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整式的乘法--乘法公式 常见题型总结练
2025-2026学年上学期初中数学人教版（2024）八年级上册
一、运用平方差公式进行运算
1.运用平方差公式计算：
(1)；
(2)
2．计算：
(1)；
(2)．
3．利用乘法公式计算下列各题：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
二、利用平方差公式进行简便运算
4.简便计算：．
5．简便方法计算：．
6．用简便方法计算：
(1)；
(2)．
(3)
三、平方差公式在几何图形中的应用
7.【探究】（1）如图①，边长为的大正方形中有一个边长为的小正方形，把图①中的阴影部分拼成一个长方形（如图②所示），通过观察比较图②与图①中的阴影部分面积，可以得到乘法公式： （用含的等式表示）；
【应用】（2）请应用上述乘法公式解答下列各题：
①已知，，则的值为 ；
②计算：．
【拓展】（3）计算：．
8.综合探究某数学兴趣小组用“等面积法”分别构造了以下四种图形验证“平方差公式”：
(1)【探究】以上四种方法中能够验证“平方差公式”的有_____(填序号)；
(2)【应用】利用“平方差公式”计算：；
(3)【拓展】计算：．
9.从边长为a的正方形剪掉一个边长为b的正方形（如图①），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图②）．
(1)上述操作能验证的等式是 （请选择正确的一个）．
A． B．
C．
(2)若，，求的值．
(3)计算：．
四、运用完全平方公式进行运算
10.计算：．
11.计算：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
12.计算：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)；
(5)；
(6)．
五、利用完全平方公式进行简便运算
13.运用完全平方公式计算：
(1)；
(2)．
14.用简便方法计算：
(1)
(2)
15.运用完全平方公式计算：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
六、与乘法公式有关的化简求值问题
16． 化简求值：，其中．
17． 化简求值：，其中，．
18．先化简，再求值：，其中
七、通过对完全平方公式变形求值
19.当，时，求下列代数式的值：
(1)；
(2).
20.已知，，求：
(1)的值；
(2)的值．
21．已知，，分别求下列式子的值：
(1)；
(2)；
(3)．
八、求完全平方式中的字母系数
22.已知关于x的式子是某个多项式的完全平方，那么A是 ．
23．若是一个完全平方式，则 ．
24．若整式是完全平方式，请写出所有满足条件的是 ．
九、完全平方公式在几何图形中的应用
25.图1是一个长为，宽为a的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用这四块小长方形拼成一个“回形”正方形（如图2）．
(1)观察图2，请你写出，，之间的等量关系： ．
(2)若，，求的值为： ．
(3)若，求的值为： ．
26.把几个图形拼成一个新的图形，通过图形面积的计算，常常可以得到一些等式，这是研究数学问题的一种常用方法．我们在学习“从面积到乘法公式”时，曾用两种不同的方法计算同一个图形的面积，探索了完全平方公式：（如图1）．
(1)观察图2，请你写出、、之间的等量关系是_____；
拓展应用：根据（1）中的等量关系及课本所学的完全平方公式知识，解决如下问题：
(2)若，且，求的值；
(3)若，求的值；
(4)如图3，在中，，点在边上，，在边上取一点，使，分别以为边在外部作正方形和正方形，连接，若的面积等于，设，求正方形和正方形的面积和．
27. 将完全平方公式 进行适当的变形，可以解决很多数学问题．
例如： 若，，求 的值．
解：，，
请根据上面的解题思路和方法，解决下列问题：
(1)若，，求的值．
(2)将边长为的正方形和边长为的正方形按如图所示方式放置，其中点在边上， 连接，，若，， 求阴影部分面积．
拓展练
一、单选题
1．下列各式中能用平方差公式的计算的是（　　）
A． B．
C． D．
2．，则的值是（ ）
A．3 B． C．6 D．
3．如图，大正方形与小正方形的面积之差是16，则阴影部分的面积是（ ）
A．10 B．8 C．6 D．4
4．如图1，将长为，宽为的长方形沿虚线剪成两个长方形，并将两部分拼成图2所示图形，通过计算两个图形中阴影部分的面积，验证了一个等式，这个等式是（　　）
A． B．
C． D．
5．已知，，则（ ）
A．4 B．2 C．0 D．-2
6．已知，则的值是（ ）
A．6 B．7 C．8 D．10
7．若是一个完全平方式，则的值为（ ）
A．6 B． C．12 D．
8．如果对多项式“”进行因式分解的结果为，则“”中的数是（　　）
A． B．1 C．2 D．
9．已知，那么的值为（ ）
A． B．4044 C．4045 D．
