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2025-2026 学年上学期期中八校学业质量诊断调研
初二数学试题
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。共 150分，考试用时 120分钟。
第Ⅰ卷（选择题，共 30分）
注意事项：
1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的班级、姓名、准考证号（即考号，9位数，靠右边填涂）、考试科
目等按要求涂写在答题卡上。
2．第Ⅰ卷的答案必须答在选择题答题卡上；第Ⅱ卷用黑色字迹签字笔或钢笔按各题要求答在答题卡
上。
3．考试结束时，将选择题答题卡和第Ⅱ卷答题卷一并交回，试卷和草稿纸自己带走。
一．选择题（共 10小题，每题 3分）
1．下列图形中，不是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．以下长度的三条线段，不能组成三角形的是（ ）
A．3、8、2 B．2、5、4 C．6、3、5 D．9、15、7
3．下列计算正确的是（ ）
A．4a2+2a2＝6a4 B．5a 2a＝10a C．a6÷a2＝a3 D．（﹣a2）2＝a4
4．如图，在△ABC 中，已知点 D、E、F 分别是 BC、AD、CE 的中点，且 S△ABC＝4，S△BEF＝（ ）
1 1
A．2 B．1 C． D．
2 4
第 4 题图 第5题图
5．如图，∠BAC＝∠DAE，AB＝AC，AD＝AE，B、D、E 三点共线，∠1＝25°，∠2＝30°，则∠3＝（ ）
A．55° B．60° C．50° D．无法计算
6．在下列图形中，正确画出△ABC 的边 BC 上的高的是（ ）
第1页（共5页）
A． B． C． D．
7．如图是用直尺和圆规作已知角的平分线的示意图，则说明∠CAD＝∠DAB 的依据是（ ）
A．SAS B．ASA C．AAS D．SSS
第 7题图 第 8 题图
8．如图，已知 AB＝AC，∠ADB＝∠E，要使△BAD≌△CAE，则不符合条件的是（ ）
A．∠1＝∠2 B．∠B＝∠C C．BD＝CE D．∠BAD＝∠CAE
9．如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，以点 A 为圆心，适当长为半径作弧，分别交 AB，AC 于点 D，E，再
1
分别以点 D，E，为圆心，以大于 DE 的长度为半径作弧，两弧交于点 F，作射线 AF 交 BC 于点 G，若
2
AB＝12，CG＝3，则△ABG 的面积是（ ）
A．12 B．18 C．24 D．36
第 9 题图 第 10题图
10．如图，△ABC 中，∠ACB＝60°，AG 平分∠BAC 交 BC 于点 G，BD 平分∠ABC 交 AC 于点 D，AG、BD
相交于点 F，AE＝5，AF＝3，BE⊥AG 交 MG 的延长线于点 E，连接 CE，下列结论中正确的有（ ）
①∠AFB＝120°； ②若∠BAD＝65°，则∠EBC＝2.5°；③ = √2 ；④BE＝CE；
⑤AB＝BG+AD； ⑥S△BGF：S△AFD＝4：3．
A．5 个 B．4 个 C．3 个 D．2 个
第 II 卷（共 120分）
第2页（共5页）
二．填空题（共 6小题，每题 3分）
11．若 3m＝7，3n＝6，则 3m+n 等于 ．
12．已知一个等腰三角形的周长为 13，一边长为 3，则其腰长为 ．
13．已知△ABC 三边长均为整数，且周长为偶数，若 AC﹣BC＝5．则边长 AB 的最小值是 ．
14．平面直角坐标系中，点 A（1，3）关于 x 轴对称的点的坐标是 ．
15．如图，在△ABC 中，AB＝AC，BC＝6，△ABC 的面积是 42，AB 的垂直平分线 MN 分别交 AB，AC 边
于点 M，N，若点 D 为 BC 边的中点，点 E 为线段 MN 上一动点，则△BDE 周长的最小值为 ．
第 15 题图 第 16 题图
