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专题02 与三角形有关的线段
▉考点01 三角形三边的关系
三角形三边的关系
图示 文字语言 符号语言 理论依据
三角形两边的和大于第三边. a+b>c,b+c>a,a+c>b. 两点之间，线段最短.
三角形两边的差小于第三边. a-b▉考点02三角形的稳定性
三角形的三条边确定后，这个三角形的形状、大小就确定了，这就是三角形的稳定性.
▉考点03三角形的中线、角平分线、高
1.三角形的中线
(1)
定义 符号语言 图示
连接三角形的一个顶点和它所对的边的中点，所得线段叫作三角形的这条边上的中线. 如图，①AD是△ABC的边BC上的中线；②D是边BC的中点；③BD=DC=1/2BC.
(2)三角形的重心：一个三角形有三条中线，这三条中线相交于三角形内一点(如图13.2-3).三角形三条中线的交点叫作三角形的重心.
2.三角形的角平分线
(1)
定义 符号语言 图示
在三角形中，一个内角的平分线与这个角所对的边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫作三角形的角平分线. 如图，①AD是△ABC的角平分线；②AD平分∠BAC,交BC于点D;③∠BAD=∠CAD=1/2BAC.
(2)三角形的角平分线的位置：三角形的三条角平分线都在三角形的内部，并且三条角平分线相交于三角形内一点.
3.三角形的高
(1)
定义 符号语言 图示
从三角形的一个顶点向它所对的边所在直线画垂线，连接顶点和垂足的线段叫作三角形的这条边上的高. 如图，①AD是△ABC的边BC上的高；②AD⊥BC于点D.
(2)三角形的高的画法
一靠 使三角尺的一条直角边靠在要作高的边上.
二移 移动三角尺使另一条直角边通过这条边所对的顶点.
三画 画垂线段.
(3)三角形三条高的位置
三角形 锐角三角形 直角三角形 钝角三角形
图示
三条高的位置 三条高都在三角形内部. 有两条高恰好是它的两条直角边，另一条高在三角形内部. 有两条高在三角形外部，另一条高在三角形内部.
三条高的交点 三条高交于三角形内部一点. 三条高交于三角形的直角顶点. 三条高没有交点，但三条高所在的直线交于三角形外一点.
一．三角形的稳定性（共12小题）
1．（2024秋 咸安区期中）如图，生活中都把自行车的几根梁做成三角形的支架，这是利用三角形的（　　）
A．全等形 B．稳定性 C．灵活性 D．对称性
【答案】B
【解答】解：生活中都把自行车的几根梁做成三角形的支架，这是因为三角形具有稳定性．
故选：B．
2．（2024秋 香洲区校级期中）2024珠海风筝节于10月19日在海天公园沙滩盛大举办！敏敏自制了一个风筝去参加风筝节，为了风筝更稳定地在空中飞行，他所设计的风筝骨架结构为三角形，如图所示，这种设计的原理是（　　）
A．三角形具有稳定性 B．两点之间，线段最短
C．两点确定一条直线 D．垂线段最短
【答案】A
【解答】解：根据题意可知：风筝骨架结构是利用三角形具有稳定性的原理，是风筝能够更稳定地在空中飞行．
故选：A．
3．（2025春 东坡区校级期中）如图，工人师傅在砌门时，常用木条固定长方形门框，这里所运用的几何原理是（　　）
A．两点之间线段最短 B．两点确定一条直线
C．三角形具有稳定性 D．垂线段最短
【答案】C
【解答】解：用木条固定长方形门框的几何原理是三角形具有稳定性，
故选：C．
4．（2024秋 临海市校级期中）自行车支架一般都会采用如图△ABC的设计．这种方法应用的几何原理是（　　）
A．两点确定一条直线 B．两点之间线段最短
C．三角形的稳定性 D．垂线段最短
【答案】C
【解答】解：自行车支架一般都会采用三角形设计的几何原理是三角形具有稳定性，
故选：C．
5．（2024秋 沂源县期中）人字梯中间一般会设计一“拉杆”，这样做的道理是（　　）
A．两点之间，线段最短
B．垂线段最短
C．两直线平行，内错角相等
D．三角形具有稳定性
【答案】D
【解答】解：人字梯中间一般会设计一“拉杆”，是为了形成三角形，利用三角形具有稳定性来增加其稳定性，
故选：D．
6．（2024秋 崆峒区校级期中）下列图形具有稳定性的是（　　）
A．正方形 B．长方形
C．直角三角形 D．平行四边形
【答案】C
【解答】解：∵三角形具有稳定性，
∴正方形，长方形，直角三角形，平行四边形中，具有稳定性的是直角三角形．
故选：C．
7．（2024秋 威信县期中）埃菲尔铁塔是巴黎城市地标之一，也是巴黎最高的建筑物，总高324米，如图所示，在埃菲尔铁塔的设计中运用了大量的三角形的结构，你能从中推断出其运用的数学原理是（　　）
A．三角形的不稳定性
B．三角形的稳定性
C．三角形两边之和大于第三边
D．两点之间线段最短
【答案】B
【解答】解：运用的数学原理是三角形的稳定性，
故选：B．
8．（2024秋 南川区期中）如图，在生活中，我们经常会看见如图所示的情况，在电线杆上拉两条钢筋，来加固电线杆，这是利用了三角形的（　　）
A．稳定性 B．灵活性 C．对称性 D．全等性
【答案】A
【解答】解：这是利用了三角形的稳定性．故选A．
