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(共21张PPT)
第3章 一次方程与方程组
3.5 二元一次方程组的应用
第3课时 调配、配比与配套问题
1星题 基础练
知识点1 调配问题
1.学校组织植树活动，已知在甲处植树的有23人，在乙处植树
的有17人，现调20人去支援，使在甲处植树的人数是乙处植
树人数的2倍.设调往甲处人，调往乙处 人，则可列方程组
为( )
B
A. B.
C. D.
2.(8分)［2025·滁州月考］甲、乙两车间各有工人若干名，若
从甲车间调100人给乙车间，则甲车间人数是乙车间人数的 ，
若从乙车间调100人给甲车间，则甲车间人数与乙车间人数
相同.甲、乙两车间分别原有多少名工人
解：设甲车间原有名工人，乙车间原有 名工人，
根据题意，得解得
答：甲车间原有180名工人，乙车间原有380名工人.
知识点2 配比问题
3.(8分)跨学科·化学 为了使某植物的长势更好，张叔叔决定
利用甲、乙两种肥料配制营养肥料.已知每克甲种肥料中含有
0.6单位镁元素和0.08单位铁元素，每克乙种肥料中含有0.5单
位镁元素和0.04单位铁元素.如果每次施肥需要34单位镁元素
和4单位铁元素，那么每次施肥需要甲、乙两种肥料各多少
克才能使该植物长势更好？
解：设每次施肥需要甲种肥料克、乙种肥料 克，根据题意
得解得
答：每次施肥需要甲种肥料40克、乙种肥料20克.
知识点3 配套问题
主图情境
生产中的数学智慧
工业生产如精密齿轮，各环节紧密配合，从工人的分工
协作到零件的配套生产，每一处都闪烁着数学智慧的光芒.
4.［2025年1月芜湖期末］在一家专注光学产品制造的车间里，
60名工人投入太阳镜的生产，1名工人每天可生产镜片200片或
镜架50个.每副太阳镜由2片镜片和1个镜架配成一套，应如何分
配工人生产镜片和镜架，才能使产品正好配套？设安排 名工
人生产镜片， 名工人生产镜架，则可列方程组为 ( )
D
A. B.
C. D.
5.某机械厂加工车间有85名工人，平均每人每天加工大齿轮16
个或小齿轮10个.已知2个大齿轮与3个小齿轮配成一套，安排
____名工人加工大齿轮，才能使每天加工的大小齿轮刚好配套.
25
6.(8分)某工厂计划生产一种新型豆浆机,每台豆浆机需3个 零
件和5个零件.已知车间每天能生产零件450个或 零件300
个.现在要求在21天中所生产的零件刚好配套,那么应安排多
少天生产零件,多少天生产 零件 这些零件可以满足生产多
少台豆浆机
解：设应安排天生产零件，天生产 零件.根据题意，得
解得
(个)， (台).
答：应安排6天生产零件，15天生产 零件，这些零件可以
满足生产900台豆浆机.
2星题 中档练
7.［2025年1月大同期末］为提高病人免疫力，某医院精选甲、
乙两种食物为病人配制营养餐.已知每克甲种食物中铁的含量
是蛋白质的2倍，每克乙种食物中铁的含量是蛋白质的 .如果
病人每餐需要175个单位的蛋白质和200个单位的铁，每餐需
要甲、乙两种食物分别为140克、150克，则每克甲种食物中
含铁___个单位.
1
设每克甲种食物中含蛋白质 个单位，每克乙种食物
中含蛋白质 个单位.根据题意，得
解得
所以 ，所以每克甲种食物中含铁1个单位.
8.(12分)真实情境 为助力“零碳乡村”建设，某科技公司使用
新能源货车和智能物流无人机向乡村配送190套太阳能发电
设备，已知货车每辆可运送设备20套，无人机每架可运送设
备30套，货车和无人机一共用了8辆满载运送.
(1)小宇同学根据题意列出了一个尚不完整的方程组
请写出小宇所列方程组中未知数， 表示的
意义：表示________________， 表示__________________，
该方程组中“？”处的数应是___，“*”处的数应是_____；
使用货车的数量
使用无人机的数量
8
190
(2)小琼同学的思路是设货车运送套设备，无人机运送 套
设备.请你按照小琼的思路列出方程组，并求使用货车的数量；
解：依题意得解得
所以 .
答：使用货车5辆.
(3)如果每辆货车的运费是180元，每架无人机的运费是300元，
那么该公司运送这190套设备后的总运费是多少？
总运费为 (元).
答：该公司运送这190套设备后的总运费是1 800元.
9.(8分)［2025年1月合肥期末］某工厂生
产如图①所示的长方形和正方形纸板，
做成如图②所示的竖式与横式两种长方
体形状的无盖纸盒，其中竖式纸盒由4个长方形和1个正方形
纸板做成，横式纸盒由3个长方形和2个正方形纸板做成
(给定的长方形和正方形纸板都不用裁剪，也不考虑接缝).
(1)现有长方形纸板340个，正方形纸板
160个，做成上述两种纸盒，纸板恰好用
完，求两种纸盒的生产个数.
解：设做成的竖式纸盒有个，横式纸盒有 个，根据题意得
解得
答：做成的竖式纸盒有40个，横式纸盒有60个.
(2)纸板车间共有78名工人，每名工人一
天能生产70个长方形纸板或者100个正方
形纸板.已知一个竖式纸盒与一个横式纸
盒配套，要求纸板车间一天生产的纸板由其他车间做成的竖
式纸盒与横式纸盒配套，问纸板车间应如何安排工人生产这
两种纸板？
设分配名工人生产正方形纸板， 名工
人生产长方形纸板，由题意，
得解得
答：纸板车间应分配18名工人生产正方
形纸板，60名工人生产长方形纸板.(共17张PPT)
第3章 一次方程与方程组
3.5 二元一次方程组的应用
第1课时 比赛得分与行程问题
1星题 基础练
知识点1 比赛得分问题
主题情境
校园文体活动里的数学奥秘
阳光洒满校园，文体活动开展得如火如荼，它们恰似神
秘密码，藏着数学的独特韵味
1.［2025年1月合肥期末］为激发同学们对围棋的热爱，学校
组织了围棋比赛，积分规则如下：胜1场记2分，负1场记1分，
且每场比赛都要分出胜负.小明在5场比赛中共得到8分，若设
小明胜场，负 场，则可列方程组为( )
B
A. B.
C. D.
2.学校为增进亲子关系，举办了“亲子投篮大挑战”活动，游
戏规则为：学生投中1个得2分，学生家长投中1个得1分，小
明与爸爸参加此活动，两人共投中了25个.经计算，发现小明
比爸爸多得2分，则小明投中了___个，爸爸投中了____个.
9
16
3.(8分)［2024·淮北期末］为丰富校园生活，减轻学生学习压
力，提高学生身体素质，小明学校举办了春季足球比赛.比赛
规定胜1场得3分，平1场得1分，负1场扣1分.某队在10场比赛
中胜了6场，共得20分，问该队负了几场？
解：设该队负了场，平了 场.
根据题意，得解得
答：该队负了1场.
知识点2 行程问题
4.甲、乙两地相距，小轿车从甲地出发， 后，大
客车从乙地出发相向而行，又经过 两车相遇.已知小轿车
比大客车每小时多行，设大客车每小时行 ，小轿
车每小时行 ，则可列方程组为( )
D
A. B.
C. D.
5.真实情境 点点家离学校 ，每天骑自行车上学和放学.
有一天上学时顺风，从家到学校共用时 ，放学时逆风，
从学校回家共用时 ，则点点在无风时骑自行车的平均
速度为____，平均风速为___ .
16
4
6.(8分)在 的环形跑道上，甲、乙两人从同一起点同时
出发匀速而行，若反向而行， 后两人第一次相遇；若同
向而行， 后甲第一次追上乙.求甲、乙两人的速度.
解：设甲、乙两人的速度分别为、 .根据题意，
得解得
答：甲、乙两人的速度分别为、 .
2星题 中档练
7.从甲地到乙地的路有一段上坡，一段平路，如果保持上坡
每小时走，平路每小时走，下坡每小时走 ，
那么从甲地到乙地需要，从乙地到甲地需要 ，
则从甲地到乙地的全程是_____ .
8.创新题·新考法 某市高中篮球联赛前三名的积分如下：
球队 比赛场次 胜场 负场 平场 积分
34 21 7 6 69
34 20 7 7 67
34 8 64
规定：负一场积0分.观察后可知，球队 在这个赛季的胜场
次数是____场.
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9.(8分)真实情境 2025年全国青少年 科技创新大赛中，有
20道必答题,每一道题答对得10分,答错或不答都扣5分;3道抢
答题,每一道题抢答对得10分，抢答错扣20分，抢答不到不得
分也不扣分.甲、乙两队决赛，甲队必答题得了170分，乙队
必答题只答错了1道,其余均答对.
(1)甲队必答题答对的有多少道 答错或不答的有多少道
解：设甲队必答题答对的有 道，答错
或不答的有道.根据题意，得
解得
答：甲队必答题答对的有18道，答错或不答的有2道.
(2)抢答赛中,乙队抢答对了第1道题,又抢到了第2道题,但还没
作答，甲队啦啦队队员小黄说:“我们甲队输了!”小汪说:“小
黄的话不一定对!”请你举一例说明“小黄的话”有何不对.
举例如下(答案不唯一) 甲队现在得分为170分，乙队现在得
分为 (分)，
若第2道题乙队抢答错，则乙队得分为 (分)，
若第3道题甲队抢答对，则甲队最后得分为
(分)，故甲队获胜，所以“小黄的话”不一定对.
