以,故 正确；由，得 的真子集个数是.故 正确.
9．[2025·枣庄段考]（多选）已知全集为，集合，，均为的子集.若 ， , ,则下列说法一定正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】AD
【解析】选.
由题意得，又，所以,故 正确；符合题意的集合，，及全集 的关系可用如图所示的 图表示，由图可知 不是 的子集，故 错误；集合 与全集 不一定相等，故 错误；由 ，可得 ，故 正确.
10．设集合,若,则_ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】1或
【解析】由题意得,,则 或,解得 或.
11．[2025·厦门模拟]设集合，集合},若，则符合条件的集合_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
（写出一个即可）
【答案】（答案不唯一）
【解析】由题意知，,,若,则可有.
12．[2025·安徽模拟]已知集合，，若，则实数的取值范围为_ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】
【解析】由题意知，，
由，可得，
若，则 ，符合题意.
当 时，，要使，则 解得，因此,综上，实数 的取值范围为.
B 综合运用
13．（多选）设，是的两个子集，对任意,定义：若对任意,,则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】AC
【解析】选.因为 且对任意，,所以,的值一个为0时，另一个为1,即 时，或 时，，所以 或.
14．某中学为了了解本校学生“扫码支付”与“共享单车”的使用情况，随机调查了100位学生，其中使用过扫码支付或共享单车的学生共有90位，使用过扫码支付的学生共有80位，使用过共享单车且使用过扫码支付的学生共有60位，则这100位学生中使用过共享单车的学生共有________位．
解析：根据题意得如图所示的Venn图．使用过共享单车或扫码支付的学生共有90位，使用过扫码支付的学生共有80位，则只使用过共享单车的学生有90－80＝10(位).又使用过共享单车且使用过扫码支付的学生共有60位，则这100位学生中使用过共享单车的学生人数为10＋60＝70.
答案：70
第2讲 常用逻辑用语
课标要求 考情分析
1.理解充分条件、必要条件、充要条件的意义. 2.理解全称量词与存在量词的意义,能正确地对全称量词命题和存在量词命题进行否定. 命题形式 以选择题为主，难度为中等偏易. 常考内容 充分、必要条件的判断. 创新考法 与集合的子集、函数、不等式或空间位置关系的判定等相关知识结合考查.
必备知识 自主排查
理一理
1．充分条件、必要条件与充要条件
命题真假 “若，则”为真命题 “若，则”为假命题 “若，则”和“若，则”都是真命题
推出关系
条件关系 是的①_ _ 条件 不是的②_ _ 条件 是的③_ _ _ _ _ _ _ _ 条件
【答案】充分； 充分； 充分必要
2.全称量词与存在量词
全称量词：短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“ ”表示.
存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“ ”表示.
3．全称量词命题和存在量词命题的否定
名称 全称量词命题 存在量词命题
结构 对中任意一个，成立 存在中的元素，成立
简记 ， ,
否定 ④_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ⑤_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
【答案】，； ，
常用结论
1.充分条件、必要条件与对应集合之间的关系：设非空集合,非空集合,
（1）若是的充分条件，则;
（2）若是的充分不必要条件，则；
（3）若是的必要不充分条件，则；
（4）若是的充要条件，则.
2.是的充分不必要条件，等价于是的充分不必要条件.
3.命题和的真假性相反，若判断一个命题的真假有困难，可判断此命题的否定的真假.
练一练
1．判断正误（正确的打“√”，错误的打“×”）
（1） 全称量词命题一定含有全称量词.（ ）
（2） “有些三角形中三个内角相等”是存在量词命题.（ ）
（3） 当是的必要条件时，是的充分条件.（ ）
（4） 已知集合，，的充要条件是.（ ）
【答案】（1） ×
（2） √
（3） √
（4） √
2．若命题,,则是（ ）
A. , B. ,
C. , D. ,
【答案】D
【解析】选.对全称量词命题的否定既要否定量词又要否定结论，则 是,.
3．[2024·天津卷]设,，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】选.由函数 单调递增可知，若,则；由函数 单调递增可知，若，则.故“”是“”的充要条件.
4．（必修第一册P21例3（3）改编）“”是“,”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】选.因为,,且,,所以“”是“,”的必要不充分条件.
5．（用结论）若“,”是假命题，则实数的取值范围是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】
【解析】由题意得,为真命题，
所以,
解得.
核心考点 师生共研
考点一 充分条件、必要条件的判定
［例1］ [2023· 新课标Ⅰ卷]记为数列的前项和，设甲：为等差数列；乙：为等差数列，则（ ）
A. 甲是乙的充分条件但不是必要条件
B. 是是乙的必要条件但不是充分条件
C. 甲是乙的充要条件
D. 甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
【答案】C
【解析】若 为等差数列，设其公差为，则，所以，所以，所以，为常数，所以 为等差数列，即甲 乙，充分性成立；若 为等差数列，设其公差为，则，所以，所以当，时，，当 时，也满足上式，所以，所以，为常数，所以 为等差数列，即乙 甲，必要性成立.所以甲是乙的充要条件.
细研真题 本题源于教材人教版选择性必修第二册.对于数列这部分知识，等差数列、等比数列常通过类比的方法来相互研究，相互补充，甚至相互转化，对此我们进行下面变式.
真题变式．记为正项数列的前项积，若甲：为等比数列；乙：{为等差数列，则（ ）
A. 甲是乙的充分条件但不是必要条件
B. 甲是乙的必要条件但不是充分条件
C. 甲是乙的充要条件
D. 甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
【答案】D
【解析】选.由题可得，设正项等比数列 首项为，公比为，则,
所以
,
则,
当 时，,
,
此时{为等差数列，当 时，是一个关于 的二次函数式，不满足等差数列的通项公式所具有的结构特征，充分性不成立；若{为等差数列，设其公差为,则,所以,因为 为正项数列 的前 项积，所以当 时，,所以,所以，所以数列 从第二项起是常数列，可认为 从第二项起是等比数列，但由于 未知，若,则 是等比数列，若，则 不是等比数列，必要性不成立.故甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件.
［感悟进阶］
充分条件、必要条件的两种判定方法
(1)定义法：根据p q，q p进行判断，适用于与定义、定理有关的判断性问题．
(2)集合法：根据p，q成立时对应集合之间的包含关系进行判断，多适用于条件中涉及参数范围的推断问题．
［对点训练］
1．[2024·北京卷]设，是向量，则“”是“或”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】选.由，得,即,所以,当,时，，但 且,故充分性不成立；当 或 时，，故必要性成立.所以“”是“或”的必要不充分条件.
2．设，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】选.由 可得，解得，所以由 可推出,故充分性成立；由 推不出，故必要性不成立，所以“”是“”的充分不必要条件.
3．[2025·青岛模拟]已知直线,和平面 , , ,则“ ”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】选.当 时，与 平行或异面，充分性不成立；当 时，因为 , ,则 ,必要性成立，所以“ ”是“”的必要不充分条件.
考点二 充分条件、必要条件的探究与应用
［例2］ （多选）若“或”是“”的必要不充分条件，则实数的值可以是（ ）
A. 3 B. C. 5 D.
【答案】BCD
【解析】令 或，,因为“或”是“”的必要不充分条件，所以，所以 或，解得 或，结合选项可知符合题意的有，，.
［感悟进阶］
探求充分条件、必要条件的两种方法
(1)直接根据充分条件、必要条件的定义进行判断．
(2)先求出结论成立的充要条件，再将充要条件对应的范围缩小即得该结论成立的一个充分不必要条件；将充要条件对应的范围扩大即得该结论成立的一个必要不充分条件．
［对点训练］
1．[2025·大连模拟]“函数是奇函数”的充要条件是实数_ _ _ _ .
【答案】0
【解析】若 为奇函数，则,所以,即,所以.
2．若关于的不等式成立的充分条件是，则实数的取值范围是_ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】
【解析】因为不等式 成立的充分条件是，设不等式的解集为，所以，当 时， ，不满足要求；当 时，,所以 解得，故实数 的取值范围是.
考点三 全称量词命题与存在量词命题
角度1 含量词命题的真假判定与否定
［例3］
（1） [2025·青岛模拟]已知命题,,,则为（ ）
A. ,, B. ,,
C. ,, D. ,,
（2） [2024· 新课标Ⅱ卷]已知命题，；命题，.则（ ）
A. 和都是真命题 B. 和都是真命题
C. 和都是真命题 D. 和都是真命题
【答案】（1） D
（2） B
【解析】
（1） 命题,,为全称量词命题，则 为,,.
（2） 通解：因为，，所以命题 为假命题，所以 为真命题.令，所以，所以，即，解得 或 或，所以，使得，所以命题 为真命题，所以 为假命题，所以 和 都是真命题．优解（特殊值法）：在命题 中，当 时，，所以命题 为假命题，为真命题.在命题 中，因为立方根等于本身的实数有，0，1，所以，使得，所以命题 为真命题，为假命题，所以 和 都是真命题．
［感悟进阶］
(1)判断含量词命题真假的方法
判定全称量词命题“ x∈M，p(x)”是真命题，需要对集合M中的每一个元素x，证明p(x)成立；要判定存在量词命题“ x∈M，p(x)”是真命题，只要在集合M内找到一个x，使p(x)成立即可．
(2)全称量词命题与存在量词命题的否定
①改写量词，即确定命题所含量词的类型，省去量词的要先结合命题的含义加上量词，再对量词进行改写．
②否定结论，即对原命题的结论进行否定．
角度2 含量词命题的应用
［例4］
（1） 若“，”是假命题，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
（2） 已知命题,;命题,.若命题,都是真命题，则实数的取值范围为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】（1） B
（2）
【解析】
（1） 若“，”是假命题，则“,”为真命题，对于函数,当 时，函数取得最小值1,所以，故实数 的取值范围是.
（2） 若命题 为真，则.若命题 为真，则，即 或.综上，实数 的取值范围是.
［感悟进阶］
根据命题真假求参数取值范围的策略
(1)善于转化：全称量词命题为真可转化为恒成立问题，存在量词命题为真可转化为能成立问题，命题为真可转化为其否定为假，命题为假可转化为其否定为真．
(2)建立关系：根据题意建立方程或不等式(组)，求解即得参数的取值范围．
[对点训练]　1.(多选)下列说法正确的是(　　)
A．“菱形是正方形”是全称量词命题
B．“ x，y∈R，x2＋y2≥0”的否定是“ x，y∈R，x2＋y2<0”
C．命题“有一个奇数不能被3整除”的否定是“有一个奇数能被3整除”
D．“A＝B”是“sin A＝sin B”的必要不充分条件
解析：选AB.对于A，“菱形是正方形”即是“所有的菱形都是正方形”，是全称量词命题，A正确；
对于B， x，y∈R，x2＋y2≥0的否定是 x，y∈R，x2＋y2<0，B正确；
对于C，命题“有一个奇数不能被3整除”的否定是“所有的奇数能被3整除”，C错误；
对于D，由A＝B可得sin A＝sin B，当sin ＝sin ，A＝，B＝时，A≠B，故“A＝B”是“sin A＝sin B”的充分不必要条件，D错误．
2．若“,”为真命题，则实数的最小整数值是（ ）
A. B. 0 C. 1 D. 3
【答案】A
【解析】选.由题意，,,令,，因为函数 在 上单调递减，在 上单调递增，所以,所以.所以实数 的最小整数值是.
课后达标 分级演练
A 基础达标
1．下列命题中既是全称量词命题，又是真命题的是（ ）
A. 菱形的四条边都相等 B. ，使为偶数
C. ， D. 是无理数
【答案】A
【解析】选.对于，所有菱形的四条边都相等，是全称量词命题，且是真命题.
对于，，使 为偶数，是存在量词命题.
