资源简介

分析规律抓本质 培养能力促进发展
——近年来数学学科高考的认识与思考
主要内容框架
1 背景思考
1.1 高考命题历程的简单回顾
1.2 当前的基本形势
1.2.1 “一点四面”
1.2.2 中国学生发展核心素养
2 说明解读
2.1 考试性质
2.2 命题原则及指导思想
2.3 考试内容（含考核目标与考查要求）
2.3.1 知识要求
2.3.2 能力要求
2.3.3 数学方法与数学思想要求
2.3.4 个性品质要求
3 特点分析
3.1 立足优良传统，兼顾传承创新
3.2 强化主干内容，突出基础联系
3.3 深化能力考查，突出思想方法
3.4 注重实践应用，强调数学素养
3.5 注重区分功能，突出考试性质
4 异同对比
4.1 探寻共性，继承传统
4.1.1 遵循考纲，注重基础
4.1.2 全面考查，注重联系
4.1.3 能力立意，注重算理
4.1.4 强化思想，注重应用
4.2 思考差异，明确方向
4.2.1 试卷结构相互有异
4.2.2 内容范围覆盖不同
4.2.3 难度设置层次有别
4.2.4 内容设计各有千秋
5 教学建议
5.1 基本理念
5.1.1 关注改革、促进发展
5.1.2 立足基础、挖掘背景
5.1.3 依据学生、切合思维
5.2 教学策略
5.2.0 明确高考要求
5.2.1 继承优良传统
5.2.2 重视基础知识
5.2.3 加强能力培养
5.2.4 注重思想方法
5.2.5 强化教学落实

1 背景思考
1.1 高考命题历程的简单回顾
1.2 当前的基本形势
1.2.1 “一点四面”
2016年开始，自主命题的省份大量转变为使用全国卷（重庆以教委的名义发文对试题进行相关的说明，并在文件中提出：普通高考命题工作将把握正确的政治方向，增强看齐意识，坚持以“立德树人”为核心，持续深化“一点四面”的考查）．
① 一点：以立德树人为核心，强化高考考试内容改革的育人导向
使广大青年学生在民族精神和时代精神的教育中，接受中华优秀传统文化，正确认识中华民族的历史和未来，积极构筑理想和道德支撑；结合德育为先的育人方向，推动中国特色社会主义法治理论进入头脑，培养造就熟悉和坚持中国特色社会主义法治体系的法治人才及后备力量；在落实立德树人的根本任务中实现“育德”和“增智”的彼此交融和共同促进，塑造出知行合一、具有社会责任感、创新精神和实践能力的社会建设者．
紧紧围绕立德树人的根本任务，落实《实施意见》对考试内容改革的要求，高考命题工作要更加注重科学设计考试内容，增强基础性、综合性和应用性，着重考查学生独立思考和运用所学知识分析问题、解决问题的能力．同时，牢牢把握立德树人的根本任务，找准各学科考试内容改革的突破口，细化学科考查方案，探索把学科能力考查与思想道德渗透结合起来的方式方法，通过精心设计、科学命制试题来实现考查考生能力和水平的目的，提升命题质量，实现考试内容改革在新常态下跨越式发展．
② 四面：四个方面加强考查
● 加强社会主义核心价值观的考查，指引学生培养正确的世界观、人生观和价值观
高考试题中要增加反映我国政治、经济、文化、社会、科技等领域发展进步的内容，考查学生对我国社会现状、时事政策的了解、思考和把握，考查学生对国家层面、社会层面、个人层面等价值准则的理解；要从贴近学生的现实生活中选取践行社会主义核心价值观的感人事迹，考查学生对生活和社会现象所反映的价值判断、价值选择和相关行为进行分析和评价的能力，引导学生辨析社会主义核心价值观与西方价值观之间的本质区别，使学生深刻理解并努力践行社会主义核心价值观．
考查社会主义核心价值观，语文和文科综合等科目更具优势．在文科加强考查的基础上，其他学科也要在试题中渗透社会主义核心价值观，充分发挥高考对学生的引导和教育作用．
● 加强依法治国理念的考查，引导学生树立宪法意识和法治观念
教育部明确指出教育要体现依法治国的理念，并“将宪法法律纳入升学考试”，帮助和引导学生树立正确的权利和义务观念，将广大青少年学生培养成为真诚信仰宪法、自觉维护宪法尊严、具有社会主义法治观念的建设者和接班人，这是我们各级教育部门全面贯彻党的方针、实现立德树人的根本任务．
高考命题要围绕法治教育的目标，将中学教学中法治理念培养和法律知识教育的内容提炼、整合出来，使法治理念的考查能够贯彻到有关学科的试题中去．
● 加强中国优秀传统文化的考查，引导学生提高人文素养、传承民族精神，树立民族自信心和自豪感
在高考命题中，要高度重视传统文化对于立德树人的独特功能，弘扬和考查中国优秀传统文化，体现高考为国选材的重大使命．各学科在试题中都要对中国优秀传统文化有所体现．
考查中国优秀传统文化，不是简简单单地考查死记硬背的知识，而是要遵循继承、弘扬、创新的发展路径，注重传统文化在现实中的创造性转化和创新性发展，从而实现考试的社会意义和现实目的．
例 各学科的考查思路
语文、政治等科目可以考查学生对中华民族历史传承中的爱国主义、民族精神等人文精神的理解，考查学生运用中华优秀传统文化内容，进行思考、体悟的能力．
历史可以考查对中华文明长期历史进程中的事实观点、思想思潮的理解和判断等．
地理可以考查对乡土意识、环境保护等理念的掌握．
在数学和理科综合等科目中，也可以适当增加对中国传统文化进行考查的内容，如将四大发明、勾股定理等所代表的中国古代科技文明作为试题背景材料，体现中国传统科技文化对人类发展和社会进步的贡献．
试题例析——秦九韶算法：
1 试题
① 2016全国卷甲理科第8题．
中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，右图是实现该算法的程序框图．执行该程序框图，若输入的x＝2，n＝2，依次输入的a为2，2，5，则输出的s＝
(A) 7 (B) 12
(C) 17 (D) 34
立意：考查程序框图的基本逻辑结构、算法基本语句等基本知识．
解答：第1次循环：，；第2次循环：，；第3次循环：，，结束循环，答案为(C)．
② 2016四川卷理科第7题．
秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州(现四川省安岳县)人，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法．如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例，若输入n，x的值分别为3，2，则输出v的值为
(A) 9 (B) 18
(C) 20 (D) 35
2 解答思路
思路1：根据框图可知，经过3次循环即输出v值：第一次循环，，第二次循环，，第三次循环，．答案为(B)．
思路2：根据框图可知，相应的多项式为，当时，．答案为(B)．
3 试题评析
以教材必修3第37页案例2、第38页例2为背景改编，考查程序框图的三种基本逻辑结构等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力和应用意识．
秦九韶（约1202—1268）是我国南宋时期的数学家，普州（现四川省安岳县）人．其著作《数书九章》成书于1247年，书中提出的“正负开方术”，将增乘开方法发展成一种完整的高次多项式方程的数值解法，是中国数学史上的重要成就．在教材必修3第1.3节《算法案例》的案例2及随后的例题中，全面介绍了用循环结构来实现多项式求值的秦九韶算法的过程与实例．本题以此为背景设置问题，程序框图的算法思路源于秦九韶算法，要求考生通过阅读程序框图，理解程序框图的逻辑结构和它所表示的算法，从而能够依据程序输入的相关数据，并按程序框图所示依次执行相应的功能框，最终给出运算结果（思路1）；解答时，考生还可以根据秦九韶算法，由程序框图写出其中的多项式，代入x的值计算得出结果．
随着信息技术的飞速发展，解决问题的算法思想与演绎推理一样，已经成为现代人应具备的一种数学修养．因此熟练掌握某些常用算法应该成为考生必备的基础知识．该题的设计面向全体学生，准确地把握了算法教学的能力要求，要求考生在解决具体数学问题的过程中理解程序框图的基本逻辑结构，并据此决定执行各功能框的先后次序，进而加深理解算法思想并在实践中自觉运用．
本题体现了四川地方元素，能够引导考生感受中国古代优秀数学文化传统，深刻地认识到中华民族优秀传统文化的博大精深和源远流长，体会数学知识与方法在认识现实世界中的重要作用，激发考生的民族自豪感，增强学好数学和研究数学的自信心，可以促进考生意识到传承中华民族优秀传统文化既任重道远又义不容辞，进而更寄望于他们创造出无愧于伟大时代的成就，突出了传承中华优秀传统文化的重要性与必要性，较好展现了数学文化内涵整体育人的功能．
4 产生背景
高考内容改革、命题的“一点四面”；
教材内容——必修3：
● 加强创新能力的考查，提升高考对创新教育与人才培养工作的促进作用
高考作为教育的重要手段和必要环节，要有利于创新人才的培养和选拔，要把考查独立思考、创新精神和实践能力作为重要的考试内容．在命题中各学科应联系实际，深入探索考试的内容创新、形式创新、方法创新和手段创新，引导学生进行独立思考和创新实践，考查学生创新意识和创新素养，发挥高考在创新人才培养和选拔中的积极作用．创新能力考查在理科试题中要更充分地体现出来．
链接：国务院——关于深化考试招生制度改革的实施意见
链接：教育部——关于全面深化课程改革、落实立德树人根本任务的意见
链接：考试中心（姜钢）——坚持以立德树人为核心，深化高考考试内容改革
1.2.2 中国学生发展核心素养
继2016年年初征求意见稿之后，《中国学生发展核心素养》总体框架9月13日发布．中国核心素养体系采取了“学生发展核心素养”与“学科核心素养”双线并行的模式，且“学生发展核心素养”居于上位．
① 中国学生发展核心素养总体框架
学生发展核心素养，主要指学生应具备的，能够适应终身发展和社会发展需要的必备品格和关键能力．
中国学生发展核心素养总体框架
三个
方面
六大
核心
素养
十八个
基本
要点
具体内涵
文
化
基
础
人
文
底
蕴
人文
积淀
具有古今中外人文领域基本知识和成果的积累；能理解和掌握人文思想中所蕴含的认识方法和实践方法等．
人文
情怀
具有以人为本的意识，尊重、维护人的尊严和价值；能关切人的生存、发展和幸福等．
审美
情趣
具有艺术知识、技能与方法的积累；能理解和尊重文化艺术的多样性，具有发现、感知、欣赏、评价美的意识和基本能力；具有健康的审美价值取向；具有艺术表达和创意表现的兴趣和意识，能在生活中拓展和升华美等．
科
学
精
神
理性
思维
崇尚真知，能理解和掌握基本的科学原理和方法；尊重事实和证据，有实证意识和严谨的求知态度；逻辑清晰，能运用科学的思维方式认识事物、解决问题、指导行为等．
批判
质疑
具有问题意识；能独立思考、独立判断；思维缜密，能多角度、辩证地分析问题，做出选择和决定等．
勇于
探究
具有好奇心和想象力；能不畏困难，有坚持不懈的探索精神；能大胆尝试，积极寻求有效的问题解决方法等．
自
主
发
展
学
会
学
习
乐学
善学
能正确认识和理解学习的价值，具有积极的学习态度和浓厚的学习兴趣；能养成良好的学习习惯，掌握适合自身的学习方法；能自主学习，具有终身学习的意识和能力等．
勤于
反思
具有对自己的学习状态进行审视的意识和习惯，善于总结经验；能够根据不同情境和自身实际，选择或调整学习策略和方法等．
信息
意识
能自觉、有效地获取、评估、鉴别、使用信息；具有数字化生存能力，主动适应“互联网+”等社会信息化发展趋势；具有网络伦理道德与信息安全意识等．
健
康
生
活
珍爱
生命
理解生命意义和人生价值；具有安全意识与自我保护能力；掌握适合自身的运动方法和技能，养成健康文明的行为习惯和生活方式等．
健全
人格
具有积极的心理品质，自信自爱，坚韧乐观；有自制力，能调节和管理自己的情绪，具有抗挫折能力等．
自我
管理
能正确认识与评估自我；依据自身个性和潜质选择适合的发展方向；合理分配和使用时间与精力；具有达成目标的持续行动力等．
社
会
参
与
责
任
担
当
社会
责任
