资源简介

(共12张PPT)
第4章 几何图形初步
4.2 线段、射线、直线
第2课时 直线的基本事实
核心必知
1.经过两点有____条直线，并且只有____条直线.这一基本事
实可以简述为：__________________.
2.当两条不同的直线有一个公共点时，我们称这两条直线相
交，或称它们是相交直线，这个公共点叫作它们的交点.
一
一
两点确定一条直线
1星题 基础练
知识点1 线段、射线、直线的画法
1.(12分)［2025年1月合肥期末］如图，平面上有四个点 ，
，， ，根据下列语句画图：
(1)画直线，交于点 ；
(2)画线段，交于点 ；
(3)画线段 ，并将其反向延长；
(4)画射线 .
解： 如图所示.
知识点2 直线的基本事实及性质
2.［2025·广东月考］如图，,
是两根木条，用， 两颗钉子
钉在墙上，其中木条 可以绕点
转动，木条 被固定不动.这一
两点确定一条直线
现象可以用学过的数学知识解释为__________________.
3.三条直线相交最多有___个交点，最少有___个交点．
3
1
4.易错题 平面上有三个点，可以确定的直线的条数是______.
1或3
2星题 中档练
5.按语句画图：点在直线上，也在直线上，但不在直线
上，直线，， 两两相交.下列正确的是( )
B
A. B. C. D.
6.下列几何图形与相应语言描述相符的有______.(填序号)
①如图1，直线，相交于点；②如图2，直线 与线段
没有公共点；③如图3，延长线段 ；④如图4，直线
经过点 .
3星题 提升练
7.(12分) 推理能力 [2024·杭州
期中] 如图.
(1)试验观察：
第①组最多可以画___条直线；
第②组最多可以画___条直线；
第③组最多可以画____条直线.
3
6
10
(2)探索归纳：
如果平面上有 为正整数且
个点，且每3个点均不
在同一直线上，那么最多可以画_ ______条直线(用含 的代
数式表示).
(3)解决问题：
某班45名同学在毕业后的一次聚会中，若每2人握1次手问好，
则共握多少次手？
解：共握 (次)手.(共24张PPT)
大单元整合复习
大单元整合复习
大单元知识架构
整合1 几何图形的相关概念
1.下列几何体中，不同类的是( )
B
A. B. C. D.
2.［2025年1月厦门期末］陶瓷器具是我国古代劳动人
民的重要发明之一，是中国人民勤劳与智慧的结晶.如
图所示，将给定的图形绕直线旋转一周得到的几何体
与下列陶瓷花瓶最为类似的是( )
A
A. B. C. D.
3.如图所示的立体图形是由___个平面和___个曲面组成的，
面与面相交形成___条直线和___条曲线.
3
1
4
2
整合2 直线和线段的基本事实
4.如图①，, 两个村庄在一条河
(不计河的宽度)的两侧，现要建
一座码头，使它到, 两个村庄
两点之间线段最短
的距离之和最小.如图②，连接，与交于点，则点 即为
所求的码头的位置，这样做的理由是__________________.
5.［2025·安庆月考］在如图所示的三个现象中，体现了基本
事实“两点确定一条直线”的有( )
C
A.1个 B.2个 C.3个 D.0个
整合3 线段和角的相关计算
6.如图，是线段上一点，，，
是线段的中点，则线段 的长为( )
C
A. B. C. D.
7.如果一个角的补角的余角是 ,那么这个角的度数为
( )
C
A. B. C. D.
8.如图,点在点南偏东 的方向上,
,则点关于点 的方向为
( )
A
A.北偏东 B.北偏东
C.南偏东 D.南偏东
9.如图，钟表上的时间为下午 ，此时时
针与分针之间所成的角是( )
A
A. B. C. D.
10.计算： ________.
11.［2024·芜湖期中］如图，为线段 上的一点，
，，两点分别为， 的中点，若线段
为，则的长为____ .
16
12.(8分)如图，已知平分，
平分， ，
.求：
(1) 的度数；
解：因为， ，
，所以 .
(2) 的度数.
因为平分 ，
所以 .
因为平分 ，
所以 .
所以 .
整合4 尺规作图
13.(8分)如图，已知线段，和 ，利用直尺和圆规作三
角形，使，， .(不写作法，
保留作图痕迹)
解：如图,三角形 即为所求.
整合5 数学思想
14.转化思想 若有15支球队参加校级篮球比赛,比赛采用单循
环制(即每两支球队之间都要进行一场比赛),则15支球队一共
要进行_____场篮球比赛.
105
15.分类讨论思想
(1)已知线段，是直线 上的一
点，,，点是线段 的
中点，则线段 的长为______.
