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3.3垂径定理题型归纳
【题型1 利用垂径定理求线段长度】
【例1】如图，⊙O的半径OD⊥弦AB交AB于点C，连接AO并延长交⊙O于点E，连接EC．若AB＝8，EC＝2，则CD的长为（ ）
A．1 B．3 C．2 D．4
【变式1-1】如图，已知圆O的半径为10，AB⊥CD，垂足为P，且AB＝CD＝16，则OP的长为（ ）
A．6 B． C．8 D．
【变式1-2】如图，⊙O的直径AB与弦CD相交于点E，若AE＝5，EB＝1，∠AEC＝30°，则CD的长为（ ）
A．5 B．2 C．4 D．
【变式1-3】如图，AB是⊙O的弦，D为半径OA的中点，过D作CD⊥OA交弦AB于点E，且CE＝CB，若BE＝2AE，CD＝5，那么⊙O的半径为 ．
【题型2 利用垂径定理求角度】
【例2】如图，⊙O的半径OA，OB，且OA⊥OB，连接AB．现在⊙O上找一点C，使OA2+AB2＝BC2，则∠OAC的度数为（ ）
A．15°或75° B．20°或70° C．20° D．30°
【变式2-1】如图，已知⊙O半径OA＝4，点B为圆上的一点，点C为劣弧上的一动点，CD⊥OA，CE⊥OB，连接DE，要使DE取得最大值，则∠AOB等于（ ）
A．60° B．90° C．120° D．135°
【变式2-2】如图，在⊙O中，半径OC过弦AB的中点E，OC＝2，OE．
（1）求弦AB的长； （2）求∠CAB的度数．
【变式2-3】如图，在⊙O中，弦BC与半径OA垂直于点D，连接AB、AC．点E为AC的中点，连接DE．
（1）若AB＝6，求DE的长；（2）若∠BAC＝100°，求∠CDE的度数．
【题型3 利用垂径定理求最值】
【例3】⊙O中，点C为弦AB上一点，AB＝1，CD⊥OC交⊙O于点D，则线段CD的最大值是（ ）
A． B．1 C． D．2
【变式3-1】如图所示，在⊙O中，AB为弦，OC⊥AB交AB于点D．且OD＝DC．P为⊙O上任意一点，连接PA，PB，若⊙O的半径为1，则 S△PAB的最大值为（ ）
A．1 B． C． D．
【变式3-2】如图，矩形ABCD中，AB＝20，AD＝15，P，Q分别是AB，AD边上的动点，PQ＝16，以PQ为直径的⊙O与BD交于点M，N，则MN的最大值为 ．
【变式3-3】在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AC＝4，D、E分别是AC、BC上的一点，且DE＝3，若以DE为直径的圆与斜边AB相交于M、N，则MN的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【题型4 利用垂径定理求取值范围】
【例4】如图，在⊙O中，直径AB＝10，CD⊥AB于点E，CD＝8．点F是弧BC上动点，且与点B、C不重合，P是直径AB上的动点，设m＝PC+PF，则m的取值范围是（ ）
A．8＜m≤4 B．4m≤10 C．8＜m≤10 D．6＜m＜10
【变式4-1】如图，⊙O的直径为10cm，弦AB＝8cm，P是弦AB上的一个动点，求OP的长度范围．
【变式4-2】如图，点P是⊙O内一定点．
（1）过点P作弦AB，使点P是AB的中点（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）若⊙O的半径为13，OP＝5，
①求过点P的弦的长度m范围；
②过点P的弦中，长度为整数的弦有 条．
【变式4-3】已知⊙O的半径为5，点O到弦AB的距离OH＝3，点P是圆上一动点，设过点P且与AB平行的直线为l，记直线AB到直线l的距离为d．
（1）求AB的长；
（2）如果点P只有两个时，求d的取值范围；
（3）如果点P有且只有三个时，求连接这三个点所得到的三角形的面积．
【题型5 利用垂径定理求整点】
【例5】已知⊙O的直径CD＝10，CD与⊙O的弦AB垂直，垂足为M，且AM＝4.8，则直径CD上的点（包含端点）与A点的距离为整数的点有（ ）
A．1个 B．3个 C．6个 D．7个
【变式5-1】如图，AB是⊙O的弦，OC⊥AB于点C，连接OB，点P是半径OB上任意一点，连接AP，若OB＝5，OC＝3，则AP的长不可能是（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
【变式5-2】如图，AB是⊙C的弦，直径MN⊥AB于点O，MN＝10，AB＝8，如图以O为原点建立坐标系．我们把横纵坐标都是整数的点叫做整数点，则线段OC长是 ，⊙C上的整数点有 个．
【变式5-3】已知⊙O的半径为5，点O到弦AB的距离为3，则⊙O上到弦AB所在直线的距离为2的点有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【题型6 利用垂径定理求面积】
【例6】如图，在半径为1的⊙O中有三条弦，它们所对的圆心角分别为60°，90°，120°，那么以这三条弦长为边长的三角形的面积是（ ）
A． B．1 C． D．