自尊自律，文明礼貌，诚信友善，宽和待人；孝亲敬长，有感恩之心；热心公益和志愿服务，敬业奉献，具有团队意识和互助精神；能主动作为，履职尽责，对自我和他人负责；能明辨是非，具有规则与法治意识，积极履行公民义务，理性行使公民权利；崇尚自由平等，能维护社会公平正义；热爱并尊重自然，具有绿色生活方式和可持续发展理念及行动等．
国家
认同
具有国家意识，了解国情历史，认同国民身份，能自觉捍卫国家主权、尊严和利益；具有文化自信，尊重中华民族的优秀文明成果，能传播弘扬中华优秀传统文化和社会主义先进文化；了解中国共产党的历史和光荣传统，具有热爱党、拥护党的意识和行动；理解、接受并自觉践行社会主义核心价值观，具有中国特色社会主义共同理想，有为实现中华民族伟大复兴中国梦而不懈奋斗的信念和行动．
国际
理解
具有全球意识和开放的心态，了解人类文明进程和世界发展动态；能尊重世界多元文化的多样性和差异性，积极参与跨文化交流；关注人类面临的全球性挑战，理解人类命运共同体的内涵与价值等．
实
践
创
新
劳动
意识
尊重劳动，具有积极的劳动态度和良好的劳动习惯；具有动手操作能力，掌握一定的劳动技能；在主动参加的家务劳动、生产劳动、公益活动和社会实践中，具有改进和创新劳动方式、提高劳动效率的意识；具有通过诚实合法劳动创造成功生活的意识和行动等．
问题
解决
善于发现和提出问题，有解决问题的兴趣和热情；能依据特定情境和具体条件，选择制订合理的解决方案；具有在复杂环境中行动的能力等．
技术
运用
理解技术与人类文明的有机联系，具有学习掌握技术的兴趣和意愿；具有工程思维，能将创意和方案转化为有形物品或对已有物品进行改进与优化等．
链接：中国学生发展核心素养
② 数学学科核心素养
以高中课程标准修订作为切入点，正式提出数学学科的核心素养．在《高中数学课程标准（修订）》中，提出了数学学科六个核心素养：数学抽象、逻辑推理、数学建模、数学运算、直观想象、数据分析．
链接：对数学课程及内容的共识
数学学科与课程
数学是研究数量关系和空间形式的科学．数学与人类生活和社会发展紧密相连．随着现代科学技术和计算机科学的迅猛发展，人们获取数据和处理数据的能力得到大幅度增强，特别是伴随着大数据时代的到来，人们对网络、文本、声音、图象等信息载体进行数字化处理，使数学的研究领域与应用领域得到极大拓展，数学直接为社会创造价值，推动社会生产力的发展．
现代数学的发展表明，数学的研究源于对现实世界的抽象，通过基于抽象结构的符号运算、形式推理、一般结论，理解和表达现实世界中事物的本质、关系与规律．正因为如此，数学已经成为自然科学、工程技术和社会科学的重要基础，数学的应用已经渗透到现代社会的各个方面．数学不仅是运算和推理的工具，数学还是表达和交流的语言，数学承载着思想和文化，数学是现代文明的重要组成部分．
数学在形成人的理性思维、科学精神和促进个人智力发展的过程中发挥着独特的、不可替代的作用．数学素养是现代社会每一个公民应该具备的基本素养．数学教育承载着基于时代要求的整体育人功能，它不仅使学生掌握现代生活和学习所必需的数学知识、技能、思想和方法，更发挥着数学在培养人的思维能力、创新意识、以及形成正确的世界观方面的特有功能，促进学生全面发展，为学生终身学习奠定基础．
数学学科的课程总目标
在义务教育阶段学习的基础上，通过高中数学课程的学习，进一步提高作为现代社会公民所应具备的数学素养，特别是数学核心素养，促进全面、可持续发展．使学生
1. 获得进一步学习以及未来发展所必需的数学的基础知识、基本技能、基本思想和基本活动经验（四基）．
2. 提高从数学角度发现和提出问题的能力、分析和解决问题的能力（四能）．
3. 在数学学习的过程中，逐步学会用数学的眼光观察现实世界，用数学的思维分析现实世界，用数学的语言表达现实世界（三用）．
4. 提高数学表达和交流能力；发展应用能力及创新意识；掌握合理的数学学习方式，养成良好的数学学习习惯．
5. 提高学习数学的兴趣，增强学好数学的自信心，树立敢于质疑、勤于思考、实事求是、一丝不苟的科学精神．认识数学的科学价值、应用价值和人文价值，体会、欣赏数学的美，进一步树立辩证唯物主义世界观．
数学核心素养是数学课程目标的集中表现．它在学生自主发展中发挥不可替代的作用，是在数学学习过程中逐步形成的．数学核心素养包含具有数学基本特征的思维品格和关键能力，是数学知识、技能、思想、经验及情感、态度、价值观的综合体现．
数学学科的核心素养
数学核心素养既反映课程内容的主线，聚焦课程目标要求，也是学业质量标准的集中反映．高中阶段包括：
抽象能力——抽象能力与关联
逻辑推理——逻辑推理与交流
数学建模——建模能力与反思
几何直观——几何直观与想象
运算能力——运算能力与模式
数据分析——数据分析与知识获取
更一般地，还包括学会学习、数学应用、创新意识．
数学学科的课程内容
主要变化：
突出知识主线：函数、代数与几何、统计与概率；结构的变化：将必修的五个模块合并为三个模块；将原来选修1、2的模块合并为三个模块（模块逻辑）；删除的内容：三视图、算法、推理与论证；解析几何内容调整到选修（课时过紧）；增加了准备知识（初高中衔接）；整体难度在文理之间（高考文理不分科）．
内容标准表述方式：
重要数学概念：通过什么样的教学情境，运用什么样的教学手段，经历什么样的过程，获得什么样的知识、技能、思想和经验，形成什么样的核心素养．如导数概念（举例）：通过典型实例（物理、几何、经济）的分析，运用几何图形和数学软件，经历由平均变化率到瞬时变化率的过程，抽象出导数概念，借助特殊极限感悟一般极限的思想，把握平均变化率与瞬时变化率的关系，理解导数的意义，积累抽象数学概念的经验．
在每部分内容之后，都提出了相应的基本素养、素养要求和水平划分．
课程内容中的“大概念”及关系：
确定原则：
贯穿高中数学始终；承载着数学核心素养；本身具有深刻的思想内涵；在数学和数学应用中重要．
初步结果：
函数、运算、几何、数据．
例 科学精神背景下的数学核心素养及相关的教学理解
学生发展核心素养中，与数学学科有更为直接关系的是：① 科学精神．主要是学生在学习、理解、运用科学知识和技能等方面所形成的价值标准、思维方式和行为表现．具体包括理性思维、批判质疑、勇于探究等基本要点．② 学会学习．主要是学生在学习意识形成、学习方式方法选择、学习进程评估调控等方面的综合表现．具体包括乐学善学、勤于反思、信息意识等基本要点．③ 实践创新．主要是学生在日常活动、问题解决、适应挑战等方面所形成的实践能力、创新意识和行为表现．具体包括劳动意识、问题解决、技术应用等基本要点．
可以说，科学精神是与数学核心素养关系最为密切的综合核心素养．具体到数学核心素养，包括：
义教课标中提出了十个“核心概念”：数感、符号意识、空间观念、几何直观、数据分析观念、运算能力、推理能力、模型思想、应用意识、创新意识
高中课程标准（修订）提炼的数学学科六个核心素养：数学抽象、逻辑推理、数学建模、数学运算、直观想象、数据分析．
教学中应该做到：
（1）用数学的眼光观察世界，发展数学抽象、直观想象素养．
（2）用数学的思维分析世界，发展逻辑推理、数学运算素养．
（3）用数学的语言表达世界，发展数学建模、数据分析素养．
“抽象”“想象”“分析”是上述表达的关键词，同时，推理、运算这两个“数学的命根子”的核心都是逻辑思维活动，这表明数学素养中统领全局的是思维，特别是逻辑思维．
数学核心素养虽然被划分为三个方面（六个关键词），但是实则是一个整体．用数学的眼光观察世界，即人从外界输入信息；用数学的思维分析世界，即人自身处理信息；用数学的语言表达世界，即人向外界输出信息．数学核心素养是数学课程目标的集中体现．
数学课改的核心任务是提升学生的数学学科核心素养，通过具体的教学措施，把数学学科核心素养的培育落实在数学教育的各个环节．
数学是思维的科学，数学教学是思维的教学，数学学科育人的根本体现在思维发展上．数学对于发展学生的思维至关重要．
由此，我们可以分析数学测试中应该如何体现对数学核心素养的考查．
2 说明解读
考试说明基于普通高中课程标准和考试大纲编写，对高考的考试性质、命题原则及指导思想、考试内容、考试形式与试卷结构进行说明，并给出题型示例．考试说明是命题最直接的依据．
2.1 考试性质
普通高等学校招生全国统一考试是合格的高中毕业生和具有同等学力的考生参加的选拔性考试．高等学校根据考生成绩，按已确定的招生计划，德、智、体全面衡量，择优录取．因此，高考应具有较高的信度、效度，必要的区分度和适当的难度．
2.2 命题原则及指导思想
原则：有利于科学选拔人才，有利于促进学生健康发展，有利于维护社会公平．
指导思想：以能力测试为主导，在考查考生基本知识、基本能力的同时，注重考查考生综合运用所学知识解决实际问题的能力和科学探究能力，突出考查学科意识、学科思维、科学素质和人文素养，力求做到科学、准确、公平、规范．
2.3 考试内容（含考核目标与考查要求）
注重考查中学数学的基础知识、基本技能、基本思想方法，考查空间想象能力、抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力、数据处理能力以及应用意识、创新意识，体现对中学数学主要的思想方法的考查，渗透对个性品质的考查．
2.3.1 知识要求
知识是指《课程标准》所规定的必修课程、选修课程中的数学概念、性质、法则、公式、公理、定理以及由其内容反映的数学思想方法，还包括按照一定程序与步骤进行运算，处理数据、绘制图表等基本技能．
对知识的要求由低到高分为了解、理解、掌握三个层次(分别用A、B、C表示)，且高一级的层次要求包含低一级的层次要求．
数学基础知识的考查既要全面又要突出重点，对于支撑学科知识体系的重点内容，要占有较大的比例，构成数学试卷的主体．考查应注重学科的内在联系和知识的综合性，不刻意追求知识的覆盖面．从学科的整体高度和思维价值的高度设计问题，在知识网络交汇点设计试题，使对数学基础知识的考查达到必要的深度．
例 2016四川卷理科第2题．
设i为虚数单位，则的展开式中含的项为
(A) (B) (C) (D)
解答：的展开式中，含的项为．答案为(A )．
评注：本题以教材选修2-3第31页例2为背景改编，考查二项式定理及其简单应用、组合数公式、复数代数形式的四则运算等基础知识．属于“了解”层次的组合．
试题以二项式定理、复数的简单运算为背景设计，检测考生对二项式定理展开式的通项公式、组合数计算及虚数单位i的运算这些最基本知识的掌握情况，体现了课程标准对相关知识的要求。尽管试题从不同知识间的交汇处切入，但要求适度，绝大多数学生都可以顺利、快速解答，能够有效消除考生的紧张情绪，促使考生进入良好的答题状态．
二项式定理的考查，各地的模拟试题一般未出现与复数交汇考查的情况。但二项式定理中字母的取值，完全可以在复数集内，正如教材所言：“实际上，既可以取任意实数，也可以取任意多项式，还可以是别的．我们可以根据具体问题的需要灵活选取的值．”
例 2014全国卷乙理科第6题．
如图，圆O的半径为1，A是圆上的定点，P是圆上的动点，角的始边为射线，终边为射线，过点作直线的垂线，垂足为，将点到直线的距离表示为的函数，则=在[0,]上的图象大致为
立意：考查三角函数的定义、图象等基础知识，考查抽象概括能力，考查数形结合思想．
解析：在Rt△OMP中，，且|OP|=1．而当时，|MP|=sinα，|OM|=|cosα|，所以，．由此可知，答案为C．
评注：三角函数的定义．几何图形、函数图象．背景与设问．
例 2016全国卷甲理科第3题．
已知向量，且，则m＝
(A)－8 (B)－6 (C) 6 (D) 8
立意：本题考查向量的加法、数量积的含义及坐标表达式、求平面向量的数量积等基本知识，考查学生运算求解的数学能力．
例 2015全国卷甲理科第4,5题．
① 等比数列满足a1＝3，a1+ a3+ a5＝21，则a3+ a5+ a7＝
(A) 21 (B) 42 (C) 63 (D) 84
② 设函数则
(A) 3 (B) 6 (C) 9 (D) 12
例 2014全国卷甲理科第15题．
已知偶函数在单调递减，．若，则的取值范围是__________.
