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2026中考数学一轮复习中考真题
专题二 方程与不等式第六节 一元二次方程（学生版）
基础过关
1.一元二次方程x2﹣2x＝0的解是（　　）
A．x1＝3，x2＝1 B．x1＝2，x2＝0
C．x1＝3，x2＝﹣2 D．x1＝﹣2，x2＝﹣1
2.若一元二次方程x2﹣2x+c＝0有两个相等的实根，则c的值为（　　）
A．﹣1 B．0 C． D．1
3.若关于x的一元二次方程x2﹣2x+a＝0无实数根，则实数a的取值范围是（　　）
A．a＜1 B．a＞1 C．a≤1 D．a≥1
4.若关于x的一元二次方程（a﹣1）x2+2x+1＝0有实数根，则实数a的取值范围是（　　）
A．a≤2 B．a＜2 C．a≤2且a≠1 D．a＜2且a≠1
5.已知x1，x2是方程x2﹣20x﹣25＝0的两个实数根，则x1+x2＝（　　）
A．﹣25 B．﹣20 C．20 D．25
6.某钢铁厂一月份生产钢铁560吨，月平均增长率相同，第一季度共生产钢铁1860吨，若设月平均增长率为x，那么可列出的方程是（　　）
A．560（1+x）2＝1860
B．560+560（1+x）+560（1+2x）＝1860
C．560+560（1+x）+560（1+x）2＝1860
D．560+560（1+2x）2＝1860
7某景区2022年接待游客25万人，经过两年加大旅游开发力度，该景区2024年接待游客达到36万人，那么该景区这两年接待游客的年平均增长率为（　　）
A．10% B．20% C．22% D．44%
8为加强劳动教育，增加学生实践机会，某校拟用总长为5米的篱笆，在两边都足够长的直角围墙的一角，围出一块6平方米的矩形菜地作为实践基地，如图所示．设矩形的一边长为x米，根据题意可列方程（　　）
A．5x2＝6 B．5（1+x2）＝6 C．x（5﹣x）＝6 D．5（1+x）2＝6
9一元二次方程x2﹣1＝0的根是 　 ．
10方程2的解为 　 ．
11（1）解方程：x2﹣2x﹣2＝0
（2）解方程：x2﹣7x＝﹣12．
12设x1，x2是关于x的方程（x﹣1）（x﹣2）＝m2的两根．
（1）当x1＝﹣1时，求x2及m的值．
（2）求证：（x1﹣1）（x2﹣1）≤0．
13.
如图，某校有一块长20m、宽14m的矩形种植园．为了方便耕作管理，在种植园的四周和内部修建宽度相同的小路（图中阴影部分）．小路把种植园分成面积均为24m2的9个矩形地块，请你求出小路的宽度．
14.某商店销售一种玩具，经市场调查发现，日销售量y（件）与每件的售价x（元）满足一次函数关系，部分数据如表：
每件的售价x/元 … 25 28 31 …
日销售量y/件 … 15 12 9 …
（1）求y与x之间的函数表达式（不要求写出自变量x的取值范围）；
（2）当玩具日销售额为300元时，求每件玩具的售价．
数学素养提升
15若方程x2﹣x﹣2＝0的两个根是x1和x2，则x2+x1的值为（　　）
A．﹣1 B．1 C．﹣2 D．2
16若一元二次方程x（x+2）﹣3＝0的两根之和与两根之积分别为m，n，则点（m，n）在平面直角坐标系中位于（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
17关于x的一元二次方程3x2﹣6x+m＝0有两个实数根，则m的取值范围是（　　）
A．m＜3 B．m≤3 C．m＞3 D．m≥3