10.(8分),两地相距，甲从地出发步行到 地，乙从
地出发骑自行车到 地，两人同时出发，且速度均保持不
变，后两人相遇，又经过 ，甲剩余路程为乙
剩余路程的3倍.
(1)求甲、乙每小时各行多少千米.
解：设甲每小时行，乙每小时行 .
根据题意，得
解得
答：甲每小时行，乙每小时行 .
(2)在他们出发后多长时间两人相距 ？
相遇前： ；
相遇后： .
故在他们出发后或两人相距 .
3星题 提升练
11.一人沿笔直的公路行走，每 迎面开过一辆公交车，
每 身后开过一辆公交车.若公路的两端各有一个公交
车发车点，每过一段时间同时发车，且公交车和人的速度都
保持不变，则公交的发车间隔是___ .
6(共20张PPT)
第3章 一次方程与方程组
3.4 二元一次方程组及其解法
第3课时 二元一次方程组的解法——加减
消元法
核心必知
把两个方程的两边分别____________消去一个未知数的方法
叫作加减消元法，简称加减法.
用加减消元法解二元一次方程组时，必须使这两个方程中某
一个未知数的系数的绝对值相同.
相加或相减
1星题 基础练
知识点1 直接利用加减消元法解二元一次方程组
1.［知识初练］方程组中，未知数 的系数
的关系是______，未知数 的系数的关系是____________.把
方程①②的两边分别相加，就能消去未知数___；把方程①
②的两边分别相减，就能消去未知数___.
相等
互为相反数
2.用“加减法”消去方程组中的 后得到的方程
是( )
D
A. B. C. D.
3.(4分)解方程组：
解：,得，解得 .
将代入①,得，解得 .
所以原方程组的解为
知识点2 变系数后用加减消元法解二元一次方程组
4.［2024·合肥期中］解方程组 用加减消元法
消去 ，需要用( )
C
A. B.
C. D.
5. 加减消元法
6.(8分)解方程组：
(1)
解：，得，解得 .
将代入①，得，解得 .
所以原方程组的解为
(2)
，得 ，③
，得 ，④
，得，解得 .
将代入①，得，解得 ，
所以原方程组的解为
知识点3 用适当的方法解二元一次方程组
7.二元一次方程组 最适宜用______消元法直接
消元.
加减
8.(8分)选择适当的方法解下列方程组.
(1)
解：由①，得 .③
把③代入②，得.解得.把 代入③，
得.所以原方程组的解为
(2)
,得 .③
，得，把代入①，得 ，解得
.所以原方程组的解为
2星题 中档练
9.［2025年1月北京期末］在解二元一次方程组
时，下列方法中无法消元的是( )
C
A.
B.由①变形得 ，将其代入②
C.
D.由②变形得 ，将其代入①
10.整体思想 已知有理数，满足方程组 则
的值为( )
A
A. B.0 C.1 D.2
11.［2025年1月淮北期末］若关于, 的二元一次方程组
的解满足,则 的值是___.
2
12.创新题·新考法 [2025年1月芜湖期末] 对于有理数， ，
定义一种新运算：，其中， 为常数.已知
，，则 ____.
20
根据题中的新定义化简得：
得，，解得，把代入①，得 ，
解得，则 .
13.(8分)在解关于，的方程组 时，
可以用消去未知数,也可以用 消
去未知数,试求， 的值.
解：由题意得解得
3星题 提升练
14.(8分)中考趋势·阅读理解 阅读解方程组的过程，再回答相
应的问题.
解方程组：
解：原方程组可化为
将两个方程相减，得，则 .
把代入到方程②，可得，所以 ，
则原方程组的解是
以上解方程组的方法叫消常数项法.
请用上面的方法解方程组：
解：
，得，即 .③
把③代入①，得 ，
解得.把代入③，得 .
则原方程组的解是(共21张PPT)
第3章 一次方程与方程组
3.4 二元一次方程组及其解法
第1课时 二元一次方程组
核心必知
1.含有______未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的方
程叫作二元一次方程.
2.由两个__________组成，且含两个未知数的方程组叫作二
元一次方程组，其中有的方程可以是一元一次方程.
两个
一次方程
1星题 基础练
知识点1 二元一次方程
1.［2025·杭州月考］下列方程是二元一次方程的是( )
C
A. B.
C. D.
2.关于，的方程是二元一次方程，则
的取值范围是( )
C
A. B. C. D.
3.若方程是关于， 的二元一次方程，则
___.
3
知识点2 二元一次方程组
4.下列方程组是二元一次方程组的是( )
C
A. B.
C. D.
5.创新题·新考法 若方程组 是二元一次方程组，
则“……”不可能是( )
C
A. B. C. D.
6.［2025年1月安庆期末］若是关于,
的二元一次方程组，则___， ____.
1
知识点3 建立二元一次方程组模型
7.某班35名学生共种87棵树苗.其中男生每人种3棵，女生每
人种2棵，设该班男生有人，女生有 人.根据题意，所列方
程组正确的是( )
D
A. B.
C. D.
8.(8分)教材改编题 根据题意列二元一次方程组.
(1)一个长方形的周长是，宽比长短 ，求这个长方
形的长和宽.
解：设这个长方形的长为,宽为 ，则
(2)某校有两种类型的学生宿舍共30间，大宿舍每间可住8人，
小宿舍每间可住5人，该校住宿生198人恰好住满这30间宿舍，
大、小宿舍各有多少间？
设大宿舍有间，小宿舍有间，则
2星题 中档练
9.易错题 [2024·合肥庐阳区期末] 若方程
是关于，的二元一次方程，则 的值
为( )
D
A. B. C.0 D.1
10.已知方程组：
下列说法正确的是( )
D
A.只有①是二元一次方程组
B.只有②是二元一次方程组
C.只有②③是二元一次方程组
D.只有②不是二元一次方程组
11.数学文化 [2025年1月阜阳期
末] 《九章算术》中的“方程”
一章中讲述了算筹图，如图①②
所示，图中各行从左到右列出的算筹数分别表示未知数，
的系数与相应的常数项，图①表示的算筹图用我们现在所熟
悉的方程组形式表述出来为 类似地，图②所
示的算筹图用方程组可表述为
_ ______________.
12.若 ，则可转化为方程组：
_ ________________.
13.创新题·新考法 问题：“小明家离学校 ，其中有一
段为上坡路，另一段为下坡路.他跑步去学校共用时 ，
已知小明上坡的平均速度为 ，下坡的平均速度为
，小明上坡和下坡各用了多长时间？”
小亮设出未知数，后列出了方程组
则“……”表示的方程是___________，小颖设出未知数，
后却列了和小亮不同的方程组： 则“……”
表示的方程是___________________________.
14.(8分)［2025年1月芜湖期末］如图是
由截面为同一种长方形的墙砖组成的部
分墙面，其中3块横放的墙砖比1块竖放
的墙砖高，2块横放的墙砖比2块竖放的墙砖低 ，
试求每块墙砖截面的长和宽.若设每块墙砖的截面的长为
，宽为 ，请根据题意，列出二元一次方程组.
解：由“3块横放的墙砖比1块竖放的墙砖
高”得 .由“2块横放的墙
砖比2块竖放的墙砖低 ”得
.故可列出二元一次方程组
为
3星题 提升练
15.跨学科·语文 成语“朝三暮四”讲述了一位老翁喂养猴子的故事，老翁为
了限定猴子的食量分早晚两次投喂，早上的粮食是晚上的 ，猴子们对于
这个安排很不满意，于是老翁进行调整，从晚上的粮食中取2千克放在早
上投喂，这样早上的粮食是晚上的 ，猴子们对这样的安排非常满意.设调
整前早上的粮食是千克，晚上的粮食是 千克，则可列方程组为( )
A. B. C. D.
B(共24张PPT)
第3章 一次方程与方程组
3.5 二元一次方程组的应用
第2课时 百分率与方案问题
1星题 基础练
知识点1 百分率问题
1.真实情境 某地推广智慧农业技术，将部分传统农田改造为智
能温室种植区.改造后，传统农田面积是智能温室面积的 ，
且传统农田与智能温室总面积为 .设改造后传统农田面
积为，智能温室面积为 ，则可列方程组为 ( )
B
A. B.
C. D.
2.有甲、乙两种铜和银的合金，甲种合金含银 ，乙种合
金含银，现在要熔制含银的合金 ，设需甲
合金的质量为，乙合金的质量为 ，则可列方程组为
_ _____________________________.
3.甲仓库和乙仓库共存粮450吨，现从甲仓库运出存粮的
，从乙仓库运出存粮的 ，结果乙仓库所余的粮食比
甲仓库所余的粮食多30吨.则甲仓库原来存粮_____吨,乙仓库
原来存粮_____吨.
240
210
4.(8分)某校去年有学生1 000名，今年比去年增加了 ，
其中寄宿学生增加了，走读学生减少了 ，问该校去年
有寄宿学生与走读学生各多少名？
解：设该校去年有寄宿学生名，走读学生 名.
根据题意，得
解得
答：该校去年有寄宿学生800名，走读学生200名.
知识点2 方案问题
5.［2025年1月合肥期末］已知1辆 型车载满货物一次可运
货1吨，1辆 型车载满货物一次可运货4吨.某公司有14吨货
物，计划同时租用型车和 型车，一次运完，且每辆车都
装满货物，共有租车方案( )
B
A.4种 B.3种 C.2种 D.1种
6.某校为加强爱读书、读好书、善读书的阅读氛围，准备用
720元购买图书展示架，可供选择的有 种展示架120元/个，
种展示架180元/个，在资金用尽且可以只买其中一种展示
架的情况下，一共有___种购买方案.