立意：考查函数的性质等基础知识，考查抽象概括能力，考查属性结合思想．
解析：因为为偶函数，函数在单调递减，故函数在单调递增．因为，由知，所以，即．答案为．
评注：掌握．分类与整合、数形结合．
2.3.2 能力要求
对数学能力的考查以数学知识为载体，从问题入手，把握学科的整体意义，用统一的数学观点组织材料，体现对考生各种数学能力的要求．
高考的数学命题，强调“以能力立意”，侧重体现对知识的理解和应用，尤其是综合和灵活的应用，以此来检测考生将知识迁移到不同情境中去的能力，从而检测出考生个体理性思维的广度和深度以及进一步学习的潜能．能力的考查以推理论证能力和抽象概括能力的考查为核心，全面涉及各种数学能力，并要切合考生实际，强调其科学性、严谨性、抽象性，强调探究性、综合性和应用性．对空间想象能力的考查主要体现在对文字语言、符号语言及图形语言的互相转化上；对运算求解能力的考查主要是对算法和推理的考查，考查以代数运算为主；对数据处理能力的考查主要是考查运用概率统计的基本方法和思想解决实际问题的能力．
① 运算求解能力．会根据法则、公式进行正确运算、变形和数据处理，能根据问题的条件寻找与设计合理、简捷的运算途径，能根据要求对数据进行估计和近似计算.
例 2014全国卷甲理科第21题．
已知函数=．
(Ⅰ) 讨论的单调性；
(Ⅱ) 设，当时，，求的最大值；
(Ⅲ) 已知，估计ln2的近似值(精确到0.001)．
立意：考查函数的性质、导数的运用等基础知识，考查运算求解能力，考查分类与整合思想、创新意识．
解析：(Ⅰ) =，等号仅当时成立．
所以在单调递增．
(Ⅱ) =，
==．
( i ) 当时，，等号仅当时成立，所以在单调递增．而=0，所以对任意．
( ii ) 当时，若满足，即时，
＜0．而=0，因此当时，＜0，不满足题意．
综上，b的最大值为2.
(Ⅲ) 由(Ⅱ)知，.
当b=2时，＞0；＞＞0.6928；
当时，，
=＜0，＜＜0.6934．
所以的近似值为0.693．
评注：设问的方式．运算能力的深刻考查．
运算求解能力是思维能力和运算技能的结合．运算包括对数字的计算、估值和近似计算，对式子的组合变形与分解变形，对几何图形和几何量的计算求解等，运算能力包括分析运算条件、探究运算方向、选择运算公式、确定运算程序等过程中的思维能力，也包括在实施运算过程中遇到障碍而调整运算的能力.
对运算能力的考查，数值计算、字符运算和各种式子的变换都是重要内容，其考查要求可概括为“准确、熟练、快捷、合理”.在突出考查算理和算法的同时，对运算的灵活性和实用性也有一定要求，还要求能够恰当运用估算、图算和近似计算.运算能力与学生的知识水平、推理论证能力和心理因素都密切相关.
② 推理论证能力．根据已知的事实和已获得的正确数学命题，论证某一数学命题的真实性的初步的推理能力．
推理是思维的基本形式之一，它由前提和结论两部分组成；论证是由已有的正确的前提到被论证的结论的一连串的推理过程. 推理既包括演绎推理，也包括合情推理；论证方法既包括按形式划分的演绎法和归纳法，也包括按思考方法划分的直接证法和间接证法 .一般运用合情推理进行猜想，再运用演绎推理进行证明 .
例 2016全国卷乙理科第8题．
若，，则
(A) (B)
(C) (D)
立意： 不等式的基本性质、指数函数、对数函数的性质，考查了化归与转化等数学思想，以及推理论证运算求解的能力．
解答：由于，则，选项(A)错误；由，则，选项(B)错误；由，，且，则，选项(C)正确；由于，，，则，选项(D)错误，故答案为(C)．
例
① 2016全国卷甲理科第15题．
有三张卡片，分别写有1和2，1和3，2和3．甲、乙、丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是__________.
立意：本题考查了逻辑等基本知识，考查了考生推理论证能力以及创新意识．
解答：根据甲与乙的卡片上相同的数字不是2，知甲和乙可能是1和2，1和3，或者1和3，2和3；乙与丙的卡片上相同的数字不是1，知乙与丙可能是1和2，2和3，或者1和3，2和3；由于丙的卡片上的数字之和不是5，知丙的卡片为1和2，或1和3．若丙为1和3，则乙的卡片是2和3，甲的卡片是1和3，不符题意，若丙为1和2，则乙的卡片是2和3，甲的卡片是1和3，满足条件，答案为1和3．
② 2014全国卷乙理科第14题．
甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A，B，C三个城市时，
甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B城市；
乙说：我没去过C城市；
丙说：我们三人去过同一城市.
由此可判断乙去过的城市为______________．
推理是思维的基本形式之一，它由前提和结论两部分组成；论证是由已有的正确的前提到被论证的结论的一连串的推理过程. 中学数学的推理论证能力主要是根据已知的事实和已获得的正确数学命题，论证某一数学命题真实性的初步的推理能力 .
③ 空间想象能力．能根据条件作出正确的图形，根据图形想象出直观形象；能正确地分析出图形中基本元素及其相互关系；能对图形进行分解、组合；会运用图形与图表等手段形象地揭示问题的本质．
空间想象能力是对空间形式的观察、分析、抽象的能力，主要表现为识图、画图和对图形的想象能力.识图是指观察研究所给图形几何元素之间的相互关系；画图是指将文字语言和符号语言转化为图形语言以及对图形添加辅助图形或对图形进行各种变换；对图形的想象主要包括有图想图和无图想图两种，是空间想象能力高层次的标志.
空间想象能力是基本的、重要的数学能力.考查中强调的是对图形的认识、理解和应用，要求考生既会用图形表现空间形体，也能由图形想象出直观的形象；既会观察、分析各种几何要素(点、线、面、体)的相互位置关系，又能对图形进行变换分解和组合.教学中应注意强化空间观念，培训直觉思维的习惯，结合抽象思维和形象思维解决问题.
④ 抽象概括能力．对具体的、生动的实例，在抽象概括的过程中，发现研究对象的本质；从给定的大量信息材料中，概括出一些结论，并能将其用于解决问题或做出新的判断．
例 2015全国卷甲理科第10题．
如图，长方形ABCD的边AB=2，BC=1，O是AB的中点，点P沿着边BC，CD与DA运动，记∠BOP＝x．将动点P到A，B两点距离之和表示为x的函数f(x)，则f(x)的图象大致为
例 2016年全国卷丙理科第12题．
定义“规范01数列”{an}如下：{an}共有2m项，其中m项为0，m项为1，且对任意，中0的个数不少于1的个数．若m＝4，则不同的“规范01数列”共有
(A) 18个 (B) 16个 (C) 14个 (D) 12个
立意：本题考查分类加法计数原理和分步乘法计数原理等基本知识，考查了考生化归与转化的数学思想以及抽象概括的能力和创新意识．
⑤ 数据处理能力．会收集、整理、分析数据，能从大量数据中抽取对研究问题有用的信息，并作出判断、解决给定的实际问题．数据处理能力主要依据统计中的方法对数据进行整理、分析，并解决给定的实际问题．
例 2015全国卷甲理科第18题
某公司为了解用户对其产品的满意度，从A，B两地区分别随机调查了20个用户，得到用户对产品的满意度评分如下：
A地区：62 73 81 92 95 85 74 64 53 76
78 86 95 66 97 78 88 82 76 89
B地区：73 83 62 51 91 46 53 73 64 82
93 48 65 81 74 56 54 76 65 79
(Ⅰ) 根据两组数据完成两地区用户满意度评分的茎叶图，并通过茎叶图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度(不要求计算出具体值，给出结论即可)；
(Ⅱ) 根据用户满意度评分，将用户的满意度从低到高分为三个不等级：
满意度评分
低于70分
70分到89分
不低于90分
满意度等级
不满意
满意
非常满意
记事件C：“A地区用户的满意度等级高于B地区用户的满意度等级”．假设两地区用户的评价结果相互独立．根据所给数据，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，求C的概率．
⑥ 应用意识．能综合应用所学数学知识、思想和方法解决问题，包括解决相关学科、生产、生活中简单的数学问题；能理解对问题陈述的材料，并对所提供的信息资料进行归纳、整理和分类，将实际问题抽象为数学问题；能应用相关的数学方法解决问题进而加以验证，并能用数学语言正确地表达和说明.