【变式6-1】如图，矩形MNGH的四个顶点都在⊙O上，顺次连接矩形各边的中点，得到菱形ABCD，若BD＝12，DF＝4，则菱形ABCD的面积为 ．
【变式6-2】如图，AB为⊙O直径，过点O作OD⊥BC于点E，交⊙O于点D，CD∥AB．
（1）求证：E为OD的中点；
（2）若CB＝6，求四边形CAOD的面积．
【变式6-3】如图，点A，C，D均在⊙O上，点B在⊙O内，且AB⊥BC于点B，BC⊥CD于点C，若AB＝4，BC＝8，CD＝2，则⊙O的面积为（ ）
A． B． C． D．
【题型7 垂径定理在格点中的运用】
【例7】如图所示，一圆弧过方格的格点AB，试在方格中建立平面直角坐标系，使点A的坐标为（0，4），则该圆弧所在圆的圆心坐标是（ ）
A．（﹣1，2） B．（1，﹣1） C．（﹣1，1） D．（2，1）
【变式7-1】如图所示，⊙P过B、C两点，写出⊙P上的格点坐标．
【变式7-2】如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A、B、C均在小正方形的顶点上，点C同时也在上，若点P是的一个动点，则△ABP面积的最大值是 ．
【变式7-3】如图，在单位长度为1的正方形网格中建立一直角坐标系，一条圆弧经过网格点A、B、C，请在网格图中进行下列操作（以下结果保留根号）：
（1）利用网格作出该圆弧所在圆的圆心D点的位置，并写出D点的坐标为 ；
（2）连接AD、CD，则⊙D的半径为 ，∠ADC的度数 ．
【题型8 垂径定理在坐标系中的运用】
【例8】如图，在平面直角坐标系中，半径为5的⊙E与y轴交于点A（0，﹣2），B（0，4），与x轴交于C，D，则点D的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【变式8-1】如图，⊙P与y轴交于点M（0，﹣4），N（0，﹣10），圆心P的横坐标为﹣4．则⊙P的半径为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【变式8-2】如图，直线l为y＝x，过点A1（1，0）作A1B1⊥x轴，与直线l交于点B1，以原点O为圆心，OB1长为半径画圆弧交x轴于点A2；再作A2B2⊥x轴，交直线l于点B2，以原点O为圆心，OB2长为半径画圆弧交x轴于点A3；…，按此作法进行下去，则点A2022的坐标为 ．
【变式8-3】如图，半径为5的⊙P与y轴交于点M（0，﹣4），N（0，﹣10），函数y＝﹣2x+m图象过点P，则m＝ ．
【题型9 垂径定理与分类讨论中的综合运用】
【例9】⊙O的半径为10cm，弦AB∥CD，且AB＝12cm，CD＝16cm，则AB和CD的距离为（ ）
A．2cm B．14cm C．2cm或14cm D．10cm或20cm
【变式9-1】已知圆O的半径为5，弦AB＝8，D为弦AB上一点，且AD＝1，过点D作CD⊥AB，交圆O于C，则CD长为（ ）
A．1 B．7 C．8或1 D．7或1
【变式9-2】如图，⊙O的弦AB与半径OC垂直，点D为垂足，OD＝DC，AB＝2，点E在⊙O上，∠EOA＝30°，则△EOC的面积为 ．
【变式9-3】如图，已知⊙O的半径为2．弦AB的长度为2，点C是⊙O上一动点，若△ABC为等腰三角形，则BC2的长为 ．
【题型10 垂径定理的应用】
【例10】某地有一座圆弧形拱桥，它的跨度（弧所对的弦的长）24m，拱高（弧的中点到弦的距离）4米，则求拱桥的半径为（ ）
A．16m B．20m C．24m D．28m
【变式10-1】《九章算术》是我国古代著名数学经典，其中对勾股定理的论述比西方早一千多年，其中有这样一个问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问径几何？”其意为：今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯该材料，锯口深1寸，锯道长1尺．如图，已知弦AB＝1尺，弓形高CD＝1寸，（注：1尺＝10寸）问这块圆柱形木材的直径是（ ）
A．13寸 B．6.5寸 C．26寸 D．20寸
【变式10-2】京西某游乐园的摩天轮采用了国内首创的横梁结构，风格更加简约．如图，摩天轮直径88米，最高点A距离地面100米，匀速运行一圈的时间是18分钟．由于受到周边建筑物的影响，乘客与地面的距离超过34米时，可视为最佳观赏位置，在运行的一圈里最佳观赏时长为 分钟．
【变式10-3】如图，公园内有一个半径为20米的圆形草坪，A，B是圆上的点，O为圆心，∠AOB＝120°，从A到B只有路，一部分市民为走“捷径”，踩坏了花草，走出了一条小路AB．通过计算可知，这些市民其实仅仅少走 步（假设1步为0.5米，结果保留整数）．（参考数据：1.732，π取3.142）
3.3垂径定理题型归纳答案
【题型1 利用垂径定理求线段长度】
【例1】如图，⊙O的半径OD⊥弦AB交AB于点C，连接AO并延长交⊙O于点E，连接EC．若AB＝8，EC＝2，则CD的长为（ ）
A．1 B．3 C．2 D．4
【解答】解：∵OD⊥AB，AB＝8，∴AC＝BC＝4，如图，连接BE，∵AE是⊙O的直径，∴∠ABE＝90°，
∵CE＝2，∴BE6，则AE10，
