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吉林省长春市新解放学校2024-2025学年八年级上学期9月考试数学试题
1．（2024八上·长春月考） 36的平方根是 (　　)
A．±6 B． C．6 D．
【答案】A
【知识点】开平方（求平方根）
【解析】【解答】解：根据平方根的定义，
∵62=36 ，且( 6)2=36 ，
∴36的平方根为+6和 6 ，即±6，
故答案为：A.
【分析】 根据平方根的定义，正数的平方根有两个，互为相反数，即可确定正确选项.
2．（2024八上·长春月考）数学中有许多优美的曲线．下列四条曲线既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：不是轴对称图形，它是中心对称图形，故A不符合；
既是轴对称图形，又是中心对称图形，故B符合；
是轴对称图形，不是中心对称图形，故C不符合；
不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故D不符合，
故答案为：B.
【分析】根据轴对称图形，中心对称图形的意义，分别对四个图形作出分析，再作出判断即可.
3．（2024八上·长春月考）下列不等式组无解的是 (　　)
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：选项A：根据口诀可知，同大取大，所以解集为x>2，故选项A不符合题意；
选项B：根据口诀可知，大小小大中间找，所以解集为-1选项C：根据口诀可知，同小取小，所以解集为x<-1，故选项C不符合题意；
选项D：根据口诀可知，大大小小找不到，所以解集为无解，故选项D符合题意；
故答案为：D.
【分析】 根据解各个不等式组的解集，结合口诀判断是否存在公共解即可.
4．（2024八上·长春月考）下列正多边形的组合中不能铺满地面的是(　　)
A．正方形和正六边形 B．正三角形和正六边形
C．正三角形和正十二边形 D．正三角形、正方形和正六边形
【答案】A
【知识点】平面镶嵌（密铺）
【解析】【解答】解：选项A：正方形每个内角为90°，正六边形每个内角120°，设正方形m个，六边形n个，则有90m+120n=360，发现无法找到均为整数的m，n，故选项A符合题意；
选项B：正三角形每个内角为60°，正六边形每个内角120°，4个正三角形，1个正六边形可得到360°，故选项B不符合题意；
选项C：正三角形每个内角60°，正十二边形每个内角150°，2个正十二边形，1个正三角形可得360°，故选项C不符合题意；
选项D：正三角形每个内角60°，正方形每个内角90°，正六边形每个内角120°，1个正三角形，2个正方形，一个正六边形可得360°，故选项D不符合题意；
故答案为：A.
【分析】平面镶嵌的条件是围绕一点的各多边形内角之和为360°，分别计算各选项中正多边形的内角，并验证是否存在整数解使得内角和为360° 即可.
5．（2024八上·长春月考） 如图， Rt△ABC中， ∠C=90°， BD平分∠ABC交AC于点D， 点E为AB的中点， 若△DBE的面积为 4， CD=2， 则AB=(　　)
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】D
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质
【解析】【解答】解：过点D作DF⊥AB于点F，如下图：
∵BD平分ABC，且D在AC上，而DF⊥AB，
∴DF=CD=2，
∵△DBE的面积为4，其底为BE，高为DF=2，
，
∴BE=4
∵E为AB的中点，
∴AB=2BE=2×4=8，
故答案为：D.
【分析】 已知BD是角平分线，点E为AB的中点，△DBE的面积为4，且CD=2，通过角平分线性质、中点性质及面积公式逐步推导即可求解.
6．（2024八上·长春月考）如图①，已知四边形纸片ABCD.按图②、图③的折纸方法依次折叠后再展开，得到两条折痕，如图④第二条折痕与边CD 交于点E，连结AE、BE.若 ，BE平分. 则∠AEB的度数是(　　)
A．30° B．40° C．50° D．55°
【答案】B
【知识点】翻折变换（折叠问题）；角平分线的概念；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解： 根据折叠过程（图②、图③），第一次折叠形成折痕DF，此时DF垂直于AE，
第二次折叠后，折痕AE与边CD交于E点，由于折叠对称性，AE与BC平行，
∴∠AEB=∠EBC，
∵BE平分∠ABC，∠ABC=80°，
∴，
∴∠AEB=∠EBC=40°，
故答案为：C.
【分析】 通过分析折痕的位置关系，结合平行线的性质，推导出所求角的度数即可.
7．（2024八上·长春月考） 如图， 在正五边形ABCDE中， 连结AC， BE交于点F， 则∠AFE的度数是(　　)
A．60° B．72° C．90° D．108°
【答案】B
【知识点】等腰三角形的性质；正多边形的性质
【解析】【解答】解：∵五边形ABCDE为正五边形，
∴∠BAE=∠ABC=108°，AE=AB=BC，
∴∠BAC=∠ACB=∠ABE=∠AEB=36°，
在交点F处，∠AFE是△ABF的外角，根据外角定理：
∠AFE=∠BAC+∠ABE=36°+36°=72°，
故答案为：B.
【分析】 首先需计算正五边形的每个内角度数，再分析交点处的角度关系，结合外角定理求解目标角的度数.
8．（2024八上·长春月考） 如图， 在△ABC中， ∠C=90°， 将△ABC沿DE折叠， 使点B 落在边AC上的点F处，若∠CFD=60°， 且△AEF为等腰三角形， 则∠A 的度数为(　　)
A．30°或40° B．30°或60° C．40°或50° D．50°或60°
【答案】C
【知识点】等腰三角形的性质；翻折变换（折叠问题）；分类讨论
【解析】【解答】解：由折叠的性质可知， △BDE≌△FDE，
∴∠B=∠EFD=90°-∠A，
∵∠CFD=60°，
∴∠AFE=∠A+30°，
∵△AEF为等腰三角形，
∴分以下三种情况讨论：
当AE=AF时，∠AFE=∠AEF=∠A+30°，可列出方程3∠A+60°=180°，所以∠A=40°；
当AF=EF时，∠A=∠AEF，可列出方程3∠A+30°=180°，解得∠A=50°；
当AE=EF时，∠A=∠AFE，得到方程∠A=∠A+30°，无解；
综上可知：∠A的度数为40°或50°，
故答案为：C.