9．（2024秋 西城区校级期中）如图，修建房屋时，为了使木门框不变形，建筑工人在木门框上斜着加了一根木条，这样做的道理是（　　）
A．两直线平行，内错角相等
B．两点之间，线段最短
C．垂线段最短
D．三角形具有稳定性
【答案】D
【解答】解：建筑工人在木门框上斜着加了一根木条，构成两个三角形，所以这样做是用了三角形的稳定性．
故选：D．
10．（2025春 和平区校级期中）如图，师傅安装空调在墙上时，一般都会增加一边固定，这种应用方法的几何原理是（　　）
A．两点确定一条直线 B．垂线段最短
C．两点之间线段最短 D．三角形具有稳定性
【答案】D
【解答】解：安装空调在墙上时，一般都会增加一边固定，这种应用方法的几何原理是三角形具有稳定性．
故选：D．
11．（2024秋 芜湖期中）如图，在生活中，为了保证儿童的安全，通常儿童座椅主体框架成三角形，这是利用了三角形具有的 　稳定性　 ．
【答案】稳定性．
【解答】解：通常儿童座椅主体框架成三角形，这是利用了三角形具有的稳定性，
故答案为：稳定性．
12．（2024秋 青秀区校级期中）如图，建筑工地上的塔吊上部设计成三角形结构，其中的数学原理是三角形的 　稳定性　 ．
【答案】稳定性．
【解答】解：为了安全，建筑工地上的塔吊上部设计成三角形结构，这是利用了三角形的稳定性，
故答案为：稳定性．
二．三角形三边关系（共12小题）
13．（2024秋 广信区期中）下列各组线段中，能构成三角形的是（　　）
A．2，5，7 B．4，4，8 C．4，5，6 D．4，5，10
【答案】C
【解答】解：A、2+5＝7，不能组成三角形，不符合题意；
B、4+4＝8，不能组成三角形，不符合题意；
C、4+5＞6，能组成三角形，符合题意；
D、4+5＜10，不能组成三角形，不符合题意．
故选：C．
14．（2025春 南海区校级期中）下列长度的四根木棒中，能与长5、11的两根木棒首尾相接，钉成一个三角形的是（　　）
A．5 B．6 C．11 D．16
【答案】C
【解答】解：由题知，
令三角形的第三边长为x，
则11﹣5＜x＜11+5，
即6＜x＜16，
显然只有C选项符合题意．
故选：C．
15．（2024秋 乾安县期中）下列每组数分别表示三根木棒的长，将它们首尾连接后，能摆成三角形的一组是（　　）
A．1，2，3 B．1，2，4 C．2，3，4 D．2，2，4
【答案】C
【解答】解：A、1+2＝3，不能组成三角形，故A选项错误；
B、1+2＜4，不能组成三角形，故B选项错误；
C、2+3＞4，能组成三角形，故C选项正确；
D、2+2＝4，不能组成三角形，故D选项错误；
故选：C．
16．（2024秋 忻州期中）小强周末骑自行车出行，他的骑行轨迹恰好是一个三角形．若其中两条边的长度分别为1km和3km，则另一条边的长度可能是（　　）
A．3km B．4km C．5km D．6km
【答案】A
【解答】解：其中两条边的长度分别为1km和3km，
设三角形的另一条边的长度为xkm，
3﹣1＜x＜3+1，则2＜x＜4，
故选项A符合题意，选项B、C、D不符合题意．
故选：A．
17．（2024秋 潜山市期中）若一个三角形的三边长分别为2，x，7，化简|x﹣5|﹣2|x﹣12|的结果是（　　）
A．﹣x+19 B．3x﹣29 C．﹣x+7 D．﹣x﹣29
【答案】B
【解答】解：∵一个三角形的三边长分别为2，x，7，
∴5＜x＜9，
∴|x﹣5|﹣2|x﹣12|
＝x﹣5+2x﹣24
＝3x﹣29，
综上所述，只有选项B正确，符合题意，
故选：B．
18．（2024秋 自贡校级期中）已知三角形的三边长分别为3，x，7，则x的值可能是（　　）
A．3 B．5 C．10 D．11
【答案】B
【解答】解：∵7﹣3＝4，7+3＝10，
∴4＜x＜10，
∴x的可能取值是5．
故选：B．
19．（2025春 顺德区期中）如图是折叠凳及其侧面示意图，若AC＝BC＝18cm，则折叠凳的宽AB可能为（　　）
A．70cm B．55cm C．40cm D．25cm
【答案】D
【解答】解：∵AC＝BC＝18cm，
∴0＜AB＜36，
∴折叠凳的宽AB可能为25cm，
故选：D．
20．（2024秋 平原县期中）如图，为估计池塘岸边A、B两点的距离，小方在池塘的一侧选取一点O，OA＝25米，OB＝15米，A、B间的距离不可能是（　　）
A．10米 B．15米 C．20米 D．25米
【答案】A
【解答】解：∵OA﹣OB＜AB＜OA+OB，OA＝25米，OB＝15米，
∴25﹣15＜AB＜25+15，即10＜AB＜40，
∴AB不可能等于10米，
故选：A．
21．（2024秋 集宁区期中）下列长度的三条线段能组成三角形的是（　　）
A．4cm，4cm，10cm B．6cm，8cm，10cm
C．5cm，6cm，11cm D．3cm，4cm，8cm
【答案】B
【解答】解：A、4+4＜10，长度为4cm，4cm，10cm的三条线段不能组成三角形，故此选项错误，不合题意；
B、6+8＞10，10﹣6＜8，长度为6cm，8cm，10cm的三条线段能组成三角形，故此选项正确，符合题意；
C、5+6＝11，长度为5cm，6cm，11cm的三条线段不能组成三角形，故此选项错误，不合题意；