∴AO＝OD＝5，在Rt△AOC中，OC3，则CD＝OD﹣OC＝2，故选：C．
【变式1-1】如图，已知圆O的半径为10，AB⊥CD，垂足为P，且AB＝CD＝16，则OP的长为（ ）
A．6 B． C．8 D．
【解答】解：作OE⊥AB交AB与点E，作OF⊥CD交CD于点F，如右图所示，
则AE＝BE，CF＝DF，∠OFP＝∠OEP＝90°，又∵圆O的半径为10，AB⊥CD，垂足为P，且AB＝CD＝16，∴∠FPE＝90°，OB＝10，BE＝8，∴四边形OEPF是矩形，OE＝6，同理可得，OF＝6，∴EP＝6，
∴OP，故选：B．
【变式1-2】如图，⊙O的直径AB与弦CD相交于点E，若AE＝5，EB＝1，∠AEC＝30°，则CD的长为（ ）
A．5 B．2 C．4 D．
【解答】解：过点O作OF⊥CD于F，连接DO，∵AE＝5，BE＝1，∴AB＝6，
∴⊙O的半径为3，∴OE＝3﹣1＝2．∵∠AEC＝30°，∴OF＝1，∴CF＝2，∴CD＝2CF＝4，
【变式1-3】如图，AB是⊙O的弦，D为半径OA的中点，过D作CD⊥OA交弦AB于点E，且CE＝CB，若BE＝2AE，CD＝5，那么⊙O的半径为 ．
【解答】解：如图，记DC与⊙O交于点F，连接AF、OF、OB，过点C作CT⊥AB于点T，连接OE，OT．
∵D为半径OA的中点，CD⊥OA，∴FD垂直平分AO，∴FA＝FO，又∵OA＝OF，∴△AOF是等边三角形，
∴∠OAF＝∠AOF＝∠AFO＝60°，∵CE＝CB，CT⊥EB，∴ET＝TB，∵BE＝2AE，∴AE＝ET＝BT，
∵AD＝OD，∴DE∥OT，∴∠AOT＝∠ADE＝90°，∴OE＝AE＝ET，∵OA＝OB，∴∠OAE＝∠OBT，
∵AO＝BO，AE＝BT，∴△AOE≌△BOT（SAS），∴OE＝OT，∴OE＝OT＝ET，∴∠ETO＝60°，
∴∠OAB＝∠OBA＝30°，∠AED＝∠CEB＝60°，∴△CEB是等边三角形，∴CE＝CB＝BE，
设DE＝x，∴AE＝2x，BE＝CE＝4x，∴CD＝5x＝5，∴x＝1，∴AD，∴AO＝2．
【题型2 利用垂径定理求角度】
【例2】如图，⊙O的半径OA，OB，且OA⊥OB，连接AB．现在⊙O上找一点C，使OA2+AB2＝BC2，则∠OAC的度数为（ ）
A．15°或75° B．20°或70° C．20° D．30°
【解答】解：如图，设圆的半径是r，则AO＝r，BO＝r，作直径BD，作BC⊙O的弦BC，使∠DBC＝30°，作BC关于直径BD的对称线段BE，连接EC，BE，ED，AC，直角△BED中，可以得∠EBD＝30°，
∵线段BE与线段BC关于直线BD对称，∴BC＝BE，∴BD垂直平分线段CE，∴，
∴∠CBD＝30°而∠BCA∠AOB＝45°．在△ABC中，∠OAC＝180°﹣∠ABO﹣∠CBD﹣∠ACB﹣∠BAO＝15°．同理，当E为C时，∠OAC＝75°．故∠OAC的度数为15°或75°．
【变式2-1】如图，已知⊙O半径OA＝4，点B为圆上的一点，点C为劣弧上的一动点，CD⊥OA，CE⊥OB，连接DE，要使DE取得最大值，则∠AOB等于（ ）
A．60° B．90° C．120° D．135°
【解答】解：如图，延长CD交⊙O 于P，延长CE交⊙O于T，连接PT．∵OA⊥PC，OB⊥CT，
∴CD＝DP，CE＝TE，∴DEPT，∴当PT是直径时，DE的长最大，连接OC，
∵OP＝OC＝OT，OD⊥PC，OE⊥CT，∴∠COD＝∠POA，∠COB＝∠BOT，∴∠AOB＝∠COA+∠COB∠POT＝90°，故选：B．
【变式2-2】如图，在⊙O中，半径OC过弦AB的中点E，OC＝2，OE．
（1）求弦AB的长；（2）求∠CAB的度数．
【解答】解：（1）连接OB，如图所示：∵半径OC过弦AB的中点E，∴OC⊥AB，AE＝BE，OB＝OC＝2，
∴BE，∴AB＝2BE＝2；（2）由（1）得：BE＝OE，OC⊥AB，
∴△BOE是等腰直角三角形，∴∠BOC＝45°，∴∠CAB∠BOC＝22.5°．
【变式2-3】如图，在⊙O中，弦BC与半径OA垂直于点D，连接AB、AC．点E为AC的中点，连接DE．
（1）若AB＝6，求DE的长；（2）若∠BAC＝100°，求∠CDE的度数．
【解答】解：（1）∵BC⊥OA，∴，∠ADC＝90°，∴AC＝AB＝6，∵点E为AC的中点，
∴DEAC＝3；（2）∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∵∠BAC＝100°，∴∠C（180°﹣100°）＝40°，
∵点E为AC的中点，∴ED＝EC，∴∠CDE＝∠C＝40°．
【题型3 利用垂径定理求最值】
【例3】⊙O中，点C为弦AB上一点，AB＝1，CD⊥OC交⊙O于点D，则线段CD的最大值是（A）
A． B．1 C． D．2
【解答】解：连接OD，∵CD⊥OC交⊙O于点D，∴△OCD是直角三角形，
根据勾股定理得CD，∵半径OD是定值，
∴当OC⊥AB时，线段OC最小，此时D与B重合，CD，∵OC⊥AB，
∴AC＝BCAB，∴CDBC．故选：A．
【变式3-1】如图所示，在⊙O中，AB为弦，OC⊥AB交AB于点D．且OD＝DC．P为⊙O上任意一点，连接PA，PB，若⊙O的半径为1，则 S△PAB的最大值为（ ）