2或6
(2)如图，是的平分线， 是
内部一条射线，过点作射线 ，
在平面内沿箭头方向转动，使得
，若
， ,则
的度数为_____________.
或
整合6 易错题
16.如图，下列说法正确的是( )
C
A.点在射线 上
B.点是直线 的一个端点
C.点在线段 上
D.射线和射线 是同一条射线
整合7 聚焦安徽中考
17.［2024·合肥第四十一中一模］若点在线段 的延长线
上，，，则 的长为___.
5
18.［2024·六安校级模拟］已知，则的余角
________.
19.［2024·淮北三模］如图，
，
，则 的大小为
( )
C
A. B. C. D.(共34张PPT)
期末大单元复习
第4章 几何图形初步
大单元串联
要点知识
1.线段有两个端点；将线段向一个方向无限延长就得到了射
线，射线有一个端点；将线段向两个方向无限延长就形成
了直线，直线没有端点；线段和射线都是直线的一部分.
2.经过两点有一条直线，并且只有一条直线，即两点确定一
条直线.
要点知识
3.在线段上并且把该线段分成相等的两条线段的点，叫作线
段的中点.
4.两点之间的所有连线中，线段最短.
要点知识
5.在角的内部，以角的顶点为端点的一条射线把这个角分成
两个相等的角，这条射线叫作这个角的平分线.
6.如果两个角的和等于一个平角，那么这两个角互为补角；
如果两个角的和等于一个直角，那么这两个角互为余角.
题串考点
如图，直线经过,两点，点, 在直
线外，连接, .
(1)按下列要求画图.
①分别作出直线与射线 ；
②连接，并延长线段到点 ,使
.
解：①②如图.
(2)在(1)的条件下，回答下列问题：
①经过, 两点可画___条直线，其中蕴
含的数学知识为____________________
__________________；
1
经过两点有一条直线，
并且只有一条直线
②图中共有____条射线，其中以 为端点的射线有___条；
③图中共有___条线段，其中以 为端点的线段有__________
_______________,线段 的中点是点___；
10
3
7
线段,
线段,线段
④比较大小：___ ,其依据是
__________________________________；
两点之间，线段最短
⑤图中以 为顶点的锐角共有___个，分
别为___________________________，
若平分，则_______ ；
3
，，
⑥在⑤的条件下，的余角等于_______ ，补角等于
________ .
直面考题
时间：40分钟 满分：100分
一、选择题(每题4分，共32分)
1.［2025年1月马鞍山期末］下列图形：①三角形；②长方形；
③平行四边形；④正方体；⑤圆锥；⑥圆柱；⑦圆；⑧球.其
中平面图形有( )
B
A.5个 B.4个 C.3个 D.2个
2.［2025年1月滁州期末］如图，地到 地有三条路线，由
上至下依次记为路线，，，则从地到 地的最短路线是
，其依据是( )
A
A.两点之间的所有连线中，线段最短
B.两点确定一条直线
C.两点之间的所有连线中，直线最短
D.直线比曲线短
3.［2025·芜湖月考］如图，下列说法不正确的是( )
C
A.射线表示北偏东
B.射线 表示西北方向
C.射线表示西偏南
D.射线表示南偏东
4.［2025年1月芜湖期末］一副三角板按如
图所示的方式摆放，若的度数是 的3倍，
则 的度数为( )
B
A. B. C. D.
5.［2025年1月合肥期末］线段，在直线 上截取
线段，为线段的中点，为线段 的中点，那
么线段 的长为( )
D
A.4 B.6 C.5或7 D.4或6
6.［2025年1月六安期末］用直尺和圆规作一个角等于已知角
(如图)，下列结论正确的个数为( )
；; ;
.
C
A.1 B.2 C.3 D.4
7.［2025年1月阜阳期末］如图，是直线 上的一点，
，平分，图中与 互余
的角有个，与互补的角有 个，则( )
D
A.， B.，
C.， D.，
8.［2025年1月黄山期末］如图，，是线段 上的两点
(点在点右侧)，，分别是线段, 的中点．有下列结
论：；②若，则 ；
； ．其中正确的结
论是( )
B
A.①② B.②③ C.②④ D.③④
二、填空题(每题5分，共20分)
9.计算： _________.
10.［2025年1月安庆期末］建筑工人砌墙时，经常在两个墙
角的位置分别插一根小桩，然后拉一条直的线，这样做的数
学道理是__________________.
两点确定一条直线
11.已知线段，延长到点，使,反向延长
到点，使,若，则 的长是_______.
12.［2025年1月滁州期末］将一副三角板按
如图所示的方式摆放，其中 ，
．
(1)若和互补，则 的度数为_______；
(2)若平分，平分， ，则
的度数为_______.
三、解答题(共48分)
13.(15分)如图，是线段 外一点，按下列要
求画图：
(1)画射线 ;
解：如图.
