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湖南省永州市宁远县2024-2025学年九年级上学期11月期中考试数学试题
1．（2024九上·宁远期中）下面的函数是反比例函数的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】反比例函数的概念
【解析】【解答】解：A、是反比例函数，符合题意；
B、是二次函数，不符合题意；
C、是正比例函数，不符合题意；
D、是一次函数，不符合题意．
故答案为：A．
【分析】一般地，如果两个变量x、y之间的关系可以表示成y= 或y=kx-1（k为常数，k≠0）的形式，那么称y是x的反比例函数，据此进行求解即可.
2．（2024九上·宁远期中）反比例函数y＝（k≠0）的图象经过点（﹣4，3），这个反比例函数的图象一定经过（　　）
A．（﹣4，﹣3） B．（3，﹣4）
C．（3，4） D．（﹣3，﹣4）
【答案】B
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵反比例函数y＝（k≠0）的图象经过点（﹣4，3），
∴，
∴反比例函数解析式为，
∴当时，，当时，，当时，，
∴只有点（3，-4）在反比例函数图象上，
故答案为：B．
【分析】将点（-4，3）代入求出，再将各选项分别代入函数解析式判断即可。
3．（2024九上·宁远期中）下列方程是一元二次方程的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解：∵是一元一次方程，故A不符合题意；
∵是分式方程，故B不符合题意；
∵是二元一次方程，故C不符合题意；
∵是一元二次方程，故D符合题意，
故答案为：D．
【分析】
根据一元二次方程的定义“含有一个未知数，且未知数的次数是2的整式方程是一元二次方程”逐一判断即可．
4．（2024九上·宁远期中）如图，在中，D、E分别是上的点，且，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】相似三角形的性质-对应面积；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵，
∴．
故答案为：B．
【分析】
由，即可证得，由相似三角形性质，相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可求得答案．
5．（2024九上·宁远期中）已知点，，都在反比例函数的图像上，则，，的大小关系是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】反比例函数的性质
【解析】【解答】∵，
∴的图象经过二、四象限，且在每一个象限内，y随x的增大而增大．
∵，，，
∴，且，
∴，
故答案为：A．
【分析】根据的图象经过二、四象限，且在每一个象限内，y随x的增大而增大，即可解答．
6．（2024九上·宁远期中）方程的根的情况是（　　）．
A．没有实数根 B．有一个实数根
C．有两个相等的实数根 D．有两个不相等的实数根
【答案】A
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵x2+8x+17=0，
∴Δ=82-4×1×17=-4＜0，
∴方程没有实数根．
故答案为：A．
【分析】利用一元二次方程根的判别式求解即可。
7．（2024九上·宁远期中）某电影上映第一天票房收入约 亿元，以后每天票房收入按相同的增长率增长，三天后累计票房收入达到 亿元.若增长率为 ，则下列方程正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题
【解析】【解答】解：设增长率为 ，
依题意，得： .
故答案为：D.
【分析】设增长率为 ，可得第二天收入为3（1+x）亿元，可得第三天收入为3（1+x）2亿元，根据三天的总收入达到 亿元，列出方程即可.
8．（2024九上·宁远期中）若a：b：c=2：3：7，且a－b＋3=c－2b，则c=（　　）
A．7 B．63 C．10.5 D．5.25
【答案】C
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】由a：b：c=2：3：7可设a=2t，b=3t，c=7t，
把a=2t，b=3t，c=7t代入a－b＋3=c－2b，
得2t－3t＋3=7t－6t，解得t=1.5，
所以c=7t=10.5．
故选C．
【分析】利用a、b、c比值可设a=2t，b=3t，c=7t，于是可得到关于t的一次方程2t－3t＋3=7t－6t，解方程得t=1.5，然后计算7t即可．
9．（2024九上·宁远期中）在相同的时刻，太阳光下物高与影长成正比．如果高为1.5米的人的影长为2.5米，那么影长为30米的旗杆的高是（　　）.
A．18米 B．16米 C．20米 D．15米
【答案】A
【知识点】相似三角形的实际应用
【解析】【解答】根据题意得：标杆的高：标杆的影长=旗杆的高：旗杆的影长，
即1.5：2.5=旗杆的高：30，
∴旗杆的高= =18米．
故选A．
【分析】在同一时刻物高和影长成正比，即在同一时刻的两个物体，影子，经过物体顶部的太阳光线三者构成的两个直角三角形相似．
10．（2024九上·宁远期中）下列命题正确的是（　　）
A．两个菱形相似
B．各有一个角的两个等腰三角形相似
C．一角相等的两个直角三角形相似
D．腰对应成比例的两个等腰三角形相似
【答案】B
【知识点】图形的相似；相似多边形；真命题与假命题
【解析】【解答】解：A、两个菱形的内角不一定相等，故不一定相似，故选项不符合题意；
B、有一个角的三角形中，角必须为顶角，两个底角分别是，可判定三角形相似，故选项符合题意；
C、如果相等的这个角是直角，则这两个直角三角形不一定相似，故选项不符合题意；
D、腰对应成比例但是顶角不相等的两个等腰三角形不一定相似，故选项不符合题意；
故答案为：B．
【分析】
根据相似图形的定义对四个选项逐一判断即可．
11．（2024九上·宁远期中）在比例尺为的地图上，相距5厘米的两地实际距离为　 　千米．
【答案】0.5
【知识点】比例尺；线段的比
【解析】【解答】解：因为比例尺图上距离：实际距离，
设两地实际距离为厘米，得：，
所以相距5厘米的两地的实际距离是（厘米）（千米），
故答案为：0.5．
【分析】
根据比例尺的定义，比例尺图上距离：实际距离，列出关系式即可得出实际的距离．
12．（2024九上·宁远期中）方程x2＝2x的解是　 　.
【答案】x1＝0，x2＝2
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：∵x2﹣2x＝0，
∴x（x﹣2）＝0，
∴x＝0或x﹣2＝0，
∴x1＝0，x2＝2.