A．1 B． C． D．
【解答】解：连接OA，如图，∵OC⊥AB，∴AD＝BD，∵OD＝DC，∴ODOA，
∴AD，AB＝2AD．当点P为AB所对的优弧的中点时，△APB的面积最大，此时PD＝PO+OD＝1．∴△APB的面积的最大值为．
故选：C．
【变式3-2】如图，矩形ABCD中，AB＝20，AD＝15，P，Q分别是AB，AD边上的动点，PQ＝16，以PQ为直径的⊙O与BD交于点M，N，则MN的最大值为 ．
【解答】解：过A点作AH⊥BD于H，连接OM，如图：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD＝90°，在Rt△ABD中，BD25，∵AH×BDAD×AB，
∴AH12，∵⊙O的直径为16，∴⊙O的半径为8，∴点O在AH上时，OH最短，
∵HM，∴此时HM有最大值，OH＝AH﹣OA＝4，则最大值为4，
∵OH⊥MN，∴MN＝2MH，∴MN的最大值为2×48．故答案为：8．
【变式3-3】在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AC＝4，D、E分别是AC、BC上的一点，且DE＝3，若以DE为直径的圆与斜边AB相交于M、N，则MN的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：过O作OG⊥AB于G，连接OC、OM，∵DE＝3，∠ACB＝90°，OD＝OE，
∴OCDE，只有C、O、G三点在一条直线上OG最小，∵OM，
∴只有OG最小，GM才能最大，从而MN有最大值，过C作CF⊥AB于F，
∴G和F重合时，MN有最大值，∵∠ACB＝90°，BC＝3，AC＝4，
∴AB5，∵AC BCAB CF，∴CF，
∴OG＝CF﹣OC，∴MG，∴MN＝2MG，
【题型4 利用垂径定理求取值范围】
【例4】如图，在⊙O中，直径AB＝10，CD⊥AB于点E，CD＝8．点F是弧BC上动点，且与点B、C不重合，P是直径AB上的动点，设m＝PC+PF，则m的取值范围是（ ）
A．8＜m≤4 B．4m≤10 C．8＜m≤10 D．6＜m＜10
【解答】解：连接PD，DF，OC，BD，如图，∵CD⊥AB，BA为⊙O的直径，∴CE＝EDCD＝4，
∵OCAB＝5，∴OE3，∴BE＝OE+OB＝8．∴BD4．
∵P是直径AB上的动点，CD⊥AB，∴AB是CD的垂直平分线，∴PC＝PD．∵m＝PC+PF，
∴m＝PD+PF，由图形可知：PD+PF≥DF（当D，P，F在一条直线上时取等号），
∵点F是弧BC上动点，且与点B、C不重合，∴DC＜DF≤直径，∴8＜m≤10．故选：C．
【变式4-1】如图，⊙O的直径为10cm，弦AB＝8cm，P是弦AB上的一个动点，求OP的长度范围．
【解答】解：过点O作OE⊥AB于点E，连接OB，∵AB＝8cm，∴AE＝BEAB8＝4cm，
∵⊙O的直径为10cm，∴OB10＝5cm，∴OE3cm，∵垂线段最短，半径最长，∴3cm≤OP≤5cm．
【变式4-2】如图，点P是⊙O内一定点．
（1）过点P作弦AB，使点P是AB的中点（不写作法，保留作图痕迹）；（2）若⊙O的半径为13，OP＝5，
①求过点P的弦的长度m范围；②过点P的弦中，长度为整数的弦有 条．
【解答】解：（1）如图1，连接OP并延长，过点P作AB⊥OP，
则弦AB即为所求；
（2）①过点P的所有弦中，直径最长为26，与OP垂直的弦最短，
连接OA，如图2所示：∵OP⊥AB，∴AP＝BP12，∴AB＝2AP＝24，
∴过点P的弦的长度m范围为24≤m≤26；②∵过P点最长的弦为直径26，最短的弦24，
∴长度为25的弦有两条，∴过点P的弦中，长度为整数的弦共有4条，故答案为：4．
【变式4-3】已知⊙O的半径为5，点O到弦AB的距离OH＝3，点P是圆上一动点，设过点P且与AB平行的直线为l，记直线AB到直线l的距离为d．
（1）求AB的长；（2）如果点P只有两个时，求d的取值范围；
（3）如果点P有且只有三个时，求连接这三个点所得到的三角形的面积．
【解答】解：（1）连接OA，如图1，∵点O到弦AB的距离OH＝3，∴AB⊥OC，
∴∠OHA＝90°，AB＝2AH，在Rt△AHO中，OA＝5，OH＝3，由勾股定理得：AH＝4，
∴AB＝2AH＝8；（2）延长CO交⊙O于D，如图2，∵CH＝5﹣3＝2，HD＝5+3＝8，
∴点P只有两个时d的取值范围是2＜d＜8；
（3）如图3，∵CH＝5﹣3＝2，HD＝5+3＝8，∴点P有且只有三个时，d＝2，如图，P在C、E、F处，连接OE，∵OC⊥AB，AB∥EF，∴OC⊥EF，∴EF＝2EM，∵OE＝5，OM＝5﹣2﹣2＝1，CM＝2+2＝4，
∴由勾股定理得：EM2；∴EF＝2EM＝4，∴S△CEFEF×CM44＝8
即点P有且只有三个时，连接这三个点所得到的三角形的面积是8．
【题型5 利用垂径定理求整点】
【例5】已知⊙O的直径CD＝10，CD与⊙O的弦AB垂直，垂足为M，且AM＝4.8，则直径CD上的点（包含端点）与A点的距离为整数的点有（ ）