【分析】 已知折叠后点B落在AC上的F处，且∠CFD=60°，△AEF为等腰三角形，分情况讨论等腰三角形的三种可能（AE=AF、AF=EF、AE=EF），结合折叠性质及角度关系求解∠A的度数.
9．（2024八上·长春月考）8的立方根是　 　．
【答案】2
【知识点】立方根及开立方
【解析】【解答】解：8的立方根为2，
故答案为：2．
【分析】利用立方根的定义计算即可得到结果．此题考查了立方根，熟练掌握立方根的定义是解本题的关键．
10．（2024八上·长春月考） 如图， ABCD 是一块长方形场地， AB=18米， AD=11米. A， B两个入口的小路的宽都为1米，两小路汇合处路宽为2米，其余部分种植草坪，则草坪面积为　 　平方米.
【答案】160
【知识点】利用平移的思想解决实际问题
【解析】【解答】解： 将从A和B入口的小路向右和向下平移，由于两小路在汇合处宽度为2米，
原长方形AB=18米，AD=11米，平移后，草坪部分的长为原AB减去汇合处宽度2米，宽为原AD减去A入口小路宽度1米，
∴平移后的长为16米，宽为10米，
∴草坪的面积为160平方米，
故答案为：160.
【分析】 通过平移的方法，将不规则的草坪部分转化为规则的长方形，从而简化面积计算即可.
11．（2024八上·长春月考） 如图，在△ABC中，∠B=35°，∠DAE=25°.通过尺规作图的痕迹，可得∠C= 　 　度.
【答案】60
【知识点】线段垂直平分线的性质；尺规作图-作角的平分线；尺规作图-垂直平分线
【解析】【解答】解：根据尺规作图痕迹，DF是AB的垂直平分线，
因此，在△DAB中，∠DAB=∠B=35°，
由作图痕迹可知，AE是DAC的角平分线，
已知DAE=25°，根据角平分线定义，∠DAC=2×25°=50°，
∠BAC=∠DAB+∠DAC=35°+50°=85°，
在△ABC中，根据内角和定理：∠B+∠BAC+∠C=180°，
代入已知值35°+85°+∠C=180°，
解得：∠C=180°-35°-85°=60°，
故答案为：60.
【分析】结合尺规作图痕迹识别垂直平分线和角平分线，利用垂直平分线性质、等腰三角形性质、角平分线定义及三角形内角和定理求解∠C的度数.
12．（2024八上·长春月考） 如图， 在△ABC中， ∠C=65°， 将△ABC绕着点A 顺时针旋转后， 得到△ADE， 且点E在 BC上， 则∠BED 的度数为　 　度.
【答案】50
【知识点】旋转的性质；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解： 根据旋转的性质知：AB=AD，AC=AE，BC=DE；∠B=∠ADE，∠C=∠AED=65°；
∵AC=AE，
∴∠C=∠AEC=65°，
∴∠BED=180°-∠AEC-∠AED=180°-65°-65°=50°，
故答案为：50.
【分析】 通过旋转后的图形对应边相等和对应角相等，结合点E在BC上，分析等腰三角形并利用平角的定义求解∠BED的度数即可.
13．（2024八上·长春月考）如图，等腰三角形ABC的面积为24，底边BC=6，腰AC 的垂直平分线EF 分别交边AC、AB于E、F两点，点M 为线段EF上一动点，点D 为BC 的中点，连结CM、DM.在点 M 的运动过程中，△CDM的周长最小值为 　 　.
【答案】11
【知识点】等腰三角形的性质；轴对称的应用-最短距离问题；三角形-动点问题
【解析】【解答】解： 连接AD，已知等腰△ABC面积为24，底边BC=6，D为BC的中点，
所以AD⊥BC，AD=8，CD=3，
因为EF垂直平分AC，
所以AM=CM，
所以当点A，M，D三点共线时，根据垂线段最短，此时△CDM的周长最小，
所以C△CDM=AD+CD=8+3=11，
故答案为：11.
【分析】利用轴对称性质将动态问题转化为固定点间的最短路径，利用垂直平分线的对称性，利用垂线段最短可得到△CDM的周长的最小值.
14．（2024八上·长春月考）如图，△ABC的两个外角的平分线BP，AP 相交于点 P，过点 P作 ，分别交AC，AB 于点 D，E.下列四个结论：
①△EBP 是等腰三角形；②AE=EB；③点P在∠ACB的平分线上；④DE=CD-BE.
其中正确结论的是　 　(填序号).
【答案】①③④
【知识点】角平分线的性质；等腰三角形的判定
【解析】【解答】解：结论①：由于BP是ABC的外角平分线，设外角为∠CBN，则∠PBN=∠ABP，
∵PD||BC，故∠DPB=∠PBN，
∴∠DPB=∠ABP，即∠EBP=∠EPB，
∴EP=EB，△EBP为等腰三角形，故结论①正确；
结论②：若AE=EB，则E为AB中点，但题目未给出AB为等腰三角形或中点条件。由PD||BC，E在AB上，但无法直接推出E为中点。需进一步验证：
假设AB非等腰，若AE=EB，则需满足特定条件，但题目未限定△ABC的形状，故AE=EB不一定成立，故结论②错误；
结论③：BP、AP为△ABC的两个外角平分线，根据外角平分线交点的性质，
点P到△ABC各边的距离相等，
∴点P在∠ACB的平分线上，故结论③正确；
结论④：由结论①知EP=EB，故DE=DP-EP=DP-BE，
∵CP为∠ACB的平分线，且PD||BC，
∴∠DPC=∠PCB，
又∵CP平分ACB，
∴∠PCB=∠ACP，
又∵∠DPC=∠ACP，
∴△CPD中∠PCD=∠PDC，即CD=DP，
∴DE=CD-BE，故结论④正确，
故答案为：①③④.