18.已知方程x2﹣5x﹣24＝0的两根分别为a和b，则代数式a2﹣4a+b的值为 　 　 ．
学霸训练营
19.方程x2﹣2024x﹣2025＝0的两个根分别是m、n，则（m2﹣2023m﹣2026）（n2﹣2023n﹣2026）＝ 　 　 ．
20如图，某校劳动实践基地用总长为80m的栅栏，围成一块一边靠墙的矩形实验田，墙长为42m，栅栏在安装过程中不重叠、无损耗，设矩形实验田与墙垂直的一边长为x（单位：m），与墙平行的一边长为y（单位：m），面积为S（单位：m2）．
（1）直接写出y与x，S与x之间的函数解析式（不要求写x的取值范围）；
（2）矩形实验田的面积S能达到750m2吗？如果能，求x的值；如果不能，请说明理由；
（3）当x的值是多少时，矩形实验田的面积S最大？最大面积是多少？
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2026中考数学一轮复习中考真题
专题二 方程与不等式第六节 一元二次方程（教师版）
基础过关
1.一元二次方程x2﹣2x＝0的解是（　　）
A．x1＝3，x2＝1 B．x1＝2，x2＝0
C．x1＝3，x2＝﹣2 D．x1＝﹣2，x2＝﹣1
答案B
解：x2﹣2x＝0，
x（x﹣2）＝0，
则x＝0或x﹣2＝0，
解得：x1＝2，x2＝0．
故选：B．
2.若一元二次方程x2﹣2x+c＝0有两个相等的实根，则c的值为（　　）
A．﹣1 B．0 C． D．1
答案D
解：根据题意得Δ＝（﹣2）2﹣4c＝0，
解得c＝1．
故选：D．
3.若关于x的一元二次方程x2﹣2x+a＝0无实数根，则实数a的取值范围是（　　）
A．a＜1 B．a＞1 C．a≤1 D．a≥1
答案B
解：∵关于x的一元二次方程x2﹣2x+a＝0无实数根，
∴Δ＝（﹣2）2﹣4×1×a＜0，
解得：a＞1，
∴实数a的取值范围是a＞1．
故选：B．
4.若关于x的一元二次方程（a﹣1）x2+2x+1＝0有实数根，则实数a的取值范围是（　　）
A．a≤2 B．a＜2 C．a≤2且a≠1 D．a＜2且a≠1
答案 C
解：∵关于x的一元二次方程（a﹣1）x2+2x+1＝0有实数根，
∴，
解得：a≤2且a≠1，
∴实数a的取值范围是a≤2且a≠1．
故选：C．
5.已知x1，x2是方程x2﹣20x﹣25＝0的两个实数根，则x1+x2＝（　　）
A．﹣25 B．﹣20 C．20 D．25
答案C
解：根据根与系数的关系得x1+x220．
故选：C．
6.某钢铁厂一月份生产钢铁560吨，月平均增长率相同，第一季度共生产钢铁1860吨，若设月平均增长率为x，那么可列出的方程是（　　）
A．560（1+x）2＝1860
B．560+560（1+x）+560（1+2x）＝1860
C．560+560（1+x）+560（1+x）2＝1860
D．560+560（1+2x）2＝1860
答案C
解：由题意可知，钢铁厂二月份生产钢铁560（1+x）吨，三月份生产钢铁560（1+x）2吨，
又∵该钢铁厂第一季度共生产钢铁1860吨，
∴列方程为560+560（1+x）+560（1+x）2＝1860．
故选：C．
7某景区2022年接待游客25万人，经过两年加大旅游开发力度，该景区2024年接待游客达到36万人，那么该景区这两年接待游客的年平均增长率为（　　）
A．10% B．20% C．22% D．44%
答案B
解：设该景区这两年接待游客的年平均增长率为x，
根据题意得：25（1+x）2＝36，
