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浙江省宁波市鄞州实验2025-2026学年九年级上学期10月数学试卷
一、选择题(每题3分，共10小题)
1．（2025九上·鄞州月考）二次函数的解析式为则它图象的顶点坐标是（　　）
A．(-2，1) B．(2，-1) C．(2，1) D．(1，2)
【答案】C
【知识点】二次函数y=a（x-h）²+k的图象；二次函数y=a（x-h）²+k的性质
【解析】【解答】解：∵抛物线解析式为
∴二次函数图象的顶点坐标是(2，1).
故答案为：C.
【分析】根据 的顶点坐标为(h，k)解答即可.
2．（2025九上·鄞州月考）已知⊙O的直径为6，点P在⊙O内，则线段OP的长度可以是（　　）
A．5 B．4 C．3 D．2
【答案】D
【知识点】点与圆的位置关系
【解析】【解答】解：∵⊙O的直径为6，
∴⊙O的半径
∵点P在⊙O内，
∴线段OP的长度可以是2.
故答案为：D.
【分析】根据点到圆心的距离与半径的大小关系判断OP的长度即可.
3．（2025九上·鄞州月考）大自然巧夺天工，一片小枫树叶，也蕴含着“黄金分割”.如图，P为AB的黄金分割点(AP>PB)，如果AP的长度为8，那么AB的长度是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】黄金分割
【解析】【解答】解：∵P为AB的黄金分割点 ((AP>PB)，
故答案为：D.
【分析】
根据黄金分割的定义得到 然后把AP的长度代入可求出AB的长.
4．（2025九上·鄞州月考）一个箱子里有个白球，个红球，个黑球，它们除颜色外其余均相同从箱子里任意摸出一个球是红球的概率为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：∵一个不透明的箱子里有有7个白球，2个红球，1个黑球，
∴从箱子中随机摸出一个球是红球的概率是：.
故答案为：B.
【分析】根据题意，先求出球的总数，再根据概率公式，求出摸出红球的概率.
5．（2025九上·鄞州月考）已知四边形ABCD与四边形A'B'C'D'位似，点O为位似中心，若OA：O4'-1.3四边形ABCD的周长为3，则四边形A'B'C'D'的周长为(　　)
A．6 B．9 C．12 D．27
【答案】B
【知识点】位似图形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD与四边形A'B'C'D'位似，点O为位似中心，OA：OA'=1：3，
∴四边形ABCD与四边形A'B'C'D'的相似比为1：3
∴四边形ABCD与四边形A'B'C'D'的周长比为1：3
∵四边形ABCD的周长为3，
∴四边形A'B'C'D'的周长为9.
故答案为：B.
【分析】根据位似的性质得到四边形ABCD与四边形.A'B'C'D'的相似比为1：3，然后根据相似比等于周长比求解即可.
6．（2025九上·鄞州月考）如图，直线AD、BC交于点O，AB∥EF∥CD，若BO=2，OE=1，EC=2，则的值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【解答】解：
故答案为：A.
【分析】根据平行线分线段成比例定理易得到AO=2OF，DF=2OF，进而得到 即可求解.
7．（2025九上·鄞州月考）设二次函数(a，b，c是常数，a≠0)，部分对应值如表：当x=3时，y=(　　)
x · -2 -1 0 1 2 ·
y · 5 0 -3 -4 -3 ·
A．5 B．- 4 C．- 3 D．0
【答案】D
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征；二次函数的对称性及应用
【解析】【解答】解：由表格可得，
该函数的对称轴为直线
和x=-1对应的函数值相等，
∵当x=-1时，y=0，
∴当x=3时，y=0，
故答案为：D.
【分析】根据二次函数的性质和表格中的数据，可以求出该函数图象的对称轴，然后根据二次函数图象具有对称性，即可求得当x=3对应的函数值.
8．（2025九上·鄞州月考）如图，已知A，B，C，D是⊙O上依逆时针顺序排列的四个点，且满足设弦BC=x，AD=y，若⊙O的半径为10，则在x，y值的变化过程中，下列代数式的值不变的是（　　）
A．x+y B．xy C． D．
【答案】C
【知识点】勾股定理；三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系；圆周角定理的推论
【解析】【解答】解：过点A作⊙O直径AE，过点B作⊙O的直径BF，连接DE， CF， 如图所示：
∴∠E+∠F =90°，
∵AE， BF是⊙O的直径， ⊙O的半径是10，
∴AE=BF=20， ∠ADE=∠FCB=90°，
∴∠E+∠A=90°，
∴∠A=∠F，
在△ADE和△FCB中，
∴△ADE≌△FCB(AAS)，
∴DE=BC =x，
在Rt△ADE中， AD=y， DE =x， AE =20，由勾股定理得： 即
∴在x，y值的变化过程中，代数式 的值不变，
故答案为：C.
【分析】过点A作⊙O直径AE，过点B作⊙O的直径BF，连接DE， CF， 依题意得 则 由此可依据“AAS”判定 和 全等，则DE=BC，然后在 Rt 中，由勾股定理即可得出答案.