应用的主要过程是依据现实的生活背景，提炼相关的数量关系，将现实问题转化为数学问题，构造数学模型，并加以解决.
对应用意识的考查主要采用解决应用问题的形式．应用问题的命题要坚持“贴近生活，背景公平，控制难度”的原则，试题设计要充分考虑中学数学教学的实际和考生的年龄特点，并结合考生具有的实践经验，使数学应用问题的难度符合考生的实际水平．
例 2012全国课标卷理科第18题．
某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的价格出售，如果当天卖不完，剩下的玫瑰花作垃圾处理.
(Ⅰ)若花店一天购进16枝玫瑰花，求当天的利润y(单位：元)关于当天需求量n(单位：枝，)的函数解析式；
(Ⅱ)花店记录了100天玫瑰花的日需求量(单位：枝)，整理得下表：
日需求量n
14
15
16
17
18
19
20
频数
10
20
16
16
15
13
10
以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率.
(1)若花店一天购进16枝玫瑰花，X表示当天的利润(单位：元)，求X的分布列，数学期望及方差；
(2)若花店计划一天购进16枝或17枝玫瑰花，你认为应购进16枝还是17枝？请说明理由.
立意：考查统计概率相关基础知识，考查统计与概率思想．
解析：(Ⅰ)当日需求量时，利润．
当日需求量时，利润．
所以y关于n的函数解析式为：．
(Ⅱ)(1)可能的取值为，，，并且
．
的分布列为
的数学期望为：
．
的方差为：
．
(2)答案一：
花店应购进16枝玫瑰花．理由如下：
若花店一天购进17枝玫瑰花，Y表示当天的利润(单位：元)，那么Y的分布列为
Y
55
65
75
85
P
0.1
0.2
0.16
0.54
Y的数学期望为：
．
Y的方差为：
DY=
=112.04．
由以上的计算结果可以看出，DX答案二：
花店应购进17枝玫瑰花．理由如下：
若花店一天购进17枝玫瑰花，Y表示当天的利润(单位：元)，那么Y的分布列为
Y
55
65
75
85
P
0.1
0.2
0.16
0.54
Y的数学期望为：
．
由以上的计算结果可以看出，EX评注：历史资料、信息处理、统计观念、决策依据、应用意识．
⑦ 创新意识．能发现问题、提出问题，综合与灵活地应用所学的数学知识、思想方法，选择有效的方法和手段分析信息，进行独立的思考、探索和研究，提出解决问题的思路，创造性地解决问题．
对创新意识的考查是对高层次理性思维的考查．在考试中通过创设新颖的问题情境，构造有一定深度和广度的数学问题进行考查．试题设计注重问题的多样化，体现思维的发散性，着眼数学主体内容、体现数学素质；试题主要以反映数、形运动变化及其相互联系的问题出现，主要为研究型、探索型、开放型等类型的问题．
链接：数学核心素养与课程目标
2.3.3 数学方法与数学思想要求
●数学方法主要包括归纳推理、类比推理、演绎推理、综合法、分析法、反证法等．
（1）归纳推理：归纳推理就是从个别事实中推演出一般性的结论，依据特殊现象推断出一般现象，从已知的特殊的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题等的推理．简言之，归纳推理是由特殊到一般的推理．
（2）类比推理：由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理．简言之，类比推理是由特殊到特殊的推理．
（3）演绎推理：演绎推理是由一般性的命题推出特殊性命题的一种推理模式，是一种必然性推理．演绎推理的主要形式，就是由大前提、小前提推出结论的三段论式推理．
（4）综合法：综合法就是利用已知条件和数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立的证明方法．即PQ1→Q1Q2→Q2Q3 →…→QnQ（其中P表示已知条件，Q表示结论）．综合法是“执因导果”，从已知出发，顺着推理，逐渐地靠近结论．
（5）分析法：分析法就是从结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定义、定理、公理等）的证明方法．分析法是“执果索因”，从要证的结论出发，倒着分析，逐渐地靠近已知．
（6）反证法：反证法就是假设原命题不成立，经过正确的推理，得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立的证明方法．它是从反面的角度思考问题的证明方法，即肯定题设而否定结论，从而导出矛盾推理而得，主要步骤是：否定结论→ 推导出矛盾→ 结论成立．
●数学思想主要包括函数与方程、数形结合、分类与整合、化归与转化、特殊与一般、有限与无限思想等．
（1）函数与方程的思想：函数思想就是利用运动变化的观点分析和研究具体问题中的数量关系，通过函数的形式把这种数量关系表示出来并加以研究，从而使问题获解．方程思想是从问题的数量关系入手，运用数学语言将问题中的条件转化为方程问题，然后通过解方程（组）使问题获解．函数与方程的思想既是函数思想与方程思想的体现，也是两种思想综合运用的体现，是研究变量与函数、相等与不等过程中的基本数学思想．
（2）数形结合的思想：数形结合的思想就是充分运用“数”的严谨和“形”的直观，将抽象的数学语言与直观的图形语言结合起来，使抽象思维和形象思维结合，通过图形的描述、代数的论证来研究和解决数学问题的一种数学思想方法．数形结合思想是数学的规律性与灵活性的有机结合，通过“以形助数，以数辅形”，变抽象思维为形象思维，使复杂问题简单化，抽象问题具体化，有助于把握数学问题的本质，有利于达到优化解题的目的．
（3）分类与整合的思想：分类与整合就是当问题所给的对象不能进行统一研究时，就需要对研究对象按某个标准分类，然后对每一类分别研究得出每一类的结论，最后综合各类结果得到整个问题的解答．分类与整合就是“化整为零，各个击破，再积零为整”的数学思想．
（4）化归与转化的思想：化归与转化的思想是在研究和解决数学问题时采用某种方式，借助某些数学知识，将问题进行等价转化，使抽象问题具体化，复杂问题简单化、未知问题已知化等，进而达到解决问题的数学思想．
（5）特殊与一般的思想：特殊与一般的思想就是通过对问题的特殊情形（如特殊函数、特殊数列、特殊点、特殊位置、特殊值、特殊方程等）的解决，寻求一般的、抽象的、运动变化的、不确定的等问题的解决思路和方法的数学思想．
（6）有限与无限的思想：有限与无限的思想就是通过对有限情形的研究和解决，使无限情形的问题得以解决；反之当积累了解决无限问题的经验之后，也可以将有限问题转化成无限问题来解决，即无限化有限，有限化无限的解决问题的数学思想．
对数学方法与数学思想的考查是对数学知识在更高层次上的抽象和概括的考查．考查时，必然要与数学知识相结合，从数学学科整体意义和思想含义上立意，注重通性通法，淡化特殊技巧，从而反映考生对数学方法与数学思想的掌握程度．
对数学思想与方法的考查是对数学知识在更高层次上的抽象和概括的考查．考查时，必然要与数学知识相结合，从数学学科整体意义和思想含义上立意，注重通性通法，淡化特殊技巧，从而反映考生对数学思想与数学方法的掌握程度．
函数与方程思想
例 2014四川卷文科第7题．
已知，，，，则下列等式一定成立的是
(A) (B) (C) (D)
立意：本题考查对数的概念，对数的运算性质，对数换底公式等基础知识，考查运算求解、推理论证能力．
评注：变形思路的选择．以教材必修1第82页复习参考题A组第3题为背景改编．
② 化归与转化思想
例 2016全国卷甲理科第16题．
若直线y＝kx＋b是曲线y＝lnx＋2的切线，也是曲线y＝ln(x＋1)的切线，则b＝_____.
立意：本题考查了求简单函数的导数、导数的几何意义等基本知识，考查了考生推理论证、运算求解等能力和创新意识以及化归与转化等数学思想．
解答：设直线y＝kx＋b与y＝lnx＋2，y＝ln(x＋1)相切的切点分别为，，则曲线y＝lnx+2在点的切线方程为；曲线y＝ln(x+1)在点的切线方程为，于是，，所以，则，所以，于是，答案为．
③ 数形结合思想
例 2013全国卷甲理科第21题．
已知函数f (x)=-ln(x+m).
(Ι) 设x=0是f (x)的极值点，求m，并讨论f (x)的单调性；
(Ⅱ)当m≤2时，证明f (x)>0.
立意：考查函数的性质、导数的简单运用等基础知识，考查运算求解、推理论证能力，考查数形结合思想．
解析：(Ⅰ)f '(x ) = - 
x = 0是f (x )的极值点 ? f '(0) = 0 ? m = 1.
此时，f '(x ) =  - 在(-1, +∞)上是增函数，又知f '(0) = 0，
所以x ∈(-1, 0)时, f '(x ) < 0；x ∈(0, +∞)时, f '(x ) > 0.
所以f (x )在(-1, 0)上是减函数，在(0, +∞) 上是增函数.
(Ⅱ)如图所示，当m ≤2时，x + 1≥x + m – 1,只需证明≥x + 1，且ln(x + m) ≤x + m- 1,再指出“=”不能成立即可.
设g (x ) = - (x +1)，g '(x ) = -1.x1 = 0是g (x )的极小值点，也是最小值点，即g (x ) ≥ g (0) = 0 ?≥x + 1.
设h (x ) = ln(x + m) - (x + m - 1), 则 = -1.
x2 = 1-m是h (x )的极大值点，也是最大值点，即
g (x ) ≤ h (1-m) = 0 ? ln(x + m) ≤x + m -1?≥ln(x + m) ?f (x ) ≥ 0，“=”成立的条件是：x1 = x2 且x + 1 = x + m - 1．
即m =1且m =2(矛盾)，所以f (x ) > 0．
评注：数形结合．转化化归．
④ 特殊与一般思想
例
如图，椭圆E：() 的离心率是，过点P(0，1)的动直线l与椭圆相交于A，B两点．当直线l平行于x轴时，直线l被椭圆E截得的线段长为．
(Ⅰ) 求椭圆E的方程；
(Ⅱ) 在平面直角坐标系xOy中，是否存在与点P不同的定点Q，使得恒成立？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
第(Ⅱ)小题解答：
当直线l与x轴平行时，设直线l与椭圆相交于C，D两点．
如果存在定点Q满足条件，则有，即．
所以Q点在y轴上，可设Q点的坐标为(0，)．
当直线l与x轴垂直时，设直线l与椭圆相交于M，N两点，
则M，N的坐标分别为，．
由，有，解得，或．
所以，若存在不同于点P的定点Q满足条件，则Q点坐标只可能为(0，2)．
下面证明：对任意直线l，均有．
当直线l的斜率不存在时，由上可知，结论成立．
当直线l的斜率存在时，可设直线l的方程为，A，B的坐标分别为
(，)，(，)．
联立 得．
其判别式，
所以，，．
因此．
易知，点B关于y轴对称的点的坐标为(，)．
又，
，
所以，即Q，A，三点共线．
所以．
故存在与P不同的定点Q(0，2)，使得恒成立．
深刻考查特殊与一般、数形结合思想．
2.3.4 个性品质要求
个性品质是指考生个体的情感、态度和价值观.