A．1个 B．3个 C．6个 D．7个
【解答】解：∵CD是直径，∴OC＝ODCD10＝5，∵AB⊥CD，∴∠AMC＝∠AMD＝90°，
∵AM＝4.8，∴OM1.4，∴CM＝5+1.4＝6.4，MD＝5﹣1.4＝3.6，
∴AC8，AD6，∵AM＝4.8，
∴A点到线段MD的最小距离为4.8，最大距离为6，则A点到线段MD的整数距离有5，6，
A点到线段MC的最小距离为4.8，最大距离为8，则A点到线段MC的整数距离有5，6，7，8，
直径CD上的点（包含端点）与A点的距离为整数的点有6个，故选：C．
【变式5-1】如图，AB是⊙O的弦，OC⊥AB于点C，连接OB，点P是半径OB上任意一点，连接AP，若OB＝5，OC＝3，则AP的长不可能是（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
【解答】解：连接OA，∵OC⊥AB于点C，OB＝5，OC＝3，∴BC4，∴AB＝2×4＝8，
∵AO≤AP≤AB，∴5≤AP≤8，∴AP的长度不可能是：9（答案不唯一）．故选：D．
【变式5-2】如图，AB是⊙C的弦，直径MN⊥AB于点O，MN＝10，AB＝8，如图以O为原点建立坐标系．我们把横纵坐标都是整数的点叫做整数点，则线段OC长是 ，⊙C上的整数点有 个．
【解答】解：过C作直径UL∥x轴，连接CA，则AC10＝5，∵MN过圆心C，MN⊥AB，AB＝8，
∴AO＝BO＝4，∠AOC＝90°，由勾股定理得：CO3，
∴ON＝5﹣3＝2，OM＝5+3＝8，即A（﹣4，0），B（4，0），M（0，8），N（0，﹣2），
同理还有弦QR＝AB＝8，弦WE＝TS＝6，且WE、TS、QR都平行于x轴，
Q（﹣4，6），R（4，6），W（﹣3，7），E（3，7），T（﹣3，﹣1），S（3，﹣1），U（﹣5，3），L（5，3），即共12个点，故答案为：3；12．
【变式5-3】已知⊙O的半径为5，点O到弦AB的距离为3，则⊙O上到弦AB所在直线的距离为2的点有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【解答】解：过O点作OC⊥AB，交⊙O于P，如图，∴OC＝3，而OA＝5，
∴PC＝2，即点P到直线AB的距离为2；在直线的另一边，圆上的点到直线的最远距离为8，而圆为对称图形，∴在直线AB的这边，还有两个点M，N到直线AB的距离为2．故选：B．
【题型6 利用垂径定理求面积】
【例6】如图，在半径为1的⊙O中有三条弦，它们所对的圆心角分别为60°，90°，120°，那么以这三条弦长为边长的三角形的面积是（ ）
A． B．1 C． D．
【解答】解：如图，连接OA、OB、OC、OD、OE、OF，则∠AOB＝60°，∠COD＝90°，∠EOF＝120°，
在Rt△COD中，CD．∵OA＝OB，∴△AOB是等边三角形，∴AB＝OA＝1，
过点O作OH⊥EF于点H，则EF＝2EH，∠EOH＝∠FOH＝60°，∴FH＝1．∴EF＝2FH．
∵，即AB2+CD2＝EF2，∴以AB、CD、EF为边的三角形为直角三角形，
∴其面积为：．故选：D．
【变式6-1】如图，矩形MNGH的四个顶点都在⊙O上，顺次连接矩形各边的中点，得到菱形ABCD，若BD＝12，DF＝4，则菱形ABCD的面积为 ．
【解答】解：如图：连接OH，∵BD＝12，DF＝4∴⊙O的半径r＝OD+DFBD+DF12+4＝10，
∴OH＝10在Rt△HOD与Rt△ADO中，OD＝OD，AO＝HD，∠AOD＝∠HDO＝90°∴△AOD≌△GDO，
∴OH＝AD＝10，在Rt△AOD中，∵AD＝10，OD＝6，∴OA8，
∴S菱形ABCD＝4S△AOD＝46×8＝96．故答案为：96．
【变式6-2】如图，AB为⊙O直径，过点O作OD⊥BC于点E，交⊙O于点D，CD∥AB．
（1）求证：E为OD的中点；（2）若CB＝6，求四边形CAOD的面积．
【解答】证明：（1）在⊙O中，OD⊥BC于E，∴CE＝BE，∵CD∥AB，∴∠DCE＝∠B，
在△DCE与△OBE中，∴△DCE≌△OBE（ASA），∴DE＝OE，
∴E是OD的中点；
（2）连接OC，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，
∵OD⊥BC，∴∠CED＝90°＝∠ACB，∴AC∥OD，∵CD∥AB，∴四边形CAOD是平行四边形，
∵E是OD的中点，CE⊥OD，∴OC＝CD，∵OC＝OD，∴OC＝OD＝CD，∴△OCD是等边三角形，
∴∠D＝60°， ∴∠DCE＝90°﹣∠D＝30°， ∴在Rt△CDE中，CD＝2DE， ∵BC＝6，
∴CE＝BE＝3， ∵CE2+DE2＝CD2＝4DE2， ∴DE，CD＝2，
∴OD＝CD＝2， ∴四边形CAOD的面积＝OD CE＝6．
【变式6-3】如图，点A，C，D均在⊙O上，点B在⊙O内，且AB⊥BC于点B，BC⊥CD于点C，若AB＝4，BC＝8，CD＝2，则⊙O的面积为（ ）
A． B． C． D．
【分析】利用垂径定理和勾股定理建立方程求出ON，再求出半径后，根据圆面积的计算方法进行计算即可．
