资源简介

专题06 角的平分线
▉考点01 作已知角的平分线
已知 如图，已知∠AOB.
求作 求作∠AOB的平分线.
作法 如图：(1)以点0为圆心，适当长为半径作弧，交OA于点M,交OB于点N. (2)分别以点M,N为圆心，大于1/2MN的长为半径作弧，两弧在∠AOB的内部相交于点C. (3)作射线OC.射线OC即为所求.
▉考点02 角的平分线的性质
文字语言 符号语言 图示
角的平分线上的点到角两边的距离相等. 如图，∵OC是∠AOB的平分线，P是OC上一点，PD⊥0A,PE⊥OB,垂足分别为D,E, ∴PD=PE.
▉考点03 证明几何命题的一般步骤
(1)明确命题中的已知和求证；
(2)根据题意，画出图形，并用数学符号表示已知和求证；
(3)经过分析，找出由已知推出要证的结论的途径，写出证明过程.
▉考点04 角的平分线的判定
1.角的平分线的判定定理：
文字语言 符号语言 图示
角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上. 如图，∵点P为∠AOB内一点，PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别为D,E,且PD=PE,点P在∠AOB的平分线OC上.
2.角的平分线的性质定理与判定定理的关系：
点在角的平分线上（角的内部的）点到角的两边的距离相等
一．角平分线的性质（共30小题）
1．（2024秋 安定区期中）如图，OP平分∠AOB，PC⊥OA于点C，点D在OB上，若PC＝3，OD＝6，则△POD的面积为（　　）
A．3 B．6 C．9 D．18
【答案】C
【解答】解：过P点作PE⊥OB于E点，如图，
∵OP平分∠AOB，PC⊥OA，PE⊥OB，
∴PE＝PC＝3，
∴S△POD6×3＝9．
故选：C．
2．（2025春 太谷区期中）如图，为了促进当地旅游发展，某地要在三条公路围城的一块三角形平地ABC上修建一个度假村．要使这个度假村到三条公路的距离相等，应该修在（　　）
A．△ABC三边中线的交点
B．△ABC三个角的平分线的交点
C．△ABC三边高线的交点
D．△ABC三边垂直平分线的交点
【答案】B
【解答】解：设∠ABC和∠ACB的平分线交于点O，过点O作OP⊥AB于P，OQ⊥BC于Q，OR⊥AC于R，如图所示：
∴OP＝OQ，OQ＝OR，
∴OP＝OQ＝OR，
∴点O在∠BAC的平分线上，点O就是度假村的位置，
∴度假村应修建在△ABC三个角的平分线的交点上．
故选：B．
3．（2024秋 惠城区校级期中）如图，△ABC中，∠ABC、∠EAC的角平分线BP、AP交于点P，延长BA、BC，PM⊥BE，PN⊥BF，则下列结论中正确的个数（　　）
①CP平分∠ACF；②∠ABC+2∠APC＝180°；③∠ACB＝2∠APB；④S△PAC＝S△MAP+S△NCP．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【解答】解：①过点P作PD⊥AC于D，
∵PB平分∠ABC，PA平分∠EAC，PM⊥BE，PN⊥BF，PD⊥AC，
∴PM＝PN，PM＝PD，
∴PN＝PD，
∵PN⊥BF，PD⊥AC，
∴点P在∠ACF的角平分线上，故①正确；
②∵PM⊥AB，PN⊥BC，
∴∠ABC+90°+∠MPN+90°＝360°，
∴∠ABC+∠MPN＝180°，
在Rt△PAM和Rt△PAD中，
，
∴Rt△PAM≌Rt△PAD（HL），
∴∠APM＝∠APD，
同理：Rt△PCD≌Rt△PCN（HL），
∴∠CPD＝∠CPN，
∴∠MPN＝2∠APC，
∴∠ABC+2∠APC＝180°，②正确；
③∵PA平分∠CAE，BP平分∠ABC，
∴∠CAE＝∠ABC+∠ACB＝2∠PAM，∠PAM∠ABC+∠APB，
∴∠ACB＝2∠APB，③正确；
④由②可知Rt△PAM≌Rt△PAD（HL），Rt△PCD≌Rt△PCN（HL）
∴S△APD＝S△APM，S△CPD＝S△CPN，
∴S△APM+S△CPN＝S△APC，故④正确，
故选：D．
4．（2025春 郏县期中）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，BD平分∠ABC交AC于点D，点E为AB的中点，若AB＝12，CD＝3，则△DBE的面积为（　　）
A．10 B．12 C．9 D．6
【答案】C
【解答】解：过D作DF⊥AB于F，
∵∠C＝90°，
∴DC⊥BC，
∵BD平分∠ABC，CD＝3，
∴DF＝CD＝3，
∵点E为AB的中点，AB＝12，
∴BE＝6，
∴△DBE的面积BE DF6×3＝9，
故选：C．
5．（2024秋 梁溪区校级期中）如图所示，点O是△ABC内一点，BO平分∠ABC，OD⊥BC于点D，连接OA，若OD＝5，AB＝20，则△AOB的面积是（　　）
A．20 B．30 C．50 D．100
【答案】C
【解答】解：过O作OE⊥AB于点E，
∵BO平分∠ABC，OD⊥BC于点D，
∴OE＝OD＝5，
∴△AOB的面积，
故选：C．
6．（2024秋 日照校级期中）东湖高新区为打造成“向往之城”，正建设一批精品口袋公园．如图所示，△ABC是一个正在修建的口袋公园．要在公园里修建一座凉亭H，使该凉亭到公路AB、AC的距离相等，且使得S△ABH＝S△BCH，则凉亭H是（　　）
A．∠BAC的角平分线与AC边上中线的交点
B．∠BAC的角平分线与AB边上中线的交点
C．∠ABC的角平分线与AC边上中线的交点
D．∠ABC的角平分线与BC边上中线的交点
【答案】A
【解答】解：如图：
∵AD平分∠BAC，点H在AD上，
∴点H到AB、AC的距离相等，
∵BE是AC边上的中线，
∴△ABE的面积＝△BCE的面积，△AHE的面积＝△CHE的面积，
∴△ABE的面积﹣△AHE的面积＝△BCE的面积﹣△CHE的面积，
∴△ABH的面积＝△CBH的面积，
∴凉亭H是∠BAC的角平分线与AC边上中线的交点，
故选：A．
7．（2024秋 鼓楼区校级期中）在正方形网格中，∠AOB的位置如图所示，到∠AOB两边距离相等的点应是（　　）
A．M点 B．N点 C．P点 D．Q点
【答案】A
【解答】解：从图上可以看出点M在∠AOB的平分线上，其它三点不在∠AOB的平分线上．
所以点M到∠AOB两边的距离相等．故选A．
8．（2024秋 朝阳区校级期中）如图，在平面直角坐标系中，以O为圆心，适当长为半径画弧，交x轴负半轴于点M，交y轴负半轴于点N，再分别以点M，N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧在第三象限交于点P．若点P的坐标为（a，b），则a与b的数量关系为（　　）
A．a+b＝0 B．a+b＞0 C．a﹣b＝0 D．a﹣b＞0
【答案】C
【解答】解：根据作图方法可得点P在第三象限角平分线上；点P到x轴、y轴的距离相等；
∴a﹣b＝0．
故选：C．
9．（2025春 牡丹区期中）如图，点P在∠AOB的平分线上，PC⊥OA于点C，∠AOB＝30°，点D在边OB上，且OD＝DP＝2．则线段PC的长度为（　　）
A．3 B．2 C．1 D．
【答案】C
【解答】解：过P作PE⊥OB于E，
∵点P在∠AOB的平分线上，PC⊥OA，
∴PC＝PE，∠AOP＝∠BOP，
∵OD＝DP，
∴∠BOP＝∠DPO，
∴∠AOP＝∠DPO，
∴PD∥OA，
∴∠PDE＝∠AOB，
∵∠AOB＝30°，
∴∠PDE＝30°，
∵∠PEO＝90°，DP＝2，
∴PEDP＝1，
∴PC＝1，
故选：C．
10．（2024秋 凉州区期中）如图，AB∥CD，BP和CP分别平分∠ABC和∠DCB，AD过点P，且与AB垂直，若AD＝8，则点P到BC的距离是（　　）
