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整式的乘法--整式的乘法 常见题型总结练
2025-2026学年上学期初中数学人教版（2024）八年级上册
一、计算单项式乘单项式
1.计算： ．
2．计算：
(1)；
(2)．
3．先化简，再求值：，其中．
二、利用单项式乘法求字母或代数式的值
4.若，则的值为 ．
5．若对任意都成立，则 ．
6．若不论为何值时，等式恒成立，则 ， ．
三、计算单项式乘多项式
7.计算:（1） .（2） ．
8．计算 计算： ．
9．计算：（1） ．（2） ．
四、计算多项式乘多项式
10.计算
(1)；
(2)．
11．计算：
(1)；
(2)
12．计算：
(1)．
(2)
(3)
五、已知多项式乘积不含某项求字母的值
13.若的乘积中不含项，求n的值．
14．若的积中不含与项．
(1)求，的值；
(2)求代数式的值．
15．已知的展开式中不含的一次项，常数项是．
(1)求，的值．
(2)先化简再求值．
六、整式乘法混合运算
16.计算
(1)
(2)
17．计算：
(1)；
(2)
18．计算：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)
七、多项式乘多项式——化简求值
先化简，再求值：，其中，．
20．先化简再求值：，其中．
21． 化简求值，求：．
八、单项式乘多项式、多项式乘多项式与图形面积
22.某学校计划利用一片空地为学生建一个矩形车棚，为了方便学生取车，施工单位决定在车棚内修建几条等宽的小路，其余部分停放自行车，已知矩形车棚的宽为x米，长为米，小路的宽为2米，求停放自行车的面积．
23．如图，某小区有一块长为，宽为，物业公司计划在小区内修一条平行四边形小路，小路的底边宽为a米．
(1)用含有a、b的式子表示绿化的总面积S；
(2)若，求出此时绿化的总面积S．
24．晋阳湖公园是太原市面积最大的城市综合性公园，位于太原市西南方的晋阳湖水域周边．小华与家人在公园内某一长方形区域观赏风景，设该观景区长3a米，宽米，中间修有一条“S”型等宽小路供游客行走，已知小路宽2米，其余区域皆为草坪．
(1)求该观景区草坪的面积．
(2)当，时，草坪的面积是多少？
九、同底数幂的除法
25.计算： ．
26．计算：
(1)；
(2)；
(3)．
27．计算：
(1)；
(2)；
(3)．
十、零指数幂
28.计算： ．
29．如果成立，则 ．
30． 已知，求x的值为 ．
十一、负整数指数幂
31. ．
32．计算：
33．如无意义，则 ．
十二、 零指数幂、负整数指数幂综合计算
34.计算：．
35．计算：．
36．计算：．
拓展练
一、单选题
1．已知，则的值为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
2．设，则的值为（ ）
A． B． C．1 D．
3．如图1，《燕几图》可以说是中国家具史上第一部组合家具的设计图．全套“燕几”一共有七张桌子，包括两张长桌、两张中桌和三张小桌，七张桌面的宽都相等．如图2给出了《燕几图》中名称为“磐矩”的桌面拼合方式（用其中的六张桌子），若设每张桌面的宽为x，“磬矩”桌面的总面积为S，则S与x之间的关系可以表示为（ ）
A． B． C． D．
4．下列各式：①；②；③；④．其中相等的两个是（ ）
A．①和② B．②和③ C．①和④ D．③和④
5．如果规定表示单项式，表示多项式，则计算的结果是（ ）
A． B．
C． D．
6．如图，三个边长分别为，，的正方形并排放置，记阴影部分的面积为，则下列关于的说法正确的是（ ）
A．的值与的取值无关
B．的值与的取值无关
C．的值与的取值无关
D．的值与，，的取值均有关