故答案为：x1＝0，x2＝2.
【分析】把方程整理成一般形式，然后将方程的左边利用提公因式法分解因式，根据两个因式的乘积为0，则这两个因式中至少有一个为0，从而将方程降次为两个一元一次方程，解一元一次方程，即可求出原方程的解。
13．（2024九上·宁远期中）已知反比例函数，当时，y的值随x值的增大而减小，则m取值范围是　 　．
【答案】
【知识点】反比例函数的性质
【解析】【解答】∵反比例函数，当时，的值随值的增大而减小
∴
∴．
故答案为：．
【分析】根据反比例函数的性质可知，该反比例函数图象经过一、三，列出不等式即可解答．
14．（2024九上·宁远期中）已知m，n是一元二次方程x2+4x﹣2＝0的两根，则代数式m2+n2的值等于　 　．
【答案】20
【知识点】完全平方公式及运用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】∵m，n是一元二次方程的两根，
∴，．
∴．
故答案为：20．
【分析】
根据一元二次方程根与系数的关系得，，再利用完全平方公式得，整体代入求值即可．
15．（2024九上·宁远期中）如图，一次函数与反比例的图象相交于A、B两点，则图中使反比例函数的值小于一次函数的值的x的取值范围是　 　．
【答案】或
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【解答】解：由一次函数与反比例函数的图象相交于A、B两点，
知图中使反比例函数的值小于一次函数的值的x的取值范围是或．
故答案为：或．
【分析】
通过函数图象中一次函数与反比例函数的交点，利用数形结合的思想，确定反比例函数图象位于一次函数图象下方时对应的x的取值范围即可．
16．（2024九上·宁远期中）如图，在中，D，F是边上的三等分点，E，G是边上的三等分点．若，则　 　 ．
【答案】6
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【解答】因为D，F是边上的三等分点，E，G是边上的三等分点．
所以，
因为∠Ａ＝∠Ａ
所以△ADE△ABC
所以，
因为，
所则．
故答案为：6．
【分析】
根据两边成比例夹角相等的两个三角形相似，再由相似三角形对应边成比例即可解答．
17．（2024九上·宁远期中）A4纸是我们常用的打印纸，把纸沿长边中点对折，形成两个相同的小长方形，我们发现折叠得到的小长方形与折叠前的大长方形相似，则大长方形与小长方形的相似比为　 　．
【答案】
【知识点】相似多边形
【解析】【解答】解：设大长方形的长为，宽为，如图，
则，，，
∵矩形矩形，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】如图，设大长方形的长为，宽为，则小长方形的长为，宽为，相似图形对应边成比例建立方程，即可求出a∶b的值．
18．（2024九上·宁远期中）已知点是线段上的一个黄金分割点，且，，那么　 　．
【答案】
【知识点】黄金分割
【解析】【解答】解：点是线段上的一个黄金分割点，且，，
．
∴
故答案为：．
【分析】
根据黄金分割的定义，把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫作黄金分割，他们的比值叫作黄金比．由定义即可列式计算．
19．（2024九上·宁远期中）解方程：．
【答案】解：分解因式得：，
∴或，
解得：，．
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】根据十字相乘法因式分解即可解一元二次方程．
20．（2024九上·宁远期中）如图所示，已知反比例函数的图象经过，，，两点．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）当时，求反比例函数函数值的取值范围．
【答案】（1）解：∵点，在的图象上，
∴，
解得：，
∴反比例函数的解析式为：，
（2）把，代入，得：．
由题图可知，
当时，反比例函数函数值的取值范围是．
【知识点】反比例函数的性质；待定系数法求反比例函数解析式
【解析】【分析】（1）根据待定系数法求函数解析式，将点坐标代入解析式即可求解；
（2）将点坐标代入求出的值，再结合反比例函数图象及性质确定反比例函数值的取值范围．
（1）解：∵点，在的图象上，
∴，
解得：，
∴反比例函数的解析式为：，
（2）把，代入，得：．
由题图可知，
当时，反比例函数函数值的取值范围是．
21．（2024九上·宁远期中）如图△ABC中，D、E是AB、AC上点，AB＝7.8，AD＝3，AC＝6，AE＝3.9，求证：△ADE与△ACB相似.
【答案】∵AB=7.8，AD=3，AC=6，AE=3.9，
∴，
∴，
又∵∠A=∠A，
∴△ADE∽△ACB．
【知识点】母子相似模型（公共边公共角）；相似三角形的判定-SAS
【解析】【分析】根据题目中的线段数量关系，先得出，再由∠A是公共角，根据两组对应边的比相等且夹角相等的两个三角形相似，即可判定△ADE与△ABC相似．
22．（2024九上·宁远期中）如图，河的两岸是平行的，两岸边各有一排树，每排树相邻两棵的间距是10m，在距离岸边16m的A处看对岸，可以看到对岸的两棵树的树干恰好被这岸的两棵树的树干遮住，又知这岸的两棵树之间有一棵树，对岸的两棵树之间有四棵树，请你根据这些条件求出河宽．
【答案】解：如图：过点A作于点M，交于点N，
∵，
∴， ，
∴
∵，
∴，解得：，
∴．
答：河宽为．
【知识点】相似三角形的实际应用
【解析】【分析】
过点A作于点M，交于点N，易证，由相似三角形的性质可得，根据题境可知，代入计算出ＡＭ，最后由线段和差关系即可解答．
23．（2024九上·宁远期中）如图，某校准备将校园内的一块正方形空地进行改造，原空地一边减少了，另一边减少了，剩余部分的面积为，求原正方形空地的边长．
【答案】解：设原正方形空地的边长为，则剩余部分是长为，宽为的长方形，
根据题意得，，
整理得，，
解得（不合题意，舍去），
答：原正方形空地的边长为．

【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【分析】根据题意，设原正方形空地的边长为，则剩余部分是长为，宽为的长方形，由长方形面积公式列出一元二次方程，求解即可．
24．（2024九上·宁远期中）请阅读下列材料：
问题：已知方程，求一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍．
解：设所求方程的根为，则，所以．
把代入已知方程，得
化简，得
故所求方程为．
这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”．
请用阅读材料提供的“换根法”求新方程（要求：把所求方程化为一般形式）．
（1）已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的相反数，则所求方程为： ．
（2）已知关于的一元二次方程有两个不等于零的实数根，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倒数；
（3）已知关于的方程有两个实数根，求一个方程，使它的根分别是已知方程根的平方．
【答案】（1）；
（2）设所求方程的根为，则，于是 ，
把代入方程，得 ，
去分母，得 ，
若，有，
于是方程有一个根为0，不符合题意，
，
故所求方程为 ；
（3）设所求方程的根为，则，
所以 ，
①当时，把代入已知方程，得
，即；
②当时，把代入已知方程，得
，即
∴所求方程为或.