A．8 B．6 C．4 D．2
【答案】C
【解答】解：如图，过点P作PE⊥BC于E，
由条件可知：PD⊥CD，
∵BP和CP分别平分∠ABC和∠DCB，
∴PA＝PE，PD＝PE，
∴PE＝PA＝PD，
∵PA+PD＝AD＝8，
∴PA＝PD＝4，
∴PE＝4，
即点P到BC的距离是4．
故选：C．
11．（2025春 成华区校级期中）小明同学在学习了全等三角形的相关知识后发现，只用两把完全相同的长方形直尺就可以作出一个角的平分线．
如图：一把直尺压住射线OB，另一把直尺压住射线OA并且与第一把直尺交于点P，小明说：“射线OP就是∠BOA的角平分线．”他这样做的依据是（　　）
A．角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上
B．角平分线上的点到这个角两边的距离相等
C．三角形三条角平分线的交点到三条边的距离相等
D．以上均不正确
【答案】A
【解答】解：如图所示：过两把直尺的交点P作PE⊥AO，PF⊥BO，
∵两把完全相同的长方形直尺，
∴PE＝PF，
∴OP平分∠AOB（角的内部到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上），
故选：A．
12．（2024秋 天山区校级期中）如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E，S△ABC＝7，DE＝2，AB＝4，则AC的长是（　　）
A．3 B．4 C．6 D．5
【答案】A
【解答】解：过点D作DF⊥AC于F，
∵AD是的角平分线，DE⊥AB，
∴DE＝DF＝2，
∴S△ABC＝S△ABD+S△ADCAB DEAC DF4×2AC×2＝7，
解得AC＝3．
故选：A．
13．（2024秋 麻阳县期中）如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，过点O作EF∥BC交AB于E，交AC于F，过点O作OD⊥AC于D．下列四个结论：①∠BOC＝90°∠A，②∠EBO∠AEF，③∠DOC+∠OCB＝90°，④设OD＝m，AE+AF＝n，则S△AEF．其中正确的结论有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【解答】解：∵∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，
∴∠OBC∠ABC，∠OCB∠ACB，
∴∠OBC+∠OCB（∠ABC+∠ACB），
∵∠OBC+∠OCB＝180°﹣∠BOC，∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A，
∴180°﹣∠BOC（180°﹣∠A），
∴∠BOC＝90°∠A，所以①正确；
∵EF∥BC，
∴∠AEF＝∠EBC，
而OB平分∠EBC，
∴∠EBO∠EBC，
∴∠EBO∠AEF，所以②正确；
∵OD⊥AC于D，
∴∠ODC＝90°，
∴∠DOC+∠OCD＝90°，
∵OC平分∠BCD，
∴∠OCB＝∠OCD，
∴∠DOC+∠OCB＝90°，所以③正确；
∵∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，
∴O点到BA和BC的距离相等，O点到BC和AC的距离相等，
∴O点到AB的距离等于OD的长，即O点到AE的距离等于m，
∴S△AEFAE mAF mm（AE+AF）mn，所以④正确．
故选：D．
14．（2024秋 嘉峪关校级期中）如图，射线OC是∠AOB的平分线，D为射线OC上一点，DP⊥OA于点P，PD＝3，若Q是射线OB上一点，OQ＝5，则阴影部分的面积为（　　）
A．15 B．5 C．3 D．
【答案】D
【解答】解：如图，过D作DE⊥OB于H，
根据角平分线的性质可得：
∴DE＝PD＝3，
∴；
故选：D．
15．（2025春 禅城区校级期中）三条公路将A、B、C三个村庄连成一个如图的三角形区域，如果在这个区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三条公路的距离相等，那么这个集贸市场应建的位置是（　　）
A．三条高线的交点
B．三条中线的交点
C．三条角平分线的交点
D．三边垂直平分线的交点
【答案】C
【解答】解：在这个区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三条公路的距离相等，
根据角平分线的性质，集贸市场应建在∠A、∠B、∠C的角平分线的交点处．
故选：C．
16．（2024秋 下城区期中）如图，AD是△ABC中∠BAC的平分线，DE⊥AB，交AB于点E，DF⊥AC，交AC于点F，若DE＝2，AC＝4，则△ADC的面积是（　　）
A．4 B．6 C．8 D．10
【答案】A
【解答】解：∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DF＝DE，
∵DE＝2，
∴DF＝2，
∴S△ADCAC×DF4×2＝4，
故选：A．
17．（2024春 东明县期中）如图，BD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E．△ABC的面积为12，AB＝7，DE＝2，则BC的长为（　　）
A．7 B．6 C．5 D．4
【答案】C
【解答】解：作DF⊥BC于F，
∵BD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥BC，
∴DF＝DE＝2，
∴AB×DEBC×DF＝12，
∴，
∴BC＝5，
故选：C．
18．（2024秋 永善县期中）如图，在△ABC中，∠ABC和∠BAC的角平分线交于点O，AB＝6cm，BC＝9cm，△ABO的面积为9cm2，则△BOC的面积为（　　）
A．13.5cm2 B．18cm2 C．24cm2 D．27cm2
【答案】A
【解答】解：过O点作OD⊥AB于D点，OE⊥BC于E点，如图，
∵OB平分∠ABC，OD⊥AB，OE⊥BC，
∴OD＝OE，
∴S△BOC：S△AOB＝BC：AB，
∵AB＝6cm，BC＝9cm，△ABO的面积为9cm2，
∴．
故选：A．
19．（2024秋 巴南区校级期中）如图，AD是△ABC中∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，S△ABC＝7，DE＝2，AB＝4，AC的长是（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】A
【解答】解：作DH⊥AC于H，如图，
∵AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB，DH⊥AC，
∴DH＝DE＝2，
∵S△ABC＝S△ADC+S△ABD，
∴2AC2×4＝7，
∴AC＝3．
故选：A．
20．（2024秋 周村区期中）如图，AD是△ABC中∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，AB＝8，DE＝4，AC＝6，则S△ABC＝（　　）
A．14 B．26 C．56 D．28
【答案】D
【解答】解：如图，作DF⊥AC交AC于点F，
∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DF＝DE＝4，
∴，
故选：D．
21．（2024秋 云阳县期中）如图．BD平分∠ABC交AC于点D．DE⊥BC于点E，若AB＝4，BC＝5，S△ABC＝9，则DE的长为（　　）
