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第四章 整式的加减--整式中的规律探究问题 常见题型总结练 2025-2026学年上学期初中数学人教版（2024）七年级上册
一、数字类规律探究问题
1．观察下面一列数，按某种规律在横线上填上适当的数：，，，，…，第8个数是 ；则第个数是 ．
2．若x是不等于1的有理数，我们把称为x的差倒数．如：2的差倒数是，的差倒数为，现已知，是的差倒数，是的差倒数，是的差倒数，．．．，依次类推，则 ．
3．观察下列三行数，根据规律解决下列问题：
第一行：1，，5，，9，，13，，
第二行：0，，4，，8， ，12，，
第三行：2，，10，，18，，26，，
(1)第一行第9个数为________，第二行第9个数为________，第三行第9个数为________；
(2)取每行中第10个数，求三个数之和；
(3)若每行都取第个数，是否存在这样的，使得这三个数之和为99？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
4．观察是数学抽象的基础，在数学探究学习中，我们要善于通过观察发现规律，进而解决问题．请你擦亮眼睛，开动脑筋，解答下列问题．
(1)观察下列等式：，，，根据发现的规律：
①写出第6个等式是________________________，第n个等式是______________________________；
②计算：；
(2)思考运用以上方法计算：的值．
5．观察图，解答下列问题．
(1)图中的小圆圈被折线隔开分成六层，第一层有1个小圆圈，第二层有3个圆圈，第三层有5个圆圈，…，第六层有11个圆圈．如果要你继续画下去，那么第9层有_______个小圆圈？
(2)数图中的圆圈个数可以有多种不同的方法．
比如：前两层的圆圈个数和为或，由此得，．
同样，由前三层的圆圈个数和得：，
由前四层的圆圈个数和得：．
由前五层的圆圈个数和得：．
根据上述请你猜测，从1开始的n个连续奇数之和是______（用n的代数式表示）；
(3)计算： _________；
(4)计算：．
二、图形类规律探究问题
6．摆一摆，找规律
(1)请画出第⑥个图形；
(2)摆第7个图形需要用______根小棒；
(3)摆第个图形需要用______根小棒．
7．如图，这是一类物质结构组成的式子，第1个结构式中有1个和4个，分子式是；第2个结构式中有2个和6个，分子式是；第3个结构式中有3个和8个，分子式是按照此规律，回答下列问题．
(1)第5个结构式的分子式是______．
(2)第个结构式的分子式是______．
(3)试通过计算说明分子式是的物质构成符合上述构成规律吗？
8．如图，每个图案均是由长度相等的木棒按一定的规律拼接而成的，第个图案需要根木棒，第个图案需要根木棒，第个图案需要根木棒，第个图案需要根木棒，……依据此规律，继续拼接图案．
(1)第个图案需要木棒 根，第个图案需要木棒 （用含n的式子表示）根．
(2)若要摆出第个图案，则所需木棒的根数是多少？
9．如图所示，是用图形“”和“”按一定规律摆成的“小屋子”．
(1)按照此规律继续摆下去，第7个“小屋子”中图形“”的个数为______个，“”的个数为______个；
(2)按照此规律继续摆下去，第几个“小屋子”中图形“”的个数是图形“”的个数的4倍？