D、3+4＜8，长度为3cm，4cm，8cm的三条线段不能组成三角形，故此选项错误，不合题意；
故选：B．
22．（2024秋 武宣县期中）将周长是12cm的三角形三条边展开，展开图正确的是（　　）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解答】解：A、由2+4＝6，不符合题意；
B、由3+3＝6，不符合题意；
C、由3+2＜7，不符合题意；
D、由5+2＞5，符合题意，
故选：D．
23．（2025春 重庆校级期中）若一个三角形的两边长分别是2和3，第三边的长为奇数．则第三边的长为　3　 ．
【答案】3．
【解答】解：由题意知，第三边x的范围是：3﹣2＜x＜3+2，即1＜x＜5，
∵第三边长是奇数，
∴第三边是3，
故答案为：3．
24．（2024春 锦江区校级期中）已知a，b，c是三角形的三条边，则化简|a﹣b+c|﹣|c﹣a﹣b|＝　2c﹣2b ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：∵a，b，c是三角形的三条边，
∴a﹣b+c＞0，c﹣a﹣b＜0，
故原式＝a﹣b+c+c﹣a﹣b
＝2c﹣2b．
故答案为：2c﹣2b．
三．三角形的角平分线、中线和高（共20小题）
25．（2024秋 碧江区 期中）如图，△ABC的边AC上的高是（　　）
A．AF B．DB C．CF D．BE
【答案】D
【解答】解：∵BE⊥AC，
∴△ABC的边AC上的高是线段BE，
故选：D．
26．（2024春 北林区校级期中）下列各图中，作出△ABC的AC边上的高，正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解答】解：根据三角形高线的定义，只有C选项中的BE是边AC上的高．
故选：C．
27．（2024秋 庄浪县期中）如图，在△ABC中，线段BE表示△ABC的边AC上的高的图是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解答】解：过点B作AC的垂线，且垂足在直线AC上，
所以正确画出AC边上的高的是D选项，
故选：D．
28．（2025春 深圳校级期中）如图，将三角形纸片ABC按下面四种方式折叠，则AD是△ABC的高的是（　　）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解答】解：选项D中的AD是△ABC的高，
故选：D．
29．（2025春 上海校级期中）下列各图形中，分别是四位同学所画的△ABC中BC边上的高，其中正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解答】解：A．CD不是任何边的高，故此选项错误，不符合题意；
B．AD不是任何边的高，故此选项错误，不符合题意；
C．BD是AC边的高，故此选项错误，不符合题意；
D．AD是BC边的高，故此选项正确，符合题意
故选：D．
30．（2025春 天府新区校级期中）如图，CD，CE，CF分别是△ABC的高、角平分线、中线，则下列各式中错误的是（　　）
A．AB＝2BF B．AE＝BE
C． D．CD⊥AB
【答案】B
【解答】解：A、∵CF是边AB的中线，
∴AB＝2BF，正确，不符合题意；
B、无法证明AE＝BE，说法错误，符合题意；
C、∵CE是∠ACB的平分线，
∴∠ACE∠ACB，正确，不符合题意；
D、∵CD是△ABC的高，
∴CD⊥AB，正确，不符合题意，
故选：B．
31．（2024秋 雨湖区期中）如图，CD、CE、CF分别是△ABC的高、角平分线、中线，则下列各式中错误的是（　　）
A．BA＝2BF B．∠ACE∠ACB
C．AE＝BE D．CD⊥AB
【答案】C
【解答】解：∵CD，CE，CF分别是△ABC的高、角平分线、中线，
∴CD⊥AB，∠ACE∠ACB，AB＝2BF，无法确定AE＝BE．
故选：C．
32．（2025春 宝安区期中）下列能表示△ABC的边BC上的高的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解答】解：△ABC的边BC上的高为AE，如图，
．
故选：B．
33．（2024秋 东莞市校级期中）如图，AD，AE，AF分别是△ABC的中线，角平分线，高，下列各式中错误的是（　　）
A．BC＝2CD B．∠BAE∠BAC
C．∠AFB＝90° D．AE＝CE
【答案】D
【解答】解：∵AD，AE，AF分别是△ABC的中线，角平分线，高，
∴BC＝2BD＝2DC，∠BAE＝∠CAE∠BAC，∠AFB＝∠AFC＝90°，
故选项A、B、C正确，选项D错误，
故选：D．
34．（2025春 永寿县期中）如图，AD，BE，CF分别是△ABC的中线、高和角平分线，∠ABC＝90°，CF交AD于点G，交BE于点H，AB＝BD．则下列结论中不一定正确的是（　　）
A．AB＝CD B．FG＝GC
C．∠ABE＝2∠FCB D．∠BFH＝∠BHF
【答案】B
【解答】解：A、∵AD是△ABC的中线，
∴BD＝DC，
∵AB＝BD，