二、填空题
10．若，，则 ．
11．若，则的值是 ．
12．如图，已知正方形和，点，，三点共线，，，则与的面积差是 ．
13．已知，，则的值是 ．
14．若，，则的值为 ．
15．定义a b，例如2 3则 的结果为 ．
三、解答题
16．从边长为a的正方形上剪掉一个边长为b的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）．
(1)上述操作能验证的等式是 ；
(2)已知，，求的值．
17．阅读材料：若x满足(9－x)(x－4)=4，求(9－x)2 +(x－4)2的值．
解：设9－x=a，x-4=b， 则(9－x)(x－4)=ab=4， a+b=(9－x)+(x－4)=5，∴(9－x)2+(x－4)2=a2+b2=(a+b)2－2ab=52－2×4=17
请仿照上面的方法求解下列问题：
（1）若x满足(7－x)（x－3）=2，求(7－x)2+（x－3）2的值
（2）(n－2020)2+（n－2021）2=3，求(n－2020)（n－2021）
18．将完全平方公式作适当变形，可以用来解决很多数学问题．
(1)观察图，写出代数式，，之间的等量关系：______；
(2)若，，求；
(3)如图，边长为的正方形中放置两个长和宽分别为，的长方形，若一个长方形的周长为，面积为，求图中阴影部分的面积的值．
答案
一、运用平方差公式进行运算
1. （1）解：
；
（2）解：
．
（1）解：
．
（2）
．
（1）解：原式；
（2）解：原式；
（3）解：原式；
（4）解：原式．
二、利用平方差公式进行简便运算
4. 解：
5． 解：
．
（1）解：
；
（2）解：原式
．
（3）解：原式
．
三、平方差公式在几何图形中的应用
7. 解：（1）图1中阴影部分面积，图2中阴影部分面积，
所以，得到乘法公式，
故答案为：；
（2）①由得，，
∵，，
∴；
故答案为：4；
②
；
（3）
．
8. （1）解：图①中，左图阴影部分可以看作两个正方形的面积差，即，拼成的右图是底为，高为的平行四边形，面积为，
∴，故图①可以验证平方差公式；
图②中，左图阴影部分可以看作两个正方形的面积差，即，拼成的右图是长为，宽为的长方形，面积为，
∴，故图②可以验证平方差公式；
图③中，左图阴影部分可以看作两个正方形的面积差，即，拼成的右图是底为，高为的平行四边形，面积为，
∴，故图③可以验证平方差公式；
图④中，左图阴影部分的可以看作两个正方形的面积差，即，拼成的右图是长为，宽为的长方形，面积为，
∴，故图④不能验证平方差公式；
综上所述，能验证平方差公式的有①②③，
故答案为：①②③；
（2）
；
（3）
．
（1）边长为a的正方形面积是，边长为b的正方形面积是，图①阴影部分面积为；图②长方形面积为；
验证的等式是，
故答案为：B．
（2），且，
，
解得：；
（3）
．
四、运用完全平方公式进行运算
10. 解：原式
．
11. （1）解：
；
（2）解：
；
（3）解：
；
（4）解：
．
（1）解：
；
（2）
；
（3）
；
（4）
；
（5）
；
（6）
．
五、利用完全平方公式进行简便运算
13 （1）解：
；
（2）解：
．
14. （1）解：，
；
（2）解：
．
（1）解：
；
（2）解：
；
（3）解：
；
（4）解：
．
六、与乘法公式有关的化简求值问题
16． 解：
，
把代入得：原式．
解：
，
当，时，
原式
．
18． 解：
，
，
，，
解得：，，
当，时，原式．
七、通过对完全平方公式变形求值
19. （1）解：
，
当，时，
原式
；
（2）解：，
当，时，
原式．
（1）解：，，
；
（2）解：，，
．
（1）解：，，
，，
，
∴，
；
（2）解：∵，，
∴，
∴，
解得：，
∴；
（3）解：．
八、求完全平方式中的字母系数
22. 解：①∵，
∴，
②若是多项式的平方，
则；
故答案为：、和．
23． 解：∵是一个完全平方式，
∴，
∴，解得或，
故答案为：11或．
解：当为和的中间项时；
当为和的中间项时Q=4x6；
当为和的中间项时；
故答案为：或或．
九、完全平方公式在几何图形中的应用
25. （1）解：观察图2，可得四块小长方形的面积为或，
∴；
故答案为：．
（2）解：根据（1）可得，
因为，，
所以．
（3）解：∵，
∴
，
∴．
26. （1）解：由图可知：大正方形的面积等于4个长方形的面积加上阴影正方形的面积
∴；
（2）由（1）可得，
，
，
，
；
（3）
，
，
，
；
（4）设，则，
，
，
，
，
令，
，
正方形和正方形的面积和：
．
（1）解：，，
；
（2）
拓展练
1．C
根据两个数的和乘以这两个数的差的标准去判断解答即可．
本题考查了平方差公式的应用，熟练掌握公式是解题的关键．
解：A. ，式子中有四个不同的数，不符合公式要求的只有两个相同的数，不符合题意；
B. ，都是差，没有两个数的和，不符合题意；
C. ，符合要求；
D. 都是两个数的和的形式，不符合要求；
故选：C．
2．A
本题考查平方差公式，设，则，解得：，再根据，即可得出答案．
解：设，则，
整理得，
解得：，
∵，
∴，
故选：A．
3．B