【分析】 结合平行线的性质、角平分线定理及等腰三角形的判定进行分析，首先，BP和AP是△ABC的外角平分线，其交点P的性质需结合角平分线定理及平行线带来的角度关系进行推导，通过构造辅助线或利用平行线的同位角、内错角关系，逐一验证各结论的正确性.
15．（2024八上·长春月考）解下列方程组：
（1）
（2）
【答案】（1）解：①×2 + ②得，，
代入①得，
故二元一次方程组的解为
（2）解：①×3 + ②×2 得
，
，
代入①得，
故二元一次方程组的解为
【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】（1）用加减消元法，通过①×2+②消去y，得到一元一次方程，解后代入方程①得到y的值；
（2）用加减消元法，①×3 + ②×2消去y，求出x的值，然后代入求出y的值即可.
16．（2024八上·长春月考）解下列不等式组：
（1）
（2）
【答案】（1）解：解①得，
解②得，
解集
（2）解：解①得，
解②得，
解集
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【分析】（1）分别解两个不等式， 然后再确定解集的公共部分即可；
（2）分别解两个不等式， 然后再确定解集的公共部分即可；
17．（2024八上·长春月考）如果一个正数a的两个平方根分别是2x-2和x-7，求a的值.
【答案】解：由平方根性质得，
解得：，
所以这个正数
【知识点】平方根的性质
【解析】【分析】 根据平方根的定义，一个正数的两个平方根互为相反数，因此它们的和为0，由此可建立方程求解x的值，再代入任一平方根计算a的值.
18．（2024八上·长春月考） 如图， CE交AB于点E，
求证： 是等边三角形.
【答案】证明：∵CE∥DA，
∴∠A = ∠CEB，
又∵∠A = ∠B，
∴∠CEB = ∠B，
∴△BCE 是等腰三角形，
又∵∠BCE = 60°，
∴是等边三角形
【知识点】等边三角形的判定；两直线平行，同位角相等
【解析】【分析】 已知∠BCE=60°，需结合已知条件推导其他角或边的关系，通过平行线性质及等腰三角形性质，可逐步推导角度关系，进而证明结论.
19．（2024八上·长春月考）如图①、图②、图③是：3×3的正方形网格，每个小正方形的边长都为1.线段AB的端点在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，所画图形的顶点均在格点上，不要求写出画法，并保留作图痕迹.
（1）在图①中以AB为边画一个直角三角形ABC，使它的面积为3；
（2）在图②中以AB为边画一个等腰三角形ABD，使它的面积为3；
（3）在图③中以AB为边画一个等腰直角三角形ABE.
【答案】（1）解：如图①，以AB为直角边画一个直角三角形ABC，即为所求；
（2）解：如图②，△ABD即为所求；
（3）解：如图③，△ABE即为所求；
【知识点】等腰三角形的性质；等腰直角三角形；运用勾股定理解决网格问题
【解析】【分析】(1)根据直角三角形的定义以及面积为3画出所求三角形即可；
(2)根据等腰三角形的定义以及面积为3画出所求三角形即可；
(3)根据等腰直角三角形的定义画出所求三角形即可.
20．（2024八上·长春月考）某农副产品经销商打算将一批农副产品运往网点销售，现有大货车、小货车运送该批农副产品.已知2辆大货车与1辆小货车一次运送农副产品38吨；1辆大货车与2辆小货车一次运送农副产品31吨(每辆货车都装满).
（1）求一辆大货车与一辆小货车一次各运送农副产品多少吨；
（2）该经销商计划组织大、小货车共10辆运送该批农副产品，已知该批农副产品的重量不少于 120吨，请问至少需要大货车多少辆.
【答案】（1）解：设大货车运吨，小货车运吨，
由题意可列：，
解得，
答： 一辆大货车运15吨，一辆小货车一次送8吨。
（2）解：设大货车辆，
由题意可列：，
解得：，
故至少 5 辆
【知识点】一元一次不等式组的应用；二元一次方程组的应用-和差倍分问题
【解析】【分析】 （1）通过已知条件建立方程组求解大、小货车的载重量；
（2）根据题意利用不等式确定大货车的最小数量即可.
21．（2024八上·长春月考）先阅读， 再理解：
数学课上，老师讲解如何确定无理数 最接近的整数时，按下面方法解决问题：
①确定 的值在哪两个相邻整数之间：
②求这两个整数的平均数：
③对平均数的值进行平方，即( 因为 所以与 最接近的整数是3.
请回答下列问题：
（1）与 最接近的整数是 　 　；与 最接近的整数是 　 　；
（2）如图，数轴上点 M 表示的数可能为 ____；
A． B． C． D．
（3）与 最接近的整数是　 　.
【答案】（1）2；4
（2）C
（3）6
【知识点】无理数的估值
【解析】【解答】解：（1），
1.52=2.25，
∵.
∴与最接近的整数是2；
4.52=20.25
∵
∴与最接近的整数是4；
故答案为：2，4.
（2）
3.52=12.25
假设点M表示的数为
则，
即9故答案为：C.
（3）
3.52=12.25
∵
∴与最接近的整数是4，
∴与最接近的整数是6，
故答案为：6.
