资源简介

2025-2026 学年度第一学期期中质量检测
九年级数学试题参考答案
阅卷须知：
1. 为便于阅卷，本试卷答案中有关解答题的推导步骤写得较为详细，阅卷时，只要考
生将主要过程正确写出即可.
2. 若考生的解法与给出的解法不同，正确者可参照评分参考相应给分.
3. 评分参考中所注分数，表示考生正确做到此步应得的累加分数
一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分）
1．D 2．B 3．A 4． B 5．C 6．C 7．B 8 ．A 9．B 10 ．D
二、填空题（本大题共 5 小题,每小题 3 分,共 15 分）
11． 75° 12． 110° 13． 8 14． 18 15． ①②④ ．
三、解答题。（本大题共 8 小题，共 75 分）
16．（本小题满分 8分）
解：（1）2cos45°+4sin30°cos30°﹣tan60°
= 2 × 22 + 4 ×
1 3
2 × 2 3 ......................................2分
= 2 + 3 3
= 2；..................................................4分
（2） 9 ( 3.14)0 + ( 1 ) 14 + | 3| 2cos30°
= 3 1 + 4 + 3 2 × 32 ..........................................6分
= 3 1+ 4 + 3 3
＝6．....................................................8分
17．（本小题满分 8分）解：根据题意，∠CBF＝∠ABG，∠FCB＝∠GAB，
∴△GAB∽△FCB，.........................................2分

∴ = ，......................................................3分

∵AG＝1.2m，AB＝2.4m，CF＝1.8m，
AB 2.4
∴ = = = 2，
CF 1.2
∴BC＝2CF＝3.6m，..........................................4分
∴BD＝BC+CD＝7.6m........................................5分
同理：△GAB∽△EDB，
AB 2.4
∴ = = = 2，......................................7分
ED 1.2
∴ = 12 ＝3.8 ，
即点 E到地面的高度为 3.8m.............................8分
18．（本小题满分 8分）解：设半径 OA的长为 r mm，
∴OA＝OC＝OB＝r mm，
∵弓形高 CD＝10mm，
∴OC⊥AB，OD＝（r﹣10）mm，..............................1分
∴AD 1＝BD= 2AB，...........................................3分
∵AB＝60mm，
∴ = 12 = 30 ，.....................................4分
在 Rt△OAD中，OA2＝OD2+AD2，
即 r2＝（r﹣10）2+302，...................................6分
解得 r＝50．...................................................7分
答：半径 OA的长为 50mm．.......................8分
19．（本小题满分 9分）解：过点 A作 AH⊥BC于点 H，
F
∵△ABC是等腰三角形，AB＝AC＝10，BC＝12，AH⊥BC，
∴BH＝CH＝6，......................................2分
∴Rt△ABH中， = 2 2 = 102 62 = 8，....................................4分
∵AH⊥BC，FE⊥BC，
∴AH∥FE，

∴ = ，............................................5分

∵D是 AC的中点，
∴EH＝CE＝3，.......................................................6分
∴DE是△ACH 1的中位线， = 2 = 4，.............................7分
又∵BE= + = 9，
2
∴ = = ，
3
3
∴EF＝ ＝12，.................................8分
2
∴DF＝EF ＝12 4＝8...................9分
20．（本小题满分 10分）解：（1）如图 2，由题意可知，D′E′＝DE＝30cm，AD′＝AD＝90cm，
∠DAD′＝∠EAE′＝60°，....................................1分
在 Rt△AD′H中，AD′＝90cm，∠HAD′＝60°，
3
∴D′H= 2 AD′＝45 3（cm），..........................3分
∴点 D′到 BC的距离为 D′H+DC＝45 3 +30+40＝（70+45 3）cm，
答：点 D'到 BC的距离为（70+45 3）cm；.............................5分
（2）在 Rt△ADE中，AD＝90cm，DE＝30cm，
∴AE= 2 + 2 = 8100 + 900 =30 10（cm），................7分
60 ×30 10
∴弧 EE′的长为 =10 10π（cm），.............................9分
180
答：点 E运动的距离为 10 10π cm．............................................10分
21．（本小题满分 10分）
证明：（1）∵∠ACB＝90°
∴∠A+∠B＝90°
∵CD⊥AB
∴∠A+∠ACD＝90°
∴∠B＝∠ACD，..........................2分
∵∠A＝∠A
∴△ABC∽△ACD.................3分