3
7.(8分)［2025·广州模拟］某公司组织员工去三星堆参观，现
有，两种客车可以租用.已知3辆种客车和2辆 种客车可
以坐260人，2辆种客车可坐的人数和3辆 种客车可坐的人
数一样多.
(1)请问， 两种客车每辆分别可坐多少人？
解：设种客车每辆可坐人，种客车每辆可坐 人，
根据题意，得解得
答：种客车每辆可坐60人， 种客车每辆可坐40人.
(2)已知该公司共有320名员工，请问如何安排租车方案，可
以使得所有员工恰好坐下？
设租用辆种客车，辆 种客车，根据题意，得
，所以 ，
又因为， 均为非负整数，
所以或或 所以共有3种租车方案，
方案1：租用8辆 种客车；
方案2：租用2辆种客车，5辆 种客车；
方案3：租用4辆种客车，2辆 种客车.
2星题 中档练
8.［2025年1月芜湖期末］某工程公司下属的甲工程队、乙工
程队分别承包了工程、 工程，甲工程队晴天需要14天完
成，雨天工作效率下降 ；乙工程队晴天需要15天完成，
雨天工作效率下降 ，实际上两个工程队同时开工，同时
完工，两个工程队各工作了( )
C
A.15天 B.16天 C.17天 D.18天
设两工程队各工作了天，在施工期间有 天有雨，
由题意得，
解得 故两个工程队各工作了17天.
9.(8分) 真 实 情 境[2025 合肥月考] 点点学校引入 营养
师系统，为学生定制低碳环保早餐套餐.每 早餐套餐中，
蛋白质总含量为 ，包括一个谷物面包，一盒牛奶和一个
去壳鸡蛋(一个去壳鸡蛋的质量约为 ，其中蛋白质含量为
；谷物面包和牛奶的部分主要营养成分如表所示).
项目 谷物面包(含量) 牛奶(含量)
蛋白质
脂肪
碳水化合物
设该早餐套餐中每份有谷物面包，牛奶 .
(1)请补全表格(用含有， 的代数式表示)；
谷物面包 牛奶 去壳鸡蛋 总量
50 400
_______ _____ 11
(2)求出， 的值.
解：由题意，得：
解得
3星题 提升练
10.(12分)应用意识 现有若干个体积相同的
大球和体积相同的小球,根据图中的信息,
解答下面的问题:
(1)放入1个小球水面升高___,放入1个大球水面升高___ ;
2
3
(2)如果放入大球、小球共10个,要使水面
上升到 ,应放入大球、小球各多少
个
解：设应放入个大球， 个小球.
根据题意得 解得
答：应放入4个大球，6个小球.
(3)现有充足的大球和小球,要使水面上升到 ,你还有其
他方案吗
设放入个大球， 个小球，根据题意得
,所以 .又
因为,均为非负整数，所以 或
或或或
所以还有4个其他方案，分别为
方案1：放入8个大球；
方案2：放入6个大球，3个小球；
方案3：放入2个大球，9个小球；
方案4：放入12个小球.(共14张PPT)
专题训练8 专项整合
利用二元一次方程(组)的解求参数的值
专题训练
题型1 已知二元一次方程(组)的解求参数值
方法指导
1.已知当时，关于，的二元一次方程 的解
也是二元一次方程的解，则 ___.
3
2.若关于，的二元一次方程组的解是
则 的值为___.
1
题型2 已知二元一次方程与二元一次方程组同解，利用整体
思想求参数值
方法指导
含参数的二元一次方程组中，运用两个二元一次方程直
接相加减(或再除以一个系数)，得到与参数相关的式子，再
结合已知条件中式子的值，得到关于参数的方程，解方程即
可求得参数的值.
3.已知关于，的二元一次方程组 的解满
足，则 __.
4.［2025·北京模拟］在关于, 的二元一次方程组
中，若,则 的值为___.
3
题型3 已知两个方程组同解求参数值
方法指导
先将四个方程中不含参数的二元一次方程结合起来组合
成一个方程组，求出该方程组的解.再将所求的解代入到另外
两个含参数的方程中进行求解，得出参数的值.
5.(8分)关于,的方程组与关于, 的方程组
的解相同，求 的值.
解：根据题意，得解得
将其代入得
解得则 .
题型4 已知方程组的错解求参数值
方法指导
把错解代入不含看错系数的方程中，构建新的方程求解.
6.(8分)已知方程组 由于甲看错了方程①中
的，得到方程组的解为乙看错了②中的 ，得到方
程组的解为若按正确的， 计算，求原方程组的解.
解：根据题意，可知满足方程②， 满足方程
①，则解得把 代入原方程组
得解得所以原方程组的解为
题型5 已知方程组的整数解求参数值
7.分 类 讨 论 思 想 [2025年1月马鞍山期末] 已知关于 ，
的方程组有正整数解，则 的值为________
______.
或或1(共24张PPT)
第3章 一次方程与方程组
3.3 一元一次方程的应用
第2课时 储蓄、销售问题
1星题 基础练
知识点1 储蓄问题
1.王先生三年前到银行存了一笔3年期的定期存款，年利率是
，到期后取出，得到本息和32 475元.设王先生存入的
本金为 元，则下面所列方程正确的是( )
A
A. B.
C. D.
2.［2025·芜湖月考］小明同学存入300元的活期储蓄，存满3
个月时取出，共得本息和302.16元，则此活期储蓄的月利率
是( )
A
A. B. C.0.24 D.0.72
3.(8分)教材改编题已知五年期定期储蓄的年利率为 ，某
储户有一笔五年期定期储蓄，到期后得到利息1 020元.问该
储户存入了多少本金？
解：设该储户存入了 元本金，
由题意得，，解得 .
答：该储户存入了6 800元本金.
知识点2 销售问题
主题情境
乡村建设是推进乡村全面振兴的重要组成部分，小点村
积极采取措施，通过提高村民福利、增加村民经济收入，实
现小点村的全面进步，逐步提升村民的收获感和幸福感.请完
成题.
4.暑假期间，村里眼镜店开展学生配镜优
惠活动.某款式眼镜的广告如下：
则该款式眼镜的原价为_____元.
300
5.(8分) 村里以150元/ 的价格从村民手中收购
金银花，再以200元/ 的价格进行零售.现将金银花打折出售
给某医药公司，若要使每千克金银花仍可获利20元，则打折
的折扣为多少？
6.(8分)真实情境 村里有不少家庭需要使用电脑，为方便村
民就近购买，村里的商店决定采购一批电脑，下表是进货单
的一部分，其中进价一栏被污损，根据该进货单，请你算出
这批电脑每台的进价.
进价(商品的进货价格) ________元/台
标价(商品的预售价格) 5 850元/台
折扣 八折
利润(实际销售后的利 润) 210元/台
售后服务 终身保修，三年内免收任何费
用，三年后收取材料费
解：设这批电脑每台的进价为 元，由题意得，
，解得 .
答：这批电脑每台的进价为4 470元.
2星题 中档练
7.2025年某新能源汽车电池专卖店售出两款不同型号的电池，
均以160元成交.其中一款盈利，另一款亏损 ，在本
次交易中，该专卖店( )
B
A.不盈不亏 B.盈利20元 C.盈利10元 D.亏损20元
8.［2025·绍兴模拟］张先生向商店订购某种商品80件，每件
定价100元.张先生向商店经理说：“如果你肯减价，每减价1
元，我就多订购4件.”商店经理算了一下，如果减价 ，由
于张先生多订购，仍可获得与原来一样多的利润，则这种商
品每件的成本是____元.
75
设这种商品每件的成本是 元，减价
则每件减(元)，可多订购 (件).
由题意，得 ，
解得 .则这种商品每件的成本是75元.
9.周大爷准备去银行存储一笔现金，经过咨询，银行的一年
定期储蓄年利率为，两年定期储蓄年利率为 .如果
将这笔现金存两年定期，期满后将比先存一年定期到期后连
本带息再转存一年定期的方式多得利息235.5元，那么周大爷
准备储蓄的这笔现金是________元.
10.(8分)创新题·新题型双十一购物节期间，某网络商城推出
了“每满300减40”的活动.某品牌微波炉按进价提高 后标
价，再按标价的八折预售，顾客在双十一购物节期间购买该
微波炉，最终付款640元.
(1)将表格补充完整.
_________ _______
减免金额/ 元 0 40 ____ 120
80
(2)商家卖一个微波炉赚多少元？
解：设微波炉的进价为 元，则商家卖一个微波炉赚
元，依题意得 ，
解得，所以 .
答：商家卖一个微波炉赚40元.
3星题 提升练
11.(12分) 模型观念 [2024·合肥期中] 全民开展体育运动，人
们对足球的需求量增加.某经理做市场调研，了解到如下信息：
信息一：某体育用品商城从厂家购进了品牌足球30个，
品牌足球20个，共付款4 400元.已知每个品牌足球比每个
品牌足球的进价贵20元.
信息二：该体育用品商城将 品牌足球按信息一中的进价提
高后标价，品牌足球按信息一中的进价提高 后标
价，实际销售时再打折出售，此时信息一中所购进的足球全
部销售完后可获利860元，已知 品牌足球实际销售时打八折.
(1)每个品牌足球和每个 品牌足球的进价分别为多少元？
解：设每个品牌足球的进价是元，则每个 品牌足球的进
价是 元，根据题意，
得，解得 ，
所以 .
答：每个品牌足球的进价是80元，每个 品牌足球的进价
是100元.
(2)求信息二中 品牌足球实际销售时打几折.