【分析】(1)根据给出的方法逐步进行求解即可；
(2)确定点M在3和3.5之间，然后根据给出的方法求出取值范围即可；
(3)根据给出的方法进行求解即可.
22．（2024八上·长春月考）我们用[a]表示小于等于 a的最大整数，例如：[[2.5]=2，[3]=3，[-2.5]=-3，请解决下列问题：
（1）　 　，　 　；
（2） 若[x]=3，则x的取值范围是　 　；
（3）若[x-2]=-1，求x的取值范围.
【答案】（1）-5；2
（2）
（3）解：∵，
∴-1≤x-2<0，
∴-1+2≤x-2+2<0+2，
∴1≤x<2.
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：（1）由题意得：[-5]=-5，，
故答案为：-5，2.
（2）∵[x]=3
∴x的取值范围是3≤x<4，
故答案为：3≤x<4.
（3）
【分析】（1）根据题目所给信息求解；
（2）已知[x]=3，根据定义确定x的取值范围；
（3）已知[x-2]=-1，先根据定义确定x-2的取值范围，再求解x的取值范围.
23．（2024八上·长春月考）问题提出：学习了等腰三角形，我们知道：等边对等角；反过来，等角对等边.数学兴趣小组在活动时发现，在一个三角形中，如果两条边不相等，它们所对的角也不相等，其中大边对大角.思路分析：解决不等边关系问题时，往往采用在长边上截取短边或者延长短边，构造全等三角形解决问题，这种方法称为截长补短法.
问题具化：如图1，在 中，AB>AC，求证： ∠C>∠B；
（1）问题解决：如图2，在AB上找一点E，使AE=AC，过点A作∠BAC的平分线，交BC于点 D，连结DE.请你补全余下的证明过程；
（2）问题拓展：如图3，在 中， AD是. 的平分线， 则 　 　度.
【答案】（1）证明：在 AB 上取 AE = AC，过点A作∠BAC的平分线，交BC于点D，连接DE，
∵AD 平分∠BAC，
∴∠EAD = ∠CAD，
∵AD = AD，
∴△AED≌△ACD，
∴∠AED = ∠C，
∵∠AED > ∠B，
∴∠C > ∠B
（2）77
【知识点】等腰三角形的性质；三角形全等的判定-SAS；截长补短构造全等模型
【解析】【解答】解：（2）在AC上取点E，使AE=AB，连接DE，
∵AD是∠BAC的平分线
∴∠BAD=∠EAD，
∵AB=AE，AD=AD
∴△ABD≌△AED(SAS)
∴∠ADB=∠ADE，DE=BD=2，AE=AB=3，
∴CE=AC-AE=5-3=2，
∴CE=DE，
∴∠EDC =∠C=26°，
∴.
故答案为：77.
【分析】 （1）证明△ADE≌△ADC，得出∠AED=∠C，根据∠AED>∠B，即可得出答案；
（2）在AC上取点E，使AE=AB，连接DE，证明△ABD≌△AED(SAS)，得出∠ADB=∠ADE，DE=BD=2，AE=AB=3，根据等腰三角形的性质得出∠EDC=∠C=26°，最后求出结果即可.
24．（2024八上·长春月考） 如图， 在长方形ABCD中，AB=CD=3，AD=BC=4，点P以每秒3个单位长度的速度从点A 出发，沿A→B→C运动，同时点Q 以每秒1个单位长度的速度从点D出发，沿D→A运动，当P、Q两点有一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动，设运动时间为t秒.
（1）用含t的代数式表示BP的长；
（2）点P在BC上运动，当PQ的中点落在AC上时，求t的值；
（3）当 是以AP为腰的等腰三角形时，求t的值：
（4）作点P关于点B的中心对称点P'，当 时，直接写出t的值.
【答案】（1）解：当点P在AB上，0当点P在BC上，时，BP=3t-3；
综上分析可知：
（2）解：如图，
∵O为PQ的中点，
∴PO=OQ，
∵长方形ABCD中BC//AD，
∴∠OPC=∠OQA，∠OCP=∠OAQ，
∴△OPC △OQA
∴AQ=CP，
∴7-3t=4-t，
解得：t=1.5
（3）解：当点P在AB上，AP=AQ时，3t=4-t，
解得：t=1；
当点P在BC上，AP=AQ时，则AP2=AQ，
根据勾股定理得：AP2=AB2+BP2=32+(3t-3)2，
∴32+(3t-3)2=(4-t)2
整理得：42-5t=-1，
即
∴
解得：t=1或(舍去)；
当点P在BC上，AP=PQ时，过点P作PE⊥AD于点E，
则
∵此时四边形AEPB为长方形
∴AE=BP=3t-3，
∴
解得：
综上分析可知：当△APQ是以AP为腰的等腰三角形时，t=1或
（4）解：当点P在AB上时，如图所示：
∵
∴，
∴，
∴，
解得：
当点P在BC上时，如图所示：
，
∵
∴，
∴，
∴
解得：
综上分析可知：当时，或.
【知识点】等腰三角形的性质；一元一次方程的实际应用-几何问题；四边形-动点问题；中心对称的性质
【解析】【分析】（1）分两种情况：当点P在AB上，0（2）证明△OPC △OQA，得出AQ=CP，列出关于的方程7-3t=4-t，解方程即可；
（3）分三种情况：当点P在AB上，AP=AQ时，当点P在BC上，AP=AQ时，当点P在BC上，AP=PQ时，分别求出结果即可；
（4）分两种情况：当点P在AB上时，当点P在BC上时，分别画出图形，列出方程，求出结果即可.