对于,，，是全称量词命题，当 时，，故是假命题.
对于, 是无理数，是真命题，但不是全称量词命题.
2．命题“，，使得”的否定是（ ）
A. ,,使得 B. ,,使得
C. ,,使得 D. 以上选项都不正确
【答案】B
【解析】选.“，，使得”的否定是“,，使得”.
3．[2025·朔州模拟]设,,则“且”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】选.若 且,则,即充分性成立；若，例如,,满足,但不满足 且，即必要性不成立.综上所述，“且”是“”的充分不必要条件.
4．[2025·连云港调研]设,为非零向量，则“”是“存在负数 ,使得”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】选.由，可得，的夹角为钝角或 ，不能推出存在负数 ，使得,充分性不成立；由存在负数 ,使得,可得,共线且反向，夹角为 ,则,故必要性成立，所以“”是“存在负数 ，使得”的必要不充分条件.
5．[2025· 贵阳适应性考试]已知直线,的倾斜角分别为 , ，则“ ”是“ ”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】选.由题意知， ,,所以若 ,则 ;若，则不存在 , ，就不可能得到 .所以“ ”是“ ”的必要不充分条件.
6．已知命题,;命题，.若和均为真命题，则实数的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】选.由 为真命题，可知对于方程,,解得.由 为真命题，可得,恒成立，因为 恒成立，所以.综上所述，的取值范围为.
7．已知集合,,则的充要条件是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】选.由题设，,,若,则,故 可得.所以 是 的充要条件.
8．（多选）下列命题中，为真命题的是（ ）
A. ,
B. ,使
C. ,有
D. ,,使
【答案】AD
【解析】选.对于，,,选项中的命题为真命题；对于，因为，则,选项中的命题为假命题；对于，当,时，,,选项中的命题为假命题；对于，取,则,选项中的命题为真命题.
9．（多选）下列命题正确的是（ ）
A. 若,且，则，至少有一个大于1
B. “任意，则”的否定是“存在，则”
C. 设,，则“且”是的必要不充分条件
D. 设,，则“”是“”的必要不充分条件
【答案】ABD
【解析】选.对于，假设，，则 与已知矛盾，假设是错的，原命题为真命题，正确；对于，“任意，则”的否定是“存在，则”，正确；对于，则，则，，则满足，充分性成立，错误；对于，当 时，可能为零，当 时，一定不为零，则“”是“”的必要不充分条件，正确.
10．命题若直线与平面 内的所有直线都不平行，则直线与平面 不平行.命题是命题.（填“真”或“假”）
【答案】假
【解析】若直线 与平面 内所有直线都不平行，则直线 与平面 相交，所以直线 与平面 不平行，所以命题 为真命题，所以 为假命题.
11．已知条件,条件.
（1） 若是的充分不必要条件，则实数的取值范围是_ _ _ _ _ _ _ _ ；
（2） 若是的必要不充分条件，则实数的取值范围是_ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】（1）
（2）
【解析】
11．设,,
（1） 因为 是 的充分不必要条件，所以,所以.
（2） 因为 是 的必要不充分条件，所以,所以.
12．已知命题“,”是假命题，则实数的取值范围是_ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】
【解析】由题意得“,”为真命题.当 时，，符合题意；当 时，有 解得.综上，.
B 综合运用
13．已知为等差数列，,,,，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】选.设 的公差为，由 可得,所以,所以 或,所以“”不是“”的必要条件；若,则一定有,所以“”是“”的充分条件.所以“”是“”的充分不必要条件.
14．[2025·云南联考]（多选）在整数集中，被4除所得余数为的所有整数组成一个“类”，记为,,1,2,,则下列结论正确的是（ ）
A.
B.
C.
D. 整数,属于同一“类”的充要条件是
【答案】BCD
【解析】选.对于，由 得,故 错误;
对于，由于 得,故 正确;
对于，所有整数被4除所得的余数只有0,1,2,3四种情况，故，故 正确;
对于，若整数,属于同一“类”，则,,,,故,所以,必要性成立;反之，不妨设,,,,则，若,则,即,所以整数,属于同一“类”，充分性成立.故整数,属于同一“类”的充要条件是,故 正确.
第3讲 等式性质与不等式性质
课标要求 考情分析
1.梳理等式的性质，理解不等式的概念. 2.会比较两个数（式）的大小. 3.理解不等式的性质，并能简单应用. 命题形式 常以选择题的形式出现，试题难度为低档或中档. 常考内容 不等式的基本性质. 创新考法 常融合在解答题中，还会与实际问题相结合.
必备知识 自主排查
理一理
1.等式的基本性质
性质1 如果，那么;
性质2 如果,，那么;
性质3 如果，那么；
性质4 如果,则；
性质5 如果,，那么.
2．两个实数比较大小的方法
（1）
（2）
【答案】； ； ； ； ；
3．不等式的性质
性质1 若,则⑦_ _ _ _ .
性质2 若,,则⑧_ _ _ _ .
性质3 若,则⑨_ _ _ _ .
性质4 若,,则⑩_ _ _ _ ;
若,,则 _ _ .
性质5 若,,则 _ _ .
性质6 若,,则 _ _ .
性质7 若,则 _ _ .
【答案】； ； ； ； ； ； ；
常用结论
1.倒数性质
若,则;
若,则.
2．分数性质
若a>b>0，m>0，则
(1)真分数性质：<，>(b－m>0)；
(2)假分数性质：>，<(b－m>0).
练一练
1．判断正误（正确的打“√”,错误的打“×”）
（1） 若,则.（ ）
（2） 若,则.（ ）
（3） 若,则.（ ）
（4） 若,则.（ ）
【答案】（1） √
（2） ×
（3） ×
（4） √
2．（必修第一册P43T3（2）改编）设,,则下列不等式一定成立的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】选.因为,所以.
3．(用结论)(多选)下列命题是真命题的是(　　)
A．若aB．若b>a>0，则>
C．若a>b，c>d，则a－c>b－d
D．若ab<0，a>b，则>
解析：选BD.A中，当c＝0时不成立，故A不是真命题；B中，由真分数性质知B是真命题；C中，因为a>b，(－c)<(－d)，不满足不等式的同向可加性，故C不是真命题；D中，因为ab<0，所以a，b异号，又a>b，所以a>0且b<0，所以>，故D是真命题．
4．(必修第一册P43T5改编)已知2解析：因为2答案：(2，5)
核心考点 师生共研
考点一 比较两个数（式）的大小
［例1］
（1） [2025·金华模拟]设,,的平均数为，与的平均数为，与的平均数为.若,则（ ）
A. B.
C. D.
（2） 若,,则与的大小关系是_ _ _ _ _ _ .（用“ ”连接）
【答案】（1） B
（2）
【解析】
（1） 由题意得,,,.对于，,因为,所以,,所以,所以,所以，错误；对于，,由 知,所以,所以，正确；对于，,因为,所以,，所以,所以,所以，错误；对于，因为,,所以，错误.
（2） 方法一（作商法）：因为,,所以,所以.方法二（作差法）： 即.
［感悟进阶］
［对点训练］
1．若,，，,则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】选.由题意，得，所以.又,,所以.
2．已知,则_ _ .（填“ ”“ ”或“”）
【答案】
【解析】由题得，,,
所以,
所以.
考点二 不等式的基本性质
［例2］
（1） [2024·上海春季高考]已知,,,,则下列不等式恒成立的是（ ）
A. B.
C. D.
（2） （多选）设,,,为实数，且,则下列不等式正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】（1） B
（2） AD
【解析】
（1） 通解：当 时，,当 时，,所以 不一定成立，故 错误；因为,,所以 恒成立，故 正确；当,时，,当,时，,当 时，,这三种情况下 都不成立，故 错误；当 时，不成立，故 错误.光速解：令,,，分别代入选项，，，可知只有 成立.
（2） 因为,所以,故 正确；令,,,,此时，,故，错误；因为,所以,,可得,所以,故 正确.
［感悟进阶］
利用不等式的性质判断结论正误的两种方法
(1)直接法：对于说法正确的，要利用不等式的相关性质证明；对于说法错误的，只需举出一个反例即可．
(2)特殊值法：注意取值一定要遵循三个原则．一是满足题设条件；二是取值要简单，便于验证计算；三是所取的值要有代表性．
［对点训练］
1．已知实数,满足,则下列不等式中正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】选.因为（当且仅当 时取等号），所以,故 正确；当,时，,,，故,,错误.
2．若，，求证：.
证明：由题知,，
所以,所以,
所以.
考点三 不等式性质的综合应用
［例3］
（1） 已知,,则的取值范围是_ _ _ _ _ _ _ _ ，的取值范围是_ _ _ _ _ _ _ _ .
（2） 已知,,则的取值范围是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】（1） ；
（2） ,
【解析】
（1） 由题意得,所以.又,,所以.
（2） 因为,所以,又,所以,即.
［感悟进阶］
根据不等式的性质求代数式取值范围的注意点
(1)严格运用不等式的性质，注意其成立的条件．
(2)同向不等式的两边可以相加，如果在解题过程中多次使用这种转化，就会扩大其取值范围．
(3)建立待求范围的式子与已知范围式子的整体关系，最后一次性运用不等式的性质求得取值范围．
［对点训练］
1．设，，,则的取值范围是（ ）
A. ， B. ，
C. D. ，
【答案】D
【解析】选.因为,,,所以 ,,则 .
2．已知实数,,满足,且,则的取值范围是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】，
【解析】由于,且,
所以,,,
则,,,,,,所以.
课后达标 分级演练
A 基础达标
1．已知,,，则，的大小关系为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】选.因为,所以.
2．已知,,,则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】选.因为,由,可得,又,由 可得,故.
3．已知,且，则下列不等式正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】选.方法一：由 且，可得，且.因为,所以.又因为,所以，所以.
方法二：令,,则,,,从而.
4．若,,则与的大小关系是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】选,若,则,,所以，即;若,则,,所以，即；若,则,即,综上，.
5．已知实数，，满足，且，则下列说法正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】选.由,得,因为,
移项得,
所以,可得,
又
,可得.
综上所述,不等式 成立.
6．已知,,则下列不等式成立的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】选.因为,,所以,,的符号无法确定，对于，因为,若,则,故 错误；对于，因为,,所以,故 正确；对于，因为,,所以,故 错误；对于，因为,当 时，,故 错误.
7．某班有学生参加才艺比赛，已知每人只参加一项比赛，且参加书法比赛的人数多于参加唱歌比赛的人数，参加唱歌比赛的人数多于参加折纸比赛的人数，参加折纸比赛的人数的2倍多于参加书法比赛的人数，则参加这三项比赛的总人数至少为（ ）
A. 7 B. 9 C. 12 D. 15
【答案】C
【解析】选.设参加书法、唱歌、折纸比赛的人数分别为,,,由题意得,,,所以,所以,所以，，所以参加这三项比赛的总人数至少为12.
8．（多选）已知,,则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】AC
【解析】选.因为,,所以,,,故 正确，错误；因为,,所以,,,故 正确，错误.
9．[2025·南京调研]（多选）若,且,则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ABD
【解析】选.对于，因为,所以,又,所以,所以 正确；对于,因为,所以,所以,所以 正确；
对于，方法一：取,满足,且,但,所以 错误；
方法二：因为,且,所以,所以 错误；
对于，因为,且,所以,所以,所以 正确.
10．已知,为实数，且,,则_ _ .（填“ ”“ ”或“”）
【答案】
【解析】因为,,所以,所以.
11．若,,则的取值范围是_ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】
【解析】因为,所以,又,所以,所以.
12．能够说明“若，则”是假命题的一组实数,,的值依次为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】,,（答案不唯一）
【解析】由“若，则”是假命题可得，存在,,满足条件，使得，由此可得，故，若取，，则，故可取.