设信息二中品牌足球实际销售时打 折，
根据题意，得
，
解得 .
答：信息二中 品牌足球实际销售时打八五折.
(3)在的条件下，该经理购进， 两种品牌的足球共
50个，每售出一个品牌足球，再返顾客元， 品牌足球售
价不变.若无论购进多少个 品牌足球，最终总的获利都相同，
求 的值.
因为无论购进多少个 品牌足球，最终总的获利都相同，所
以， 两种品牌足球的销售利润相同，
根据题意，得
，解得 .(共19张PPT)
第3章 一次方程与方程组
3.1 方程
第2课时 等式的基本性质
核心必知
等式的基本性质：
性质1：等式的两边都加上(或减去)____________，所得结果
仍是等式.
性质2：等式的两边都乘以(或除以)______________________，
所得结果仍是等式.
性质3：如果，那么 ___.(对称性)
性质4：如果，，那么 ___.(传递性)
同一个整式
同一个数(除数不能为0)
1星题 基础练
知识点1 等式的基本性质1
1.［知识初练］图①中的天平处于平衡状态，用等式表示是
_______；如图②，在天平两边托盘中同时加入砝码 ，天平
仍然处于平衡状态，用等式表示是_____________.
2.［2024·滁州期中］下列不属于等式的基本性质1的应用的
是( )
C
A.由得 B.由得
C. D.由得
3.(1)已知等式 ，根据等式的基本性质1，等式两边
_________，得 ___；
(2)已知等式 ，根据等式的基本性质1，等式两边
__________，得 ___.
同时减2
2
同时减
7
知识点2 等式的基本性质2
4.［知识初练］图①中的天平处于平衡状态，用等式表示是
_______；如图②，在天平两边托盘中同时加入相同数量的
物体，天平仍然处于平衡状态，用等式表示是_________.
5.教材改编题 下列等式变形正确的是( )
C
A.由，得 B.由，得
C.由，得 D.由，得
知识点3 等式的基本性质3、4
6.在横线上填上适当的数.
(1)如果，那么 ___；
(2)如果,，那么 ___.
4
5
知识点4 利用等式的基本性质解简单方程
7.由得到 ，可分两步，将下面步骤补充完整：
第一步：根据等式的基本性质___，等式两边同时_____，得
到 ；
第二步：根据等式的基本性质___，等式两边同时_______，
得到 .
1
加1
2
除以2
8.(8分)解方程并检验：
(1) ；
解：两边同时减5，得 .
检验：把代入原方程，得左边 ，
右边，左边右边，所以 是原方程的解.
(2) .
解：两边同时加2，得，两边同时除以6，得 .检
验：把代入原方程，得左边，右边 ，
左边右边，所以 是原方程的解.
2星题 中档练
9.［2025年1月合肥期末］下列变形错误的是( )
B
A.若，则
B.若，则
C.若，则
D.若，则
补充设问 如果，那么成立时 应满足的条件
是______.
10.［2025年1月大同期末］等式 中的部分内
容被墨渍污染，则被墨渍污染的“ ”为( )
A
A. B.
C. D.
11.跨学科·物理 某种弹簧秤原来的长度为 ，悬挂重物后的
长度可以用公式表示，其中是悬挂物的质量，
是常数，则_________(用含，， 的式子表示).
12.(8分)高阶思维·批判性思维 小明学习了等式的基本性质后
对小亮说：“我发现4可以等于3，你看这里有一个方程：
，方程的两边都加上2，得 ，然后
方程的两边都除以，得 .”
(1)小明的说法对吗？为什么？
解：不对，理由：对于方程，因为 可能等于0,所以
两边不能都除以 .
(2)请用等式的基本性质求出方程 的解.
解：方程的两边都加上2，得 ，方程的两边都减去
，得 .
13.(8分)［2025·芜湖月考］利用等式的基本性质，说明由
如何变形得到 .
解： ，等式两边同时乘以2，得
，等式两边同时加上2，得
，即 .
3星题 提升练
14.推理能力 已知 、 、 分别代表不同的物体，用天平比
较它们的质量，如图所示.根据砝码显示的质量，可得
______， _______ .(共21张PPT)
第3章 一次方程与方程组
3.5 二元一次方程组的应用
第4课时 其他问题
1星题 基础练
知识点1 几何问题
1.［2025年1月合肥期末］如图，在长为15，宽为12的大长方
形中，有形状、大小完全相同的5个小长方形.若求阴影部分的
面积，应先求一个小长方形的面积.设小长方形的长为 ，宽为
，则可列方程组为( )
C
A. B.
C. D.
2.(8分)如图,两根铁棒直立于桶底水平的木桶中，
在桶中加入水后，一根露出水面的长度是这根铁
棒长度的 ，另一根露出水面的长度是这根铁棒长
度的,两根铁棒长度之和为 ,求木桶中水的
深度.
解：设短铁棒的长度为 ，长铁棒的长度为
，则
解得 .
答：木桶中水的深度是 .
知识点2 销售问题
3.某茶叶经销商购进“路丁茶”和“槐米茶”进行销售，已知
“路丁茶”与“槐米茶”的售价为280元， “路丁茶”
与“槐米茶”的售价为270元.设“路丁茶”的售价为元/ ，
“槐米茶”的售价为元/ ，则可列二元一次方程组为
_ _______________.
4.某商场按定价销售某种商品时，每件可获利45元；按定价
的8.5折销售该商品8件与将定价降低35元销售该商品12件所
获利润相等.该商品的进价、定价分别是( )
B
A.95元、180元 B.155元、200元
C.100元、120元 D.150元、125元
5.(8分)［2024·六安模拟］某鞋业专卖店购进甲、乙两种款式
的篮球鞋，甲种篮球鞋进价120元/双，售价150元/双；乙种
篮球鞋进价80元/双，售价120元/双.该专卖店用10 800元购进
这两种篮球鞋并全部售出，获得的总利润为3 900元.求该专
卖店购进甲、乙两种篮球鞋各多少双.
解：设该专卖店购进甲种篮球鞋双，乙种篮球鞋 双.
根据题意，得
解得
答：该专卖店购进甲种篮球鞋50双，乙种篮球鞋60双.
知识点3 数字问题、年龄问题
6.［2025·淮南月考］已知某首歌曲的歌词的字数是一个两位
数，十位数字是个位数字的两倍，且十位数字比个位数字大
4，则这首歌的歌词的字数是( )
A
A.84 B.48 C.41 D.14
7.(8分)今年父亲的年龄是儿子年龄的3倍，7年前父亲的年龄
是儿子年龄的5倍，问父亲、儿子今年的年龄分别是多少岁？
解：设父亲和儿子今年的年龄分别为岁和 岁.根据题意，
得解得
答：父亲今年42岁，儿子今年14岁.
2星题 中档练
8.创新题·新考法 如图，两只猫在同一桌子附近玩，根据图
中的数据，桌子的高度是( )
D
A. B. C. D.
9.真实情境 如图，某工厂生产镂空的铝板雕花造型，造型由
绣球花、祥云两种图案组合而成.因制作工艺不同，，
两种图案成本不同，厂家提供了如下几种设计造型，造型1的
成本为64元，造型2的成本为42元，则造型3的成本为____元.
22
设设，两种图案的成本分别为元， 元，由题意
得，解得
所以 ，所以造型3的成本是22元.
10.(8分)［2025年1月北京期末］某班级为了布置教室，购买
了一些日常用品和装饰品，清单见表格(部分信息不全)
物品名 单价/元 数量/个 金额/元
小黑板 40
挂钟 25 2 50
门垫 30 1 30
拖把 20
物品名 单价/元 数量/个 金额/元
倒计时墙贴 2 30
合计 8 210
回答下列问题：
(1) ____；
15
(2)该班级购买的小黑板和拖把的数量分别是多少？
解：设该班级购买了小黑板个，拖把 个，
由题意得
解得
答：该班级购买了2个小黑板，1个拖把.
11.(8分)［2025年1月滁州期末］一家商店进行装修，若请甲、
乙两个装修组同时施工，8天可以完成，需付两组费用共
3 520元；若先请甲组单独做6天，再请乙组单独做12天可以
完成，需付两组费用共3 480元.
(1)求甲、乙两个装修组工作一天，商店各需付费用多少元.
解：设甲组工作一天商店需付费用 元，乙组工作一天商店
需付费用 元，
依题意得解得
所以甲组工作一天商店需付费用300元，乙组工作一天商店
需付费用140元.
(2)若装修完后，商店每天可盈利200元，现有如下三种方式
装修：①甲组单独做；②乙组单独做；③甲、乙两组一起做，
你认为如何安排施工更有利于商店经营？说明理由.
安排甲、乙两组一起施工更有利于商店经营.
理由：设甲、乙两个装修组的工作效率分别为， ，
由题意得解得
所以甲组单独完成需要12天，乙组单独完成需要24天.
选择①所需装修费用及耽误营业损失的费用之和为
(元)；
选择②所需装修费用及耽误营业损失的费用之和为
(元)；
选择③所需装修费用及耽误营业损失的费用之和为
(元).
因为 ，所以安排甲、乙两组一起施
工更有利于商店经营.(共20张PPT)
第3章 一次方程与方程组
3.3 一元一次方程的应用
第1课时 几何问题与行程问题
1星题 基础练
知识点1 几何问题
主题情境
为将绘画知识普及到更多同学的心中，使绘画艺术的魅力得
以在校园内广泛传播，为校园增添一抹浓厚的文化色彩，点
点学校将在艺术中心举办“校园创意画”风采展示活动，具体
准备如下，请完成题.
