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专题09 等腰三角形
▉考点01等腰三角形的性质
文字语言 符号语言 图示
性质1 等腰三角形的两个底角相等(简写成“等边对等角”) 如图，在△ABC中，∵AB=AC,∴∠B=∠C.
性质2 等腰三角形底边上的中线、高及顶角平分线重合(简写成“三线合一”). 如图，在△ABC中，AB=AC,①∵BD=CD, ∴AD平分∠BAC且AD⊥BC.②∵AD平分∠BAC, ∴AD⊥BC且BD=CD.③∵AD⊥BC, ∴AD平分∠BAC且BD=CD.
轴对 称性 等腰三角形是轴对称图形，对称轴为顶角平分线(或底边上的高或底边上的中线)所在的直线.
▉考点02等腰三角形的判定
1.判定方法
文字语言 符号语言 图示
利用定义 有两边相等的三角形是等腰三角形. 如图，在△ABC中， ∵AB=AC,∴△ABC为等腰三角形.
利用判定定理 有两个角相等的三角形是等腰三角形(简写成“等角对等边”). 如图，在△ABC中，∵∠B=∠C,∴△ABC为等腰三角形.
2.尺规作图：已知底边及底边上的高作等腰三角形
已知：等腰三角形底边长为a,底边上的高的长为h.(如图15.3.1-2(1))
求作：这个等腰三角形.
分析：根据等腰三角形“三线合一”
的性质，当底边确定时，底边所对的
顶点在底边的垂直平分线上.由此，
作出底边的垂直平分线，利用高的长度确定底边所对的顶点的位置，即可作出这个等腰三角形.
作法：如图15.3.1-2(2).
(1)作线段AB=a.
(2)作线段AB的垂直平分线MN,与AB相交于点D.
(3)在MN上取一点C,使DC=h.
(4)连接AC,BC,则△ABC就是所求作的等腰三角形.
▉考点03等边三角形的性质
文字语言 符号语言 图示
性质1 等边三角形的三个角都相等，并且每一个角都等于60°. 如图，∵△ABC是等边三角形，∴∠A=∠B=∠C=60°.
性质2 等边三角形每条边上的中线、高及所对角 的平分线重合，即“三线合一”. 如图，在△ABC中， ①∵△ABC为等边三角形，AD平分∠BAC,∴AD⊥BC且BD=CD. ②∵△ABC为等边三角形，AD1BC,∴AD平分∠BAC且BD=CD.③∵△ABC为等边三角形，BD=CD,∴AD平分∠BAC且AD⊥BC.
轴对称性 等边三角形是轴对称图形，有三条对称轴，对称轴为三边上的中线所在直线(或三个角的平分线所在直线或三边上的高线所在直线).
▉考点04等边三角形的判定
方法 文字语言 符号语言 图示
定义法 三边都相等的三角形是等边三角形. 如图，∵AB=AC=BC, ∴△ABC为等边三角形.
判定定 理法1 三个角都相等的三角形是等边三角形. 如图，∵∠A=∠B=∠C,∴△ABC为等边三角形.
判定定 理法2 有一个角是60°的等 腰三角形是等边三角形. 如图，∵AB=AC,∠A=60°(或∠B=60°或∠C=60°), ∴△ABC为等边三角形.
▉考点05含30°角的直角三角形的性质
文字语言 符号语言 图示
在直角三角形中，如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°,∵∠A=30°,BC=1/2AB
一．等腰三角形的性质（共8小题）
1．（2024秋 平桥区期中）如果等腰三角形的一个内角等于40°，那么它的底角是（　　）
A．100° B．70° C．70°或100° D．40°或70°
2．（2024秋 青秀区校级期中）如图，屋顶钢架外框是等腰三角形，其中AB＝AC，工人师傅在焊接立柱时，只用找到BC的中点D，就可以说明竖梁AD垂直于横梁BC了，工人师傅这种操作方法的依据是（　　）
A．等边对等角
B．等角对等边
C．垂线段最短
D．等腰三角形“三线合一”
3．（2025春 城关区校级期中）如图，△ABC中，AB＝AC，D是BC中点，下列结论中不正确的是（　　）
A．∠B＝∠C B．AD平分∠BAC
C．AD⊥BC D．AB＝2BD
4．（2024秋 惠州校级期中）如图，∠A＝15°，AB＝BC＝CD＝DE＝EF，则∠DEF等于（　　）
A．60° B．75° C．70° D．90°
5．（2024秋 石家庄期中）题目：“在△ABC和△A'B'C'中，两个三角形的高线分别为AD和A'D'．∠B＝∠B'＝30°，AB＝A'B'．AC＝A'C'，AD＝A'D'，且AB＞AC＞AD．已知∠C＝n°．求∠C′的度数．”对于其答案．甲答：∠C＝n°，乙答：∠C＝150°，丙答：∠C＝180°﹣n°，则正确的是（　　）
A．只有甲答的对
B．甲、丙答案合在一起才完整
C．甲、乙答案合在一起才完整
D．三人答案合在一起才完整
6．（2024秋 夏津县期中）如图，为了让电线杆垂直于地面，工程人员的操作方法是：从电线杆DE上一点A往地面拉两条长度相等的固定绳AB与AC，当固定点B，C到杆脚E的距离相等，且B，E，C在同一直线上时，电线杆DE就垂直于BC，工程人员这种操作方法的依据是（　　）
A．等边对等角
B．等角对等边
C．垂线段最短
D．等腰三角形“三线合一”
7．（2025春 紫金县期中）如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，AD是边BC上的高，则下列结论不正确的是（　　）
A．BD＝CD B．∠BAC＝∠ABC
C．AD平分∠BAC D．S△ABD＝S△ACD
8．（2024秋 海淀区校级期中）已知等腰三角形的一内角度数为40°，则它的顶角的度数为（　　）
A．40° B．80° C．100° D．40°或100°
二．等腰三角形的判定（共8小题）
9．（2024秋 秦淮区期中）如图，已知△ABC中，AB＝3，AC＝5，BC＝7，在△ABC所在平面内一条直线，将△ABC分割成两个三角形，使其中有一个边长为3的等腰三角形，则这样的直线最多可画（　　）
A．5条 B．4条 C．3条 D．2条
10．（2024秋 东城区校级期中）如图，∠MAN＝30°，点B是射线AN上的定点，点P是直线AM上的动点，要使△PAB为等腰三角形，则满足条件的点P共有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
11．（2024秋 海珠区校级期中）如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知A、B是两格点，如果C也是图中的格点，且使得△ABC为等腰三角形，则点C的个数是（　　）
A．6个 B．7个 C．8个 D．9个
12．（2024秋 龙湾区期中）在数学探究社团活动中，小明同学探索“具备什么条件的等腰三角形可以分割成两个等腰三角形”问题，通过尝试，他画出如图所示的△ABC，已知AB＝AC，AC上取一点D，连结BD，若AD＝BD，BC＝CD，则∠A的度数为（　　）
A．36° B．30° C．° D．22.5°
13．（2024秋 海曙区期中）下列长度的三段钢条，能组成一个等腰三角形框架的是（单位：cm）（　　）
A．2，3，4 B．3，7，7 C．2，2，6 D．5，6，7
14．（2025春 清流县期中）如图，已知点A，B的坐标分别为（3，0）和（0，5），在坐标轴上确定一点C，使△ABC是等腰三角形，则符合条件的C点共有（　　）个．
A．4 B．6 C．8 D．10
15．（2025春 临泽县校级期中）如图，∠AOB＝60°，OC平分∠AOB，如果射线OA上的点E满足△OCE是等腰三角形，那么∠OEC的度数为　 　 ．