B 综合运用
13．给出三个不等式：①a2>b2；②2a>2b-1；③>－.能够使以上三个不等式同时成立的一个条件是____________(填序号).
【答案】（答案不唯一）
【解析】使三个不等式同时成立的一个条件是.当 时，①②显然成立.对于③，,因为,所以,所以,即，所以③成立.
14．若一元二次函数的图象关于轴对称，且,,则的取值范围为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】
【解析】设,
则,,.
设,
则,
即,
则有 解得
所以,
因为,,
所以,,
所以,
即.
第4讲 基本不等式
课标要求 考情分析
1.了解基本不等式的推导过程. 2.会用基本不等式解决简单的最值问题. 命题形式 题型以选择题为主，也可作为工具出现在解答题中，难度中档. 常考内容 利用基本不等式求最值. 创新考法 与函数、数列、平面向量、解析几何、导数等内容相结合.
必备知识 自主排查
理一理
1．基本不等式：
（1）基本不等式成立的条件是①_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ；
（2）等号成立的条件是：当且仅当②_ _ _ _ _ _ 时取等号；
（3）其中③_ _ _ _ _ _ _ _ 叫做正数,的算术平均数,④_ _ _ _ _ _ 叫做正数,的几何平均数.
【答案】,； ； ；
提醒 应用基本不等式求最值要注意：“一正，二定，三相等”，忽略某个条件，就会出错.
2．基本不等式与最值
已知,，则
（1）如果是定值,那么当且仅当时，有最小值是⑤_ _ _ _ _ _ （简记：积定和最小）；
（2）如果是定值,那么当且仅当时，有最大值是⑥_ _ _ _ _ _ _ _ （简记：和定积最大）.
【答案】；
常用结论
1..
2..
3..
4..
以上不等式等号成立的条件均为.
练一练
1．判断正误（正确的打“√”,错误的打“×”）
（1） 函数的最小值是2.（ ）
（2） 两个不等式与成立的条件是相同的.（ ）
（3） 成立的条件是.（ ）
（4） 函数的最小值为.（ ）
【答案】（1） ×
（2） ×
（3） ×
（4） ×
2．函数的最小值是（ ）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
【答案】B
【解析】选.，当且仅当,即 时，等号成立，故 的最小值为3.
3．已知,则的最小值为（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】C
【解析】选.因为,所以,所以,当且仅当,即 时等号成立，故 的最小值为3.
4．（必修第一册 习题（2）改编）函数的最大值为_ _ _ _ _ _ .
【答案】
【解析】函数 的定义域为.
当 或 时，;
当 时，,
所以，
当且仅当,即 时，等号成立.
综上，函数 的最大值为.
5．（用结论）若,,且,则的最小值为_ _ _ _ _ _ .
【答案】
【解析】由，得,当且仅当 时等号成立.
核心考点 师生共研
考点一 直接法求最值
［例1］
（1） 若实数,满足,则的最小值为_ _ _ _ _ _ .
（2） 已知,，,则的最大值为_ _ _ _ .
【答案】（1）
（2） 1
【解析】
（1） ,当且仅当,即,时，等号成立，故 的最小值为.
（2） 由于,,且,所以,当且仅当 时，等号成立，故 的最大值为1.
［感悟进阶］
利用基本不等式求最值的策略
求“和”式的最小值时，一般运用变形,这时必须确保“积”是定值；求“积”式的最大值时，一般运用变形,这时必须确保“和”是定值.
注意 需检验是否满足等号成立的条件.
［对点训练］
1．（多选）下列代数式中最小值为2的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BC
【解析】选.选项 中，函数 在,上是单调递增的，无最小值，不符合题意；
选项 中，,当且仅当 时，等号成立，满足题意；
选项 中，,当且仅当 时，等号成立，满足题意；
选项 中，,当且仅当 时，等号成立，但此方程无实数解，不符合题意.
2．已知,且,则的最小值为（ ）
A. 4 B. 6 C. D. 8
【答案】D
【解析】选.由题意得，,且,则,当且仅当,即,时取等号，所以当,时，的最小值为8.
考点二 配凑法求最值
［例2］
（1） 已知,则的最小值是（ ）
A. B. C. D.
（2） 已知,则的最大值为（ ）
A. 2 B. 4 C. 5 D. 6
【答案】（1） D
（2） A
【解析】
（1） 由题意得，,当且仅当,即 时，等号成立，所以 的最小值是.
（2） 因为,所以可得,则,当且仅当,即 时，等号成立，故 的最大值为2.
［感悟进阶］
运用配凑法求最值的关键点
配凑法是指对所给或所求代数式进行适当的变形，通过拆(裂项、拆项)、并(分组、并项)、配(配式、配系数等)，使得“和”是定值或“积”是定值，从而运用基本不等式求得最值．
［对点训练］
1．若正实数,满足,则的最大值是_ _ _ _ _ _ .
【答案】
【解析】由题意得,所以,即,当且仅当,即,时取等号.
2．当时，的最大值为_ _ _ _ _ _ .
【答案】
【解析】当 时，,当且仅当,即 时，等号成立，即 的最大值为.
考点三 常数代换法求最值
［例3］
（1） [2025· 湘豫名校联考]已知正实数,满足,则的最小值为（ ）
A. 8 B. 9 C. 10 D. 11
（2） 已知,则的最小值是_ _ _ _ .
【答案】（1） B
（2） 9
【解析】
（1） 因为,当且仅当,即,时，等号成立，所以 的最小值为9.
（2） 由,得. ,当且仅当，即 时，等号成立，所以 的最小值是9.
［感悟进阶］
运用代换法求最值的步骤
（1）根据已知条件或其变形确定定值（常数）.
（2）把确定的定值（常数）变形为1.
（3）把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除，进而构造和或积的形式.
（4）利用基本不等式求解最值.
［对点训练］．[2025·扬州调研]设,,,则的最小值为（ ）
A. B. C. D. 3
【答案】C
【解析】选.因为,所以,因为,,所以.
当且仅当 即 时取等号.
考点四 消元法或换元法求最值
［例4］ 已知,,,则的最小值为_ _ _ _ .
【答案】6
【解析】方法一（消元法） 由,
得,
所以
,
当且仅当,即,时取等号，所以 的最小值为6.
方法二（换元法）：由已知得,
当且仅当,即,时取等号.
所以,
令,则 且,
得,即 的最小值为6.
［感悟进阶］
利用消元法、换元法求最值的方法
(1)消元法：即根据条件建立两个量之间的函数关系，然后代入代数式转化为求函数的最值．有时会出现多元的问题，解决方法是消元后利用基本不等式求解．
(2)换元法：求较复杂的式子的最值时，通常利用换元法将式子恰当变形，将式子简化，再利用基本不等式求解．
［对点训练］
1．已知,则的最大值为_ _ _ _ _ _ .
【答案】
【解析】设,则,（当且仅当,即 时取等号）,故 的最大值为.
2．[2025·安庆模拟]若正数,满足,则的最小值是_ _ _ _ .
【答案】
【解析】正数,满足,故,故,当且仅当,即 时，等号成立.
课后达标 分级演练
A 基础达标
1．若,则的最大值是（ ）
A. 4 B. 1 C. 0 D. 不存在
【答案】A
【解析】选.因为,所以,所以,当且仅当,即 时取等号.
2．已知,,且，则（ ）
A. 有最大值为1 B. 有最小值为1
C. 有最大值为 D. 有最小值为
【答案】C
【解析】选.因为,,,
所以,
即,,
当且仅当，即,时，等号成立.
所以 有最大值，最大值为.
3．若,则的最小值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】选.由,可得,
，
当且仅当,即 时取等号，所以 的最小值为.
4．若,则的最小值是（ ）
A. 3 B. C. 4 D.
【答案】C
【解析】选,当且仅当,,同时成立，即 时，等号成立，
所以 的最小值是4.
5．已知,,且,则的最大值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】选.因为,,且,所以,当且仅当,即,时取等号，则.
6．[2025·河北名校联考]已知,,,则的最小值为（ ）
A. 4 B. 6 C. 8 D. 9
【答案】C
【解析】选.方法一：因为,,,所以（当且仅当,即,时取等号）.
方法二：因为,,,所以,当且仅当,即,时取等号.
7．已知正数,满足,则的最小值为（ ）
A. 1 B. C. 2 D.
【答案】B
【解析】选.因为,,,则,所以,当且仅当,即 时，等号成立，此时.
8．（多选）下列不等式一定成立的有（ ）
A. B.
C. D.
【答案】CD
【解析】选.对于，当 时，,故 不一定成立；对于，,故 不一定成立；对于，,当且仅当，即 时取等号，故 一定成立；对于，,当且仅当,即 时取等号，故 一定成立.
9．（多选）已知,,若,则（ ）
A. 的最大值为 B. 的最小值为1
C. 的最小值为8 D. 的最小值为
【答案】ACD
【解析】选.对于，由基本不等式可得,解得,当且仅当 即,时，等号成立，所以 正确；
对于，,当,时，取到最小值，所以 错误；
对于，由,当且仅当 即,时,等号成立，所以 正确;
对于，,由 知，当且仅当,时,等号成立，所以 正确.
10．设,则的最小值为_ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】
【解析】,因为,所以,,所以,当且仅当,即 时,等号成立.
11．已知,则的最大值为 _ _ _ _ _ _ .
【答案】
【解析】因为,所以,
.
当且仅当,即 时等号成立.
12．设,为正实数，且,则的最小值为_ _ _ _ _ _ .
【答案】
【解析】因为,为正实数，且,
所以，
所以
,
当且仅当,即,时等号成立,所以 的最小值为.
B 综合运用
13．[2025·绵阳模拟]存在三个实数，，使其分别满足下述两个等式：；，其中表示三个实数，，中的最小值，则（ ）
A. 的最小值是 B. 的最大值是
C. 的最小值是 D. 的最大值是
【答案】B
【解析】选.由已知得，，，中必有2个正数，1个负数，设，，，则，因为，所以，所以，即，所以，由 得，，即，所以.
14．已知,,，则的最小值为_ _ _ _ _ _ .
【答案】
【解析】因为，所以.
所以
,
当且仅当,时，等号成立.
故 的最小值为.
第5讲 基本不等式的应用
课标要求 考情分析
1.会求与基本不等式有关的恒（能）成立问题. 2.理解基本不等式在实际问题中的应用. 命题形式 题型以选择题、填空题为主，中档难度. 常考内容 利用基本不等式求参数. 创新考法 与其他知识交汇考查.
核心考点 师生共研
考点一 基本不等式的变形应用
［例1］
[例1]　(1)数学里有一种证明方法叫做proof without words，也称之为无字证明，一般是指仅用图象语言而无需文字解释就能不证自明的数学命题．由于这种证明方法的特殊性，无字证明被认为比严格的数学证明更为优雅．现有如图所示图形，在等腰直角三角形ABC中，点O为斜边AB的中点，点D为斜边AB上异于端点的一个动点．设AD＝a，BD＝b，则该图形可以完成的无字证明为(　　)
A.
B.
C.
D.
（2） 已知正实数,满足,则下列不等式中错误的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】（1） B
（2） D
【解析】
（1） 由题意得，,.因为,所以，所以，而，所以,故选项 正确.
（2） 对于，,当且仅当 时，取等号，所以 正确；对于，因为，所以,即,当且仅当 时，取等号，所以 正确；对于，因为,,所以，即,所以 正确；对于，因为，所以,当且仅当 时，取等号，所以 错误.
［感悟进阶］
基本不等式的常见变形
（1）.
（2）.
