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2025-2026学年浙江省宁波十五中八年级（上）期中数学试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列常见的微信表情包中，属于轴对称图形的是（　　）
A. B. C. D.
2.下列选项中，可以用来证明命题“若a2＞1，则a＞1”是假命题的反例是（　　）
A. a=-2 B. a=-1 C. a=1 D. a=2
3.已知a＜b,下列不等式中，成立的是（　　）
A. a+2＞b+2 B. C. -2a＞-2b D. a-2＞b-2
4.等腰三角形的一个角为70°，则它的底角为（　　）
A. 70° B. 55° C. 55°或70° D. 35°或70°
5.若关于x的不等式x≤4+m的解集如图所示，则m的值为（　　）
A. 1 B. -1 C. 2 D. -2
6.如图，在△ABC中，∠ACB为钝角．用直尺和圆规在边AB上确定一点D．使∠ADC＝2∠B，则符合要求的作图痕迹是（）
A. B.
C. D.
7.我们知道：四边形具有不稳定性．如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正方形ABCD的边AB在x轴上，AB的中点是坐标原点O，固定点A，B，把正方形沿箭头方向推，使点D落在y轴正半轴上点D′处，则点C的对应点C′的坐标为（ ）
A. （，1） B. （2，1） C. （1，） D. （2，）
8.如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知A、B是两格点，如果C也是图中的格点，且使得△ABC为等腰三角形，则点C的个数是（　　）

A. 6个
B. 7个
C. 8个
D. 9个
9.如图，点E在等边△ABC的边BC上，BE=4，射线CD⊥BC，垂足为点C，点P是射线CD上一动点，点F是线段AB上一动点，当EP+FP的值最小时，BF=5，则AB的长为（　　）

A. 7 B. 8 C. 9 D. 10
10.如图，BD是△ABC的角平分线，BA=BC=10，AC=12，DE∥BC，P，Q分别是BD和BC上的任意一点；连接PA，PC，PQ，AQ，给出下列结论：
①PC+PQ≥AQ；
②AE+DE=BC；
③PC+PQ的最小值是；
④若PA平分∠BAC，则△APD的面积为9．
其中正确的是（）
A. ①②③
B. ①②④
C. ①③④
D. ②③④
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11.若直角三角形的一个锐角为15°，则另一个锐角等于______.
12.用不等式表示“5a与6b的差大于2”： .
13.如图，在△ABC中，CD⊥AB于点D，CE是∠ACB的平分线，交AB于点E，∠A=30°，∠B=52°，则∠DCE的度数为 .
14.如图，BD是△ABC的中线，CE是△BCD的中线，DF是△CDE的中线，若△ABC的面积为4，则△DEF的面积为 .
15.如图，在长方形ABCD中，AB=10，AD=12，点E为边AD上的一个动点，把△ABE沿BE折叠，若点A的对应点A'刚好落在边AD的垂直平分线MN上，则AE的长为 .
16.如图，我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形EFGH拼成的一个大正方形ABCD，连接AC，交BE于点P，若正方形ABCD的面积为28，AE+BE=7，则△CFP与△AEP的面积差是 .
三、解答题：本题共7小题，共52分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题6分)
每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，△ABC的顶点均在格点上，建立如图所示的平面直角坐标系.
（1）作出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1，并写出点B1的坐标.
（2）直接写出AB与A1B1之间的位置关系.
18.(本小题6分)
解不等式组，结合题意完成本题的解答.
（1）解不等式①，得______；
（2）解不等式②，得______；
（3）把不等式①和②的解集在如下的数轴上表示出来；
（4）原不等式组的解集为______.
19.(本小题8分)
如图，△ABC与△DCB中，AC与BD交于点E，且∠A=∠D，AB=DC.
（1）求证：△ABE≌△DCE；
（2）当∠AEB=80°，求∠EBC的度数.
20.(本小题8分)
如图，在△ABC中，AB＞AC.
（1）用直尺和圆规作BC的中垂线，交AB于点D（要求保留作图痕迹）；
（2）连接CD，若AB=8，AC=4，求△ACD的周长.
21.(本小题8分)
某电器超市销售A、B两种型号的电风扇，A型号每台进价为200元，B型号每台进价分别为150元，下表是近两天的销售情况：
销售时段 销售数量 销售收入
A种型号 B种型号
第一天 3台 5台 1620元
第二天 4台 10台 2760元
（进价、售价均保持不变，利润=销售收入-进货成本）
（1）求A、B两种型号的电风扇的销售单价；
（2）若超市准备用不多于5400元的金额再采购这两种型号的电风扇共30台，求A种型号的电风扇最多能采购多少台？
（3）在（2）的条件下，超市销售完这30台电风扇能否实现利润不少于1060元的目标？若能，请给出相应的采购方案；若不能，请说明理由．
22.(本小题8分)
对m、n定义一种新运算“▽”，规定：m▽n=am-bn+5（其中a、b均为非零常数），等式右边的运算是通常的四则运算，例如：5▽6=5a-6b+5.
（1）已知2▽3=1，3▽（-1）=10.