∴ =

∴AC2＝AD AB.......................4分
（2）
∵∠ACE＝∠AFC，∠CAE＝∠FAC，
∴△ACF∽△AEC，....................5分

∴ = ，

∴AC2＝AF AE，.......................6分
由（1）得 AC2＝AD AB，
∴AF AE＝AD AB，........................7分

∴ = ，....................................9分

∵∠FAD＝∠BAE，
∴△AFD∽△ABE，............................10分
22．（本小题满分 11分）解：（1）如图，连接 OE，
∵AB是⊙O的切线，切点为 E，
∴OE⊥AB，
∴∠OEA＝90°，...........................2分
∵EF＝ED，
∴∠FCE＝∠DCE，..........3分
∵OE＝OC，
∴∠FCE＝∠OEC，
∴OE∥CB，...................5分
∴∠B＝∠OEA＝90°，
∴AB⊥BC．.....................6分
（2）设⊙O的半径 OC＝OE＝OF＝r，
∵BC＝3 3，sinA= 5，∠B＝90°，
∴AC＝5，........................7分
在 Rt△AOE中，
sinA= = = 3 5 5，
15
解得：r= 8 ，.........................9分
经检验，r= 158 是分式方程的解，......................10分
∴AF 15 5＝5﹣2r＝5﹣2× 8 = 4．.....................11分
23．（本小题满分 11分）解：探究活动：如图，过点 C作直径 CD交⊙O于点 D，连接 BD，
∴∠A＝∠D，∠DBC＝90°，
∴sinA＝sinD= = 2 ，

∴ =2R，


同理可证： =2R， =2R，


∴ = = =2R，

故答案为：＝，＝；..............................4分
初步应用：

∵ = =2R，∠B＝30°，∠C＝45°，b= 2，

2
∴ = ，.....................6分
30° 45°
2 2 c 1∴ ，
2 2
∴c＝2；.................7分
综合应用：
如图，
由题意得：∠ABD＝90°，
∠MAD＝15°，∠MAC＝45°，CD＝100m，
∴∠CAD＝30°，
∵AM∥BD，
∴∠ADB＝∠MAD＝15°，∠ACB＝∠MAC＝45°，................................8分
设楼 AB＝x m，则 AC= 2x m，...................................................9分
在△ACD中，