［对点训练］．（多选）已知,，且,则下列不等式一定成立的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BC
【解析】选.因为,故当,时，不等式 不成立，故 不正确；
由基本不等式变形可得 恒成立，当且仅当 时，等号成立，故 正确；
因为,所以,,则,当且仅当 时，等号成立，故 正确；
因为,所以,当,时满足,但,此时,故 不正确.
考点二 与基本不等式有关的恒（能）成立问题
［例2］ 已知,,且,若不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】 可化为,则,当且仅当 时，等号成立，即 的最小值为8，因为 恒成立，所以,解得,则实数 的取值范围是.
［感悟进阶］
利用基本不等式解题的策略
（1）应用基本不等式判断不等式是否成立：对所给不等式（或式子）变形,然后利用基本不等式求解.
（2）条件不等式的最值问题：通过条件转化成能利用基本不等式的形式后求解.
（3）求参数的值或范围：观察题目特点,利用基本不等式确定相关式子成立的条件,从而求得参数的值或范围.
［对点训练］．若正实数,满足,且不等式有解，则实数的取值范围是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】,
【解析】因为正实数,满足,
则,所以
,
当且仅当 即 时，等号成立，所以 的最小值为.因为不等式 有解，则,即,解得 或.所以实数 的取值范围是,.
考点三 基本不等式的实际应用
[例3]　某公司为了竞标某活动的相关代言，决定对旗下的某商品进行一次评估．该商品原来每件售价为25元，年销售8万件．为了抓住此次契机，扩大该商品的影响力，提高年销售量，公司决定立即对该商品进行全面技术革新和营销策略改革，并提高定价到x元．公司拟投入(x2－600)万元作为技改费用，投入50万元作为固定宣传费用，投入万元作为浮动宣传费用．试问：当该商品改革后的年销售量a至少应达到多少万件时，才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和？求出此时每件商品的定价．
【解】 由题意知，当 时，不等式 有解，等价于当 时，有解，
因为（当且仅当 时，等号成立），所以,
所以当该商品改革后的年销售量 至少应达到10.2万件时，才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和，此时每件商品的定价为30元.
［感悟进阶］
利用基本不等式解决实际应用问题的思路
（1）设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数.
（2）根据实际问题抽象出函数的解析式后，只需利用基本不等式求得函数的最值.
（3）在求函数的最值时，一定要在定义域（使实际问题有意义的自变量的取值范围）内求解.
［对点训练］．某公益广告公司拟在一张矩形海报纸（记为矩形，如图）上设计三个等高的宣传栏（栏面分别为一个等腰三角形和两个全等的直角梯形），宣传栏（图中阴影部分）的面积之和为.为了美观，要求海报上所有水平方向和竖直方向的留空宽度均为.当直角梯形的高为多少时，用纸量最少（即矩形的面积最小）？
解：设直角梯形的高为x cm(x>0)，因为宣传栏(题图中阴影部分)的面积之和为1 440 cm2，且海报上所有水平方向和竖直方向的留空宽度均为2 cm，所以海报宽度AD＝(x＋4)cm，海报长度DC＝cm，故S矩形ABCD＝AD·DC＝(x＋4)(＋8)＝8x＋＋1 472≥2＋1 472＝192＋1 472，当且仅当8x＝，即x＝12时，等号成立．所以当直角梯形的高为12 cm时，用纸量最少．
课后达标 分级演练
A 基础达标
1．当时，的最小值为10,则（ ）
A. 1 B. C. D. 4
【答案】A
【解析】选.因为,则,
,
当且仅当 时，等号成立，
即,故.
2．若圆柱的上、下底面的圆周都在一个半径为2的球面上，则该圆柱侧面积的最大值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】选.设圆柱底面圆半径为,则圆柱的高为,圆柱侧面积为 ,当且仅当,即 时等号成立.
3．已知,，则下列不等式一定成立的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】选.由,,得（当且仅当 时取等号），即.又，所以，得,当且仅当 时，等号成立，所以.
4．快递公司计划在某货运枢纽附近投资配建货物分拣中心．假定每月的土地租金成本与分拣中心到货运枢纽的距离成反比，每月的货物运输成本与分拣中心到货运枢纽的距离成正比．经测算，如果在距离货运枢纽10 km处配建分拣中心，则每月的土地租金成本和货物运输成本分别为2万元和8万元．要使得两项成本之和最小，分拣中心到货运枢纽的距离应设置为(　　)
A．5 km B．6 km C．7 km D．8 km
【答案】A
【解析】选.设每月的土地租金成本和每月的货物运输成本分别为 万元和 万元，分拣中心和货运枢纽相距,则,,将,,代入可得,,所以,,故,当且仅当，即 时取等号.
5．对任意,，都有，则实数的最大值为（ ）
A. B. C. 4 D.
【答案】B
【解析】选.因为对任意,，都有,
所以,
即 恒成立，
因为,
当且仅当，即 时，取等号，
所以，故实数 的最大值为.
6．若把总长为的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是.
【答案】25
【解析】设矩形的一边长为,面积为,
则另一边长为,
其中,所以，当且仅当,即 时，等号成立，所以,即矩形场地的最大面积是.
7．若“,使得成立”是假命题，则实数 的最大值为_ _ _ _ _ _ .
【答案】
【解析】由题意，得“,成立”是真命题，
故当 时， 恒成立，
由基本不等式，得,当且仅当,即 时，等号成立，故.
8．已知，假设不等式恒成立，则的最小值为_ _ _ _ _ _ .
【答案】
【解析】因为，所以，
故由 可得，则原不等式等价于 恒成立，即
又，当且仅当 时等号成立，则 且,解得,故 的最小值为.
9．（13分）已知正实数,满足等式.
（1） 求的最小值；（6分）
（2） 若恒成立，求实数的取值范围.（7分）
【答案】
（1） 解：由题知，
即，当且仅当，即,时，等号成立，所以 的最小值为3.
（2）
，
当且仅当，即,时等号成立.
即.
所以,解得.
所以实数 的取值范围是.
B 综合运用
10．已知,为正实数，则的最小值为（ ）
A. 4 B. 5 C. 6 D. 8
【答案】C
【解析】选.由题得,
设,
则
,
当且仅当,即,时取等号.所以 的最小值为6.
11．（13分）已知,,,求：
（1） 的最大值；（6分）
（2） 的最小值.（7分）
【答案】
（1） 解：由题意得，当且仅当 时取等号，
令,则,
解得,又,
所以,即,
所以,故 的最大值为18.
（2） 由 可知，,
所以,
,
当且仅当,即 时取等号，所以 的最小值为11.
12．（15分）设函数,且,.
（1） 求,的值；（7分）
（2） 若，使得成立，求实数的取值范围.（8分）
【答案】（1） 解：由题意得，,,解得,.
（2） 由（1）知,
所以 可化为.
故原问题等价于,
使得 成立.
则当 时，,
设,,
令,则,设,,
则,当且仅当 时取等号，所以当 时，即 取得最小值，所以.
故实数 的取值范围是.
C 素养提升
13．已知,,且.若恒成立，则满足条件的整数的个数是（ ）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
【答案】C
【解析】选.因为,,且,
所以
,
当且仅当,
即,时等号成立，
则,
即,解得,
所以满足条件的整数 可取1,2,3,4，共4个.
14．[2025·湖南大联考]（多选）已知,,,则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BD
【解析】选.对于，，因为，所以，当且仅当 时，等号成立，，当且仅当 时，等号成立，故 错误，正确；
对于，若,则,
所以,当且仅当,即,时，等号成立，故 错误；
对于，若,则,
所以
，
由,及，可知,则当,即,时，取得最小值，故 正确.
第6讲 一元二次不等式
课标要求 考情分析
1.会结合一元二次函数的图象判断一元二次方程根的个数. 2.会从实际情境中抽象出一元二次不等式. 3.能借助一元二次函数解一元二次不等式. 命题形式 选择题或在解答题解题过程中体现，难度较低. 常考内容 解一元二次不等式. 创新考法 常与集合和函数定义域相结合命题.
必备知识 自主排查
理一理
1．一元二次不等式
只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是①_ _ 的不等式，称为一元二次不等式，一元二次不等式的一般形式是或,,为常数，且.
提醒 对于不等式,求解时不要忘记时的情形.
【答案】2
2．三个“二次”的对应关系
讨论对应的一元二次不等式的解集，如下表.
判别式
二次函数的图象
方程的根 有两个不相等的实数根, 有两个相等的实数根 没有实数根
不等式的解集 ②_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
【答案】,或
常用结论
1.分式不等式的解法
（1）.
（2）
2.两个一元二次不等式恒成立的充要条件
（1）一元二次不等式对任意实数恒成立
（2）一元二次不等式对任意实数恒成立
练一练
1．判断正误（正确的打“√”，错误的打“×”）
（1） 为一元二次不等式.（ ）
（2） 若不等式的解集为，则必有.（ ）
（3） 若方程没有实数根，则不等式的解集为.（ ）
（4） 不等式在上恒成立的条件是且.（ ）
【答案】（1） ×
（2） √
（3） ×
（4） ×
2．（必修第一册（2）改编）不等式的解集为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】
【解析】由，得，所以不等式的解集为.
3．不等式的解集为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】
【解析】不等式 可化为,即,解得,所以不等式的解集为.
4．(用结论)(2025·全国二卷)不等式≥2的解集是(　　)
A．{x|－2≤x≤1} B．{x|x≤－2}
C．{x|－2≤x<1} D．{x|x>1}
解析：选C.因为≥2，所以－2≥0，故有≥0，即≤0，等价于解得－2≤x＜1，故原不等式的解集是{x|－2≤x＜1}．故选C.
5．若关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】
【解析】由题意得，解得.
核心考点 师生共研
考点一 一元二次不等式的解法
角度1 不含参数的不等式的解法
［例1］ 解关于的不等式.
（1） ;
（2） .
【答案】
（1） 【解】可化为，解得 或.
则原不等式的解集为,.
（2） 原式移项得,
合并得,
等价于,
即,
解得.
所以原不等式的解集为.
［感悟进阶］
解不含参数的一元二次不等式的一般步骤
注意 分式不等式转化为整式不等式时，要注意等价转化，必要时要对分母进行限制，转化为不等式组.
角度2 含参数的不等式的解法
［例2］ 解关于的不等式.
【解】 原不等式变为，因为，所以.
当 时，,解得；
当 时，解集为 ；当 时，，解得.
综上，当 时，原不等式的解集为；
当 时，原不等式的解集为 ；当 时，原不等式的解集为.
［感悟进阶］
分类讨论求解含参数不等式的基本策略
(1)对二次项系数为正数、负数、零进行分类．
(2)对不等式所对应的一元二次方程的根的情况进行讨论，即讨论判别式Δ与0的关系．
(3)若求出的根中含有参数，对两个根的大小关系进行讨论．
［对点训练］
1．不等式的解集为（ ）
A. B.
C. 或 D. 或
【答案】A
【解析】选.不等式可化为，
即,所以,
故原不等式的解集为.
2．解不等式.
解：原不等式可化为,
即,令,
解得，.
当 时，,
原不等式的解集为 ,,;
当 时，,
原不等式的解集为;
当 时，,
原不等式的解集为 ,,.
考点二 三个二次间的关系
［例3］ （多选）已知关于的不等式的解集是，则（ ）
A.
B.
C.
D. 不等式的解集是,或
【答案】ABD
【解析】由题意可知，1,3是方程 的两个根，且,由根与系数的关系得 解得
对于，由以上可知,故 正确；
对于，当 时，代入方程,可得,故 正确；
对于，因为，不等式 的解集是,故将 代入不等式左边为,故 错误；
对于，原不等式可变为,且,约分可得,解集为，或，故 正确.
［感悟进阶］
（1）一元二次方程的根就是对应二次函数的零点，也就是对应一元二次不等式解集的端点值.
