资源简介

专题03 三角形的内角与外角
▉考点01 三角形的内角和定理
问题提出：小学的时候我们通过度量或剪拼已经验证过三角形的内角和等于180°,但测量存在误差且我们不可能用上述方法一一验证所有的三角形.现在我们怎么通过推理的方法去证明呢
观察思考：如图13.3-1,回忆小学剪拼法的操作过程，你能发现证明思路吗
推理验证：如图13.3-2,过点A作l//BC,
则∠B=∠1,∠C=∠2(两直线平行，内错角相等).
∵∠1+∠3+∠2=180°(平角定义),
∴∠B+∠3+∠C=180°(等量代换).
结论归纳：三角形的内角和定理
文字语言 符号语言 图示
三角形的内角和等于180°. 在△ABC中，∠A+∠B+∠C=180°.
▉考点02 直角三角形的性质与判定
文字语言 符号语言 图示
性质 直角三角形的两个锐角互余. 在直角三角形ABC中，∵∠C=90°,∴.∠A+∠B=90°.
判定 有两个角互余的三角形是直角三角形. 在△ABC中，∵∠A+∠B=90°,∴∠C=90°,即△ABC是直角三角形.
2.直角三角形的表示：直角三角形可以用符号“Rt△”表示，直角三角形ABC可以写成Rt△ABC.
▉考点03 三角形的外角
1.三角形的外角：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫作三角形的外角.如图13.3-4,∠ACD是△ABC的一个外角.
2.三角形内角和定理的推论(三角形外角的性质):
三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和.如图13.3-4,∠ACD=∠A+∠B. 推导过程： ∵∠ACD+∠ACB=180°, ∴∠ACD=180°-∠ACB. ∵∠A+∠B+∠ACB=180°, ∴∠A+∠B=180°-∠ACB, ∴∠ACD=∠A+∠B.
一．三角形内角和定理（共20小题）
1．（2025春 市中区期中）若一个三角形的三个内角度数的比为2：3：4，则这个三角形是（　　）
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．等腰三角形
2．（2025秋 环翠区校级月考）如图，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的角平分线交于点O，且∠A＝α，则∠BOC的度数是（　　）
A． B． C． D．
3．（2025春 市南区校级期中）如图，在△ABC中，AD⊥BC，AE平分∠BAC，若∠1＝40°，∠B＝35°，则∠2的度数为（　　）
A．15° B．25° C．35° D．45°
4．（2024春 道里区校级期中）已知△ABC中∠A：∠B：∠C＝1：2：3，则△ABC是（　　）
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．无法确定
5．（2024秋 汉川市期中）如图，在△ABC中，∠ABC，∠ACB的平分线相交于点O，若∠A＝100°，则∠BOC的度数为（　　）
A．100° B．106° C．120° D．140°
6．（2024秋 红塔区校级期中）在△ABC中，若∠A：∠B：∠C＝1：2：3，则△ABC为（　　）
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．等腰三角形
7．（2025春 静海区校级期中）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，DE过点C，且DE∥AB，若∠ACD＝65°，则∠B的度数是（　　）
A．25° B．35° C．45° D．55°
8．（2024秋 安徽校级期中）如图，在△ABC中，BD和CD分别平分∠ABC和∠ACB，BE和CE分别平分∠CBD和∠BCD，∠A＝60°，下列式子中正确的是（　　）
A．∠A+∠D＝∠E B．2∠D＝3∠A C．∠E＝3∠A D．5∠D＝4∠E
9．（2025春 南昌期中）将一副三角板如图摆放，则图中∠1的度数是（　　）
A．75° B．105° C．135° D．150°
10．（2024秋 松山区期中）如图，把一副三角板叠放在一起，则图中∠1的度数是（　　）
A．45° B．60° C．75° D．120°
11．（2024春 碑林区校级期中）如图，在△ABC中，AD⊥BC，AE平分∠BAC，若∠1＝40°，∠2＝25°，则∠B的度数为（　　）
A．25° B．35° C．45° D．55°
12．（2025春 高青县期中）如图，已知在△ABC中，∠A＝40°，将一块直角三角板放在△ABC上，使三角板的两条直角边分别经过B，C，直角顶点D落在△ABC的内部，则∠ABD+∠ACD＝（　　）度．
A．90 B．60 C．50 D．40
13．（2024秋 北仑区校级期中）如图，BE、CF都是△ABC的角平分线，且∠BDC＝130°，则∠A＝（　　）
A．50° B．60° C．70° D．80°
14．（2024秋 重庆期中）BP是∠ABC的平分线，CP是∠ACB的邻补角的平分线，∠ABP＝20°，∠ACP＝50°，则∠P＝（　　）
A．30° B．40° C．50° D．60°
15．（2024秋 东昌府区期中）如图，BD是△ABC的角平分线，AE⊥BD，垂足为F，若∠ABC＝40°，∠C＝45°，则∠CDE的度数为（　　）
A．35° B．40° C．45° D．50°
16．（2024秋 和平区校级期中）如图，已知△ABC中，∠B＝α，∠C＝β（α＞β），AD是BC边上的高，AE是∠BAC的平分线，则∠DAE的度数为（　　）
A．α﹣β B．2（α﹣β） C．α﹣2β D．（α﹣β）