16．已知：如图，△ABC 和△DEC 都是等边三角形，D 是 BC 延长线上一点，AD 与 BE 相交于点 P，AC
与 BE 相交于点 M，AD 与 CE 相交于点 N，连接 MN，PC，则下列五个结论：
①∠BMC＝∠BMA； ②∠APB＝60°； ③AN＝BM；④△CMN 是等边三角形；⑤PC 平分∠BPD．
其中，正确的是 （只填写序号）
三．解答题（共 9小题，共 102分）
17．（9 分）解方程：（x+3）（x+2）﹣28＝（x﹣2）（x﹣1）．
18．（9 分）如图，AB＝CD，AB∥ CD，求证：AD＝CB．
19．（10 分）如图，△ABC 的三个顶点的坐标分别为 A（﹣3，4），
B（﹣4，﹣1），C（0，3）．（1）请作出△ABC 关于 x 轴对称的△A1B1C1，
并写出△A1B1C1 的 3 个顶点坐标：A1 ，B1 ，
C1 ；
（2）若点 P 为 y 轴上一点，且△PB1C1 的面积为 15，请直接写出所
有满足条件的点 P 的坐标 ．
第3页（共5页）
20．（10 分）若 am＝an（a＞0 且 a≠1，m、n 是正整数），则 m＝n．利用上面结论解决下面的问题；
（1）如果 2x＝25，则 x＝ ；
（2）如果 8x＝27，求 x 的值；
（3）如果 3x+2﹣3x+1＝54，求 x 的值．
21．（10 分）已知∠CAE 是△ABC 的一个外角，AB＝AC．
（1）尺规作图：作∠CAE 角平分线 AD．（不写作法，保留痕迹）；
（2）求证：AD∥ BC．
第 22 题图
第 21 题图
22. （12 分）如图，△ABC 中，AD 平分∠BAC，DG⊥BC 且平分 BC，DE⊥AB 于 E，DF⊥AC 于 F．
（1）求证：BE＝CF；
（2）如果 AB＝8，AC＝6，求 AE、BE 的长．
23．（12 分）⊿ABC 中， AB = AC ， BAC = 90 ，D 是BC 的中点．
(1)如图 1，连接 AD ，过点D 作DE ⊥ DF ，分别交 AB ， AC 于点E ，F ．
①若BD = BE ，直接写出 ADE 的度数为_________；
②求证：DE = DF ．
(2)如图 2，点M ， N 是 AC 边上动点，连接 BM ， DN 相交于点 P ，已知 MPN = 45 ，连接 AP ，
求证： AP ⊥ BP．
第4页（共5页）
24．（14 分）【问题发现】
（1）如图①，在△PAB中，过点P作MN⊥AB，垂足为点C，且AC＝BC．若PB＝6，则PA的值为 ；
【问题探究】
（2）如图②，在△ABC 中，AB、AC 的垂直平分线分别交 BC 于点 D、E，垂足分别为 M，N，BC＝25，
连接 AD、AE，求△ADE 的周长；
【拓展应用】
（3）如图③，△ABC 是一个游乐场的平面示意图，A 为游乐场大门，其中 AB＝AC＝400 米，∠BAC＝
100°，BD 平分∠ABC 交 AC 于点 D．现分别在 BD、BC 上各取一点 P、Q，且满足 BP＝CQ，计划沿 AP、
AQ 修建两条轨道交通以方便游客游玩，已知两条轨道造价均为每米 350 元，求修建这两条轨道总费用
的最小值．
25．（14 分）△ACB 是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，AC＝BC，点 A、C 分别在 x 轴、y 轴的正半轴上．
（1）如图 1，求证：∠BCO＝∠CAO
（2）如图 2，若 OA＝5，OC＝2，求 B 点的坐标。
（3）如图 3，点 C（0，3），Q、A 两点均在 x 轴上，且 S△CQA＝18．分别以 C 为直角顶点，AC、CQ
为腰在第一、第二象限作等腰直角△CAN、等腰直角△QCM，连接 MN 交 y 轴于 P 点，OP 的长度是否
发生改变？若不变，求出 OP 的值；若变化，求 OP 的取值范围．
第5页（共5页）
2025-2026 学年九年级 11 月质量检查数学（参考答案）
《2025-2026 学年九年级 11 月质量检查数学（问卷）》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D C A B C A D C B B