(2)反向延长线段 ;
如图.
(3)连接，并延长至点，使 .
如图.
14.(15分)［2025年1月淮北期末］如图，已知点, 在线段
上．
(1)图中共有___条线段．
6
(2)若 ．
①比较线段的长短：___(填“ ”“ ”或“ ”)；
②若，，是的中点，是
的中点，求线段 的长度．
解：如答图.
因为, ，
所以 .
因为是的中点，是 的中点，
所以， ，所以
，
所以 .
15.(18分)［2025年1月合肥期末］
如图①,射线在 的内部,
图中共有3个角:、 和
,若其中有一个角的度数是
另一个角的度数的两倍,则称射线是 的奇妙线.
(1)一个角的平分线____这个角的
奇妙线.(填“是”或“不是”)
是
(2)如图②, ,射线
绕点从位置开始,以每秒
的速度逆时针旋转,当首次等于 时停止旋转,设旋
转的时间为 .
①当为何值时,射线是 的奇妙线
解：分三种情况：当 时，
，解得 ;
当时，,解得 ;
当时，,解得 .
故当为9或12或18时，射线是 的奇妙线.
②若射线同时绕点以每秒 的速度逆时针旋转,并与
同时停止旋转.请求出当射线是的奇妙线时 的值.
分三种情况：当 时，
,解得;当
时，,解得;当
时，,解得.故当射线 是
的奇妙线时的值为或或 .(共14张PPT)
专题训练11 一题多解
角度的计算
专题训练
作法1 用算术法或方程计算角度
1.(12分)如图，已知是 内部的
一条射线，是 的平分线，
与的度数比为 ，且
，求 的度数．
解法一： 可以尝试用常规的算术法来解决
解：因为 ，
所以 .
因为 ，
所以 .
因为平分 ，
所以 .
所以 ，即
.
因为 ，所以 ，
所以 ．
解法二： 可以尝试用方程来解决
解：因为 ，
所以可设 ，
，
所以 .
因为平分，所以 .
因为 且 ，
所以 ，
解得，所以 ．
作法2 转化为角的和或差计算角度
2.(12分)将一副三角板按如图所示摆放，
， ， 平分
，平分，求 的度数.
解法一： 可以尝试转化为角的和来计算
解：因为平分，平分 ，
所以 ，
，
所以
．
解法二： 可以尝试转化为角的差来计算
解：因为平分，平分 ，
所以， ，
所以
．
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所以∠COD=∠AOC一∠AOD
B0C-2B0C-÷B0C,
∠B0C=4∠C0D.
因为∠C0D=12°，所以∠B0C=48°，
所以∠A0B=号∠B0G=120.
解：因为OM平分∠AOD,OW平分∠COB,
所以上MOD=三∠AOD
NOB
所以(共26张PPT)
专题训练12 类比学习
线段与角的综合计算
专题训练
类型1 双中点、双角平分问题
1.(12分)如图①，已知线段，为线段 上的一
个动点，，分别是和 的中点.
(1)若恰好是的中点，则___ ；
若，则___ ；
7
7
(2)随着点位置的改变， 的长是否发生变化？如果发生变
化，请说明理由；如果不发生变化，请求出 的长；
解：的长不发生变化.因为是线段 的中点，所以
.因为是线段的中点，所以 .所以
.
(3)知识迁移：如图②，
已知 ，在
的内部画射线 ，
若，分别平分和，试说明 的度数与
射线 的位置无关.
因为平分 ，所以
.
因为平分，所以 .
所以 . 所以 的度数是个定值，与
射线 的位置无关.
拓展设问 如图，已知， 是
内部的两条射线， 平分
，平分 ，若
， ，则
的度数为________.
(用含 ， 的式子表示)
类型2 线段和角中的分类讨论问题
2.(8分) 易 错 题 [2025· 厦门月考] 已知线段， 是
直线上的一点，且，若，分别是线段 ，
的中点，求线段 的长．(要求画出示意图)
解：因为，，所以.因为， 分别
是线段，的中点，所以 ，
.当点在线段 的延长线上时，如答图①所
示，.当点在线段 的延长线上
时，如答图②所示， .综上可知，
线段 的长为8或4．
3.(8分)如图，已知，平分 .
(1)请你利用直尺和量角器，根据题意在现有图形中补全图形；
解：补全图形如图.
(2)当 时，求 的度数.
当与在 同侧时，如图
①所示，
因为 ，
所以. 因为平分 ，
所以 ，所以
，
所以 .当与在 异侧时，如图②所示，
因为 ，所以
. 因为平分 ，所
以 ，所以
，所以 .综上所述，的度数为 或
.
类型3 线段和角中的动态问题
4.(12分)［2025年1月天津期末］如图，线段 ，动点
从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿射线运动，
为的中点.设点的运动时间为 .