①求a、b的值；
②若关于x的不等式组有且只有两个整数解，求字母t的取值范围；
（2）若运算“▽”满足加法交换律，即对于我们所学过的任意数m、n,结论“m▽n=n▽m”都成立，试探究a、b应满足的关系.
23.(本小题8分)
如图1，等边△ABC中，点D在BC上，点E在AC上，连接AD，BE交于点F，CD=AE.
（1）求∠BFD的度数；
（2）如图2，连接CF，若CF⊥BE，求证：BF=2AF；
（3）如图3，在（2）的条件下，将AD沿CF翻折交AC于点G，过点C作CF的垂线交直线FG于点H，若BF=4.
①求证：BF=HF；
②求FG GH的值.（请直接写出结果）
1.【答案】A
2.【答案】A
3.【答案】C
4.【答案】C
5.【答案】B
6.【答案】B
7.【答案】D
8.【答案】C
9.【答案】A
10.【答案】B
11.【答案】75°
12.【答案】5a-6b＞2
13.【答案】11°
14.【答案】
15.【答案】
16.【答案】
17.【答案】
B1（-1，-1）；
AB⊥A1B1
18.【答案】x≥-1；
x＜3；
；
-1≤x＜3
19.【答案】（1）证明：在△ABE和△DCE中，
，
∴△ABE≌△DCE（AAS）；
（2）解：∵△ABE≌△DCE，
∴BE=EC，
∴∠EBC=∠ECB，
∵∠EBC+∠ECB=∠AEB=80°，
∴∠EBC=40°．
20.【答案】解：（1）如图所示：
直线MN即为所求；
（2）由（1）可知，直线MN是线段BC的垂直平分线，
∴DC=DB，
∴△ACD的周长为=AC+CD+AD=AC+AD+BD=AC+AB，
∵AB=8，AC=4，
∴△ACD的周长为8+4=12．
21.【答案】解：（1）设A种型号电风扇的销售单价为x元，B种型号电风扇的销售单价为y元，
依题意，得：，
解得：．
答：A种型号电风扇的销售单价为240元，B种型号电风扇的销售单价为180元．
（2）设采购A种型号电风扇a台，则采购B种型号电风扇（30-a）台，
依题意，得：200a+150（30-a）≤5400，
解得：a≤18．
答：A种型号的电风扇最多能采购18台．
（3）依题意，得：（240-200）a+（180-150）（30-a）≥1060，
解得：a≥16．
∵a≤18，
∴16≤a≤18．
∵a为整数，
∴a=16，17，18．
∴共有三种采购方案，
方案1：采购A种型号电风扇16台，B种型号电风扇14台；
方案2：采购A种型号电风扇17台，B种型号电风扇13台；
方案3：采购A种型号电风扇18台，B种型号电风扇12台．
22.【答案】解：（1）①∵2▽3=1，3▽（-1）=10，
∴，
解得：a=1，b=2；
②∵，a=1，b=2，
∴xa-（2x-3）b+5=-3x+11＜9，
3xa-（-6）b+5=3x+17≤t,
即，
解得：，
∵关于x的不等式组，有且只有两个整数解，
∴2≤＜3，
解得：23≤t＜26，
即字母t的取值范围是23≤t＜26；
（2）∵m▽n=n▽m,
∴ma-nb+5=na-mb+5，
∴ma-nb-na+mb=0，
∴m（a+b）-n（a+b）=0，
∴（a+b）（m-n）=0，
∵m、n为任意数，
∴m-n不一定等于0，
∴a+b=0，
即a、b所应满足的关系式是a+b=0．
23.【答案】60°．
如图，在BF上截取BQ=AF，连接AQ，
在△QBA和△FAC中，
∴△QBA≌△FAC（ SAS），
∴∠BAQ=∠ACF，
∵∠AQF=∠QBA+∠BAQ，∠DFC=∠DAC+∠ACF，
∴∠AQF=∠DFC=∠BAQ+∠DAC，
∵CF⊥BE，∠BFD=60°，
∴∠AQF=∠DFC=∠BAQ+∠DAC=30°，
∴∠AQF=∠DFC=∠QAF=30°，
∴AF=FQ．
∵BF=FQ+BQ=2FQ，
∴BF=2AF．
①如图，延长BE到点N，使得FN=AF，连接AN，连接CN，交FH于点M，
∵∠BFD=∠AFN=60°
∴△AFN是等边三角形，
∴AF=AN=FN，∠FAN=∠FNA=∠AFN=60°，
∴∠BAF=60°-∠FAE=∠CAN．
在△BAF与△CAN中，
∴△BAF≌△CAN（SA5），
∴BF=CN，∠ABF=∠ACN，
∵∠DAC=∠EBA，
∴∠DAC=∠ACN，
∴CN∥AD，
∴∠AFN=∠FNM=60°，
∵CF⊥BE，
∴∠FCN=30°，
∵∠DFC=90°-60°=30°，AD沿CF翻折交AC于点G，CF⊥CH，
∴∠DFC=∠MFC=∠MCF=30°，∠MFN=∠MCH=∠MHC=60°，
∴MF=MC，∠CMH=∠FMN=60°，
∴△MCF是等腰三角形，
∴△AFN、△CMH，△MFN是边长相等的等边三角形，
∴HF=CN，
∴BF=CN；
②3
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