17．（2024秋 西湖区期中）若一个三角形三个内角度数的比为1：2：3，那么这个三角形是（　　）
A．锐角三角形 B．等边三角形
C．钝角三角形 D．直角三角形
18．（2024春 德惠市校级期中）已知△ABC的三个内角度数比为2：3：4，则这个三角形是（　　）
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．无法确定
19．（2024春 南海区校级期中）如图，△ABC中，AD是BC上的高，AE平分∠BAC，∠B＝60°，∠C＝40°，则∠DAE＝　 度．
20．（2024秋 邳州市期中）如图，BD是∠ABC的角平分线，AD⊥BD，垂足为D，∠DAC＝20°，∠C＝40°，则∠ABD＝ 　．
二．直角三角形的性质（共20小题）
21．（2025春 沈阳期中）在下列条件：①∠A+∠B＝∠C；②∠A：∠B：∠C＝1：2：3；③∠A＝∠B＝2∠C；④∠A∠C；⑤∠A＝∠B∠C中，能确定△ABC为直角三角形的条件有（　　）
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
22．（2024秋 荣成市校级期中）如图，将一副三角尺按不同位置摆放，摆放方式中∠α≠∠β的图形有（　　）
A． B．
C． D．
23．（2024春 历下区期中）在下列条件：①∠A+∠B＝∠C，②∠A：∠B：∠C＝5：3：2，③∠A＝90°﹣∠B，④∠A＝2∠B＝3∠C中，能确定△ABC是直角三角形的条件有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
24．（2024春 赫山区校级期中）在Rt△ABC中，∠C＝90°，若∠A＝37°，则∠B的度数为（　　）
A．53° B．63° C．73° D．83°
25．（2024秋 赛罕区校级期中）如图，在△ABC中，点P在边BC上（不与点B，点C重合），（　　）
A．若∠BAC＝90°，∠BAP＝∠B，则AC＝PC
B．若∠BAC＝90°，∠BAP＝∠C，则AP⊥BC
C．若AP⊥BC，PB＝PC，则∠BAC＝90°
D．若PB＝PC，∠BAP＝∠CAP，则∠BAC＝90°
26．（2025春 西安期中）如图，AC⊥BC，垂足为C，AC＝15，BC＝20，AB＝25．P是线段AB上的任意一点，连接PC，PC的长不可能是（　　）
A．11 B．12 C．13 D．16
27．（2025春 象州县期中）在一个直角三角形中，一个锐角是40°，另一个锐角是（　　）
A．70° B．50° C．30° D．10°
28．（2025春 于都县期中）将两把相同的直尺如图放置．若∠1＝164°，则∠2的度数等于（　　）
A．103° B．104° C．105° D．106°
29．（2025春 城关区校级期中）直角三角形的一个锐角是另一个内角的4倍，则这个锐角的度数为（　　）
A．72° B．22.5° C．90° D．18°
30．（2025春 祁阳市校级期中）在下列条件中：①∠A+∠B＝∠C；②∠A：∠B：∠C＝3：7：4；③∠A＝90°﹣∠B；④∠A＝∠B∠C中，能确定△ABC是直角三角形的条件有（　　）
A．①③ B．①④ C．①②③ D．①②③④
31．（2024秋 蔡甸区校级期中）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AC≠AB，AD是斜边BC上的高，DE⊥AC，DF⊥AB，垂足分别为E、F，则图中与∠C（∠C除外）相等的角的个数是（　　）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
32．（2024秋 东海县期中）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝52°，将其折叠，使点A落在边BC上的点E处，CA与CE重合，折痕为CD，则∠EDB的度数是 　　 ．
33．（2024春 永定区校级期中）在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝65°，则∠B＝　25°　 ．
34．（2025春 象州县期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D在AB边上，将△CBD沿CD折叠，使点B恰好落在AC边上的点E处．若∠A＝25°，则∠CDE＝　 ．
35．（2024秋 天河区校级期中）如图，把一张Rt△ABC纸片沿DE折叠，若∠1＝70°，∠C＝90°，则∠2的度数为 　　 ．
36．（2024秋 北仑区校级期中）在△ABC中，若∠C＝90°，∠B＝35°，则∠A的度数为　　 ．
37．（2024春 南岗区校级期中）直角三角形的两个锐角　互余　 ．
三．三角形的外角性质（共20小题）
38．（2024秋 津南区校级期中）如图，在△ABC中，点D在CB的延长线上，∠A＝70°，∠ABD＝120°，则∠C等于（　　）
A．40° B．50° C．60° D．70°
39．（2025春 北京期中）如果将一副三角板按如图方式叠放，那么∠1等于（　　）
A．120° B．105° C．60° D．45°
40．（2024秋 重庆校级期中）如图，△ABC中∠B＝40°，∠C＝30°，延长BA到点D，则∠CAD的度数是（　　）
A．50° B．70° C．80° D．110°
41．（2024秋 通城县期中）如图，已知∠A＝60°，∠B＝40°，∠C＝30°，则∠D+∠E等于（　　）
A．30° B．40° C．50° D．60°
42．（2024秋 淮南期中）生活中到处都存在着数学知识，只要同学们学会用数学的眼光观察生活，就会有许多意想不到的收获，如图是由三角尺拼凑得到的，图中∠ABF的度数为（　　）