解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不符合题意，舍去），
∴该景区这两年接待游客的年平均增长率为20%．
故选：B．
8为加强劳动教育，增加学生实践机会，某校拟用总长为5米的篱笆，在两边都足够长的直角围墙的一角，围出一块6平方米的矩形菜地作为实践基地，如图所示．设矩形的一边长为x米，根据题意可列方程（　　）
A．5x2＝6 B．5（1+x2）＝6 C．x（5﹣x）＝6 D．5（1+x）2＝6
答案C
解：由题意可得，x（5﹣x）＝6，
故选：C．
9一元二次方程x2﹣1＝0的根是 x＝±1　 ．
答案x＝±1．
解：x2﹣1＝0，
x2＝1，
x＝±1，
∴一元二次方程x2﹣1＝0的根是：x＝±1，
故答案为：x＝±1．
10方程2的解为x＝10　 ．
答案x＝10．
解：已知方程2，
则x﹣6＝4，
解得：x＝10，
经检验，x＝10是原方程的解，
故答案为：x＝10．
11（1）解方程：x2﹣2x﹣2＝0
（2）解方程：x2﹣7x＝﹣12．
解：（1）x2﹣2x﹣2＝0，
（x﹣1）2＝3，
x﹣1，
∴；x2＝1．
（2）解：整理得：x2﹣7x+12＝0，
因式分解得：（x﹣4）（x﹣3）＝0，
所以x﹣4＝0或x﹣3＝0，
解得x1＝4，x2＝3．
12设x1，x2是关于x的方程（x﹣1）（x﹣2）＝m2的两根．
（1）当x1＝﹣1时，求x2及m的值．
（2）求证：（x1﹣1）（x2﹣1）≤0．
解：（1）把x1＝﹣1代入方程（x﹣1）（x﹣2）＝m2，
得m2＝6，
∴．
∴（x﹣1）（x﹣2）＝6，即x2﹣3x﹣4＝0．
∴（x﹣4）（x+1）＝0．
∴x1＝﹣1，x2＝4．
∴．
（2）方程（x﹣1）（x﹣2）＝m2可化为x2﹣3x+2﹣m2＝0．
∵Δ＝9﹣4（2﹣m2）＝4m2+1＞0，
∴方程有两个不相等的实数根．
∵方程（x﹣1）（x﹣2）＝m2即x2﹣3x+2﹣m2＝0的两根为x1、x2，
∴x1+x2＝3，x1 x2＝2﹣m2．
∴（x1﹣1）（x2﹣1）
＝x1 x2﹣（x1+x2）+1
＝2﹣m2﹣3+1
＝﹣m2．
∵m2≥0，
∴﹣m2≤0，即（x1﹣1）（x2﹣1）≤0．
13.
如图，某校有一块长20m、宽14m的矩形种植园．为了方便耕作管理，在种植园的四周和内部修建宽度相同的小路（图中阴影部分）．小路把种植园分成面积均为24m2的9个矩形地块，请你求出小路的宽度．
解：设小路的宽度为xm，则9块矩形地块可合成长为（20﹣4x）m，宽为（14﹣4x）m的矩形，
根据题意得：（20﹣4x）（14﹣4x）＝24×9，
整理得：2x2﹣17x+8＝0，
解得：x1，x2＝8（不符合题意，舍去）．
答：小路的宽度为m．
14.某商店销售一种玩具，经市场调查发现，日销售量y（件）与每件的售价x（元）满足一次函数关系，部分数据如表：
每件的售价x/元 … 25 28 31 …
日销售量y/件 … 15 12 9 …
（1）求y与x之间的函数表达式（不要求写出自变量x的取值范围）；
（2）当玩具日销售额为300元时，求每件玩具的售价．
解：（1）设y与x之间的函数表达式为y＝kx+b（k≠0），
将（25，15），（28，12）代入y＝kx+b得：，
解得：，
∴y与x之间的函数表达式y＝﹣x+40；
（2）根据题意得：xy＝300，
即x（﹣x+40）＝300，
整理得：x2﹣40x+300＝0，
解得：x1＝10，x2＝30．
答：每件玩具的售价为10元或30元．
数学素养提升