A．2 B． C．4 D．3
【答案】A
【解答】解：作DF⊥AB于F，
∵BD平分∠ABC，DE⊥BC，DF⊥AB，
∴DE＝DF，
∴AB×DFBC×DE＝S△ABC，即5×DE4×DE＝9，
解得，DE＝2，
故选：A．
22．（2024秋 站前区校级期中）如图，△ABC中，∠ABC、∠EAC的角平分线BP、AP交于点P，延长BA、BC，PM⊥BE，PN⊥BF，则下列结论中错误的是（　　）
A．CP平分∠ACF B．∠ABC+2∠APC＝180°
C．∠ACB＝∠APB D．S△PAC＝S△MAP+S△NCP
【答案】C
【解答】解：过点P作PD⊥AC于D，
∵PB平分∠ABC，PA平分∠EAC，PM⊥BE，PN⊥BF，PD⊥AC，
∴PM＝PN，PM＝PD，
∴PN＝PD，
∴点P在∠ACF的角平分线上，
∴CP平分∠ACF，
故A不符合题意；
∵PM⊥AB，PN⊥BC，
∴∠ABC+90°+∠MPN+90°＝360°，
∴∠ABC+∠MPN＝180°，
在Rt△PAM和Rt△PAD中，
，
∴Rt△PAM≌Rt△PAD（HL），
∴∠APM＝∠APD，
同理：Rt△PCD≌Rt△PCN（HL），
∴∠CPD＝∠CPN，
∴∠MPN＝2∠APC，
∴∠ABC+2∠APC＝180°，
故B不符合题意；
∵PA平分∠CAE，BP平分∠ABC，
∴∠CAE＝∠ABC+∠ACB＝2∠PAM，∠PAM∠ABC+∠APB，
∴∠ACB＝2∠APB，
故C符合题意；
∵Rt△PAM≌Rt△PAD，Rt△PCD≌Rt△PCN，
∴S△APD＝S△APM，S△CPD＝S△CPN，
∴S△APM+S△CPN＝S△APC，
故D不符合题意，
故选：C．
23．（2025春 龙胜县期中）如图，在△ABC中，∠C＝90°，BD是△ABC的角平分线．若CD＝3cm，则点D到AB的距离为（　　）
A．2cm B．3cm C．4cm D．5cm
【答案】B
【解答】解：如图，过点D作DE⊥AB于点E，
∵∠C＝90°，
∴DC⊥BC，
∵BD是△ABC的角平分线，CD＝3cm，
∴DE＝DC＝3cm，
即点D到AB的距离为3cm，
故选：B．
24．（2024春 沙坡头区校级期中）小明同学只用两把完全相同的长方形直尺就可以作出一个角的平分线．如图：一把直尺压住射线OB，另一把直尺压住射线OA并且与第一把直尺交于点P，小明说：“射线OP就是∠BOA的角平分线．”他这样做的依据是（　　）
A．在角的内部，到角的两边距离相等的点在角的平分线上
B．角平分线上的点到这个角两边的距离相等
C．三角形的三条高交于一点
D．三角形三边的垂直平分线交于一点
【答案】A
【解答】解：由题意可知，点P到射线OB的距离是直尺的宽度，点P到射线OA的距离也是直尺的宽度，
∴点P到射线OB，OA的距离相等，
∴点P在∠BOA的平分线上（在角的内部，到角的两边距离相等的点在角的平分线上）．
故选：A．
25．（2024秋 费县期中）如图，直线l1，l2，l3表示三条公路．现要建造一个中转站P，使P到三条公路的距离都相等，则中转站P可选择的点有（　　）
A．一处 B．二处 C．三处 D．四处
【答案】D
【解答】解：满足条件的有：
（1）三角形两个内角平分线的交点，共一处；
（2）三个外角两两平分线的交点，共三处．
故选：D．
26．（2024秋 石城县校级期中）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的角平分线，若CD＝3，AB＝8，则△ABD的面积是（　　）
A．12 B．24 C．36 D．无法确定
【答案】A
【解答】解：作DE⊥AB，如图所示：
∵∠C＝90°，AD是∠BAC的角平分线，CD＝3，
∴DE＝CD＝3，
∵AB＝8，
∴△ABD的面积，
故选：A．
27．（2024秋 灵宝市期中）如图，O是△ABC内一点，且O到三边AB、BC、CA的距离OF＝OD＝OE，若∠BAC＝70°，则∠BOC的度数为（　　）
A．70° B．120° C．125° D．130°
【答案】C
【解答】解：∵O到三边AB、BC、CA的距离OF＝OD＝OE，
∴点O是三角形三条角平分线的交点，
∵∠BAC＝70°，
∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣70°＝110°，
∴∠OBC+∠OCB（∠ABC+∠ACB）110°＝55°，
在△OBC中，∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝180°﹣55°＝125°．
故选：C．
28．（2024秋 官渡区校级期中）如图，将两个完全相同的直角三角板按如图所示方式放置，使得顶点C重合，∠OEC＝∠OFC＝90°，若∠AOC＝25°，则∠OCF的度数是（　　）
A．60° B．65° C．75° D．80°
【答案】B
【解答】解：由题意得：∠OEC＝∠OFC＝90°，CE＝CF，
∴OC平分∠AOB，
∴∠BOC＝∠AOC＝25°，
∴∠OCF＝90°﹣∠BOC＝65°，
故选：B．
29．（2025春 渭城区期中）如图，在△ABC中，∠A＝100°，P是△ABC内一点，过点P作PD⊥AB于点D，PE⊥BC于点E，PF⊥AC于点F，若PD＝PE＝PF，则∠BPC的度数为（　　）
A．110° B．120° C．130° D．140°
【答案】D
【解答】解：∵PD⊥AB于点D，PE⊥BC于点E，PF⊥AC于点F，PD＝PE＝PF，
∴PB平分∠ABC，PC平分∠ACB，
∴∠PBC∠ABC，∠PCB∠ACB，
∴∠BPC＝180°﹣∠PBC﹣∠PCB＝180°∠ABC∠ACB＝180°（∠ABC+∠ACB），
∵∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A，
∴∠BPC＝180°（180°﹣∠A）＝90°∠A，
∵∠A＝100°，
∴∠BPC＝90°100°＝140°．
故选：D．
30．（2024秋 渭源县校级期中）如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠C＝90°，点E为BC的中点，且AE平分∠BAD．求证：DE是∠ADC的平分线．
【答案】见试题解答内容
【解答】证明：如图，过点E作EF⊥AD于F，
∴∠B＝90°，AE平分∠BAD，
∴BE⊥AB，
∴BE＝EF．
∵E是BC的中点，
∴BE＝CE，
∴CE＝EF．
又∵∠C＝90°，
∴EC⊥DC．
∵EF⊥AD，
∴DE是∠ADC的平分线．
二．作图—基本作图（共30小题）
31．（2025春 杏花岭区校级期中）如图，已知∠AOB，点P为OA上一点，小明借助无刻度的直尺和圆规，经过点P作PM∥OB，根据尺规作图的痕迹，判断小明得出这一结论的依据是（　　）
A．两直线平行，同位角相等
B．同位角相等，两直线平行
C．内错角相等，两直线平行
D．同旁内角互补，两直线平行
【答案】B
【解答】解：∵∠APM＝∠AOB，
∴PM∥OB（同位角相等，两直线平行），
故选：B．
32．（2024秋 杭州期中）如图用尺规作“与已知角相等的角”的过程中，作出∠A′O′B′＝∠AOB的依据是（　　）
A．SAS B．ASA C．AAS D．SSS
【答案】D
【解答】解：由作图可知，OD＝OC＝O′D′＝O′C′，CD＝C′D′，
∴△DOC≌△D′O′C′（SSS），
∴∠BOA＝∠B′O′A′．
故选：D．
33．（2025春 梅江区校级期中）作△ABC的边BC上的高，下列作法中，正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解答】解：选项D中，线段AD是BC边上的高，