9．（2025九上·鄞州月考）函数和在同一直角坐标系中的图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】二次函数与反比例函数的图象共存判断
【解析】【解答】解：A. 由的图象可知，，，则，得到，的图象应该分别在二、四象限，故选项错误，不符合题意；
B.由可知，图象必过原点，选项中的二次数图象不经过原点，故选项错误，不合题意；
C. 由的图象可知，，，则，得到，的图象分别在一、三象限，故选项正确，符合题意；
D. 由的图象可知，，，则，得到，则的图象应该分别在一、三象限，但选项中的反比例函数图象分别位于二、四象限，故选项错误，不符合题意；
故答案为：C．
【分析】利用二次函数图象和性质求得a、b的取值范围，然后判断反比例函数的图象解题即可．
10．（2025九上·鄞州月考）勾股定理是几何中一个重要定理.著名数学家毕达哥拉斯用如图①所示的图形验证了勾股定理，把图①放入矩形内得到图②∠ACB=90°，BC=2AC，E，F，G，H，I都在矩形MNOP的边上，则的值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】勾股定理；勾股树模型；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：如图所示，延长BA交PM于J，过I作 于K，
设BC=2AC=2a，由题意可知，AC=CD=DE=AE=a，BH=HI=CI=BC=2a，
由勾股定理可得，
同理可得：
同理可得：
故答案为：A.
【分析】如图所示，延长BA交PM于J，过I作 于K，设BC=2AC=2a，由题意可知，AC=CD=DE=AE=a，BH=HI=CI=BC=2a，由勾股定理可得， 可得AB=BG= 再利用相似三角形的性质分别用含a的代数式表示MN，MP，即可得到答案.
二、填空题(每题3分，共6小题)
11．（2025九上·鄞州月考）若 ，则 　 　．
【答案】
【知识点】代数式求值
【解析】【解答】解：因为 ，设 ，则 ，
所以 ，
故答案为：
【分析】利用 设辅助参量，（也可用特值法），得到 ， 代入求值可得到答案．
12．（2025九上·鄞州月考）“头盔是生命之盔”，质检部门对某工厂生产的头盔质量进行抽查，抽查结果如表：
抽查的头盔数n 100 200 300 500 800 1000 3000
合格的头盔数m 95 194 298 479 769 960 2880
合格头盔的频率mn 0.950 0.945 0.962 0.958 0.961 0.960 0.960
请由此估计抽查一个头盔出现合格的概率为　 　.
【答案】0.96
【知识点】利用频率估计概率
【解析】【解答】解：观察上表，可以发现，当抽取的瓷砖数n≥1000时，合格头盔的频率- 稳定在0.960附近，所以可取p=0.96作为该型号的合格率.
故答案为： 0.96.
【分析】运用频率估计概率即可.
13．（2025九上·鄞州月考）如图，将△ABC在平面内绕点A逆时针旋40°到△AED的位置，点C与点D对应，当CD∥AB时，则∠CAE的度数为　 　.
【答案】30°
【知识点】三角形内角和定理；旋转的性质；两直线平行，内错角相等；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：∵将 在平面内绕点A逆时针旋转 到 D的位置，
故答案为：30°.
【分析】由旋转的性质可得∠CAD=∠EAB=40°， AC=AD，由等腰三角形的性质可得由平行线的性质可得 即可求解.
14．（2025九上·鄞州月考）如图，四边形ABCD内接于⊙O，延长AO交⊙O于点E，连接BE.若∠C=100°，∠DAE=50°，则∠E=　 　.
【答案】60°
【知识点】圆内接四边形的性质；圆周角定理的推论
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD内接于⊙O，
∵AE是⊙O的直径，
故答案为：
【分析】根据圆内接四边形的性质和圆周角定理即可得到结论.
15．（2025九上·鄞州月考） 某项目化研究小组只用一张矩形纸条和刻度尺来测量一次性纸杯杯底的直径.小敏同学想到了如下方法：如图，将纸条拉直并紧贴杯底，纸条的上下边沿分别与杯底相交于A，B，C，D四点，然后利用刻度尺量得该纸条的宽为3.5cm ，AB=3c m，CD=4 cm.请你帮忙计算纸杯杯底的直径为　 　.
【答案】5cm
【知识点】勾股定理；垂径定理的实际应用
【解析】【解答】解：如图，MN⊥AB，MN过圆心O，连接OC，OB，
∴MN=3.5cm，
∵AB//CD，
∴MN⊥CD，
∴(cm)，(cm)，
设ON=xcm，
∴OM=MN-ON=(3.5-x)cm，
∵OM2+MC2=OC2，ON2+BN2=OB2，
∴OM2+MC2=ON2+BN2，
∴(3.5-x)2+22=x2+1.52，
∴12.25-7x+x2+4=x2+2.25，
∴7x=14，
∴x=2，
∴ON=2(cm)，
∴(cm)，
∴纸杯的直径为2.5×2=5(cm).
故答案为：5cm.
【分析】由垂径定理求出BN，CM的长，设ON=x，由勾股定理得到(3.5-x)2+22=x2+1.52，求出x的值，得到ON的长，由勾股定理求出OB长，即可求出纸杯的直径长.
16．（2025九上·鄞州月考）综合与实践课上，同学们以“矩形折纸”为主题开展了数学活动.小明同学准备了一张长方形纸片ABCD，AB=24，BC=20，他在边BC上取中点N，又在边AB上任取一点M，再将△BMN沿MN折叠得到△B'MN，连结AB'.AB'达到最小值时，求BM= 　 　.
【答案】
【知识点】勾股定理；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；圆-动点问题；矩形翻折模型
【解析】【解答】解：将 沿MN折叠得到
∵点N为的BC中点，BC=20，
∴当点M在边AB上运动时，点B'在以N为圆心，NB为半径的圆弧上运动，
连接AN，在 中，AB'≥AN-NB'，
N共线时，AB'的值最小，如图，
最小为 =16；
设BM=x，
在直角三角形AB'M中，
由勾股定理得：
解得：
即
故答案为： .