A．10° B．15° C．20° D．25°
43．（2025春 东坡区校级期中）一副含30°角和45°角的直角三角板如图摆放，则∠1的度数为（　　）
A．45° B．60° C．75° D．105°
44．（2025春 泉州期中）如果将一副三角板按如图方式叠放，那么∠1等于（　　）
A．45° B．60° C．105° D．120°
45．（2024秋 天山区校级期中）将一副三角板按照如图方式摆放，则∠FBA的度数为（　　）
A．10° B．15° C．20° D．25°
46．（2024秋 郾城区期中）一副三角板按如图所示方式叠放在一起，则图中∠α的度数是（　　）
A．55° B．60° C．65° D．75°
47．（2011春 安县校级期中）如图，∠ABC和∠ACB的外角平分线相交于点D，设∠BDC＝α，那么∠A等于（　　）
A．90°﹣α B．90°α C．180°α D．180°﹣2α
48．（2024秋 寻甸县校级期中）如图，在△ABC中，∠A＝45°，∠ACD＝110°，则∠B的度数为（　　）
A．45° B．55° C．65° D．75°
49．（2024秋 和平区期中）如图，BP是△ABC中∠ABC的平分线，CP是∠ACB的外角的平分线，如果∠ABP＝20°，∠ACP＝50°，则∠A+∠P＝（　　）
A．70° B．80° C．90° D．100°
50．（2024秋 天镇县期中）如图，已知△ABC的内角∠A＝α，分别作内角∠ABC与外角∠ACD的平分线，两条平分线交于点A1，得∠A1；∠A1BC和∠A1CD的平分线交于点A2，得∠A2；……以此类推得到∠A2024，则∠A2024的度数是（　　）
A． B． C． D．
51．（2024秋 新县期中）在图中，∠1+∠2+∠B＝（　　）
A．∠ADB B．∠AEC C．∠ACB D．∠DEC
52．（2024秋 五华区校级期中）体育课上的侧压腿动作（图1）可以抽象为几何图形（图2），如果∠1＝115°，则∠2等于（　　）
A．10° B．20° C．25° D．30°
53．（2024春 丰城市校级期中）如图，BP是△ABC中∠ABC的平分线，CP是∠ACB的外角的平分线，如果∠ABP＝20°，∠ACP＝50°，则∠P＝　．
54．（2024秋 梁平区校级期中）如图所示，图中的x等于 　 ．专题03 三角形的内角与外角
▉考点01 三角形的内角和定理
问题提出：小学的时候我们通过度量或剪拼已经验证过三角形的内角和等于180°,但测量存在误差且我们不可能用上述方法一一验证所有的三角形.现在我们怎么通过推理的方法去证明呢
观察思考：如图13.3-1,回忆小学剪拼法的操作过程，你能发现证明思路吗
推理验证：如图13.3-2,过点A作l//BC,
则∠B=∠1,∠C=∠2(两直线平行，内错角相等).
∵∠1+∠3+∠2=180°(平角定义),
∴∠B+∠3+∠C=180°(等量代换).
结论归纳：三角形的内角和定理
文字语言 符号语言 图示
三角形的内角和等于180°. 在△ABC中，∠A+∠B+∠C=180°.
▉考点02 直角三角形的性质与判定
文字语言 符号语言 图示
性质 直角三角形的两个锐角互余. 在直角三角形ABC中，∵∠C=90°,∴.∠A+∠B=90°.
判定 有两个角互余的三角形是直角三角形. 在△ABC中，∵∠A+∠B=90°,∴∠C=90°,即△ABC是直角三角形.
2.直角三角形的表示：直角三角形可以用符号“Rt△”表示，直角三角形ABC可以写成Rt△ABC.
▉考点03 三角形的外角
1.三角形的外角：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫作三角形的外角.如图13.3-4,∠ACD是△ABC的一个外角.
2.三角形内角和定理的推论(三角形外角的性质):
三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和.如图13.3-4,∠ACD=∠A+∠B. 推导过程： ∵∠ACD+∠ACB=180°, ∴∠ACD=180°-∠ACB. ∵∠A+∠B+∠ACB=180°, ∴∠A+∠B=180°-∠ACB, ∴∠ACD=∠A+∠B.
一．三角形内角和定理（共20小题）
1．（2025春 市中区期中）若一个三角形的三个内角度数的比为2：3：4，则这个三角形是（　　）
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．等腰三角形
【答案】A
【解答】解：∵三角形三个内角度数的比为2：3：4，
∴三个内角分别是180°40°，180°60°，180°80°．
所以该三角形是锐角三角形．
故选：A．
2．（2025秋 环翠区校级月考）如图，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的角平分线交于点O，且∠A＝α，则∠BOC的度数是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【解答】解：∵∠A＝α，
∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣α，
∵BO、CO分别是∠ABC与∠ACB的角平分线，
∴∠OBC+∠OCB∠ABC∠ACB
（∠ABC+∠ACB）
（180°﹣α）
＝90°α，
∴∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝90°α．
故选：B．
3．（2025春 市南区校级期中）如图，在△ABC中，AD⊥BC，AE平分∠BAC，若∠1＝40°，∠B＝35°，则∠2的度数为（　　）
A．15° B．25° C．35° D．45°
【答案】B