故选：D．
34．（2025春 南海区校级期中）用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图如下，则要说明∠AOB＝∠A′O′B′，需要证明△COD和△C'O'D'，则这两个三角形全等的依据是（　　）
A．SAS B．AAS C．SSS D．ASA
【答案】C
【解答】解：由尺规作图可知，OC＝O'C'，OD＝O'D'，CD＝C'D'，
在△COD和△C'O'D'中，
，
∴△COD≌△C'O'D'（SSS），
即这两个三角形全等的依据是SSS，
故选：C．
35．（2025春 新郑市期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，根据尺规作图的痕迹，判断以下结论错误的是（　　）
A．∠BDE＝∠BAC B．∠BAD＝∠B C．DE＝DC D．AE＝AC
【答案】B
【解答】解：根据尺规作图的痕迹可得，
∵DE可以理解成是平角∠AEB的角平分线，
∴DE⊥AB，AD是∠BAC的平分线，
∵∠C＝90°，
∴DE＝DC，∠B+∠BDE＝∠B+∠BAC＝90°，
∴∠BDE＝∠BAC，
在Rt△AED和Rt△ACD中，
，
∴Rt△AED≌Rt△ACD（HL），
∴AE＝AC，
∵DE不是AB的垂直平分线，故不能证明∠BAD＝∠B，
综上所述：A，C，D不符合题意，B符合题意，
故选：B．
36．（2024秋 东莞市校级期中）用直尺和圆规作一个角等于已知角，如图，能得出∠AOB＝∠A′O′B′的依据是（　　）
A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS
【答案】A
【解答】解：在△ODC和△O′D′C′中，
，
∴△ODC≌△O′C′D′（SSS），
∴∠AOB＝∠A′O′B′．
故选：A．
37．（2025春 顺德区校级期中）在Rt△ABC中，∠C＝90°，以A为圆心，适当长为半径画弧，交AC，AB于D，E两点，再分别以D，E为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点M．作射线AM交BC于点F，若BF＝5，BC＝9，则点F到AB的距离为（　　）
A．3 B．4 C．4.5 D．5
【答案】B
【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，过F点作FH⊥AB于H点，如图，
∵BF＝5，BC＝9，
∴FC＝4，
由作图可知：AM平分∠BAC，
∴FH＝FC＝4，
∴点F到AB的距离为4．
故选：B．
38．（2024秋 宿迁期中）请仔细观察用直尺和圆规作一个角∠A′O′B′等于已知角∠AOB的示意图，请你根据所学的图形的全等这一章的知识，说明画出∠A′O′B′＝∠AOB的依据是（　　）
A．SAS B．ASA C．SSS D．AAS
【答案】C
【解答】解：由作法易得OD＝O′D′，OC＝O′C′，CD＝C′D′，依据SSS可判定△COD≌△C'O'D'，则∠A′O′B′＝∠AOB．
故选：C．
39．（2025春 东营校级期中）如图，用尺规作出了∠NCB＝∠AOC，作图痕迹中弧FG是（　　）
A．以点C为圆心，OD为半径的弧
B．以点C为圆心，DM为半径的弧
C．以点E为圆心，OD为半径的弧
D．以点E为圆心，DM为半径的弧
【答案】D
【解答】解：根据作一个角等于已知角可得弧FG是以点E为圆心，DM为半径的弧．
故选：D．
40．（2024秋 砚山县期中）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC、AB于点M、N，再分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交边BC于点D，若CD＝10，则点D到AB的距离是（　　）
A．6 B．8 C．10 D．12
【答案】C
【解答】解：由作法得AP平分∠BAC，
∴点D到AB和AC的距离相等，
∵∠C＝90°，
∴DC⊥AC，
∴点D到AC的距离为CD的长，即点D到AC的距离为10，
∴点D到AB的距离为10．
故选：C．
41．（2024秋 津南区校级期中）如图是用直尺和圆规作已知角的平分线的示意图，则说明∠CAD＝∠DAB的依据是（　　）
A．SAS B．ASA C．AAS D．SSS
【答案】D
【解答】解：由作图过程可得：AE＝AF，DE＝DF，AD＝AD，
所以△ADF≌△ADE（SSS），
∴∠CAD＝∠DAB，
故选：D．
42．（2024秋 长沙期中）已知∠AOB，求作射线OC，使OC平分∠AOB，那么作法的合理顺序是（　　）
①作射线OC；
②在射线OA和OB上分别截取OD、OE，使OD＝OE；
③分别以D、E为圆心，大于DE的长为半径在∠AOB内作弧，两弧交于点C．
A．①②③ B．②①③ C．②③① D．③①②
【答案】C
【解答】解：根据作一个角的平分线的过程可知：
②在射线OA和OB上分别截取OD、OE，使OD＝OE；
③分别以D、E为圆心，大于DE的长为半径在∠AOB内作弧，两弧交于点C；
①作射线OC．
则射线OC平分∠AOB．
所以作法的合理顺序是②③①．
故选：C．
43．（2025春 武侯区校级期中）如图是用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图，说明∠O′＝∠O的依据是（　　）
A．SAS B．SSS C．AAS D．ASA
【答案】B
【解答】解：由作法易得OD＝O′D′，OC＝O′C′，CD＝C′D′，
在△COD和△C'O'D'中，
，
∴△COD≌△C'O'D'（SSS），
∴∠A'O'B'＝∠AOB，
故选：B．
44．（2024秋 江南区期中）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，利用尺规在BC，BA上分别截取BE，BD，使BE＝BD；分别以D，E为圆心、以大于DE的长为半径作弧，两弧在∠CBA内交于点F；作射线BF交AC于点G．若AC＝3，BC＝4，AB＝5，P为AB上一动点，则GP的最小值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【解答】解：如图，过点G作GH⊥AB于点H．
∵∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，AB＝5，
由作图过程可知：BG平分∠ABC，GC⊥BC，GH⊥AB，
∴GH＝GC，
设GH＝GC＝x，则有5 x4 x4×3，
∴x，
∴GH，
∵P为AB上一动点，
则GP的最小值为，
故选：B．
45．（2025春 江阴市期中）已知△ABC，下列尺规作图的方法中，能确定∠BAD＝∠CAD的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解答】解：选项A，作图痕迹可知，D为BC中点，不能确定∠BAD＝∠CAD，不符合题意；
选项B，作图痕迹可知，D在AB的垂直平分线上，不能确定∠BAD＝∠CAD，不符合题意；
选项C，作图痕迹可知，AD是BC边上的高，不能确定∠BAD＝∠CAD，不符合题意；
选项D，作图痕迹可知，D在∠BAC的平分线上，能确定∠BAD＝∠CAD，故本选项符合题意；
故选：D．
46．（2024秋 延平区校级期中）△ABC中，作AC边上的高，以下作法正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解答】解：由各选项图可知，C选项为作AC边上的高．