二、填空题
11．x≥3 12．m(n + 1)(n 1) 13． x 1 14．—2
15．0 < a ≤ 1 16．4203
17．(4分） x1 4, x2 2
18．（4分））证明：∵ AE CF，
∴ AE EF CF EF，
∴ AF CE， ……1分
∵ AD∥BC，
∴ A C ， ……2分
又∵ BC AD，
∴ ADF ≌ CBE(SAS)， ……3分
∴DF BE． ……4分
x2 4 4
19 ．（6分）解： 2 x x 2
x 2 x 2 2 x 2 4
…… 分x x 2 x 2
1

x 2 x 2 2x 4 4
……2分
x x 2
x 2 x 2 2x

x x 2
2 x 2
2x 4， ……4分
x 0, x 2
∴ 取 x = 1 时，代入可得，原式 2 × 1 + 4 = 6. ……6分
20．（满分 6分）（1）解：本次抽取的学生共有16 40% 40 （人），
抽取 B等级学生 40 4 16 14 6（人），
补全条形统计图如下：
答案第 1页，共 6页
……2分
（2）解：70分的人数最多，因此众数为 70分；
将 40个人的成绩按顺序排列，第 20、21位均在 C组，因此中位数为 70分；
故答案为：70，70； ……4分
（3）解： 2800
4
280（人）
40
答：估计该校书写能力等级达到优秀的学生大约有 280人． ……6分
21．（满分 8分）（1）解： 关于 x的方程 x2 2kx k 2 k 0有两个实数根，
b2 4ac (2k)2 4 1 (k 2 k) 0， ……2分
解得： k 0． ……3分
（2）解： 方程 x2 2kx k 2 k 0的两个实数根分别为x1， x2，
x 21 x2 2k， x1x2 k k， ……4分
x1x2 x1 x2 x1x2 (x1 x2) 2， ……5分
k 2 k ( 2k ) 2，
整理，得 k 2 k 2 0， ……6分
解得 k1 1， k2 2， ……7分
由（1）得 k ≥ 0 Q k 0
k 1． ……8分
22．（本题满分 10分）（1）解：由图像可知，当甲种水果质量 x 60千克时，费用 y保持不
变，为 6(元 /千克 )，
所以函数关系式为： y 6(0 x 60)， ……1分
当甲种水果质量60 x 100千克时，函数图像为直线，
设函数关系式为： y kx b 60 x 100 ，
答案第 2页，共 6页
将 x 60， y 6和 x 100， y 4分别代入函数关系式得：
6 60k b

4 100k b
，
1
解得： k ,b 9，
20
y 1 x 9 60 x 100 ， ……4分
20
当 x 100时， y与 x的函数关系式应为：
6(0 x 60)
y 1 ．
x 9(60 x 100) 20
（2）解：设甲种水果的质量为 a千克 ( a 40 ，则乙种水果的质量为 240 a 千克，
乙种水果的质量不低于甲种水果质量的 2倍，
240 a 2a，
解得： a 80，又购买甲种水果不少于 40千克
a的范围为： 40 a 80， ……5分
当 40 a 60 时，w 6a 5 240 a a 1200，
此时当 a最小时，w最小，
即当 a 40时，w有最小值W= 40 1200 1240(元 )， ……7分
1
当60

a 80时，w a a 9 5 240 a
1
a 40 2 1280，
20 20
此时当 a 80时，离对称轴 a 40最远，w最小，
1
即当 a 80 2时，w有最小值W= (80 40) 1280 1200 (元 )，
20
1200 1240，
当 a 80时总费用w最少，为1200元，此时 240 a 240 80 160(千克 ) ……10分
故购买甲种水果80千克，乙种水果160千克时，总费用w最少，最少为1200元．
23．（本题满分 10分）（1）解：由题意可知：顶点 M的坐标为 2,3 ，点 E的坐标为 0,1 ，
则可设最外层水柱所在抛物线的表达式为