1 / 1吉林省长春市新解放学校2024-2025学年八年级上学期9月考试数学试题
1．（2024八上·长春月考） 36的平方根是 (　　)
A．±6 B． C．6 D．
2．（2024八上·长春月考）数学中有许多优美的曲线．下列四条曲线既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
3．（2024八上·长春月考）下列不等式组无解的是 (　　)
A． B． C． D．
4．（2024八上·长春月考）下列正多边形的组合中不能铺满地面的是(　　)
A．正方形和正六边形 B．正三角形和正六边形
C．正三角形和正十二边形 D．正三角形、正方形和正六边形
5．（2024八上·长春月考） 如图， Rt△ABC中， ∠C=90°， BD平分∠ABC交AC于点D， 点E为AB的中点， 若△DBE的面积为 4， CD=2， 则AB=(　　)
A．2 B．4 C．6 D．8
6．（2024八上·长春月考）如图①，已知四边形纸片ABCD.按图②、图③的折纸方法依次折叠后再展开，得到两条折痕，如图④第二条折痕与边CD 交于点E，连结AE、BE.若 ，BE平分. 则∠AEB的度数是(　　)
A．30° B．40° C．50° D．55°
7．（2024八上·长春月考） 如图， 在正五边形ABCDE中， 连结AC， BE交于点F， 则∠AFE的度数是(　　)
A．60° B．72° C．90° D．108°
8．（2024八上·长春月考） 如图， 在△ABC中， ∠C=90°， 将△ABC沿DE折叠， 使点B 落在边AC上的点F处，若∠CFD=60°， 且△AEF为等腰三角形， 则∠A 的度数为(　　)
A．30°或40° B．30°或60° C．40°或50° D．50°或60°
9．（2024八上·长春月考）8的立方根是　 　．
10．（2024八上·长春月考） 如图， ABCD 是一块长方形场地， AB=18米， AD=11米. A， B两个入口的小路的宽都为1米，两小路汇合处路宽为2米，其余部分种植草坪，则草坪面积为　 　平方米.
11．（2024八上·长春月考） 如图，在△ABC中，∠B=35°，∠DAE=25°.通过尺规作图的痕迹，可得∠C= 　 　度.
12．（2024八上·长春月考） 如图， 在△ABC中， ∠C=65°， 将△ABC绕着点A 顺时针旋转后， 得到△ADE， 且点E在 BC上， 则∠BED 的度数为　 　度.
13．（2024八上·长春月考）如图，等腰三角形ABC的面积为24，底边BC=6，腰AC 的垂直平分线EF 分别交边AC、AB于E、F两点，点M 为线段EF上一动点，点D 为BC 的中点，连结CM、DM.在点 M 的运动过程中，△CDM的周长最小值为 　 　.
14．（2024八上·长春月考）如图，△ABC的两个外角的平分线BP，AP 相交于点 P，过点 P作 ，分别交AC，AB 于点 D，E.下列四个结论：
①△EBP 是等腰三角形；②AE=EB；③点P在∠ACB的平分线上；④DE=CD-BE.
其中正确结论的是　 　(填序号).
15．（2024八上·长春月考）解下列方程组：
（1）
（2）
16．（2024八上·长春月考）解下列不等式组：
（1）
（2）
17．（2024八上·长春月考）如果一个正数a的两个平方根分别是2x-2和x-7，求a的值.
18．（2024八上·长春月考） 如图， CE交AB于点E，
求证： 是等边三角形.
19．（2024八上·长春月考）如图①、图②、图③是：3×3的正方形网格，每个小正方形的边长都为1.线段AB的端点在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，所画图形的顶点均在格点上，不要求写出画法，并保留作图痕迹.
（1）在图①中以AB为边画一个直角三角形ABC，使它的面积为3；
（2）在图②中以AB为边画一个等腰三角形ABD，使它的面积为3；
（3）在图③中以AB为边画一个等腰直角三角形ABE.
20．（2024八上·长春月考）某农副产品经销商打算将一批农副产品运往网点销售，现有大货车、小货车运送该批农副产品.已知2辆大货车与1辆小货车一次运送农副产品38吨；1辆大货车与2辆小货车一次运送农副产品31吨(每辆货车都装满).
（1）求一辆大货车与一辆小货车一次各运送农副产品多少吨；
（2）该经销商计划组织大、小货车共10辆运送该批农副产品，已知该批农副产品的重量不少于 120吨，请问至少需要大货车多少辆.
21．（2024八上·长春月考）先阅读， 再理解：
数学课上，老师讲解如何确定无理数 最接近的整数时，按下面方法解决问题：
①确定 的值在哪两个相邻整数之间：
②求这两个整数的平均数：
③对平均数的值进行平方，即( 因为 所以与 最接近的整数是3.
请回答下列问题：
（1）与 最接近的整数是 　 　；与 最接近的整数是 　 　；
（2）如图，数轴上点 M 表示的数可能为 ____；
A． B． C． D．
（3）与 最接近的整数是　 　.
22．（2024八上·长春月考）我们用[a]表示小于等于 a的最大整数，例如：[[2.5]=2，[3]=3，[-2.5]=-3，请解决下列问题：
（1）　 　，　 　；
（2） 若[x]=3，则x的取值范围是　 　；
（3）若[x-2]=-1，求x的取值范围.
23．（2024八上·长春月考）问题提出：学习了等腰三角形，我们知道：等边对等角；反过来，等角对等边.数学兴趣小组在活动时发现，在一个三角形中，如果两条边不相等，它们所对的角也不相等，其中大边对大角.思路分析：解决不等边关系问题时，往往采用在长边上截取短边或者延长短边，构造全等三角形解决问题，这种方法称为截长补短法.