∴AB＝CD，故本选项结论正确，不符合题意；
B、FG与GC的大小不能确定，故本选项结论不一定正确，符合题意；
C、∵∠ABC＝90°，
∴∠ABE+∠EBC＝90°，
∵BE⊥AC，
∴∠BCE+∠EBC＝90°，
∴∠ABE＝∠BCE，
∵CF是△ABC的角平分线，
∴∠BCE＝2∠FCA＝2∠FCB，
∴∠ABE＝2∠FCB，故本选项结论正确，不符合题意；
D、∵∠ABC＝90°，
∴∠BFH＝90°﹣∠FCB，
∵BE⊥AC，
∴∠EHC＝90°﹣FCA，
∴∠BFH＝∠EHC，
∵∠BHF＝∠EHC，
∴∠BFH＝∠BHF，故本选项结论正确，不符合题意；
故选：B．
35．（2024秋 黄石期中）在△ABC中，AC＝5cm，AD是△ABC中线，若△ABD周长与△ADC的周长相差2cm，则BA＝　3或7　 cm．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：如图，∵AD是△ABC中线，
∴BD＝CD，
∴△ABD周长﹣△ADC的周长＝（BA+BD+AD）﹣（AC+AD+CD）＝BA﹣AC，
∵△ABD周长与△ADC的周长相差2cm，
∴|BA﹣5|＝2，
∴解得BA＝7或3．
故答案为：3或7．
36．（2024秋 顺义区校级期中）如图，△ABC中，BC边所在直线上的高是线段 AD ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：△ABC中，BC边所在直线上的高是线段AD，
故答案为：AD
37．（2024秋 昭通期中）如图所示，AD是△ABC的中线，AB＝8，AC＝6，△ACD的周长为24，则△ABD的周长为 　26　 ．
【答案】26．
【解答】解：∵AD是△ABC的中线，
∴BD＝DC，
∵△ACD的周长为24，
∴AC+AD+CD＝24，
∵AC＝6，
∴AD+CD＝24﹣AD﹣CD＝24﹣6＝18，
∴AD+BD＝18，
又∵AB＝8，
∴AB+AD+BD＝8+18＝26，
所以△ABD周长为26，
故答案为：26．
38．（2024春 揭西县期中）如图，D为△ABC 的边BC的中点，若S△ADC＝15，则 S△ABC＝　30　 ．
【答案】30．
【解答】解：设△ABC中BC边上的高为h，
∵S△ABDBD h，S△ACDCD h，D是△ABC的边BC的中点，
∴S△ADC＝S△ABD，
∵S△ADC＝15，
∴S△ABC＝2S△ACD＝30．
故答案为：30．
39．（2024春 和平区校级期中）如图，在△ABC中，AD⊥BC，AE平分∠BAC，若∠1＝30°，∠2＝20°，则∠B＝　50°　 ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：∵AE平分∠BAC，
∴∠1＝∠EAD+∠2，
∴∠EAD＝∠1﹣∠2＝30°﹣20°＝10°，
Rt△ABD中，∠B＝90°﹣∠BAD
＝90°﹣30°﹣10°＝50°．
故答案为50°．
40．（2025春 深圳校级期中）如图是一块面积为10的三角形纸板，点D、E、F分别是线段AF、BD、CE的中点，则阴影部分的面积为　　 ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：如图，连接AE，BF，CD，
∵点D、E、F分别是线段AF、BD、CE的中点，
∴AD＝DF，BE＝ED，
∴S△ADE＝S△ABE，S△FBE＝S△FDE，
同理可得：△ABC被分为7个面积相同的三角形，
∴阴影部分的三角形的面积是△ABC的面积的，
∵△ABC的面积为10，
∴阴影部分的面积是，
故答案为：．
41．（2024春 双流区校级期中）在△ABC中，AC＝5cm，AD是△ABC中线，把△ABC周长分为两部分，若其差为3cm，则BA＝　8cm或2cm ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：∵AD是△ABC中线，
∴BD＝CD．
AD把△ABC周长分为的两部分分别是：AB+BD，AC+CD，
|（AB+BD）﹣（AC+CD）|＝|AB﹣AC|＝3，
如果AB＞AC，那么AB﹣5＝3，AB＝8cm；
如果AB＜AC，那么5﹣AB＝3，AB＝2cm．
故答案为：8cm或2cm．
42．（2025春 鲤城区校级期中）如图，△ABC中，AB＝10，AC＝8，AD为BC边上的中线，若△ACD的周长为22，则△ABD的周长是　24　 ．
【答案】24．
【解答】解：∵AD为BC边上的中线，
∴BD＝DC，
∵△ACD的周长为22，
∴AC+AD+CD＝22，
∴AC+AD+BD＝22，
∵AC＝8，
∴AD+BD＝14，
∴△ABD的周长＝AB+AD+BD＝10+14＝24，
故答案为：24．
43．（2024秋 乐清市期中）如图，在△ABC中，AB＝9，AC＝7，AD为中线，则△ABD与△ACD的周长之差的值为 　2　 ．
【答案】2．
【解答】解：∵AD为△ABC的中线，
∴BD＝DC，
∴△ABD与△ACD的周长之差为：（AB+BD+AD）﹣（AC+CD+AD）＝AB﹣AC＝9﹣7＝2，
故答案为：2．