【知识点】换元法解一元二次方程；归纳与类比
【解析】【解答】（1）设所求方程的根为 ，则 ，
所以．
把代入已知方程，得， ，
化简，得 ，
故答案为：；
【分析】
（1）根据材料的“换根法”设y=-x，将x=-y代入方程就可得到所求的方程.
（2）根据材料的“换根法”设所求方程的根为y，可得到x= ， 将其代入方程，就可得到a+by+cy2=0，再分情况讨论：当c=0和x≠0，即可求解.
（3）根据材料的“换根法”设所求方程的根为y，由已知可得到y=x2 ， 由此可得到x= ， 分别将x的值代入方程，就可得到所求的方程.
25．（2024九上·宁远期中）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与轴交于点．
（1）求，的值；
（2）直线过点A，与反比例函数图象交于点，与轴交于点，，连接．
①求的面积；
②利用图象信息，直接写出不等式的解集．
③点在反比例函数的图象上，点在轴上，若以点A，，，为顶点的四边形是平行四边形，请求出所有符合条件的点坐标．
【答案】（1）解：把，代入得，，∴，
把，代入得，，
∴；
（2）解：点，点的纵坐标是0，，
点的纵坐标是，把代入，得，
，
①如下图所示，作轴于，交于，作轴于，
当时，，
，
，
，
；
②；
③设，，
，．
当为对角线时，，
，
当为对角线时
解得，
，
，
舍去
当为对角线时
解得：，
综上点坐标为或．
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题；平行四边形的性质
【解析】【解答】（2）②由图象可得，当时，一次函数的图象在反比例函数的图象上或上方，
∴当时，；
【分析】
（1）由于点Ａ是一次函数和反比例函数的交点，故将Ａ代入一次函数的解析式可以求出a的值，再将点A的坐标带入反比例函数的解析式，即可求出k的值；
（2）①先根据求出点C的坐标，作轴于，交于，作轴于，再根据即可求得答案；②结合图象解不等式，找出一次函数图象在反比例函数图象上方部分的取值范围即可；③若以点A，，，为顶点的四边形是平行四边形，需分三种情况：为对角线、为对角线和为对角线，再利用平行四边形的性质特征列出方程组，即可求解．
（1）解：把，代入得，，
∴，
把，代入得，，
∴；
（2）解：点，点的纵坐标是0，，
点的纵坐标是，把代入，得，
，
①如下图所示，作轴于，交于，作轴于，
当时，，
，
，
，
；
②由图象可得，当时，一次函数的图象在反比例函数的图象上或上方，
∴当时，；
③设，，
，．
当为对角线时，，
，
当为对角线时
解得，
，
，
舍去
当为对角线时
解得：，
综上点坐标为或．
26．（2024九上·宁远期中）如图，的两条直角边，，点D沿从A向B运动，速度是/秒，同时，点E沿从B向C运动，速度为/秒．动点E到达点C时运动终止连接、、．
（1）若与相似，求动点的运动时间；
（2）在运动过程中，当时，求动点的运动时间；
（3）在运动的过程中，能否为的中位线？说明理由．
【答案】（1）解：在中，由勾股定理得
设经过运动时间为t秒时，与相似．
则，，，；
①当，即时，
；
，即，
．
②当，即时，
，
，即，
．
和都符合，
当动点运动秒或秒时，与相似；
（2）解：如图，过点E作于F，
设经过运动时间为t秒时，，
则，，，；
，即，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，即，
（秒）．
（3）解：不能，理由如下：如图，
若为的中位线，则，
则，
∴，
解得：，
此时，，
∴，
∴不可能为的中位线．
【知识点】三角形-动点问题；三角形的中位线定理
【解析】【分析】
（1）已知是直角三角形，要与其相似，图中已有一个公共角，所以只需的另外两个角有一个角是直角，那么与相似．由此对应两种情况：或，需分情况讨论分析．然后两个三角形相似，对应边成比例即可求出运动时间；
（2）过点作于，先证明出，设经过运动时间为t秒时，则根据相似三角形的性质得出，由勾股定理得，当时，证明，然后利用相似三角形对应边成比例列出方程即可求出时间；
（3）若为的中位线，则，根据平行线分线段成比例得，求出，此时，，由于，故不能为的中位线．
（1）解：在中，由勾股定理得
设经过运动时间为t秒时，与相似．
则，，，；
①当，即时，
；
，即，
．
②当，即时，
，
，即，
．
和都符合，
当动点运动秒或秒时，与相似；
（2）解：如图，过点E作于F，
设经过运动时间为t秒时，，
则，，，；
，即，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，即，
（秒）．
（3）解：不能，理由如下：
如图，
若为的中位线，则，
则，
∴，
解得：，
此时，，
∴，
∴不可能为的中位线．
27．（2024九上·宁远期中）在中，，，点在所在的直线上运动，作（、、按逆时针方向）．
（1）如图，若点在线段上运动，交于．
求证：；
当是等腰三角形时，求的长．
（2）如图，若点在的延长线上运动，的反向延长线与的延长线相交于点，是否存在点，使是等腰三角形？若存在，写出所有点的位置；若不存在，请简要说明理由；
【答案】（1）证明：，
，
，
，
，
，
，
；
解：当是等腰三角形时，分为以下三种情况：
第一种情况：如图，，
，
，
，
，
由可知：，
，
，
点为的中点，
；
第二种情况：如图，，
此时点和点重合，点和点重合，
即；
第三种情况：如图，，
，
，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，，
设，
在中，
，，
，
，
，
解得：，
；
综上所述，的长为或或；
（2）解：存在（只有一种情况），
理由如下：
如图，由（1）可知：，
，
，
，
，
又，
，
，
又，
，
答：存在，．

【知识点】等腰三角形的判定与性质；三角形-动点问题；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【分析】（1）等腰直角三角形的性质可得出，再由三角形内角和证明出，于是根据两角分别相等的两个三角形相似即可得证；