16．（2024秋 伊金霍洛旗期中）已知：如图△ABC中，∠B＝50°，∠C＝90°，在射线BA上找一点D，使△ACD为等腰三角形，则∠ACD的度数为　 　 ．
三．等腰三角形的判定与性质（共8小题）
17．（2024秋 山东校级期中）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AC＝6，AB＝8，过点A的直线DE∥BC，∠ABC与∠ACB的平分线分别交DE于E，D，则DE的长为（　　）
A．14 B．16 C．18 D．20
18．（2024秋 江门期中）如图，△ABC中，BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，MN经过点O，与AB，AC相交于点M，N，且MN∥BC，已知AB＝3，AC＝4，BC＝4.5，则△AMN的周长为（　　）
A．6 B．7 C．7.5 D．8.5
19．（2024秋 香洲区校级期中）如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点E，过点E作MN∥BC交AB于M，交AC于N，若BM＝4，CN＝3，则线段MN的长为（　　）
A．6 B．7 C．8 D．9
20．（2025春 紫金县期中）在△ABC中，BD、CD分别平分∠ABC、∠ACB，过点D作直线EF平行于BC，分别交AB、AC于点E、F，若BE＝4，CF＝6，则线段EF的长为（　　）
A．4 B．6 C．8 D．10
21．（2024秋 山丹县期中）如图，∠B、∠C的平分线相交于F，过点F作DE∥BC，交AB于D，交AC于E，那么下列结论正确的是
①△BDF、△CEF都是等腰三角形；②DE＝BD+CE；③△ADE的周长为AB+AC；④BD＝CE．（　　）
A．③④ B．①② C．①②③ D．②③④
22．（2024秋 安定区期中）如图，在△ABC中，AB＝4，AC＝6，∠ABC和∠ACB的平分线交于O点，过点O作BC的平行线交AB于M点，交AC于N点，则△AMN的周长为（　　）
A．7 B．8 C．9 D．10
23．（2024秋 宜城市期中）如图，上午8时，一条船从海岛A出发，以15海里/时的速度向正北航行，10时到达海岛B处，从A，B望灯塔C，测得∠NAC＝42°，∠NBC＝84°，则从海岛B到灯塔C的距离为（　　）
A．15海里 B．20海里 C．30海里 D．60海里
24．（2024秋 渑池县期中）在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点F，过点F作DE∥BC交AB于点D，交AC于点E，则下列说法错误的是（　　）
A．△BDF是等腰三角形
B．DF＝EF
C．若∠A＝50°，则∠BFC＝115°
D．DE＝BD+CE
四．等边三角形的性质（共10小题）
25．（2024秋 仪征市期中）如图，△ABC是等边三角形，AB＝6，BD是∠ABC的平分线，延长BC到E，使CE＝CD，则BE长为（　　）
A．7 B．8 C． D．9
26．（2024秋 南岗区校级期中）如图，已知∠MON＝30°，点A1，A2，A3，…在射线ON上，点B1，B2，B3，…在射线OM上，△A1B1A2，△A2B2A3，△A3B3A4，…均为等边三角形，若OA1＝2，则△A6B6A7的边长为（　　）
A．16 B．32 C．64 D．128
27．（2024秋 黔东南州期中）如图，将一个等边三角形剪去一个角后，∠1+∠2等于（　　）
A．240° B．120° C．170° D．360°
28．（2024秋 东川区期中）如图，在等边△ABC中，AB＝4cm，BD平分∠ABC，点E在BC的延长线上，且∠E＝30°，则CE的长是（　　）
A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm
29．（2025春 包头期中）如图，已知∠MON＝30°，点A1，A2，A3，……在射线ON上，点B1，B2，B3，……在射线OM上，△A1B1A2，△A2B2A3，△A3B3A4，……均为等边三角形，若OA1＝2，则△A5B5A6的边长为（　　）
A．16 B．32 C．64 D．128
30．（2024秋 惠民县期中）如图，∠MON＝30°，点A1、A2、A3…在射线ON上，点B1、B2、B3…在射线OM上，△A1B1A2、△A2B2A3、△A3B3A4…均为等边三角形，若OA1＝1，则△A7B7A8的边长为（　　）
A．6 B．12 C．32 D．64
31．（2024秋 肇源县期中）如图，若△ABC是等边三角形，AB＝6，BD是∠ABC的平分线，延长BC到E，使CE＝CD，则BE＝（　　）
A．7 B．8 C．9 D．10
32．（2024春 禹州市期中）如图，在等边三角形ABC中，AD⊥BC，垂足为D，点E在线段AD上，∠EBC＝45°，则∠ACE等于（　　）
A．18° B．20° C．30° D．15°
33．（2024春 滨城区校级期中）如图，AD是等边三角形ABC的中线，AE＝AD，则∠EDC＝　 　 ．
34．（2024秋 海州区校级期中）如图，△ABC是等边三角形，点D是BC边上任意一点，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F．若BC＝4，则BE+CF＝　 　 ．
五．等边三角形的判定（共8小题）
35．（2024秋 南安市校级期中）在△ABC中，若AB＝AC＝5，∠B＝60°，则BC的值为（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
36．（2024春 清苑区期中）下列推理中，不能判断△ABC是等边三角形的是（　　）
A．∠A＝∠B＝∠C B．AB＝AC，∠B＝60°
C．∠A＝60°，∠B＝60° D．AB＝AC，且∠B＝∠C
37．（2024秋 高新区校级期中）如图，在直角坐标系中，已知A（﹣1，0），B（3，0），点C在第一象限内，若△ABC是等边三角形，则点C的坐标是（　　）
A．（1，2） B．（2，2） C．（1，） D．（2，）
38．（2025春 介休市期中）由于木质衣架没有柔性，在挂置衣服的时候不太方便操作．小颖同学设计一种衣架，在使用时能轻易收拢，然后套进衣服后松开即可．如图①，衣架杆OA＝OB＝16cm（O为衣架的固定点）；如图②，若衣架收拢时，∠AOB＝60°，则此时A，B两点之间的距离是（　　）
A．8cm B．16cm C．12cm D．6cm
39．（2024秋 思明区校级期中）下列条件中，能说明△ABC为等边三角形的是（　　）
A．∠A＝60° B．∠B＝60°，AB＝AC
C．∠B+∠C＝120° D．AB＝AC
40．（2024秋 前郭县期中）如图，平移图形①，与图形②可以拼成一个等边三角形，则图中α的度数是（　　）
A．110° B．120° C．140° D．150°
41．（2024秋 武陵区期中）已知如图等腰△ABC，AB＝AC，∠BAC＝120°，AD⊥BC于点D，点P是BA延长线上一点，点O是线段AD上一点，OP＝OC，下面的结论：
①∠APO+∠DCO＝30°；②∠APO＝∠DCO；③△OPC是等边三角形．其中正确的是 　 　 ．（填序号）
42．（2024秋 宽城区校级期中）如图，在△EBD中，EB＝ED，点C在BD上，CE＝CD，BE⊥CE，A是CE延长线上一点，EA＝EC．
（1）求∠EBC的度数；
（2）求证△ABC为等边三角形．
六．等边三角形的判定与性质（共8小题）