7．已知，则代数式的值为（ ）
A． B． C． D．
8．要使多项式 不含x 的二次项，则与的关系是( )
A． B． C． D．
9．小明在计算整式除法的时候一不小心除数被墨水覆盖了，如■，则“■”所表示的式子是（ ）
A． B． C． D．
10．小颖同学在计算加上一个多项式时错将加法做成了乘法，得到的答案是，由此可以推断出原题正确的计算结果是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
11．若与的积是，则 ．
12．若规定：，则当时， 的值为 ．
13．将5张相同小长方形纸片（如图1）按图2所示的方式不重叠地放在长方形内，未被覆盖的部分恰好被分割为两个长方形，面积分别为和，已知小长方形纸片的长为a，宽为b，且．若，当m变化时，的值总保持不变，则a，b满足的等量关系是 ．
14．小明在计算时，不小心将第二个括号中的常数染黑了，小亮告诉他结果中的一次项系数为，则被染黑的常数为 ．
15．对于实数，规定一种运算（二阶行列式又称二阶矩阵），那么当时， ．
16．若规定，则 ．
三、解答题
17．如图，若每个小长方形的长为，宽为．
(1)求阴影部分的面积；
(2)当时，阴影部分的面积是多少？
18．以下是一道例题的部分解答过程，其中A，B是两个关于x，y的二项式：
化简：（注意：运算顺序从左到右，逐个去掉括号）．
(1)多项式A为________，多项式B为________，计算结果为________；
(2)先化简，再求值：，其中，．
19．小华和小明同时计算一道整式乘法题．小华抄错了第一个多项式中a的符号，即把抄成了，得到结果为；小明把第二个多项式中的抄成了x，得到结果为．
(1)你知道式子中a，b的值各是多少吗？
(2)请你计算出这道题的正确结果．
20．小红家有一块L形的菜地，现要把L形的菜地按如图所示分成面积相等的两个梯形种上不同的蔬菜，这两个梯形的上底都是，下底都是，高都是，请你帮小红算一算这块L形菜地的面积共有多少，并求出当，时，这块L形菜地的总面积．
21．根据已知条件求值
(1)已知，，求的值；
(2)已知，求的值．
22．解决问题
(1)已知A、均为单项式，多项式与单项式的商为，请分别求出单项式；
(2)某小区为了便民购物，计划在小区外一块长方形空地上建一座大型超市，已知长方形空地的面积为，长为，求这块长方形空地的周长．
答案
一、计算单项式乘单项式
1. 解：原式
，
故答案为：．
（1）解：原式
；
（2）解：原式＝
＝
＝．
解：
，
当时，原式．
二、利用单项式乘法求字母或代数式的值
4. 解：，
，
，
故答案为：．
5． 解：，
，
，
原式子对任意都成立，
，，
解得：，，
．
故答案为：1．
恒成立，
．
故答案为：1，．
三、计算单项式乘多项式
7. 解：（1）；
（2）．
故答案为：；．
8．
；
．
故答案为：，．
解：（1）；
（2）；
故答案为：（1）；（2）．
四、计算多项式乘多项式
10. （1）解：
；
（2）解：
．
11． 根据整式的乘法运算，然后合并即可求解；
（1）解：
；
（2）
（1）解：
．
（2）解：
．
（3）解：
．
五、已知多项式乘积不含某项求字母的值
13. 解：
，
∵乘积中不含项，
∴，
∴．
14． （1）解：
，
的积中不含与项，
，
；
（2）解：∵，，
∴
．
（1）解：∵
，
又∵展开式中不含的一次项，常数项是，
∴，，
解得，；
（2）原式
，
∵，，
∴原式
．
六、整式乘法混合运算
16. （1）
（2）
17． （1）解：
；
（2）
（1）解：
（2）
（3）
（4）
七、多项式乘多项式——化简求值
19 解：
．
当，时，原式．
20． 解：原式
，
当时，
原式
．
21． 解：