故选：C．
47．（2024秋 焦作期中）如图，在平面直角坐标系中，以点O为圆心，适当长为半径画弧，交x轴于点M，交y轴于点N，再分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在第二象限交于点P，若点P的坐标为（3a，4b+2），则a与b的数量关系为（　　）
A．3a﹣2b＝2 B．3a+2b＝﹣2 C．3a﹣4b＝2 D．3a+4b＝﹣2
【答案】D
【解答】解：分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在第二象限交于点P，
∴P点在第二象限的角平分线上，
∵点P的坐标为（3a，4b+2），
∴3a+4b+2＝0，
∴3a+4b＝﹣2．
故选：D．
48．（2025春 碑林区校级期中）利用下列尺规作图中，不一定能判定直线a平行于直线b的是（　　）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解答】解：A．根据同位角相等，两直线平行，可判定直线a平行于直线b，
故该选项正确，不符合题意；
B．根据内错角相等，两直线平行，可判定直线a平行于直线b，
故该选项正确，不符合题意；
C．根据同旁内角相等，不能判定直线a平行于直线b，
故该选项错误，符合题意；
D．根据对顶角相等和同位角相等，两直线平行，可判定直线a平行于直线b，
故该选项正确，不符合题意；
故选：C．
49．（2025春 榆中县期中）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交边AC、AB于点M、N，再分别以M、N为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交边BC于点D，若CD＝3，AB＝10，则△ABD的面积为（　　）
A．15 B．20 C．25 D．30
【答案】A
【解答】解：过点D作DH⊥AB于点H，
由条件可知AD平分∠BAC，
由条件可知DC⊥AC，
∴CD＝DH＝3，
∵AB＝10，
∴S△ABD15，
故选：A．
50．（2024秋 杭州期中）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交边AC，AB于点M、N，再分别以M，N为圆心，大于MN长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交边BC于点D，若CD＝4，AB＝25，则△ABD的面积为（　　）
A．25 B．45 C．50 D．100
【答案】C
【解答】解：如图，过点D作DH⊥AB于H．
由作图可知，AD平分∠CAB，
∵DC⊥AC，DH⊥AB，
∴DC＝DH＝4，
∴S△ABD AB DH25×4＝50，
故选：C．
51．（2024秋 武侯区校级期中）如图，点C在∠AOB的OB边上，用尺规作出了∠BCD＝∠AOB．以下是排乱的作图过程：则正确的作图顺序是（　　）
①以C为圆心，OE长为半径画，交OB于点M．
②作射线CD，则∠BCD＝∠AOB．
③以M为圆心，EF长为半径画弧，交于点D．
④以O为圆心，任意长为半径画，分别交OA，OB于点E，F．
A．①﹣②﹣③﹣④ B．③﹣②﹣④﹣① C．④﹣①﹣③﹣② D．④﹣③﹣①﹣②
【答案】C
【解答】解：根据作一个角等于已知角的过程可知：
④以O为圆心，任意长为半径画，分别交OA，OB于点E，F．
①以C为圆心，OE长为半径画，交OB于点M．
③以M为圆心，EF长为半径画弧，交于点D．
②作射线CD，则∠BCD＝∠AOB．
故选：C．
52．（2024秋 让胡路区校级期中）如图，用直尺和圆规作∠PCD＝∠AOB，作图痕迹中，弧是（　　）
A．以点C为圆心，OE为半径的弧
B．以点C为圆心，EF为半径的弧
C．以点G为圆心，OE为半径的弧
D．以点G为圆心，EF为半径的弧
【答案】D
【解答】解：∵以点O为圆心，以任意长为半径画圆，交OB，OA于点E，F，再以点C为圆心，以OE为半径画圆，交CD于点G，以点G为圆心，EF的长为半径画圆，两弧相交于点P，连接CP即可．
∴弧是以点G为圆心，EF为半径的弧．
故选：D．
53．（2024秋 廊坊期中）如图，嘉嘉用无刻度的直尺和圆规作∠A′O′B′与∠AOB的度数相等，淇淇对嘉嘉的作图步骤进行了如下总结，其中出错的步骤是（　　）
A．以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA，OB 于点C，D
B．以点O′为圆心，CD 的长为半径画弧①，交O′A′于点C′
C．以点C′为圆心，CD的长为半径画弧②，与弧①相交于点 D′
D．过点D′作射线，则∠A′O′B′＝∠AOB
【答案】B
【解答】解：A、以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA，OB 于点C，D，步骤正确，不符合题意；
B、以点O′为圆心，OC 的长为半径画弧①，交O′A′于点C′，步骤错误，符合题意；
C、以点C′为圆心，CD的长为半径画弧②，与弧①相交于点 D′，步骤正确，不符合题意；
D、过点D′作射线，则∠AOB＝∠A′O′B′．步骤正确，不符合题意；
故选：B．
54．（2024春 光明区校级期中）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以点A为圆心，任意长为半径作弧，分别交边AB，AC于点D，E，分别以点D，E为圆心，大于DE的长为半径作弧，两弧在∠BAC内相交于点M，作射线AM交BC于点F，以点A为圆心，AF的长为半径作弧，交AB于点H．若∠B＝26°，则∠BHF的度数为（　　）
A．100° B．106° C．110° D．120°
【答案】B
【解答】解：∵∠C＝90°，∠B＝26°，
∴∠BAC＝64°，
由作法得AF平分∠BAC，AH＝AF，
∴∠BAF∠BAC64°＝32°，
∵AH＝AF，
∴∠AHF＝∠AFH（180°﹣32°）＝74°，
∴∠BHF＝180°﹣∠AHF＝180°﹣74°＝106°．
故选：B．
55．（2024秋 金水区校级期中）如图，在∠MON的两边上分别截取OA，OB，使OA＝OB；分别以点A，B为圆心，OA长为半径作弧，两弧交于点C；连接AC，BC，AB，OC．若AB＝2cm，四边形OACB的面积为4cm2，则OC的长为（　　）
A．2cm B．3cm C．4cm D．5cm
【答案】C
【解答】解：由作图可知四边形OACB是菱形，
∴ OC AB＝4，
∵AB＝2cm，
∴OC＝4cm．
故选：C．
56．（2024春 深圳校级期中）如图，用尺规作出了∠NCB＝∠AOC，关于作图痕迹，下列说法错误的是（　　）
A．弧MD是以点O为圆心，任意长为半径的弧
B．弧NE是以点C为圆心，DO为半径的弧
C．弧FG是以点E为圆心，OD为半径的弧
D．弧FG是以点E为圆心，DM为半径的弧
【答案】C
【解答】解：根据作一个角等于已知角可得弧FG是以点E为圆心，DM为半径的弧．故选项C错误．
故选：C．
57．（2024秋 奉化区校级期中）用直尺和圆规作一个角等于已知角，如图，能得出∠A'O'B'＝∠AOB的依据是全等三角形判定定理中的（　　）
A．SAS B．SSS C．ASA D．AAS
【答案】B
【解答】解：由作法得OD＝OC＝OC′＝OD′，CD＝C′D′，
则可根据“SSS”可判定△OCD≌△OC′D′，
所以∠A′O′B′＝∠AOB．
故选：B．