若是等腰三角形，按腰分类，分为三种情况：第一种情况，；第二种情况，；第三种情况，；分别根据等腰三角形的性质及全等三角形的判定与性质即可推出的长；
（2）利用三角形外角的性质可证得，进而可证得，于是可得，若是等腰三角形只有一种情况，此时CD=AC，从而确定点的位置．
（1）证明：，
，
，
，
，
，
，
；
解：当是等腰三角形时，分为以下三种情况：
第一种情况：如图，，
，
，
，
，
由可知：，
，
，
点为的中点，
；
第二种情况：如图，，
此时点和点重合，点和点重合，
即；
第三种情况：如图，，
，
，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，，
设，
在中，
，，
，
，
，
解得：，
；
综上所述，的长为或或；
（2）解：存在（只有一种情况），
理由如下：
如图，由（1）可知：，
，
，
，
，
又，
，
，
又，
，
答：存在，．
28．（2024九上·宁远期中）直线分别与轴，轴交于点、，与反比例函数的图象交于点、．
（1）求的值及直线的解析式；
（2）若点是反比例函数在第一象限直线上方一点，面积为4时，求点坐标；
（3）如图2，将反比例函数的图象沿直线翻折得到一个封闭图形（图中阴影部分），若直线与此封闭图形有交点，请直接写出满足条件的的取值范围．
【答案】（1）解：点在反比例函数，
将点的坐标代入，得，
，
反比例函数为，
又在反比例函数，
，即，
点，在直线上
，解得，
直线的解析式为；
（2）解：情况一：直线与反比例函数的图象交于点、，在点上方的双曲线上取一点，过点作轴于点，过点作轴于点，过点作轴于点，连接，如图所示：
设，
面积为4，
，则，解得；
情况二：直线与反比例函数的图象交于点、，在点右侧的双曲线上取一点，过点作轴于点，过点作轴于点，过点作轴于点，连接，如图所示：
设，
面积为4，
，则，解得；
综上所述，或；
（3）
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；三角形的面积
【解析】【解析】（3）解：依据题意，直线平行于直线，
上下平移直线，将往下平移到与图象有且只有一个交点的时候，此时直线与轴的交点是点；将往上平移到与图象翻折后的曲线有且只有一个交点的时候，此时直线与轴的交点是点；在这两者之间的与封闭图形有交点，、关于点对称，即有为的中点，如图所示：
由题意，则，
当与反比例函数有且只有一个交点时，有两个相等的实数根，
，解得或（由图可知，负数舍去），
此时，与轴的交点，
，
，
由直线的对称性可知，，
此时．与轴的交点，
．
【分析】
（1）根据待定系数法求函数解析式，将点坐标代入反比例函数，可得，从而求出点坐标，再将Ａ、Ｂ两点坐标代入直线中，即可求得一次函数的解析式；
（2）依据题意，有两种情况，P可以在A点的左侧，也可以在B点的右侧，分别画出图形，情况一：直线与反比例函数的图象交于点、，在点上方的双曲线上取一点，过点作轴于点，过点作轴于点，过点作轴于点，连接，如图所示；情况二：直线与反比例函数的图象交于点、，在点右侧的双曲线上取一点，过点作轴于点，过点作轴于点，过点作轴于点，连接，如图所示；分别表示出两种情况下△ABP的面积，列出方程即可求解；
（3）根据题意分析出是平行于的动直线，上下平移直线，将往下平移到与图象有且只有一个交点的时候，此时直线与轴的交点是点；将往上平移到与图象翻折后的曲线有且只有一个交点的时候，此时直线与轴的交点是点；在这两者之间的与封闭图形有交点，、关于点对称，即有为的中点，如图所示，求出点，再借助于、关于点对称，得到，求出过点、点时的的值，即可得解．
（1）解：点在反比例函数，
将点的坐标代入，得，
，
反比例函数为，
又在反比例函数，
，即，
点，在直线上
，解得，
直线的解析式为；
（2）解：情况一：直线与反比例函数的图象交于点、，在点上方的双曲线上取一点，过点作轴于点，过点作轴于点，过点作轴于点，连接，如图所示：
设，
面积为4，
，则，解得；
情况二：直线与反比例函数的图象交于点、，在点右侧的双曲线上取一点，过点作轴于点，过点作轴于点，过点作轴于点，连接，如图所示：
设，
面积为4，
，则，解得；
综上所述，或；
（3）解：依据题意，直线平行于直线，
上下平移直线，将往下平移到与图象有且只有一个交点的时候，此时直线与轴的交点是点；将往上平移到与图象翻折后的曲线有且只有一个交点的时候，此时直线与轴的交点是点；在这两者之间的与封闭图形有交点，、关于点对称，即有为的中点，如图所示：
由题意，则，
当与反比例函数有且只有一个交点时，有两个相等的实数根，
，解得或（由图可知，负数舍去），
此时，与轴的交点，
，
，
由直线的对称性可知，，
此时．与轴的交点，
．
1 / 1湖南省永州市宁远县2024-2025学年九年级上学期11月期中考试数学试题
1．（2024九上·宁远期中）下面的函数是反比例函数的是（　　）
A． B． C． D．
2．（2024九上·宁远期中）反比例函数y＝（k≠0）的图象经过点（﹣4，3），这个反比例函数的图象一定经过（　　）
A．（﹣4，﹣3） B．（3，﹣4）
C．（3，4） D．（﹣3，﹣4）
3．（2024九上·宁远期中）下列方程是一元二次方程的是（　　）
A． B． C． D．
4．（2024九上·宁远期中）如图，在中，D、E分别是上的点，且，若，则（ ）
A． B． C． D．
5．（2024九上·宁远期中）已知点，，都在反比例函数的图像上，则，，的大小关系是（　　）
A． B． C． D．
6．（2024九上·宁远期中）方程的根的情况是（　　）．
A．没有实数根 B．有一个实数根
C．有两个相等的实数根 D．有两个不相等的实数根
7．（2024九上·宁远期中）某电影上映第一天票房收入约 亿元，以后每天票房收入按相同的增长率增长，三天后累计票房收入达到 亿元.若增长率为 ，则下列方程正确的是（　　）
A． B．
C． D．
8．（2024九上·宁远期中）若a：b：c=2：3：7，且a－b＋3=c－2b，则c=（　　）
A．7 B．63 C．10.5 D．5.25
9．（2024九上·宁远期中）在相同的时刻，太阳光下物高与影长成正比．如果高为1.5米的人的影长为2.5米，那么影长为30米的旗杆的高是（　　）.