1.为增加展示作品的质感，需要准备一些相框进行展示，现
将一根木条进行切割制作相框，原计划制作正方形的相框，
现改为制作长方形的相框，若新的长方形相框的宽比原正方
形相框的边长少 ，新的长方形相框的长等于原正方形相
框的边长，且新的长方形相框需要用 长的木条，若设
原正方形相框的边长为 ，则可列方程为______________
_____.
2.为增加展示作品的美感，学校打算用彩纸包装相框.如图，
将一张正方形彩纸剪下一个宽为 的长条后，再从剩下的
长方形彩纸上剪去一个宽为 的长条.如果两次剪下的长
条面积相等，那么每一个长条的面积为_____ .
150
3.(8分)为增加展示现场的氛围感，学校决定购买彩色的地垫，
进行地面装饰.如图，其中一部分图案为用8个相同的小长方
形拼成的大长方形，求1个小长方形的面积.
解：设1个小长方形的宽为 ，根
据题图可知1个小长方形的长为
，则 ，解得
，则
答：1个小长方形的面积为 .
知识点2 行程问题
4.［2025年1月滁州期末］一艘轮船在， 两个码头之间航
行，顺水航行需,逆水航行需.已知水流速度为 ,
求轮船在静水中的航行速度.若设轮船在静水中的航行速度为
,则可列一元一次方程为( )
B
A. B.
C. D.
5.［2025年1月马鞍山期末］已知学校距离敬老院 .小
明和小刚两人从学校出发去敬老院送水果，小明带着水果先
走了，然后小刚才出发.若小明每分钟行 ，小刚
每分钟行，则小刚用___ 可以追上小明.
5
6.(8分)［2024·合肥模拟］小刚和小强从， 两地同时出发，
小刚骑自行车，小强步行，沿同一条路线相向匀速而行，出
发后两人相遇，相遇时小刚比小强多行进 ，相遇
后小刚到达 地.两人的行进速度分别是多少？
解：设小刚的行进速度为 ，
则相遇时小刚走了,小强走了 ，
由题意，得，解得 ，
则小强的行进速度为
答：小刚的行进速度是 ，小强的行进速度是
.
2星题 中档练
7.数学文化 我国古代名著《九章算术》中有一个问题，原文：
“今有凫起南海，七日至北海；雁起北海，九日至南海.今凫
雁俱起，问何日相逢？”译文：野鸭从南海出发，7天后到达
北海；大雁从北海出发，9天后到达南海，今野鸭和大雁分
别从南海和北海同时出发，几天后相遇？设 天后相遇，可
列方程为( )
B
A. B.
C. D.
8.匀速行驶的动车经过一座大桥时，动车从车头上桥到车头
离桥共需要 ；而从动车车尾上桥开始到车头离桥结束，
整列动车完全在桥上的时间是 .已知该列动车长为
，则动车经过的这座大桥的长度为_______ .
9.(8分) 教材改编题 [2025· 安庆月考] 将一个底面内径是
，高是 的圆柱体桶内装满水，再将桶内的水倒
入一个底面内径是，高是 的圆柱体玻璃杯内，
能否完全装下？若装不下，则桶内还有多高的水？若没装满，
求杯内水面的高度.
解：不能完全装下.由题意得，水的体积为
.圆柱体玻璃杯的容积为
.因为 ，即水的体
积大于圆柱体玻璃杯的容积，所以不能完全装下.设桶内还有
高的水，由题意，得 ，解得
.故桶内还有 高的水.
10.(12分)真实情境如图是两张不同类型火车(“ 次”表
示动车，“ 次”表示高铁)的车票的部分信息.
(1)根据车票中的信息填空：该列动车和高铁是____
(填“相”或“同”)向而行，并且动车比高铁发车____
(填“早”或“晚”)；
同
早
(2)已知该列动车和高铁的平均速度分别为 ，
，两列火车的长度不计，高铁比动车早到 ，求
， 两地之间的距离；
解：设，两地之间的距离为 .
根据题意得，解得 .
答：，两地之间的距离为 .
(3)在(2)的条件下，若
高铁到达 地后停止运
动，求高铁出发多少
小时后两车相距 .
设高铁出发后两车相距 ，
①当高铁还未追上动车时， ，解
得；②当高铁追上动车后， ，
解得；③当高铁到达 地，动车还未到达时，
，解得 .
答：高铁出发或 或
后两车相距 .(共10张PPT)
专题训练7 方法整合
列一元一次方程解应用题的设元方法
专题训练
方法1 直接设元法
方法指导
当所求未知量可直接表示出题目中的数量关系时，可以采用
直接设元法.如果题目涉及两个未知量时，可以先设其中一个
为，再根据条件用含的式子表示另一个未知量.
1.某校有住宿生若干人，若每间宿舍住8人，则有5人无处住；
若每间宿舍增加1人，则还空35张床位，共有____间宿舍.
40
2.(8分) 跨学科·音乐 [2024·吉林中考] 钢琴素有“乐器之王”
的美称.键盘上白色琴键和黑色琴键共有88个，白色琴键比黑
色琴键多16个，求白色琴键和黑色琴键的个数.
解：设黑色琴键有个，则白色琴键有 个，
由题意，得，解得 ，
所以白色琴键有 (个).
答：白色琴键有52个，黑色琴键有36个.
方法2 间接设元法
方法指导
若直接设元列方程较复杂或较困难时，则可设与所求量
相关的另一个量为，再通过关系求出所求量.
3.(8分)［2025·合肥月考］一辆慢车从甲地开往乙地，每小时
行，开出后，一辆快车以每小时 的速度也从
甲地开往乙地，在甲、乙两地的中点处快车追上慢车，甲、
乙两地相距多少千米？
解：设从快车出发到追上慢车共用 ，
由题意，得，解得 ，
.
答：甲、乙两地相距 .
方法3 整体设元法
方法指导
若多个量共同构成一个整体，或问题涉及整体与部分的
关系，则可将多个相关量视为一个整体，设该整体为.
4.(8分)一个五位数，个位数字为4，这个五位数加上6 120后
所得的新五位数的万位、千位、百位、十位、个位上的数字
恰巧分别为原五位数的个位、万位、千位、百位、十位上的
数字，试求原五位数.
解：设原五位数去掉个位数字后的四位数为 ，则原五位数
为 .根据题意，得
，解得 ，所
以 .
答：原五位数是37 644.(共23张PPT)
大单元整合复习
大单元整合复习
大单元知识架构
整合1 方程(组)的相关概念及等式的基本性质
1.已知关于的方程 是一元一次方程，
则 ( )
C
A. B.2 C. D.
2.［2025年1月安庆期末］已知是关于， 的方程
的一个解，则 的值为( )
A
A.1 B. C.2 D.
3.［2025年1月滁州期末］下列各式中，正确的是( )
B
A.若，则
B.若，则
C.若，则
D.若，则
整合2 方程(组)的解法
4.(12分)解方程(组)
(1) ；
解： ，去分母，得
，去括号，得
，移项，得
，合并同类项，得
，两边同除以，得 .
(2)
解：整理，得，得 ,解得
.把代入②，得,解得 .所以原
方程组的解为
(3)
解：，得,解得.,得 ,解得
.将,代入③，得 .所以原方程组的解为
整合3 方程(组)的应用
5.某商场举办“迎元旦送大礼”促销活动，某品牌冰箱若按标
价的八折销售，每件可获利200元，其利润率为 ，若按
标价的八五折销售，每件可获利( )
D
A.475元 B.375元 C.562.5元 D.337.5元
6.［2025·天津模拟］甲地距乙地 ，有一段上坡路与
一段下坡路，一天李海同学保持上坡路每小时走 ，下坡
路每小时走的速度，从甲地到乙地共用了 .若设
李海同学上坡路用了，下坡路用了 ，可列出方程
组为_ ______________.
7.(8分) 数学文化 [2025年1月合肥期末] 我国传统数学名著
《九章算术》中记载：“今有牛五、羊二，直金十九两；牛
二、羊五，直金十六两.问牛、羊各直金几何？”译文：“5头
牛、2只羊，值19两银子；2头牛、5只羊，值16两银子.问每
头牛、每只羊分别值银子多少两？”根据以上译文，解答以
下两个问题：
(1)求每头牛、每只羊各值多少两银子；
解：设每头牛值两银子，每只羊值 两银子，根据题意，得
解得
答：每头牛值3两银子，每只羊值2两银子.
(2)若某商人准备用19两银子买牛和羊(要求：既有牛也有羊，
且银两须全部用完)，请问商人有几种购买方法？列出所有
的购买方法.
设购买头牛，只羊，依题意有 ，所以
，因为，都是正整数，所以或 或
所以有三种购买方法：①购买1头牛，8只羊；②购买
3头牛，5只羊；③购买5头牛，2只羊.
整合4 两种数学思想
8.整体思想 已知关于，的二元一次方程组
的解互为相反数，则 的值为___.
1
9.分类讨论思想 甲、乙两人分别从、 两地同时出发，相
向而行，甲的速度是，乙的速度是甲的速度的 ，
出发后两人之间的距离为、两地之间距离的，则 、
两地之间的距离为____________ .
168或
由题意得：乙的速度为，设、
两地之间的距离为，①当甲、乙未相遇，出发 后两
人之间的距离为、两地之间距离的 时，则有：
，解得 .②当甲、乙已经相遇，
出发后两人之间的距离为、两地之间距离的 时，则
有：，解得 .
综上所述，、两地之间的距离为或 .