44．（2024秋 柯桥区期中）如图，已知AE为△ABC的中线，AB＝8cm，AC＝6cm，△ACE的周长为20cm，则△ABE的周长为 　22　 cm．
【答案】22．
【解答】解：∵AE为△ABC的中线，
∴BE＝EC，
∵△ACE的周长为20cm，
∴AC+CE+AE＝20cm，
∵AC＝6cm，
∴CE+AE＝14cm，
∴BE+AE＝14cm，
∴△ABE的周长＝AB+BE+AE＝8+14＝22（cm），
故答案为：22．
四．三角形的重心（共16小题）
45．（2024秋 鼓楼区校级期中）已知：如图，点O是△ABC的重心，连接AO并延长交BC于点D，则下列命题中正确的是（　　）
A．AD是∠BAC的平分线 B．AD是BC边上的高
C．AD是BC边上的中线 D．AD是BC边上的中垂线
【答案】C
【解答】解：∵点O是△ABC的重心，连接AO并延长交BC于点D，
∴AD是BC边上的中线．
故选：C．
46．（2024秋 千山区期中）已知点F是△ABC的重心，连接AF并延长交BC于G点，过点F作直线分别交AB、AC于D点、E点，则下列说法正确的是（　　）
A．BG＝CG B．∠BAG＝∠CAG C．DF＝EF D．BD＝CE
【答案】A
【解答】解：∵点F是△ABC的重心，
∴AG是△ABC的中线，
∴BG＝CG，
故选：A．
47．（2024秋 微山县期中）如图，点D是△ABC的重心，连接AD并延长AD交BC于点E．下列结论正确的是（　　）
A．∠BAE＝∠CAE B．AE⊥BC C．AD＝DE D．BE＝CE
【答案】D
【解答】解：由条件可知AE为BC的中线，
∴BE＝CE，
故选：D．
48．（2024秋 龙马潭区校级期中）下列说法错误的是（　　）
A．三角形的三条角平分线都在三角形内部
B．三角形的三条高都在三角形内部
C．三角形的重心是三角形三条中线的交点
D．三角形的中线、角平分线、高都是线段
【答案】B
【解答】解：A、三角形的三条角平分线都在三角形内部，故A正确，不符合题意；
B、钝角三角形有两条高在三角形外部，故B错误，符合题意；
C、三角形的重心是三角形三条中线的交点，故C正确，不符合题意；
D、三角形的中线、角平分线、高都是线段，故D正确，不符合题意；
故选：B．
49．（2024秋 晋江市校级期中）如图，在Rt△ABC中，∠BCA＝90°，BC＝6，AC＝8，两条中线BD和CE相交于点Q，则CQ的长是（　　）
A．5 B． C． D．
【答案】B
【解答】解：∵∠BCA＝90°，BC＝6，AC＝8，
∴，
∵两条中线BD和CE相交于点Q，
∴，点Q为Rt△ABC的重心，
∴，
∴，
∴；
故选：B．
50．（2024秋 龙马潭区校级期中）如图，点G是△ABC的重心，AD＝6，则GD的值为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．1.5
【答案】B
【解答】解：∵点G是△ABC的重心，
∴DG：AG＝1：2，
∴DGAD6＝2．
故选：B．
51．（2024春 南海区期中）如图，小明用铅笔可以支起一张质地均匀的三角形卡片，则他支起的这个点应是三角形的（　　）
A．三边高的交点
B．三条角平分线的交点
C．三边垂直平分线的交点
D．三边中线的交点
【答案】D
【解答】解：∵支撑点应是三角形的重心，
∴三角形的重心是三角形三边中线的交点，
故选：D．
52．（2025春 市中区期中）如图，已知△ABC是等边三角形，中线BE，CD交于点F，则∠BFD的度数为（　　）
A．30° B．60° C．120° D．150°
【答案】B
【解答】解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC＝∠ACB＝60°，
∵中线BE，CD交于点F，
∴∠EBC＝∠DCB60°＝30°，
∴∠BFD＝∠EBC+∠DCB＝60°．
故选：B．
53．（2024秋 峰峰矿区期中）有一个厚薄均匀的三角形硬纸板，现在硬纸板上选一点，在这个点上钻一个小孔，通过小孔系一条线将三角形硬纸板吊起，若三角形硬纸板处于平衡状态，则这一点可能是（　　）
A．N点 B．M点 C．P点 D．Q点
【答案】A
【解答】解：通过小孔系一条线将三角形硬纸板吊起，若三角形硬纸板处于平衡状态，
∴这个点为三角形的重心，
由图可知点N为该三角形的重心．
故选：A．
54．（2024秋 大理州期中）下列说法错误的是（　　）
A．三角形的三条角平分线都在三角形内部
B．三角形的重心是三角形三条中线的交点
C．三角形的三条高都在三角形内部
D．三角形的中线、角平分线、高都是线段
【答案】C
【解答】解：A、三角形的三条角平分线都在三角形内部，正确，故A不符合题意；
B、三角形的重心是三角形三条中线的交点，正确，故B不符合题意；
C、锐角三角形的三条高都在三角形内部，故C符合题意；
D、三角形的中线、角平分线、高都是线段，正确，故D不符合题意．
故选：C．
55．（2024秋 新泰市期中）如图，点O是△ABC的重心，延长AO交BC于点D，延长BO交AC于点E．若BC＝6，AC＝4，则BD+AE＝ 　5　 ．
【答案】5．
【解答】解：∵点O是△ABC的重心，延长AO交BC于点D，延长BO交AC于点E．