A．18米 B．16米 C．20米 D．15米
10．（2024九上·宁远期中）下列命题正确的是（　　）
A．两个菱形相似
B．各有一个角的两个等腰三角形相似
C．一角相等的两个直角三角形相似
D．腰对应成比例的两个等腰三角形相似
11．（2024九上·宁远期中）在比例尺为的地图上，相距5厘米的两地实际距离为　 　千米．
12．（2024九上·宁远期中）方程x2＝2x的解是　 　.
13．（2024九上·宁远期中）已知反比例函数，当时，y的值随x值的增大而减小，则m取值范围是　 　．
14．（2024九上·宁远期中）已知m，n是一元二次方程x2+4x﹣2＝0的两根，则代数式m2+n2的值等于　 　．
15．（2024九上·宁远期中）如图，一次函数与反比例的图象相交于A、B两点，则图中使反比例函数的值小于一次函数的值的x的取值范围是　 　．
16．（2024九上·宁远期中）如图，在中，D，F是边上的三等分点，E，G是边上的三等分点．若，则　 　 ．
17．（2024九上·宁远期中）A4纸是我们常用的打印纸，把纸沿长边中点对折，形成两个相同的小长方形，我们发现折叠得到的小长方形与折叠前的大长方形相似，则大长方形与小长方形的相似比为　 　．
18．（2024九上·宁远期中）已知点是线段上的一个黄金分割点，且，，那么　 　．
19．（2024九上·宁远期中）解方程：．
20．（2024九上·宁远期中）如图所示，已知反比例函数的图象经过，，，两点．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）当时，求反比例函数函数值的取值范围．
21．（2024九上·宁远期中）如图△ABC中，D、E是AB、AC上点，AB＝7.8，AD＝3，AC＝6，AE＝3.9，求证：△ADE与△ACB相似.
22．（2024九上·宁远期中）如图，河的两岸是平行的，两岸边各有一排树，每排树相邻两棵的间距是10m，在距离岸边16m的A处看对岸，可以看到对岸的两棵树的树干恰好被这岸的两棵树的树干遮住，又知这岸的两棵树之间有一棵树，对岸的两棵树之间有四棵树，请你根据这些条件求出河宽．
23．（2024九上·宁远期中）如图，某校准备将校园内的一块正方形空地进行改造，原空地一边减少了，另一边减少了，剩余部分的面积为，求原正方形空地的边长．
24．（2024九上·宁远期中）请阅读下列材料：
问题：已知方程，求一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍．
解：设所求方程的根为，则，所以．
把代入已知方程，得
化简，得
故所求方程为．
这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”．
请用阅读材料提供的“换根法”求新方程（要求：把所求方程化为一般形式）．
（1）已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的相反数，则所求方程为： ．
（2）已知关于的一元二次方程有两个不等于零的实数根，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倒数；
（3）已知关于的方程有两个实数根，求一个方程，使它的根分别是已知方程根的平方．
25．（2024九上·宁远期中）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与轴交于点．
（1）求，的值；
（2）直线过点A，与反比例函数图象交于点，与轴交于点，，连接．
①求的面积；
②利用图象信息，直接写出不等式的解集．
③点在反比例函数的图象上，点在轴上，若以点A，，，为顶点的四边形是平行四边形，请求出所有符合条件的点坐标．
26．（2024九上·宁远期中）如图，的两条直角边，，点D沿从A向B运动，速度是/秒，同时，点E沿从B向C运动，速度为/秒．动点E到达点C时运动终止连接、、．
（1）若与相似，求动点的运动时间；
（2）在运动过程中，当时，求动点的运动时间；
（3）在运动的过程中，能否为的中位线？说明理由．
27．（2024九上·宁远期中）在中，，，点在所在的直线上运动，作（、、按逆时针方向）．
（1）如图，若点在线段上运动，交于．
求证：；
当是等腰三角形时，求的长．
（2）如图，若点在的延长线上运动，的反向延长线与的延长线相交于点，是否存在点，使是等腰三角形？若存在，写出所有点的位置；若不存在，请简要说明理由；
28．（2024九上·宁远期中）直线分别与轴，轴交于点、，与反比例函数的图象交于点、．
（1）求的值及直线的解析式；
（2）若点是反比例函数在第一象限直线上方一点，面积为4时，求点坐标；
（3）如图2，将反比例函数的图象沿直线翻折得到一个封闭图形（图中阴影部分），若直线与此封闭图形有交点，请直接写出满足条件的的取值范围．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】反比例函数的概念
【解析】【解答】解：A、是反比例函数，符合题意；
B、是二次函数，不符合题意；
C、是正比例函数，不符合题意；
D、是一次函数，不符合题意．
故答案为：A．
【分析】一般地，如果两个变量x、y之间的关系可以表示成y= 或y=kx-1（k为常数，k≠0）的形式，那么称y是x的反比例函数，据此进行求解即可.