【分析】根据折叠的性质得到，根据圆的定义得到点.B'在以N为圆心，NB为半径的圆上，根据三角形的三边关系得到AB'≥AN-NB'，结合点M在AB上，根据勾股定理即可求出BM即可.
三、解答题(共8小题，72分)
17．（2025九上·鄞州月考）已知二次函数
（1）求该函数图象的开口方向，对称轴以及图象与坐标轴的交点坐标；
（2）画出该函数的大致图象；
（3）当-2【答案】（1）解： =-1<0，
∴该函数图象的开口方向向下，对称轴为直线x=1；
当x=0时，
∴该函数图象与y轴交点为(0，3)；
当时，
解得：
∴该函数图象与x轴交点为(3，0)、(-1，0)；
（2）解： 列表：
X 0 1 2 3
y 0 3 4 3 0
描点、连线，作图如下：
（3）-5<
【知识点】二次函数的最值；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化；作图-二次函数图象
【解析】【解答】解：=-1<0，
∴当x=1时，y有最大值为4，
当x=-2时，
当x=3时，y=0，
∴当 时，则函数值y的取值范围是
故答案为：-5<
【分析】(1)将二次函数化为顶点式，根据顶点式可确定对称轴；根据当x=0时，可求出抛物线与y轴的交点，根据当y=0时可求出抛物线与x轴的交点；
(2)根据列表、描点、连线的步骤作出二次函数图象即可；
(3)根据当x=-2及x=3时的y值及顶点坐标结合二次函数性质，可确定 时，y的取值范围.
18．（2025九上·鄞州月考）有一个转盘(材质均匀)如图，已知红色、黄色区域的圆心角度数分别为x°和y°，当指针刚好落在分界线时，重新转动.
（1）自由转动转盘一次，“指针落在红色区域”的概率为，分别求x和y的值.
（2）在(1)的条件下，若自由转动转盘两次，求“指针一次落在红色区域，另一次落在黄色区域”的概率.
【答案】（1）解：根据题意得
解得x=120，
即y的值为240；
（2）解：把转盘分成相同的三个扇形，其中一个扇形为红色，另外两个扇形为黄色，
画树状图为：
共有9种等可能的结果，其中两次分别为红色和黄色的结果数为4，
所以“指针一次落在红色区域，另一次落在黄色区域”的概率
【知识点】用列表法或树状图法求概率；圆心角的概念
【解析】【分析】(1)利用几何概率的计算方法，指针落在红色区域”的概率为红色区域的面积除以圆的面积，即红色区域的圆心角度数除以360，从而得到 解方程得到x的值，然后利用得到y的值；
(2)转盘分成相同的三个扇形，其中一个扇形为红色，另外两个扇形为黄色，画树状图展示所有9种等可能的结果，再找出两次分别为红色和黄色的结果数，然后根据概率公式计算.
19．（2025九上·鄞州月考）如图，由边长为1的小正方形组成的6×6网格中，△ABC顶点在网格上，点D在BC边上，且BD=2CD.请你仅用无刻度的直尺在边AB上找点E，使得△BDE与△ABC相似.(要求画出两种情形)
【答案】解：如图， 即为所求.
【知识点】作图﹣相似变换
【解析】【分析】图一：取格点F，然后连接DF交AB于点E，则DE∥AC，即可得到△BDE∽△BCA；图二：取格点E，连接DE，则△BDE∽△BAC.
20．（2025九上·鄞州月考）如图1，AB为⊙O的直径，CD⊥AB于点E，BF与CD交于点G.
（1）求证：CD=BF.
（2）若BE=1，AE=4，求BF的长.
（3）连结GO，OF，如图2，求证：
【答案】（1）证明： ∵AB是⊙O的直径，
（2）解：连接OC，
∵CD⊥AB，
由勾股定理得，
∴CD=2CE=4，
由 (1) 知CD=BF，
∴BF=4；
（3）证明： 连接BC， 设OC、BF交于点Q，由 (1) 知
∴∠BCG=∠CBG，
∴CG=BG，
∴OC⊥BF于点Q， 即∠CQG=90°，
又CD⊥AB于点E，
∴∠GEB=90°，
又
又
【知识点】勾股定理；垂径定理；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】(1)根据等弧关系得出 从而可得出结论；
(2) 连接OC， 求出 求得 由勾股定理求出CE=2，由垂径定理解答即可；
(3) 连接BC， 设OC、BF交于点Q， 由 (1) 知 得 证明 得GQ=GE，可判断得到解答即可.
21．（2025九上·鄞州月考）某校学生为了参加学校组织的“投篮大赛”，利用课后时间积极地进行备赛训练.如图是小明训练投篮时的示意图，身高1.75米的小明将篮球从头顶上方0.25米处出手，已知篮筐中心到地面的距离为3.05米，当距出手处的水平距离为2.5米时，篮球达到最大高度为3.25米，篮球的轨迹示意图可近似看作抛物线的一部分，以小明起跳点O为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，
（1）求抛物线的解析式；
（2）小明投出球后，小刚在小明与篮筐之间跳起防守，已知小刚最高能摸到2.45米，则在球上升的过程中，小刚与小明的距离在什么范围内小刚才能在空中截住篮球
（3）已知小明在距篮筐水平距离3.8米的位置，在只改变起跳高度的情况下，通过计算说明小明要竖直起跳多少米才能直接投中
【答案】（1）解：由题意可得抛物线顶点坐标为(2.5，3.25)
(米)，
∴当x=0时，y=2，
设抛物线的解析式为
把点(0， 2)代入
解得a=-0.2，
∴抛物线的解析式为
（2）解： 令y=2.45，则 3.25，
解得
∵要在球上升的过程中截住篮球，
∴在球上升的过程中，小刚与小明的距离在0.5米以内才能在空中截住篮球；
（3）解：∵改变起跳高度只是对抛物线进行上下平移，而篮球飞行的抛物线形状不变，
∴设改变起跳高度后的抛物线解析式为y=-0.2
∵小明距篮筐水平距离为3.8米，篮筐中心到地面的距离为3.05米，
将点(3.8， 3.05)代入，得 解得k=0.138，
∴小明要竖直起跳0.138米才能直接投中.