(1)___后， ；
6
(2)当点在线段上运动时，试说明 为定值；
解：由题意，知，所以 ，
因为为的中点，所以 ，所以
，
所以 ，
所以 为定值.
(3)当点在线段的延长线上运动时，为 的中点，求
的长.
由(2)知，，.当点在线段 的延长线上
时， .
因为为 的中点，
所以 ，
所以 .
5.(12分)中考趋势·探究建模
已知是 的平分线.
(1)操作发现：如图①， ，
①若 ，则 _____；
②若 ，则_ ___(用含 的代数式表示)；
(2)操作探究：将图①中的绕顶点 顺时针旋转到图②的
位置，其他条件不变，②中的结论是否仍然成立？试说明理由；
解：②中的结论仍然成立.理由：因为 ，所以
.因为是 的平分线，所以
，所以
.
(3)如图③，已知 , ，边
、边分别绕着点以每秒 、每秒 的速度顺时针
旋转，求第一次 时，运动了多少秒.
因为 , ，所以
.设运动时间为 ，由题意得
，解得 ，即第一
次 时，运动了 .(共12张PPT)
第4章 几何图形初步
4.2 线段、射线、直线
第1课时 线段、射线、直线
核心必知
1星题 基础练
知识点 线段、射线、直线的概念及表示方法
1.夜晚，汽车灯射出的光线可以看成是( )
B
A.直线 B.射线 C.线段 D.折线
2.［2025·南京月考］下列各直线、线段、射线的表示中，正
确的是( )
C
A.直线
B.射线
C.线段
D.线段
3.以下说法中不正确的是( )
B
A.反向延长射线 B.延长直线
C.延长线段到 D.画线段等于
4.如图，下列说法不正确的是( )
B
A.直线与直线 是同一条直线
B.射线与射线 是同一条射线
C.线段与线段 是同一条线段
D.点是射线 的端点
5.教材改编题 如图，图中共有___条直线，___条射线，___
条线段.
1
6
3
6.［2025年1月芜湖期末］如图，完
成下列填空：
(1)直线 经过点______，但不经过点
______；
、
、
(2)点 在直线___上，在直线___外；
(3)点 既在直线___上，又在直线___上.
2星题 中档练
7.创新题·新考法 如图，已知四条线段
，，， 中的一条与挡板另一侧的线
段 在同一直线上，借助直尺可判断该线
段是( )
A
A. B. C. D.
8.如图所示，若图中共有条线段，条射线，则 ____.
16
9.［2025年1月厦门期末改编］往返于、 两地的客车，途
中有、、 三个停靠站，其中每两站的票价不同.则该客车
有____种不同的票价，要准备____种车票.
10
20
拓展设问 当直线上有且为整数 个不同的点时，
共有_______条线段.(共11张PPT)
第4章 几何图形初步
4.3 线段的长短
第1课时 线段的长短
核心必知
尺规作图：只用没有刻度的直尺和圆规作图的方法.
1星题 基础练
知识点1 线段的长短比较
1.如图所示，比较线段和线段 的长度，结果正确的是
( )
B
A. B. C. D.无法确定
2.创新题·新考法 [2025·阜阳月考]
如图，用一支角度固定的圆规比较
线段， 的长短，则( )
A
A. B.
C. D.无法确定
知识点2 线段的和差
3.［知识初练］教材改编题 如图，，是线段 上不同的
两点.
(1)____，________ ____；
(2)____ ____.
4.如图①，已知线段，，图②中线段 表示的是( )
D
A. B. C. D.
知识点3 利用尺规作一条线段等于已知线段
5.(8分)如图，已知线段，， ，用直尺和圆规
作图(保留作图痕迹)，并用字母表示出所作线段.
(1)作一条线段，使它等于 ；
解：如答图①，线段 即为所求.
(2)作一条线段，使它等于 .
如答图②，线段 即为所求.
2星题 中档练
6.如图，，则线段与线段 的长短关系是
( )
B
A. B. C. D.无法比较
7.［2025年1月金华期末］如图，在操作课上，同学们按老师
的要求操作：①作射线；②在射线 上顺次截取
；③在射线上截取 ；④在线
段上截取，发现点在线段 上.由操作可
知，线段 ( )
C
A. B. C. D.
8.(8分)［2025年1月杭州期末］尺规作图：如图，
已知线段，，，求作线段 ，使
(不写作法，保留作图痕迹).
解：如图，线段 即为所求.(共22张PPT)
第4章 几何图形初步
4.1 几何图形
核心必知
1.长方体、四面体、圆柱、圆锥、球等都是几何体，简称体.
2.包围着体的是面.面有平的面与曲的面两种.