2．【答案】B
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵反比例函数y＝（k≠0）的图象经过点（﹣4，3），
∴，
∴反比例函数解析式为，
∴当时，，当时，，当时，，
∴只有点（3，-4）在反比例函数图象上，
故答案为：B．
【分析】将点（-4，3）代入求出，再将各选项分别代入函数解析式判断即可。
3．【答案】D
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解：∵是一元一次方程，故A不符合题意；
∵是分式方程，故B不符合题意；
∵是二元一次方程，故C不符合题意；
∵是一元二次方程，故D符合题意，
故答案为：D．
【分析】
根据一元二次方程的定义“含有一个未知数，且未知数的次数是2的整式方程是一元二次方程”逐一判断即可．
4．【答案】B
【知识点】相似三角形的性质-对应面积；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵，
∴．
故答案为：B．
【分析】
由，即可证得，由相似三角形性质，相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可求得答案．
5．【答案】A
【知识点】反比例函数的性质
【解析】【解答】∵，
∴的图象经过二、四象限，且在每一个象限内，y随x的增大而增大．
∵，，，
∴，且，
∴，
故答案为：A．
【分析】根据的图象经过二、四象限，且在每一个象限内，y随x的增大而增大，即可解答．
6．【答案】A
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵x2+8x+17=0，
∴Δ=82-4×1×17=-4＜0，
∴方程没有实数根．
故答案为：A．
【分析】利用一元二次方程根的判别式求解即可。
7．【答案】D
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题
【解析】【解答】解：设增长率为 ，
依题意，得： .
故答案为：D.
【分析】设增长率为 ，可得第二天收入为3（1+x）亿元，可得第三天收入为3（1+x）2亿元，根据三天的总收入达到 亿元，列出方程即可.
8．【答案】C
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】由a：b：c=2：3：7可设a=2t，b=3t，c=7t，
把a=2t，b=3t，c=7t代入a－b＋3=c－2b，
得2t－3t＋3=7t－6t，解得t=1.5，
所以c=7t=10.5．
故选C．
【分析】利用a、b、c比值可设a=2t，b=3t，c=7t，于是可得到关于t的一次方程2t－3t＋3=7t－6t，解方程得t=1.5，然后计算7t即可．
9．【答案】A
【知识点】相似三角形的实际应用
【解析】【解答】根据题意得：标杆的高：标杆的影长=旗杆的高：旗杆的影长，
即1.5：2.5=旗杆的高：30，
∴旗杆的高= =18米．
故选A．
【分析】在同一时刻物高和影长成正比，即在同一时刻的两个物体，影子，经过物体顶部的太阳光线三者构成的两个直角三角形相似．
10．【答案】B
【知识点】图形的相似；相似多边形；真命题与假命题
【解析】【解答】解：A、两个菱形的内角不一定相等，故不一定相似，故选项不符合题意；
B、有一个角的三角形中，角必须为顶角，两个底角分别是，可判定三角形相似，故选项符合题意；
C、如果相等的这个角是直角，则这两个直角三角形不一定相似，故选项不符合题意；
D、腰对应成比例但是顶角不相等的两个等腰三角形不一定相似，故选项不符合题意；
故答案为：B．
【分析】
根据相似图形的定义对四个选项逐一判断即可．
11．【答案】0.5
【知识点】比例尺；线段的比
【解析】【解答】解：因为比例尺图上距离：实际距离，
设两地实际距离为厘米，得：，
所以相距5厘米的两地的实际距离是（厘米）（千米），
故答案为：0.5．
【分析】
根据比例尺的定义，比例尺图上距离：实际距离，列出关系式即可得出实际的距离．
12．【答案】x1＝0，x2＝2
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：∵x2﹣2x＝0，
∴x（x﹣2）＝0，
∴x＝0或x﹣2＝0，
∴x1＝0，x2＝2.
故答案为：x1＝0，x2＝2.
【分析】把方程整理成一般形式，然后将方程的左边利用提公因式法分解因式，根据两个因式的乘积为0，则这两个因式中至少有一个为0，从而将方程降次为两个一元一次方程，解一元一次方程，即可求出原方程的解。
13．【答案】
【知识点】反比例函数的性质
【解析】【解答】∵反比例函数，当时，的值随值的增大而减小
∴
∴．
故答案为：．
【分析】根据反比例函数的性质可知，该反比例函数图象经过一、三，列出不等式即可解答．
14．【答案】20
【知识点】完全平方公式及运用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】∵m，n是一元二次方程的两根，
∴，．
∴．
故答案为：20．
【分析】
根据一元二次方程根与系数的关系得，，再利用完全平方公式得，整体代入求值即可．
15．【答案】或
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【解答】解：由一次函数与反比例函数的图象相交于A、B两点，
知图中使反比例函数的值小于一次函数的值的x的取值范围是或．
故答案为：或．
【分析】
通过函数图象中一次函数与反比例函数的交点，利用数形结合的思想，确定反比例函数图象位于一次函数图象下方时对应的x的取值范围即可．
16．【答案】6
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【解答】因为D，F是边上的三等分点，E，G是边上的三等分点．
所以，
因为∠Ａ＝∠Ａ
所以△ADE△ABC
所以，
因为，
所则．
故答案为：6．
【分析】
根据两边成比例夹角相等的两个三角形相似，再由相似三角形对应边成比例即可解答．
17．【答案】
【知识点】相似多边形
【解析】【解答】解：设大长方形的长为，宽为，如图，