【解答】解：∵AE平分∠BAC，∠1＝40°，
∴∠BAC＝2∠1＝2×40°＝80°．
在△ABC中，∠B＝35°，∠BAC＝80°，
∴∠C＝180°﹣∠B﹣∠BAC＝180°﹣35°﹣80°＝65°．
∵AD⊥BC，
∴∠ADC＝90°，
∴∠2＝180°﹣∠ADC﹣∠C＝180°﹣90°﹣65°＝25°．
故选：B．
4．（2024春 道里区校级期中）已知△ABC中∠A：∠B：∠C＝1：2：3，则△ABC是（　　）
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．无法确定
【答案】B
【解答】解：∵∠A：∠B：∠C＝1：2：3，
∴设∠A，∠B，∠C分别为x，2x，3x，
∴x+2x+3x＝180°，
∴6x＝180°，
∴x＝30°，
∴∠A，∠B，∠C分别为x＝30°，2x＝2×30°＝60°，3x＝3×30°＝90°，
∴△ABC的最大内角为90°，
∴△ABC是直角三角形，
故选：B．
5．（2024秋 汉川市期中）如图，在△ABC中，∠ABC，∠ACB的平分线相交于点O，若∠A＝100°，则∠BOC的度数为（　　）
A．100° B．106° C．120° D．140°
【答案】D
【解答】解：∵∠A＝100°，
∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝180°﹣100°＝80°，
∵BO、CO分别是平分∠ABC、∠ACB，
∴，，
∴，
∴∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝140°．
故选：D．
6．（2024秋 红塔区校级期中）在△ABC中，若∠A：∠B：∠C＝1：2：3，则△ABC为（　　）
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．等腰三角形
【答案】B
【解答】解：∵∠A：∠B：∠C＝1：2：3，
∴可设∠A＝x，∠B＝2x，∠C＝3x，
∵根据三角形内角和定理得，∠A+∠B+∠C＝180°，
∴x+2x+3x＝180°，
即6x＝180°，
解得x＝30°，
∴∠A＝30°，∠B＝30°×2＝60°，∠C＝30°×3＝90°，
∴△ABC是直角三角形．
故选：B．
7．（2025春 静海区校级期中）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，DE过点C，且DE∥AB，若∠ACD＝65°，则∠B的度数是（　　）
A．25° B．35° C．45° D．55°
【答案】A
【解答】解：∵∠ACB＝90°，∠ACD＝65°，
∴∠BCE＝180°﹣∠ACB﹣∠ACD＝180°﹣90°﹣65°＝25°，
∵DE∥AB，
∴∠B＝∠BCE＝25°（两直线平行，内错角相等），
即∠B的度数是25°，
故选：A．
8．（2024秋 安徽校级期中）如图，在△ABC中，BD和CD分别平分∠ABC和∠ACB，BE和CE分别平分∠CBD和∠BCD，∠A＝60°，下列式子中正确的是（　　）
A．∠A+∠D＝∠E B．2∠D＝3∠A C．∠E＝3∠A D．5∠D＝4∠E
【答案】D
【解答】解：∵BD和分别平分∠ABC和∠ACB，∠A＝60°，
∴根据角平分线的定义，．
∴根据三角形内角和定理，∠D＝180°﹣（∠CBD+∠BCD）＝180°﹣60°＝120°．
∵BE和CE分别平分∠CBD和∠BCD，
∴∠CBE+∠BCE（∠CBD+∠BCD）60°＝30°．
∴∠E＝180°﹣（∠CBE+∠BCE）＝180°﹣30°＝150°．
A．∠A+∠D＝60°+120°＝180°≠150°＝∠E，所以A选项错误，不符合题意；
B．2∠D＝2×120°＝240°≠180＝3∠A，所以B选项错误，不符合题意；
C．∠E＝150°≠180°＝3∠A，所以C选项错误，不符合题意；
D．5∠D＝600°＝4∠E，所以D选项正确，符合题意．
故选：D．
9．（2025春 南昌期中）将一副三角板如图摆放，则图中∠1的度数是（　　）
A．75° B．105° C．135° D．150°
【答案】B
【解答】解：∵∠ABC＝30°，∠ACB＝45°，
∴∠BAC＝180°﹣30°﹣45°＝105°，
∴∠1＝∠BAC＝105°．
故选：B．
10．（2024秋 松山区期中）如图，把一副三角板叠放在一起，则图中∠1的度数是（　　）
A．45° B．60° C．75° D．120°
【答案】C
【解答】解：由题意知，∠AEC＝45°，∠C＝60°，
∵△AEC中，根据三角形内角和定理，∠AEC+∠C+∠1＝180°，
∴∠1＝180°﹣∠AEC﹣∠C＝180°﹣45°﹣60°＝75°，
所以图中∠1的度数是75°，
故选：C．
11．（2024春 碑林区校级期中）如图，在△ABC中，AD⊥BC，AE平分∠BAC，若∠1＝40°，∠2＝25°，则∠B的度数为（　　）
A．25° B．35° C．45° D．55°
【答案】B
【解答】解：∵AE平分∠BAC，
∴∠1＝∠EAD+∠2，
∴∠EAD＝∠1﹣∠2＝40°﹣25°＝15°，
Rt△ABD中，∠B＝90°﹣∠BAD＝90°﹣40°﹣15°＝35°．
故选：B．
12．（2025春 高青县期中）如图，已知在△ABC中，∠A＝40°，将一块直角三角板放在△ABC上，使三角板的两条直角边分别经过B，C，直角顶点D落在△ABC的内部，则∠ABD+∠ACD＝（　　）度．
A．90 B．60 C．50 D．40
【答案】C
【解答】解：在△ABC中，∵∠A＝40°，
∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣40°＝140°，