58．（2025春 成都期中）如图，在△ABC中，BD是AC边上的高，以点A为圆心，适当长为半径画弧，交AB于点M，交AC于点N；分别以M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P；画射线AP，与BD交于点E；作EF⊥AB，垂足为点F．若EF＝1，BD＝3DE，则BE的长为　2　 ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：∵BD是AC边上的高，EF⊥AB，
∴DE＝EF＝1，
由条件可知BD＝3，
∴BE＝BD﹣DE＝2，
故答案为：2．
59．（2024秋 宁阳县期中）如图，在△ABC中，∠C＝90°，以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC，AB于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交BC于点D，若CD＝2，AB＝5，则△ABD的面积是　5　 ．
【答案】5．
【解答】解：作DE⊥AB于E，
∵∠C＝90°，
∴CD⊥AC，
由作图步骤可得AD为∠CAB的平分线，
∵DE⊥AB，
∴DE＝CD＝2，
∵AB＝5，
∴△ABD的面积．
故答案为：5．
60．（2024秋 祥云县校级期中）如图，在△ABC中，∠B＝90°，以顶点C为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC，BC于点E，F，再分别以点E，F为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线CP交AB于点D．若S△ACD＝9，AC＝6，则BD的长为　3　 ．
【答案】3．
【解答】解：如图，作DG⊥AC于G，
∵S△ACD＝9，
∴AC DG＝9，
∵AC＝6，
∴DG3，
∵∠B＝90°，
∴DB⊥CB，
∵CD平分∠ACB，DG⊥AC，
∴BD＝DG＝3，
故答案为：3．专题06 角的平分线
▉考点01 作已知角的平分线
已知 如图，已知∠AOB.
求作 求作∠AOB的平分线.
作法 如图：(1)以点0为圆心，适当长为半径作弧，交OA于点M,交OB于点N. (2)分别以点M,N为圆心，大于1/2MN的长为半径作弧，两弧在∠AOB的内部相交于点C. (3)作射线OC.射线OC即为所求.
▉考点02 角的平分线的性质
文字语言 符号语言 图示
角的平分线上的点到角两边的距离相等. 如图，∵OC是∠AOB的平分线，P是OC上一点，PD⊥0A,PE⊥OB,垂足分别为D,E, ∴PD=PE.
▉考点03 证明几何命题的一般步骤
(1)明确命题中的已知和求证；
(2)根据题意，画出图形，并用数学符号表示已知和求证；
(3)经过分析，找出由已知推出要证的结论的途径，写出证明过程.
▉考点04 角的平分线的判定
1.角的平分线的判定定理：
文字语言 符号语言 图示
角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上. 如图，∵点P为∠AOB内一点，PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别为D,E,且PD=PE,点P在∠AOB的平分线OC上.
2.角的平分线的性质定理与判定定理的关系：
点在角的平分线上（角的内部的）点到角的两边的距离相等
一．角平分线的性质（共30小题）
1．（2024秋 安定区期中）如图，OP平分∠AOB，PC⊥OA于点C，点D在OB上，若PC＝3，OD＝6，则△POD的面积为（　　）
A．3 B．6 C．9 D．18
2．（2025春 太谷区期中）如图，为了促进当地旅游发展，某地要在三条公路围城的一块三角形平地ABC上修建一个度假村．要使这个度假村到三条公路的距离相等，应该修在（　　）
A．△ABC三边中线的交点
B．△ABC三个角的平分线的交点
C．△ABC三边高线的交点
D．△ABC三边垂直平分线的交点
3．（2024秋 惠城区校级期中）如图，△ABC中，∠ABC、∠EAC的角平分线BP、AP交于点P，延长BA、BC，PM⊥BE，PN⊥BF，则下列结论中正确的个数（　　）
①CP平分∠ACF；②∠ABC+2∠APC＝180°；③∠ACB＝2∠APB；④S△PAC＝S△MAP+S△NCP．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．（2025春 郏县期中）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，BD平分∠ABC交AC于点D，点E为AB的中点，若AB＝12，CD＝3，则△DBE的面积为（　　）
A．10 B．12 C．9 D．6
5．（2024秋 梁溪区校级期中）如图所示，点O是△ABC内一点，BO平分∠ABC，OD⊥BC于点D，连接OA，若OD＝5，AB＝20，则△AOB的面积是（　　）
A．20 B．30 C．50 D．100
6．（2024秋 日照校级期中）东湖高新区为打造成“向往之城”，正建设一批精品口袋公园．如图所示，△ABC是一个正在修建的口袋公园．要在公园里修建一座凉亭H，使该凉亭到公路AB、AC的距离相等，且使得S△ABH＝S△BCH，则凉亭H是（　　）
A．∠BAC的角平分线与AC边上中线的交点
B．∠BAC的角平分线与AB边上中线的交点
C．∠ABC的角平分线与AC边上中线的交点
D．∠ABC的角平分线与BC边上中线的交点
7．（2024秋 鼓楼区校级期中）在正方形网格中，∠AOB的位置如图所示，到∠AOB两边距离相等的点应是（　　）
A．M点 B．N点 C．P点 D．Q点
8．（2024秋 朝阳区校级期中）如图，在平面直角坐标系中，以O为圆心，适当长为半径画弧，交x轴负半轴于点M，交y轴负半轴于点N，再分别以点M，N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧在第三象限交于点P．若点P的坐标为（a，b），则a与b的数量关系为（　　）
A．a+b＝0 B．a+b＞0 C．a﹣b＝0 D．a﹣b＞0
9．（2025春 牡丹区期中）如图，点P在∠AOB的平分线上，PC⊥OA于点C，∠AOB＝30°，点D在边OB上，且OD＝DP＝2．则线段PC的长度为（　　）
A．3 B．2 C．1 D．
10．（2024秋 凉州区期中）如图，AB∥CD，BP和CP分别平分∠ABC和∠DCB，AD过点P，且与AB垂直，若AD＝8，则点P到BC的距离是（　　）
A．8 B．6 C．4 D．2
11．（2025春 成华区校级期中）小明同学在学习了全等三角形的相关知识后发现，只用两把完全相同的长方形直尺就可以作出一个角的平分线．
如图：一把直尺压住射线OB，另一把直尺压住射线OA并且与第一把直尺交于点P，小明说：“射线OP就是∠BOA的角平分线．”他这样做的依据是（　　）
A．角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上
B．角平分线上的点到这个角两边的距离相等
C．三角形三条角平分线的交点到三条边的距离相等
D．以上均不正确
12．（2024秋 天山区校级期中）如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E，S△ABC＝7，DE＝2，AB＝4，则AC的长是（　　）
A．3 B．4 C．6 D．5
13．（2024秋 麻阳县期中）如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，过点O作EF∥BC交AB于E，交AC于F，过点O作OD⊥AC于D．下列四个结论：①∠BOC＝90°∠A，②∠EBO∠AEF，③∠DOC+∠OCB＝90°，④设OD＝m，AE+AF＝n，则S△AEF．其中正确的结论有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