10.(8分)［2023·安徽中考］根据经营情况，公司对某商品在
甲、乙两地的销售单价进行了如下调整：甲地上涨 ，乙
地降价5元.已知销售单价调整前甲地比乙地少10元，调整后
甲地比乙地少1元，求调整前甲、乙两地该商品的销售单价.
解：设调整前甲、乙两地该商品的销售单价分别为元、 元，
根据题意得，
解得
答：调整前甲、乙两地该商品的销售单价分别为40元、50元.
11.(8分)［2024·安徽中考］乡村振兴战略实施以来，很多外
出人员返乡创业.某村有部分返乡青年承包了一些田地，采用
新技术种植， 两种农作物.种植这两种农作物每公顷所需
人数和投入资金如表：
农作物品种 每公顷所需人数 每公顷所需投入资金(万元)
4 8
3 9
已知农作物种植人员共24位，且每人只参与一种农作物种植，
投入资金共60万元.问， 这两种农作物的种植面积各多少
公顷？
解：设农作物的种植面积为公顷， 农作物的种植面积为
公顷，
由题意可得，解得
答：农作物的种植面积为3公顷， 农作物的种植面积为4
公顷.(共13张PPT)
第3章 一次方程与方程组
3.1 方程
第1课时 方程
核心必知
1.含有________的等式叫作方程.
2.使方程两边______的未知数的值叫作方程的解.
3.求方程的____的过程叫作解方程.
未知数
相等
解
1星题 基础练
知识点1 方程的概念
1.［2025·杭州月考］下列各式中，属于方程的是( )
C
A. B.
C. D.
2.下列式子：；； ；
； .其中是等式的是_________，
是方程的是________.(填序号)
知识点2 方程的解
3.［2025年1月合肥期末］下列方程中，解为 的是
( )
A
A. B. C. D.
4.下列各方程后面括号内的数不是前面方程的解的是( )
B
A. B.
C. D.
5.［2025年1月淮北期末］已知是方程 的解，
则 ____.
知识点3 根据实际问题列方程
6.“的5倍与2的和等于的 与4的差”，用等式表示为_______
__________.
7.(8分)根据题意，设未知数并列出方程：英语竞赛共20道题，
每道题有4个选项，只有1个正确选项，选对得5分，不选或
错选扣1分，已知小华得了76分，则小华选对了多少道题？
解：设小华选对了道题，则不选或错选 道题，由
题意，得 .
2星题 中档练
8.整体思想 若是方程 的解，则
的值为_______.
9.真实情境 下表是学习等量关系和方程时老师板书的问题和
两名同学所列的方程：
(1)小明所列的方程中的 表示__________________，并尝试
描述等量关系：___________________；
(2)小红所列的方程中的 表示__________________，并尝试
描述等量关系:________________________.
体育室里的排球数
篮球数-排球数
体育室里的篮球数
排球数的2倍篮球数
10.(8分)［2024·安庆期中］已知是方程 的解，
检验是不是方程 的解.
解：因为是方程的解，所以把 代入，
得，解得.将 代入方程
，得.将 代入方
程①左边得，左边，代入方程①右边得，右边 .因为
左边右边，所以不是方程 的解.(共22张PPT)
第3章 一次方程与方程组
3.3 一元一次方程的应用
第3课时 比例、配套及工程问题
1星题 基础练
知识点1 比例问题
1.一条绳子长，需按 的比例截成4段，求每段
绳子长多少米.若设每份长为 ，则第一段绳子的长为
，其余三段绳子的长分别为___________________，可
列方程为________________________.
，，
2.教材改编题 有某种三色冰激凌 ，咖啡色、红色和白色
配料的比是 ，这种三色冰激凌中咖啡色配料有( )
A
A. B. C. D.
3.甲、乙、丙三人共同出资做生意，甲投资了24万元，乙投资
了20万元，丙投资了28万元，年终时，共赚得利润27万元，甲、
乙、丙三人按出资比例进行分配，甲可以分得利润___万元.
9
知识点2 配套问题
主题情境
某中学七年级在操场上举办了趣味运动会，1班和2班负责投
壶游戏里的道具和奖品，请完成题.
4.已知1个投壶和6支羽箭配成一套道具，其中一个投壶15元，
一支羽箭3元，两个班在投壶道具上的经费是132元，请问如
何分配经费使购买的道具刚好配套呢？设 元购买投壶，则
所列方程正确的是( )
C
A. B.
C. D.
5.从两个班中选出28名学生制作长方体礼盒，用来装奖品，
每人每小时可做6个侧面或9个底面，一个礼盒由1个侧面和2
个底面组成，为了使每小时制作的成品刚好配套，应该分配
____名学生做侧面，____名学生做底面.
12
16
知识点3 工程问题
6.某工程甲队单独完成要25天，乙队单独完成要20天.若乙队
先单独干10天，剩下的由甲队单独完成，设一共用 天完成，
则可列方程为( )
B
A. B.
C. D.
7.［2025·合肥月考］某工程队修一条公路，第一天修了全程
的，第二天修了余下的，还剩下 没修，则这条
公路长_______ .
8.(8分) 真实情境 [2025年1月连云港期末] 某工厂承接一批
太阳能电池板生产任务，请你根据甲、乙两名工人的对话内
容(如图)，解决下列问题.
(1)问甲、乙两名工人单独加工完这批零件，各需要多少天？
解：设甲单独加工完这批零件需要 天，则乙单独加工完这
批零件需要 天，由题意得
，解得，所以 .
答：甲单独加工完这批零件需要15天，乙单独加工完这批零
件需要10天.
(2)这批零件先由乙单独加工5天，剩下的部分由甲、乙合作
完成，那么加工完这批零件，甲、乙各获得多少报酬？
设剩下的部分由甲、乙合作 天完成，
由题意得，解得 .
(元)， (元).
答：加工完这批零件，甲获得480元的报酬，乙获得1 920元
的报酬.
2星题 中档练
9.［2025年1月淮北期末］20名学生在进行一次科学实践活动
时，需要组装一种实验仪器，该仪器每套是由3个 部件和2
个部件组成的.在规定时间内，每人可以组装好10个 部件
或20个 部件.那么在规定时间内，最多可以组装出____套这
种实验仪器.
50
10.甲、乙两个工程队完成一项工程，每天完成的工作量始终
保持不变.甲队先干了3天，然后乙队加入，合作完成剩下的
工程，设工作总量为1.下面是未记录完整的工程进度表.根据
表中的数据，可知的值为__， 的值为___.
天数 第1天 第2天 第3天 第4天 第5天 …
工程总进度 … 1
9
11.(8分)为提高销售业绩，安徽省某茶叶专卖店店长对店内
销售额居于前三的六安瓜片、黄山毛峰、太平猴魁三种茶叶
的销售额进行了分析，发现上月三种茶叶销售额的比值为
，六安瓜片本月的销售额是上月销售额的 倍，黄山毛
峰本月的销售额是上月销售额的 倍，太平猴魁本月的
销售额与上月的相同，同时这三种茶叶本月的总销售额恰好
是上月总销售额的2倍，求六安瓜片本月的销售额与上月销
售额的比值.
解：由题意，可设上月六安瓜片、黄山毛峰、太平猴魁三种
茶叶的销售额分别为元，元， 元，则
，解得 ，
即六安瓜片本月的销售额与上月销售额的比值为 .
12.(8分)创新题·新设问 [2024·合肥期末] 为建设文明城市，
某社区计划将社区内一条东西走向的水泥道路铺设成柏油路，
俗称“白改黑”.甲工程队负责这条道路的铺设，他们从西头开
始铺，计划6天内完成.第一天铺了全长的 ，第二天铺的比
第一天的2倍少，此时还剩下全长的 没铺.
(1)若用线段图1表示前两天甲工程队的进度情况，请写出图1
中①处应填写的内容，并写出图1中 所表示的实际意义，再
求出它的值；
解：①处应填写， 表示这条道路的全长.
根据题意，得 ，解得
.
(2)为按时完成铺路任务，从第三天开始，甲工程队加快速度，
同时乙工程队加入铺路，从东头开始铺.两队的进展情况如线
段图2所示，请根据线段图提出一个问题并进行解答.
(答案不唯一)提出的问题：加速后，甲工程队每天铺多少米？
甲工程队前两天共铺路
.
根据题意，得 ，
解得 .
答：加速后，甲工程队每天铺 .(共22张PPT)
第3章 一次方程与方程组
3.2 一元一次方程及其解法
第2课时 去分母
核心必知
1星题 基础练
知识点1 直接去分母解一元一次方程
1.［知识初练］
(1)解方程 ，两边同时乘以3，去掉分母后得________
__，解得 ___;
5
(2)解方程 ，去分母时两边同时乘以___，得_______
_____________,
这一步变形的依据是_________________.
6
等式的基本性质2
2.［2025·滁州月考］方程 去分母时，需在方程两
边同乘( )
D
A.12 B.24 C.48 D.72
3.解方程 ，以下去分母正确的是( )
C
A. B.
C. D.
4.教材改编题 以下是解方程 的过程，则开始出
现错误的一步是( )
去分母，得 .①
去括号，得 .②
移项，得 .③
合并同类项，得 .④
A
A.① B.② C.③ D.④
5.若与互为相反数，则 等于( )
D
A. B.1 C. D.
6.(8分)教材改编题解方程：
(1) ；
解：去分母，得 ,去括号，得
，移项、合并同类项，得 ，两
边同除以5，得 .
(2) .
去分母，得 ，去括号，得
，移项、合并同类项，得
，两边同除以，得 .
知识点2 解分子或分母含小数的一元一次方程
7.［2025年1月南京期末］把方程 的分母化为整
数可得方程( )
B
A. B.
C. D.
8.(4分)解方程： .