当时，原式．
八、单项式乘多项式、多项式乘多项式与图形面积
22. 解：根据题意，可得停放自行车的面积
平方米．
故停放自行车的面积为平方米．
（1）解：由题意得：
；
（2）解：当时，，
∴当时，绿化的总面积为．
（1）解：该观景区草坪的面积平方米；
（2）解：当，时，
（平方米），
答：草坪的面积是4400平方米．
九、同底数幂的除法
25. 解：．
故答案为：
（1）解：
．
（2）解：
．
（3）解：
．
27． 1）解：
；
（2）
；
（3）
．
十、零指数幂
28. 解：由题意知，，
故答案为：．
解：如果成立，那么，
解得：．
故答案为：．
解：∵，
∴，
∴当且时，
解得：；
当时，
解得：；
当且为偶数时，
解得：；
∴的值为或或．
故答案为：或或．
十一、负整数指数幂
31 解：，
故答案为：4．
32． 解：，
故答案为：．
解：∵无意义，
∴，
∴，
∴．
故答案为4．
十二、 零指数幂、负整数指数幂综合计算
34. 解：
．
35.解：原式
．
36.解：
．
拓展练
1．D
本题主要考查了单项式乘单项式，利用单项式乘单项式的得出，，解出m，n的值，然后代入求解即可．
解：∵
∴，，
∴，，
∴，
故选：D．
2．A
本题主要考查了单项式乘单项式、一元一次方程的应用等知识点，熟练掌握同底数幂的乘法法则是解题关键．
先根据单项式乘单项式法则列出关于m、n的方程，进而求得m、n的值，最后代入计算即可．
解：∵，
，解得：，
∴．
故选：A．
3．C
本题考查的是单项式乘以单项式的应用，设每张桌面的宽为，然后表示出小桌、中桌，大桌的长；得大长方形的长与宽，结合面积公式可得答案.
解：由题意可得，设每张桌面的宽为，小桌的长是小桌宽的两倍，
则小桌的长是，中桌的长，大桌的长，根据题意得
，
故选：C．
4．C
本题考查了积的乘方和单项式乘以多项式，解题的关键是掌握以上运算法则．
根据积的乘方和单项式乘以多项式运算法则求解判断即可．
①；
②
；
③；
④；
∴相等的两个是①和④．
故选：C．
5．D
本题考查了单项式乘以多项式，根据新定义和单项式乘以多项式法则计算即可．
解：根据题意，，
故选：D．
6．A
本题考查了整式的混合运算，割补法求阴影部分的面积，三角形的面积等．先将图形补充为一个大长方形，根据阴影部分的面积大长方形的面积空白部分的三个三角形的面积，列出代数式，结合整式的混合运算化简，即可求解．
解：如图，将图形补充为一个大长方形，
则
，
即的值与的取值无关．
故选：A．
7．B
本题主要考查整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．利用整式的相应的法则对式子进行整理，再代入相应的值运算即可．
解：∵，
∴
故选：B．
8．B
本题主要考查了多项式乘法中的无关项问题，先根据多项式乘以多项式的计算法则求出的结果，再根据不含x的二次项，即含x的二次项的系数为0进行求解即可．
解：
∵多项式不含x的二次项，
∴，
∴，
故选：B．
9．B
本题考查了单项式除以单项式，掌握运算法则是解题的关键．
根据整式单项式除以单项式的运算法则，将系数和字母部分分别相除，利用同底数幂的除法法则计算指数，即可求解．
解：由题意，被除数为，商为，则除数■为：
故选：B．
10．D
本题主要考查了整式的加减计算，多项式除以单项式，计算出的结果，再把这个结果加上即可得到答案．
解：，
∴这个多项式为，
，
故选：D．
11．8
本题考查了单项式乘单项式，根据单项式乘单项式的乘法法则计算，然后根据相同字母的指数相等列方程组即可求出、，熟记法则是解题的关键．
解：，
∴，
解方程组得：，
∴，
故答案为：8．
12．15
本题考查整式的运算，代数式求值，根据新定义列出算式，利用多项式乘以多项式，单项式乘以多项式的法则进行计算，利用整体代入法求值即可．