14．（2024秋 嘉峪关校级期中）如图，射线OC是∠AOB的平分线，D为射线OC上一点，DP⊥OA于点P，PD＝3，若Q是射线OB上一点，OQ＝5，则阴影部分的面积为（　　）
A．15 B．5 C．3 D．
15．（2025春 禅城区校级期中）三条公路将A、B、C三个村庄连成一个如图的三角形区域，如果在这个区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三条公路的距离相等，那么这个集贸市场应建的位置是（　　）
A．三条高线的交点
B．三条中线的交点
C．三条角平分线的交点
D．三边垂直平分线的交点
16．（2024秋 下城区期中）如图，AD是△ABC中∠BAC的平分线，DE⊥AB，交AB于点E，DF⊥AC，交AC于点F，若DE＝2，AC＝4，则△ADC的面积是（　　）
A．4 B．6 C．8 D．10
17．（2024春 东明县期中）如图，BD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E．△ABC的面积为12，AB＝7，DE＝2，则BC的长为（　　）
A．7 B．6 C．5 D．4
18．（2024秋 永善县期中）如图，在△ABC中，∠ABC和∠BAC的角平分线交于点O，AB＝6cm，BC＝9cm，△ABO的面积为9cm2，则△BOC的面积为（　　）
A．13.5cm2 B．18cm2 C．24cm2 D．27cm2
19．（2024秋 巴南区校级期中）如图，AD是△ABC中∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，S△ABC＝7，DE＝2，AB＝4，AC的长是（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
20．（2024秋 周村区期中）如图，AD是△ABC中∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，AB＝8，DE＝4，AC＝6，则S△ABC＝（　　）
A．14 B．26 C．56 D．28
21．（2024秋 云阳县期中）如图．BD平分∠ABC交AC于点D．DE⊥BC于点E，若AB＝4，BC＝5，S△ABC＝9，则DE的长为（　　）
A．2 B． C．4 D．3
22．（2024秋 站前区校级期中）如图，△ABC中，∠ABC、∠EAC的角平分线BP、AP交于点P，延长BA、BC，PM⊥BE，PN⊥BF，则下列结论中错误的是（　　）
A．CP平分∠ACF B．∠ABC+2∠APC＝180°
C．∠ACB＝∠APB D．S△PAC＝S△MAP+S△NCP
23．（2025春 龙胜县期中）如图，在△ABC中，∠C＝90°，BD是△ABC的角平分线．若CD＝3cm，则点D到AB的距离为（　　）
A．2cm B．3cm C．4cm D．5cm
24．（2024春 沙坡头区校级期中）小明同学只用两把完全相同的长方形直尺就可以作出一个角的平分线．如图：一把直尺压住射线OB，另一把直尺压住射线OA并且与第一把直尺交于点P，小明说：“射线OP就是∠BOA的角平分线．”他这样做的依据是（　　）
A．在角的内部，到角的两边距离相等的点在角的平分线上
B．角平分线上的点到这个角两边的距离相等
C．三角形的三条高交于一点
D．三角形三边的垂直平分线交于一点
25．（2024秋 费县期中）如图，直线l1，l2，l3表示三条公路．现要建造一个中转站P，使P到三条公路的距离都相等，则中转站P可选择的点有（　　）
A．一处 B．二处 C．三处 D．四处
26．（2024秋 石城县校级期中）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的角平分线，若CD＝3，AB＝8，则△ABD的面积是（　　）
A．12 B．24 C．36 D．无法确定
27．（2024秋 灵宝市期中）如图，O是△ABC内一点，且O到三边AB、BC、CA的距离OF＝OD＝OE，若∠BAC＝70°，则∠BOC的度数为（　　）
A．70° B．120° C．125° D．130°
28．（2024秋 官渡区校级期中）如图，将两个完全相同的直角三角板按如图所示方式放置，使得顶点C重合，∠OEC＝∠OFC＝90°，若∠AOC＝25°，则∠OCF的度数是（　　）
A．60° B．65° C．75° D．80°
29．（2025春 渭城区期中）如图，在△ABC中，∠A＝100°，P是△ABC内一点，过点P作PD⊥AB于点D，PE⊥BC于点E，PF⊥AC于点F，若PD＝PE＝PF，则∠BPC的度数为（　　）
A．110° B．120° C．130° D．140°
30．（2024秋 渭源县校级期中）如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠C＝90°，点E为BC的中点，且AE平分∠BAD．求证：DE是∠ADC的平分线．
二．作图—基本作图（共30小题）
31．（2025春 杏花岭区校级期中）如图，已知∠AOB，点P为OA上一点，小明借助无刻度的直尺和圆规，经过点P作PM∥OB，根据尺规作图的痕迹，判断小明得出这一结论的依据是（　　）
A．两直线平行，同位角相等
B．同位角相等，两直线平行
C．内错角相等，两直线平行
D．同旁内角互补，两直线平行
32．（2024秋 杭州期中）如图用尺规作“与已知角相等的角”的过程中，作出∠A′O′B′＝∠AOB的依据是（　　）
A．SAS B．ASA C．AAS D．SSS
33．（2025春 梅江区校级期中）作△ABC的边BC上的高，下列作法中，正确的是（　　）
A． B．
C． D．
34．（2025春 南海区校级期中）用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图如下，则要说明∠AOB＝∠A′O′B′，需要证明△COD和△C'O'D'，则这两个三角形全等的依据是（　　）
A．SAS B．AAS C．SSS D．ASA
35．（2025春 新郑市期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，根据尺规作图的痕迹，判断以下结论错误的是（　　）
A．∠BDE＝∠BAC B．∠BAD＝∠B C．DE＝DC D．AE＝AC
36．（2024秋 东莞市校级期中）用直尺和圆规作一个角等于已知角，如图，能得出∠AOB＝∠A′O′B′的依据是（　　）
A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS
37．（2025春 顺德区校级期中）在Rt△ABC中，∠C＝90°，以A为圆心，适当长为半径画弧，交AC，AB于D，E两点，再分别以D，E为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点M．作射线AM交BC于点F，若BF＝5，BC＝9，则点F到AB的距离为（　　）
A．3 B．4 C．4.5 D．5
38．（2024秋 宿迁期中）请仔细观察用直尺和圆规作一个角∠A′O′B′等于已知角∠AOB的示意图，请你根据所学的图形的全等这一章的知识，说明画出∠A′O′B′＝∠AOB的依据是（　　）
A．SAS B．ASA C．SSS D．AAS
39．（2025春 东营校级期中）如图，用尺规作出了∠NCB＝∠AOC，作图痕迹中弧FG是（　　）
A．以点C为圆心，OD为半径的弧
B．以点C为圆心，DM为半径的弧