数学的高考，要求考生具有一定的数学视野，认识数学的科学价值和人文价值，崇尚数学的理性精神，形成审慎的思维习惯，体会数学的美学意义．
就考试而言，要求考生克服紧张情绪，以平和的心态参加考试，合理支配考试时间，以实事求是的科学态度解答试题，树立战胜困难的信心，体现锲而不舍的精神．
数学学科的系统性和严密性决定了数学知识之间内在联系的深刻性，包括各部分知识的纵向联系和横向联系．数学学科的考试要从本质上体现这些联系，进而通过分类、梳理、综合，构建数学试卷的框架结构．
数学学科的命题，在考查基础知识的基础上，注重对数学思想方法的考查，注重对数学能力的考查，展现数学的科学价值和人文价值，同时兼顾试题的基础性、综合性和现实性，重视试题间的层次性，合理调控综合程度，坚持多角度、多层次的考查，努力体现对考生综合数学素养和数学学习现状及潜能的考查．
链接：2015年普通高考考试大纲与考试说明
3 特点分析
近年的数学学科的命题，遵循《考试大纲》及《考试说明》要求，结合中学数学教学实际，体现课程改革理念，坚持平稳推进、适度创新，在充分考查基础知识、基本方法的同时，深化能力立意，突出对数学思维、数学思想方法和数学素养的考查．试题命制立足于学科核心和主干，融知识、能力和素养为一体，通过适度联系与综合等方式，在知识交汇处考查学生的数学视野、探究意识和学习潜能彰显了数学的科学价值和人文价值．
2016年全国卷数学试题坚持社会主义核心价值观，坚持立德树人，关注社会发展，关注考生社会责任的培养，体现时代特征，很好地实现了课程标准和考试大纲的内容和要求，体现能力立意，弘扬数学文化．试卷在总体结构、难易分布、考查内容等方面保持相对稳定，符合高中学生的认知特点和认知水平，并在基础性、思想性、创新性等方面做出了积极的探索．三套试题突出对创新应用能力的考查，深入考查考生的逻辑思维能力和实践能力，注重体现数学的理性价值和科学价值，注重对数学通性通法的考查，准确区分考生．
从考试结果看，试卷有利于科学选拔人才、有利于深化课程改革、有利于促进社会公平，对培养学生的创新精神、实践能力，提升学生核心素养的数学课程教学改革有积极的导向作用．试题难度设置总体符合高中学生数学学习现状，区分度、信度和效度的控制符合高考考试性质，有利于准确测试不同考生的学习水平．
3.1 立足优良传统，兼顾传承创新
立足优良传统，即所谓传承．首先是文化上的传承. 如2015年数学理科试卷甲卷第(8)题和乙卷第(6)题的立意都源于我国古代数学名著《九章算术》（《九章算术》是中华民族的优秀传统文化瑰宝，系统地总结了我国古代先民们的优秀数学思想）；2016年的秦九韶算法.试卷通过这些试题，向广大考生展现了中华民族的优秀传统文化，激发他们的民族自豪感．其次是在试卷整体难度、题型和试题的设问方面的传承. 近年来的数学试卷在提炼、题型、难度和试题的设问等方面与往年相比，均保持稳定.
在稳定的基础上适度创新，在继承的前提下兼顾创新，是命题不变的旋律．如2015年数学理科试卷的试题设计不落俗套，在问题情境和解题方法等方面都有所创新.甲卷第(3)题的背景是2004年至2013年我国二氧化硫年排放量，第(18)题的背景是调查用户对某公司产品的满意度.乙卷第(4)题的背景是学校的投篮测试，第(19)题的背景是公式的营销.甲卷的第(10)、(12)、(21)题，乙卷的第(10)、(11)、(16)题的解题方法均有所创新.
3.2 强化主干内容，突出基础联系
国务院《关于深化考试招生制度改革的实施意见》明确指出深化高考考试内容改革的方向，“依据高校人才选拔要求和国家课程标准，科学设计命题内容，增强基础性、综合性，着重考查学生独立思考和运用所学知识分析问题、解决问题的能力”．
近年的数学试卷重视基础知识的全面考查，所涉及的知识点覆盖了整个高中数学的所有知识板块，全面考查了考生在高中阶段所学的基本内容，并对主干知识进行了重点考查．例如，试题2015年的选择题、填空题涉及了集合、复数、统计、数列、函数及其导数、三视图、圆与直线关系、算法初步、立体几何、向量、线性规划、二项式公式等知识点；解答题重点考查了解三角形、概率与统计、圆锥曲线、导数及其应用；选答题考查了几何证明、坐标系与参数方程、不等式的证明．2016年高考数学试题所考查的知识点、数学思想与方法既有注重基础，又有创新，注重从知识交汇点处设计，突出对基础知识和基本能力的考查．
以主干内容对高中毕业生的数学基础和素养进行重点测试，重视对基础知识和通性通法的考查，能够有效保证试卷的内容效度，体现了数学本质．
例 2016全国卷甲理科第17题：
为等差数列的前n项和，且．记，其中表示不超过x的最大整数，如，.
(Ⅰ) 求；
(Ⅱ) 求数列的前1000项和.
立意：本题考查等差数列的概念、等差数列通项公式与前n项和等基础知识，考查化归与转化数学思想以及运算求解能力．
解答：(Ⅰ) 设的公差为d，据已知有，解得．
所以数列的通项公式．
，，．
(Ⅱ) 因为
所以数列的前1000项和为．
本题引入新概念取整函数[x]，与等差数列的基础知识有机相结合，考查考生阅读数学素材的能力．题目中以“举例说明”的方式，帮助考生理解新概念[x]．第（Ⅰ）问，要求考生求出3个具体项的值，既是对考生理解、应用新概念[x]的考查，也是为考生解决第（Ⅱ）问时在知识、方法上做一点提示与铺垫，同时也是要求考生将习得的解决问题的经验，有效迁移到更为深入或更为复杂的问题情境中去．在求bn=f (n) 的过程中，确定分段函数的“分段”节点，n=10，n=100，n=1000不仅是对运算求解能力的考查，更主要的是对推理能力和算理的考查．试题难度不大，但综合地考查了考生的基础知识、基本技能以及基本活动经验．
一道数学试题往往考查多种能力、多种思想方法，并蕴含数学文化．例如全国Ⅲ卷理科第9题给出了斜四棱柱的“三视图”，要求考生由“三视图”构造出相应的“几何体”，在考查基本概念的同时，重点考查了空间想象能力和逻辑推理能力．又如全国Ⅱ卷理科第（21）题考查了化归与转化、分类讨论的思想方法，揭示了如何利用辅助函数研究函数零点性质的方法．再如全国Ⅱ卷第8题取材于我国南宋时期数学家秦九韶所著的数学名著《数书九章》中研究的“多项式值的算法”，将中国古代数学文化融入到试题中，引导考生传承中华优秀传统文化、弘扬爱国主义精神．
3.3 深化能力考查，突出思想方法
数学是一门思维的科学，思维能力是数学能力的核心．试题中的思维量体现了对考生思维能力的要求，思维强度低的试题要求考生对已知条件进行观察、比较、分析、综合、抽象与概括；思维强度高的试题要求考生能用演绎、归纳和类比进行推理，并能够准确、清晰、有条理地进行表述．
近年的数学试题坚持以能力立意设计，在多角度、多层次考查数学能力的基础上，特别突出对数学思维的全面、深刻考查，对数学思想的考查深入、充分．有的试题在考查应用意识、运算求解能力的同时，还考查观察、估算等直觉思维；有的试题考查阅读理解、自主学习、数学的理性思考和创新意识，从不同角度考查数学思维；有的试题要求考生具备高水平的抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力和思维的深刻性，全面考查多种数学思想与方法．
如2014年的数学试题以能力立意，坚持多角度、多层次地考查考生的数学能力．理科甲卷第(1)、(2)、(8)、(9)、(13)、(20)题，理科乙卷第(1)、(2)、(4)、(5)、(13)、(17)题考查了运算求解能力；理科甲卷第(4)、(6)、(18)题，理科乙卷第(12)、(15)、(19)题考查了空间想象能力；理科甲卷第(3)、(4)、(7)、(10)、(14)、(15)、(17)题，理科乙卷第(3)、(7)、(10)、(11)、(14)、(16)等题考查了逻辑思维能力；理科甲卷第(19)题，理科乙卷第(18)题考查了数据处理能力．在全面考查的同时，突出对数学思想方法的考查．如理科甲卷第(12)题以三角函数的图象及解析几何的有关知识为背景，考查了考生分析问题和解决问题的能力；理科甲卷第(15)题考查了函数与方程思想；理科乙卷第(6)、(9)、(11)题考查了数形结合思想；理科甲卷第(21)题考查了分类与整合的思想．
2015年数学理科试卷注重对考生能力的考查.甲卷的第(6)、(9)、(19)题考查了空间想象能力；第(3)、(10)题考查了抽象概括能力；第(5)、(8)、(15)、(16)、(20)、(21)题考查了推理论证能力；第(1)、(2)、(4)、(13)、(14)、(24)题考查了运算求解能力；第(3)、(18)题考查了数据处理能力.乙卷的第(6)、(11)、(18)题考查了空间想象能力；第(3)、(9)、(12)题考查了抽象概括能力；第(18)、(20)、(21)、(22)、(24)题考查了推理论证能力；第(1)、(7)、(13)、(15)、(17)题考查了运算求解能力；第(9)、(19)题考查了数据处理能力.与此同时，也加强了对高中教材中的通则通法的考查.例如甲卷第(1)、(3)、(14)、(21)、(24)题，乙卷的第(5)、(15)、(24)题考查了不等式及不等式组的求解和证明方法；例如甲卷第(7)、(10)、(11)、(13)、(17)、(22)题，乙卷第(5)、(7)、(14)、(15)、(16)、(20)题考查了数形结合的方法；甲卷第(12)、(21)题，乙卷第(20)、(21)题考查了函数求导的方法.