（2）给出一元二次不等式的解集，相当于知道了相应二次函数图象的开口方向及与轴的交点，可以利用代入根或根与系数的关系求待定系数.
［对点训练］
1．关于的不等式的解集为或，则关于的不等式的解集为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】选.由题意得,且,,所以,,所以,解得.
2．若关于的不等式的解集为,且,则的值为_ _ _ _ _ _ .
【答案】
【解析】由题知,是一元二次方程 的两个不相等的实数根，,且,.又因为,所以,又,解得.
考点三 一元二次不等式恒成立问题
角度1 在实数集上恒成立
［例4］ [2025·浙江模拟]若不等式的解集为，则实数的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】当 时，不等式 可化为,显然不合题意；当 时，因为 的解集为，所以 解得.所以实数 的取值范围是.
角度2 在给定区间上恒成立问题
［例5］ 若对任意的,恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】方法一：因为对任意的,恒成立，所以对任意的,恒成立，设,,则.易知 在 上单调递减，所以当 时，，所以,所以实数 的取值范围是.
方法二：设,易知 图象的对称轴为直线,结合题意可得，即 解得.
角度3 给定参数范围的恒成立问题
［例6］ 已知当时，不等式恒成立，则的取值范围为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】
【解析】把不等式的左端看成关于 的函数，记,,故由 对于任意的 恒成立，得 即
解得 或.
［感悟进阶］
求恒成立问题中参数范围的解题策略
(1)弄清楚自变量、参数．一般情况下，求谁的范围，谁就是参数．
(2)一元二次不等式在R上恒成立，可用判别式Δ，一元二次不等式在给定区间上恒成立，不能用判别式Δ，一般通过分离参数求最值或分类讨论．
［对点训练］
1．已知命题,为真命题，则实数的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】选.因为命题，为真命题，即不等式 的解集为.若，则不等式 可化为，解得，不等式的解集不是，不符合题意；若，则根据一元二次不等式解集的形式可知 解得.
综上可知，.
2．当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】选.方法一：由题意得，当 时，恒成立，则,
由于,而 在 上单调递增，故当 时，取得最大值，故.
方法二：令,,
因为当 时，
不等式 恒成立，
所以 即 解得.
培优点 一元二次方程根的分布
设一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的两个根为x1，x2，m，n，k为常数．令f(x)＝ax2＋bx＋c，结合二次函数的图象，以a>0的情形为例，一元二次方程根的分布情形总结如下：
（1）若方程有两个均大于的实根，即,,则有
（2）若方程在内有两根，即，，
则有
（3）若方程有两根，一根比大，一根比小，即,则有.
（4）若,则有
（5）若方程有两个不同的根，且在内有且仅有一个根，则或,另一根在内，或,另一根在内.
［典例］ 关于的方程满足下列条件，求的取值范围.
（1） 有两个正根；
（2） 一个根大于1，一个根小于1；
（3） 一个根在内，另一个根在内；
（4） 一个根小于2，一个根大于4；
（5） 两个根都在内.
【答案】［典例］ 【解】 令,
（1） 由题意得 解得.
（2） 若方程 的一个根大于1，一个根小于1，则,解得.
（3） 若方程 的一个根在 内，另一个根在 内，则 解得.
（4） 若方程 的一个根小于2，一个根大于4，则 解得.
（5） 若方程 的两个根都在 内，则 解得.
［对点训练］
1．已知函数在区间上恰有一个零点，则实数的取值范围是（ ）
A. ,, B. ，
C. D.
【答案】D
【解析】选.当 时，函数 有一个零点，满足条件.
当 时，函数 在区间 上恰有一个零点，需满足 或 或 或
解①得 或;②无解；解③得;④无解.
综上可知.
2．已知方程有两个不相等的正实数根，则实数的取值范围是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】
【解析】设,依题意有 即
解得 或.
课后达标 分级演练
A 基础达标
1．不等式的解集为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】选.由题知不等式为,即,即,解得,所以原不等式解集为.
2．不等式的解集为（ ）
A. B.
C. ，或 D. ，或
【答案】D
【解析】选,即,即 解得 或.
3．不等式的解集为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】选.因为,，
所以,所以解集为.
4．[2025·北京段考]若关于的不等式在区间内有解，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】选.原问题等价于存在,使 成立，设,当 时，，所以.
5．（多选）已知关于的不等式的解集为，则（ ）
A.
B.
C. 不等式的解集是
D. 不等式的解集为 ,,
【答案】ACD
【解析】选.因为关于 的不等式 的解集为,所以,正确；
和3是关于 的方程 的两根，由根与系数的关系得 则
所以,错误；
不等式 可化为,得,正确；
不等式 可化为,即，解得 或，正确.
6．不等式的解集为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】或
【解析】 或（舍去）或.
7．若一元二次方程的两根都是负数，则的取值范围为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ；
若它有一个正根和一个负根，则的取值范围为_ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】 ,；
【解析】当两根都为负数时，
解得 或.
当有一个正根和一个负根时,解得.
8．已知关于的一元二次不等式的解中有且仅有3个正整数解，则实数的取值范围是_ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】
【解析】由 可得,当 时，不等式的解集为，不符合题意，舍去；
当 时，不等式的解集为，其正整数解只有1个，不符合题意，舍去；
当 时，不等式的解集为，因为有且仅有3个正整数解，故正整数解为1，2，3，所以，.综上，实数 的取值范围是.
9．（13分）求下列关于的不等式的解集：
（1） ;（6分）
（2） 若，求关于的不等式的解集.（7分）
【答案】
（1） 解：由,得,
故，则 且,
解得 或.故 的解集为.
（2） 可转化为，即，当 时，不等式为，不等式的解集为；
当 时，不等式化为，不等式的解集为；
当 时，，不等式化为,不等式的解集为 或.
综上，当 时，不等式的解集为；
当 时，不等式的解集为；
当 时，不等式的解集为 或.
B 综合运用
10．在上定义运算“”：,则满足的实数的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】选.由题意可得，,由 得，解得,故满足 的实数 的取值范围是.
11．（13分）已知关于的不等式.
（1） 若该不等式的解集为,求,的值；（6分）
（2） 若,求此不等式的解集.（7分）
【答案】（1） 解：根据题意得 解得
（2） 当 时，,即.当,即 时，原不等式的解集为 ；当,即 时，原不等式的解集为;当,即 时，原不等式的解集为.综上，当 时，原不等式的解集为;当 时，原不等式的解集为 ；当 时，原不等式的解集为.
12．(15分)已知函数f(x)＝x2＋2ax－a＋2.
(1)若 x∈[－1，1]，使得f(x)≥0成立，求实数a的取值范围；(7分)
(2)若 a∈[－1，1]，f(x)>0恒成立，求实数x的取值范围．(8分)
解：(1)若 x∈[－1，1]，使得f(x)≥0成立，
则f(x)max≥0，x∈[－1，1].
函数f(x)图象的对称轴方程为x＝－a.
当－a≤0，即a≥0时，f(x)max＝f(1)＝a＋3≥0，得a≥－3，所以a≥0.
当－a>0，即a<0时，f(x)max＝f(－1)＝3－3a≥0，得a≤1，所以a<0.
综上可得，实数a的取值范围是R.
(2)因为 a∈[－1，1]，f(x)>0恒成立，
令g(a)＝(2x－1)a＋x2＋2，
则g(a)>0在[－1，1]上恒成立，
所以
解得x≠－1，故实数x的取值范围是{x|x≠－1}．
C 素养提升
13．已知关于的不等式的解集为，则（ ）
A.
B. 点在第二象限
C. 的最大值为
D. 关于的不等式的解集为
【答案】D
【解析】选.原不等式等价于
因为解集为，所以 和 分别是 和 的实数根，故 且，,故 错误；
因为,,所以点 在第三象限，故 错误；
,由于其图象开口向下，故最大值为，故 错误；
由 得，即，解得,所以原不等式的解集为,故 正确.
14．（多选）已知关于的不等式的解集是,则下列结论中正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ACD
【解析】选.由题知 的解集为,
所以,且
所以,,故，正确；
原不等式可化为 的解集为，而 的零点分别为,1且 的图象开口向下，由题易知,的大致图象如图所示，
由图知，,,
故 错误，正确.
第71页第一章 集合、常用逻辑用语与不等式
第1讲　集合
课标要求 考情分析
1.了解集合的含义，元素与集合的属于关系，能用列举法或描述法表示集合． 2．理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集；了解全集与空集的含义． 3．理解并会求并集、交集、补集，能用Venn图表示集合的关系与运算． 命题形式　多以选择题的形式出现，试题难度较低． 常考内容　集合的基本运算． 创新考法　将集合与函数、不等式等知识融合命题．
1．集合与元素
(1)集合元素的特征：确定性、____________、无序性．
(2)元素与集合的关系是____________或不属于，表示符号分别为∈和 .
(3)集合的表示方法：________________、 ____________、图示法．
(4)常见数集的记法
集合 非负整数集 (或自然数集) 正整数集 整数集 有理 数集 实数集
符号 N N*或N＋ Z Q R
2.集合间的基本关系
提醒　(1)空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，应时刻关注对空集的讨论；
(2)任何集合都是自身的子集，即A A.
3．集合的基本运算
类别 集合的并集 集合的交集 集合的补集
符号 表示 A∪B A∩B 若全集为U，则集合A的补集为 UA
图形 表示
集合 表示 {x|x∈A， 或x∈B} ________ __________ {x|x∈U， 且x A}
常用结论　
1．子集的传递性：A B，B C A C.
2．若有限集合A中有n(n∈N*)个元素，则A的子集有2n个，真子集有2n－1个，非空真子集有2n－2个．
3．等价关系：A B A∩B＝A A∪B＝B UA UB.　
核心考点 师生共研
考点一 集合的基本概念
［例1］
（1） 已知集合，且,,则（ ）
A. B. C. D.
（2） 设,，集合,,,则_ _ _ _ .
［感悟进阶］
解决与集合中元素有关的问题的一般思路
［对点训练］
[对点训练]　1.(2025·乐山模拟)已知集合A＝{(x，y)|x2＋y2≤10，x∈N*，y∈N*}，则集合A中元素的个数为(　　)
A．9 B．8 C．6 D．5
2．已知集合,,,若,则实数的值为（ ）
A. 1 B. 1或0 C. 0 D. 或0
考点二 集合间的基本关系
［例2］
（1） [2025·南通模拟]已知集合,,,,则（ ）
A. B. C. D.
（2） 已知集合,.若，则实数的取值范围是_ _ _ _ _ _ _ _ .
［感悟进阶］
（1）空集是任何集合的子集，在涉及集合关系问题时，必须考虑空集的情况，否则易造成漏解.
（2）求参数的方法：将两集合间的关系转化为元素或区间端点间的关系，表示为参数满足的关系.解决这类问题还要合理利用数轴、图化抽象为直观进行求解.
［对点训练］
1．[2025·浙江模拟]已知集合,，若,则集合的个数为（ ）
A. 4 B. 6 C. 7 D. 8
2．[2025·南宁适应性测试]已知集合,,,，且,则的取值集合为（ ）
A. B. ， C. ， D. ，0，
考点三 集合的基本运算
角度1　集合的基本运算
[例3]　(1)(2025·全国二卷)已知集合A＝{－4，0，1，2，8}，B＝{x|x3＝x}，则A∩B＝(　　)
A．{0，1，2} B．{1，2，8}
C．{2，8} D．{0，1}
(2)(2025·海南模拟)如图，已知全集U＝R，集合A＝{x|(2x－3)(x＋1)≤0}，B＝{x|x>0}，则图中阴影部分表示的集合为(　　)
A．{x|x≤－1}
B．{x|x<－1}
C．{x|x≤0或x>}
D．{x|x<0或x>}
【解析】　(1)通解：因为A＝{－4，0，1，2，8}，B＝{x|x3＝x}＝{－1，0，1}，所以A∩B＝{0，1}．故选D.