43．（2024秋 丛台区校级期中）如图是某种落地灯的简易示意图，已知悬杆的CD部分的长度与支杆BC相等，且∠BCE＝120°．若CD的长度为50cm，则此时B、D两点之间的距离为（　　）
A．25cm B．50cm C．55cm D．100cm
44．（2024秋 吉首市校级期中）如图，△ABC中，∠B＝60°，AB＝AC，BC＝3，则△ABC的周长为（　　）
A．9 B．8 C．6 D．12
45．（2024春 上杭县期中）如图，在边长为2的等边三角形ABC中，D为边BC上一点，且BDCD．点E，F分别在边AB，AC上，且∠EDF＝90°，M为边EF的中点，连接CM交DF于点N．若DF∥AB，则CM的长为（　　）
A． B． C． D．
46．（2024秋 黄梅县校级期中）在等腰三角形ABC中，∠A＝60°，BC＝4，则△ABC的周长为（　　）
A．12 B．14 C．10 D．16
47．（2024春 锡山区校级期中）如图，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，，将△ABC绕点C逆时针旋转60°，得到△MNC，连结BM，则BM的长是（　　）
A． B． C． D．3
48．（2025春 广东校级期中）将含30°的直角三角板直角顶点C放置在直尺的一边上，AC，AB与直尺的交点分别为点E，F，D，如图．若点E，F对应的刻度分别为2cm，6cm，∠ACD＝60°，则AE的长是（　　）
A．2cm B．4cm C．5cm D．6cm
49．（2024秋 兰山区校级期中）如图，已知射线OM，以O为圆心，任意长为半径画弧，与射线OM交于点A，再以点A为圆心，AO长为半径画弧，两弧交于点B，画射线OB，作BD⊥OA，垂足为D，那么∠OBD的度数是（　　）
A．90° B．60° C．45° D．30°
50．（2024秋 巴彦县期中）如图，在△ABC中，AB＝4，BC＝6，∠B＝60°，将△ABC沿BC所在直线向右平移得到△A′B′C′，连接A′C，若BB′＝2，则线段A′C的长为 　 　 ．
七．含30度角的直角三角形（共10小题）
51．（2024秋 如皋市期中）如图，在△ABC中，AB＝AC＝12，∠BAC＝120°，点D是边BC上的任意一点，则AD的长不可能是（　　）
A．5 B．6 C．7 D．8
52．（2024秋 河北区期中）如图所示，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，若∠B＝30°，BC＝8cm，则BD的长为（　　）
A．7cm B．6cm C．5.5cm D．5cm
53．（2024春 新城区期中）如图，△ABC是等边三角形，AB＝10，点D是BC边上任意一点，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，则BE+CF的长是（　　）
A．5 B．6 C．8 D．10
54．（2024秋 江门期中）如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，DE为AB的垂直平分线，AD＝16，则CD的长是（　　）
A．3 B．4 C．6 D．8
55．（2024秋 忻州期中）如图，△ABC是等边三角形，点D是AC的中点，DE⊥BC，CE＝3，则AC等于（　　）
A．6 B．8 C．9 D．12
56．（2024秋 汉阳区期中）如图，在△ABC中，∠C＝30°，AD⊥AB，垂足为点A，交BC于点D，过点D的直线m恰好垂直平分线段AC，AD＝3，则BC的长是（　　）
A．6 B．9 C．12 D．18
57．（2024秋 香洲区期中）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AC＝4，则AB的长是（　　）
A．6 B．7 C．8 D．9
58．（2024秋 南岗区期中）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，CH⊥AB于H，若AH＝2，则BH＝　 　 ．
59．（2024秋 齐齐哈尔期中）如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AD是∠BAC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E，DE＝1，则BC＝　 　 ．
60．（2024秋 永城市校级期中）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝60°，点D，E分别是BC，AB上的动点，将△BDE沿直线DE翻折，点B的对点B′恰好落在AC上，若△AEB′是等腰三角形，那么∠BEB′的大小为 　 　 ．专题09 等腰三角形
▉考点01等腰三角形的性质
文字语言 符号语言 图示
性质1 等腰三角形的两个底角相等(简写成“等边对等角”) 如图，在△ABC中，∵AB=AC,∴∠B=∠C.
性质2 等腰三角形底边上的中线、高及顶角平分线重合(简写成“三线合一”). 如图，在△ABC中，AB=AC,①∵BD=CD, ∴AD平分∠BAC且AD⊥BC.②∵AD平分∠BAC, ∴AD⊥BC且BD=CD.③∵AD⊥BC, ∴AD平分∠BAC且BD=CD.
轴对 称性 等腰三角形是轴对称图形，对称轴为顶角平分线(或底边上的高或底边上的中线)所在的直线.
▉考点02等腰三角形的判定
1.判定方法
文字语言 符号语言 图示
利用定义 有两边相等的三角形是等腰三角形. 如图，在△ABC中， ∵AB=AC,∴△ABC为等腰三角形.
利用判定定理 有两个角相等的三角形是等腰三角形(简写成“等角对等边”). 如图，在△ABC中，∵∠B=∠C,∴△ABC为等腰三角形.
2.尺规作图：已知底边及底边上的高作等腰三角形
已知：等腰三角形底边长为a,底边上的高的长为h.(如图15.3.1-2(1))
求作：这个等腰三角形.
分析：根据等腰三角形“三线合一”
的性质，当底边确定时，底边所对的
顶点在底边的垂直平分线上.由此，
作出底边的垂直平分线，利用高的长度确定底边所对的顶点的位置，即可作出这个等腰三角形.
作法：如图15.3.1-2(2).
(1)作线段AB=a.
(2)作线段AB的垂直平分线MN,与AB相交于点D.
(3)在MN上取一点C,使DC=h.
(4)连接AC,BC,则△ABC就是所求作的等腰三角形.
▉考点03等边三角形的性质
文字语言 符号语言 图示
性质1 等边三角形的三个角都相等，并且每一个角都等于60°. 如图，∵△ABC是等边三角形，∴∠A=∠B=∠C=60°.
性质2 等边三角形每条边上的中线、高及所对角 的平分线重合，即“三线合一”. 如图，在△ABC中， ①∵△ABC为等边三角形，AD平分∠BAC,∴AD⊥BC且BD=CD. ②∵△ABC为等边三角形，AD1BC,∴AD平分∠BAC且BD=CD.③∵△ABC为等边三角形，BD=CD,∴AD平分∠BAC且AD⊥BC.
轴对称性 等边三角形是轴对称图形，有三条对称轴，对称轴为三边上的中线所在直线(或三个角的平分线所在直线或三边上的高线所在直线).
▉考点04等边三角形的判定
方法 文字语言 符号语言 图示
定义法 三边都相等的三角形是等边三角形. 如图，∵AB=AC=BC, ∴△ABC为等边三角形.
判定定 理法1 三个角都相等的三角形是等边三角形. 如图，∵∠A=∠B=∠C,∴△ABC为等边三角形.
判定定 理法2 有一个角是60°的等 腰三角形是等边三角形. 如图，∵AB=AC,∠A=60°(或∠B=60°或∠C=60°), ∴△ABC为等边三角形.