【解答】解：如图，连接OA、OC，过点O作OM⊥CD于M，MO的延长线于AB延长线交于N，则四边形BCMN是矩形，
∵OM⊥CD，CD是弦，
∴CM＝DMCD＝1＝BN，
∴AN＝AB+BN＝4+1＝5，
设ON＝x，则OM＝8﹣x，
在Rt△AON、Rt△COM中，由勾股定理得，
OA2＝AN2+ON2，OC2＝OM2+CM2，
∵OA＝OC，
∴AN2+ON2＝OM2+CM2，
即52+x2＝（8﹣x）2+12，
解得x，
即ON，
∴OA2＝52+（）2，
∴S⊙O＝π×OA2π，
故选：A．
【题型7 垂径定理在格点中的运用】
【例7】如图所示，一圆弧过方格的格点AB，试在方格中建立平面直角坐标系，使点A的坐标为（0，4），则该圆弧所在圆的圆心坐标是（ ）
A．（﹣1，2） B．（1，﹣1） C．（﹣1，1） D．（2，1）
【分析】连接AC，作出AB、AC的垂直平分线，其交点即为圆心．
【解答】解：如图所示，
连接AC，作出AB、AC的垂直平分线，其交点即为圆心．
∵点A的坐标为（0，4），
∴该圆弧所在圆的圆心坐标是（﹣1，1）．
故选：C．
【变式7-1】如图所示，⊙P过B、C两点，写出⊙P上的格点坐标．
【分析】根据同圆的半径相等可得点P的坐标．
【解答】解：由图形可知：⊙P上的格点坐标为（4，2）．
【变式7-2】（2022 商城县三模）如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A、B、C均在小正方形的顶点上，点C同时也在上，若点P是的一个动点，则△ABP面积的最大值是 ．
【分析】作AB的垂直平分线交AB于D，交于E，圆心为0，则点O在DE上，连接AE、BE，CF⊥OE于F，如图，设⊙O的半径为r，OD＝x，利用勾股定理得到r2＝x2+42①，r2＝（x+2）2+22②，则利用②﹣①可求出得x＝2，所以r＝2，DE＝22，然后根据三角形面积公式，点P点与点E重合时，△ABP面积的最大值．
【解答】解：作AB的垂直平分线交AB于D，交于E，圆心为0，则点O在DE上，连接AE、BE，CF⊥OE于F，如图，
设⊙O的半径为r，OD＝x，
在Rt△BOD中，r2＝x2+42①，
在Rt△OCF中，r2＝（x+2）2+22②，
②﹣①得4+4x+4﹣16＝0，
解得x＝2，
∴OD＝2，
∴r2，
∴DE＝OE﹣OD＝22，
∵点P是的一个动点，
∴点P点与点E重合时，△ABP面积的最大值，最大值为8×（22）＝88．
故答案为：88．
【变式7-3】（2017秋 靖江市校级月考）如图，在单位长度为1的正方形网格中建立一直角坐标系，一条圆弧经过网格点A、B、C，请在网格图中进行下列操作（以下结果保留根号）：
（1）利用网格作出该圆弧所在圆的圆心D点的位置，并写出D点的坐标为 ；
（2）连接AD、CD，则⊙D的半径为 ，∠ADC的度数为 ．
【分析】（1）利用网格特点，作AB和BC的垂直平分线，然后根据垂径的推论可判定它们的交点为D点，从而得到D点坐标；
（2）先利用勾股定理计算出DA、DC、AC，然后利用勾股定理的逆定理证明∠ADC的度数为90°．
【解答】解：（1）如图，点D为所作，
D点坐标为（2，1）；
（2）AD，CD，AC，
∵DA2+DC2＝AC2，
∴△ADC为直角三角形，∠ADC＝90°，
即⊙D的半径为，∠ADC的度数为90°．
故答案为（2，1）；，90°．
【题型8 垂径定理在坐标系中的运用】
【例8】如图，在平面直角坐标系中，半径为5的⊙E与y轴交于点A（0，﹣2），B（0，4），与x轴交于C，D，则点D的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【分析】过O点作EH⊥AB于H，EF⊥CD于F，连接ED，如图，根据垂径定理得到CF＝DF，AH＝BH＝3，所以OH＝1，再利用勾股定理计算出EH＝4，则EF＝1，OF＝4，接着利用勾股定理计算出FD，然后计算出OD，从而得到D点坐标．
【解答】解：过O点作EH⊥AB于H，EF⊥CD于F，连接ED，如图，则CF＝DF，AH＝BH
∵A（0，﹣2），B（0，4），
∴AB＝6，
∴BH＝3，
∴OH＝1，
在Rt△BHE中，EH4，
∵四边形EHOF为矩形，
∴EF＝OH＝1，OF＝EH＝4，
在Rt△OEF中，FD2，
∴OD＝FD﹣OF＝24，
∴D（24，0）．
故选：B．
【变式8-1】如图，⊙P与y轴交于点M（0，﹣4），N（0，﹣10），圆心P的横坐标为﹣4．则⊙P的半径为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【分析】过点P作PD⊥MN，连接PM，由垂径定理得DM＝3，在Rt△PMD中，由勾股定理可求得PM为5即可．
【解答】解：过点P作PD⊥MN，连接PM，如图所示：
∵⊙P与y轴交于M（0，﹣4），N（0，﹣10）两点，
∴OM＝4，ON＝10，
∴MN＝6，
∵PD⊥MN，
∴DM＝DNMN＝3，
∴OD＝7，
∵点P的横坐标为﹣4，即PD＝4，
∴PM5，
即⊙P的半径为5，
故选：C．