快解(排除法)：因为2不满足x3＝x，所以2 B，故2 (A∩B)，排除A，B，C.故选D.
(2)依题意，集合A＝{x|－1≤x≤}，B＝{x|x>0}，则A∪B＝{x|x≥－1}，故题图中阴影部分表示的集合为 U(A∪B)＝{x|x<－1}．
【答案】　(1)D　(2)B
［感悟进阶］
集合基本运算的步骤
注意 对于集合中的运算，如果集合中的元素是离散的，用图表示；如果集合中的元素是连续的，用数轴表示，此时要注意端点的情况.
角度2 利用集合的运算求参数
［例4］ [2025·合肥质检]已知集合,，若 ,则实数的取值范围是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
［感悟进阶］
利用集合的运算求参数的方法
（1）与不等式有关的集合，一般利用数轴解决，要注意端点值的取舍.
（2）若集合中的元素能一一列举，则一般先用观察法得到集合中元素之间的关系，再列方程（组）求解.
注意 在求出参数后，注意结果的验证（满足集合中元素的互异性）.
［对点训练］
1．[2023·全国甲卷]设全集,集合，,则（ ）
A. B. C. D.
2．设集合,,则（ ）
A. B. C. D.
3．[2025·西安五校联考]已知集合,.若,则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
培定
（1） 设是一个数集，且至少含有两个数，若对任意,，都有,,,（除数），则称是一个数域，则下列集合为数域的是（ ）
A. B.
C. D. ,}
（2） 定义,,叫做集合的对称差，若集合,，则_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
［感悟进阶］
解决集合新定义问题的注意点
（1）紧扣新定义：首先分析新定义的特点，把新定义所叙述的问题的本质弄清楚，应用到具体的解题过程中.
（2）用好集合的性质：解题时要善于从试题中发现可以使用集合性质的一些因素.
［对点训练］．设，,,记,,则（ ）
A. B. C. D.
课后达标 分级演练
A 基础达标
1．[2025· 八省联考]已知集合,0,，，则（ ）
A. B.
C. D. ，0，1，
2．(2025·全国一卷)已知集合U＝{x|x是小于9的正整数}，A＝{1，3，5}，则 UA中元素的个数为(　　)
A．0 B．3 C．5 D．8
解析：选C.由题知U＝{1，2，3，4，5，6，7，8}，所以 UA＝{2，4，6，7，8}，有5个元素．故选C.
3．[2023·新课标Ⅱ卷]设集合,,,,,若,则（ ）
A. 2 B. 1 C. D.
4．已知全集，集合,，则图中阴影部分表示的集合为（ ）
A. B. C. D.
5．[2025·贵阳段考]已知集合,,则的非空真子集个数为（ ）
A. 13 B. 14 C. 15 D. 16
,且中只有一个元素，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
7．定义集合，的一种运算：,,,若,,,则中的元素个数为（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
8．（多选）已知全集，集合,,,0,1,,则下列结论正确的是（ ）
A. B.
C. D. 的真子集个数是7
9．[2025·枣庄段考]（多选）已知全集为，集合，，均为的子集.若 ， , ,则下列说法一定正确的是（ ）
A. B.
C. D.
10．设集合,若,则_ _ _ _ _ _ _ _ .
11．[2025·厦门模拟]设集合，集合},若，则符合条件的集合_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
（写出一个即可）
12．[2025·安徽模拟]已知集合，，若，则实数的取值范围为_ _ _ _ _ _ _ _ .
B．，是的两个子集，对任意,定义：若对任意,,则（ ）
A. B.
C. D.
解”调查了100位学生，其中使用过扫码支付或共享单车的学生共有90位，使用过扫码支付的学生共有80位，使用过共享单车且使用过扫码支付的学生共有60位，则这100位学生中使用过共享单车的学生共有________位．
解析：根据题意得如图所示的Venn图．使用过共享单车或扫码支付的学生共有90位，使用过扫码支付的学生共有80位，则只使用过共享单车的学生有90－80＝10(位).又使用过共享单车且使用过扫码支付的学生共有60位，则这100位学生中使用过共享单车的学生人数为10＋60＝70.
答案：70
第2讲 常用逻辑用语
课标要求 考情分析
1.理解充分条件、必要条件、充要条件的意义. 2.理解全称量词与存在量词的意义,能正确地对全称量词命题和存在量词命题进行否定. 命题形式 以选择题为主，难度为中等偏易. 常考内容 充分、必要条件的判断. 创新考法 与集合的子集、函数、不等式或空间位置关系的判定等相关知识结合考查.
必备知识 自主排查
理一理
1．充分条件、必要条件与充要条件
命题真假 “若，则”为真命题 “若，则”为假命题 “若，则”和“若，则”都是真命题
推出关系
条件关系 是的①_ _ 条件 不是的②_ _ 条件 是的③_ _ _ _ _ _ _ _ 条件
2.全称量词与存在量词
全称量词：短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“ ”表示.
存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“ ”表示.
3．全称量词命题和存在量词命题的否定
名称 全称量词命题 存在量词命题
结构 对中任意一个，成立 存在中的元素，成立
简记 ， ,
否定 ④_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ⑤_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
常用结论
1.充分条件、必要条件与对应集合之间的关系：设非空集合,非空集合,
（1）若是的充分条件，则;
（2）若是的充分不必要条件，则；
（3）若是的必要不充分条件，则；
（4）若是的充要条件，则.
2.是的充分不必要条件，等价于是的充分不必要条件.
3.命题和的真假性相反，若判断一个命题的真假有困难，可判断此命题的否定的真假.
练一练
1．判断正误（正确的打“√”，错误的打“×”）
（1） 全称量词命题一定含有全称量词.（ ）
（2） “有些三角形中三个内角相等”是存在量词命题.（ ）
（3） 当是的必要条件时，是的充分条件.（ ）
（4） 已知集合，，的充要条件是.（ ）
2．若命题,,则是（ ）
A. , B. ,
C. , D. ,
3．[2024·天津卷]设,，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
4．（必修第一册P21例3（3）改编）“”是“,”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
5．（用结论）若“,”是假命题，则实数的取值范围是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
核心考点 师生共研
考点一 充分条件、必要条件的判定
［例1］ [2023· 新课标Ⅰ卷]记为数列的前项和，设甲：为等差数列；乙：为等差数列，则（ ）
A. 甲是乙的充分条件但不是必要条件
B. 是是乙的必要条件但不是充分条件
C. 甲是乙的充要条件
D. 甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
细研真题 本题源于教材人教版选择性必修第二册.对于数列这部分知识，等差数列、等比数列常通过类比的方法来相互研究，相互补充，甚至相互转化，对此我们进行下面变式.
真题变式．记为正项数列的前项积，若甲：为等比数列；乙：{为等差数列，则（ ）
A. 甲是乙的充分条件但不是必要条件
B. 甲是乙的必要条件但不是充分条件
C. 甲是乙的充要条件
D. 甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
［感悟进阶］
充分条件、必要条件的两种判定方法
(1)定义法：根据p q，q p进行判断，适用于与定义、定理有关的判断性问题．
(2)集合法：根据p，q成立时对应集合之间的包含关系进行判断，多适用于条件中涉及参数范围的推断问题．
［对点训练］
1．[2024·北京卷]设，是向量，则“”是“或”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
2．设，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
3．[2025·青岛模拟]已知直线,和平面 , , ,则“ ”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
考点二 充分条件、必要条件的探究与应用
［例2］ （多选）若“或”是“”的必要不充分条件，则实数的值可以是（ ）
A. 3 B. C. 5 D.
［感悟进阶］
探求充分条件、必要条件的两种方法
(1)直接根据充分条件、必要条件的定义进行判断．
(2)先求出结论成立的充要条件，再将充要条件对应的范围缩小即得该结论成立的一个充分不必要条件；将充要条件对应的范围扩大即得该结论成立的一个必要不充分条件．
［对点训练］
1．[2025·大连模拟]“函数是奇函数”的充要条件是实数_ _ _ _ .
2．若关于的不等式成立的充分条件是，则实数的取值范围是_ _ _ _ _ _ _ _ .
考命题
角度1 含量词命题的真假判定与否定
［例3］
（1） [2025·青岛模拟]已知命题,,,则为（ ）
A. ,, B. ,,
C. ,, D. ,,
（2） [2024· 新课标Ⅱ卷]已知命题，；命题，.则（ ）
A. 和都是真命题 B. 和都是真命题
C. 和都是真命题 D. 和都是真命题
［感悟进阶］
(1)判断含量词命题真假的方法
判定全称量词命题“ x∈M，p(x)”是真命题，需要对集合M中的每一个元素x，证明p(x)成立；要判定存在量词命题“ x∈M，p(x)”是真命题，只要在集合M内找到一个x，使p(x)成立即可．
(2)全称量词命题与存在量词命题的否定
①改写量词，即确定命题所含量词的类型，省去量词的要先结合命题的含义加上量词，再对量词进行改写．
②否定结论，即对原命题的结论进行否定．
角度2 含量词命题的应用
［例4］
（1） 若“，”是假命题，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
（2） 已知命题,;命题,.若命题,都是真命题，则实数的取值范围为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
［感悟进阶］
根据命题真假求参数取值范围的策略
(1)善于转化：全称量词命题为真可转化为恒成立问题，存在量词命题为真可转化为能成立问题，命题为真可转化为其否定为假，命题为假可转化为其否定为真．
(2)建立关系：根据题意建立方程或不等式(组)，求解即得参数的取值范围．
[对点训练]　1.(多选)下列说法正确的是(　　)
A．“菱形是正方形”是全称量词命题
B．“ x，y∈R，x2＋y2≥0”的否定是“ x，y∈R，x2＋y2<0”
C．命题“有一个奇数不能被3整除”的否定是“有一个奇数能被3整除”
D．“A＝B”是“sin A＝sin B”的必要不充分条件
解析：选AB.对于A，“菱形是正方形”即是“所有的菱形都是正方形”，是全称量词命题，A正确；
对于B， x，y∈R，x2＋y2≥0的否定是 x，y∈R，x2＋y2<0，B正确；
对于C，命题“有一个奇数不能被3整除”的否定是“所有的奇数能被3整除”，C错误；
对于D，由A＝B可得sin A＝sin B，当sin ＝sin ，A＝，B＝时，A≠B，故“A＝B”是“sin A＝sin B”的充分不必要条件，D错误．
2．若“,”为真命题，则实数的最小整数值是（ ）
A. B. 0 C. 1 D. 3
课后达标 分级演练
A 基础达标
1．下列命题中既是全称量词命题，又是真命题的是（ ）
A. 菱形的四条边都相等 B. ，使为偶数
C. ， D. 是无理数
2．命题“，，使得”的否定是（ ）
A. ,,使得 B. ,,使得
C. ,,使得 D. 以上选项都不正确
3．[2025·朔州模拟]设,,则“且”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
4．[2025·连云港调研]设,为非零向量，则“”是“存在负数 ,使得”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
5．[2025· 贵阳适应性考试]已知直线,的倾斜角分别为 , ，则“ ”是“ ”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
6．已知命题,;命题，.若和均为真命题，则实数的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
7．已知集合,,则的充要条件是（ ）
A. B. C. D.
8下命题的是（ ）
A. ,
B. ,使
C. ,有
D. ,,使
9．（多选）下列命题正确的是（ ）
A. 若,且，则，至少有一个大于1
B. “任意，则”的否定是“存在，则”
C. 设,，则“且”是的必要不充分条件
D. 设,，则“”是“”的必要不充分条件
10．命题若直线与平面 内的所有直线都不平行，则直线与平面 不平行.命题是命题.（填“真”或“假”）
11．已知条件,条件.
