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2025-2026学年第一学期期中试卷
九年级数学
考试时间：120分钟 满分分值：150分
一．选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。）
1．下列方程中，是关于x的一元二次方程的是（　　）
A．2x＝7 B．x2+y＝5 C．x=+1 D．x2+x＝4
2．将方程（x﹣1）2＝6化成一元二次方程的一般形式，正确的是（　　）
A．x2﹣2x+5＝0 B．x2﹣2x﹣5＝0 C．x2+2x﹣5＝0 D．x2+2x+5＝0
3．平面内，若⊙O的半径为2，OP=，则点P在⊙O（　　）
A．外 B．内 C．内或外 D．上
4．若关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+3x+k2﹣1＝0的一个根为0，则k的值为（　　）
A．0 B．1 C．﹣1 D．1或﹣1
5．下列说法：①直径是弦；②弦是直径；③半径相等的两个半圆是等弧；④长度相等的两条弧是等弧；⑤半圆是弧，但弧不一定是半圆．正确的说法有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6．如图，AB是圆O的直径，弦AD平分∠BAC，过点D的切线交AC于点E，∠EAD＝25°，则下列结论错误的是（　　）
A．AE⊥DE B．AE∥OD C．∠BOD＝50° D．DE＝OD
第6题图 第8题图 第9题图 第10题图
7．一圆锥体形状的水晶饰品，母线长是10cm，底面圆的直径是5cm，点A为圆锥底面圆周上一点，从A点开始绕圆锥侧面缠一圈彩带回到A点，则彩带最少用多少厘米（接口处重合部分忽略不计）（　　）
A．10πcm B．10cm C．5πcm D．5cm
8．如图，在一张Rt△ABC纸片中，∠ACB＝90°，BC＝3，AC＝4，⊙O是它的内切圆．小明用剪刀沿着⊙O的切线DE剪下一块三角形ADE，则△ADE的周长为（　　）
A．4 B．5 C．6 D．8
9．如图，⊙O的半径为3，边长为2的正六边形ABCDEF的中心与O重合，M、N分别是AB、FA的延长线与⊙O交点，则图中阴影部分的面积是（　　）
A．π- B．π- C．π- D．π-
10．欧几里得的《原本》记载，形如x2+ax＝b2的方程的图解法是：画Rt△ABC，使∠ACB＝90°，BC=，AC＝b，再在斜边AB上截取BD=．则该方程的一个正根是（　　）
A．AC的长 B．AD的长 C．BC的长 D．CD的长
二、填空题（本题共8小题，每小题3分，共24分。）
11．方程x2＝3x的解为：　 　 ．
12．若a是一元二次方程x2+2x﹣3＝0的一个根，则2a2+4a的值是 　 　 ．
13．请构造一个一元二次方程，使它的一个根为2，另一根比﹣2小，比﹣4大，则你构造的一元二次方程是　 　 　 ．
14．如图，四边形ABCD内接于⊙O，如果它的一个外角∠DCE＝64°，那么∠BOD的度数为 　 　 ．
15．如图，木工用角尺的短边紧靠⊙O于点A，长边与⊙O相切于点B，角尺的直角顶点为C．已知AC＝6cm，CB＝8cm，则⊙O的半径为 　 　 cm．
16．如图，以AB为直径的半圆沿弦BC折叠后，AB与相交于点D．若=，则∠B＝　 　 °．
17．如图，在Rt△ABC中，AC＝6，BC＝8，AM＝2CM，CD⊥AB，I为△BCD内心，则IM＝　 　 ．
第14题图 第15题图 第16题图 第17题图
18．如图，在△ABC中，∠BCA＝90°，BC＝AC，点E是△ABC外一动点（点B，点E位于AC异侧），当∠AEC＝135°时，点F为线段AB上一点，AF＝1，BF＝5，连接CF，EF，求△CEF面积的最大值 ．
第18题图
三、解答题（本题共9小题，共96分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。）
19．（16分）解方程：（1）x2+10x＝﹣9； （2）2（x﹣3）2＝x（3﹣x）；
（3）3（x﹣2）2+5＝35； （4）3x2﹣5x+1＝0．
20．（8分）关于x的方程（k﹣1）x2+4x+1＝0有两个不相等的实数根．
（1）求实数k的取值范围；
（2）若k为（1）中的最大整数，请求出此时方程的根．
21．（10分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，O是AB上一点，以OA为半径的⊙O与BC相切，切点为D，连接AD，⊙O与AB相交于点E．
（1）求证：AD是∠BAC的角平分线；
（2）若AC＝3，∠B＝30°．
①求⊙O的半径；
②设⊙O与AB边的另一个交点为E，求线段BD、BE与劣弧DE所围成的阴影部分的图形面积．（结果保留根号和π）
22．（10分）已知PA，PB分别与⊙O相切于点A，B，∠APB＝80°，C为⊙O上一点．
