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专题07 图形的轴对称
▉考点01 轴对称图形
1.轴对称图形：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫作轴对称图形，这条直线就是它的对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫作对称点.这时，也说这个图形关于这条直线对称.
2.常见的轴对称图形及它们的对称轴
名称 图形及其对称轴 对称轴 对称轴的条数
角 角平分线所在直线 1
等腰三角形 底边上的高(顶角平分线、底边上的中线)所在直线 1
等边三角形 各边上的高(内角平分线、各边上的中线)所在直线 3
等腰梯形 上、下底的中点所在直线 1
长方形 对边中点所在直线 2
正方形 对边中点所在直线和两条对角线所在直线 4
圆 过圆心的每一条直线 无数条
▉考点02 轴对称
1.轴对称：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线成轴对称，也称这两个图形关于这条直线对称.同样地，这条直线叫作对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫作对称点.
2.轴对称图形和轴对称的区别与联系
轴对称图形 轴对称
图示
区别 对象 一个图形. 两个图形.
意义 一个形状特殊的图形. 两个图形之间的位置关系.
对称轴的 数量 一条或多条. 只有一条.
对称轴的 位置 一定经过这个图形上的一些点. 可能不经过这两个图形上的任一点.
联系 (1)都能沿某条直线折叠后互相重合； (2)把成轴对称的两个图形看成一个整体，它就是一个轴对称图形.把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，这两个图形关于这条轴对称.
▉考点03 线段的垂直平分线
1.线段的垂直平分线的定义
文字语言 符号语言 图示
经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫作这条线段的垂直平分线. 如图，∵OA=OB,直线l⊥AB,∴直线l是线段AB的垂直平分线.
2.线段的垂直平分线的性质及点在垂直平分线上的判定
性质 点在垂直平分线上的判定 图示
文字 语言 线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等. 与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上.
符号 语言 如图，∵直线l⊥AB,垂足为C,AC=CB,点P在l上，∴PA=PB. 如图，已知线段AB,∵PA=PB,∴点P在线段AB的垂直平分线上.
应用 证明线段相等. 确定点在线段的垂直平分线上，然后根据“两点确定一条直线”,可以判定线段的垂直平分线.
▉考点04 轴对称和轴对称图形的性质
性质 图示
轴对称 (1)成轴对称的两个图形全等.如图，△ABC≌△A'B'C'. (2)成轴对称的两个图形中，连接对称点的线段被对称轴垂直平分.如图，对称轴MN垂直平分线段AA′,BB′,CC'.
轴对称图形 连接对称点的线段被对称轴垂直平分.如图，对称轴l垂直平分线段AA',BB'.
▉考点05 互逆命题和互逆定理
定义 说明
互逆命题 如果两个命题的题设、结论正好相反，那么这两个命题叫作互逆命题.如果把其中一个叫作原命题，那么另一个叫作它的逆命题. (1)一般地，原命题成立时，它的逆命题可能成立，也可能不成立. (2)命题有真有假，但定理都是真命题. (3)每个命题都有逆命题，但定理不一定有逆定理.
互逆定理 如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理叫作互逆定理，其中一个定理叫作另一个定理的逆定理.
▉考点06 垂直平分线和垂线的尺规作图
问题提出
无论是成轴对称的两个图形，还是轴对称图形，其对称轴都是其任意一对对称点所连线段的垂直平分线，如何作出轴对称图形或成轴对称的两个图形的对称轴
【问题探究】
作对称轴，即作线段的垂直平分线.由于“两点确定一条直线”,所以要作线段的垂直平分线，关键是确定所求作的垂直平分线上的两个点.根据与线段两端距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，可以作出这样的两个点.
作线段的垂直平分线：已知：线段AB(图15.1-5).
求作：线段AB的垂直平分线.
作法：
步骤 图示 说明
(1)分别以点A和点B为圆心，大于1/2AB的长为半径作弧，两弧相交于C,D两点. 得CA=CB,∴点C在线段AB的垂直平分线上； 得DA=DB,∴点D在线段AB的垂直平分线上.
(2)作直线CD.CD就是所求作的直线. 得CD垂直平分线段AB.