则，，，
∵矩形矩形，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】如图，设大长方形的长为，宽为，则小长方形的长为，宽为，相似图形对应边成比例建立方程，即可求出a∶b的值．
18．【答案】
【知识点】黄金分割
【解析】【解答】解：点是线段上的一个黄金分割点，且，，
．
∴
故答案为：．
【分析】
根据黄金分割的定义，把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫作黄金分割，他们的比值叫作黄金比．由定义即可列式计算．
19．【答案】解：分解因式得：，
∴或，
解得：，．
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】根据十字相乘法因式分解即可解一元二次方程．
20．【答案】（1）解：∵点，在的图象上，
∴，
解得：，
∴反比例函数的解析式为：，
（2）把，代入，得：．
由题图可知，
当时，反比例函数函数值的取值范围是．
【知识点】反比例函数的性质；待定系数法求反比例函数解析式
【解析】【分析】（1）根据待定系数法求函数解析式，将点坐标代入解析式即可求解；
（2）将点坐标代入求出的值，再结合反比例函数图象及性质确定反比例函数值的取值范围．
（1）解：∵点，在的图象上，
∴，
解得：，
∴反比例函数的解析式为：，
（2）把，代入，得：．
由题图可知，
当时，反比例函数函数值的取值范围是．
21．【答案】∵AB=7.8，AD=3，AC=6，AE=3.9，
∴，
∴，
又∵∠A=∠A，
∴△ADE∽△ACB．
【知识点】母子相似模型（公共边公共角）；相似三角形的判定-SAS
【解析】【分析】根据题目中的线段数量关系，先得出，再由∠A是公共角，根据两组对应边的比相等且夹角相等的两个三角形相似，即可判定△ADE与△ABC相似．
22．【答案】解：如图：过点A作于点M，交于点N，
∵，
∴， ，
∴
∵，
∴，解得：，
∴．
答：河宽为．
【知识点】相似三角形的实际应用
【解析】【分析】
过点A作于点M，交于点N，易证，由相似三角形的性质可得，根据题境可知，代入计算出ＡＭ，最后由线段和差关系即可解答．
23．【答案】解：设原正方形空地的边长为，则剩余部分是长为，宽为的长方形，
根据题意得，，
整理得，，
解得（不合题意，舍去），
答：原正方形空地的边长为．

【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【分析】根据题意，设原正方形空地的边长为，则剩余部分是长为，宽为的长方形，由长方形面积公式列出一元二次方程，求解即可．
24．【答案】（1）；
（2）设所求方程的根为，则，于是 ，
把代入方程，得 ，
去分母，得 ，
若，有，
于是方程有一个根为0，不符合题意，
，
故所求方程为 ；
（3）设所求方程的根为，则，
所以 ，
①当时，把代入已知方程，得
，即；
②当时，把代入已知方程，得
，即
∴所求方程为或.
【知识点】换元法解一元二次方程；归纳与类比
【解析】【解答】（1）设所求方程的根为 ，则 ，
所以．
把代入已知方程，得， ，
化简，得 ，
故答案为：；
【分析】
（1）根据材料的“换根法”设y=-x，将x=-y代入方程就可得到所求的方程.
（2）根据材料的“换根法”设所求方程的根为y，可得到x= ， 将其代入方程，就可得到a+by+cy2=0，再分情况讨论：当c=0和x≠0，即可求解.
（3）根据材料的“换根法”设所求方程的根为y，由已知可得到y=x2 ， 由此可得到x= ， 分别将x的值代入方程，就可得到所求的方程.
25．【答案】（1）解：把，代入得，，∴，
把，代入得，，
∴；
（2）解：点，点的纵坐标是0，，
点的纵坐标是，把代入，得，
，
①如下图所示，作轴于，交于，作轴于，
当时，，
，
，
，
；
②；
③设，，
，．
当为对角线时，，
，
当为对角线时
解得，
，
，
舍去
当为对角线时
解得：，
综上点坐标为或．
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题；平行四边形的性质
【解析】【解答】（2）②由图象可得，当时，一次函数的图象在反比例函数的图象上或上方，
∴当时，；
【分析】
（1）由于点Ａ是一次函数和反比例函数的交点，故将Ａ代入一次函数的解析式可以求出a的值，再将点A的坐标带入反比例函数的解析式，即可求出k的值；
（2）①先根据求出点C的坐标，作轴于，交于，作轴于，再根据即可求得答案；②结合图象解不等式，找出一次函数图象在反比例函数图象上方部分的取值范围即可；③若以点A，，，为顶点的四边形是平行四边形，需分三种情况：为对角线、为对角线和为对角线，再利用平行四边形的性质特征列出方程组，即可求解．
（1）解：把，代入得，，
∴，
把，代入得，，
∴；
（2）解：点，点的纵坐标是0，，
点的纵坐标是，把代入，得，
，
①如下图所示，作轴于，交于，作轴于，
当时，，
，
，
，
；
②由图象可得，当时，一次函数的图象在反比例函数的图象上或上方，
∴当时，；
③设，，
，．
当为对角线时，，
，
当为对角线时
解得，
，
，
舍去
当为对角线时
解得：，
综上点坐标为或．
26．【答案】（1）解：在中，由勾股定理得
设经过运动时间为t秒时，与相似．
则，，，；
①当，即时，
；
，即，
．
②当，即时，
，
，即，
．
和都符合，
当动点运动秒或秒时，与相似；
（2）解：如图，过点E作于F，
设经过运动时间为t秒时，，
则，，，；
，即，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，即，
（秒）．
（3）解：不能，理由如下：如图，
若为的中位线，则，
则，
∴，
解得：，
此时，，
∴，
∴不可能为的中位线．
【知识点】三角形-动点问题；三角形的中位线定理
【解析】【分析】
（1）已知是直角三角形，要与其相似，图中已有一个公共角，所以只需的另外两个角有一个角是直角，那么与相似．由此对应两种情况：或，需分情况讨论分析．然后两个三角形相似，对应边成比例即可求出运动时间；