解：∵，
∴，
由题意，
；
故答案为：15．
13．
本题考查整式运算的应用，分别表示出，根据的值总保持不变，得到值与的值无关，得到的系数为0，进行求解即可．
解：由图可知：，，
∴，
∵当m变化时，的值总保持不变，
∴，
∴；
故答案为：．
14．5
本题考查多项式乘以多项式，设，根据多项式乘以多项式的运算法则将原式展开，使得一次项系数等于列方程求解即可．
解：设，
则原式，
∵结果中的一次项系数为，
∴，解得，
故答案为：5．
15．2026
本题考查的是定义新运算，多项式乘以多项式的运算法则，合并同类项的法则，解一元一次方程，掌握多项式乘以多项式的法则是解题的关键．
根据新定义列出方程，然后依据多项式乘以多项式的法则及合并同类项的法则进行化简，最后解关于的一元一次方程．
解：根据题意得：，
整理得：，
解得：．
故答案为：．
16．
本题考查了新定义、整式的混合运算，根据题干的新定义，结合整式的混合运算法则计算即可得解，理解新定义是解此题的关键．
解：∵，
∴
，
故答案为：．
17．(1)
(2)40
本题考查了整式的混合运算，代数式求值，熟练掌握运算法则是解题的关键．
（）根据阴影部分面积等于长方形面积减去三个空白三角形面积即可求解；
（）把，代入求解即可；
（1）解：阴影部分的面积是：
；
（2）解：当时，
阴影部分面积．
18．(1)
(2)化简结果为，求值结果为．
本题考查了多项式的乘法运算、合并同类项、化简求值以及代数式的对应推理．解题的关键是通过等式两边的项对应关系确定未知多项式，再运用整式的运算法则准确化简和计算．
（1）对等式右边进行适当变形，对比等式两边结构，求出，并将多项式进行合并得到计算结果．
（2）代入的表达式，展开多项式乘法，并合并同类项化简式子；代入x、y的值计算结果．
（1）解：∵，
∴．
∵，
∴计算结果为．
故答案为：；；．
（2）解：∵，
∴，
将代入上式得：．
故化简结果为，求值结果为．
19．(1)，
(2)
本题考查了多项式乘以多项式的运算法则以及解二元一次方程组，读懂题意，根据题意列出二元一次方程组求出的值是解本题的关键．
（1）根据题意可得；，从而得出，解二元一次方程组即可；
（2）将的值代入，然后根据多项式乘以多项式运算法则进行计算即可．
（1）解：根据题意得：
；
，
∴，
解得：，；
（2）解：∵，，
∴正确的算式为．
20．，
本题考查了已知字母的值求代数式的值，多项式乘多项式与图形面积，解题关键是掌握多项式乘以多项式法则．
先列出算式，再利用多项式乘以多项式法则化简，再代入求值．
解：这块L形菜地的面积共有
当，时，
原式
∴当，时，这块L形菜地的总面积为．
21．(1)
(2)
本题主要考查了幂的乘方计算，同底数幂除法的逆运算，幂的乘方的逆运算，同底数幂乘法计算，熟知相关计算法则是解题的关键．
（1）根据题意可得，，再由计算求解即可；
（2）先求出，再把所求式子变形为，进一步变形为，据此求解即可．
（1）解：∵，，
∴，，
∴，，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∴
．
22．(1)
(2)
本题考查整式的运算的应用，熟练掌握整式的运算法则是解题的关键．
（1）根据题意得，则由，求解即可．
（2）根据块长方形空地的宽为，然后根据长方形周长公式，列式计算即可．
（1）解：由题意，得
∴
∵，
∴，；
（2）解：长方形空地的宽为
，
∴这块长方形空地的周长
．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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