（1）如图①，求∠ACB的大小；
（2）如图②，AE为⊙O的直径，AE与BC相交于点D．若AB＝AD，求∠EAC的大小．
23．（10分）若方程ax2+bx+c＝0满足a﹣b+c＝0，则称它为“优方程”．
（1）下列方程是“优方程”的是　 　 ；
①x2＝1；②x2﹣x+1＝0；③3x2+8x+5＝0；④x+1＝0．
（2）若关于x的一元二次方程（a+1）x2+ax﹣a2＝0是“优方程”，求a的值．
（3）若“优方程”ax2+bx+c＝0有两个相等的实数根，下列结论：①a+b+c=0；②a＝c；③3c+b＝0；④2a﹣b＝0．其中，所有正确结论的序号是　 　 ．
24．（10分）如图，AB是⊙O的直径，点D，E在⊙O上，连接AE，ED，DA，连接BD并延长至点C，使得∠DAC＝∠AED．
（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）若点E是的中点，AE与BC交于点F；
①求证：CA＝CF；
②当BD＝5，CD＝4时，请直接写出BF的长为 　 　 ．
25．（8分）如图，AB是⊙O的一条弦．
（1）如图①，只用无刻度的直尺作弦CD，使AB＝CD；
（2）如图②，用无刻度的直尺和圆规作弦CD，使AB＝CD，且AB⊥CD．（要求：保留作图痕迹，写出必要的文字说明）
26．（12分）某造纸厂为节约木材，实现企业绿色低碳发展，通过技术改造升级，使再生纸项目的生产规模不断扩大．该厂3，4月份共生产再生纸800吨，其中4月份再生纸产量是3月份的2倍少100吨．
（1）求4月份再生纸的产量；
（2）若4月份每吨再生纸的利润为1000元，5月份再生纸产量比上月增加m%．5月份每吨再生纸的利润比上月增加%，则5月份再生纸项目月利润达到66万元．求m的值；
（3）若4月份每吨再生纸的利润为1200元，4至6月每吨再生纸利润的月平均增长率与6月份再生纸产量比上月增长的百分数相同，6月份再生纸项目月利润比上月增加了25%．求6月份每吨再生纸的利润是多少元？
27．（12分）如图，以AB为直径的⊙O与AH相切于点A，点C在AB左侧圆弧上，弦CD⊥AB交⊙O于点D，连结AC，AD．点A关于CD的对称点为E，直线CE交⊙O于点F，交AH于点G．
（1）求证：∠CAG＝∠AGC；
（2）当点E在AB上，连结AF交CD于点P，若=，求的值；
（3）当点E在射线AB上，AB＝2，以点A，C，O，F为顶点的四边形中有一组对边平行时，求AE的长．2025-2026学年第一学期期中试卷
九年级数学
一．选择题（本大题共10小题，每题3分，共30分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
二．填空题（本大题共8小题，每题3分，共24分）
11.___________ 12.___________ 13.___________ 14. __________
15.___________ 16.___________ 17.___________ 18. __________
三．解答题（本大题共有9小题，共96分．）
19．(16分)
（1） （2）
（3） （4）
(8分)
（1）
（2）
（10分）
（1）
（2）
(10分)
（1）
（2）
(10分)
（2）
（3）
(10分)
（1）
（2）①
② 　
(8分)
26.(12分)
（1）
（2）
（3）
27.（12分）
（1）
（2）
（3）
A
Q
E
C
D
B
A
C
P
0
P
0
D
B
B
E
图0
图②
C
D
E
F
B
0
A
0
0
A
B
A
B
①
②
B
F
E
O
C
P
D
H
G
A2025-2026第一学期期中试卷九年级数学答案
考试时间120分钟 满分150分
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D B A C C D B C A B
一、选择题（30分）
二、填空题（共24分，每题3分）
x1=0,x2=3　
　6　
　x2+x-6=0（答案不唯一）　
　128°　
18°　
-3
三、解答题（共96分）
19.（共16分，每小题4分）
解：（1）x1＝﹣1，x2＝﹣9；
（2）x1＝3，x2＝2；
（3），；
（4）∴，．
20.解：（1）根据根的判别式的意义得k﹣1≠0且Δ＝42﹣4（k﹣1）＞0，
解得k＜5且k≠1，
所以k的取值范围为k＜5且k≠1；（4分）
（2）k的最大整数值为4，
当k＝4时，方程化为3x2+4x+1＝0，
（3x+1）（x+1）＝0，
3x+1＝0或x+1＝0，
解得x1，x2＝﹣1．（4分）
21.(4分)解：（1）连接OD
∵直线BC与⊙O相切，
∴OD⊥BC．
∵∠ODB＝∠C＝90°，
∴OD∥AC，
∴∠CAD＝∠ODA，
∵OA＝OD，
∴∠OAD＝∠ODA，
∴∠CAD＝∠OAD，
∴AD平分∠BAC.