▉考点05含30°角的直角三角形的性质
文字语言 符号语言 图示
在直角三角形中，如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°,∵∠A=30°,BC=1/2AB
一．等腰三角形的性质（共8小题）
1．（2024秋 平桥区期中）如果等腰三角形的一个内角等于40°，那么它的底角是（　　）
A．100° B．70° C．70°或100° D．40°或70°
【答案】D
【解答】解：当40°为顶角时，底角为（180°﹣40°）÷2＝70°，
另外底角也可以为40°，
则它的底角是40°或70°，
故选：D．
2．（2024秋 青秀区校级期中）如图，屋顶钢架外框是等腰三角形，其中AB＝AC，工人师傅在焊接立柱时，只用找到BC的中点D，就可以说明竖梁AD垂直于横梁BC了，工人师傅这种操作方法的依据是（　　）
A．等边对等角
B．等角对等边
C．垂线段最短
D．等腰三角形“三线合一”
【答案】D
【解答】解：∵AB＝AC，
∴△ABC是等腰三角形，
又∵点D是BC的中点，
∴AD⊥BC，
故工人师傅这种操作方法的依据是等腰三角形“三线合一”，
故选：D．
3．（2025春 城关区校级期中）如图，△ABC中，AB＝AC，D是BC中点，下列结论中不正确的是（　　）
A．∠B＝∠C B．AD平分∠BAC
C．AD⊥BC D．AB＝2BD
【答案】D
【解答】解：∵△ABC中，AB＝AC，D是BC中点
∴∠B＝∠C（故A正确），
AD⊥BC（故C正确），
∠BAD＝∠CAD（故B正确），
无法得到AB＝2BD，（故D不正确）．
故选：D．
4．（2024秋 惠州校级期中）如图，∠A＝15°，AB＝BC＝CD＝DE＝EF，则∠DEF等于（　　）
A．60° B．75° C．70° D．90°
【答案】A
【解答】解：∵AB＝BC＝CD＝DE＝EF，∠A＝15°，
∴∠A＝∠ACB＝15°，∠CBD＝∠CDB，∠DCE＝∠CED，∠EDF＝∠EFD，
∴∠CDB＝∠CBD＝∠A+∠BCA＝30°，
∴∠DEC＝∠DCE＝∠A+∠CDA＝15°+30°＝45°，
∴∠EFD＝∠EDF＝∠A+∠AED＝60°，
∴∠DEF＝180°﹣∠EFD﹣∠EDF＝180°﹣60°﹣60°＝60°；
故选：A．
5．（2024秋 石家庄期中）题目：“在△ABC和△A'B'C'中，两个三角形的高线分别为AD和A'D'．∠B＝∠B'＝30°，AB＝A'B'．AC＝A'C'，AD＝A'D'，且AB＞AC＞AD．已知∠C＝n°．求∠C′的度数．”对于其答案．甲答：∠C＝n°，乙答：∠C＝150°，丙答：∠C＝180°﹣n°，则正确的是（　　）
A．只有甲答的对
B．甲、丙答案合在一起才完整
C．甲、乙答案合在一起才完整
D．三人答案合在一起才完整
【答案】B
【解答】解：如图1，△ABC≌△A'B'C'，
∴∠C'＝∠C＝n°；
如图2，△ACD≌△A'C'D'，
∴∠C'＝∠ACD＝180°﹣∠C＝180°﹣n°；
故选：B．
6．（2024秋 夏津县期中）如图，为了让电线杆垂直于地面，工程人员的操作方法是：从电线杆DE上一点A往地面拉两条长度相等的固定绳AB与AC，当固定点B，C到杆脚E的距离相等，且B，E，C在同一直线上时，电线杆DE就垂直于BC，工程人员这种操作方法的依据是（　　）
A．等边对等角
B．等角对等边
C．垂线段最短
D．等腰三角形“三线合一”
【答案】D
【解答】解：∵AB＝AC，BE＝CE，
∴AE⊥BC，
故工程人员这种操作方法的依据是等腰三角形“三线合一”，
故选：D．
7．（2025春 紫金县期中）如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，AD是边BC上的高，则下列结论不正确的是（　　）
A．BD＝CD B．∠BAC＝∠ABC
C．AD平分∠BAC D．S△ABD＝S△ACD
【答案】B
【解答】解：∵AB＝AC，AD是边BC上的高，
∴BD＝CD，∠BAD＝∠CAD，即AD平分∠BAC，
∴，
故选项A、C、D正确，不符合题意，
而已知条件无法证明∠BAC＝∠ABC，故选项B错误，符合题意．
故选：B．
8．（2024秋 海淀区校级期中）已知等腰三角形的一内角度数为40°，则它的顶角的度数为（　　）
A．40° B．80° C．100° D．40°或100°
【答案】D
【解答】解：①若40°是顶角，则底角70°；
②若40°是底角，那么顶角＝180°﹣2×40°＝100°．
故选：D．
二．等腰三角形的判定（共8小题）
9．（2024秋 秦淮区期中）如图，已知△ABC中，AB＝3，AC＝5，BC＝7，在△ABC所在平面内一条直线，将△ABC分割成两个三角形，使其中有一个边长为3的等腰三角形，则这样的直线最多可画（　　）
A．5条 B．4条 C．3条 D．2条
【答案】B
【解答】解：如图所示，当AB＝AF＝3，BA＝BD＝3，AB＝AE＝3，BG＝AG时，都能得到符合题意的等腰三角形．
故选：B．
10．（2024秋 东城区校级期中）如图，∠MAN＝30°，点B是射线AN上的定点，点P是直线AM上的动点，要使△PAB为等腰三角形，则满足条件的点P共有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【解答】解：如图所示，满足条件的点P共有4个．
故选：D．
11．（2024秋 海珠区校级期中）如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知A、B是两格点，如果C也是图中的格点，且使得△ABC为等腰三角形，则点C的个数是（　　）
A．6个 B．7个 C．8个 D．9个
【答案】C
【解答】解：如图，分情况讨论：
①AB为等腰△ABC的底边时，符合条件的C点有4个；
②AB为等腰△ABC其中的一条腰时，符合条件的C点有4个．
故选：C．
12．（2024秋 龙湾区期中）在数学探究社团活动中，小明同学探索“具备什么条件的等腰三角形可以分割成两个等腰三角形”问题，通过尝试，他画出如图所示的△ABC，已知AB＝AC，AC上取一点D，连结BD，若AD＝BD，BC＝CD，则∠A的度数为（　　）
A．36° B．30° C．° D．22.5°
【答案】C
【解答】解：设∠A＝x，
∵AD＝BD，
∴∠DBA＝∠A＝x，
在△ABD中
∠BDC＝∠A+∠DBA＝2x，
又∵BC＝CD，
∴∠CBD＝∠BDC＝2x，
∴∠ABC＝∠DBA+∠CBD＝3x，
又∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠C＝3x，
在△ABC中
∠A+∠ABC+∠C＝180°，
∴x+3x+3x＝180°，
∴x＝（）°，
故选：C．
13．（2024秋 海曙区期中）下列长度的三段钢条，能组成一个等腰三角形框架的是（单位：cm）（　　）
A．2，3，4 B．3，7，7 C．2，2，6 D．5，6，7
【答案】B
【解答】解：A、不是等腰三角形；
B、3+7＞7，能构成三角形；
C、2+2＜6，不能构成等腰三角形；
D、不是等腰三角形．
故选：B．
14．（2025春 清流县期中）如图，已知点A，B的坐标分别为（3，0）和（0，5），在坐标轴上确定一点C，使△ABC是等腰三角形，则符合条件的C点共有（　　）个．
A．4 B．6 C．8 D．10
【答案】C
【解答】解：如图，
当AB＝AC时，以点A为圆心，AB为半径画圆，与坐标轴有三个交点（B点除外），
当BA＝BC时，以点B为圆心，AB为半径画圆，与坐标轴有三个交点（A点除外），
当CA＝CB时，画AB的垂直平分线与坐标轴有2个交点，
综上所述：符合条件的点C的个数有8个，
故选：C．
15．（2025春 临泽县校级期中）如图，∠AOB＝60°，OC平分∠AOB，如果射线OA上的点E满足△OCE是等腰三角形，那么∠OEC的度数为　120°或75°或30°　 ．