（1） 若是的充分不必要条件，则实数的取值范围是_ _ _ _ _ _ _ _ ；
（2） 若是的必要不充分条件，则实数的取值范围是_ _ _ _ _ _ _ _ .
12．已知命题“,”是假命题，则实数的取值范围是_ _ _ _ _ _ _ _ .
B
列，,,,，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
14．[2025·云南联考]（多选）在整数集中，被4除所得余数为的所有整数组成一个“类”，记为,,1,2,,则下列结论正确的是（ ）
A.
B.
C.
D. 整数,属于同一“类”的充要条件是
第3讲 等式性质与不等式性质
课标要求 考情分析
1.梳理等式的性质，理解不等式的概念. 2.会比较两个数（式）的大小. 3.理解不等式的性质，并能简单应用. 命题形式 常以选择题的形式出现，试题难度为低档或中档. 常考内容 不等式的基本性质. 创新考法 常融合在解答题中，还会与实际问题相结合.
必备知识 自主排查
理一理
1.等式的基本性质
性质1 如果，那么;
性质2 如果,，那么;
性质3 如果，那么；
性质4 如果,则；
性质5 如果,，那么.
2．两个实数比较大小的方法
（1）
（2）
3．不等式的性质
性质1 若,则⑦_ _ _ _ .
性质2 若,,则⑧_ _ _ _ .
性质3 若,则⑨_ _ _ _ .
性质4 若,,则⑩_ _ _ _ ;
若,,则 _ _ .
性质5 若,,则 _ _ .
性质6 若,,则 _ _ .
性质7 若,则 _ _ .
常用结论
1.倒数性质
若,则;
若,则.
2．分数性质
若a>b>0，m>0，则
(1)真分数性质：<，>(b－m>0)；
(2)假分数性质：>，<(b－m>0).
练一练
1．判断正误（正确的打“√”,错误的打“×”）
（1） 若,则.（ ）
（2） 若,则.（ ）
（3） 若,则.（ ）
（4） 若,则.（ ）
2．（必修第一册P43T3（2）改编）设,,则下列不等式一定成立的是（ ）
A. B. C. D.
3．(用结论)(多选)下列命题是真命题的是(　　)
A．若aB．若b>a>0，则>
C．若a>b，c>d，则a－c>b－d
D．若ab<0，a>b，则>
解析：选BD.A中，当c＝0时不成立，故A不是真命题；B中，由真分数性质知B是真命题；C中，因为a>b，(－c)<(－d)，不满足不等式的同向可加性，故C不是真命题；D中，因为ab<0，所以a，b异号，又a>b，所以a>0且b<0，所以>，故D是真命题．
4．(必修第一册P43T5改编)已知2解析：因为2答案：(2，5)
核心考点 师生共研
考点一 比较两个数（式）的大小
［例1］
（1） [2025·金华模拟]设,,的平均数为，与的平均数为，与的平均数为.若,则（ ）
A. B.
C. D.
（2） 若,,则与的大小关系是_ _ _ _ _ _ .（用“ ”连接）
［感悟进阶］
［对点训练］
1．若,，，,则（ ）
A. B. C. D.
2．已知,则_ _ .（填“ ”“ ”或“”）
考点二 不等式的基本性质
［例2］
（1） [2024·上海春季高考]已知,,,,则下列不等式恒成立的是（ ）
A. B.
C. D.
（2） （多选）设,,,为实数，且,则下列不等式正确的是（ ）
A. B.
C. D.
［感悟进阶］
利用不等式的性质判断结论正误的两种方法
(1)直接法：对于说法正确的，要利用不等式的相关性质证明；对于说法错误的，只需举出一个反例即可．
(2)特殊值法：注意取值一定要遵循三个原则．一是满足题设条件；二是取值要简单，便于验证计算；三是所取的值要有代表性．
［对点训练］
1．已知实数,满足,则下列不等式中正确的是（ ）
A. B. C. D.
2．若，，求证：.
考点三 不等式性质的综合应用
［例3］
（1） 已知,,则的取值范围是_ _ _ _ _ _ _ _ ，的取值范围是_ _ _ _ _ _ _ _ .
（2） 已知,,则的取值范围是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
［感悟进阶］
根据不等式的性质求代数式取值范围的注意点
(1)严格运用不等式的性质，注意其成立的条件．
(2)同向不等式的两边可以相加，如果在解题过程中多次使用这种转化，就会扩大其取值范围．
(3)建立待求范围的式子与已知范围式子的整体关系，最后一次性运用不等式的性质求得取值范围．
［对点训练］
1．设，，,则的取值范围是（ ）
A. ， B. ，
C. D. ，
2．已知实数,,满足,且,则的取值范围是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
课后达标 分级演练
A 基础达标
1．已知,,，则，的大小关系为（ ）
A. B. C. D.
2．已知,,,则（ ）
A. B. C. D.
3．已知,且，则下列不等式正确的是（ ）
A. B.
C. D.
4．若,,则与的大小关系是（ ）
A. B. C. D.
5．已知实数，，满足，且，则下列说法正确的是（ ）
A. B. C. D.
6．已知,,则下列不等式成立的是（ ）
A. B. C. D.
7．某班有学生参加才艺比赛，已知每人只参加一项比赛，且参加书法比赛的人数多于参加唱歌比赛的人数，参加唱歌比赛的人数多于参加折纸比赛的人数，参加折纸比赛的人数的2倍多于参加书法比赛的人数，则参加这三项比赛的总人数至少为（ ）
A. 7 B. 9 C. 12 D. 15
8．（多选）已知,,则（ ）
A. B.
C. D.
9．[2025·南京调研]（多选）若,且,则（ ）
A. B.
C. D.
10．已知,为实数，且,,则_ _ .（填“ ”“ ”或“”）
11．若,,则的取值范围是_ _ _ _ _ _ _ _ .
12．能够说明“若，则”是假命题的一组实数,,的值依次为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
B 综合运用
13．给出三个不等式：①a2>b2；②2a>2b-1；③>－.能够使以上三个不等式同时成立的一个条件是____________(填序号).
14．若一元二次函数的图象关于轴对称，且,,则的取值范围为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
课标要求 考情分析
1.了解基本不等式解决简单的最值问题. 命题形式 题型以选择题为主，也可作为工具出现在解答题中，难度中档. 常考内容 利用基本不等式求最值. 创新考法 与函数、数列、平面向量、解析几何、导数等内容相结合.
必备知识 自主排查
理一理
1．基本不等式：
（1）基本不等式成立的条件是①_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ；
（2）等号成立的条件是：当且仅当②_ _ _ _ _ _ 时取等号；
（3）其中③_ _ _ _ _ _ _ _ 叫做正数,的算术平均数,④_ _ _ _ _ _ 叫做正数,的几何平均数.
提醒 应用基本不等式求最值要注意：“一正，二定，三相等”，忽略某个条件，就会出错.
2．基本不等式与最值
已知,，则
（1）如果是定值,那么当且仅当时，有最小值是⑤_ _ _ _ _ _ （简记：积定和最小）；
（2）如果是定值,那么当且仅当时，有最大值是⑥_ _ _ _ _ _ _ _ （简记：和定积最大）.
常用结论
1..
2..
3..
4..
以上不等式等号成立的条件均为.
练一练
1．判断正误（正确的打“√”,错误的打“×”）
（1） 函数的最小值是2.（ ）
（2） 两个不等式与成立的条件是相同的.（ ）
（3） 成立的条件是.（ ）
（4） 函数的最小值为.（ ）
2．函数的最小值是（ ）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
3．已知,则的最小值为（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
4．（必修第一册 习题（2）改编）函数的最大值为_ _ _ _ _ _ .
5．（用结论）若,,且,则的最小值为_ _ _ _ _ _ .
核心考点 师生共研
考点一 直接法求最值
［例1］
（1） 若实数,满足,则的最小值为_ _ _ _ _ _ .
（2） 已知,，,则的最大值为_ _ _ _ .
［感悟进阶］
利用基本不等式求最值的策略
求“和”式的最小值时，一般运用变形,这时必须确保“积”是定值；求“积”式的最大值时，一般运用变形,这时必须确保“和”是定值.
注意 需检验是否满足等号成立的条件.
［对点训练］
1．（多选）下列代数式中最小值为2的是（ ）
A. B.
C. D.
2．已知,且,则的最小值为（ ）
A. 4 B. 6 C. D. 8
考点二 配凑法求最值
［例2］
（1） 已知,则的最小值是（ ）
A. B. C. D.
（2） 已知,则的最大值为（ ）
A. 2 B. 4 C. 5 D. 6
［感悟进阶］
运用配凑法求最值的关键点
配凑法是指对所给或所求代数式进行适当的变形，通过拆(裂项、拆项)、并(分组、并项)、配(配式、配系数等)，使得“和”是定值或“积”是定值，从而运用基本不等式求得最值．
［对点训练］
1．若正实数,满足,则的最大值是_ _ _ _ _ _ .
2．当时，的最大值为_ _ _ _ _ _ .
考点三 常数代换法求最值
［例3］
（1） [2025· 湘豫名校联考]已知正实数,满足,则的最小值为（ ）
A. 8 B. 9 C. 10 D. 11
（2） 已知,则的最小值是_ _ _ _ .
［感悟进阶］
运用代换法求最值的步骤
（1）根据已知条件或其变形确定定值（常数）.
（2）把确定的定值（常数）变形为1.
（3）把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除，进而构造和或积的形式.
（4）利用基本不等式求解最值.
［对点训练］．[2025·扬州调研]设,,,则的最小值为（ ）
A. B. C. D. 3
［最小值为_ _ _ _ .
［感悟进阶］
利用消元法、换元法求最值的方法
(1)消元法：即根据条件建立两个量之间的函数关系，然后代入代数式转化为求函数的最值．有时会出现多元的问题，解决方法是消元后利用基本不等式求解．
(2)换元法：求较复杂的式子的最值时，通常利用换元法将式子恰当变形，将式子简化，再利用基本不等式求解．
［对点训练］
1．已知,则的最大值为_ _ _ _ _ _ .
2．[2025·安庆模拟]若正数,满足,则的最小值是_ _ _ _ .
课后达标 分级演练
A 基础达标
1．若,则的最大值是（ ）
A. 4 B. 1 C. 0 D. 不存在
2．已知,,且，则（ ）
A. 有最大值为1 B. 有最小值为1
C. 有最大值为 D. 有最小值为
3．若,则的最小值是（ ）
A. B. C. D.
4．若,则的最小值是（ ）
A. 3 B. C. 4 D.
5．已知,,且,则的最大值为（ ）
A. B. C. D.
6．[2025·河北名校联考]已知,,,则的最小值为（ ）
A. 4 B. 6 C. 8 D. 9
7．已知正数,满足,则的最小值为（ ）
A. 1 B. C. 2 D.
8．（多选）下列不等式一定成立的有（ ）
A. B.
C. D.
9．（多选）已知,,若,则（ ）
A. 的最大值为 B. 的最小值为1
C. 的最小值为8 D. 的最小值为
_ _ _ .
11．已知,则的最大值为 _ _ _ _ _ _ .
12．设,为正实数，且,则的最小值为_ _ _ _ _ _ .
B 综合运用
13．[2025·绵阳模拟]存在三个实数，，使其分别满足下述两个等式：；，其中表示三个实数，，中的最小值，则（ ）
A. 的最小值是 B. 的最大值是
C. 的最小值是 D. 的最大值是
,，则的最小值为_ _ _ _ _ _ .