∴BD，AE，
∴BD+AE（BC+AC）5．
故答案为：5．
56．（2024秋 凉州区期中）如图，△ABC的中线AD，BE相交于点F，FH⊥BC，垂足为H．若S△ABC＝15，BC＝6，则FH长为 　　 ．
【答案】．
【解答】解：连接FC，如图所示：
∵AD、BE是△ABC的中线，S△ABC＝15，
∴S△BEC＝S△ABE＝S△ABDS△ABC，
∴S△ABF+S△AEF＝S△ABF+S△BDF，
∴S△AEF＝S△BDF，
∵S△CEF＝S△AEF，S△DBF＝S△CDF，
∴S△CEF＝S△DBF＝S△CDF，
∴S△BCFS△BEC＝5，
∵S△BCFBC FH6FH＝5，
∴FH．
故答案为：．
57．（2024秋 鼓楼区校级期中）如图，Rt△ABC，∠BAC＝90°，AC＝6，AB＝8，点E为△ABC的重心，则AE的长是 　　 ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：∵AC＝6，AB＝8，∠BAC＝90°，
∴BC．
∵点E为△ABC的重心，
∴AD，
则AE．
故答案为：．
58．（2025春 玄武区校级期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，点O是△ABC的重心，连接CO并延长交AB于点E，过点E作EF⊥AB交BC于点F，连接AF交CE于点M，则的值为　　 ．
【答案】．
【解答】解∵△ABC是直角三角形，AE＝EB，
∴CE＝BE＝AE，
∵点O是△ABC的重心，
∴OCCE．
∵∠B＝30°，EF⊥AB，
∴∠FAE＝∠B＝30°，∠BAC＝60°，
∴∠FAE＝∠CAF＝30°，△ACE是等边三角形，
∴CMCE，
∴OMCECECE，即OMAE．
∵BE＝AE，∠EAF＝30°，
∴EFAE．
∵EF⊥AB，
∴∠AFE＝60°，
∴∠FEM＝30°，
∴MFEF，
∴MFAE，
∴．
故答案为：．
59．（2024秋 宁波校级期中）如图，△ABC的两条中线AE、CD交于点F，若CD＝6，则DF长为　2　 ．
【答案】2．
【解答】解：∵△ABC的两条中线AE、CD交于点F，
∴点F即为△ABC的重心，
∴．
故答案为：2．
60．（2024秋 农安县期中）如图在△ABC中，G是三角形的重心，AG⊥GC，AC＝8，则BG的长为 　8　 ．
【答案】8．
【解答】解：延长BG交AC于D，延长CG交AB于E，在GD的延长线上取一点F，使DF＝GD，如图所示：
∵G是△ABC的重心，
∴点D，E分别是AC，AB的中点，
∴AD＝CD，
∵∠AG⊥GC，AC＝8，
∴GD为Rt△AGC斜边AC上的中点，
∴GDAC＝4，
∴GF＝2GD＝8，
在△ADF和△CDG中，
，
∴△ADF≌△CDG（SAS），
∴∠DAF＝∠DCG，
∴AF∥CG，
即AF∥GE，
∵点E是AB的中点，
∵GE是△ABF的中位线，
∴BG＝GF＝8．
故答案为：8．专题02 与三角形有关的线段
▉考点01 三角形三边的关系
三角形三边的关系
图示 文字语言 符号语言 理论依据
三角形两边的和大于第三边. a+b>c,b+c>a,a+c>b. 两点之间，线段最短.
三角形两边的差小于第三边. a-b▉考点02三角形的稳定性
三角形的三条边确定后，这个三角形的形状、大小就确定了，这就是三角形的稳定性.
▉考点03三角形的中线、角平分线、高
1.三角形的中线
(1)
定义 符号语言 图示
连接三角形的一个顶点和它所对的边的中点，所得线段叫作三角形的这条边上的中线. 如图，①AD是△ABC的边BC上的中线；②D是边BC的中点；③BD=DC=1/2BC.
(2)三角形的重心：一个三角形有三条中线，这三条中线相交于三角形内一点(如图13.2-3).三角形三条中线的交点叫作三角形的重心.
2.三角形的角平分线
(1)
定义 符号语言 图示
在三角形中，一个内角的平分线与这个角所对的边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫作三角形的角平分线. 如图，①AD是△ABC的角平分线；②AD平分∠BAC,交BC于点D;③∠BAD=∠CAD=1/2BAC.
(2)三角形的角平分线的位置：三角形的三条角平分线都在三角形的内部，并且三条角平分线相交于三角形内一点.
3.三角形的高
(1)
定义 符号语言 图示
从三角形的一个顶点向它所对的边所在直线画垂线，连接顶点和垂足的线段叫作三角形的这条边上的高. 如图，①AD是△ABC的边BC上的高；②AD⊥BC于点D.
(2)三角形的高的画法
一靠 使三角尺的一条直角边靠在要作高的边上.
二移 移动三角尺使另一条直角边通过这条边所对的顶点.
三画 画垂线段.
(3)三角形三条高的位置
三角形 锐角三角形 直角三角形 钝角三角形
图示
三条高的位置 三条高都在三角形内部. 有两条高恰好是它的两条直角边，另一条高在三角形内部. 有两条高在三角形外部，另一条高在三角形内部.
三条高的交点 三条高交于三角形内部一点. 三条高交于三角形的直角顶点. 三条高没有交点，但三条高所在的直线交于三角形外一点.