【知识点】二次函数的实际应用-抛球问题；利用顶点式求二次函数解析式
【解析】【分析】(1)设抛物线的解析式为 ，把点(0，2)代入求解即可；
(2) 将y=2.45代入 计算即可；
(3)设改变起跳高度后的抛物线解析式为y=-0.2 将点(3.8， 3.05)代入计算即可.
22．（2025九上·鄞州月考）如图，四边形ABCD为平行四边形，E为边AD上一点，连接AC、BE，它们相交于点F，且∠ACB=∠ABE.
（1）求证：
（2）若AE=2，EF=1，CF=4，求AB的长.
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠DAC=∠ACB，
∵∠ACB=∠ABE，
∴∠DAC =∠ABE，
∵∠EAF =∠EBA， ∠AEF =∠BEA，
∴△EAF∽△EBA，
∴EA：EB = EF：EA，
（2）解：
∴BF = BE-EF =4-1=3，
∵AE∥BC，
即 解得
∵△EAF∽△EBA，
即
【知识点】平行四边形的性质；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；8字型相似模型；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】(1)利用平行四边形的性质得到 则 然后证明 则利用相似三角形的性质得到结论；
(2)先利用 BE-计算出BE=4，则BF=3，再由 利用平行线分线段成比例定理计算出 然后利用 根据相似比求出AB的长.
23．（2025九上·鄞州月考）课堂上，老师组织同学们一起研究二次函数y=(x+t-6)(x-t+2)的最值问题.
（1）当t=3时，求该二次函数的最值.
（2）当t取不同值时，函数的最小值会随之发生变化.小滨认为，这些最小值里面存在一个最大值，这个最大值为0.你认为小滨的想法是否正确 请说明理由.
【答案】（1）解：由题意，当t=3时，
y=(x+3-6)(x-3+2)
=(x-3)(x-1)
∴当x=2时，y取最小值为-1；
（2）解：小滨的想法正确.理由如下：
由题意，
∴当x=2时，y取最小值为
∴当t=4时， 有最大值0，
∴这些最小值里面存在一个最大值，这个最大值为0.
故小滨的想法正确.
【知识点】二次函数的最值；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化
【解析】【分析】(1)依据题意，当t=3时， 从而根据二次函数的性质求解即可；
(2)依据题意，由 从而当x=2时，y取最小值为 进而根据二次函数的性质求解即可.
24．（2025九上·鄞州月考）如图，在△ABC中，D在边AC上，圆O为锐角△BCD的外接圆，连结CO并延长交AB于点E．
（1）若∠DBC＝α，请用含α的代数式表示∠DCE；
（2）如图2，作BF⊥AC，垂足为F，BF与CE交于点G，已知∠ABD＝∠CBF．
①求证：EB＝EG；
②若CE＝5，AC＝8，求FG+FB的值．
【答案】（1）解：如图，连结OD，
∵∠DOC＝2∠DBC＝2α，
又∵OD＝OC，
∴∠DCE＝90°-α；
（2）解：①证明：∵∠ABD＝∠CBF，
∴∠EBG＝∠ABD+∠DBF＝∠CBF+∠DBF＝∠DBC，
设∠DBC＝α，由（1）得：∠DCE＝90°-α，
∵BF⊥AC，
∴∠FGC＝∠BGE＝α，
∴∠EBG＝∠EGB，
∴EB＝EG
②解：如图，作EM⊥BF，EN⊥AC，
由①得：∠EBG＝α，∠ACE＝90°-α，
∵BF⊥AC
∴∠A＝90°-α，
∴AE＝CE＝5，
∵EN⊥AC，AC＝8，
∴CN＝4，
∴EN＝3，
∵EM⊥BF，NF⊥BF，EN⊥AC，
∴四边形EMFN为矩形，
∴EN＝MF＝3，
∵EB＝EG，EM⊥BG，
∴BM＝GM，
∴FG+FB＝FM-MG+FM+BM＝2FM＝6．
【知识点】等腰三角形的性质；矩形的判定与性质；圆周角定理；三角形的外接圆与外心
【解析】【分析】（1）连接OD，利用圆周角定理可证得∠DOC＝2∠DBC＝2α，再利用OD=OC，可证得∠DCE=∠ODC，由此可表示出∠DCE.
（2）①由∠ABD＝∠CBF，可证得∠EBG＝∠DBC，设∠DBC＝α，可表示出∠DCE，同时可证得∠FGC＝∠BGE＝α，可推出∠EBG＝∠EGB，利用等角对等边可证得结论；②作EM⊥BE，EN⊥AC，可表示出∠EBG，∠ACE，∠A，可求出AE，CE的长，可得到EN，CN的长；再证明四边形EMFN是矩形，利用矩形的性质可求出MF的长，利用等腰三角形的性质可证得BM=GM，然后证明FG+FB＝2FM，代入计算求出FG+FB的长.