【问题解决】
作轴对称图形或成轴对称的两个图形的对称轴：
步骤
(1)找：找到轴对称图形或成轴对称的两个图形的任意一对对称点.
(2)作：作对称点所连线段的垂直平分线.
这条垂直平分线就是该轴对称图形或成轴对称的两个图形的对称轴.
一．生活中的轴对称现象（共12小题）
1．（2024秋 淄川区期中）视力表中的字母“E”有各种不同的摆放形式，下面每种组合的两个字母“E”不能关于某条直线成轴对称的是（　　）
A． B．
C． D．
2．（2025春 厦门校级期中）一个台球桌面如图所示，一个球在桌面上的点A滚向桌边的PQ，碰着PQ上的点B后便反弹而滚向桌边RS，碰着RS上的点C便反弹而滚向桌边PQ上的点D，如此运动，球经过D点反弹到RQ上的点E，经过E点反弹到RS上的点F．如果PQ∥RS，RQ⊥PQ，SP⊥QP，AB、BC、CD、DE、EF都是线段，且∠ABC的平分线BN⊥PQ，∠BCD的平分线CM⊥RS，∠CDE的平分线DG⊥PQ，∠DEF的平分线EH⊥QR，且∠ABP＝65°，那么∠REF的度数是（　　）
A．20° B．25° C．30° D．35°
3．（2024秋 文登区期中）如图，桌面上有M、N两球，若要将M球射向桌面的任意一边，使一次反弹后击中N球，则4个点中，可以瞄准的是（　　）
A．点A B．点B C．点C D．点D
4．（2024秋 罗山县期中）如图是一个经过改造的规格为3×5的台球桌面示意图，图中四个角上的阴影部分分别表示四个入球孔，如果一个球按图中所示的方向被击出（球可以经过台球边缘多次反弹），那么球最后将落入的球袋是（　　）
A．1号袋 B．2号袋 C．3号袋 D．4号袋
5．（2024秋 襄城县期中）下列四个图案中，具有一个共有性质．则下面四个数字中，满足上述性质的一个是（　　）
A．6 B．7 C．8 D．9
6．（2025春 如皋市期中）一张台球桌的桌面如图所示，一个球从桌面的点A滚向桌边PQ，碰着PQ上的点B后便反弹而滚向桌边RS，碰着RS上的点C便反弹而滚入点Q，一共反弹两次．已知AB，BC，CQ都是直线，PQ∥RS，且∠ABC的平分线BN垂直于PQ，∠BCQ的平分线CM垂直于RS，若∠CQR＝33°，则∠ABP的度数为 　 　 ．
7．（2025春 福州期中）一张台球桌的桌面如图所示，一个球从图示方向击出，经过多次反弹最终落入2号袋．在反弹过程中，球滚动的路线和击出方向平行的次数是　 　 次．
8．（2025春 阜宁县期中）如图，在长方形ABCD中，一发光电子开始置于AB边的点P处，并设定此时为发光电子第一次与长方形的边碰撞，将发光电子沿着PR方向发射，碰撞到长方形的边时均反射，每次反射的反射角和入射角都等于45°，若发光电子与长方形的边碰撞次数为2025次时，则它与AB边的碰撞次数是 　 　 ．
9．（2024秋 苏州期中）有一个英语单词，其四个字母都关于直线l对称，如图是该单词各字母的一部分，请写出补全后的单词所指的物品 　 　 ．
10．（2024秋 集贤县期中）如图是一个经过改造的台球桌面示意图（该图由相同的小正方形组成，图中四个角上的阴影部分分别表示四个入球孔．如果一个球按图中所示的方向被击出（球可以经过多次反射），那么该球最后将落入 　 　 号球袋．
11．（2024秋 盐都区期中）如图所示，有一个英语单词，四个字母都关于直线l对称，请依据轴对称的知识，写出这个单词所指的物品 　 　 ．
12．（2024秋 陵城区期中）如图，桌球的桌面上有M，N两个球，若要将M球射向桌面的一边，反弹一次后击中N球，则A，B，C，D，4个点中，可以反弹击中N球的是 　 　 点．
二．轴对称的性质（共12小题）
13．（2024秋 红花岗区校级期中）如图所示是三位同学的折纸示意图，则AD依次是△ABC 的（　　）
A．中线、角平分线、高 B．高、中线、角平分线
C．角平分线、高、中线 D．角平分线、中线、高
14．（2025春 泉州期中）如图，△ABC与△A'B'C′关于直线l对称，∠B＝35°，∠C'＝50°，则∠A＝（　　）
A．90° B．85° C．95° D．105°
15．（2025春 淮安区校级期中）如图，在2×2的方格纸中有一个以格点为顶点的△ABC，则与△ABC成轴对称且以格点为顶点三角形共有（　　）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