3.几何体按各个面是否都是平面可分为多面体和旋转体.常见
的多面体有长方体、四面体等，常见的旋转体有圆柱、圆锥、
球等.
4.
1星题 基础练
知识点1 认识常见的几何体
1.下列几何体中，是圆锥的是( )
C
A. B. C. D.
2.(5分)将下列物体与类似它们的几何体用线连接起来.
解：如图所示.
知识点2 平面与曲面
3.教材改编题 下列几何体中，无曲面的是( )
B
A. B. C. D.
补充设问 球体由___个面围成.
1
4.［2025年1月苏州期末］下列几何体①圆柱；②圆锥；③正
方体；④四棱柱中，面数相同的是( )
D
A.①② B.①③ C.②③ D.③④
知识点3 点、线、面、体
5.下列几何体中，是多面体的是( )
D
A.球 B.圆柱 C.圆锥 D.正方体
6.［2025·芜湖月考］如图所示的立体图形是由下列哪个平面
图形绕轴旋转一周得到的？( )
A
A. B. C. D.
7.(1)五棱柱是由___个面围成的，有____个顶点，共有____条棱；
(2)四棱锥是由___个面围成的，有___个顶点，共有___条棱.
7
10
15
5
5
8
知识点4 平面图形与立体图形
8.下列立体图形中，各面不都是平面图形的是( )
B
A. B. C. D.
9.(8分)创新题·新考法 如图，你能看到哪些立体图形？
解：长方体、圆柱、球.
2星题 中档练
10.真实情境 下图为小文同学的几何
体素描作品，该作品中不存在的几何
体为( )
D
A.棱柱 B.球 C.圆柱 D.棱锥
11.［2025·佛山模拟］有下列说法：
(1)柱体的两个底面一样大；(2)圆柱、圆锥的底面都是圆；(3)
棱柱的底面是四边形；(4)长方体一定是柱体；(5)直棱柱的侧
面一定是长方形.
其中说法正确的个数是( )
C
A.2 B.3 C.4 D.5
12.［2025·安庆月考］如图所示的几何体是由___
个面组成的，其中平面有___个，曲面有___个；
面与面相交形成___条线，其中直线有___条，曲
线有___条.
5
4
1
9
7
2
13.观察如图所示的几何体，并按要求填空.
(1)若把上面7个几何体分为两类：把①③⑥⑦分为一类，是
因为组成这些几何体的面都是______；而把②④⑤分为另一
类，是因为组成这些几何体的面中有______.
平面
曲面
(2)若把上面7个几何体分为三类：__________为第一类，都
属于柱体；______为第二类，都属于锥体；____为第三类，
属于球体.(填序号)
④
3星题 提升练
14.(12分)推理能力 十八世纪瑞士数学家欧拉证明了简单多
面体的顶点数、面数、棱数 之间存在一个有趣的
关系式，被称为欧拉公式.请你观察下列几种简单的多面体模
型，解答下列问题：
(1)根据上面的多面体模型，将表格填写完整；
多面体 顶点数 面数 棱数
四面体 4 4 6
长方体 8 6 ____
八面体 ___ 8 12
十二面体 20 12 30
12
6
(2)根据上面的表格，猜想顶点数、面数、棱数 之
间存在的关系是______________(用所给的字母表示)；
(3)若一个多面体的面数比顶点数少14，且有48条棱，则这个
多面体的面数是多少？
解：由题意，得 ，
解得 ，所以这个多面体的面数是18.(共10张PPT)
第4章 几何图形初步
4.4 角
第1课时 角的定义及表示
核心必知
1星题 基础练
知识点1 角的概念及表示方法
1.下列说法中，正确的是( )
C
A.两条射线组成的图形叫作角
B.有公共端点的两条线段组成的图形叫作角
C.角可以看成是由一条射线绕着它的端点旋转而成的图形
D.角的边越长，角越大
2.下列四个图形中，能用，， 三种方法表示同一
个角的是( )
B
A. B. C. D.
3.如图，请根据角的不同表示方法填写下表.
表示方法1 ____________ ________ ____________ _______ ______
表示方法2 ____
编辑作答空间顺序
或
或
知识点2 角的分类
4.下列说法正确的是( )
D
A.一条直线便是一个平角
B.由两条射线组成的图形叫作角
C.周角就是一条射线
D.由一条射线绕其端点旋转一周，始边与终边重合而形成的
图形叫作周角
5.教材改编题 [2025· 合肥月考] 有下列说法：①大于 且
小于 的角是锐角；②等于 的角是直角；③大于
的角是钝角；④平角等于 ；⑤周角等于 .其中正
确的有__________(填序号).