本题考查了平方差公式与几何图形，由题意得，根据，，，即可求解；
解析：大正方形与小正方形的面积之差是，
，
∵，，
由图可得：
．
故选：B
4．B
本题主要考查了平方差公式，利用数形结合思想分析是解题的关键．分别求出左右两边图形中阴影部分的面积，即可求解．
解：左边图形中阴影部分的面积为，
右边图形中阴影部分的面积为，
∴验证了等式．
故答案为：B．
5．C
本题考查了完全平方公式，由可得出；将的左右两边同时乘方，根据完全平方公式两公式之间的联系整理出，然后开方即可求出的值．
解：∵，
∴，
又，
∴
，
∴，
又，
∴，
∴，
∴，
故选：C．
6．A
利用换元法，将设为新变量，把原式转化为关于新变量的方程，再通过完全平方公式展开计算 ．本题主要考查换元法与完全平方公式的应用，熟练掌握换元简化运算、准确运用完全平方公式展开式子是解题关键．
解：设，则，．
∵，
∴．
展开得，
合并同类项得，
移项得，
两边同时除以得．
又∵，
∴．
故选： ．
7．D
此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
利用完全平方公式的结构特征判断即可求出的值．
解：∵是一个完全平方式，
，
故选：D．
8．C
本题主要考查了完全平方公式，掌握完全平方公式成为解题的关键．
将给定的因式分解结果展开，与原多项式对比即可解答．
解：∵多项式“”进行因式分解的结果为，
∴“”中的数是2．
故选C．
9．C
本题主要考查完全平方公式的应用，需要通过设未知数，将原式转化为含有完全平方公式的形式进行计算，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．
解：设，
∴
故选：C．
10．8
本题主要考查了平方差公式，熟练掌握该公式是解题的关键．
将变形为，再将已知数值代入计算即可．
解：，
.
，
.
故答案为：8.
11．
此题考查了平方差公式分解因式，已知式子的值求代数式的值，正确掌握平方差公式是解题的关键．
根据平方差公式分解因式，将代入整理即可求出答案．
解：∵，
∴
；
故答案为：．
12．32
本题考查了平方差公式的应用，设正方形和的边长为、，根据即可解答．
解：设正方形和的边长为、，
∵，，
∴，
又∵，
，
∴，
故答案为32．
13．16
本题考查完全平方公式，熟练掌握该公式是解题的关键．将利用完全平方公式展开，再将已知数值代入计算即可．
解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：16．
14．21
本题考查完全平方式的变形，灵活运用所学知识是关键．根据，即可求出．
解：，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为21．
15．
本题考查新定义下的运算，完全平方公式，掌握知识点是解题的关键．
根据新定义下的运算，得到，再由完全平方公式进行计算即可．
解：∵a b，
∴ =．
故答案为：．
16．(1)
(2)
本题考查平方差公式的几何背景，利用平方差公式分解因式，灵活运用平方差公式是解题的关键．
（1）根据题意，将前后两个图形的阴影面积表示出来即可；
（2）由，可得，再把代入计算即可．
（1）解：图1中，边长为a的正方形的面积为：， 边长为b的正方形的面积为：，
∴图1 的阴影部分面积为：，
图2中长方形的长为：， 长方形的宽为：，
∴图2长方形的面积为：，
∴验证的等式是；
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴．
17．（1）12；（2）1．
（1）仿照材料解答方式解答即可；
（1）根据题意得到a2+b2=(a-b)2+2ab =3，a-b=1，然后利用完全平方公式变形解答即可．
解：（1）设7－x=a，x-3=b， 则(7－x)(x－3)=ab=2， a+b=(7－x)+(x－3)=4，
∴(7－x)2+(x－3)2
=a2+b2
=(a+b)2－2ab
=42－2×2
=12；
（2）设n－2020=a，n－2021=b， 则(n－2020)（n－2021）=ab，a-b=1， (n－2020)2+（n－2021）2= a2+b2=(a-b)2+2ab =3，即ab=
∴(n－2020)（n－2021）=ab===1．
本题主要考查了完全平方公式的意义，灵活对完全平方公式进行变形成为解答本题的关键．
18．(1)
(2)
(3)10
本题考查完全平方公式的几何意义，熟练掌握正方形、长方形的面积求法，完全平方公式的灵活应用是解题的关键．
（1）利用两个图形分别求出个长方形的面积，从而建立等量关系；
（2）利用（1）的关系代入求值即可；
（3）由题意可知，，则，结合已知条件求解即可．
（1）解：第一图个长方形的面积为，
第二个图个长方形的面积，
，
故答案为：；
（2）解：，
，
解得；
（3）解：一个长方形的周长为，面积为，
，，
．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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