1 / 1浙江省宁波市鄞州实验2025-2026学年九年级上学期10月数学试卷
一、选择题(每题3分，共10小题)
1．（2025九上·鄞州月考）二次函数的解析式为则它图象的顶点坐标是（　　）
A．(-2，1) B．(2，-1) C．(2，1) D．(1，2)
2．（2025九上·鄞州月考）已知⊙O的直径为6，点P在⊙O内，则线段OP的长度可以是（　　）
A．5 B．4 C．3 D．2
3．（2025九上·鄞州月考）大自然巧夺天工，一片小枫树叶，也蕴含着“黄金分割”.如图，P为AB的黄金分割点(AP>PB)，如果AP的长度为8，那么AB的长度是（　　）
A． B． C． D．
4．（2025九上·鄞州月考）一个箱子里有个白球，个红球，个黑球，它们除颜色外其余均相同从箱子里任意摸出一个球是红球的概率为（　　）
A． B． C． D．
5．（2025九上·鄞州月考）已知四边形ABCD与四边形A'B'C'D'位似，点O为位似中心，若OA：O4'-1.3四边形ABCD的周长为3，则四边形A'B'C'D'的周长为(　　)
A．6 B．9 C．12 D．27
6．（2025九上·鄞州月考）如图，直线AD、BC交于点O，AB∥EF∥CD，若BO=2，OE=1，EC=2，则的值为（　　）
A． B． C． D．
7．（2025九上·鄞州月考）设二次函数(a，b，c是常数，a≠0)，部分对应值如表：当x=3时，y=(　　)
x · -2 -1 0 1 2 ·
y · 5 0 -3 -4 -3 ·
A．5 B．- 4 C．- 3 D．0
8．（2025九上·鄞州月考）如图，已知A，B，C，D是⊙O上依逆时针顺序排列的四个点，且满足设弦BC=x，AD=y，若⊙O的半径为10，则在x，y值的变化过程中，下列代数式的值不变的是（　　）
A．x+y B．xy C． D．
9．（2025九上·鄞州月考）函数和在同一直角坐标系中的图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
10．（2025九上·鄞州月考）勾股定理是几何中一个重要定理.著名数学家毕达哥拉斯用如图①所示的图形验证了勾股定理，把图①放入矩形内得到图②∠ACB=90°，BC=2AC，E，F，G，H，I都在矩形MNOP的边上，则的值为（　　）
A． B． C． D．
二、填空题(每题3分，共6小题)
11．（2025九上·鄞州月考）若 ，则 　 　．
12．（2025九上·鄞州月考）“头盔是生命之盔”，质检部门对某工厂生产的头盔质量进行抽查，抽查结果如表：
抽查的头盔数n 100 200 300 500 800 1000 3000
合格的头盔数m 95 194 298 479 769 960 2880
合格头盔的频率mn 0.950 0.945 0.962 0.958 0.961 0.960 0.960
请由此估计抽查一个头盔出现合格的概率为　 　.
13．（2025九上·鄞州月考）如图，将△ABC在平面内绕点A逆时针旋40°到△AED的位置，点C与点D对应，当CD∥AB时，则∠CAE的度数为　 　.
14．（2025九上·鄞州月考）如图，四边形ABCD内接于⊙O，延长AO交⊙O于点E，连接BE.若∠C=100°，∠DAE=50°，则∠E=　 　.
15．（2025九上·鄞州月考） 某项目化研究小组只用一张矩形纸条和刻度尺来测量一次性纸杯杯底的直径.小敏同学想到了如下方法：如图，将纸条拉直并紧贴杯底，纸条的上下边沿分别与杯底相交于A，B，C，D四点，然后利用刻度尺量得该纸条的宽为3.5cm ，AB=3c m，CD=4 cm.请你帮忙计算纸杯杯底的直径为　 　.
16．（2025九上·鄞州月考）综合与实践课上，同学们以“矩形折纸”为主题开展了数学活动.小明同学准备了一张长方形纸片ABCD，AB=24，BC=20，他在边BC上取中点N，又在边AB上任取一点M，再将△BMN沿MN折叠得到△B'MN，连结AB'.AB'达到最小值时，求BM= 　 　.
三、解答题(共8小题，72分)
17．（2025九上·鄞州月考）已知二次函数
（1）求该函数图象的开口方向，对称轴以及图象与坐标轴的交点坐标；
（2）画出该函数的大致图象；
（3）当-218．（2025九上·鄞州月考）有一个转盘(材质均匀)如图，已知红色、黄色区域的圆心角度数分别为x°和y°，当指针刚好落在分界线时，重新转动.
（1）自由转动转盘一次，“指针落在红色区域”的概率为，分别求x和y的值.
（2）在(1)的条件下，若自由转动转盘两次，求“指针一次落在红色区域，另一次落在黄色区域”的概率.
19．（2025九上·鄞州月考）如图，由边长为1的小正方形组成的6×6网格中，△ABC顶点在网格上，点D在BC边上，且BD=2CD.请你仅用无刻度的直尺在边AB上找点E，使得△BDE与△ABC相似.(要求画出两种情形)
20．（2025九上·鄞州月考）如图1，AB为⊙O的直径，CD⊥AB于点E，BF与CD交于点G.
（1）求证：CD=BF.
（2）若BE=1，AE=4，求BF的长.