解：原方程可化为 ，
去分母，得 ，
去括号，得 ，
移项、合并同类项，得 ,
两边同除以，得 .
2星题 中档练
9.［2025年1月合肥期末］在解关于的方程 时，
小冉在去分母的过程中，右边的“ ”漏乘了公分母6，因而
求得方程的解为 ，则方程正确的解是( )
B
A. B.
C. D.
10.［2025年1月芜湖期末］若不论取什么数，关于 的方程
,是常数的解总是，则 的值
是_ ___.
11.(8分)解方程：
(1) ；
解：去中括号，得 ,去小括号，得
,移项、合并同类项，得 ,两边同除
以，得 .
(2) .
解：原方程可化为 ，去分母，得
，移项、合并同类项，得 ,
两边同除以，得 .
12.(8分)已知关于的一元一次方程，其中 是
正整数.
(1)当 时，求方程的解；
解：当时，原方程为,解得 .
(2)若方程有正整数解，求 的值.
由方程，得.因为 是正整数，方程有
正整数解，所以易得 .
3星题 提升练
13.(8分) 中考趋势·阅读理解 [2025· 北京模拟] 某初中数学
小组学完“一元一次方程”后，对一种新的求解方法进行了交
流，请你仔细阅读.
小明：对于 ，我
采取的是去括号移项的方法，计算比较繁琐.
小亮：我有一种方法——整体求解法.可先将 、
分别看成整体进行移项、合并同类项，得方程
，然后再继续求解.
小明：你的这种方法比我的要简便一些，我尝试一下.
(1)请你继续进行小亮的求解；
解：，去括号，得 ，移
项，得，合并同类项，得 ，两边
同除以，得 .
(2)请利用小亮的方法解下面的方程：
.
将， 分别看成整体进行移项、合并同类项，
得 ，
去分母，得 ，
去括号，得 ，
移项、合并同类项，得 ，
两边同除以33，得 .
解含分母的一元一次方程(共11张PPT)
专题训练6 专项整合
一元一次方程的常见含参题型
专题训练
题型1 利用一元一次方程及其解的定义求参数
1.若关于的方程 是一元一次方
程，则方程的解为________.
2.下面是一个被墨水污染过的方程： ，
答案显示此方程的解是 ，若被墨水遮盖的是一个常数，
则这个常数是( )
D
A.1 B. C. D.
题型2 利用两个方程解之间的关系求参数
方法指导
此类题中待定字母可看成是已知数，用含待定字母的式子表
示出方程的解，再根据两个方程解之间的关系，建立以待定
字母为未知数的方程，求出待定字母的值.
3.如果关于的方程和方程 的解相同，
那么 的值为___.
3
4.(8分)已知关于的方程 的解比
方程的解大2，求 的值.
解：由方程 ，
得.由方程 ，得
.由题意知，，解得 ，所
以 的值为12.
题型3 利用方程的“错解”求参数
方法指导
一般先根据题意写出出错的方程，再将所得的解代入出错的
方程，求解即可得参数的值.
5.［2025年1月合肥瑶海区期末］小文同学晚上写数学作业，
在解方程“”时，将“ ”中的负号抄漏了，
解出 ，则方程正确的解为( )
D
A. B. C. D.
题型4 结合新定义求参数
6.(8分)［2025年1月北京期末］我们规定，若关于 的一元一
次方程的解为 ，则称该方程为“和解方程”，
例如：的解为 ，且
，则该方程 是和解方程.
请根据上边规定解答下列问题：
(1)判断方程 是否为和解方程；
解：因为方程的解为 ，且
，所以方程 是和解方程.
(2)若关于的方程是和解方程，求 的值.
解方程，得 ，
因为关于的方程 是和解方程，
所以，所以 ，
解得 .(共9张PPT)
专题训练9 中考趋势
综合与实践
专题训练
(8分)中考趋势·探究建模 [
2025· 太原模拟] 设计制
作纸盒方案.
素材一：如图①，现将300张纸板裁剪成材料，1张纸板可以
裁成4个正方形或3个长方形，并用这些材料制作两种无盖纸
盒(如图②)，横式无盖纸盒需要2个正方形和3个长方形，竖
式无盖纸盒需要1个正方形和4个长方形.
素材二：①所有纸板都要裁剪，且每张纸板只能裁剪成一种
材料.
②制作纸盒后没有剩余材料.
(1)【问题解决】为方便解决问题，设制作了横式无盖纸盒
个，竖式无盖纸盒 个.
问题一：初探材料用量，请完善下表：
纸盒类型 正方形(张数) 长方形(张数)
_____
____
问题二：再探关系，请完善下表：
需裁成正方形的纸板数 (张) 需裁成长方形的纸板数 (张) 合计
_ _____ _ ______ 300
问题三：写出， 之间满足的关系式：_ ________________；
(2)【方案选择】用这300张
纸板制作两种纸盒，并且材
料没有剩余，得到的横式无
盖纸盒的数量能不能为竖式无盖纸盒数量的2倍？请写出详
细的解答过程.
解：不能.
假设能得到横式无盖纸盒的数量为竖式无盖纸盒数量的2倍，
则可得方程组
解得
因为，为纸盒的数量，所以 ， 为正整数，所以不能得
到横式无盖纸盒的数量为竖式无盖纸盒数量的2倍.(共18张PPT)
第3章 一次方程与方程组
3.4 二元一次方程组及其解法
第4课时 二元一次方程组的解法
解法1 代入消元法
1.(12分)［2025年1月合肥期末］用代入消元法解下列方程组.
(1)
解：把①代入②，得 ，
解得.把代入①，得 .所以原方程组的解为
(2)
解：由①,得 ，③
把③代入②，得，解得 .
将代入③，得 ,
所以原方程组的解为
(3)
解：原方程组整理为
由②,得 .③
将③代入①，得，解得，将
代入③,得,所以原方程组的解为
解法2 加减消元法
2.(12分)用加减消元法解下列方程组.
(1)
解：,得,解得.把 代入①，得
,解得.所以原方程组的解为
(2)
解：，得 .③
，得,解得 .
把代入①，得,解得 .
所以原方程组的解为
(3)
解：，得 .③
，得 .④
解由③④构成的方程组，可得
解法3 整体代入法
3.(14分) 如何解方程组：
解法4 整体加减法
4.(8分)解方程组:
解：并化简，得 .③
分别把③代入①和②，求得, .所以原方程组的解
为
解法5 换元法
5.(8分)解方程组:
解：令,.则原方程组可变为
解得即
解得
解法6 用适当的方法解二元一次方程组
6.(12分)中考趋势·阅读理解
(1)仔细阅读下面解方程组的方法，并将解题过程补充完整：
解方程组 时，直接采用代入消元法或加
减消元法，计算会很复杂，若采用下面的解法，则会简单很多.
解：，得，即 ，③
，得 ，④
，得 ____.
将____代入③，得 ___.
所以方程组的解为_ ________；
2
(2)请你采用上述方法解方程组：
解：，得，即 ，③
，得 ，④
，得.将代入③，得 ，
所以原方程组的解为
(3)探究：求关于, 的方程组
的解其中 .
,得 ,
即 .③
,得 .④
,得.将代入③,得 .
所以原方程组的解为(共25张PPT)
第3章 一次方程与方程组
3.2 一元一次方程及其解法
第1课时 一元一次方程、移项
核心必知
1.只含有____个未知数(元)，未知数的次数是___，且等式两
边都是______的方程叫作一元一次方程.
2.把方程中某一项__________后，从方程的_______________
___，这种变形叫作移项.解方程时，通常将含未知数的项移
到等号的左边，不含未知数的项移到等号的右边.
一
1
整式
改变符号
一边移到另一边
1星题 基础练
知识点1 一元一次方程的概念
1.［2025·安庆月考］下列方程中是一元一次方程的是( )
C
A. B.
C. D.
2.［2024·阜阳期中］已知 是一元一次方程，则
的值为___.
1
知识点2 移项
3.［知识初练］如图，将方程
移项，令含有未知数
的项移到等号的____边，需要注意
的是移项要______，故“ ”处应填
写的是_____.
左
变号
4.将方程 移项，正确的是( )
D
A. B.
C. D.
5.(8分)判断下列方程的变形是否正确，如果不正确请改正.
(1)由得 ;
解：不正确. 改正：由得 .
(2)由得 ;
不正确. 改正：由得 .
(3)由得 ;
正确.
(4)由得 .
不正确. 改正：由得 .
知识点3 移项解一元一次方程(不含括号)
6.［知识初练］解方程 的一般步骤：
解：移项，得___________________，
合并同类项，得____________，
两边同除以 ，得______.
7.若的值是12，则 的值是___.
5
8.(8分)教材改编题 解方程：
(1) ；
解：移项，得,合并同类项，得 ，
两边同除以2，得 .
(2) .
解：移项，得 ，合并同类项，得
，两边同除以，得 .
知识点4 移项解一元一次方程(含括号)
9.［知识初练］解方程 的一般步骤:
解：去括号，得_____________________，
移项，得_____________________，
合并同类项，得_________，
两边同除以4，得______.
10.［2025年1月芜湖期末］将方程 去括号，
得________________.
11.(8分)教材改编题 解方程：
(1) ；
解：去括号，得 ，移项、合并同类项，得
，两边同除以，得 .
(2) .
解：去括号，得 ，移项、合并同类项，
得，两边同除以，得 .
2星题 中档练
12.易错题[2025年1月合肥期末] 方程
是关于的一元一次方程，则 ( )
B
A.2 B. C. D.