2星题 中档练
6.下列各角中，是钝角的是( )
B
A.周角 B.平角 C.2锐角 D. 直角
7.［2024·郑州期中］如图，回答下列问题：
(1)写出能用一个字母表示的角：
__________；
，
(2)写出以 为顶点的角：____________
______________；
，，
(3)图中共有___个小于平角的角.
7
3星题 提升练
8.推理能力 如图，在锐角 内部，画1条射线，可得___
个锐角；画2条不同的射线，可得___个锐角；画3条不同的
射线，可得____个锐角……照此规律，画 条不同的射线，
可得__________个锐角.
3
6
10(共26张PPT)
第4章 几何图形初步
4.5 角的比较与补(余)角
第1课时 角的比较与角平分线
核心必知
1.角的和、差：如图，是 与
的和，记作：___________________
______，是与 的差，记
作：_______________________.
2.
1星题 基础练
知识点1 角的比较
1.通过将角叠合来比较与 的大小，正确的是( )
D
A. B. C. D.
(第2题)
2.如图，用同一个三角板比较
与 的大小，其中正确的是
( )
B
A. B.
C. D.无法确定
3.教材改编题 如图，射线，分别在 的内部与外
部，下列各式错误的是( )
C
(第3题)
A.
B.
C.
D.
4.若, ,则___.(填“ ”“ ”或“
”)
知识点2 角的和差
(第5题)
5.如图，在下面的横线上填上适当的角.
______________，
_______ _______.
6.把一副直角三角板按如图所示的方式拼在一起，则
等于( )
D
(第6题)
A. B. C. D.
知识点3 角的平分线
7.已知为内一条射线，下列条件不能确定 平分
的是( )
C
A. B.
C. D.
8.［2025年1月芜湖期末］如图，已知为直线 上一点，
平分，平分，则 的度数为_____.
9.(8分)如图， ，
，为 的平分线，求
的度数.
解：因为 ，所以 ，所
以 .因为为 的平分
线，所以 ，所以
.
2星题 中档练
10.分类讨论思想 已知 ， ，则
( )
C
A. B. C. 或 D.以上都不对
11.不能借助一副三角板画出来的角度是( )
D
A. B. C. D.
12.易错题 如图，平分，把分成 的两
部分， ，则 的度数为______.
13.(8分)［2025·重庆模拟］如图,点
在直线 上，
， 是
的平分线.
(1)若 ，则____ ；
59
(2)若，求 的度数．
解：由题意可设 ,则
.
因为 ，
，
所以 ，
.
所以 .
又因为 ，
所以 ，解得
.
所以 .
所以 .
3星题 提升练
14.(12分)创新题·新考法 2025·深圳模拟如
图，已知 ， ，
平分，平分 .
(1)求 的度数；
解：由题意得
，因为平分 ，所以
.因为
平分 ，所以
，所以 .
(2)如果的大小发生变化为锐角 ，而
，平分，平分 不变，请完
成下表：
的 度数 的度数 与 之间的关系
_____ _ ________________
_____ _ ________________
_____ _ ________________
(3)如果和 的大小都发生变化
为锐角，而平分
(小于)，平分 不变，试探索
与 之间的关系.
设 ， ，根据题意得
，因为平分 ，所以
.因为 平分
，所以 ，所以 ，所以 .(共13张PPT)
专题训练10 方法整合
线段长度的计算方法
专题训练
方法1 直接利用线段的和差关系求线段的长
1.(8分)［2025·芜湖月考］如图，，是 的中
点，，求线段 的长.
解：因为，所以 .
因为是的中点，所以 ，所以
，所以
，所以
.
方法2 设未知数借助方程求线段的长
2.(16分) 如图，点，把线段 分成三部分，
且，是的中点，且 ，如
何求 的长？
(8分)［2025年1月合肥期末］如图，已知，在线段 上，
若，，且，求 的长.
解：设，因为 ，
，所以 ，
.因为 ，
，所以，解得 ，
所以 .
方法3 利用分类讨论思想求线段的长
3.(8分)［2025年1月北京期末］已知点，， 在同一条直
线上，，，为的中点.求 的长.
解：①如答图①，
因为，，，所以 .
因为是线段的中点，所以 ；
②如答图②，
因为，，，所以 .
因为是线段的中点，所以 .
综上， 的长为6或4.
方法4 利用整体思想求线段的长
4.(12分)如图，点在的延长线上，,分别是， 的
中点.
(1)若,，则线段 的长是______；
(2)若，求线段 的长；
解：因为,分别是，的中点,所以 ,
.所以 .
(3)若是线段 的延长线上任意一点，其他条件不变，请你
用一句简洁的话描述你发现的结论.
若是线段的延长线上任意一点,,分别是， 的中
点,则线段的长等于 .(共17张PPT)
第4章 几何图形初步
4.4 角
第2课时 角的度量及计算
核心必知
1星题 基础练
知识点1 角的度量
1.用度、分、秒表示 为( )
D
A. B. C. D.
2.(1)__________ ；
(2)____________ ；
(3)________ .