(3分)（2）设OA＝OD＝r，在Rt△BDO中，∠B＝30°，
∴OB＝2r，
在Rt△ACB中，∠B＝30°，
∴AB＝2AC＝6，∴3r＝6，解得r＝2．
(3分)（3）在Rt△ACB中，∠B＝30°，
∴∠BOD＝60°．∴．
∵∠B＝30°，OD⊥BC，∴OB＝2OD，
∴AB＝3OD，
∵AB＝2AC＝6，∴OD＝2，BD＝2，S△BOD＝×OD BD＝2，
∴所求图形面积为．
22. 解：（1）连接OA、OB，
∵PA，PB是⊙O的切线，
∴∠OAP＝∠OBP＝90°，
∴∠AOB＝360°﹣90°﹣90°﹣80°＝100°，
由圆周角定理得，∠ACB＝∠AOB＝50°；（4分）
（2）连接CE，
∵AE为⊙O的直径，
∴∠ACE＝90°，
∵∠ACB＝50°，
∴∠BCE＝90°﹣50°＝40°，
∴∠BAE＝∠BCE＝40°，
∵AB＝AD，
∴∠ABD＝∠ADB＝70°，
∴∠EAC＝∠ADB﹣∠ACB＝20°．（6分）
23.（1）①③④（3分）；
a=1（4分）；
（3）②④（3分）.
24.（3分）（1）证明：∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°．
∴∠ABC+∠DAB＝90°．
∵∠DAC＝∠AED，∠AED＝∠ABC，∴∠DAC+∠DAB＝90°，
∴AC是⊙O的切线；
（2）（4分）①证明：∵点E是的中点，∴，
∴∠BAE＝∠DAE．
∵∠DAC+∠DAB＝90°，∠ABC+∠DAB＝90°，
∴∠DAC＝∠ABC．
∵∠CFA＝∠ABC+∠BAE，∠CAF＝∠DAC+∠DAE，
∴∠CFA＝∠CAF．
∴CA＝CF；
（3分）②解：∵∠BAC＝∠ADB＝90°，
∴∠ACD＝∠BCA，
∴△ADC∽△BAC．
∴．即AC2＝BC×CD＝（5+4）×4＝36．
解得AC＝6．
∴CA＝CF＝6，
∴DF＝CA﹣CD＝2，
∴BF＝BD﹣DF＝5﹣2＝3，
25.
（1）4分 （2）4分（方法不唯一）
26.解：（1）设3月份再生纸的产量为x吨，则4月份再生纸的产量为（2x﹣100）吨，
依题意得：x+2x﹣100＝800，
解得：x＝300，
∴2x﹣100＝2×300﹣100＝500．
答：4月份再生纸的产量为500吨． （4分）
（2）依题意得：1000（1%）×500（1+m%）＝660000，
整理得：m2+300m﹣6400＝0，
解得：m1＝20，m2＝﹣320（不合题意，舍去）．
答：m的值为20．（4分）
（3）设4至6月每吨再生纸利润的月平均增长率为y，5月份再生纸的产量为a吨，
依题意得：1200（1+y）2 a（1+y）＝（1+25%）×1200（1+y） a，
∴1200（1+y）2＝1500．
答：6月份每吨再生纸的利润是1500元．（4分）
27．（1）证明：∵AH是⊙O的切线，
∴AH⊥AB，
∴∠GAB＝90°，
∵A，E关于CD对称，AB⊥CD，
∴点E在AB上，CE＝CA，
∴∠CEA＝∠CAE，
∵∠CAE+∠CAG＝90°，∠AEC+∠AGC＝90°，
∴∠CAG＝∠AGC；（4分）
（2）解：∵AB是直径，AB⊥CD，
∴，
∴AC＝AD，
∴∠ACD＝∠ADC，
∵∠ACD＝∠ECD，
∴∠ADC＝∠ECD，
∴CF∥AD，
∴，
∵CE＝AC＝AD，
∴，
∵，
∴，
∴；（4分）
（3）满足条件的AE的长为2或2或或.（4分）

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