例 2015全国卷乙理科第16题．
在平面四边形中，，，则的取值范围是________．
3.4 注重实践应用，强调数学素养
数学是研究现实世界数量关系和空间形式的科学．数学与人类生活和社会发展紧密关联，数学源于生活与实践，数学知识是解决实际问题的有力工具，数学能力是每个考生应具备的数学素养．近年高考数学试题紧密结合社会实际和考生的现实生活，体现了数学在解决实际问题中的重要作用和应用价值，体现了高考改革中加强应用性的特点．
如2014年数学试题涉及监测空气质量，参加公益活动等背景，这些试题接地气，贴近考生现实生活，让考生深切感受到数学就在我们身边，生活中充满了数学气息．同时，命题中还重视现实社会中的热点问题，考查考生应用数学工具和方法解决实际问题的能力．例如理科甲卷第(19)题以“农村居民家庭人均纯收入” 这一社会热点问题为背景命制，要求考生应用统计与概率的方法对2015年的收入进行预测，使考生领会数学在实践中的应用价值．
2016年的试题涉及公司班车、志愿者活动、旅游城市、续保人的保费、高科技企业产品利润、企业的成本控制、生活垃圾无害化处理量等背景，体现了数学与社会的密切联系，展现了数学在解决实际问题中的巨大威力．试题情景丰富，贴近考生，贴近生活，具有浓厚的时代气息，引导考生关注社会发展、关注数学的应用价值．
例 2016全国卷丙理科第4题．
某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中月平均最高气温和平均最低气温的雷达图．图中A点表示十月的平均最高气温约为15℃，B点表示四月的平均最低气温约为5℃．下面叙述不正确的是
(A) 各月的平均最低气温都在0℃以上
(B) 七月的平均温差比一月的平均温差大
(C) 三月和十一月的平均最高气温基本相同
(D) 平均气温高于20℃的月份有5个
立意：本题考查了统计图的特点，并从中提取基本的数据特征，考查了利用统计的方法解决一些简单实际问题，考查了考生的数据处理能力．
解答：由图组知0℃在虚线框内，则各月的平均气温都在0℃以上，(D)正确；右图在七月的平均温差大于7.5℃，一月的平均温差小于7.5℃，则七月的平均温差比一月的平均温差大，(B)正确；三月和十一月的平均最高气温基本相同，(C)正确；由图可知，平均气温高于20℃的月份有2个或3个，(D)不正确，答案为(D)．
本题引用新颖的统计图，考查考生学习新知识、解决新问题的能力．试题选取考生熟知的实际生活问题，要求考生读懂该统计图并回答问题，以考查考生对新知识的学习和理解能力．试题通过给出课本中没有出现过的统计图——雷达图，要求考生读懂统计图的内容，并在此基础上，对雷达图提供的信息进行加工、整理，分析、比较题目提供各种结论，得出正确的判断．
例 2016全国卷甲理科第18题．
某险种的基本保费为a（单位：元），继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人本年度的保费与其上年度的出险次数的关联如下：
上年度出险次数
0
1
2
3
4
≥5
保 费
0.85a
a
1.25a
1.5a
1.75a
2a
设该险种一续保人一年内出险次数与相应概率如下：
一年内出险次数
0
1
2
3
4
≥5
概 率
0.30
0.15
0.20
0.20
0.10
0. 05
(Ⅰ) 求一续保人本年度的保费高于基本保费的概率；
(Ⅱ) 若一续保人本年度的保费高于基本保费，求其保费比基本保费高出60%的概率；
(Ⅲ) 求续保人本年度的平均保费与基本保费的比值.
立意：本题主要考查随机事件的概率、互斥事件、条件概率、随机变量的分布列和数学期望等基础知识，考查运算求解能力、应用意识，考查运用概率与统计的知识与方法分析和解决实际问题的能力．
解答：(Ⅰ) 设A表示事件：“一续保人本年度的保费高于基本保费”，则事件A发生当且仅当一年内出险的次数大于1，故
．
(Ⅱ) 设B表示事件：“一续保人本年度的保费比基本保费高出60%”，则事件B发生当且仅当一年内出险的次数大于3，故．
又，故
．
因此所求的概率为．
(Ⅲ) 记续保人本年度的保费为X，则X的分布列为
X
0.85a
a
1.25a
1.5a
1.75a
2a
P
0.30
0.15
0.20
0.20
0.10
0. 05
EX＝．
因此续保人本年度的平均保费与基本保费的比值为1.23．
本题以日常生活中车辆保险问题为原型背景，精心编制与设问．试题第Ⅰ问设计为求一较为复杂的事件概率，考查考生处理较为实际问题的能力以及对事件的关系与运算、概率性质的理解与掌握；第Ⅱ问设计为求条件概率的问题，考查考生对条件概率概念的理解与掌握以及计算能力；第Ⅲ问设计为数学期望的问题，考查考生对随机变量数学期望的理解及运算求解能力．本题具有较强实际应用背景，考查了统计与概率的基础知识、基本思想和方法，考查考生对事件的关系、运算的理解，利用简单的事件表达较为复杂的事件的能力；对概率运算性质的理解与掌握，对条件概率、数学期望的理解和运算求解能力．本题考查了考生综合运用所学知识解决实际问题的能力，用时也感悟到数学的应用之美．
高考数学试题体现数学的核心素养（包括数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算和数据分析），对深化课程改革、引领数学教学起到积极的导向作用．提升考生的核心素养，必须关注立德树人，关注提升学习的能力，关注学生走向社会在未来发展中所需的知识和能力．在2016年的数学试卷中，注重创新题型设计，综合、灵活地考查数学素养．试题的问题情境更加丰富，设问方式更加新颖，既有利用应用生活情境、素材和语言考查考生逻辑思维能力的逻辑题，也有利用数学原理说明所采用方法合理的说明题，还有利用数学知识建立模型解决实际问题的应用题．
例 2016全国卷乙理科第12题．
已知函数，为的零点，为图象的对称轴，且在单调，则的最大值为
(A) 11 (B) 9 (C) 8 (D) 7
立意：本题考查了的图象、正弦函数的图象和性质、函数的零点等基本知识，考查了化归与转化、数形结合等数学思想以及推理论证、运算求解、抽象概括等数学能力和创新意识．
解答：由题，即，所以，又因为在单调，所以，即，由此的最大值为9.答案为(B)．
本题的题干设计，给出了正弦型三角函数的零点、对称轴及一个单调区间，考生要建立正弦型三角函数各种性质之间的关联．在建立关联的过程中，要把正弦型三角函数的性质用图象直观地表示出来．考生首先需要认识到正弦型三角函数的对称轴对应的自变量取值就是正弦型三角函数的最值点，进而利用已知的y =sinx 中零点与最值点的几何位置关系，推广到一般正弦型函数中零点与最值点的几何位置关系，把几何位置关系用等式关系表示，再根据几何直观“正弦型三角函数的任意一个单调区间，都应该在半个周期内”，把这个结果用不等式表示出来，就可以得到ω 的大致范围．
例 2016全国卷甲理科第16题．
某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料．生产一件产品A需要甲材料1.5kg，乙材料1kg，用5个工时；生产一件产品B需要甲材料0.5kg，乙材料0.3kg，用3个工时，生产一件产品A的利润为2100元，生产一件产品B的利润为900元．该企业现有甲材料150kg，乙材料90kg，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A、产品B的利润之和的最大值为________元．
立意：本题考查了二元一次不等式组与简单的线性规划问题，会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，考查了化归与转化、抽象概括、运算求解等能力．
解答：设生产产品A、产品B分别为x、y件，利润之和为z元，
那么即目标函数过点时，z取得最大值21600，答案为21600．
本题是带有实际背景的线性规划问题，题目的背景带有广泛的现实意义，即企业的生产安排使得利润最大．为了问题的简单化，本题仅以企业的利润为生产安排的唯一决策依据．假设生产产品A和产品B的数量分别为x 和y，本题除明显给出关于x 和y 的约束条件（甲材料和乙材料的数量以及工时限制）之外，还有自然约束条件x ≥0 和y ≥0 ．通过确定可行区域，计算目标函数z =2100x +900y 在可行区域边界所对应的四个交点处的函数值，即可以求得目标函数的最大值．
3.5 注重区分功能，突出考试性质
高考数学是为高校选拔合格的新生，必须测试其必备的数学基础，也要测试考生已有的和潜在的学习能力．近年的数学试卷从学科整体和思维价值的高度设置问题情境，注重知识间的内在联系与交汇．一些试题知识、方法、思维的综合性强并且能力要求高，全面考查数学思想方法，解答这些问题，需要具有较强的分析问题、探究问题和解决问题的能力，具有一定的难度，对考生思维的灵活性、批判性、创造性提出了较高要求，有利于更好地区分不同学习水平层次的考生，更有效地体现高考考试性质．
如2015年数学试卷的解答题与选答题均分步设问，合理铺垫，由易入难，逐步推进，考查由浅入深，重点突出，既能较好地达到考查目的，也能兼顾不同层次的考生，有利于选拔人才．同样第，2016年高考数学试题注重体现数学的本质，在关注学生未来发展、关注选拔功能方面进行了精心设计．试题延续了由易到难的排列顺序，各种题型相互配合，全面考查考生的数学素养．多数试题设置了2~3个问题，第1问较容易，后面的问题则对考生能力要求较高，第1问为后面几问构建基础、做好铺垫，体现入手容易深入难的特点，增强考生信心，让考生在考场上以平和的心态进入最佳状态，同时为能力强的考生提供发挥的空间，为高水平大学选拔新生提供有效的依据．
例 2016全国卷丙理科第12题．
定义“规范01数列”{an}如下：{an}共有2m项，其中m项为0，m项为1，且对任意，中0的个数不少于1的个数．若m＝4，则不同的“规范01数列”共有
(A) 18个 (B) 16个 (C) 14个 (D) 12个
立意：本题考查分类加法计数原理和分步乘法计数原理等基本知识，考查了考生化归与转化的数学思想以及抽象概括的能力和创新意识．
解答：由题意知，，列出该数列，如下表
a1
a2
a3
a4
a5
a6
a7
a8
0
0
0
0
1
1
1
1
0
0
0
1
0
1
1
1
0
0
0
1
1
0
1
1
0
0
0
1
1
1
0
1
0
0
1
0
0
1
1
1
0
0
1
0
1
0
1
1
0
0
1
0
1
1
0
1
0
0
1
1
0
0
1
1
0
0
1
1
0
1
0
1
0
1
0
0
0
1
1
1
0
1
0
0
1
0
1
1
0
1
0
0
1
1
0
1
0
1
0
1
0
0
1
1
0
1
0
1
0
1
0
1
则不同的“规范01数列”共有14个，答案为(C)
本题通过给出“规范01数列”这一新概念，既考查考生对新知识的认知能力，也考查考生在遇到陌生、复杂的问题时，所具有的分析问题和解决问题的能力．试题以组合数学中“卡塔兰数”这一著名数列为背景，设计巧妙，避开解题套路与现成的公式，深入考查了逻辑推理能力和创新能力，对不同层次的考生特别是高水平考生进行了区分．
例 2016全国卷乙理科第21题．
已知函数有两个零点．
(Ⅰ) 求a的取值范围；
(Ⅱ) 设，是的两个零点，证明：．
立意：本题主要考查导数的运算、导数在研究函数中的应用、函数的零点等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、创新意识，考查函数与方程、数形结合、分类与整合、化归与转化等数学思想．
解答：(Ⅰ) ．
(ⅰ) 设，则，只有一个零点．
(ⅱ) 设，则当时，；当时，．
所以在单调递减，在单调递增．
又，，取b满足且，则
，
故存在两个零点．
(ⅲ) 设，由得或．
若，则，故当时，，因此在单调递增．又当时，，所以不存在两个零点．
若，则，故当时，；当时，．因此在单调递减，在单调递增．又当时，，所以不存在两个零点．
综上，a的取值范围为．
(Ⅱ) 不妨设，由(Ⅰ)知，，，在单调递减，所以等价于，即．
由于，而，
所以．
设，则．
所以当时，，而，故当时，．
从而，故．
本题将函数导数、函数零点与不等式知识结合，考查函数零点的概念，考查导数公式和导数运算法则，考查考生灵活运用导数工具分析和解决问题的能力，综合考查考生的逻辑推理能力、运算求解能力和推理论证能力以及分类讨论的思想．本题分步设问，第（Ⅰ）问讨论函数 f (x)存在两个零点的条件，为第（Ⅱ）问作铺垫，逐步推进．第（Ⅱ）问将函数与不等式有机结合，为考生解答提供广阔的想象空间．试题的设置需要考生打破常规思路，利用化归与转化的思想，将x1+x2< 2 转化为f(x1) >f(2-x2)，进而通过构造辅助函数、研究辅助函数的单调性得到问题的证明．本题由浅入深，对计算难度、思维深度的要求逐步提高，考查层次分明，区分度较高，使考生充分展示理性思维的广度和深度，突出选拔功能．
总之，近年（尤其是2016年）的数学试题很好地体现了“立德树人”的理念，关注考生的社会责任感、创新能力和实践能力；很好体现了数学的科学性、应用性和创造性；体现了对“核心素养”的考查，有效区分了各类考生，有利于高校选拔优秀人才，对引领中学数学教学改革发挥了积极的作用．