C．以点E为圆心，OD为半径的弧
D．以点E为圆心，DM为半径的弧
40．（2024秋 砚山县期中）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC、AB于点M、N，再分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交边BC于点D，若CD＝10，则点D到AB的距离是（　　）
A．6 B．8 C．10 D．12
41．（2024秋 津南区校级期中）如图是用直尺和圆规作已知角的平分线的示意图，则说明∠CAD＝∠DAB的依据是（　　）
A．SAS B．ASA C．AAS D．SSS
42．（2024秋 长沙期中）已知∠AOB，求作射线OC，使OC平分∠AOB，那么作法的合理顺序是（　　）
①作射线OC；
②在射线OA和OB上分别截取OD、OE，使OD＝OE；
③分别以D、E为圆心，大于DE的长为半径在∠AOB内作弧，两弧交于点C．
A．①②③ B．②①③ C．②③① D．③①②
43．（2025春 武侯区校级期中）如图是用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图，说明∠O′＝∠O的依据是（　　）
A．SAS B．SSS C．AAS D．ASA
44．（2024秋 江南区期中）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，利用尺规在BC，BA上分别截取BE，BD，使BE＝BD；分别以D，E为圆心、以大于DE的长为半径作弧，两弧在∠CBA内交于点F；作射线BF交AC于点G．若AC＝3，BC＝4，AB＝5，P为AB上一动点，则GP的最小值为（　　）
A． B． C． D．
45．（2025春 江阴市期中）已知△ABC，下列尺规作图的方法中，能确定∠BAD＝∠CAD的是（　　）
A． B．
C． D．
46．（2024秋 延平区校级期中）△ABC中，作AC边上的高，以下作法正确的是（　　）
A． B．
C． D．
47．（2024秋 焦作期中）如图，在平面直角坐标系中，以点O为圆心，适当长为半径画弧，交x轴于点M，交y轴于点N，再分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在第二象限交于点P，若点P的坐标为（3a，4b+2），则a与b的数量关系为（　　）
A．3a﹣2b＝2 B．3a+2b＝﹣2 C．3a﹣4b＝2 D．3a+4b＝﹣2
48．（2025春 碑林区校级期中）利用下列尺规作图中，不一定能判定直线a平行于直线b的是（　　）
A．
B．
C．
D．
49．（2025春 榆中县期中）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交边AC、AB于点M、N，再分别以M、N为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交边BC于点D，若CD＝3，AB＝10，则△ABD的面积为（　　）
A．15 B．20 C．25 D．30
50．（2024秋 杭州期中）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交边AC，AB于点M、N，再分别以M，N为圆心，大于MN长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交边BC于点D，若CD＝4，AB＝25，则△ABD的面积为（　　）
A．25 B．45 C．50 D．100
51．（2024秋 武侯区校级期中）如图，点C在∠AOB的OB边上，用尺规作出了∠BCD＝∠AOB．以下是排乱的作图过程：则正确的作图顺序是（　　）
①以C为圆心，OE长为半径画，交OB于点M．
②作射线CD，则∠BCD＝∠AOB．
③以M为圆心，EF长为半径画弧，交于点D．
④以O为圆心，任意长为半径画，分别交OA，OB于点E，F．
A．①﹣②﹣③﹣④ B．③﹣②﹣④﹣① C．④﹣①﹣③﹣② D．④﹣③﹣①﹣②
52．（2024秋 让胡路区校级期中）如图，用直尺和圆规作∠PCD＝∠AOB，作图痕迹中，弧是（　　）
A．以点C为圆心，OE为半径的弧
B．以点C为圆心，EF为半径的弧
C．以点G为圆心，OE为半径的弧
D．以点G为圆心，EF为半径的弧
53．（2024秋 廊坊期中）如图，嘉嘉用无刻度的直尺和圆规作∠A′O′B′与∠AOB的度数相等，淇淇对嘉嘉的作图步骤进行了如下总结，其中出错的步骤是（　　）
A．以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA，OB 于点C，D
B．以点O′为圆心，CD 的长为半径画弧①，交O′A′于点C′
C．以点C′为圆心，CD的长为半径画弧②，与弧①相交于点 D′
D．过点D′作射线，则∠A′O′B′＝∠AOB
54．（2024春 光明区校级期中）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以点A为圆心，任意长为半径作弧，分别交边AB，AC于点D，E，分别以点D，E为圆心，大于DE的长为半径作弧，两弧在∠BAC内相交于点M，作射线AM交BC于点F，以点A为圆心，AF的长为半径作弧，交AB于点H．若∠B＝26°，则∠BHF的度数为（　　）
A．100° B．106° C．110° D．120°
55．（2024秋 金水区校级期中）如图，在∠MON的两边上分别截取OA，OB，使OA＝OB；分别以点A，B为圆心，OA长为半径作弧，两弧交于点C；连接AC，BC，AB，OC．若AB＝2cm，四边形OACB的面积为4cm2，则OC的长为（　　）
A．2cm B．3cm C．4cm D．5cm
56．（2024春 深圳校级期中）如图，用尺规作出了∠NCB＝∠AOC，关于作图痕迹，下列说法错误的是（　　）
A．弧MD是以点O为圆心，任意长为半径的弧
B．弧NE是以点C为圆心，DO为半径的弧
C．弧FG是以点E为圆心，OD为半径的弧
D．弧FG是以点E为圆心，DM为半径的弧
57．（2024秋 奉化区校级期中）用直尺和圆规作一个角等于已知角，如图，能得出∠A'O'B'＝∠AOB的依据是全等三角形判定定理中的（　　）
A．SAS B．SSS C．ASA D．AAS
58．（2025春 成都期中）如图，在△ABC中，BD是AC边上的高，以点A为圆心，适当长为半径画弧，交AB于点M，交AC于点N；分别以M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P；画射线AP，与BD交于点E；作EF⊥AB，垂足为点F．若EF＝1，BD＝3DE，则BE的长为　 　 ．
59．（2024秋 宁阳县期中）如图，在△ABC中，∠C＝90°，以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC，AB于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交BC于点D，若CD＝2，AB＝5，则△ABD的面积是　 　 ．
60．（2024秋 祥云县校级期中）如图，在△ABC中，∠B＝90°，以顶点C为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC，BC于点E，F，再分别以点E，F为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线CP交AB于点D．若S△ACD＝9，AC＝6，则BD的长为　 　 ．

展开更多......

收起↑