y a x 2 2 3 a 0 ，
将点 E 0,1 1代入，得1 4a 3，解得 a ，
2
答案第 3页，共 6页
1 2最外层水柱所在抛物线的表达式为 y x 2 3． ……3分
2
1 2
（2）解：∵ y x 2 3，
2
∴当 y 1
1 2
时， x 2 3 1，解得 x 0或 x 4．
2
y 1设抛物线 x 2 2 3上横坐标为 4的点为 P，则 P 4,1 ．
2
1 2
由题意可设消防喷淋头 N的最外层水柱所在抛物线的表达式为 y x h 3，
2
1 2
当此抛物线经过点 P 4,1 时，有1 4 h 3，解得 h 2（舍去）或 h 6，
2
此时 AN 6米，
MN AN AM 4米； ……6分
1 2 1 2
当抛物线 y x h 3经过点 7.5,1 时，有1 7.5 h 3，解得h 9.5（舍去）
2 2
或 h 5.5，此时 AN 5.5米，
MN AN AM 3.5米． ……9分
综上所述，在满足所需条件时，MN的取值范围为3.5m MN 4m． ……10分
24．（本题满分 12分）（1）等边，直角，150度； ……3分
（2）如图 1，把 ABP绕点 B顺时针旋转 90°得到△BCP ，
则 P B PB 4，P C PA 2，
∵旋转角是90 ，
∴ PBP 90 ，
∴ BPP 是等腰直角三角形，
∴ PP 2PB 4 2， PP B 45 ，
∵ APB 135 ，
∴ CP B APB 135 ，
∴ PP C 135 45 90 ，
在Rt△PP C中，由勾股定理得， PC 32 4 6； ……7分
（3）将 BPC绕点 B逆时针旋转 90°，得到 BP A，连接 PP ，
∴ ABP ≌ CBP，
∴ PBP 90 ，BP BP 1，AP CP 11，
在Rt PBP 中， BP BP 1，
答案第 4页，共 6页
∴ BPP 45 ，根据勾股定理得， PP BP 2，
∵ AP 3，
∴ AP2 PP 2 9 2 11，
2
∵ AP 2 11 11，
∴ AP2 PP 2 AP 2，
∴ APP 是直角三角形，且 APP 90 ，
∴ APB APP BPP 90 45 45 ． ……12分
25．（本题满分 12分）解：（1 C : y ax 2） 1 2ax 3a a(x 1)
2 4a
顶点 (1, 4a)围绕点 P(m,0)旋转 180°的对称点为 (2m 1,4a)，
C2 : y a(x 2m 1)2 4a ，函数的对称轴为： x 2m 1，
t 2m 1， ……2分
（2） a 1时，
C 21 : y (x 1) 4，
1
①当 t 1时，
2
x 1 15 时，有最小值 y
2 2
，
4
x t 2时，有最大值 y1 (t 1) 4，
y y (t 1)2 4 15则 1 2 1，无解；4
②1
3
t 时，
2
x 1时，有最大值 y1 4，
x 1 时，有最小值 y2 (t 1)
2 4，
2
y 11 y2 1（舍去）；4
③当 t
3
时，
2
x 1时，有最大值 y1 4，
x t 2时，有最小值 y2 (t 1) 4，
答案第 5页，共 6页
y y (t 1)21 2 1，
解得： t 0或 2（舍去 0），
C : y (x 2)2故 2 4 x
2 4x； ……7分
（3）当m 0时，
C 22 : y a(x 1) 4a ，
点 A,B,D, A ',D '的坐标分别为 (1,0), ( 3,0), (0,3a), (0,1), ( 3a,0) ，
当 a 0时， a越大，则OD越大，则点D '越靠左，
1
当C '2 过点 A时， y a(0 1)2 4a 1，解得： a ，3
当C '2 过点D 时，同理可得： a 1，
1
故：0 a 或a 1；
3
当 a 0时，
' 1当C2 过点D 时， 3a 1，解得： a ，3
1
故： a ；
3
1 1
综上，故：0 a 或 a 1或 a ． ……12分
3 3
答案第 6页，共 6页

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