10．有一张菱形纸片，其一个内角为60°，取菱形纸片的四边和短对角线的中点，按“8”字形顺次连接各点，形成两个小三角形，这两个小三角形组成的图形简称“沙漏形”，如图（1），将“沙漏形”挖去，对剩下纸片中的菱形纸片重复上述操作，得到如图（2）所示的图形……
设图（n）中的“沙漏形”的个数为（n为正整数）．观察以上图形，解答下列问题：
(1)填空： ， （用含n的式子表示）：
(2)当n的值为多少时，的值开始大于2025．
拓展练
一、单选题
1．按一定规律排列的单项式：，第n个单项式是（ ）
A． B． C． D．
2．以下是一组按规律排列的多项式：，，，，，…，其中，第个多项式是（ ）
A． B． C． D．
3．一组按规律排列的多项式：，，，，第个多项式是（ ）
A． B．
C． D．
4．按一定规律排列的多项式：，…，则第n个多项式是（　　）
A． B． C． D．
5．按一定规律排列的单项式：x，，，，，，第n个单项式是（ ）
A． B． C． D．
6．按照如图所示的方法铺设黑、白两色的小正方形地砖，第1个图案中有1块黑色小正方形地砖，第2个图案中有5块黑色小正方形地砖，第3个图案中有13块黑色小正方形地砖，…，则第9个图案中黑色小正方形地砖的块数是（　　）
A．85块 B．113块 C．145块 D．181块
二、填空题
7．【观察思考】
【规律发现】第n个图案中“◎”的个数为 ．
8．观察下列图形的排列规律：依此规律，第6个图形共有 个▲
9．用长度相同的木棍按如图所示的规律拼图案，其中第一个图案为1个正方形和1个等边三角形，第二个图案为2个正方形和1个等边三角形，第三个图案为3个正方形和1个等边三角形……．依照此规律排列下去，则第六个图案用的木棍根数是 ．
10．观察下列图形：

它们是按一定规律排列的，依照此规律第15个图形共有多少 个★．
11．观察按一定规律排列的一组数：2，，，…，其中第个数记为，第个数记为，且满足，则 ； ．
12．按一定规律排列的一列数依次为：，，，，…(a≠0)，按此规律排列下去，这列数中的第n个数是 .(n为正整数)
13．观察下面的整式，根据规律写出横线上的整式：a，，，，…，第 个整式是 ；
三、解答题
14．化学中把仅有碳和氢两种元素组成的有机化合物称为碳氢化合物，又叫烃，如图，这是部分碳氢化合物的结构式，第1个结构式中有1个C和4个H，分子式是；第2个结构式中有2个C和6个H，分子式是；第3个结构式中有3个C和8个H，分子式是…按照此规律，回答下列问题．
(1)第6个结构式的分子式是________；
(2)第n个结构式的分子式是________；
(3)试通过计算说明分子式的化合物是否属于上述的碳氢化合物．
15．学校餐厅准备按如图所示的方式摆放桌子和椅子，请按图中提示，回答下列问题：
(1)1张饭桌可坐人，张饭桌可坐_________人；
(2)按如图所示的方式摆放桌子和椅子，n张饭桌可坐_________人；
(3)如果将桌子的摆放方式改为如图的方式，则张饭桌可坐_________人．
16．如图，是一幅平面镶嵌图案，它由相同的黑色正方形和白色等边三角形排列而成，观察图案：第1个图案有1个正方形，4个等边三角形；第2个图案有2个正方形，7个等边三角形；第3个图案有3个正方形，10个等边三角形，以此类推…
(1)第n个图案有________个正方形，________个等边三角形．
(2)现有2024个等边三角形，如按此规律镶嵌图案，要求等边三角形剩余最少，则需要正方形多少个？
17．观察下列等式：
第个等式：；
第个等式：；
第个等式：；
第个等式：；
；
按照以上的规律，解决下列问题：
(1)写出第等式：__________；