问题具化：如图1，在 中，AB>AC，求证： ∠C>∠B；
（1）问题解决：如图2，在AB上找一点E，使AE=AC，过点A作∠BAC的平分线，交BC于点 D，连结DE.请你补全余下的证明过程；
（2）问题拓展：如图3，在 中， AD是. 的平分线， 则 　 　度.
24．（2024八上·长春月考） 如图， 在长方形ABCD中，AB=CD=3，AD=BC=4，点P以每秒3个单位长度的速度从点A 出发，沿A→B→C运动，同时点Q 以每秒1个单位长度的速度从点D出发，沿D→A运动，当P、Q两点有一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动，设运动时间为t秒.
（1）用含t的代数式表示BP的长；
（2）点P在BC上运动，当PQ的中点落在AC上时，求t的值；
（3）当 是以AP为腰的等腰三角形时，求t的值：
（4）作点P关于点B的中心对称点P'，当 时，直接写出t的值.
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】开平方（求平方根）
【解析】【解答】解：根据平方根的定义，
∵62=36 ，且( 6)2=36 ，
∴36的平方根为+6和 6 ，即±6，
故答案为：A.
【分析】 根据平方根的定义，正数的平方根有两个，互为相反数，即可确定正确选项.
2．【答案】B
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：不是轴对称图形，它是中心对称图形，故A不符合；
既是轴对称图形，又是中心对称图形，故B符合；
是轴对称图形，不是中心对称图形，故C不符合；
不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故D不符合，
故答案为：B.
【分析】根据轴对称图形，中心对称图形的意义，分别对四个图形作出分析，再作出判断即可.
3．【答案】D
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：选项A：根据口诀可知，同大取大，所以解集为x>2，故选项A不符合题意；
选项B：根据口诀可知，大小小大中间找，所以解集为-1选项C：根据口诀可知，同小取小，所以解集为x<-1，故选项C不符合题意；
选项D：根据口诀可知，大大小小找不到，所以解集为无解，故选项D符合题意；
故答案为：D.
【分析】 根据解各个不等式组的解集，结合口诀判断是否存在公共解即可.
4．【答案】A
【知识点】平面镶嵌（密铺）
【解析】【解答】解：选项A：正方形每个内角为90°，正六边形每个内角120°，设正方形m个，六边形n个，则有90m+120n=360，发现无法找到均为整数的m，n，故选项A符合题意；
选项B：正三角形每个内角为60°，正六边形每个内角120°，4个正三角形，1个正六边形可得到360°，故选项B不符合题意；
选项C：正三角形每个内角60°，正十二边形每个内角150°，2个正十二边形，1个正三角形可得360°，故选项C不符合题意；
选项D：正三角形每个内角60°，正方形每个内角90°，正六边形每个内角120°，1个正三角形，2个正方形，一个正六边形可得360°，故选项D不符合题意；
故答案为：A.
【分析】平面镶嵌的条件是围绕一点的各多边形内角之和为360°，分别计算各选项中正多边形的内角，并验证是否存在整数解使得内角和为360° 即可.
5．【答案】D
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质
【解析】【解答】解：过点D作DF⊥AB于点F，如下图：
∵BD平分ABC，且D在AC上，而DF⊥AB，
∴DF=CD=2，
∵△DBE的面积为4，其底为BE，高为DF=2，
，
∴BE=4
∵E为AB的中点，
∴AB=2BE=2×4=8，
故答案为：D.
【分析】 已知BD是角平分线，点E为AB的中点，△DBE的面积为4，且CD=2，通过角平分线性质、中点性质及面积公式逐步推导即可求解.
6．【答案】B
【知识点】翻折变换（折叠问题）；角平分线的概念；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解： 根据折叠过程（图②、图③），第一次折叠形成折痕DF，此时DF垂直于AE，
第二次折叠后，折痕AE与边CD交于E点，由于折叠对称性，AE与BC平行，
∴∠AEB=∠EBC，
∵BE平分∠ABC，∠ABC=80°，
∴，
∴∠AEB=∠EBC=40°，
故答案为：C.
【分析】 通过分析折痕的位置关系，结合平行线的性质，推导出所求角的度数即可.
7．【答案】B
【知识点】等腰三角形的性质；正多边形的性质
【解析】【解答】解：∵五边形ABCDE为正五边形，
∴∠BAE=∠ABC=108°，AE=AB=BC，
∴∠BAC=∠ACB=∠ABE=∠AEB=36°，
在交点F处，∠AFE是△ABF的外角，根据外角定理：
∠AFE=∠BAC+∠ABE=36°+36°=72°，
故答案为：B.
【分析】 首先需计算正五边形的每个内角度数，再分析交点处的角度关系，结合外角定理求解目标角的度数.
8．【答案】C
【知识点】等腰三角形的性质；翻折变换（折叠问题）；分类讨论
【解析】【解答】解：由折叠的性质可知， △BDE≌△FDE，
∴∠B=∠EFD=90°-∠A，
∵∠CFD=60°，
∴∠AFE=∠A+30°，
∵△AEF为等腰三角形，
∴分以下三种情况讨论：
当AE=AF时，∠AFE=∠AEF=∠A+30°，可列出方程3∠A+60°=180°，所以∠A=40°；
当AF=EF时，∠A=∠AEF，可列出方程3∠A+30°=180°，解得∠A=50°；
当AE=EF时，∠A=∠AFE，得到方程∠A=∠A+30°，无解；
综上可知：∠A的度数为40°或50°，
故答案为：C.
【分析】 已知折叠后点B落在AC上的F处，且∠CFD=60°，△AEF为等腰三角形，分情况讨论等腰三角形的三种可能（AE=AF、AF=EF、AE=EF），结合折叠性质及角度关系求解∠A的度数.