（3）连结GO，OF，如图2，求证：
21．（2025九上·鄞州月考）某校学生为了参加学校组织的“投篮大赛”，利用课后时间积极地进行备赛训练.如图是小明训练投篮时的示意图，身高1.75米的小明将篮球从头顶上方0.25米处出手，已知篮筐中心到地面的距离为3.05米，当距出手处的水平距离为2.5米时，篮球达到最大高度为3.25米，篮球的轨迹示意图可近似看作抛物线的一部分，以小明起跳点O为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，
（1）求抛物线的解析式；
（2）小明投出球后，小刚在小明与篮筐之间跳起防守，已知小刚最高能摸到2.45米，则在球上升的过程中，小刚与小明的距离在什么范围内小刚才能在空中截住篮球
（3）已知小明在距篮筐水平距离3.8米的位置，在只改变起跳高度的情况下，通过计算说明小明要竖直起跳多少米才能直接投中
22．（2025九上·鄞州月考）如图，四边形ABCD为平行四边形，E为边AD上一点，连接AC、BE，它们相交于点F，且∠ACB=∠ABE.
（1）求证：
（2）若AE=2，EF=1，CF=4，求AB的长.
23．（2025九上·鄞州月考）课堂上，老师组织同学们一起研究二次函数y=(x+t-6)(x-t+2)的最值问题.
（1）当t=3时，求该二次函数的最值.
（2）当t取不同值时，函数的最小值会随之发生变化.小滨认为，这些最小值里面存在一个最大值，这个最大值为0.你认为小滨的想法是否正确 请说明理由.
24．（2025九上·鄞州月考）如图，在△ABC中，D在边AC上，圆O为锐角△BCD的外接圆，连结CO并延长交AB于点E．
（1）若∠DBC＝α，请用含α的代数式表示∠DCE；
（2）如图2，作BF⊥AC，垂足为F，BF与CE交于点G，已知∠ABD＝∠CBF．
①求证：EB＝EG；
②若CE＝5，AC＝8，求FG+FB的值．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】二次函数y=a（x-h）²+k的图象；二次函数y=a（x-h）²+k的性质
【解析】【解答】解：∵抛物线解析式为
∴二次函数图象的顶点坐标是(2，1).
故答案为：C.
【分析】根据 的顶点坐标为(h，k)解答即可.
2．【答案】D
【知识点】点与圆的位置关系
【解析】【解答】解：∵⊙O的直径为6，
∴⊙O的半径
∵点P在⊙O内，
∴线段OP的长度可以是2.
故答案为：D.
【分析】根据点到圆心的距离与半径的大小关系判断OP的长度即可.
3．【答案】D
【知识点】黄金分割
【解析】【解答】解：∵P为AB的黄金分割点 ((AP>PB)，
故答案为：D.
【分析】
根据黄金分割的定义得到 然后把AP的长度代入可求出AB的长.
4．【答案】B
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：∵一个不透明的箱子里有有7个白球，2个红球，1个黑球，
∴从箱子中随机摸出一个球是红球的概率是：.
故答案为：B.
【分析】根据题意，先求出球的总数，再根据概率公式，求出摸出红球的概率.
5．【答案】B
【知识点】位似图形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD与四边形A'B'C'D'位似，点O为位似中心，OA：OA'=1：3，
∴四边形ABCD与四边形A'B'C'D'的相似比为1：3
∴四边形ABCD与四边形A'B'C'D'的周长比为1：3
∵四边形ABCD的周长为3，
∴四边形A'B'C'D'的周长为9.
故答案为：B.
【分析】根据位似的性质得到四边形ABCD与四边形.A'B'C'D'的相似比为1：3，然后根据相似比等于周长比求解即可.
6．【答案】A
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【解答】解：
故答案为：A.
【分析】根据平行线分线段成比例定理易得到AO=2OF，DF=2OF，进而得到 即可求解.
7．【答案】D
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征；二次函数的对称性及应用
【解析】【解答】解：由表格可得，
该函数的对称轴为直线
和x=-1对应的函数值相等，
∵当x=-1时，y=0，
∴当x=3时，y=0，
故答案为：D.
【分析】根据二次函数的性质和表格中的数据，可以求出该函数图象的对称轴，然后根据二次函数图象具有对称性，即可求得当x=3对应的函数值.
8．【答案】C
【知识点】勾股定理；三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系；圆周角定理的推论
【解析】【解答】解：过点A作⊙O直径AE，过点B作⊙O的直径BF，连接DE， CF， 如图所示：
∴∠E+∠F =90°，
∵AE， BF是⊙O的直径， ⊙O的半径是10，
∴AE=BF=20， ∠ADE=∠FCB=90°，
∴∠E+∠A=90°，
∴∠A=∠F，
在△ADE和△FCB中，
∴△ADE≌△FCB(AAS)，
∴DE=BC =x，
在Rt△ADE中， AD=y， DE =x， AE =20，由勾股定理得： 即
∴在x，y值的变化过程中，代数式 的值不变，
故答案为：C.
【分析】过点A作⊙O直径AE，过点B作⊙O的直径BF，连接DE， CF， 依题意得 则 由此可依据“AAS”判定 和 全等，则DE=BC，然后在 Rt 中，由勾股定理即可得出答案.
9．【答案】C
【知识点】二次函数与反比例函数的图象共存判断
【解析】【解答】解：A. 由的图象可知，，，则，得到，的图象应该分别在二、四象限，故选项错误，不符合题意；
B.由可知，图象必过原点，选项中的二次数图象不经过原点，故选项错误，不合题意；
C. 由的图象可知，，，则，得到，的图象分别在一、三象限，故选项正确，符合题意；
D. 由的图象可知，，，则，得到，则的图象应该分别在一、三象限，但选项中的反比例函数图象分别位于二、四象限，故选项错误，不符合题意；
故答案为：C．
【分析】利用二次函数图象和性质求得a、b的取值范围，然后判断反比例函数的图象解题即可．
10．【答案】A
【知识点】勾股定理；勾股树模型；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：如图所示，延长BA交PM于J，过I作 于K，
设BC=2AC=2a，由题意可知，AC=CD=DE=AE=a，BH=HI=CI=BC=2a，
由勾股定理可得，
同理可得：
同理可得：
故答案为：A.