一．三角形的稳定性（共12小题）
1．（2024秋 咸安区期中）如图，生活中都把自行车的几根梁做成三角形的支架，这是利用三角形的（　　）
A．全等形 B．稳定性 C．灵活性 D．对称性
2．（2024秋 香洲区校级期中）2024珠海风筝节于10月19日在海天公园沙滩盛大举办！敏敏自制了一个风筝去参加风筝节，为了风筝更稳定地在空中飞行，他所设计的风筝骨架结构为三角形，如图所示，这种设计的原理是（　　）
A．三角形具有稳定性 B．两点之间，线段最短
C．两点确定一条直线 D．垂线段最短
3．（2025春 东坡区校级期中）如图，工人师傅在砌门时，常用木条固定长方形门框，这里所运用的几何原理是（　　）
A．两点之间线段最短 B．两点确定一条直线
C．三角形具有稳定性 D．垂线段最短
4．（2024秋 临海市校级期中）自行车支架一般都会采用如图△ABC的设计．这种方法应用的几何原理是（　　）
A．两点确定一条直线 B．两点之间线段最短
C．三角形的稳定性 D．垂线段最短
5．（2024秋 沂源县期中）人字梯中间一般会设计一“拉杆”，这样做的道理是（　　）
A．两点之间，线段最短
B．垂线段最短
C．两直线平行，内错角相等
D．三角形具有稳定性
6．（2024秋 崆峒区校级期中）下列图形具有稳定性的是（　　）
A．正方形 B．长方形
C．直角三角形 D．平行四边形
7．（2024秋 威信县期中）埃菲尔铁塔是巴黎城市地标之一，也是巴黎最高的建筑物，总高324米，如图所示，在埃菲尔铁塔的设计中运用了大量的三角形的结构，你能从中推断出其运用的数学原理是（　　）
A．三角形的不稳定性
B．三角形的稳定性
C．三角形两边之和大于第三边
D．两点之间线段最短
8．（2024秋 南川区期中）如图，在生活中，我们经常会看见如图所示的情况，在电线杆上拉两条钢筋，来加固电线杆，这是利用了三角形的（　　）
A．稳定性 B．灵活性 C．对称性 D．全等性
9．（2024秋 西城区校级期中）如图，修建房屋时，为了使木门框不变形，建筑工人在木门框上斜着加了一根木条，这样做的道理是（　　）
A．两直线平行，内错角相等
B．两点之间，线段最短
C．垂线段最短
D．三角形具有稳定性
10．（2025春 和平区校级期中）如图，师傅安装空调在墙上时，一般都会增加一边固定，这种应用方法的几何原理是（　　）
A．两点确定一条直线 B．垂线段最短
C．两点之间线段最短 D．三角形具有稳定性
11．（2024秋 芜湖期中）如图，在生活中，为了保证儿童的安全，通常儿童座椅主体框架成三角形，这是利用了三角形具有的 　 　 ．
12．（2024秋 青秀区校级期中）如图，建筑工地上的塔吊上部设计成三角形结构，其中的数学原理是三角形的 　 　 ．
二．三角形三边关系（共12小题）
13．（2024秋 广信区期中）下列各组线段中，能构成三角形的是（　　）
A．2，5，7 B．4，4，8 C．4，5，6 D．4，5，10
14．（2025春 南海区校级期中）下列长度的四根木棒中，能与长5、11的两根木棒首尾相接，钉成一个三角形的是（　　）
A．5 B．6 C．11 D．16
15．（2024秋 乾安县期中）下列每组数分别表示三根木棒的长，将它们首尾连接后，能摆成三角形的一组是（　　）
A．1，2，3 B．1，2，4 C．2，3，4 D．2，2，4
16．（2024秋 忻州期中）小强周末骑自行车出行，他的骑行轨迹恰好是一个三角形．若其中两条边的长度分别为1km和3km，则另一条边的长度可能是（　　）
A．3km B．4km C．5km D．6km
17．（2024秋 潜山市期中）若一个三角形的三边长分别为2，x，7，化简|x﹣5|﹣2|x﹣12|的结果是（　　）
A．﹣x+19 B．3x﹣29 C．﹣x+7 D．﹣x﹣29
18．（2024秋 自贡校级期中）已知三角形的三边长分别为3，x，7，则x的值可能是（　　）
A．3 B．5 C．10 D．11
19．（2025春 顺德区期中）如图是折叠凳及其侧面示意图，若AC＝BC＝18cm，则折叠凳的宽AB可能为（　　）
A．70cm B．55cm C．40cm D．25cm
20．（2024秋 平原县期中）如图，为估计池塘岸边A、B两点的距离，小方在池塘的一侧选取一点O，OA＝25米，OB＝15米，A、B间的距离不可能是（　　）
A．10米 B．15米 C．20米 D．25米
21．（2024秋 集宁区期中）下列长度的三条线段能组成三角形的是（　　）
A．4cm，4cm，10cm B．6cm，8cm，10cm
C．5cm，6cm，11cm D．3cm，4cm，8cm
22．（2024秋 武宣县期中）将周长是12cm的三角形三条边展开，展开图正确的是（　　）
A．
B．
C．
D．
23．（2025春 重庆校级期中）若一个三角形的两边长分别是2和3，第三边的长为奇数．则第三边的长为　 　 ．
24．（2024春 锦江区校级期中）已知a，b，c是三角形的三条边，则化简|a﹣b+c|﹣|c﹣a﹣b|＝　 　 ．
三．三角形的角平分线、中线和高（共20小题）
25．（2024秋 碧江区 期中）如图，△ABC的边AC上的高是（　　）
A．AF B．DB C．CF D．BE
26．（2024春 北林区校级期中）下列各图中，作出△ABC的AC边上的高，正确的是（　　）
A． B．
C． D．
27．（2024秋 庄浪县期中）如图，在△ABC中，线段BE表示△ABC的边AC上的高的图是（　　）
A． B．
C． D．
28．（2025春 深圳校级期中）如图，将三角形纸片ABC按下面四种方式折叠，则AD是△ABC的高的是（　　）
A．
B．
C．
D．
29．（2025春 上海校级期中）下列各图形中，分别是四位同学所画的△ABC中BC边上的高，其中正确的是（　　）
A． B．
C． D．
30．（2025春 天府新区校级期中）如图，CD，CE，CF分别是△ABC的高、角平分线、中线，则下列各式中错误的是（　　）
A．AB＝2BF B．AE＝BE
C． D．CD⊥AB
31．（2024秋 雨湖区期中）如图，CD、CE、CF分别是△ABC的高、角平分线、中线，则下列各式中错误的是（　　）