16．（2024秋 南京期中）桌面上有A，B两个球，若要将B球射向桌面任意一边，使一次反弹后击中A球，则如图所示4个点中，可以瞄准的点是（　　）
A．D B．E C．F D．G
17．（2024秋 西宁期中）如图，若△ABC与△A1B1C1关于直线MN对称，BB1交MN于点O，则下列说法不一定正确的是（　　）
A．AC＝A1C1 B．BO＝B1O C．CC1⊥MN D．AB∥B1C1
18．（2024秋 鄞州区校级期中）如图为一张锐角三角形纸片ABC，小明想要通过折纸的方式折出如下线段：①BC边上的中线AD；②∠A的平分线AE；③BC边上的高AF．根据所学知识与相关活动经验可知：上述三条线中，能够通过折纸折出的有（　　）
A．①②③ B．①② C．①③ D．②③
19．（2025春 长汀县期中）折纸是一种以纸张折成各种不同形状的艺术活动，折纸与自然科学结合在一起，不仅成为建筑学院的教具，还发展出了折纸几何学成为现代几何学的一个分支．按如图所示方法折纸，则下列说法不正确的是（　　）
A．∠1与∠3互余 B．∠2＝90°
C．AE平分∠BEF D．∠1与∠AEC互补
20．（2024秋 晋中期中）如图，用放大镜将平遥古城旅游图标放大，则放大前后两个图形之间属于图形的（　　）
A．平移 B．轴对称 C．相似 D．旋转
21．（2025春 大丰区期中）如图，△ABC与△A′B′C′关于直线MN对称，P为MN上任一点（A、P、A′不共线），下列结论中，错误的是（　　）
A．△AA′P是等腰三角形
B．MN垂直平分AA′、CC′
C．△ABC与△A′B′C′面积相等
D．直线AB，A′B′的交点不一定在直线MN上
22．（2024秋 海沧区校级期中）如图，若△ABC与△A′B′C′关于直线MN对称，BB′交MN于点O，则下列说法不一定正确的是（　　）
A．AC＝A′C′ B．BO＝B′O C．AA′⊥MN D．AB∥B′C′
23．（2024秋 龙口市期中）如图，AB＝AC，点B关于AD的对称点E恰好落在CD上，∠BAC＝124°，AF为△ACE中CE边上的中线，则∠ADB的度数为（　　）
A．24° B．28° C．30° D．38°
24．（2025春 江阴市期中）如图，AD所在直线是△ABC的对称轴，点E，F是AD上的两点，若BD＝3，AD＝5，则图中阴影部分的面积是（　　）
A．15 B．7.5 C．6 D．4.5
三．轴对称图形（共12小题）
25．（2025春 泗洪县期中）围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有四千多年的历史，下列由黑白棋子摆成的图案是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
26．（2025春 湖南校级期中）在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
27．（2024秋 和平区校级期中）下列手机中的图标是轴对称图形的是（　　）
A．
B．
C．
D．
28．（2024秋 莆田校级期中）汉字是中华文明的标志，从公元前16世纪殷商后期的被认为是汉字的第一种形式的甲骨文到今天，产生了金文、小篆、隶书、楷书、草书、行书等多种字体，每种字体都有着各自鲜明的艺术特征．下面的小篆体字是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
29．（2024秋 丹徒区期中）数学在建筑美学中扮演着重要的角色，下列图形中是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
30．（2024春 琼海校级期中）在“珍爱生命，远离毒品”的禁毒标语中，下列文字是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
31．（2024秋 淄博期中）下面四幅作品分别代表二十四节气中的“立春”、“芒种”、“白露”、“大雪”，其中是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
32．（2024秋 浙江期中）下列分别表示“节水”、“节能”、“回收”、“绿色食品”含义的四个标志的图形中，是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