【变式8-2】如图，直线l为y＝x，过点A1（1，0）作A1B1⊥x轴，与直线l交于点B1，以原点O为圆心，OB1长为半径画圆弧交x轴于点A2；再作A2B2⊥x轴，交直线l于点B2，以原点O为圆心，OB2长为半径画圆弧交x轴于点A3；…，按此作法进行下去，则点A2022的坐标为 ．
【分析】利用直线y＝x平分第一、三象限，则B1（1，1），由于OA2＝OB1OA1，OA3＝OB2OA2＝（）2，依此变化规律得到OA2022＝（）2021，从而得到点A2022的坐标．
【解答】解：∵A1（1，0）作A1B1⊥x轴，与直线y＝x交于点B1，
∴OA1＝1，B1（1，1），
∵以原点O为圆心，OB1长为半径画圆弧交x轴于点A2，
∴OA2＝OB1OA1，
∵以原点O为圆心，OB2长为半径画圆弧交x轴于点A3，
∴OA3＝OB2OA2（）2，
同理可得OA4＝（）3，

∴OA2022＝（）2021，
∴点A2022的坐标为（）2021，0）．
故答案为：（）2021，0）．
【变式8-3】如图，半径为5的⊙P与y轴交于点M（0，﹣4），N（0，﹣10），函数y＝﹣2x+m图象过点P，则m＝ ．
【分析】过P点作PE⊥ON交y轴于点E，连接PM，由点M（0，﹣4），N（0，﹣10）得MN＝6，所以ME＝NE＝3，得E（0，﹣7），由勾股定理得PE＝4，故P（﹣4，﹣7），代入y＝﹣2x+m得m．
【解答】解：过P点作PE⊥ON交y轴于点E，连接PM，
∵点M（0，﹣4），N（0，﹣10），
∴MN＝6，
∴ME＝NE＝3，
∴E（0，﹣7），
∵PM＝5，
∴PE4，
∵点P在第三象限，
∴P（﹣4，﹣7），代入y＝﹣2x+m得，m＝﹣15，
故答案为：﹣15．
【题型9 垂径定理与分类讨论中的综合运用】
【例9】⊙O的半径为10cm，弦AB∥CD，且AB＝12cm，CD＝16cm，则AB和CD的距离为（ ）
A．2cm B．14cm C．2cm或14cm D．10cm或20cm
【分析】分两种情况考虑：当圆心位于AB与CD之间时，连接OA，OC，如图1所示，过O作EF⊥AB，由AB∥CD，得到EF⊥CD，利用垂径定理得到E、F分别为AB、CD的中点，分别求出OE与OF，由OE+OF即可得到EF的长；当圆心在AB与CD一侧时，连接OA，OC，如图2所示，过O作EF⊥AB，由AB∥CD，得到EF⊥CD，同理求出OE与OF，由OE﹣OF即可求出EF的长．
【解答】解：当圆心位于AB与CD之间时，连接OA，OC，如图1所示，
过O作EF⊥AB，由AB∥CD，得到EF⊥CD，
∴E、F分别为AB、CD的中点，
∴AE＝6cm，CF＝8cm，
在Rt△AOE中，OA＝10cm，AE＝6cm，
根据勾股定理得：OE＝8cm，
在Rt△COF中，OC＝10cm，CF＝8cm，
根据勾股定理得到OF＝6cm，
此时AB和CD的距离EF＝8+6＝14cm；
当圆心在AB与CD一侧时，连接OA，OC，如图2所示，
过O作EF⊥AB，由AB∥CD，得到EF⊥CD，
同理求出OE＝8cm，OF＝6cm，
此时AB和CD的距离EF＝8﹣6＝2cm，
综上，AB和CD的距离为2cm或14cm．
故选：C．
【变式9-1】已知圆O的半径为5，弦AB＝8，D为弦AB上一点，且AD＝1，过点D作CD⊥AB，交圆O于C，则CD长为（ ）
A．1 B．7 C．8或1 D．7或1
【分析】连接OB，OC1，过O作OE⊥CD，OF⊥AB，则四边形EDFO是矩形，根据矩形的性质得到OE＝DF，OF＝DE，根据勾股定理得到BF3，得到OE＝DF＝3，由勾股定理得到C1E4，于是得到结论．
【解答】解：如图，
连接OB，OC1，过O作OE⊥CD，OF⊥AB，
则四边形EDFO是矩形，
∴OE＝DF，OF＝DE，
∵圆O的半径为5，弦AB＝8，
∴AF＝BF＝4，
∴BF3，
∵AD＝1，∴DF＝3，
∴OE＝DF＝3，
∴C1E4，
∴C2E＝4，
∴C1D＝7，C2D＝1，
∴CD长为7或1，
故选：D．
【变式9-2】如图，⊙O的弦AB与半径OC垂直，点D为垂足，OD＝DC，AB＝2，点E在⊙O上，∠EOA＝30°，则△EOC的面积为 ．
【分析】设⊙O的半径为x（x＞0），则OD＝DCx，根据垂径定理可知AD，在Rt△ADO中利用勾股定理即可求出x值，再分点E在外和点E在上两种情况考虑△EOC的面积，当点E在外时，通过角的计算可得出∠COE＝90°，利用三角形的面积公式即可求出S△EOC的值；当点E在上时，过点E作EF⊥OC于点F，通过角的计算可得出∠COE＝30°，由此可得出EF的长度，利用三角形的面积公式即可求出S△EOC的值．综上即可得出结论．
【解答】解：依照题意画出图形，连接OA．
设⊙O的半径为x（x＞0），则OD＝DCx．
∵OC⊥AB于点D，
∴∠ADO＝90°，AD＝DBAB．
在Rt△ADO中，AO＝x，ODx，AD，
∴∠OAD＝30°，∠AOD＝60°，ADx，
解得：x＝2．
当点E在外时，∠COE＝∠AOD+∠EOA＝90°，
∴S△EOCEO OC＝2；
当点E在上时，过点E作EF⊥OC于点F，
∵∠COE＝∠AOD﹣∠EOA＝30°，
∴EFOE＝1，
∴S△EOCOC EF＝1．
综上可知：△EOC的面积为1或2．
故答案为：1或2．