【答案】见试题解答内容
【解答】
解：∵∠AOB＝60°，OC平分∠AOB，
∴∠AOC＝30°，
①当E在E1时，OE＝CE，
∵∠AOC＝∠OCE＝30°，
∴∠OEC＝180°﹣30°﹣30°＝120°；
②当E在E2点时，OC＝OE，
则∠OEC＝∠OCE（180°﹣30°）＝75°；
③当E在E3时，OC＝CE，
则∠OEC＝∠AOC＝30°；
故答案为：120°或75°或30°．
16．（2024秋 伊金霍洛旗期中）已知：如图△ABC中，∠B＝50°，∠C＝90°，在射线BA上找一点D，使△ACD为等腰三角形，则∠ACD的度数为　70°或40°或20°　 ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：如图，有三种情形：
①当AC＝AD时，∠ACD＝70°．
②当CD′＝AD′时，∠ACD′＝40°．
③当AC＝AD″时，∠ACD″＝20°，
故答案为70°或40°或20°
三．等腰三角形的判定与性质（共8小题）
17．（2024秋 山东校级期中）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AC＝6，AB＝8，过点A的直线DE∥BC，∠ABC与∠ACB的平分线分别交DE于E，D，则DE的长为（　　）
A．14 B．16 C．18 D．20
【答案】A
【解答】解：∵DE∥BC，
∴∠E＝∠EBC．
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠EBC，
∴∠E＝∠ABE，
∴AB＝AE．
同理可得：AD＝AC，
∴DE＝AD+AE＝AB+AC＝14．
故选：A．
18．（2024秋 江门期中）如图，△ABC中，BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，MN经过点O，与AB，AC相交于点M，N，且MN∥BC，已知AB＝3，AC＝4，BC＝4.5，则△AMN的周长为（　　）
A．6 B．7 C．7.5 D．8.5
【答案】B
【解答】解：∵BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，
∴∠ABO＝∠OBC，∠ACO＝∠OCB，
∵MN∥BC，
∴∠MOB＝∠OBC，∠NOC＝∠OCB，
∴∠ABO＝∠∠MOB，∠ACO＝∠NOC，
∴MO＝MB，NO＝NC，
∵AB＝3，AC＝4，
∴△AMN的周长＝AM+AN+MN
＝AM+AN+MO+ON，
＝AM+AN+MB+CN
＝AB+AC
＝3+4
＝7，
故选：B．
19．（2024秋 香洲区校级期中）如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点E，过点E作MN∥BC交AB于M，交AC于N，若BM＝4，CN＝3，则线段MN的长为（　　）
A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】B
【解答】解：∵∠ABC、∠ACB的平分线相交于点E，
∴∠MBE＝∠EBC，∠ECN＝∠ECB，
∵MN∥BC，
∴∠EBC＝∠MEB，∠NEC＝∠ECB，
∴∠MBE＝∠MEB，∠NEC＝∠ECN，
∴BM＝ME，EN＝CN，
∴MN＝ME+EN，
即MN＝BM+CN．
∵BM＝4，CN＝3，
∴MN＝7，
故选：B．
20．（2025春 紫金县期中）在△ABC中，BD、CD分别平分∠ABC、∠ACB，过点D作直线EF平行于BC，分别交AB、AC于点E、F，若BE＝4，CF＝6，则线段EF的长为（　　）
A．4 B．6 C．8 D．10
【答案】D
【解答】解：∵BD、CD分别平分∠ABC、∠ACB，
∴由平行线的定义得，∠1＝∠2，∠3＝∠4，
∵EF∥BC，
∴根据平行线的性质得，∠EDB＝∠2，∠FDC＝∠4，
∴∠EDB＝∠1，∠FDC＝∠3，
∴ED＝EB，FD＝FC，
∴EF＝ED+FD＝BE+FC＝4+6＝10，
所以线段EF的长为10，
故选：D．
21．（2024秋 山丹县期中）如图，∠B、∠C的平分线相交于F，过点F作DE∥BC，交AB于D，交AC于E，那么下列结论正确的是
①△BDF、△CEF都是等腰三角形；②DE＝BD+CE；③△ADE的周长为AB+AC；④BD＝CE．（　　）
A．③④ B．①② C．①②③ D．②③④
【答案】C
【解答】解：∵DE∥BC，
∴∠DFB＝∠FBC，∠EFC＝∠FCB，
∵BF是∠ABC的平分线，CF是∠ACB的平分线，
∴∠FBC＝∠DFB，∠FCE＝∠FCB，
∵∠DBF＝∠DFB，∠EFC＝∠ECF，
∴△DFB，△FEC都是等腰三角形．
∴DF＝DB，FE＝EC，即有DE＝DF+FE＝DB+EC，
∴△ADE的周长AD+AE+DE＝AD+AE+DB+EC＝AB+AC．
故选：C．
22．（2024秋 安定区期中）如图，在△ABC中，AB＝4，AC＝6，∠ABC和∠ACB的平分线交于O点，过点O作BC的平行线交AB于M点，交AC于N点，则△AMN的周长为（　　）
A．7 B．8 C．9 D．10
【答案】D
【解答】解：∵BO为∠ABC的平分线，CO为∠ACB的平分线，
∴∠ABO＝∠CBO，∠ACO＝∠BCO，
∵MN∥BC，
∴∠MOB＝∠OBC，∠NOC＝∠BCO，
∴∠ABO＝∠MOB，∠NOC＝∠ACO，
∴MB＝MO，NC＝NO，
∴MN＝MO+NO＝MB+NC，
∵AB＝4，AC＝6，
∴△AMN周长为AM+MN+AN＝AM+MB+AN+NC＝AB+AC＝10，
故选：D．
23．（2024秋 宜城市期中）如图，上午8时，一条船从海岛A出发，以15海里/时的速度向正北航行，10时到达海岛B处，从A，B望灯塔C，测得∠NAC＝42°，∠NBC＝84°，则从海岛B到灯塔C的距离为（　　）
A．15海里 B．20海里 C．30海里 D．60海里
【答案】C
【解答】解：根据题意得：AB＝2×15＝30（海里），
∵∠NAC＝42°，∠NBC＝84°，
∴∠C＝∠NBC﹣∠NAC＝42°，
∴∠C＝∠NAC，
∴BC＝AB＝30海里．
即从海岛B到灯塔C的距离是30海里．
故选：C．
24．（2024秋 渑池县期中）在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点F，过点F作DE∥BC交AB于点D，交AC于点E，则下列说法错误的是（　　）
A．△BDF是等腰三角形
B．DF＝EF
C．若∠A＝50°，则∠BFC＝115°
D．DE＝BD+CE
【答案】B
【解答】解：∵∠ABC与∠ACB的平分线交于点F，
∴∠ABF＝∠CBF，∠ACF＝∠BCF，
∵DE∥BC，
∴∠DFB＝∠CBF，∠EFC＝∠BCF，
∴∠ABF＝∠DFB，∠ACF＝∠ACF，
∴DB＝DF，EF＝EC，
∴△BDF是等腰三角形，DE＝DF+EF＝BD+CE，
故A、D正确，不符合题意；B错误，符合题意；
∵∠A＝50°，
∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣50°＝130°，
∵∠ABC与∠ACB的平分线交于点F，
∴∠CBF∠ABC，∠BCF∠ACB，
∴∠CBF+∠BCF∠ABC∠ACB（∠ABC+∠ACB）＝65°，
∴∠∠BFC＝180°﹣65°＝115°，
故C正确，不符合题意；
故选：B．
四．等边三角形的性质（共10小题）
25．（2024秋 仪征市期中）如图，△ABC是等边三角形，AB＝6，BD是∠ABC的平分线，延长BC到E，使CE＝CD，则BE长为（　　）
A．7 B．8 C． D．9
【答案】D
【解答】解：由题意可知：BC＝AB＝AC＝6，
∵BD是∠ABC的平分线，CE＝CD，
∴，
∴BE＝BC+CE＝9．
故选：D．