∵ = ，
∠ ∠
2 100
∴ = ，...................................10分
15° 30°
100 6 2 1∴ 2x ，
4 2
∴x＝50（ 3 1）m，
∴楼 AB高度约为 50（ 3 1）m．........................11分2025－2026学年度第一学期期中质量检测
九年级数学试题
注意事项∶
1. 本试卷共8页，共23道题，满分120分，考试时间120分钟；
2. 请把答案写在答题卡上，选择题用2B铅笔填涂，非选择题用0.5mm的黑色签字笔书写在答题卡的指定区域内，写在其它区域不得分。
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，请把正确的选项涂在答题卡的相应位置）
1．两个相似三角形的对应边之比为1∶4，则它们的面积之比为（ ）
A．1∶2 B．1∶4 C．1∶8 D．1∶16
2．如图，△ADC∽△BAC，下列结论错误的是（ ）
A．∠ADC＝∠BAC B． ＝ C．CA平分∠BCD D．AC2＝BC CD
第2题图
3．如图是某幼儿园的滑梯的简易图，已知滑坡AB的坡度是1∶3，滑坡的水平宽度是AC＝6m，则高BC为（ ）m．
A．2 B．3 C．4 D．5
第3题图
4．如图，△ABC是等边三角形，点E，F在AB上，点H，G在AC上，AE＝EF＝FB，EH∥FG∥BC，△ABC的面积为27cm2，则四边形EFGH的面积为（ ）
A．3cm2 B．9cm2 C．12cm2 D．15cm2
第4题图
5．如图，在平面直角坐标系中，已知⊙A经过点E、B、C、O，且C（0，6）、E（－8，0）、O（0，0），则cos∠OBC的值为（ ）
A． B． C． D．
6．如图，当太阳光线与地面成60°的角时，测得空中热气球在地面上的影长是10m，则热气球（把热气球的形状看成球体）的直径是（ ）
A．20m B．10m C．5m D．10m
7．如图，已知四边形ABCD是平行四边形，点E是AD的中点，连接BE，AC相交于点F，过F作AD的平行线交AB于点G，若FG＝2，则AE的长是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
8．如图，点I和O分别是△ABC的内心和外心，若∠AIB＝125°，则∠AOB的度数为（ ）
A．140° B．135° C．125° D．120°
9．如图，△ABC、△FED区域为驾驶员的盲区，驾驶员视线PB与地面BE的夹角∠PBE＝43°，视线PE与地面BE的夹角∠PEB＝20°，点A，F为视线与车窗底端的交点，AF∥BE，AC⊥BE，FD⊥BE．若A点到B点的距离AB＝1.6m，则盲区中DE的长度是（ ）（参考数据∶sin43°≈0.7，tan43°≈0.9，sin20°≈0.3，tan20°≈0.4）
A．2.6m B．2.8m C．3.4m D．4.5m
10．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AC为直径的⊙O与AB，BC分别交于点D，E，连接AE，DE，若∠AED＝45°，AB＝2，则阴影部分的面积为（ ）
A．π B． C． D．
二、填空题(本大题共5个小题 每小题3分，共15分，只要求把最后结果填写在答题卡的相应区域内。)
11．锐角α满足2sin(α－15°) ＝ ，则α的度数为 _________．
12．如图，AB是⊙O的直径，点C，D，E在⊙O上，若∠AED＝20°，则∠BCD的度数为_______．
13．如图，在A时测得某树的影长为4m，B时又测得该树的影长为16m，若树与地面垂直，两次日照的光线也互相垂直，则树的高度为 ________________m．
14．如图，在等边△ABC中，P为BC上一点，D为AC上一点，且∠APD＝60°，BP＝6，CD＝4，则等边△ABC的边长为 ____________________．
15．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点G，点F是CG上一点，且满足 ＝ ，连接AF并延长交⊙O于点E，连接AD、DE，若CF＝2，AF＝3．给出下列结论∶
①△ADF∽△AED；②FG＝2；③tan∠E ＝ ；④S△AED∶S△ADF＝7∶3．其中正确的是__________ （写出所有正确结论的序号）．
三、解答题（本大题共8小题，共75分，解答要把必要的文字说明、证明过程或演算步骤，写在答题卡的相应区域内。）
16．（本小题满分8分）计算∶
（1）2cos45°＋4sin30°cos30°－tan60°；
（2）－(π－3.14)0＋()－1＋||－2cos30°．
17．（本小题满分8分）【学科融合】如图1，在反射现象中，反射光线，入射光线和法线都在同一个平面内∶反射光线和入射光线分别位于法线两侧；入射角i等于反射角r．这就是光的反射定律．
【问题解决】如图2，小红同学正在使用手电筒进行物理光学实验，地面上从左往右依次是墙，木板和平面镜，手电筒的灯泡在点G处，灯泡到地面的高度AG＝1.2m，手电筒的光从平面镜上点B处反射后，恰好经过木板的边缘点F，落在墙上的点E处，点F到地面的高度CF＝1.8m，灯泡到平面镜的水平距离AB＝2.4m，木板到墙的水平距离为CD＝4m．图中A，B，C，D在同一条直线上．求点E到地面的高度DE．
18．（本小题满分8分）HUAWEIMate60pro手机完成了核心技术领域从0到1的跃迁，让无数国人为之自豪，并被赞誉为“争气机”．手机背面有一条圆弧，象征着以山河之美致敬奔腾不息的力量．如图，圆弧对应的弦AB长60mm，弓形高CD长10mm，求半径OA的长．
19．（本小题满分9分）．如图，已知△ABC是等腰三角形中，AB＝AC＝10，BC＝12，D是AC的中点，DE⊥BC于点E，ED、BA的延长线交于点F．求DF的长．
20．（本小题满分10分）“十一”期间，王红与家人开车去乡下看望爷爷和奶奶．她看到汽车尾部自动升起的后备厢，于是根据实际情况画出了相关的示意图．图1是王红家私家车侧面示意图，其中矩形ABCD表示该车的后备厢，图2是在打开后备厢的过程中，箱盖ADE可以绕点A顺时针方向旋转，当旋转角为60°时，箱盖ADE落在AD'E'的位置的示意图．王红测得AD＝90厘米，DE＝30厘米，EC＝40厘米，且D'H⊥AD于点H．根据王红提供的信息解答下列问题∶
（1）求点D'到BC的距离；
（2）求点E运动的距离．(第（1）、（2）两问中的结果均不取近似值）
21．（本小题满分10分）
（1）如图1，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D．求证∶AC2＝AD AB．
（2）如图2，F为线段CD上一点，连接AF并延长至点E，连接CE，若∠ACE＝∠AFC．
求证∶△AFD∽△ABE
22．（本小题满分11分）如图，已知△ABC的边AB是⊙O的切线，切点为E，⊙O过点C，并与AC相交于点F，与CB相交于点D，连接CE，DE，EF，且DE＝EF．
（1）求证∶AB⊥BC；
（2）若BC＝3，sin A ＝ ，求AF的长．
23．（本小题满分11分）阅读理解∶如图1，在Rt△ABC中，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边，∠C＝90°，其外接圆半径为R．根据锐角三角比的定义∶sin A ＝ ，sin B ＝ ，可得 ＝ ＝ c ＝ 2R，即 ＝ ＝ ＝ 2R（规定sin90°＝1）．
探究活动：如图2，在锐角△ABC中，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边，其外接圆半径为R，如图，过点C作直径CD交⊙O于点D，连接BD，
∴∠A＝∠D，∠DBC＝90°，
∴sin A ＝ sin D ＝ ＝ ，
∴ ＝ 2R，
根据上面的思路，试探究∶
________ ________ 2R （用＞，＝或＜连接）．
初应用：事实上，以上结论适用于任意三角形．在△ABC中，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边，∠B＝30°，∠C＝45°，b ＝ ，求c．
综合应用：如图3，在某次数学实践活动中，小莹同学测量一栋楼AB的高度，在A处用测角仪测得地面点C处的俯角为45°，点D处的俯角为15°，B，C，D在一条直线上，且C，D两点的距离为100米，求楼AB的高度．（结果保留根号）（参考数据∶sin15° ＝ ）．

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