(2)直接写出你猜想的第个等式，并证明该等式（用含字母的式子表示等式）．
18．有一列数，按一定规律排列成，…，观察这列数的规律解决如下问题：
(1)第七个数是______，第n个数可表示为________；
(2)若其中某三个相邻数的积是，求这三个数的和．
答案
一、数字类规律探究问题
1． 解：观察数据的规律可知：分子的规律是连续的奇数即，分母是、、、，且奇数项是负数，偶数项是正数即，则第个数是，第8个数是，
故答案为：，．
解：根据差倒数的定义可得出：，
，
，
，
，
由此发现该组数每3个一循环．
，
．
故答案为：4．
（1）解：第一行的规律是，，，于是得到第n个数为，
第二行的规律是，，，于是得到第n个数为；
根据题意，得，，，于是得到第三行第n个数为，
当时，，，，
故答案为：17，16，34．
（2）解：当时，，，，
故．
（3）解：根据题意，得，
整理，得，
即，
当n为偶数时，，
解得，不符合题意；
当n为奇数时，，
解得，符合题意；
故存在，且n为13．
（1）解：①∵，，，
∴第6个等式是：；
第n个等式是：；
故答案为：，；
②原式
；
（2）解：原式
．
（1）解：第一层有1个小圆圈，
第二层有3个圆圈，
第三层有5个圆圈，
…，
依此规律：每一层小圆圈个数是连续的奇数，
第n层有个小圆圈，
∴
∴第9层有个小圆圈
故答案为：；
（2）解：前一层的圆圈个数和得：，
前两层的圆圈个数和得：，
由前三层的圆圈个数和得：，
由前四层的圆圈个数和得：，
由前五层的圆圈个数和得：，
，
从1开始的n个连续奇数之和是，
故答案为：；
（3）解：由上可得：，
故答案为：；
（4）解：
．
二、图形类规律探究问题
6 （1）解：如图所示，第⑥个图形是平行四边形；
（2）观察图形可知：
1个三角形所需火柴棍的根数为3，
2个三角形所需火柴棍的根数为，
3个三角形所需火柴棍的根数为，
4个三角形所需火柴棍的根数为，
…
n个三角形所需火柴棍的根数为，
当时，，
故摆第7个图形需要15根小棒．
（3）由（2）可知：
n个三角形所需火柴棍的根数为，
故摆第个图形需要用根小棒．
7． （1）解：根据规律可知第4个结构式中有4个和10个，分子式是，第5个结构式中有5个和12个，分子式是．
故答案为：．
（2）解：根据规律可知第个结构式的分子式有个和个，分子式为．
故答案为：．
（3）解：不符合．
因为第个结构式的分子式，令，则，
所以分子式的物质构成不符合上述构成规律．
（1）解：第个图案需要（根）木棒，第个图案需要根木棒；
故答案为：11；
（2）解：当时，，
∴若要摆出第个图案，则所需木棒的根数是．
（1）解：由所给图形可知，
第1个“小屋子”中图形“”的个数为：，“”的个数为：；
第2个“小屋子”中图形“”的个数为：，“”的个数为：；
第3个“小屋子”中图形“”的个数为：，“”的个数为：；
第4个“小屋子”中图形“”的个数为：，“”的个数为：；
第个“小屋子”中图形“”的个数为：，“”的个数为：；
…，
由此可知，
第个“小屋子”中图形“”的个数为：，“”的个数为：；
故答案为：，；
（2）解：第个“小屋子”中图形“”的个数为，“”的个数为；
由题意得，解得（舍），，
答：第个“小屋子”中图形“”个数是图形“”个数的4倍．
（1）解：第一个图形有1个“沙漏型”，
第二个图形有 个“沙漏型”，
第三个图形有 个“沙漏型”，
…．
由此可得到规律，第n个图形有个 图形，即
∴，
故答案为：31；；
（2）解：∵
∴
∴
则当成立，.