【分析】如图所示，延长BA交PM于J，过I作 于K，设BC=2AC=2a，由题意可知，AC=CD=DE=AE=a，BH=HI=CI=BC=2a，由勾股定理可得， 可得AB=BG= 再利用相似三角形的性质分别用含a的代数式表示MN，MP，即可得到答案.
11．【答案】
【知识点】代数式求值
【解析】【解答】解：因为 ，设 ，则 ，
所以 ，
故答案为：
【分析】利用 设辅助参量，（也可用特值法），得到 ， 代入求值可得到答案．
12．【答案】0.96
【知识点】利用频率估计概率
【解析】【解答】解：观察上表，可以发现，当抽取的瓷砖数n≥1000时，合格头盔的频率- 稳定在0.960附近，所以可取p=0.96作为该型号的合格率.
故答案为： 0.96.
【分析】运用频率估计概率即可.
13．【答案】30°
【知识点】三角形内角和定理；旋转的性质；两直线平行，内错角相等；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：∵将 在平面内绕点A逆时针旋转 到 D的位置，
故答案为：30°.
【分析】由旋转的性质可得∠CAD=∠EAB=40°， AC=AD，由等腰三角形的性质可得由平行线的性质可得 即可求解.
14．【答案】60°
【知识点】圆内接四边形的性质；圆周角定理的推论
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD内接于⊙O，
∵AE是⊙O的直径，
故答案为：
【分析】根据圆内接四边形的性质和圆周角定理即可得到结论.
15．【答案】5cm
【知识点】勾股定理；垂径定理的实际应用
【解析】【解答】解：如图，MN⊥AB，MN过圆心O，连接OC，OB，
∴MN=3.5cm，
∵AB//CD，
∴MN⊥CD，
∴(cm)，(cm)，
设ON=xcm，
∴OM=MN-ON=(3.5-x)cm，
∵OM2+MC2=OC2，ON2+BN2=OB2，
∴OM2+MC2=ON2+BN2，
∴(3.5-x)2+22=x2+1.52，
∴12.25-7x+x2+4=x2+2.25，
∴7x=14，
∴x=2，
∴ON=2(cm)，
∴(cm)，
∴纸杯的直径为2.5×2=5(cm).
故答案为：5cm.
【分析】由垂径定理求出BN，CM的长，设ON=x，由勾股定理得到(3.5-x)2+22=x2+1.52，求出x的值，得到ON的长，由勾股定理求出OB长，即可求出纸杯的直径长.
16．【答案】
【知识点】勾股定理；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；圆-动点问题；矩形翻折模型
【解析】【解答】解：将 沿MN折叠得到
∵点N为的BC中点，BC=20，
∴当点M在边AB上运动时，点B'在以N为圆心，NB为半径的圆弧上运动，
连接AN，在 中，AB'≥AN-NB'，
N共线时，AB'的值最小，如图，
最小为 =16；
设BM=x，
在直角三角形AB'M中，
由勾股定理得：
解得：
即
故答案为： .
【分析】根据折叠的性质得到，根据圆的定义得到点.B'在以N为圆心，NB为半径的圆上，根据三角形的三边关系得到AB'≥AN-NB'，结合点M在AB上，根据勾股定理即可求出BM即可.
17．【答案】（1）解： =-1<0，
∴该函数图象的开口方向向下，对称轴为直线x=1；
当x=0时，
∴该函数图象与y轴交点为(0，3)；
当时，
解得：
∴该函数图象与x轴交点为(3，0)、(-1，0)；
（2）解： 列表：
X 0 1 2 3
y 0 3 4 3 0
描点、连线，作图如下：
（3）-5<
【知识点】二次函数的最值；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化；作图-二次函数图象
【解析】【解答】解：=-1<0，
∴当x=1时，y有最大值为4，
当x=-2时，
当x=3时，y=0，
∴当 时，则函数值y的取值范围是
故答案为：-5<
【分析】(1)将二次函数化为顶点式，根据顶点式可确定对称轴；根据当x=0时，可求出抛物线与y轴的交点，根据当y=0时可求出抛物线与x轴的交点；
(2)根据列表、描点、连线的步骤作出二次函数图象即可；
(3)根据当x=-2及x=3时的y值及顶点坐标结合二次函数性质，可确定 时，y的取值范围.
18．【答案】（1）解：根据题意得
解得x=120，
即y的值为240；
（2）解：把转盘分成相同的三个扇形，其中一个扇形为红色，另外两个扇形为黄色，
画树状图为：
共有9种等可能的结果，其中两次分别为红色和黄色的结果数为4，
所以“指针一次落在红色区域，另一次落在黄色区域”的概率
【知识点】用列表法或树状图法求概率；圆心角的概念
【解析】【分析】(1)利用几何概率的计算方法，指针落在红色区域”的概率为红色区域的面积除以圆的面积，即红色区域的圆心角度数除以360，从而得到 解方程得到x的值，然后利用得到y的值；
(2)转盘分成相同的三个扇形，其中一个扇形为红色，另外两个扇形为黄色，画树状图展示所有9种等可能的结果，再找出两次分别为红色和黄色的结果数，然后根据概率公式计算.
19．【答案】解：如图， 即为所求.
【知识点】作图﹣相似变换
【解析】【分析】图一：取格点F，然后连接DF交AB于点E，则DE∥AC，即可得到△BDE∽△BCA；图二：取格点E，连接DE，则△BDE∽△BAC.