15
3.(16分)计算下列各题.
(1) ；
解：原式 .
(2) ；
原式 .
(3) ；
解：原式
.
(4) .
原式
.
知识点2 方向角与钟面角
4.(8分)教材改编题 如图所示.
(1)射线表示____偏____ 方向；射
线 表示______方向；
北
东
西北
(2)请在图中标出南偏西 方向的射线 ，东南方向的射
线 .
解：如图.
5.［2024·广西中考］如图，2时整，钟表的时针
和分针所成的锐角为( )
C
A. B. C. D.
2星题 中档练
6.下列式子正确的是( )
C
A. B.
C. D.
7.创新题·新考法 如图，海平面上有一
个灯塔，测得海岛在灯塔的北偏东
方向上，同时测得海岛 在灯塔的北偏
东 方向上，则灯塔的位置是( )
A
A.点 B.点 C.点 D.点
8.把一个平角7等分，每一份是________的角.(精确到分)
9.(12分)［2025年1月扬州期末］如图,在一个
圆形时钟的表面上,表示时针, 表示分针
为两针的转动中心，凌晨3时,与 成
直角.
(1)分针每分钟转过的角度是___,时针每分钟转过的角度是
______;
(2)上午9:30时,时针与分针所成的角度是______;
(3)在凌晨2时至凌晨3时之间，从凌晨2时开始,经过多少分钟,
时针与分针成 角
解：设在凌晨2时至凌晨3时之间，从凌晨2
时开始，经过分钟，时针与分针成 角.
①当分针在时针上方时，由题意得
,解得 ;
②当分针在时针下方时，由题意得 ,
解得 .
答：在凌晨2时至凌晨3时之间，从凌晨2时开始，经过 或
分钟，时针与分针成 角.(共26张PPT)
第4章 几何图形初步
4.5 角的比较与补(余)角
第2课时 补角和余角
核心必知
1星题 基础练
知识点1 补角和余角的概念
1.若 的余角是 ，则 等于( )
B
A. B. C. D.
2.跨学科·生物 不少植物叶子在茎上的排列很有规律，从茎
的顶端沿茎向下看，相邻两片叶子间的夹角是 ，则
的补角的度数为_____.
3.如果一个角的度数为 ，那么它的余角的度数为_____
___，补角的度数为_________.
4.［2025年1月蚌埠期末］若的余角是的3倍，则 的
度数是______ .
5.(8分)［2024·合肥期末］已知 与 互为补角，且
的比 大 ，求 的余角.
解：因为 与 互为补角，
所以 ，即 .
又因为 的比 大 ，
所以 ，解得 ，
所以 的余角为 .
知识点2 补角和余角的性质
6.如图，如果 ，那么 ，这是
根据( )
C
A.直角都相等 B.等角的余角相等
C.同角的余角相等 D.同角的补角相等
7.若 ，且 ， ，
则与 的大小关系是_________，理由是______________
___.
等角的补角相等
8.［2025年1月开封期末］如图，将一副三角板按不同位置摆
放， 与 相等的情况有________(填序号).
2星题 中档练
9.跨学科·物理 如图，光线照到平面镜
上发生反射，已知 ，
，下列判断不一定正确
的是( )
D
A. B.
C. D.
10.［2025年1月合肥期末］若 和 互补，且 ，
有下列式子： ； ；
；，其中可以表示 的余角
的有________.(填序号)
11.(12分)［2025年1月太原期末］
数学课上，老师在黑板上写下如
下题目：如图，是直线 上
的一点， ， ，
(1)图中与 互余的角有______________；
(2)图中与 互补的角有_______；
，
分别是， 的平分线.下面是四个小组提出的问
题，请你帮忙解答.
(3)图中所有互余的角共有___对，互补的角共有___对；
4
5
(4)求 的度数.
解：因为 ，是 的
平分线，
所以 ，
，所以
.
因为是 的平分线，
所以 .
3星题 提升练
12.(8分)推理能力 如图， ，
， 三点在同一条直线上，
与 互补.
(1)若 ，求
的度数；
解：因为，， 三点在同一
条直线上，
所以 ，
所以与 互补.又因
为与 互补，所以
.
(2)已知平分，若射线在 的内部，且满足
与互余，试探究与 之间有怎样的
数量关系，并说明理由.
.理由：设 .因为 平
分，所以 .因为
与互余，所以 ,所以
.由(1)得 ，所以, 所以
,所以
.
【思路点拨】先明确共顶点处角之间的公共部分，再利用角
之间的和差关系求解.