∴
拓展练
1．C
本题考查单项式的变化类、单项式，根据题目中的单项式，可以发现系数是从1开始连续的正整数，指数是从2开始的连续的正整数，从而可以写出第n个单项式．
解：
∴第n个单项式是，
故选：C．
2．B
本题考查多项式排列中的规律．根据题意，把原来多项式拆成两个单项式，分别找出每组单项式的规律即可．
解：将排列的多项式：，，，，，…，拆成两组单项式为：
第个单项式为和
第个多项式是．
故选：B．
3．C
本题考查了多项式规律探究，理解题意，认真分析，找到规律是解决本题的关键．根据所给的多项式的项数，次数，即可找到规律，根据规律即可求解．
解：由题意可知：所给的多项式为二项式，a的指数为从3开始的连续奇数，b的指数为从4开始的连续偶数，其中当n为奇数时a的系数为正，b的系数为负，当n为偶数时，a的系数为负，b的系数为正，
∴第个多项式中的第一项为，第二项为，
∴第个多项式是，
故选：C．
4．A
本题主要考查了与多项式有关的规律探索，观察可知，多项式的第一项的系数和指数是从1开始的连线的自然数，第二项是常数2，据此可得答案．
解：观察可知，多项式的第一项的系数和指数是从1开始的连线的自然数，第二项是常数2，
∴第n个多项式是，
故选：A．
5．B
本题考查了单项式的规律探寻，根据给出的单项式找出系数和次数的规律是解题的关键，找出给出的一列单项式的系数和次数的规律即可解答．
解：单项式的系数分别是，
次数的规律是从1开始的连续的奇数，即，
第个单项式是：，
故选：B．
6．C
本题考查图形的变化规律，得到第n个图案中黑色小正方形地砖的块数是解题的关键．
∵第个图案中黑色小正方形地砖的块数，
第个图案中黑色小正方形地砖的块数，
第个图案中黑色小正方形地砖的块数，
第个图案中黑色小正方形地砖的块数，
…，
第n个图案中黑色小正方形地砖的块数，
∴第个图案中黑色小正方形地砖的块数．
故选：C．
7．
本题考查了图形的规律探究．根据题意推导一般性规律是解题的关键．
根据题意推导一般性规律，然后作答即可．
解：由题意知，第1个图案中“◎”的个数为；
第2个图案中“◎”的个数为；
第3个图案中“◎”的个数为；
第4个图案中“◎”的个数为；
……
∴可推导一般性规律为：第n个图案中“◎”的个数为，
故答案为：．
8．21
本题考查了图形规律探索，通过分析前三个图形的图案找到规律，即可得到第6个图形有个三角形．
解：分析数据可得：
∵第1个图案中基础图形的个数为1；
第2个图案中基础图形的个数为；
第3个图案中基础图形的个数为；
∴第6个图案有个三角形．
故答案为：21．
9．
本题主要考查了图形变化规律探究．根据图形，数出木棍数找到规律是解决问题的关键．根据前几个图形，发现每一个图形的木棍数都等于6加上图形位置序数与1的差的3倍，即，据此规律求解即可．
解：由图可知：
第1个图案用木棍根数根，
第2个图案用木棍根数：（根，
第3个图案用木棍根数：（根，
第4个图案用木棍根数：（根，
……
第个图案用的木棍根数是，即；
当时，．
故答案为：．
10．46
本题考查了图形变化规律的问题，把★分成两部分进行考虑，并找出第个图形★的个数的表达式是解题的关键．
将每一个图案分成两部分，最下面位置处的一个不变，其它的分三条线，每一条线上后一个图形比前一个图形多一个，根据此规律找出第个图形中★的个数的关系式，然后把代入进行计算即可求解．
解：观察发现，第1个图形★的个数是，，
第2个图形★的个数是，，
第3个图形★的个数是，，
第4个图形★的个数是，，
以此类推，第个图形★的个数是，，
故当时，，
故答案为：46．
11． /
本题主要考查数字的变换规律，解答的关键是由所给的数总结出存在的规律．把相应的数字代入，从而得到，在分析其中的规律进行求解即可．
解由题意得：，
，
时，，
，
解得，
当时，可求得，
则这列数为：，
可看出分子为，分母为，
第个数为：，
．
故答案为：，．
12．.
根据题意写出前四项的数据，第1个数为，第2个数为，第3个数为，第4个数为，进行观察，据此规律判断即可．
第1个数为，
第2个数为，
第3个数为，
第4个数为，
…，
所以这列数中的第n个数是.
故答案为.