在△DBC中，∵∠BDC＝90°，
∴∠DBC+∠DCB＝180°﹣90°＝90°，
∴∠ABD+∠ACD＝140°﹣90°＝50°；
故选：C．
13．（2024秋 北仑区校级期中）如图，BE、CF都是△ABC的角平分线，且∠BDC＝130°，则∠A＝（　　）
A．50° B．60° C．70° D．80°
【答案】D
【解答】解：∵BE、CF都是△ABC的角平分线，
∴∠A＝180°﹣（∠ABC+∠ACB），
＝180°﹣2（∠DBC+∠BCD）
∵∠BDC＝180°﹣（∠DBC+∠BCD），
∴∠A＝180°﹣2（180°﹣∠BDC）
∴∠BDC＝90°∠A，
∴∠A＝2（130°﹣90°）＝80°，
故选：D．
14．（2024秋 重庆期中）BP是∠ABC的平分线，CP是∠ACB的邻补角的平分线，∠ABP＝20°，∠ACP＝50°，则∠P＝（　　）
A．30° B．40° C．50° D．60°
【答案】A
【解答】解：∵CP是∠ACM的角平分线，∠ACP＝90°，
∴∠ACM＝2∠ACP＝100°，
∴∠ACB＝80°，
∵BP是∠ABC的角平分线，∠ABP＝20°，
∴∠CBP＝∠ABP＝20°，
∴∠P＝180°﹣∠CBP﹣∠ACB﹣∠ACP
＝180°﹣20°﹣80°﹣50°
＝30°，
故选：A．
15．（2024秋 东昌府区期中）如图，BD是△ABC的角平分线，AE⊥BD，垂足为F，若∠ABC＝40°，∠C＝45°，则∠CDE的度数为（　　）
A．35° B．40° C．45° D．50°
【答案】D
【解答】解：∵BD是△ABC的角平分线，AE⊥BD，
∴∠ABD＝∠EBD∠ABC＝20°，∠AFB＝∠EFB＝90°，
∴∠BAF＝∠BEF＝90°﹣20°＝70°，
∴AB＝BE，
∴AF＝EF，
∴AD＝ED，
∴∠DAF＝∠DEF，
∵∠BAC＝180°﹣∠ABC﹣∠C＝180°﹣40°﹣45°＝95°，
∴∠BED＝∠BAD＝95°，
∴∠CDE＝95°﹣45°＝50°，
故选：D．
16．（2024秋 和平区校级期中）如图，已知△ABC中，∠B＝α，∠C＝β（α＞β），AD是BC边上的高，AE是∠BAC的平分线，则∠DAE的度数为（　　）
A．α﹣β B．2（α﹣β） C．α﹣2β D．（α﹣β）
【答案】D
【解答】解：∵在△ABC中，∠B＝α，∠C＝β，
∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝180°﹣α﹣β，
∵AE是∠BAC的平分线，
∴∠EAC∠BAC＝90°（α+β），
在直角△ADC中，∠DAC＝90°﹣∠C＝90°﹣β，
∴∠DAE＝∠DAC﹣∠EAC＝90°﹣β﹣90°（α+β）（α﹣β），
故选：D．
17．（2024秋 西湖区期中）若一个三角形三个内角度数的比为1：2：3，那么这个三角形是（　　）
A．锐角三角形 B．等边三角形
C．钝角三角形 D．直角三角形
【答案】D
【解答】解：设一份为k°，则三个内角的度数分别为k°，2k°，3k°．
则k°+2k°+3k°＝180°，
解得k°＝30°，
∴k°＝30°，2k°＝60°，3k°＝90°，
所以这个三角形是直角三角形．
故选：D．
18．（2024春 德惠市校级期中）已知△ABC的三个内角度数比为2：3：4，则这个三角形是（　　）
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．无法确定
【答案】A
【解答】解：设△ABC的三个内角度数分别为：2x、3x、4x．
则2x+3x+4x＝180°．
∴x＝20°．
∴△ABC的三个内角度数分别为40°、60°、80°．
∵80°＜90°，
∴该三角形为锐角三角形．
故选：A．
19．（2024春 南海区校级期中）如图，△ABC中，AD是BC上的高，AE平分∠BAC，∠B＝60°，∠C＝40°，则∠DAE＝　10　 度．
【答案】10．
【解答】解：在△ABC中，∠B＝60°，∠C＝40°，
∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝180°﹣60°﹣40°＝80°，
又∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE∠BAC80°＝40°．
∵AD是BC上的高，
∴∠ADB＝90°，
∴∠BAD＝90°﹣∠B＝90°﹣60°＝30°，
∴∠DAE＝∠BAE﹣∠BAD＝40°﹣30°＝10°．
故答案为：10．
20．（2024秋 邳州市期中）如图，BD是∠ABC的角平分线，AD⊥BD，垂足为D，∠DAC＝20°，∠C＝40°，则∠ABD＝ 　30°．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：∵AD⊥BD，
∴∠ADB＝90°，
∴∠BAD+∠ABD＝90°，
∴∠ABD＝90°﹣∠BAD，
∵BD平分∠ABC，
∴∠DBC＝∠ABD，
∴∠DBC＝90°﹣∠BAD，
∵∠DAC＝20°，∠C＝40°，
∴∠BAD+2 （90°﹣∠BAD）+40°+20°＝180°，
∴∠BAD+180°﹣2∠BAD+60°＝180°，
∴∠BAD＝60°，
∴∠ABD＝30°，
故答案为：30．
二．直角三角形的性质（共20小题）
21．（2025春 沈阳期中）在下列条件：①∠A+∠B＝∠C；②∠A：∠B：∠C＝1：2：3；③∠A＝∠B＝2∠C；④∠A∠C；⑤∠A＝∠B∠C中，能确定△ABC为直角三角形的条件有（　　）
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
【答案】B
【解答】解：①∵∠A+∠B+∠C＝180°，