【针对练习】 (12分)如图①，将一副三角板的直角顶点 叠
放在一起.观察分析：
(1)若 ，则______；若 ，
则 _____；
(2)与 的关系为______________________；
(3)如图②，若将两个同样的三角板 锐角的顶点 重合在
一起，则与 的关系为______________________；
(4)如图③，如果把任意两个锐角，的顶点 重
合在一起，已知 ，则与 的
关系为____________________；
(5)如图④，将三个同样的正方形的一个顶点重合放置，那么
的度数为____ .
20(共8张PPT)
第4章 几何图形初步
4.5 角的比较与补(余)角
第3课时 尺规作角
1星题 基础练
知识点 利用尺规作一个角等于已知角
1.如图，作一个角等于已知角
(尺规作图)的正确顺序是
____________.(填序号)
2.如图，用尺规作图作的第一步是以点 为圆
心，任意长为半径画弧①，分别交，于点， ，那么
第二步的作图痕迹②的作法是( )
D
A.以点为圆心， 长为半径画弧
B.以点为圆心， 长为半径画弧
C.以点为圆心， 长为半径画弧
D.以点为圆心， 长为半径画弧
3.(8分)如图，已知 ， ，作一个角，使它等于 与
的和.(不写作法，保留作图痕迹)
解：如图, 即为所求作.
2星题 中档练
4.如图， ， ，根据图中尺规作
图的痕迹，可知____ .
35
5.(8分)［2025·上海月考］如图，已知 和 ，利用尺规
作，使 .
解：如图， 即为所求作的角.
3星题 提升练
6.(8分)真实情境 小亮的一张地图上有，， 三个城市，
地图上的城市被墨迹污染了(如图)，但知道 ，
，请你用尺规作图的方法帮他在图中确定 城市
的具体位置.(保留作图痕迹，不写作法)
解：如图，点 即为所求.
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第4章 几何图形初步
4.3 线段的长短
第2课时 线段的中点及基本事实
核心必知
1星题 基础练
知识点1 线段的中点
1.［知识初练］下列条件中能确定是线段 的中点的是
( )
C
A. B.
C. D.
2.如图，,，为线段的中点，则 的长度
为( )
D
A.5 B.4 C.3 D.2
3.如图,是线段的中点,点,把线段三等分.已知 的
长为1,则线段 的长为___.
6
知识点2 线段的基本事实以及两点间距离
4.， 两点间的距离是( )
D
A.连接两点的直线 B.连接两点的线段
C.连接两点的直线的长度 D.连接两点的线段的长度
5.［2024·厦门十一中期末］如图，一只蚂蚁外出觅食，它与
食物间有三条路径，从上到下依次记为①，②，③，则蚂蚁
选择第____条路径最近，理由是__________________.
②
两点之间线段最短
2星题 中档练
6.分类讨论思想 如图，为线段的中点， ，若点
在直线上，且，则 的长为______.
3或7
7.(12分)［2025年1月安庆期末改编］如图，已知点， 在线
段上，且 .
(1)比较线段的长度:___(填“ ”“”或“ ”);
(2)已知,,是的中点,是 的中点,求线
段 的长度；
解：由题意得.因为 是
的中点，是 的中点，所以
，所以
.
(3)在(2)中,如果,,其他条件不变,那么
_________(用含, 的式子表示).
8.(12分)［2025·佛山月考］平面上有， ，
， 四个村庄，为解决当地缺水问题，政府
准备投资修建一个蓄水池，不考虑其他因素，
请你画图确定蓄水池 的位置，使它与四个村庄的距离之和最
小，，，四个村庄的地理位置如图所示 ，并说明理由.
解：如图所示，连接，交于点，点 就是蓄水池的位
置，这一点到，，， 四个村庄的距离之和最小.理由：
两点之间的所有连线中，线段最短.(共6张PPT)
专题训练13 中考趋势
综合与实践
专题训练
(12分) 中考趋势·探究建模 [2025年
1月上海期末] 【动手实践】在数学
研究中，观察、猜想、实验验证、
得出结论，是我们常用的几何探究方式．
请利用一个含有 角的直角三角板和一个含有 角
的直角三角板 尝试完成探究．
【实验操作】
(1)若边和边重合摆成图①的形状，则 ______；
(2)保持三角板 不
动，将 角的顶点
与三角板的
角的顶点重合，然后
摆动三角板，请问：当 为多少度时，
． 请说明理由；
解： 或 ．
理由：如答图① ，
因为 ， ，
，
所以 .
如答图②，因为 ， ，
，所以
.
【拓展延伸】
(3)试探索：保持三角板 不动，
将 角的顶点与三角板的
角的顶点重合，然后摆动三角板
的度数为 ， ， 或 .
，使得与 中其中一个角是另一个角的两倍，
请直接写出所有满足题意的 的度数．
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