26．（2024秋 南岗区校级期中）如图，已知∠MON＝30°，点A1，A2，A3，…在射线ON上，点B1，B2，B3，…在射线OM上，△A1B1A2，△A2B2A3，△A3B3A4，…均为等边三角形，若OA1＝2，则△A6B6A7的边长为（　　）
A．16 B．32 C．64 D．128
【答案】C
【解答】解：∵△A1B1A2为等边三角形，
∴∠B1A1A2＝60°，A1B1＝A1A2，
∴∠A1B1O＝∠B1A1A2﹣∠MON＝60°﹣30°＝30°，
∴∠A1B1O＝∠MON，
∴A1B1＝OA1，
∴A1B1＝A1A2＝OA1，
同理可得A2B2＝A2A3＝OA2＝2OA1，
∴A3B3＝A3A4＝OA3＝2OA2＝22 OA1，
A4B4＝A4A5＝OA4＝2OA3＝23 OA1，
…
∴AnBn＝AnAn+1＝2n﹣1 OA1＝2n，
∴△A6B6A7的边长：A6B6＝26＝64，
故选：C．
27．（2024秋 黔东南州期中）如图，将一个等边三角形剪去一个角后，∠1+∠2等于（　　）
A．240° B．120° C．170° D．360°
【答案】A
【解答】解：∵△ABC为等边三角形，
∴∠A＝∠B＝∠C＝60°，
∵∠1+∠2+∠B+∠C＝360°，
∴∠1+∠2＝360°﹣∠B﹣∠C＝240°；
故选：A．
28．（2024秋 东川区期中）如图，在等边△ABC中，AB＝4cm，BD平分∠ABC，点E在BC的延长线上，且∠E＝30°，则CE的长是（　　）
A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm
【答案】B
【解答】解：∵等边△ABC的边长AB＝4cm，BD平分∠ABC，
∴∠ACB＝60°，DC＝AD＝2cm，
∵∠E＝30°，∠E+∠EDC＝∠ACB，
∴∠EDC＝60°﹣30°＝30°＝∠E，
∴CD＝CE＝2cm，
故选：B．
29．（2025春 包头期中）如图，已知∠MON＝30°，点A1，A2，A3，……在射线ON上，点B1，B2，B3，……在射线OM上，△A1B1A2，△A2B2A3，△A3B3A4，……均为等边三角形，若OA1＝2，则△A5B5A6的边长为（　　）
A．16 B．32 C．64 D．128
【答案】B
【解答】解：∵△A1B1A2、△A2B2A3、△A3B3A4、…均为等边三角形，
∴∠B1A1A2＝∠B2A2A3＝∠B3A3A4＝60°，…，A1B1＝A1A2，A2B2＝A2A3，A3B3＝A3A4，…
∵∠MON＝30°，
∴∠OB1A1＝∠B1A1A2﹣∠MON＝60°﹣30°＝30°，∠OB2A2＝∠B2A2A3﹣∠MON＝60°﹣30°＝30°，∠OB3A3＝∠B3A3A4﹣∠MON＝60°﹣30°＝30°，…，
∴△OA1B1，△OA2B2，△OA3B3、…均为等腰三角形，
∴OA1＝A1B1＝2，，…，
∴△A1B1A2的边长为：2＝21，△A2B2A3的边长为：4＝22，△A3B3A4的边长为：8＝23，…，
∴△A5B5A6的边长为：25＝32，
故选：B．
30．（2024秋 惠民县期中）如图，∠MON＝30°，点A1、A2、A3…在射线ON上，点B1、B2、B3…在射线OM上，△A1B1A2、△A2B2A3、△A3B3A4…均为等边三角形，若OA1＝1，则△A7B7A8的边长为（　　）
A．6 B．12 C．32 D．64
【答案】D
【解答】解：∵△A1B1A2是等边三角形，
∴A1B1＝A2B1，∠3＝∠4＝∠12＝60°，
∴∠2＝120°，
∵∠MON＝30°，
∴∠1＝180°﹣120°﹣30°＝30°，
又∵∠3＝60°，
∴∠5＝180°﹣60°﹣30°＝90°，
∵∠MON＝∠1＝30°，
∴OA1＝A1B1＝1，
∴A2B1＝1，
∵△A2B2A3、△A3B3A4是等边三角形，
∴∠11＝∠10＝60°，∠13＝60°，
∵∠4＝∠12＝60°，
∴A1B1∥A2B2∥A3B3，B1A2∥B2A3，
∴∠1＝∠6＝∠7＝30°，∠5＝∠8＝90°，
∴A2B2＝2B1A2，B3A3＝2B2A3，
∴A3B3＝4B1A2＝4，
A4B4＝8B1A2＝8，
A5B5＝16B1A2＝16，
以此类推：A7B7＝64B1A2＝64．
故选：D．
31．（2024秋 肇源县期中）如图，若△ABC是等边三角形，AB＝6，BD是∠ABC的平分线，延长BC到E，使CE＝CD，则BE＝（　　）
A．7 B．8 C．9 D．10
【答案】C
【解答】证明：∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC＝∠ACB＝60°，
∵BD是∠ABC的平分线，
∴AD＝CDAC，∠DBC∠ABC＝30°，
∵CE＝CD，
∴CEAC＝3
∴BE＝BC+CE＝6+3＝9．
故选：C．
32．（2024春 禹州市期中）如图，在等边三角形ABC中，AD⊥BC，垂足为D，点E在线段AD上，∠EBC＝45°，则∠ACE等于（　　）
A．18° B．20° C．30° D．15°
【答案】D
【解答】解：在等边三角形ABC中，∠ACB＝60°，AB＝AC，
∵AD⊥BC，
∴点D是BC的中点，
∴AD垂直平分线段BC，
∴EB＝EC，
∴∠ECB＝∠EBC＝45°，
∴∠ACE＝15°，
故选：D．
33．（2024春 滨城区校级期中）如图，AD是等边三角形ABC的中线，AE＝AD，则∠EDC＝　15°　 ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：∵AD是等边△ABC的中线，
∴AD⊥BC，∠BAD＝∠CAD∠BAC60°＝30°，
∴∠ADC＝90°，
∵AD＝AE，
∴∠ADE＝∠AED75°，
∴∠EDC＝∠ADC﹣∠ADE＝90°﹣75°＝15°．
故答案为：15°．
34．（2024秋 海州区校级期中）如图，△ABC是等边三角形，点D是BC边上任意一点，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F．若BC＝4，则BE+CF＝　2　 ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：设BD＝x，则CD＝4﹣x，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠B＝∠C＝60°．
∴BE＝cos60° BD，
同理可得，CF，
∴BE+CF2．
故答案为：2．
五．等边三角形的判定（共8小题）
35．（2024秋 南安市校级期中）在△ABC中，若AB＝AC＝5，∠B＝60°，则BC的值为（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】C
【解答】解：∵AB＝AC＝5，
∴∠C＝∠B＝60°，
∴△ABC为等边三角形，
∴BC＝AB＝5．
故选：C．
36．（2024春 清苑区期中）下列推理中，不能判断△ABC是等边三角形的是（　　）
A．∠A＝∠B＝∠C B．AB＝AC，∠B＝60°
C．∠A＝60°，∠B＝60° D．AB＝AC，且∠B＝∠C
【答案】D
【解答】解：A、由“三个角都相等的三角形是等边三角形”可以判断△ABC是等边三角形，故本选项不符合题意．
B、由“有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形”可以判断△ABC是等边三角形，故本选项不符合题意．
C、由“∠A＝60°，∠B＝60°”可以得到“∠A＝∠B＝∠C＝60°”，则由“三个角都相等的三角形是等边三角形”可以判断△ABC是等边三角形，故本选项不符合题意．
D、由“AB＝AC，且∠B＝∠C”只能判定△ABC是等腰三角形，故本选项符合题意．
故选：D．