∴∠A+∠B＝∠C180°＝90°，
∴△ABC是直角三角形，故本小题符合题意；
②∵∠A：∠B：∠C＝1：2：3，
∴∠A＝30°，∠B＝60°，∠C＝90°，
∴△ABC是直角三角形，故本小题符合题意；
③∵设∠C＝x，则∠A＝∠B＝2x，
∴2x+2x+x＝180°，解得x＝36°，
∴2x＝72°，故本小题不符合题意；
④设∠A＝x，∠B＝2x，∠C＝3x，则x+2x+3x＝180°，
解得x＝30°，故3x＝90°，
∴△ABC是直角三角形，故本小题符合题意；
⑤∵∠A＝∠B∠C，
∴∠A+∠B+∠C∠C∠C+∠C＝2∠C＝180°，
∴∠C＝90°，故本小题符合题意．
综上所述，是直角三角形的是①②④⑤共4个．
故选：B．
22．（2024秋 荣成市校级期中）如图，将一副三角尺按不同位置摆放，摆放方式中∠α≠∠β的图形有（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解答】解：A、∠α＝∠β＝45°，故不符合题意；
B、根据同角的余角相等，得∠α＝∠β，故不符合题意；
C、根据三角尺的特点和摆放位置得：∠α+45°＝180°，∠β+45°＝180°，
∴∠α＝∠β，故不符合题意；
D、根据图形可知∠α与∠β是邻补角，
∴∠α+∠β＝180°，∠α≠∠β，故符合题意；
故选：D．
23．（2024春 历下区期中）在下列条件：①∠A+∠B＝∠C，②∠A：∠B：∠C＝5：3：2，③∠A＝90°﹣∠B，④∠A＝2∠B＝3∠C中，能确定△ABC是直角三角形的条件有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【解答】解：①∵∠A+∠B＝∠C，
∴2∠C＝180°，
∴∠C＝90°，
∴△ABC是直角三角形；
②∵∠A：∠B：∠C＝5：3：2，
设∠A＝5x，则∠B＝3x，∠C＝2x，
∴5x+2x+3x＝180°，
解得：x＝18°，
∴∠A＝18°×5＝90°，
∴△ABC是直角三角形；
③∵∠A＝90°﹣∠B，
∴∠A+∠B＝90°，
∴∠C＝180°﹣90°＝90°，
∴△ABC是直角三角形；
④∵3∠C＝2∠B＝∠A，
∴∠A+∠B+∠C∠A∠A+∠A＝180°，
∴∠A＝（）°，
∴△ABC为钝角三角形．
∴能确定△ABC是直角三角形的有①②③共3个，
故选：C．
24．（2024春 赫山区校级期中）在Rt△ABC中，∠C＝90°，若∠A＝37°，则∠B的度数为（　　）
A．53° B．63° C．73° D．83°
【答案】A
【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝37°，
则∠B＝90°﹣37°＝53°，
故选：A．
25．（2024秋 赛罕区校级期中）如图，在△ABC中，点P在边BC上（不与点B，点C重合），（　　）
A．若∠BAC＝90°，∠BAP＝∠B，则AC＝PC
B．若∠BAC＝90°，∠BAP＝∠C，则AP⊥BC
C．若AP⊥BC，PB＝PC，则∠BAC＝90°
D．若PB＝PC，∠BAP＝∠CAP，则∠BAC＝90°
【答案】B
【解答】解：A．∵∠BAC＝90°，
∴∠BAP+∠CAP＝∠B+∠C＝90°，
∵∠BAP＝∠B，
∴∠CAP＝∠C，
∴AP＝PC，
只有当∠B＝30°时，AC＝PC，故错误；
B．∵∠BAC＝90°，
∴∠BAP+∠CAP＝90°，
∵∠BAP＝∠C，
∴∠C+∠CAP＝90°，
∴∠APC＝180°﹣（∠C+∠CAP）＝90°，
即AP⊥BC，故正确；
C．∵AP⊥BC，PB＝PC，
∴AP垂直平分BC，
而∠BAC不一定等于90°，故错误；
D．根据PB＝PC，∠BAP＝∠CAP，无法证明∠BAC＝90°，故错误，
故选：B．
26．（2025春 西安期中）如图，AC⊥BC，垂足为C，AC＝15，BC＝20，AB＝25．P是线段AB上的任意一点，连接PC，PC的长不可能是（　　）
A．11 B．12 C．13 D．16
【答案】A
【解答】解：设Rt△ABC斜边AB的高是h，
∵AC⊥BC，垂足为C，
∴△ABC的面积AB hAC BC，
∴25×h＝20×15，
∴h＝12，
∴h≤PC≤BC，
∴12≤PC≤20，
∴PC的长不可能是11．
故选：A．
27．（2025春 象州县期中）在一个直角三角形中，一个锐角是40°，另一个锐角是（　　）
A．70° B．50° C．30° D．10°
【答案】B
【解答】解：直角三角形的一个锐角是40°，另一个锐角是90°﹣40°＝50°．
故选：B．
28．（2025春 于都县期中）将两把相同的直尺如图放置．若∠1＝164°，则∠2的度数等于（　　）
A．103° B．104° C．105° D．106°
【答案】D
【解答】解：如图，
∵∠3＝180°﹣∠1＝16°，
∴∠4＝90°﹣∠3＝74°，
∴∠2＝180°﹣∠4＝106°；
故选：D．
29．（2025春 城关区校级期中）直角三角形的一个锐角是另一个内角的4倍，则这个锐角的度数为（　　）
A．72° B．22.5° C．90° D．18°
【答案】A
【解答】解：设另一个内角的度数是x，则这个锐角的度数是4x，
∵这个三角形是直角三角形，
∴x+4x＝90°，
∴x＝18°，
∴这个锐角的度数是4x＝72°．
故选：A．
30．（2025春 祁阳市校级期中）在下列条件中：①∠A+∠B＝∠C；②∠A：∠B：∠C＝3：7：4；③∠A＝90°﹣∠B；④∠A＝∠B∠C中，能确定△ABC是直角三角形的条件有（　　）
A．①③ B．①④ C．①②③ D．①②③④
【答案】D
【解答】解：①由∠A+∠B＝∠C，得到180°﹣∠C＝∠C，因此∠C＝90°，△ABC是直角三角形，故①符合题意；