【变式9-3】如图，已知⊙O的半径为2．弦AB的长度为2，点C是⊙O上一动点，若△ABC为等腰三角形，则BC2的长为 ．
【分析】当△ABC为等腰三角形时，分两种情况：①如图1，AC＝BC，在AB的两侧各有一个符合条件的点C，根据勾股定理可得结论；②如图2，当AB＝AC时，连接OC3，AO，AO交BC3于E，则BE＝C3E，根据直角三角形30度的性质和勾股定理，垂径定理可得结论．
【解答】解：当△ABC为等腰三角形时，分以下两种情况：
①如图1，以AB为底边时，AC＝BC，连接C1C2，AO，则C1C2过圆心O，
∴C1C2⊥AB，
∴ADAB＝1，
∵OA＝2，
∴OD，
∴C1D＝2，C2D＝2，
∴BC128+4，BC228﹣4；
②如图2，以AB为腰时，AB＝AC3＝BC4＝2，连接OC3，AO，AO交BC3于E，则BE＝C3E，BC42＝4，
∵OC3＝AO＝AC3＝2，
∴△AC3O是等边三角形，
∴∠EOC3＝60°，
∴∠OC3E＝30°，
∴C3E，
∴BC3＝2，
∴BC32＝（2）2＝12，
综上，BC2＝8或12或4．
故答案为：8或12或4．
【题型10 垂径定理的应用】
【例10】某地有一座圆弧形拱桥，它的跨度（弧所对的弦的长）24m，拱高（弧的中点到弦的距离）4米，则求拱桥的半径为（ ）
A．16m B．20m C．24m D．28m
【分析】设圆弧形拱桥的圆心为O，跨度为AB，拱高为CD，连接OA、OD，设拱桥的半径为R米，由垂径定理得ADAB＝12（米），再由勾股定理得出方程，解方程即可．
【解答】解：设圆弧形拱桥的圆心为O，跨度为AB，拱高为CD，连接OA、OD，如图：
设拱桥的半径为R米，
由题意得：OD⊥AB，CD＝4米，AB＝24米，
则AD＝BDAB＝12（米），OD＝（R﹣4）米，
在Rt△AOD中，由勾股定理得：R2＝122+（R﹣4）2，
解得：R＝20，
即桥拱的半径R为20m，
故选：B．
【变式10-1】《九章算术》是我国古代著名数学经典，其中对勾股定理的论述比西方早一千多年，其中有这样一个问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问径几何？”其意为：今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯该材料，锯口深1寸，锯道长1尺．如图，已知弦AB＝1尺，弓形高CD＝1寸，（注：1尺＝10寸）问这块圆柱形木材的直径是（ ）
A．13寸 B．6.5寸 C．26寸 D．20寸
【分析】设⊙O的半径为r寸．在Rt△ADO中，AD＝5，OD＝r﹣1，OA＝r，则有r2＝52+（r﹣1）2，解方程即可；
【解答】解：设⊙O的半径为r寸．
在Rt△ADO中，AD＝5，OD＝r﹣1，OA＝r，
则有r2＝52+（r﹣1）2，
解得r＝13，
∴⊙O的直径为26寸，
故选：C．
【变式10-2】京西某游乐园的摩天轮采用了国内首创的横梁结构，风格更加简约．如图，摩天轮直径88米，最高点A距离地面100米，匀速运行一圈的时间是18分钟．由于受到周边建筑物的影响，乘客与地面的距离超过34米时，可视为最佳观赏位置，在运行的一圈里最佳观赏时长为 分钟．
【分析】先求摩天轮转动的角速度为＝20°/分，再求出OC＝OD﹣CD＝22（米），则OCOB，得∠OBC＝30°，然后求出最佳观赏位置的圆心角为240°，即可求解．
【解答】解：如图所示：
摩天轮转动的角速度为：360°÷18分＝20°/分，
由题意得：AD⊥BC，AD＝88米，AM＝100米，CM＝BN＝34米，
则OB＝OD＝44（米），DM＝AM﹣AD＝12（米），
∴CD＝CM﹣DM＝34﹣12＝22（米），
∴OC＝OD﹣CD＝22（米），
∴OCOB，
∵∠OCB＝90°，
∴∠OBC＝30°，
∴∠BOC＝90°﹣30°＝60°，
∴∠AOB＝180°﹣∠BOC＝120°，
∴最佳观赏位置的圆心角为2×120°＝240°，
∴在运行的一圈里最佳观赏时长为：240°÷20°/分＝12（分钟），
故答案为：12．
【变式10-3】如图，公园内有一个半径为20米的圆形草坪，A，B是圆上的点，O为圆心，∠AOB＝120°，从A到B只有路，一部分市民为走“捷径”，踩坏了花草，走出了一条小路AB．通过计算可知，这些市民其实仅仅少走了 步（假设1步为0.5米，结果保留整数）．（参考数据：1.732，π取3.142）
【分析】作OC⊥AB于C，如图，根据垂径定理得到AC＝BC，再利用等腰三角形的性质和三角形内角和计算出∠A＝30°，则OC＝10，AC＝10，所以AB≈69（步），然后利用弧长公式计算出的长，最后求它们的差即可．
【解答】解：作OC⊥AB于C，如图，
则AC＝BC，
∵OA＝OB，
∴∠A＝∠B（180°﹣∠AOB）（180°﹣120°）＝30°，
在Rt△AOC中，OCOA＝10，ACOC＝10，
∴AB＝2AC＝2069（步）；
而的长84（步），
的长与AB的长多15步．
所以这些市民其实仅仅少走了 15步．
故答案为15．

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