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第十七章　因式分解
17.2　用公式法分解因式（第 3 课时）
1．能够熟练辨别多项式的结构特征，灵活运用提公因式法、公式法（平方差公式、完全平方公式）进行因式分解，发展运算能力．
2．运用因式分解解决一些简单问题，发展运算能力和推理能力．
学习目标
因式分解
提公因式法
公式法
完全平方公式
平方差公式
知识回顾
　　问题　我们之前学习过的因式分解方法有哪些？
pa＋pb＋pc＝p(a＋b＋c)
a2－b2＝(a＋b)(a－b)
a2＋2ab＋b2＝(a＋b)2
a2－2ab＋b2＝(a－b)2
因式分解
提公因式法
公式法
完全平方公式
平方差公式
pa＋pb＋pc＝p(a＋b＋c)
a2－b2＝(a＋b)(a－b)
a2＋2ab＋b2＝(a＋b)2
a2－2ab＋b2＝(a－b)2
知识回顾
　　追问　运用提公因式法和公式法进行因式分解时，多项式分别需要
满足怎样的结构特征？
确定公因式的方法
①系数：找最大公因数；
②字母：取各项相同字母；
③次数：相同字母的最低次幂．
　　两项符号相反且均为平方形式．
　　其中两项是平方和，另一项是这两数乘积的 2 倍（可正可负）．
p p p p
例题精讲
　　例 1　分解因式：
　　（1）x4 － y4；　　　　　　　　　（2）a3b－ab．
(x2)2
(x2＋y2)(x2－y2)
(x2＋y2)
提取公因式 ab
ab(a2－1)
　　是否还能进一步分解？
－(y2)2
平方差公式
平方差公式
(x＋y)(x－y)
分析：
平方差公式
(a＋1)(a－1)
ab
　　有公因式的，先提公因式．
　分解因式，要进行到每一个多项式都不能再分解为止．
例题精讲
　　例 1　分解因式：
　　（1）x4－y4；　　　　　　　　　（2）a3b－ab．
　　解：（1）x4－y4　　　　　　　 （2）a3b－ab
　　　　　＝(x2＋y2)(x2－y2)　　　　 ＝ab(a2－1)
　　　　　＝(x2＋y2)(x＋y)(x－y)；　　＝ab(a＋1)(a－1)．
先提公因式；
再用公式；
最后检查是否分解彻底．
　　从上述因式分解的过程看，有哪些关键步骤易出错？如何避免这些错误？
想一想
例题精讲
　　例 2　分解因式：
　　（1）3ax2＋6axy＋3ay2；　　　　 （2）－ax2＋2a2x－a3．
3a·x2
－（a·x2 －a·2ax＋a·a2）
－（ax2 － 2a2x ＋ a3）
　　分析：
＋3a·2xy
＋3a·y2
添括号法则
提取公因式 3a
3a (x2 ＋ 2xy ＋y2)
3a(x＋y)2
完全平方公式
提取公因式 a
－a(x2－2ax＋a2)
完全平方公式
－a(x－a)2
例题精讲
　　例 2　分解因式：
　　（1）3ax2＋6axy＋3ay2；　　　　 （2）－ax2＋2a2x－a3．
　　解：（1）3ax2＋6axy＋3ay2 （2）－ax2＋2a2x－a3
　　　　　 ＝3a(x2＋2xy＋y2)　　　　 ＝－a(x2－2ax＋a2)
　　　　　 ＝3a(x＋y)2；　　　　　 ＝－a(x－a)2．
　　通过这道题还需要补充哪些新的注意事项？
想一想
◎先提公因式，再用公式，最后检查是否分解彻底；
◎遇到字母系数式子，要逐字母、逐系数分析公因式；
◎首项平方项为负时，可以优先提取负号并同步改变括号内各项符号，避免公式应用时符号混乱．
课堂练习
　　1. 分解因式：
　　（1）x2y－4y；
　　（2）a3－2a2＋a；
　　（3）ax2＋2a2x＋a3；
　　（4）－a4＋16；
　　（5）3a－6ax＋3ax2；
　　（6）－4bx2＋8bxy－4by2．
课堂练习
　　解：（1）x2y－4y＝y(x＋2)(x－2)；
　　（2）a3－2a2＋a＝a(a2－2a＋1)＝a(a－1)2；
　　（3）ax2＋2a2x＋a3＝a(x2＋2ax＋a2)＝a(x＋a)2；
　　（4）－a4＋16＝－(a2＋4)(a2－4)＝－(a2＋4)(a＋2)(a－2)；
　　（5）3a－6ax＋3ax2＝3a(1－2x＋x2)＝3a(x－1)2；
　　（6）－4bx2＋8bxy－4by2 ＝－4b(x2－2xy＋y2)＝－4b(x－y)2．
课堂练习
　　2. 分解因式：
　　（1）(a－b)2＋4ab； （2）(p－4)(p＋1)＋3p．
　　解：（1）(a－b)2＋4ab　　　　 （2）(p－4)(p＋1)＋3p
　　　　　 ＝a2－2ab＋b2＋4ab　　　　 ＝p2－4p＋p－4＋3p
　　　　　 ＝a2＋2ab＋b2　　　　　　 ＝p2－4
＝(a＋b)2； ＝(p＋2)(p－2)．
先展开式子、合并同类项
后，再应用公式因式分解．
课堂小结
　　回顾本节课所学主要内容，请思考以下问题：
　　（1）因式分解的一般步骤是什么？每一步的关键要点是什么？
　　（2）因式分解中有哪些常见错误？解题中如何避免？可以结合课堂
练习说一说．
教科书习题 17.2 第 3，5，6 题．
课后任务

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