②由∠A：∠B：∠C＝3：7：4，得到∠A+∠C＝∠B，因此180°﹣∠B＝∠B，得到∠B＝90°，△ABC是直角三角形，故②符合题意；
③由∠A＝90°﹣∠B，得到∠A+∠B＝90°，因此∠C＝180°﹣90°＝90°，△ABC是直角三角形，故③符合题意；
④由∠A＝∠B∠C，得到∠C∠C+∠C＝180°，得到∠C＝90°，△ABC是直角三角形，故④符合题意．
∴能确定△ABC是直角三角形的条件有①②③④．
故选：D．
31．（2024秋 蔡甸区校级期中）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AC≠AB，AD是斜边BC上的高，DE⊥AC，DF⊥AB，垂足分别为E、F，则图中与∠C（∠C除外）相等的角的个数是（　　）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
【答案】A
【解答】解：如图，∵AD是斜边BC上的高，DE⊥AC，DF⊥AB，
∴∠C+∠B＝90°，∠BDF+∠B＝90°，∠BAD+∠B＝90°，
∴∠C＝∠BDF＝∠BAD，
∵∠DAC+∠C＝90°，∠DAC+∠ADE＝90°，
∴∠C＝∠ADE，
∴图中与∠C（除之C外）相等的角的个数是3，
故选：A．
32．（2024秋 东海县期中）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝52°，将其折叠，使点A落在边BC上的点E处，CA与CE重合，折痕为CD，则∠EDB的度数是 　14°　 ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：∵△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝52°，
∴∠B＝90°﹣52°＝38°，
由题意可知△ECD≌△ACD，
∴∠CED＝∠A＝52°，
由图可知∠CED是△EBD 的外角，
∴∠CED＝∠B+∠EDB，
∴52°＝38°+∠EDB，
∴∠EDB＝14°．
故答案为：14°．
33．（2024春 永定区校级期中）在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝65°，则∠B＝　25°　 ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：∵∠C＝90°，∠A＝65°，
∴∠B＝90°﹣65°＝25°．
故答案为：25°．
34．（2025春 象州县期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D在AB边上，将△CBD沿CD折叠，使点B恰好落在AC边上的点E处．若∠A＝25°，则∠CDE＝　70°　 ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：∵将△CBD沿CD折叠，使点B恰好落在AC边上的点E处，∠ACB＝90°，
∴∠BCD＝∠ECD＝45°，∠B＝∠CED，
∵∠A＝25°，
∴∠B＝90°﹣25°＝65°，
∴∠CED＝65°，
∴∠CDE＝180°﹣45°﹣65°＝70°，
故答案为：70°．
35．（2024秋 天河区校级期中）如图，把一张Rt△ABC纸片沿DE折叠，若∠1＝70°，∠C＝90°，则∠2的度数为 　50°　 ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：∵把一张Rt△ABC纸片沿DE折叠，
∴∠CDE＝∠C′DE，
∵∠1＝70°，
∴∠CDE＝∠C′DE＝110°，
∴∠C′DA′＝40°，
∵∠C′＝∠C＝90°，
∴∠2＝90°﹣40°＝50°，
故答案为：50°．
36．（2024秋 北仑区校级期中）在△ABC中，若∠C＝90°，∠B＝35°，则∠A的度数为　55°　 ．
【答案】55°．
【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝35°，
∴∠A＝90°﹣35°＝55°，
故答案为：55°．
37．（2024春 南岗区校级期中）直角三角形的两个锐角　互余　 ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：直角三角形的两个锐角互余，
故答案为：互余．
三．三角形的外角性质（共20小题）
38．（2024秋 津南区校级期中）如图，在△ABC中，点D在CB的延长线上，∠A＝70°，∠ABD＝120°，则∠C等于（　　）
A．40° B．50° C．60° D．70°
【答案】B
【解答】解：∵∠A＝70°，∠ABD＝120°，
∴∠C＝∠ABD﹣∠A＝50°，
故选：B．
39．（2025春 北京期中）如果将一副三角板按如图方式叠放，那么∠1等于（　　）
A．120° B．105° C．60° D．45°
【答案】B
【解答】解：∵一副三角板按如图方式叠放，
∴∠2＝90°﹣∠1＝45°，
∴∠1＝∠2+60°＝45°+60°＝105°．
故选：B．
40．（2024秋 重庆校级期中）如图，△ABC中∠B＝40°，∠C＝30°，延长BA到点D，则∠CAD的度数是（　　）
A．50° B．70° C．80° D．110°
【答案】B
【解答】解：由题意可知：∠CAD是△ABC的一个外角，
∴根据三角形外角的性质，∠CAD＝∠B+∠C＝40°+30°＝70°，
故选：B．
41．（2024秋 通城县期中）如图，已知∠A＝60°，∠B＝40°，∠C＝30°，则∠D+∠E等于（　　）
A．30° B．40° C．50° D．60°
【答案】C
【解答】解：连接BC，如图所示，