37．（2024秋 高新区校级期中）如图，在直角坐标系中，已知A（﹣1，0），B（3，0），点C在第一象限内，若△ABC是等边三角形，则点C的坐标是（　　）
A．（1，2） B．（2，2） C．（1，） D．（2，）
【答案】A
【解答】解：作CD⊥x轴于点D，如图所示，
∵A（﹣1，0），B（3，0），
∴AB＝3﹣（﹣1）＝3+1＝4，OA＝1，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC＝4，AD＝2，
∴CD2，OD＝1，
∴点C的坐标为（1，2），
故选：A．
38．（2025春 介休市期中）由于木质衣架没有柔性，在挂置衣服的时候不太方便操作．小颖同学设计一种衣架，在使用时能轻易收拢，然后套进衣服后松开即可．如图①，衣架杆OA＝OB＝16cm（O为衣架的固定点）；如图②，若衣架收拢时，∠AOB＝60°，则此时A，B两点之间的距离是（　　）
A．8cm B．16cm C．12cm D．6cm
【答案】B
【解答】解：∵OA＝OB＝16cm，
∴∠OAB＝∠OBA，
∵∠AOB＝60°，
∴，
∴△AOB是等边三角形．
∴AB＝OA＝OB＝16cm，
故选：B．
39．（2024秋 思明区校级期中）下列条件中，能说明△ABC为等边三角形的是（　　）
A．∠A＝60° B．∠B＝60°，AB＝AC
C．∠B+∠C＝120° D．AB＝AC
【答案】B
【解答】解：对于选项A，∠A＝60°，
∴∠B+∠C＝120°，无法得到∠B＝∠C＝60°，
∴选项A中的条件不能说明△ABC为等边三角形，
故选A不符合题意；
对于选项B，∠B＝60°，AB＝AC
∴△ABC为等边三角形，
故选B符合题意；
对于选项C，∠B+∠C＝120°
∵∠B+∠C＝120°，无法得到∠B＝∠C＝60°，
∴选项C中的条件不能说明△ABC为等边三角形，
故选C不符合题意；
对于选项D，AB＝AC
∴△ABC是等边三角形，
根据此条件无法得到△ABC的某个角等于60°，
∴选项D中的条件不能说明△ABC为等边三角形．
故选：B．
40．（2024秋 前郭县期中）如图，平移图形①，与图形②可以拼成一个等边三角形，则图中α的度数是（　　）
A．110° B．120° C．140° D．150°
【答案】D
【解答】解：∵三角形是等边三角形，
∴∠A＝∠B＝60°，
∴∠α＝540°﹣60°﹣60°﹣（180°﹣70°）﹣160°＝150°．
故选：D．
41．（2024秋 武陵区期中）已知如图等腰△ABC，AB＝AC，∠BAC＝120°，AD⊥BC于点D，点P是BA延长线上一点，点O是线段AD上一点，OP＝OC，下面的结论：
①∠APO+∠DCO＝30°；②∠APO＝∠DCO；③△OPC是等边三角形．其中正确的是 　①③　 ．（填序号）
【答案】①③．
【解答】解：①连接OB，如图1所示：
∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴BD＝CD，∠BAD∠BAC，
∵∠BAC＝120°，
∴∠BAD120°＝60°，
∴OB＝OC，∠ABC＝90°﹣∠BAD＝30°，
∵OP＝OC，
∴OB＝OC＝OP，
∴∠APO＝∠ABO，∠DCO＝∠DBO，
∴∠APO+∠DCO＝∠ABO+∠DBO＝∠ABD＝30°，
故①选项正确；
②由①可知，∠APO＝∠ABO，∠DCO＝∠DBO，
∵点O是线段AD上一点，
∴∠ABO与∠DBO不一定相等，
∴∠APO与∠DCO不一定相等，
故②选项不正确；
③∵∠APC+∠DCP+∠PBC＝180°，
∴∠APC+∠DCP＝150°，
∵∠APO+∠DCO＝30°，
∴∠OPC+∠OCP＝120°，
∴∠POC＝180°﹣（∠OPC+∠OCP）＝60°，
∵OP＝OC，
∴△OPC是等边三角形，
故③选项正确，
故答案为：①③．
42．（2024秋 宽城区校级期中）如图，在△EBD中，EB＝ED，点C在BD上，CE＝CD，BE⊥CE，A是CE延长线上一点，EA＝EC．
（1）求∠EBC的度数；
（2）求证△ABC为等边三角形．
【答案】（1）30°；
（2）证明过程见解答．
【解答】解：（1）∵CE＝CD，
∴∠D＝∠DEC，
∴∠ECB＝∠D+∠DEC＝2∠D．
∵BE＝DE，
∴∠EBC＝∠D．
∴∠ECB＝2∠EBC．
又∵BE⊥CE，
∴∠ECB＝60°，∠EBC＝30°．
（2）证明：∵BE⊥CE，AE＝CE，
∴BE垂直平分AC，
∴AB＝BC．
∵∠ECB＝60°．
∴△ABC是等边三角形．
六．等边三角形的判定与性质（共8小题）
43．（2024秋 丛台区校级期中）如图是某种落地灯的简易示意图，已知悬杆的CD部分的长度与支杆BC相等，且∠BCE＝120°．若CD的长度为50cm，则此时B、D两点之间的距离为（　　）
A．25cm B．50cm C．55cm D．100cm
【答案】B
【解答】解：如图，连接BD，
由题意可知，CD＝BC，
∵∠BCE＝120°，
∴∠BCD＝180°﹣∠BCE＝180°﹣120°＝60°，
∴△BCD是等边三角形，
∴BD＝CD＝50cm，
即此时B、D两点之间的距离为50cm，
故选：B．
44．（2024秋 吉首市校级期中）如图，△ABC中，∠B＝60°，AB＝AC，BC＝3，则△ABC的周长为（　　）
A．9 B．8 C．6 D．12
【答案】A
【解答】解：在△ABC中，∵∠B＝60°，AB＝AC，
∴∠B＝∠C＝60°，
∴∠A＝180°﹣60°﹣60°＝60°，
∴△ABC为等边三角形，
∵BC＝3，∴△ABC的周长为：3BC＝9，
故选：A．
45．（2024春 上杭县期中）如图，在边长为2的等边三角形ABC中，D为边BC上一点，且BDCD．点E，F分别在边AB，AC上，且∠EDF＝90°，M为边EF的中点，连接CM交DF于点N．若DF∥AB，则CM的长为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【解答】解：∵等边三角形边长为2，BDCD，
∴BD，CD，
∵等边三角形ABC中，DF∥AB，
∴∠FDC＝∠B＝60°，
∵∠EDF＝90°，
∴∠BDE＝30°，
∴DE⊥BE，
∴∠BED＝90°，
∵∠B＝60°，
∴∠BDE＝30°，
∴BEBD，
∴DE，
如图，连接DM，则Rt△DEF中，DMEF＝FM，
∵∠FDC＝∠FCD＝60°，
∴△CDF是等边三角形，
∴CD＝CF，
∴CM垂直平分DF，
∴∠DCN＝30°，DN＝FN，
∴Rt△CDN中，DN，CN，
∵M为EF的中点，
∴MNDE，
∴CM＝CN+MN，
故选：C．
46．（2024秋 黄梅县校级期中）在等腰三角形ABC中，∠A＝60°，BC＝4，则△ABC的周长为（　　）
A．12 B．14 C．10 D．16
【答案】A
【解答】解：∵等腰三角形ABC，∠A＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴AB＝BC＝AC＝4，
∴△ABC的周长为4×3＝12，
故选：A．
47．（2024春 锡山区校级期中）如图，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，，将△ABC绕点C逆时针旋转60°，得到△MNC，连结BM，则BM的长是（　　）
A． B． C． D．3
【答案】A
【解答】解：如图，连接AM，
由题意得：CA＝CM，∠ACM＝60°，
∴△ACM为等边三角形，
∴AM＝CM，∠MAC＝∠MCA＝∠AMC＝60°；
∵∠ABC＝90°，，
∴AC＝2＝CM，
∵AB＝BC，CM＝AM，
∴BM垂直平分AC，
∴，，
∴，，
∴．
故选：A．
48．（2025春 广东校级期中）将含30°的直角三角板直角顶点C放置在直尺的一边上，AC，AB与直尺的交点分别为点E，F，D，如图．若点E，F对应的刻度分别为2cm，6cm，∠ACD＝60°，则AE的长是（　　）