13.［2025年1月淮北期末］王涵同学在解关于 的方程
时，误将“”看成了“ ”，得到方程的解为
，那么原方程的解为( )
A
A. B. C. D.
14.创新题·新考法 规定一种新运算： ，若
，则 的值为( )
A
A. B.1 C.2 D.
15.若关于的方程的解比 的解小
8，则 的值为___.
1
16.(8分)解下列方程：
(1) ;
解：去括号，得 ,
移项，得 ，
合并同类项，得，系数化为1，得 .
(2) .
解：去中括号，得 ,
去小括号，得 ,移项、合并同类项，得
,两边同除以，得 .
17.(8分)［2025·上海模拟］解方程： .
解：去括号，得 .①
移项，得 .②
合并同类项，得 .③
两边同除以2，得
上述解答过程从哪一步开始出错？指出并写出正确的解答过程.
解：解答过程从第①步开始出错.正确的解答过程如下：去括
号，得 ,
移项，得,合并同类项，得 ,
两边同除以2，得 .
3星题 提升练
18.(8分)分类讨论思想先阅读下面的解题过程，然后解答后
面的问题.
解方程： .
解：当时，原方程可化为 ，
解得 ；
当时，原方程可化为 ，
解得 .
所以原方程的解是或 .
解方程： .
解：当时，原方程可化为，解得 ；
当时，原方程可化为，解得 .
所以原方程的解是或 .(共25张PPT)
第3章 一次方程与方程组
3.4 二元一次方程组及其解法
第2课时 二元一次方程组的解法——代入
消元法
核心必知
1.使二元一次方程组中每个方程________的两个未知数的值，
叫作二元一次方程组的解.
2.从一个方程中求出某一个未知数的________，再把它“代入”
另一个方程，进行求解，这种方法叫作代入消元法，简称代入
法.(注：在解方程时，通常选取系数相对简单的方程进行变形)
都成立
表达式
1星题 基础练
知识点1 二元一次方程(组)的解
1.［知识初练］在 中，
______是方程的解，____是方程 的解，
所以____是方程组 的解.(填序号)
③
③
2.若是关于，的方程的一个解，则 的
值为( )
D
A.3 B. C.1 D.
3.［2025·嘉兴模拟］下列方程可以与 组成方程组的
解为 的是( )
C
A. B.
C. D.
4.创新题·开放题 写出一个解为 的二元一次方程组：
_ ________________________.
(答案不唯一)
知识点2 用含一个未知数的代数式表示另一个未知数
5.［知识初练］已知方程，改写成用含 的代
数式表示的形式，则 ______.
6.已知二元一次方程，用含的代数式表示 ，
正确的是( )
C
A. B. C. D.
知识点3 代入消元法解二元一次方程组
7.［2025年1月合肥期末］用代入消元法解方程组
将①代入②可得( )
B
A. B.
C. D.
8.用代入法解方程组： 较为简便的方法是
先消去___，具体是将方程____(填“①”或“②”)变形为______
______，再代入方程____(填“①”或“②”).
②
①
9. 代入消元法
10.(4分)用代入法解方程组：
解：由②，得 ,③
将③代入①，得,解得.将 代
入③，得,所以方程组的解为
2星题 中档练
11.［2025年1月马鞍山期末］已知则与 的关系
式是________________.
12.整体思想 已知是方程 的解，则
____.
13.［2024·合肥期末］若关于， 的两个方程组
与有相同的解，则
___, ___.
6
4
【变式题】 (8分)已知关于, 的二元一次方程组
的解满足,求 的值.
解：由方程组
得因为 ，所以
,解得 .
14.(8分)用代入消元法解方程组：
(1)
解：原方程组可化为
将①代入②，得，解得 ，
将代入①，得，所以原方程组的解为
(2)
解：原方程组可化为
将①代入②，得，解得 ，
将代入①，得，所以原方程组的解为
15.(8分)［2025年1月芜湖期末］甲、乙两人共同解方程组
由于甲看错了方程①中的 ，得到方程组
的解为乙看错了方程②中的 ，得到方程组的解为
(1)求， 的值；
解：由题意，得解得
(2)求出方程组的正确解.
由(1)知, ，
所以原方程组为
由①知 ，③
将③代入②，得，解得 ，
把代入③，得 .
所以原方程组的解为
3星题 提升练
16.(8分)运算能力 阅读材料：
解方程组
在本题中，先将 看成一个整体，将①整体代入②，得
，解得 .
把代入①，得，所以方程组的解为
这种解法称为“整体代入法”.若留心观察，你会发现有很多方
程组可采用此方法解答.请用这种方法解方程组
解：由①，得 ，③
把③代入②,得，解得，把 代入③，
得，解得 ，
所以方程组的解为(共32张PPT)
期末大单元复习
第3章 一次方程与方程组
大单元串联
要点知识
1.只含有一个未知数(元)，未知数的次数都是1，且等式两
边都是整式的方程叫作一元一次方程.
2.使方程两边相等的未知数的值叫作方程的解.
3.等式的基本性质：
性质1：等式的两边都加上(或减去)同一个整式，所得结果
仍是等式.
要点知识
要点知识
4.用代入消元法解二元一次方程组时，第一步可以从方程组
中选取一个系数比较简单的方程，把其中的一个未知数用
含另一个未知数的式子表示出来.
5.用加减消元法解二元一次方程组时，必须使这两个方程中
某一个未知数的系数的绝对值相等.
题串考点
已知，(其中 是正整数)
②都是关于 的一元一次方程.
(1)求 的值及方程①的解；
解：因为是关于 的一元一次方程，
所以，,所以 .
所以方程①为,解得 .
(2)当 时，求方程②的解；
解：当时，方程②为,解得 .
(3)若方程②有正整数解，求 的值；
解：因为,所以 .
因为,是正整数，所以易得 .
(4)若方程①与方程②的解相同，求 的值；
解：因为方程①与方程②的解相同，所以 是方程②的
解，所以,解得 .
(5)把方程①②联立成关于,的方程组
直接写出此方程组的解.
解：
直面考题
时间：40分钟 满分：100分
一、选择题(每题4分，共32分)
1.［2024·合肥期中］下列各式是一元一次方程的是( )
D
A. B. C. D.
2.［2025年1月淮北期末］根据等式的基本性质，下列变形正
确的是( )
B
A.若，则
B.若，则
C.若，则
D.若，则
3.［2025年1月合肥期末］解方程 ，去分母得
( )
D
A. B.
C. D.
4.方程， 处被墨水盖住了，已知方程的解为
，那么 处的数字是( )
C
A.2 B.4 C.7 D.9
5.［2025年1月芜湖期末］已知与 是
同类项，则和 的值分别为( )
B
A.5和1 B.1和5 C.和5 D. 和1
6.如果方程组的解中的与 的值相等，
那么 的值是( )
B
A.1 B.2 C.3 D.4
7.数学文化 [2025·合肥月考] 《增删算法统宗》记载：“有
个学生资性好，一部孟子三日了，每日增添一倍多，问君每
日读多少？”其大意是：有个学生天资聪慧，三天读完一部
《孟子》，每天阅读的字数是前一天的两倍，问他每天各读
多少个字？已知《孟子》一书共有34 685个字，设他第一天
读 个字，则下列方程正确的是( )
A
A. B.
C. D.
8.如图，在长方形 中，放入5个大
小相同的小长方形(空白部分)，其中
， ，则图中阴影
部分的面积为( )
A
A. B. C. D.
二、填空题(每题4分，共20分)
9.已知，用含的代数式表示 为_ _______.
10.已知方程组的解为则被 和 遮
盖的两个数分别为_______.
2和
11.当__时，式子与 互为相反数.
12.分类讨论思想 [2025年1月马鞍山期末] 已知关于、 的
方程组有正整数解，则 的值为____________．
或或1
13.真实情境 甲、乙两店分别购进一批无线耳机，每副耳机
的进价甲店比乙店便宜 ，乙店的标价比甲店的标价高5.4
元，这样甲、乙两店的利润率分别为和 ，则乙店每
副耳机的进价为____元．
60
三、解答题(共48分)
14.(12分)解下列方程(组)
(1) ；
解：去分母,得 ，
去括号,得 ，
移项、合并同类项，得，系数化为1，得 .
(2)
解：，得，解得.把 代入②，
得,解得，所以方程组的解为
15.(12分)［2025年1月滁州期末］若关于， 的二元一次方
程组与 有公共的解，求
的值.
解：因为关于，的二元一次方程组 与
有公共的解，所以 的解即为
两个方程组的公共解，解这个方程组，得将
代入得解得 所以
.
16.(12分)为鼓励节约能源，某电力公司出台了新的用电收费
标准：
每户每月用电量 不超过210度 超过210度(超出部分的收费)
收费标准 每度0.5元 每度0.8元
小林家11月份交付电费181元，请利用方程的知识，求出小
林家11月份的用电量.
解：由于 ，所以小林家11月份的用
电量超过210度，设小林家11月份的用电量为 度，由题意可
得，解得 .
答：小林家11月份的用电量为305度.
17.(12分) 跨学科·物理 如图，某
校的饮水机有温水、开水两个按钮，
温水和开水共用一个出水口.温水
的温度为，流速为 ；
开水的温度为，流速为 .整个接水的过程不计
热量损失.
(1)甲同学用空杯先接了 温水，
再接 开水，接完后杯中共有水
_____ ；
180
(2)乙同学先接了一会儿温水，又接了一会儿开水，得到一杯
温度为 的水(不计热损失)，求乙同学分别接温
水和开水的时间.
解：设乙同学接温水和开水的时间分别
为， ，
由题意得
解得
答：乙同学接温水的时间为 ，接开
水的时间为 .

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