∵∠A＝60°，∠ABE＝40°，∠ACD＝30°，
∴∠1+∠2＝180°﹣∠A﹣∠ABE﹣∠ACD＝180°﹣60°﹣40°﹣30°＝50°，
∵∠D+∠E＝∠1+∠2，
∴∠D+∠E＝50°，
故选：C．
42．（2024秋 淮南期中）生活中到处都存在着数学知识，只要同学们学会用数学的眼光观察生活，就会有许多意想不到的收获，如图是由三角尺拼凑得到的，图中∠ABF的度数为（　　）
A．10° B．15° C．20° D．25°
【答案】B
【解答】解：根据题意可知∠DAE＝90°﹣45°＝45°．
∵∠EAD是△ABF的外角，
∴∠ABF＝∠EAD﹣∠F＝45°﹣30°＝15°．
故选：B．
43．（2025春 东坡区校级期中）一副含30°角和45°角的直角三角板如图摆放，则∠1的度数为（　　）
A．45° B．60° C．75° D．105°
【答案】C
【解答】解：由三角形的外角定理可知，
∠1＝45°+30°＝75°．
故选：C．
44．（2025春 泉州期中）如果将一副三角板按如图方式叠放，那么∠1等于（　　）
A．45° B．60° C．105° D．120°
【答案】C
【解答】解：将一副三角板按如图方式叠放，如图，A、B、C、D标记如下：
由题意知：∠ABD＝90°，∠CBD＝45°，
∴∠ABC＝∠ABD﹣∠CBD＝45°，
∵∠A＝60°，
∴∠1＝∠A+∠ABC＝60°+45°＝105°．
故选：C．
45．（2024秋 天山区校级期中）将一副三角板按照如图方式摆放，则∠FBA的度数为（　　）
A．10° B．15° C．20° D．25°
【答案】B
【解答】解：∵∠EAD＝45°，
∴∠FBA＝∠EAD﹣∠FBA＝45°﹣30°＝15°，
故选：B．
46．（2024秋 郾城区期中）一副三角板按如图所示方式叠放在一起，则图中∠α的度数是（　　）
A．55° B．60° C．65° D．75°
【答案】D
【解答】解：由题意得：∠1＝90°﹣60°＝30°，
则∠α＝45°+30°＝75°，
故选：D．
47．（2011春 安县校级期中）如图，∠ABC和∠ACB的外角平分线相交于点D，设∠BDC＝α，那么∠A等于（　　）
A．90°﹣α B．90°α C．180°α D．180°﹣2α
【答案】D
【解答】解：α＝180°﹣（∠DBC+∠DCB）
＝180°（∠CBE+∠BCF）
＝180°（∠A+∠ACB+∠BCF）
＝180°（180°+∠A）
＝90°∠A．
则∠A＝180°﹣2α．
故选：D．
48．（2024秋 寻甸县校级期中）如图，在△ABC中，∠A＝45°，∠ACD＝110°，则∠B的度数为（　　）
A．45° B．55° C．65° D．75°
【答案】C
【解答】解：∵∠ACD＝∠A+∠B，∠ACD＝110°，∠A＝45°，
∴∠B＝110°﹣45°＝65°，
故选：C．
49．（2024秋 和平区期中）如图，BP是△ABC中∠ABC的平分线，CP是∠ACB的外角的平分线，如果∠ABP＝20°，∠ACP＝50°，则∠A+∠P＝（　　）
A．70° B．80° C．90° D．100°
【答案】C
【解答】解：∵BP是△ABC中∠ABC的平分线，CP是∠ACB的外角的平分线，
又∵∠ABP＝20°，∠ACP＝50°，
∴∠ABC＝2∠ABP＝40°，∠ACM＝2∠ACP＝100°，
∴∠A＝∠ACM﹣∠ABC＝60°，
∠ACB＝180°﹣∠ACM＝80°，
∴∠BCP＝∠ACB+∠ACP＝130°，
∵∠PBC＝20°，
∴∠P＝180°﹣∠PBC﹣∠BCP＝30°，
∴∠A+∠P＝90°，
故选：C．
50．（2024秋 天镇县期中）如图，已知△ABC的内角∠A＝α，分别作内角∠ABC与外角∠ACD的平分线，两条平分线交于点A1，得∠A1；∠A1BC和∠A1CD的平分线交于点A2，得∠A2；……以此类推得到∠A2024，则∠A2024的度数是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【解答】解：∵A1B是∠ABC的平分线，A1C是∠ACD的平分线，
∴，，
又∵∠ACD＝∠A+∠ABC，∠A1CD＝∠A1BC+∠A1，
∴，
∴，
∵∠A＝α，
∴；
同理可得，， ，
∴，
∴，
故选：C．
51．（2024秋 新县期中）在图中，∠1+∠2+∠B＝（　　）
A．∠ADB B．∠AEC C．∠ACB D．∠DEC
【答案】B
【解答】解：∵∠ADC＝∠1+∠B，∠AEC＝∠ADC+∠2，
∴∠AEC＝∠1+∠2+∠B，
故选：B．
52．（2024秋 五华区校级期中）体育课上的侧压腿动作（图1）可以抽象为几何图形（图2），如果∠1＝115°，则∠2等于（　　）
A．10° B．20° C．25° D．30°
【答案】C
【解答】解：由题意可得：∠2＝∠1﹣90°＝115°﹣90°＝25°．
故选：C．
53．（2024春 丰城市校级期中）如图，BP是△ABC中∠ABC的平分线，CP是∠ACB的外角的平分线，如果∠ABP＝20°，∠ACP＝50°，则∠P＝　30°．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：∵BP是△ABC中∠ABC的平分线，CP是∠ACB的外角的平分线，
∴∠ABP＝∠CBP＝20°，∠ACP＝∠MCP＝50°，
∵∠PCM是△BCP的外角，
∴∠P＝∠PCM﹣∠CBP＝50°﹣20°＝30°，
故答案为：30°．
54．（2024秋 梁平区校级期中）如图所示，图中的x等于 　110°　 ．
【答案】110°．
【解答】解：∵∠ACD是△ABC的外角，∠A＝60°，∠B＝50°，
∴∠ACD＝∠A+∠B＝110°，
即x＝110°．
故答案为：110°．

展开更多......

收起↑