A．2cm B．4cm C．5cm D．6cm
【答案】B
【解答】解：由题意得：EF＝6﹣2＝4（cm），EF∥CD，
∴∠ACD＝∠AFE＝60°，
∵∠A＝60°，
∴∠AEF＝180°﹣∠A﹣∠AFE＝60°，
∴∠A＝∠AEF＝∠AFE＝60°，
∴△AEF是等边三角形，
∴AE＝EF＝4cm，
故选：B．
49．（2024秋 兰山区校级期中）如图，已知射线OM，以O为圆心，任意长为半径画弧，与射线OM交于点A，再以点A为圆心，AO长为半径画弧，两弧交于点B，画射线OB，作BD⊥OA，垂足为D，那么∠OBD的度数是（　　）
A．90° B．60° C．45° D．30°
【答案】D
【解答】解：如图，连接AB，
由题意得：OA＝OB＝AB，
∴△OAB是等边三角形，
∴∠OBA＝60°，
∵BD⊥OA，
∴∠OBD∠OBA60°＝30°，
故选：D．
50．（2024秋 巴彦县期中）如图，在△ABC中，AB＝4，BC＝6，∠B＝60°，将△ABC沿BC所在直线向右平移得到△A′B′C′，连接A′C，若BB′＝2，则线段A′C的长为 　4　 ．
【答案】4．
【解答】解：由平移得：A′B′＝AB＝4，∠A′B′C＝∠B＝60°，
∵BC＝6，BB′＝2，
∴B′C＝6﹣2＝4，
∴△A′B′C是等边三角形，
∴A′C＝A′B′＝4，
故答案为：4．
七．含30度角的直角三角形（共10小题）
51．（2024秋 如皋市期中）如图，在△ABC中，AB＝AC＝12，∠BAC＝120°，点D是边BC上的任意一点，则AD的长不可能是（　　）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】A
【解答】解：如图，过点A作AD′⊥BC 于D′，
∵AB＝AC，∠BAC＝120°，
∴∠B＝∠C（180°﹣120°）＝30°，
在Rt△ABD′中，AB＝12，∠B＝30°，
则AD′AB12＝6，
根据垂线段最短可知：AD的最小值为6，
∴AD的长不可能是5，
故选：A．
52．（2024秋 河北区期中）如图所示，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，若∠B＝30°，BC＝8cm，则BD的长为（　　）
A．7cm B．6cm C．5.5cm D．5cm
【答案】B
【解答】解：∵∠BAC＝90°，∠B＝30°，
∴∠C＝90°﹣∠B＝60°，
∵AD⊥BC于点D，∠C＝60°，
∴∠DAC＝30°，
∴在Rt△ABC中，，
∴Rt△ACD中，∠DAC＝30°，
∴，
∴BD＝BC﹣CD＝8﹣2＝6（cm）．
故选：B．
53．（2024春 新城区期中）如图，△ABC是等边三角形，AB＝10，点D是BC边上任意一点，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，则BE+CF的长是（　　）
A．5 B．6 C．8 D．10
【答案】A
【解答】解：设BD＝x，则CD＝10﹣x，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠B＝∠C＝60°，
∴∠BDE＝30°，∠CDF＝30°，
∴BEBD
同理可得，CF，
∴BE+CF5，
故选：A．
54．（2024秋 江门期中）如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，DE为AB的垂直平分线，AD＝16，则CD的长是（　　）
A．3 B．4 C．6 D．8
【答案】D
【解答】解：∵∠C＝90°，∠A＝30°，
∴∠ABC＝90°﹣∠A＝60°，
∵DE为AB的垂直平分线，
∴DB＝DA＝16，
∴∠A＝∠ABD＝30°，
∴∠DBC＝∠ABC﹣∠ABD＝30°，
∴CDDB＝8，
故选：D．
55．（2024秋 忻州期中）如图，△ABC是等边三角形，点D是AC的中点，DE⊥BC，CE＝3，则AC等于（　　）
A．6 B．8 C．9 D．12
【答案】D
【解答】解：∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC，∠C＝60°，
∵DE⊥BC，
∴∠DEC＝90°，
∴∠CDE＝30°，
∴CD＝2CE＝6，
∵点D是AC的中点，
∴AC＝2CD＝12，
故选：D．
56．（2024秋 汉阳区期中）如图，在△ABC中，∠C＝30°，AD⊥AB，垂足为点A，交BC于点D，过点D的直线m恰好垂直平分线段AC，AD＝3，则BC的长是（　　）
A．6 B．9 C．12 D．18
【答案】B
【解答】解：∵直线m恰好垂直平分线段AC，AD＝3，
∴CD＝AD＝3，
∵∠C＝30°，
∴∠CAD＝∠C＝30°，
∵AD⊥AB，
∴∠BAD＝90°，
∴∠BAC＝120°，
∴∠B＝180°﹣∠BAC﹣∠C＝30°，
∴BD＝2AD＝6，
∴BC＝BD+CD＝9，
故选：B．
57．（2024秋 香洲区期中）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AC＝4，则AB的长是（　　）
A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】C
【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AC＝4，
∴AB＝2AC＝2×4＝8，故C选项符合题意．
故选：C．
58．（2024秋 南岗区期中）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，CH⊥AB于H，若AH＝2，则BH＝　6　 ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：∵CH⊥AB，
∴∠AHC＝90°，
∵∠ACB＝90°，∠B＝30°，
∴∠A＝60°，
∴∠ACH＝30°，
∴AC＝2AH＝4，
∵∠B＝30°，
∴AB＝2AC＝8，
∴BH＝AB﹣AH＝8﹣2＝6．
故答案为：6．
59．（2024秋 齐齐哈尔期中）如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AD是∠BAC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E，DE＝1，则BC＝　3　 ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，∠C＝90°，
∴CD＝DE＝1，
又∵直角△BDE中，∠B＝30°，
∴BD＝2DE＝2，
∴BC＝CD+BD＝1+2＝3．
故答案为：3．
60．（2024秋 永城市校级期中）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝60°，点D，E分别是BC，AB上的动点，将△BDE沿直线DE翻折，点B的对点B′恰好落在AC上，若△AEB′是等腰三角形，那么∠BEB′的大小为 　150°或105°或60°　 ．
【答案】150°或105°或60°．
【解答】解：∵∠C＝90°，∠B＝60°，
∴∠A＝30°，
分三种情况讨论：
①当B'A＝B'E时，如图：
∴∠B'EA＝∠A＝30°，
∴∠BEB'＝180°﹣∠B'EA＝150°；
②当AB'＝AE时，如图：
∴∠AEB'＝∠AB'E75°，
∴∠BEB'＝180°﹣∠AEB'＝105°；
③当EA＝EB'时，如图：
∴∠A＝∠EB'A＝30°，
∴∠BEB'＝∠A+∠EB'A＝60°；
综上所述，∠BEB'为150°或105°或60°，
故答案为：150°或105°或60°．

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