4 异同对比
数学学科2006年至2016年间的四川自主命题，在体现数学学科高考的数学价值、评价功能和教学价值等方面，形成了自己的特色，得到教育部考试中心、高校和中学数学界的广泛肯定．四川省卷在继承传统的基础上，贯彻数学学科命题指导思想，落实命题原则，设置合理的难度、区分度，有效体现高考的考试性质，依据考试大纲、学科本质命制，与全国卷的命题共性突出，体现出相同的特点和规律．
4.1 探寻共性，继承传统
4.1.1 遵循考纲，注重基础
试卷设计紧扣考试大纲，贴近教学实际，从考生熟悉的基础知识入手，多数题目都属于基本试题，无论是必修内容，还是选修内容，许多题目都注重对数学基础的考查．
（对基础、教材的理解）
4.1.2 全面考查，注重联系
试卷全面考查了考试大纲所规定的考试内容，具有较好的覆盖面．集合、复数、常用逻辑用语、线性规划、向量、算法等内容在选择题、填空题中得到了有效的考查；三角函数（数列）、概率统计、立体几何、解析几何、函数与导数等主干知识在解答题中得到了考查．选修4系列的内容以选做题的形式出现，体现了新课程的选择性．
坚持在知识交汇处设计试题的传统，注重考查知识间的内在联系，反映数学学科的综合性．
（对覆盖面、冷热点的理解）
4.1.3 能力立意，注重算理
试题设计突出能力立意，全面考查学生的数学能力．运算能力在试卷中的考查比重较大，但考查重点不是单纯计算，而是注重对算理的考查．
（多种能力的全面考查、运算能力与推理论证能力，运算能力的考查）
4.1.4 强化思想，注重应用
突出考查对图形、图表的运用水平，注重对数学思想方法的考查．试题保持对应用意识的考查力度，问题背景贴近实际生活，具有现实意义，强调培养学生应用意识、提升学生解决实际问题的能力，体现了新课程注重情感态度与价值观，过程、实践与应用的教学理念．
（应用问题的考查与试题设计、数学思想的考查设计）
4.2 思考差异，明确方向
4.2.1 试卷结构相互有异
卷别
选择题
填空题
解答题
四川卷
共10题，每题5分，满分50分，均为必做
共5题，每题5分，满分25分，均为必做
共6题，前4题每题12分，第5题13分，第6题14分，满分75分，均为必做
全国卷
共12题，每题5分，满分60分，均为必做
共4题，每题5分，满分20分，均为必做
共6题，前5题每题12分，第6题10分，满分70分．其中前5题为必做题，第6题为选做题（从平面几何证明、坐标系与参数方程、不等式证明3题中选做1题）
4.2.2 内容范围覆盖不同
全国卷
四川卷
理科：必修1-必修5，选修2-1,2-2,2-3，选修4-1,4-4,4-5（三选一考试）
文科：必修1-必修5，选修1-1,1-2,选修4-1,4-4,4-5（三选一考试）
理科：必修1-5，选修2-1,2-2,2-3（选修2-2中，不含“导数及其应用”中“（4）生活中的优化问题举例”、“（5）定积分与微积分基本定理”及“（6）数学文化”及“推理与证明”；选修2-3中，不含“统计与概率”（1）中“④通过实例，理解取有限值的随机变量方差的概念，能计算随机变量的方差，并能解决一些实际问题”、“⑤通过实际问题，借助直观，认识正态分布的特点及其所表示的意义”及（2）“统计案例”．上述内容总课时数26-36，其中推理与证明10课时内容未直接上，但考试中有所涉及）
文科：必修1-必修5，选修1-1,1-2（选修1-1中，不含“导数及其应用”中的“（4）生活中的优化问题举例”；选修1-2中，不含“统计案例”．上述内容总课时数约11课时．）
4.2.3 难度设置层次有别
2013-2015年四川卷文科数据
题型
题号
平均分
难度系数
区分度
2013
2014
2015
2013
2014
2015
2013
2014
2015
全卷
69.100
68.425
66.894
0.461
0.456
0.446
0.580
0.500
0.500
选择题
32.230
32.599
29.192
0.650
0.652
0.584
0.500
0.418
0.392
1
4.660
4.426
4.369
0.930
0.885
0.874
0.210
0.375
0.329
2
4.390
3.961
4.186
0.880
0.792
0.837
0.320
0.296
0.464
3
3.290
3.660
4.578
0.660
0.732
0.916
0.670
0.628
0.169
4
3.540
3.712
3.013
0.710
0.742
0.603
0.500
0.630
0.684
5
3.180
3.977
2.724
0.640
0.795
0.545
0.820
0.438
0.623
6
3.290
3.789
3.416
0.660
0.758
0.683
0.740
0.492
0.690
7
3.230
2.386
2.730
0.650
0.477
0.546
0.560
0.514
0.560
8
2.860
3.143
2.562
0.570
0.629
0.512
0.520
0.488
0.478
9
2.890
2.354
0.356
0.580
0.471
0.071
0.500
0.250
-0.015
10
0.900
1.193
1.258
0.180
0.239
0.252
0.120
0.071
-0.060
填空题
11.370
12.069
9.133
0.460
0.483
0.365
0.680
0.589
0.580
11
2.980
3.085
2.993
0.600
0.617
0.599
0.790
0.864
0.853
12
3.360
3.547
3.108
0.670
0.709
0.622
0.570
0.752
0.817
13
2.020
2.662
1.752
0.400
0.532
0.350
0.860
0.733
0.710
14
2.110
2.136
0.821
0.420
0.427
0.164
0.850
0.535
0.432
15
0.910
0.639
0.460
0.180
0.128
0.092
0.310
0.061
0.087
解答题
25.500
23.757
28.569
0.340
0.317
0.381
0.600
0.529
0.549
16
6.480
7.957
5.971
0.540
0.663
0.498
0.920
0.637
0.930
17
5.090
4.233
7.225
0.420
0.353
0.602
0.890
0.698
0.398
18
7.540
5.082
7.362
0.630
0.424
0.614
0.650
0.826
0.589
19
3.090
2.611
3.304
0.260
0.218
0.275
0.560
0.505
0.729
20
1.770
2.314
3.342
0.140
0.178
0.257
0.350
0.332
0.476
21
1.540
1.560
1.365
0.110
0.111
0.097
0.290
0.240
0.230
2013-2015年四川卷理科数据
题型
题号
平均分
难度系数
区分度
2013
2014
2015
2013
2014
2015
2013
2014
2015
全卷
93.970
81.329
88.183
0.626
0.542
0.588
0.460
0.430
0.410
选择题
36.610
36.366
34.237
0.730
0.727
0.685
0.320
0.321
0.379
1
4.740
4.779
4.488
0.950
0.956
0.898
0.140
0.123
0.199
2
4.230
4.569
4.500
0.850
0.914
0.900
0.390
0.273
0.301
3
4.880
4.058
4.343
0.980
0.812
0.869
0.070
0.441
0.380
4
4.120
4.524
3.686
0.830
0.905
0.737
0.390
0.210
0.591
5
4.240
4.518
3.723
0.850
0.904
0.745
0.430
0.245
0.462
6
4.290
4.252
3.690
0.860
0.850
0.738
0.370
0.394
0.514
7
4.240
3.764
3.620
0.850
0.753
0.724
0.290
0.521
0.550
8
3.070
2.553
3.410
0.610
0.511
0.682
0.600
0.337
0.493
9
2.140
1.704
1.557
0.430
0.341
0.311
0.360
0.490
0.172
10
0.670
1.644
1.218
0.130
0.329
0.244
0.150
0.176
0.133
填空题
15.750
12.394
13.272
0.630
0.496
0.531
0.500
0.371
0.449
11
4.560
4.370
4.190
0.910
0.874
0.838
0.300
0.316
0.455
12
4.130
3.870
3.968
0.830
0.774
0.794
0.350
0.554
0.518
13
3.580
2.777
3.242
0.720
0.555
0.648
0.640
0.603
0.629
14
1.870
0.468
1.142
0.370
0.094
0.228
0.770
0.236
0.482
15
1.620
0.909
0.730
0.320
0.182
0.146
0.440
0.148
0.159
解答题
41.610
32.569
40.674
0.560
0.434
0.542
0.530
0.525
0.422
16
8.890
7.192
9.435
0.740
0.599
0.786
0.430
0.532
0.613
17
8.540
7.654
9.601
0.710
0.638
0.800
0.780
0.586
0.498
18
8.700
6.348
10.737
0.730
0.529
0.895
0.560
0.685
0.296
19
7.990
5.296
3.838
0.670
0.441
0.320
0.650
0.721
0.529
20
4.370
3.350
5.094
0.340
0.258
0.392
0.430
0.387
0.354
21
3.120
2.729
1.968
0.220
0.195
0.141
0.380
0.288
0.270
2013年普通高考数学试卷统计表（课标甲卷·理科）
科目
平均分
难度
标准差
alf信度
理科
68.24
0.455
28.78
0.8580
2013年普通高考数学分数分布直方图（课标甲卷·理科）
2013年普通高考数学试卷统计表（课标乙卷·理科）
科目
平均分
难度
标准差
alf信度
理科
78.21
0.5521
27.31
0.8664
2013年普通高考数学分数分布直方图（课标乙卷·理科）
2013年普通高考数学试卷统计表（课标甲卷·理科）
题号
一
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
分值
60
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
难度
0.658
0.883
0.896
0.859
0.664
0.736
0.593
0.378
0.6787
0.788
0.526
0.474
0.408
区分度
0.857
0.397
0.362
0.428
0.426
0.523
0.384
0.458
0.461
0.430
0.361
0.266
0.145
题号
二
13
14
15
16
三
17
18
19
20
21
22
选做
23
选做
24
选做
分值
20
5
5
5
5
70
12
12
12
12
12
10
10
10
难度
0.337
0.482
0.532
0.271
0.064
0.326
0.516
0.487
0.297
0.140
0.192
0.225
0.373
0.147
区分度
0.794
0.552
0.587
0.594
0.363
0.917
0.766
0.762
0.684
0.638
0.699
2013年普通高考数学试卷统计表（课标乙卷·理科）
题号
一
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
分值
60
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
难度
0.731
0.872
0.703
0.928
0.911
0.965
0.786
0.793
0.718
0.700
0.589
0.561
0.245
区分度
0.879
0.456
0.467
0.206
0.447
0.241
0.591
0.405
0.392
0.423
0.524
0.497
0.245
题号
二
13
14
15
16
三
17
18
19
20
21
22