15若方程x2﹣x﹣2＝0的两个根是x1和x2，则x2+x1的值为（　　）
A．﹣1 B．1 C．﹣2 D．2
答案C
解：∵方程x2﹣x﹣2＝0的两个根是x1和x2，
∴x1+x2＝1，x1x2＝﹣2，
∴x2+x1x1x2（x1+x2）＝﹣2×1＝﹣2，
故选：C．
16若一元二次方程x（x+2）﹣3＝0的两根之和与两根之积分别为m，n，则点（m，n）在平面直角坐标系中位于（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
答案C
解：由方程x（x+2）﹣3＝0，
得到x2+2x﹣3＝0．
两根之和：，
两根之积：3．
∴m，n都为负数，
∴点（m，n）在第三象限．
故选：C．
17关于x的一元二次方程3x2﹣6x+m＝0有两个实数根，则m的取值范围是（　　）
A．m＜3 B．m≤3 C．m＞3 D．m≥3
答案B
解：∵一元二次方程3x2﹣6x+m＝0有两个实数根，
∴Δ＝（﹣6）2﹣4×3m≥0，
∴m≤3．
故选：B．
18.已知方程x2﹣5x﹣24＝0的两根分别为a和b，则代数式a2﹣4a+b的值为 　29　 ．
答案29．
解：∵方程x2﹣5x﹣24＝0中的两根分别为a、b，
∴a+b＝5，a2﹣5a﹣24＝0．
∴a2﹣5a＝24，
∴a2﹣4a+b＝a2﹣5a+a+b，
＝24+5，
＝29．
故答案为：29．
学霸训练营
19.方程x2﹣2024x﹣2025＝0的两个根分别是m、n，则（m2﹣2023m﹣2026）（n2﹣2023n﹣2026）＝ 　﹣4048　 ．
答案﹣4048．
解：∵方程x2﹣2024x﹣2025＝0的两个根分别是m、n，
∴m2﹣2024m﹣2025＝0，n2﹣2024n﹣2025＝0，m+n＝2024，mn＝﹣2025，
∴m2＝2024m+2025，n2＝2024n+2025，
∴（m2﹣2023m﹣2026）（n2﹣2023n﹣2026）
＝（2024m+2025﹣2023m﹣2026）（2024n+2025﹣2023n﹣2026）
＝（m﹣1）（n﹣1）
＝mn﹣（m+n）+1
＝﹣2025﹣2024+1
＝﹣4048，
故答案为：﹣4048．
20如图，某校劳动实践基地用总长为80m的栅栏，围成一块一边靠墙的矩形实验田，墙长为42m，栅栏在安装过程中不重叠、无损耗，设矩形实验田与墙垂直的一边长为x（单位：m），与墙平行的一边长为y（单位：m），面积为S（单位：m2）．
（1）直接写出y与x，S与x之间的函数解析式（不要求写x的取值范围）；
（2）矩形实验田的面积S能达到750m2吗？如果能，求x的值；如果不能，请说明理由；
（3）当x的值是多少时，矩形实验田的面积S最大？最大面积是多少？
解：（1）∵2x+y＝80，
∴y＝﹣2x+80，
∵S＝xy，
∴S＝x（﹣2x+80）＝﹣2x2+80x；
（2）∵y≤42，
∴﹣2x+80≤42，
∴x≥19，
∴19≤x＜40，
当S＝750时，﹣2x2+80x＝750，
x2﹣40x+375＝0，
（x﹣25）（x﹣15）＝0，
∴x1＝25，x2＝15（不合题意舍去），
∴当x＝25m时，矩形实验田的面积S能达到750m2；
（3）∵S＝﹣2x2+80x＝﹣2（x2﹣40x）＝﹣2（x2﹣40x+400﹣400）＝﹣2（x﹣20）2+800，
∵a=-2
∴当x＝20m时，S有最大值800m2．
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