（2）过点作于，先证明出，设经过运动时间为t秒时，则根据相似三角形的性质得出，由勾股定理得，当时，证明，然后利用相似三角形对应边成比例列出方程即可求出时间；
（3）若为的中位线，则，根据平行线分线段成比例得，求出，此时，，由于，故不能为的中位线．
（1）解：在中，由勾股定理得
设经过运动时间为t秒时，与相似．
则，，，；
①当，即时，
；
，即，
．
②当，即时，
，
，即，
．
和都符合，
当动点运动秒或秒时，与相似；
（2）解：如图，过点E作于F，
设经过运动时间为t秒时，，
则，，，；
，即，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，即，
（秒）．
（3）解：不能，理由如下：
如图，
若为的中位线，则，
则，
∴，
解得：，
此时，，
∴，
∴不可能为的中位线．
27．【答案】（1）证明：，
，
，
，
，
，
，
；
解：当是等腰三角形时，分为以下三种情况：
第一种情况：如图，，
，
，
，
，
由可知：，
，
，
点为的中点，
；
第二种情况：如图，，
此时点和点重合，点和点重合，
即；
第三种情况：如图，，
，
，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，，
设，
在中，
，，
，
，
，
解得：，
；
综上所述，的长为或或；
（2）解：存在（只有一种情况），
理由如下：
如图，由（1）可知：，
，
，
，
，
又，
，
，
又，
，
答：存在，．

【知识点】等腰三角形的判定与性质；三角形-动点问题；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【分析】（1）等腰直角三角形的性质可得出，再由三角形内角和证明出，于是根据两角分别相等的两个三角形相似即可得证；
若是等腰三角形，按腰分类，分为三种情况：第一种情况，；第二种情况，；第三种情况，；分别根据等腰三角形的性质及全等三角形的判定与性质即可推出的长；
（2）利用三角形外角的性质可证得，进而可证得，于是可得，若是等腰三角形只有一种情况，此时CD=AC，从而确定点的位置．
（1）证明：，
，
，
，
，
，
，
；
解：当是等腰三角形时，分为以下三种情况：
第一种情况：如图，，
，
，
，
，
由可知：，
，
，
点为的中点，
；
第二种情况：如图，，
此时点和点重合，点和点重合，
即；
第三种情况：如图，，
，
，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，，
设，
在中，
，，
，
，
，
解得：，
；
综上所述，的长为或或；
（2）解：存在（只有一种情况），
理由如下：
如图，由（1）可知：，
，
，
，
，
又，
，
，
又，
，
答：存在，．
28．【答案】（1）解：点在反比例函数，
将点的坐标代入，得，
，
反比例函数为，
又在反比例函数，
，即，
点，在直线上
，解得，
直线的解析式为；
（2）解：情况一：直线与反比例函数的图象交于点、，在点上方的双曲线上取一点，过点作轴于点，过点作轴于点，过点作轴于点，连接，如图所示：
设，
面积为4，
，则，解得；
情况二：直线与反比例函数的图象交于点、，在点右侧的双曲线上取一点，过点作轴于点，过点作轴于点，过点作轴于点，连接，如图所示：
设，
面积为4，
，则，解得；
综上所述，或；
（3）
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；三角形的面积
【解析】【解析】（3）解：依据题意，直线平行于直线，
上下平移直线，将往下平移到与图象有且只有一个交点的时候，此时直线与轴的交点是点；将往上平移到与图象翻折后的曲线有且只有一个交点的时候，此时直线与轴的交点是点；在这两者之间的与封闭图形有交点，、关于点对称，即有为的中点，如图所示：
由题意，则，
当与反比例函数有且只有一个交点时，有两个相等的实数根，
，解得或（由图可知，负数舍去），
此时，与轴的交点，
，
，
由直线的对称性可知，，
此时．与轴的交点，
．
【分析】
（1）根据待定系数法求函数解析式，将点坐标代入反比例函数，可得，从而求出点坐标，再将Ａ、Ｂ两点坐标代入直线中，即可求得一次函数的解析式；
（2）依据题意，有两种情况，P可以在A点的左侧，也可以在B点的右侧，分别画出图形，情况一：直线与反比例函数的图象交于点、，在点上方的双曲线上取一点，过点作轴于点，过点作轴于点，过点作轴于点，连接，如图所示；情况二：直线与反比例函数的图象交于点、，在点右侧的双曲线上取一点，过点作轴于点，过点作轴于点，过点作轴于点，连接，如图所示；分别表示出两种情况下△ABP的面积，列出方程即可求解；
（3）根据题意分析出是平行于的动直线，上下平移直线，将往下平移到与图象有且只有一个交点的时候，此时直线与轴的交点是点；将往上平移到与图象翻折后的曲线有且只有一个交点的时候，此时直线与轴的交点是点；在这两者之间的与封闭图形有交点，、关于点对称，即有为的中点，如图所示，求出点，再借助于、关于点对称，得到，求出过点、点时的的值，即可得解．
（1）解：点在反比例函数，
将点的坐标代入，得，
，
反比例函数为，
又在反比例函数，
，即，
点，在直线上
，解得，
直线的解析式为；
（2）解：情况一：直线与反比例函数的图象交于点、，在点上方的双曲线上取一点，过点作轴于点，过点作轴于点，过点作轴于点，连接，如图所示：
设，
面积为4，
，则，解得；
情况二：直线与反比例函数的图象交于点、，在点右侧的双曲线上取一点，过点作轴于点，过点作轴于点，过点作轴于点，连接，如图所示：
设，
面积为4，
，则，解得；
综上所述，或；
（3）解：依据题意，直线平行于直线，
上下平移直线，将往下平移到与图象有且只有一个交点的时候，此时直线与轴的交点是点；将往上平移到与图象翻折后的曲线有且只有一个交点的时候，此时直线与轴的交点是点；在这两者之间的与封闭图形有交点，、关于点对称，即有为的中点，如图所示：
由题意，则，
当与反比例函数有且只有一个交点时，有两个相等的实数根，
，解得或（由图可知，负数舍去），
此时，与轴的交点，
，
，
由直线的对称性可知，，
此时．与轴的交点，
．
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