20．【答案】（1）证明： ∵AB是⊙O的直径，
（2）解：连接OC，
∵CD⊥AB，
由勾股定理得，
∴CD=2CE=4，
由 (1) 知CD=BF，
∴BF=4；
（3）证明： 连接BC， 设OC、BF交于点Q，由 (1) 知
∴∠BCG=∠CBG，
∴CG=BG，
∴OC⊥BF于点Q， 即∠CQG=90°，
又CD⊥AB于点E，
∴∠GEB=90°，
又
又
【知识点】勾股定理；垂径定理；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】(1)根据等弧关系得出 从而可得出结论；
(2) 连接OC， 求出 求得 由勾股定理求出CE=2，由垂径定理解答即可；
(3) 连接BC， 设OC、BF交于点Q， 由 (1) 知 得 证明 得GQ=GE，可判断得到解答即可.
21．【答案】（1）解：由题意可得抛物线顶点坐标为(2.5，3.25)
(米)，
∴当x=0时，y=2，
设抛物线的解析式为
把点(0， 2)代入
解得a=-0.2，
∴抛物线的解析式为
（2）解： 令y=2.45，则 3.25，
解得
∵要在球上升的过程中截住篮球，
∴在球上升的过程中，小刚与小明的距离在0.5米以内才能在空中截住篮球；
（3）解：∵改变起跳高度只是对抛物线进行上下平移，而篮球飞行的抛物线形状不变，
∴设改变起跳高度后的抛物线解析式为y=-0.2
∵小明距篮筐水平距离为3.8米，篮筐中心到地面的距离为3.05米，
将点(3.8， 3.05)代入，得 解得k=0.138，
∴小明要竖直起跳0.138米才能直接投中.
【知识点】二次函数的实际应用-抛球问题；利用顶点式求二次函数解析式
【解析】【分析】(1)设抛物线的解析式为 ，把点(0，2)代入求解即可；
(2) 将y=2.45代入 计算即可；
(3)设改变起跳高度后的抛物线解析式为y=-0.2 将点(3.8， 3.05)代入计算即可.
22．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠DAC=∠ACB，
∵∠ACB=∠ABE，
∴∠DAC =∠ABE，
∵∠EAF =∠EBA， ∠AEF =∠BEA，
∴△EAF∽△EBA，
∴EA：EB = EF：EA，
（2）解：
∴BF = BE-EF =4-1=3，
∵AE∥BC，
即 解得
∵△EAF∽△EBA，
即
【知识点】平行四边形的性质；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；8字型相似模型；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】(1)利用平行四边形的性质得到 则 然后证明 则利用相似三角形的性质得到结论；
(2)先利用 BE-计算出BE=4，则BF=3，再由 利用平行线分线段成比例定理计算出 然后利用 根据相似比求出AB的长.
23．【答案】（1）解：由题意，当t=3时，
y=(x+3-6)(x-3+2)
=(x-3)(x-1)
∴当x=2时，y取最小值为-1；
（2）解：小滨的想法正确.理由如下：
由题意，
∴当x=2时，y取最小值为
∴当t=4时， 有最大值0，
∴这些最小值里面存在一个最大值，这个最大值为0.
故小滨的想法正确.
【知识点】二次函数的最值；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化
【解析】【分析】(1)依据题意，当t=3时， 从而根据二次函数的性质求解即可；
(2)依据题意，由 从而当x=2时，y取最小值为 进而根据二次函数的性质求解即可.
24．【答案】（1）解：如图，连结OD，
∵∠DOC＝2∠DBC＝2α，
又∵OD＝OC，
∴∠DCE＝90°-α；
（2）解：①证明：∵∠ABD＝∠CBF，
∴∠EBG＝∠ABD+∠DBF＝∠CBF+∠DBF＝∠DBC，
设∠DBC＝α，由（1）得：∠DCE＝90°-α，
∵BF⊥AC，
∴∠FGC＝∠BGE＝α，
∴∠EBG＝∠EGB，
∴EB＝EG
②解：如图，作EM⊥BF，EN⊥AC，
由①得：∠EBG＝α，∠ACE＝90°-α，
∵BF⊥AC
∴∠A＝90°-α，
∴AE＝CE＝5，
∵EN⊥AC，AC＝8，
∴CN＝4，
∴EN＝3，
∵EM⊥BF，NF⊥BF，EN⊥AC，
∴四边形EMFN为矩形，
∴EN＝MF＝3，
∵EB＝EG，EM⊥BG，
∴BM＝GM，
∴FG+FB＝FM-MG+FM+BM＝2FM＝6．
【知识点】等腰三角形的性质；矩形的判定与性质；圆周角定理；三角形的外接圆与外心
【解析】【分析】（1）连接OD，利用圆周角定理可证得∠DOC＝2∠DBC＝2α，再利用OD=OC，可证得∠DCE=∠ODC，由此可表示出∠DCE.
（2）①由∠ABD＝∠CBF，可证得∠EBG＝∠DBC，设∠DBC＝α，可表示出∠DCE，同时可证得∠FGC＝∠BGE＝α，可推出∠EBG＝∠EGB，利用等角对等边可证得结论；②作EM⊥BE，EN⊥AC，可表示出∠EBG，∠ACE，∠A，可求出AE，CE的长，可得到EN，CN的长；再证明四边形EMFN是矩形，利用矩形的性质可求出MF的长，利用等腰三角形的性质可证得BM=GM，然后证明FG+FB＝2FM，代入计算求出FG+FB的长.
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