选做
23
选做
24
选做
分值
20
5
5
5
5
70
12
12
12
12
12
10
10
10
难度
0.381
0.641
0.622
0.246
0.016
0.360
0.463
0.524
0.405
0.150
0.260
0.404
0.632
0.447
区分度
0.788
0.542
0.631
0.561
0.111
0.916
0.663
0.743
0.725
0.649
0.677
2014年普通高考数学试卷统计表（课标甲卷·理科）
科目
平均分
难度
标准差
alf信度
理科
68.86
0.459
29.33
0.8758
2014年普通高考数学分数分布直方图（课标甲卷·理科）
2014年普通高考数学试卷统计表（课标乙卷·理科）
科目
平均分
难度
标准差
alf信度
理科
84.33
0.562
30.93
0.8896
2014年普通高考数学分数分布直方图（课标乙卷·理科）
2014年普通高考数学试卷统计表（课标甲卷·理科）
题号
一
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
分值
60
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
难度
0.616
0.945
0.597
0.749
0.472
0.382
0.659
0.783
0.660
0.798
0.262
0.670
0.418
区分度
0.894
0.321
0.437
0.553
0.362
0.461
0.379
0.394
0.627
0.369
0.389
0.522
0.211
题号
二
13
14
15
16
三
17
18
19
20
21
22
选做
23
选做
24
选做
分值
20
5
5
5
5
70
12
12
12
12
12
10
10
10
难度
0.506
0.719
0.603
0.409
0.293
0.311
0.299
0.530
0.311
0.185
0.151
0.125
0.462
0.430
区分度
0.795
0.558
0.525
0.616
0.410
0.923
0.762
0.782
0.673
0.695
0.655
2014年普通高考数学试卷统计表（课标乙卷·理科）
题号
一
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
分值
60
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
难度
0.717
0.842
0.853
0.820
0.687
0.779
0.682
0.931
0.737
0.700
0.679
0.394
0.505
区分度
0.906
0.355
0.462
0.446
0.619
0.471
0.486
0.338
0.441
0.528
0.583
0.340
0.452
题号
二
13
14
15
16
三
17
18
19
20
21
22
选做
23
选做
24
选做
分值
20
5
5
5
5
70
12
12
12
12
12
10
10
10
难度
0.667
0.552
0.963
0.688
0.465
0.399
0.455
0.432
0.428
0.433
0.244
0.273
0.500
0.230
区分度
0.786
0.632
0.146
0.553
0.579
0.937
0.751
0.741
0.730
0.743
0.743
2015年普通高考数学试卷统计表（课标甲卷·理科）
科目
平均分
难度
标准差
alf信度
理科
77.44
0.516
28.28
0.8700
2015年普通高考数学分数分布直方图（课标甲卷·理科）
2015年普通高考数学试卷统计表（课标乙卷·理科）
科目
平均分
难度
标准差
alf信度
理科
81.2
0.541
31.38
0.8839
2015年普通高考数学分数分布直方图（课标乙卷·理科）
2015年普通高考数学试卷统计表（课标甲卷·理科）
题号
一
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
分值
60
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
难度
0.698
0.920
0.939
0.782
0.834
0.801
0.620
0.688
0.935
0.685
0.439
0.365
0.369
区分度
0.869
0.338
0.373
0.390
0.382
0.494
0.446
0.451
0.332
0.417
0.428
0.316
0.472
题号
二
13
14
15
16
三
17
18
19
20
21
22
选做
23
选做
24
选做
分值
20
5
5
5
5
70
12
12
12
12
12
10
10
10
难度
0.510
0.724
0.731
0.433
0.154
0.362
0.419
0.587
0.501
0.145
0.164
0.384
0.415
0.455
区分度
0.803
0.567
0.540
0.542
0.520
0.928
0.766
0.724
0.748
0.679
0.679
　
　
　
2015年普通高考数学试卷统计表（课标乙卷·理科）
题号
一
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
分值
60
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
难度
0.717
0.844
0.860
0.922
0.679
0.576
0.682
0.725
0.698
0.818
0.634
0.845
0.317
区分度
0.896
0.501
0.519
0.328
0.499
0.574
0.414
0.582
0.571
0.310
0.512
0.433
0.204
题号
二
13
14
15
16
三
17
18
19
20
21
22
选做
23
选做
24
选做
分值
20
5
5
5
5
70
12
12
12
12
12
10
10
10
难度
0.509
0.593
0.534
0.866
0.043
0.400
0.624
0.332
0.349
0.306
0.192
0.457
0.825
0.480
区分度
0.781
0.548
0.643
0.438
0.254
0.943
0.797
0.693
0.684
0.778
0.684
　
　
　
2013-2015四川卷与全国卷平均分难度系数统计表
理 科
年份
四川卷平均分
四川卷难度
全国卷平均分
全国卷难度
2013年
94.17
0.6278
Ⅰ卷78.21
Ⅱ卷68.24
Ⅰ卷0.521
Ⅱ卷0.455
2014年
81.54
0.5436
Ⅰ卷84.33
Ⅱ卷68.86
Ⅰ卷0.5622
Ⅱ卷0.4591
2015年
88.38
0.5892
Ⅰ卷81.15
Ⅱ卷77.40
Ⅰ卷0.541
Ⅱ卷0.516
文 科
年份
四川卷平均分
四川卷难度
全国卷平均分
全国卷难度
2013年
69.19
0.4613
Ⅰ卷69.67
Ⅱ卷49.59
Ⅰ卷0.464
Ⅱ卷0.331
2014年
68.49
0.4566
Ⅰ卷69.76
Ⅱ卷61.11
Ⅰ卷0.4649
Ⅱ卷0.4074
2015年
67.02
0.4468
Ⅰ卷66.15
Ⅱ卷61.80
Ⅰ卷0.441
Ⅱ卷0.412
说明：四川卷为全员数据，全国卷为抽样数据．
2013-2015年不同题型难度统计表
2013
四川卷
全国甲
全国乙
2014
四川卷
全国甲
全国乙
2015
四川卷
全国甲
全国乙
0.887
0.772
0.861
0.89
0.634
0.777
0.815
0.816
0.761
1-6
4.417
1-6
4.45
1-6
4.072
0.73
0.593
0.7
0.632
0.626
0.762
0.703
0.687
0.719
7-8(7-10)
3.655
7-8(7-10)
3.159
7-8(7-10)
3.515
0.28
0.441
0.403
0.335
0.544
0.45
0.278
0.367
0.581
9-10(11-12)
1.405
9-10(11-12)
1.674
9-10(11-12)
1.388
0.82
0.507
0.632
0.734
0.661
0.758
0.76
0.728
0.564
11-13(13-14)
4.09
11-13(13-14)
3.672
11-13(13-14)
3.8
0.345
0.168
0.131
0.138
0.351
0.577
0.187
0.294
0.455
14-15(15-16)
1.745
14-15(15-16)
0.689
14-15(15-16)
0.936
0.725
0.502
0.494
0.619
0.415
0.444
0.793
0.503
0.478
16-17(17-18)
8.715
16-17(17-18)
7.423
16-17(17-18)
9.518
0.7
0.297
0.405
0.485
0.311
0.428
0.608
0.501
0.349
18-19(19)
8.345
18-19(19)
5.822
18-19(19)
7.288
0.288
0.166
0.205
0.234
0.168
0.339
0.272
0.155
0.249
20-21
3.745
20-21
3.04
20-21
3.531
22
0.225
0.404
22
0.125
0.273
22
0.384
0.457
23
0.373
0.632
23
0.462
0.5
23
0.415
0.825
24
0.147
0.447
24
0.43
0.23
24
0.455
0.48
由此可以简单得出在难度设置方面体现的基本特点：
四川卷的全卷难度与全国卷难度总体相当．
② 根据四川民族众多、教育发展不均衡的现状，四川卷试题的起点难度低于全国卷，容易题相对简单，中等难度试题略少于全国卷．
由于四川招生比例不大，尤其是一本指标很低，在难度设计上，较难题的难度较全国卷更大．
不同体型的难度设置方式略有差别．
4.2.4 内容设计各有千秋
① 教材挖掘．
② 材料选择．
应用考查．
5 教学建议
5.1 基本理念
5.1.1 关注改革、促进发展
关注课程改革的深化，关注数学教学的发展，加强对知识的理解和应用的教学，在教学中强化学科特点，注意科学性、严谨性、抽象性、探究性、综合性和应用性，培养考生将知识、方法迁移到不同情境的能力．
5.1.2 立足基础、挖掘背景
在教学中重视教材、深刻理解教材，贯彻课程改革理念，注重支撑学科体系的主干与核心内容，重视通性通法，培养数学素养，回归数学本质．
5.1.3 依据学生、切合思维
依据学生合理选择素材，体现思维价值，鼓励学生积极、主动、探究地学习，在数学教学中注重提高学生的思维能力．
5.2 教学策略
5.2.0 明确高考要求
数学学科高考及试题的研究，应从课程改革理念、教学理念、数学课程目标、数学学习评价与测试等方面入手，通过分析课程标准、考试大纲和考试说明展现的教学要求、命题原则与指导思想、知识能力与思想方法考查要求进行．全面而深入地思考试卷总体结构、难度与区分度设计、试题功能(数学价值、教学价值、评价价值)等要素，有利于明确高考改革方向、总结试题命制规律．
链接 通过试题分析高考要求的基本途径与方式
1 宏观认识高考数学——背景、特色与规律
关注考查目标、问题背景、解决方法、评价分析、发展规律、教学反思．
1.1 学习标准，研究说明，明确方向
1.2 纵横联系，分类比较，显现特色
例 ① （四川卷2014-13）如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为67°，30°，此时气球的高是46m，则河流的宽度BC约等于_______ｍ．
（用四舍五入法将结果精确到个位．参考数据：，，，，）
② （全国卷2012-12）设点P在曲线上，点Q在曲线上，则|PQ|的最小值为( )
(A)
(B)
(C)
(D)
1.3 对应考点，理清层级，凸显目标
链接：2013-2015年全国卷考点汇总统计
1.4 挖掘材料，展现背景，总结规律
从考查要求、认知水平划分；从知识板块和专题划分．
分析命题意图（考查设计，知识、能力，问题解决与思维方法）．
例 ① (全国卷Ⅱ2014-文17)
已知四边形的内角与互补，，，．
(Ⅰ)求和；
(Ⅱ)求四边形的面积.
② (全国卷乙2015-理16)在平面四边形中，，，则的取值范围是______．
③ (全国卷Ⅱ2015-理17题)
在△ABC中，D是BC上的点，AD平分∠BAC，△ABD是△ADC面积的2倍．
(Ⅰ) 求；
(Ⅱ) 若AD=1，DC=，求BD和AC的长．
1.5 研究解法，分?

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