【点睛】此题考查数列中的规律，解题关键在于观察找出规律
13．
本题考查单项式的排列规律，能根据所给单项式列发现系数和次数的变化规律是解题的关键．
观察所给的单项式列可知，奇数项的系数是1，偶数项的系数是，的次数逐次增加1，据此可解决问题．
解：根据所给的单项式列可知，
奇数项的系数是1，偶数项的系数是，的次数逐次增加1，
所以第个式子的系数为，第个式子的字母部分为，
∴第个式子为．
故答案为：．
14．(1)
(2)
(3)不属于，理由见解析
本题考查了图形规律问题 ，旨在考查学生的抽象概括能力，根据图示确定一般规律即可求解．
（1）由图可知：第n个结构式中有个C和个H，分子式是，据此即可求解；
（2）由（1）中的结论即可求解；
（3）令，计算即可判断；
（1）解：由图可知：第n个结构式中有个C和个H，分子式是；
∴第6个结构式的分子式是，
故答案为：
（2）解：由（1）可知：第n个结构式的分子式是，
故答案为：
（3）解：令，则，
∴分子式的化合物不属于上述的碳氢化合物
15．(1)
(2)
(3)
此题主要考查了图形的变化规律，解答此题的关键是观察发现摆放桌子的数形成的规律．
（1）根据图形即可解答；
（2）按第一种方式摆放桌子和椅子，观察发现：多一张餐桌，多放把椅子，且变化规律完全相同，张饭桌可坐，即可求解；
（3）如果将桌子的摆放方式改为第二种，观察可发现：多一张餐桌，多放把椅子，且变化规律完全相同，则张饭桌可坐，即可求解．
（1）解：由图可知，张饭桌可坐人，张饭桌可坐人，
故答案为：；
（2）列表探究所坐人数与桌子张数之间的数量关系：
桌子张数 …
所坐人数 6 …
n张饭桌可坐人，
故答案为：；
（3）列表探究所坐人数与桌子张数之间的数量关系：
桌子张数 …
所坐人数 …
n张饭桌可坐人，
故答案为：．
16．(1)n；
(2)674个
（1）观察发现第1个图案：正方形有1个，等边三角形有4个；第2个图案：正方形有2个，等边三角形有个；依次计算可解答；
（2）由（1）中的规律可知：等边三角形剩余最少为1块，则，求出n的值即可．
本题以等边三角形和正方形的拼图为背景，关键是考查规律性问题的解决方法，探究规律要认真观察、仔细思考，善用联想来解决这类问题．
（1）第1个图案：正方形有1个，等边三角形有4个，
第2个图案：正方形有2个，等边三角形有（个），
第3个图案：正方形有3个，等边三角形有（个），
第4个图案：正方形有4个，等边三角形有（个），
……
第n个图案：正方形有n个，等边三角形有个．
故答案为：n；；
（2）要使等边三角形剩余最少，则最少为1块，
，
，
∴按此规律镶嵌图案，等边三角形剩余最少1块，这时需要正方形674个．
17．(1)；
(2)，证明见解析．
（）根据题目中给出的等式寻找规律得到每一部分的规律总结出整个式子的规律，通过规律即可得到第个等式；
（）根据上面得到的规律，将规律数替换成，使之由特殊到一般规律即可；
本题了数与代数式中的规律，读懂题意，找出等量关系以及利用整式的乘法公式进行化简证明是解题的关键．
（1）由第个等式：；
第个等式：；
第个等式：；
第个等式：；
则第个等式：；
故答案为：；
（2）由第个等式：；
第个等式：；
第个等式：；
第个等式：；
则第个等式：；
；
则第个等式：；
证明：左边，
右边，
左边右边
所以等式成立．
18．(1)64，
(2)12
本题考查数字的变化类，解答本题的关键是明确题意，发现数字的变化特点．
（1）根据题目中的数据，可以发现数字的变化特点，从而可以写出相应的数据；
（2）根据（1）中发现的数字的特点和题意，可以计算出这三个数，从而可以得到这三个数的和．
（1）这列数为，…，
这列数的第个数为，
当时，这个数是，
故答案为：64，；
（2）设这三个数是，，，
则，
即，
解得，
这三个数是4，，16，
这三个数的和是．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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