A．BA＝2BF B．∠ACE∠ACB
C．AE＝BE D．CD⊥AB
32．（2025春 宝安区期中）下列能表示△ABC的边BC上的高的是（　　）
A． B．
C． D．
33．（2024秋 东莞市校级期中）如图，AD，AE，AF分别是△ABC的中线，角平分线，高，下列各式中错误的是（　　）
A．BC＝2CD B．∠BAE∠BAC
C．∠AFB＝90° D．AE＝CE
34．（2025春 永寿县期中）如图，AD，BE，CF分别是△ABC的中线、高和角平分线，∠ABC＝90°，CF交AD于点G，交BE于点H，AB＝BD．则下列结论中不一定正确的是（　　）
A．AB＝CD B．FG＝GC
C．∠ABE＝2∠FCB D．∠BFH＝∠BHF
35．（2024秋 黄石期中）在△ABC中，AC＝5cm，AD是△ABC中线，若△ABD周长与△ADC的周长相差2cm，则BA＝　 　 cm．
36．（2024秋 顺义区校级期中）如图，△ABC中，BC边所在直线上的高是线段 　 　 ．
37．（2024秋 昭通期中）如图所示，AD是△ABC的中线，AB＝8，AC＝6，△ACD的周长为24，则△ABD的周长为 　 　 ．
38．（2024春 揭西县期中）如图，D为△ABC 的边BC的中点，若S△ADC＝15，则 S△ABC＝　 　 ．
39．（2024春 和平区校级期中）如图，在△ABC中，AD⊥BC，AE平分∠BAC，若∠1＝30°，∠2＝20°，则∠B＝　 　 ．
40．（2025春 深圳校级期中）如图是一块面积为10的三角形纸板，点D、E、F分别是线段AF、BD、CE的中点，则阴影部分的面积为　 　 ．
41．（2024春 双流区校级期中）在△ABC中，AC＝5cm，AD是△ABC中线，把△ABC周长分为两部分，若其差为3cm，则BA＝　 　 ．
42．（2025春 鲤城区校级期中）如图，△ABC中，AB＝10，AC＝8，AD为BC边上的中线，若△ACD的周长为22，则△ABD的周长是　 　 ．
43．（2024秋 乐清市期中）如图，在△ABC中，AB＝9，AC＝7，AD为中线，则△ABD与△ACD的周长之差的值为 　 　 ．
44．（2024秋 柯桥区期中）如图，已知AE为△ABC的中线，AB＝8cm，AC＝6cm，△ACE的周长为20cm，则△ABE的周长为 　 　 cm．
四．三角形的重心（共16小题）
45．（2024秋 鼓楼区校级期中）已知：如图，点O是△ABC的重心，连接AO并延长交BC于点D，则下列命题中正确的是（　　）
A．AD是∠BAC的平分线 B．AD是BC边上的高
C．AD是BC边上的中线 D．AD是BC边上的中垂线
46．（2024秋 千山区期中）已知点F是△ABC的重心，连接AF并延长交BC于G点，过点F作直线分别交AB、AC于D点、E点，则下列说法正确的是（　　）
A．BG＝CG B．∠BAG＝∠CAG C．DF＝EF D．BD＝CE
47．（2024秋 微山县期中）如图，点D是△ABC的重心，连接AD并延长AD交BC于点E．下列结论正确的是（　　）
A．∠BAE＝∠CAE B．AE⊥BC C．AD＝DE D．BE＝CE
48．（2024秋 龙马潭区校级期中）下列说法错误的是（　　）
A．三角形的三条角平分线都在三角形内部
B．三角形的三条高都在三角形内部
C．三角形的重心是三角形三条中线的交点
D．三角形的中线、角平分线、高都是线段
49．（2024秋 晋江市校级期中）如图，在Rt△ABC中，∠BCA＝90°，BC＝6，AC＝8，两条中线BD和CE相交于点Q，则CQ的长是（　　）
A．5 B． C． D．
50．（2024秋 龙马潭区校级期中）如图，点G是△ABC的重心，AD＝6，则GD的值为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．1.5
51．（2024春 南海区期中）如图，小明用铅笔可以支起一张质地均匀的三角形卡片，则他支起的这个点应是三角形的（　　）
A．三边高的交点
B．三条角平分线的交点
C．三边垂直平分线的交点
D．三边中线的交点
52．（2025春 市中区期中）如图，已知△ABC是等边三角形，中线BE，CD交于点F，则∠BFD的度数为（　　）
A．30° B．60° C．120° D．150°
53．（2024秋 峰峰矿区期中）有一个厚薄均匀的三角形硬纸板，现在硬纸板上选一点，在这个点上钻一个小孔，通过小孔系一条线将三角形硬纸板吊起，若三角形硬纸板处于平衡状态，则这一点可能是（　　）
A．N点 B．M点 C．P点 D．Q点
54．（2024秋 大理州期中）下列说法错误的是（　　）
A．三角形的三条角平分线都在三角形内部
B．三角形的重心是三角形三条中线的交点
C．三角形的三条高都在三角形内部
D．三角形的中线、角平分线、高都是线段
55．（2024秋 新泰市期中）如图，点O是△ABC的重心，延长AO交BC于点D，延长BO交AC于点E．若BC＝6，AC＝4，则BD+AE＝ 　 　 ．
56．（2024秋 凉州区期中）如图，△ABC的中线AD，BE相交于点F，FH⊥BC，垂足为H．若S△ABC＝15，BC＝6，则FH长为 　 　 ．
57．（2024秋 鼓楼区校级期中）如图，Rt△ABC，∠BAC＝90°，AC＝6，AB＝8，点E为△ABC的重心，则AE的长是 　 　 ．
58．（2025春 玄武区校级期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，点O是△ABC的重心，连接CO并延长交AB于点E，过点E作EF⊥AB交BC于点F，连接AF交CE于点M，则的值为　 　 ．
59．（2024秋 宁波校级期中）如图，△ABC的两条中线AE、CD交于点F，若CD＝6，则DF长为　 　 ．
60．（2024秋 农安县期中）如图在△ABC中，G是三角形的重心，AG⊥GC，AC＝8，则BG的长为 　 　 ．

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