9．【答案】2
【知识点】立方根及开立方
【解析】【解答】解：8的立方根为2，
故答案为：2．
【分析】利用立方根的定义计算即可得到结果．此题考查了立方根，熟练掌握立方根的定义是解本题的关键．
10．【答案】160
【知识点】利用平移的思想解决实际问题
【解析】【解答】解： 将从A和B入口的小路向右和向下平移，由于两小路在汇合处宽度为2米，
原长方形AB=18米，AD=11米，平移后，草坪部分的长为原AB减去汇合处宽度2米，宽为原AD减去A入口小路宽度1米，
∴平移后的长为16米，宽为10米，
∴草坪的面积为160平方米，
故答案为：160.
【分析】 通过平移的方法，将不规则的草坪部分转化为规则的长方形，从而简化面积计算即可.
11．【答案】60
【知识点】线段垂直平分线的性质；尺规作图-作角的平分线；尺规作图-垂直平分线
【解析】【解答】解：根据尺规作图痕迹，DF是AB的垂直平分线，
因此，在△DAB中，∠DAB=∠B=35°，
由作图痕迹可知，AE是DAC的角平分线，
已知DAE=25°，根据角平分线定义，∠DAC=2×25°=50°，
∠BAC=∠DAB+∠DAC=35°+50°=85°，
在△ABC中，根据内角和定理：∠B+∠BAC+∠C=180°，
代入已知值35°+85°+∠C=180°，
解得：∠C=180°-35°-85°=60°，
故答案为：60.
【分析】结合尺规作图痕迹识别垂直平分线和角平分线，利用垂直平分线性质、等腰三角形性质、角平分线定义及三角形内角和定理求解∠C的度数.
12．【答案】50
【知识点】旋转的性质；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解： 根据旋转的性质知：AB=AD，AC=AE，BC=DE；∠B=∠ADE，∠C=∠AED=65°；
∵AC=AE，
∴∠C=∠AEC=65°，
∴∠BED=180°-∠AEC-∠AED=180°-65°-65°=50°，
故答案为：50.
【分析】 通过旋转后的图形对应边相等和对应角相等，结合点E在BC上，分析等腰三角形并利用平角的定义求解∠BED的度数即可.
13．【答案】11
【知识点】等腰三角形的性质；轴对称的应用-最短距离问题；三角形-动点问题
【解析】【解答】解： 连接AD，已知等腰△ABC面积为24，底边BC=6，D为BC的中点，
所以AD⊥BC，AD=8，CD=3，
因为EF垂直平分AC，
所以AM=CM，
所以当点A，M，D三点共线时，根据垂线段最短，此时△CDM的周长最小，
所以C△CDM=AD+CD=8+3=11，
故答案为：11.
【分析】利用轴对称性质将动态问题转化为固定点间的最短路径，利用垂直平分线的对称性，利用垂线段最短可得到△CDM的周长的最小值.
14．【答案】①③④
【知识点】角平分线的性质；等腰三角形的判定
【解析】【解答】解：结论①：由于BP是ABC的外角平分线，设外角为∠CBN，则∠PBN=∠ABP，
∵PD||BC，故∠DPB=∠PBN，
∴∠DPB=∠ABP，即∠EBP=∠EPB，
∴EP=EB，△EBP为等腰三角形，故结论①正确；
结论②：若AE=EB，则E为AB中点，但题目未给出AB为等腰三角形或中点条件。由PD||BC，E在AB上，但无法直接推出E为中点。需进一步验证：
假设AB非等腰，若AE=EB，则需满足特定条件，但题目未限定△ABC的形状，故AE=EB不一定成立，故结论②错误；
结论③：BP、AP为△ABC的两个外角平分线，根据外角平分线交点的性质，
点P到△ABC各边的距离相等，
∴点P在∠ACB的平分线上，故结论③正确；
结论④：由结论①知EP=EB，故DE=DP-EP=DP-BE，
∵CP为∠ACB的平分线，且PD||BC，
∴∠DPC=∠PCB，
又∵CP平分ACB，
∴∠PCB=∠ACP，
又∵∠DPC=∠ACP，
∴△CPD中∠PCD=∠PDC，即CD=DP，
∴DE=CD-BE，故结论④正确，
故答案为：①③④.
【分析】 结合平行线的性质、角平分线定理及等腰三角形的判定进行分析，首先，BP和AP是△ABC的外角平分线，其交点P的性质需结合角平分线定理及平行线带来的角度关系进行推导，通过构造辅助线或利用平行线的同位角、内错角关系，逐一验证各结论的正确性.
15．【答案】（1）解：①×2 + ②得，，
代入①得，
故二元一次方程组的解为
（2）解：①×3 + ②×2 得
，
，
代入①得，
故二元一次方程组的解为
【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】（1）用加减消元法，通过①×2+②消去y，得到一元一次方程，解后代入方程①得到y的值；
（2）用加减消元法，①×3 + ②×2消去y，求出x的值，然后代入求出y的值即可.
16．【答案】（1）解：解①得，
解②得，
解集
（2）解：解①得，
解②得，
解集
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【分析】（1）分别解两个不等式， 然后再确定解集的公共部分即可；
（2）分别解两个不等式， 然后再确定解集的公共部分即可；
17．【答案】解：由平方根性质得，
解得：，
所以这个正数
【知识点】平方根的性质
【解析】【分析】 根据平方根的定义，一个正数的两个平方根互为相反数，因此它们的和为0，由此可建立方程求解x的值，再代入任一平方根计算a的值.