第5讲 基本不等式的应用
课标要求 考情分析
1.会求与基本不等式有关的恒（能）成立问题. 2.理解基本不等式在实际问题中的应用. 命题形式 题型以选择题、填空题为主，中档难度. 常考内容 利用基本不等式求参数. 创新考法 与其他知识交汇考查.
核心考点 师生共研
考点一 基本不等式的变形应用
［例1］
[例1]　(1)数学里有一种证明方法叫做proof without words，也称之为无字证明，一般是指仅用图象语言而无需文字解释就能不证自明的数学命题．由于这种证明方法的特殊性，无字证明被认为比严格的数学证明更为优雅．现有如图所示图形，在等腰直角三角形ABC中，点O为斜边AB的中点，点D为斜边AB上异于端点的一个动点．设AD＝a，BD＝b，则该图形可以完成的无字证明为(　　)
A.
B.
C.
D.
（2） 已知正实数,满足,则下列不等式中错误的是（ ）
A. B.
C. D.
［感悟进阶］
基本不等式的常见变形
（1）.
（2）.
［对点训练］．（多选）已知,，且,则下列不等式一定成立的是（ ）
A. B.
C. D.
考点二 与基本不等式有关的恒（能）成立问题
［例2］ 已知,,且,若不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
［感悟进阶］
利用基本不等式解题的策略
（1）应用基本不等式判断不等式是否成立：对所给不等式（或式子）变形,然后利用基本不等式求解.
（2）条件不等式的最值问题：通过条件转化成能利用基本不等式的形式后求解.
（3）求参数的值或范围：观察题目特点,利用基本不等式确定相关式子成立的条件,从而求得参数的值或范围.
［对点训练］．若正实数,满足,且不等式有解，则实数的取值范围是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
实下评估．该商品原来每件售价为25元，年销售8万件．为了抓住此次契机，扩大该商品的影响力，提高年销售量，公司决定立即对该商品进行全面技术革新和营销策略改革，并提高定价到x元．公司拟投入(x2－600)万元作为技改费用，投入50万元作为固定宣传费用，投入万元作为浮动宣传费用．试问：当该商品改革后的年销售量a至少应达到多少万件时，才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和？求出此时每件商品的定价．
［感悟进阶］
利用基本不等式解决实际应用问题的思路
（1）设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数.
（2）根据实际问题抽象出函数的解析式后，只需利用基本不等式求得函数的最值.
（3）在求函数的最值时，一定要在定义域（使实际问题有意义的自变量的取值范围）内求解.
［对点训练］．某公益广告公司拟在一张矩形海报纸（记为矩形，如图）上设计三个等高的宣传栏（栏面分别为一个等腰三角形和两个全等的直角梯形），宣传栏（图中阴影部分）的面积之和为.为了美观，要求海报上所有水平方向和竖直方向的留空宽度均为.当直角梯形的高为多少时，用纸量最少（即矩形的面积最小）？
解：设直角梯形的高为x cm(x>0)，因为宣传栏(题图中阴影部分)的面积之和为1 440 cm2，且海报上所有水平方向和竖直方向的留空宽度均为2 cm，所以海报宽度AD＝(x＋4)cm，海报长度DC＝cm，故S矩形ABCD＝AD·DC＝(x＋4)(＋8)＝8x＋＋1 472≥2＋1 472＝192＋1 472，当且仅当8x＝，即x＝12时，等号成立．所以当直角梯形的高为12 cm时，用纸量最少．
课后达标 分级演练
A 基础达标
1．当时，的最小值为10,则（ ）
A. 1 B. C. D. 4
2．若圆柱的上、下底面的圆周都在一个半径为2的球面上，则该圆柱侧面积的最大值为（ ）
A. B. C. D.
3．已知,，则下列不等式一定成立的是（ ）
A. B.
C. D.
4．快递公司计划在某货运枢纽附近投资配建货物分拣中心．假定每月的土地租金成本与分拣中心到货运枢纽的距离成反比，每月的货物运输成本与分拣中心到货运枢纽的距离成正比．经测算，如果在距离货运枢纽10 km处配建分拣中心，则每月的土地租金成本和货物运输成本分别为2万元和8万元．要使得两项成本之和最小，分拣中心到货运枢纽的距离应设置为(　　)
A．5 km B．6 km C．7 km D．8 km
5．对任意,，都有，则实数的最大值为（ ）
A. B. C. 4 D.
6．若把总长为的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是.
7．若“,使得成立”是假命题，则实数 的最大值为_ _ _ _ _ _ .
8．已知，假设不等式恒成立，则的最小值为_ _ _ _ _ _ .
9．（13分）已知正实数,满足等式.
（1） 求的最小值；（6分）
（2） 若恒成立，求实数的取值范围.（7分）
B 综合运用
10．已知,为正实数，则的最小值为（ ）
A. 4 B. 5 C. 6 D. 8
11．（13分）已知,,,求：
（1） 的最大值；（6分）
（2） 的最小值.（7分）
12．（15分）设函数,且,.
（1） 求,的值；（7分）
（2） 若，使得成立，求实数的取值范围.（8分）
C 素养提升
13．已知,,且.若恒成立，则满足条件的整数的个数是（ ）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
14．[2025·湖南大联考]（多选）已知,,,则（ ）
A. B.
C. D.
第6讲 一元二次不等式
课标要求 考情分析
1.会结合一元二次函数的图象判断一元二次方程根的个数. 2.会从实际情境中抽象出一元二次不等式. 3.能借助一元二次函数解一元二次不等式. 命题形式 选择题或在解答题解题过程中体现，难度较低. 常考内容 解一元二次不等式. 创新考法 常与集合和函数定义域相结合命题.
必备知识 自主排查
理一理
1．一元二次不等式
只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是①_ _ 的不等式，称为一元二次不等式，一元二次不等式的一般形式是或,,为常数，且.
提醒 对于不等式,求解时不要忘记时的情形.
2．三个“二次”的对应关系
讨论对应的一元二次不等式的解集，如下表.
判别式
二次函数的图象
方程的根 有两个不相等的实数根, 有两个相等的实数根 没有实数根
不等式的解集 ②_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
常用结论
1.分式不等式的解法
（1）.
（2）
2.两个一元二次不等式恒成立的充要条件
（1）一元二次不等式对任意实数恒成立
（2）一元二次不等式对任意实数恒成立
练一练
1．判断正误（正确的打“√”，错误的打“×”）
（1） 为一元二次不等式.（ ）
（2） 若不等式的解集为，则必有.（ ）
（3） 若方程没有实数根，则不等式的解集为.（ ）
（4） 不等式在上恒成立的条件是且.（ ）
2．（必修第一册（2）改编）不等式的解集为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
3．不等式的解集为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
4．(用结论)(2025·全国二卷)不等式≥2的解集是(　　)
A．{x|－2≤x≤1} B．{x|x≤－2}
C．{x|－2≤x<1} D．{x|x>1}
解析：选C.因为≥2，所以－2≥0，故有≥0，即≤0，等价于解得－2≤x＜1，故原不等式的解集是{x|－2≤x＜1}．故选C.
5．若关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
核心考点 师生共研
考点一 一元二次不等式的解法
角度1 不含参数的不等式的解法
［例1］ 解关于的不等式.
（1） ;
（2） .
［感悟进阶］
解不含参数的一元二次不等式的一般步骤
注意 分式不等式转化为整式不等式时，要注意等价转化，必要时要对分母进行限制，转化为不等式组.
角度2 含参数的不等式的解法
［例2］ 解关于的不等式.
［感悟进阶］
分类讨论求解含参数不等式的基本策略
(1)对二次项系数为正数、负数、零进行分类．
(2)对不等式所对应的一元二次方程的根的情况进行讨论，即讨论判别式Δ与0的关系．
(3)若求出的根中含有参数，对两个根的大小关系进行讨论．
［对点训练］
1．不等式的解集为（ ）
A. B.
C. 或 D. 或
2．解不等式.
考点二 三个二次间的关系
［例3］ （多选）已知关于的不等式的解集是，则（ ）
A.
B.
C.
D. 不等式的解集是,或
］函一元二次不等式解集的端点值.
（2）给出一元二次不等式的解集，相当于知道了相应二次函数图象的开口方向及与轴的交点，可以利用代入根或根与系数的关系求待定系数.
［对点训练］
1．关于的不等式的解集为或，则关于的不等式的解集为（ ）
A. B.
C. D.
2．若关于的不等式的解集为,且,则的值为_ _ _ _ _ _ .
考点三 一元二次不等式恒成立问题
角度1 在实数集上恒成立
［例4］ [2025·浙江模拟]若不等式的解集为，则实数的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
角定,恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
立恒成立，则的取值范围为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
数况谁就是参数．
(2)一元二次不等式在R上恒成立，可用判别式Δ，一元二次不等式在给定区间上恒成立，不能用判别式Δ，一般通过分离参数求最值或分类讨论．
［对点训练］
1．已知命题,为真命题，则实数的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
方＋个根为x1，x2，m，n，k为常数．令f(x)＝ax2＋bx＋c，结合二次函数的图象，以a>0的情形为例，一元二次方程根的分布情形总结如下：
（1）若方程有两个均大于的实根，即,,则有
（2）若方程在内有两根，即，，
则有
（3）若方程有两根，一根比大，一根比小，即,则有.
（4）若,则有
（5）若方程有两个不同的根，且在内有且仅有一个根，则或,另一根在内，或,另一根在内.
［典例］ 关于的方程满足下列条件，求的取值范围.
（1） 有两个正根；
（2） 一个根大于1，一个根小于1；
（3） 一个根在内，另一个根在内；
（4） 一个根小于2，一个根大于4；
（5） 两个根都在内.
值_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
1（ . D.
2．不等式的解集为（ ）
A. B.
C. ，或 D. ，或
3的解集为（ ）
A. B.
C. D.
4．[2025·北京段考]若关于的不等式在区间内有解，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
5．（多选）已知关于的不等式的解集为，则（ ）
A.
B.
C. 不等式的解集是
D. 不等式的解集为 ,,
_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
7．若一元二次方程的两根都是负数，则的取值范围为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ；
若它有一个正根和一个负根，则的取值范围为_ _ _ _ _ _ _ _ .
个值范围是_ _ _ _ _ _ _ _ .
9．（13分）求下列关于的不等式的解集：
（1） ;（6分）
（2） 若，求关于的不等式的解集.（7分）
B 综合运用
10．在上定义运算“”：,则满足的实数的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
11．（13分）已知关于的不等式.
（1） 若该不等式的解集为,求,的值；（6分）
（2） 若,求此不等式的解集.（7分）
x
2.
(1)若 x∈[－1，1]，使得f(x)≥0成立，求实数a的取值范围；(7分)
(2)若 a∈[－1，1]，f(x)>0恒成立，求实数x的取值范围．(8分)
解：(1)若 x∈[－1，1]，使得f(x)≥0成立，
则f(x)max≥0，x∈[－1，1].
函数f(x)图象的对称轴方程为x＝－a.
当－a≤0，即a≥0时，f(x)max＝f(1)＝a＋3≥0，得a≥－3，所以a≥0.
当－a>0，即a<0时，f(x)max＝f(－1)＝3－3a≥0，得a≤1，所以a<0.
综上可得，实数a的取值范围是R.
(2)因为 a∈[－1，1]，f(x)>0恒成立，
令g(a)＝(2x－1)a＋x2＋2，
则g(a)>0在[－1，1]上恒成立，
所以
解得x≠－1，故实数x的取值范围是{x|x≠－1}．
C 素养提升
13．已知关于的不等式的解集为，则（ ）
A.
B. 点在第二象限
C. 的最大值为
D. 关于的不等式的解集为
的解集是,则下列结论中正确的是（ ）
A. B.
C. D.
第71页

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