18．【答案】证明：∵CE∥DA，
∴∠A = ∠CEB，
又∵∠A = ∠B，
∴∠CEB = ∠B，
∴△BCE 是等腰三角形，
又∵∠BCE = 60°，
∴是等边三角形
【知识点】等边三角形的判定；两直线平行，同位角相等
【解析】【分析】 已知∠BCE=60°，需结合已知条件推导其他角或边的关系，通过平行线性质及等腰三角形性质，可逐步推导角度关系，进而证明结论.
19．【答案】（1）解：如图①，以AB为直角边画一个直角三角形ABC，即为所求；
（2）解：如图②，△ABD即为所求；
（3）解：如图③，△ABE即为所求；
【知识点】等腰三角形的性质；等腰直角三角形；运用勾股定理解决网格问题
【解析】【分析】(1)根据直角三角形的定义以及面积为3画出所求三角形即可；
(2)根据等腰三角形的定义以及面积为3画出所求三角形即可；
(3)根据等腰直角三角形的定义画出所求三角形即可.
20．【答案】（1）解：设大货车运吨，小货车运吨，
由题意可列：，
解得，
答： 一辆大货车运15吨，一辆小货车一次送8吨。
（2）解：设大货车辆，
由题意可列：，
解得：，
故至少 5 辆
【知识点】一元一次不等式组的应用；二元一次方程组的应用-和差倍分问题
【解析】【分析】 （1）通过已知条件建立方程组求解大、小货车的载重量；
（2）根据题意利用不等式确定大货车的最小数量即可.
21．【答案】（1）2；4
（2）C
（3）6
【知识点】无理数的估值
【解析】【解答】解：（1），
1.52=2.25，
∵.
∴与最接近的整数是2；
4.52=20.25
∵
∴与最接近的整数是4；
故答案为：2，4.
（2）
3.52=12.25
假设点M表示的数为
则，
即9故答案为：C.
（3）
3.52=12.25
∵
∴与最接近的整数是4，
∴与最接近的整数是6，
故答案为：6.
【分析】(1)根据给出的方法逐步进行求解即可；
(2)确定点M在3和3.5之间，然后根据给出的方法求出取值范围即可；
(3)根据给出的方法进行求解即可.
22．【答案】（1）-5；2
（2）
（3）解：∵，
∴-1≤x-2<0，
∴-1+2≤x-2+2<0+2，
∴1≤x<2.
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：（1）由题意得：[-5]=-5，，
故答案为：-5，2.
（2）∵[x]=3
∴x的取值范围是3≤x<4，
故答案为：3≤x<4.
（3）
【分析】（1）根据题目所给信息求解；
（2）已知[x]=3，根据定义确定x的取值范围；
（3）已知[x-2]=-1，先根据定义确定x-2的取值范围，再求解x的取值范围.
23．【答案】（1）证明：在 AB 上取 AE = AC，过点A作∠BAC的平分线，交BC于点D，连接DE，
∵AD 平分∠BAC，
∴∠EAD = ∠CAD，
∵AD = AD，
∴△AED≌△ACD，
∴∠AED = ∠C，
∵∠AED > ∠B，
∴∠C > ∠B
（2）77
【知识点】等腰三角形的性质；三角形全等的判定-SAS；截长补短构造全等模型
【解析】【解答】解：（2）在AC上取点E，使AE=AB，连接DE，
∵AD是∠BAC的平分线
∴∠BAD=∠EAD，
∵AB=AE，AD=AD
∴△ABD≌△AED(SAS)
∴∠ADB=∠ADE，DE=BD=2，AE=AB=3，
∴CE=AC-AE=5-3=2，
∴CE=DE，
∴∠EDC =∠C=26°，
∴.
故答案为：77.
【分析】 （1）证明△ADE≌△ADC，得出∠AED=∠C，根据∠AED>∠B，即可得出答案；
（2）在AC上取点E，使AE=AB，连接DE，证明△ABD≌△AED(SAS)，得出∠ADB=∠ADE，DE=BD=2，AE=AB=3，根据等腰三角形的性质得出∠EDC=∠C=26°，最后求出结果即可.
24．【答案】（1）解：当点P在AB上，0当点P在BC上，时，BP=3t-3；
综上分析可知：
（2）解：如图，
∵O为PQ的中点，
∴PO=OQ，
∵长方形ABCD中BC//AD，
∴∠OPC=∠OQA，∠OCP=∠OAQ，
∴△OPC △OQA
∴AQ=CP，
∴7-3t=4-t，
解得：t=1.5
（3）解：当点P在AB上，AP=AQ时，3t=4-t，
解得：t=1；
当点P在BC上，AP=AQ时，则AP2=AQ，
根据勾股定理得：AP2=AB2+BP2=32+(3t-3)2，
∴32+(3t-3)2=(4-t)2
整理得：42-5t=-1，
即
∴
解得：t=1或(舍去)；
当点P在BC上，AP=PQ时，过点P作PE⊥AD于点E，
则
∵此时四边形AEPB为长方形
∴AE=BP=3t-3，
∴
解得：
综上分析可知：当△APQ是以AP为腰的等腰三角形时，t=1或
（4）解：当点P在AB上时，如图所示：
∵
∴，
∴，
∴，
解得：
当点P在BC上时，如图所示：
，
∵
∴，
∴，
∴
解得：
综上分析可知：当时，或.
【知识点】等腰三角形的性质；一元一次方程的实际应用-几何问题；四边形-动点问题；中心对称的性质
【解析】【分析】（1）分两种情况：当点P在AB上，0（2）证明△OPC △OQA，得出AQ=CP，列出关于的方程7-3t=4-t，解方程即可；
（3）分三种情况：当点P在AB上，AP=AQ时，当点P在BC上，AP=AQ时，当点P在BC上，AP=PQ时，分别求出结果即可；
（4）分两种情况：当点P在AB上时，当点P在BC上时，分别画出图形，列出方程，求出结果即可.
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