33．（2024秋 临夏县校级期中）下列交通标志图形中，轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
34．（2024秋 砚山县期中）以下是清华大学、北京大学、浙江大学、中国人民大学四个大学的校徽，其中是轴对称图形的是（　　）
A．
B．
C．
D．
35．（2024秋 临海市校级期中）以下图形是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
36．（2024秋 新昌县校级期中）下列运动图标中，是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
四．线段垂直平分线的性质（共12小题）
37．（2024秋 射阳县期中）如图，AC＝AD，BC＝BD，下列结论一定正确的是（　　）
A．CD平分∠ACB B．CD垂直平分AB
C．AB垂直平分CD D．AB与CD互相垂直平分
38．（2024秋 如皋市期中）如图，DE⊥BC，BE＝EC，且AB＝5，AC＝8，则△ABD的周长为（　　）
A．21 B．18 C．13 D．9
39．（2024秋 凤台县期中）如图，在△ABC中，AB，AC的垂直平分线l1，l2相交于点O，若∠BAC＝80°，则∠OBC的度数是（　　）
A．15° B．20° C．10° D．25°
40．（2025春 漳州期中）在△ABC中，AB的垂直平分线分别交AB，BC于点M，P，AC的垂直平分线分别交AC，BC于点N，Q．若BC＝10，QP＝2，则△AQP的周长为（　　）
A．8或14 B．12或10 C．8或10 D．10或14
41．（2025春 成都期中）如图，在△ABC中，D为BC边上的一点，AC＝AD，EF为线段BD的垂直平分线，若AB＝9，AC＝7，则△ADE的周长为（　　）
A．22 B．20 C．18 D．16
42．（2024秋 新会区校级期中）如图，是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭，要使凉亭到草坪三个顶点的距离相等，凉亭应选的位置是（　　）
A．△ABC的三条中线的交点
B．△ABC三条角平分线的交点
C．△ABC三边的垂直平分线的交点
D．△ABC三条高所在直线的交点
43．（2025春 揭阳校级期中）如图，P为△ABC内一点，过点P的线段MN分别交AB、BC于点M、N，且M、N分别在PA、PC的中垂线上．若∠ABC＝80°，则∠APC的度数为（　　）
A．120° B．125° C．130° D．135°
44．（2024秋 新昌县校级期中）如图，在△ABC中，DE是BC的垂直平分线．若AB＝5，AC＝8，则△ABD的周长是（　　）
A．13 B．5 C．8 D．26
45．（2025春 龙凤区期中）如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AC＝6cm，且△ABD的周长为13cm，则△ABC的周长为（　　）
A．13cm B．19cm C．10cm D．16cm
46．（2024秋 泸县校级期中）如图，在△ABC中，边AB的垂直平分线分别交AC于点D，交AB于点E，若AE＝3，△BCD的周长为8，则△ABC的周长为（　　）
A．8 B．11 C．14 D．18
47．（2024秋 平舆县校级期中）如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，垂足为E，AE＝3cm，△ABD的周长为12cm，则△ABC的周长为（　　）
A．15cm B．16cm C．17cm D．18cm
48．（2024秋 定陶区校级期中）如图，在△ABC中，∠A＝105°，AC的垂直平分线l交BC于点M，AB+BM＝BC，则∠B的度数为（　　）
A．45° B．50° C．55° D．60°
五．作图—基本作图（共12小题）
49．（2025春 杏花岭区校级期中）如图，已知∠AOB，点P为OA上一点，小明借助无刻度的直尺和圆规，经过点P作PM∥OB，根据尺规作图的痕迹，判断小明得出这一结论的依据是（　　）
A．两直线平行，同位角相等
B．同位角相等，两直线平行
C．内错角相等，两直线平行
D．同旁内角互补，两直线平行
50．（2024秋 杭州期中）如图用尺规作“与已知角相等的角”的过程中，作出∠A′O′B′＝∠AOB的依据是（　　）
A．SAS B．ASA C．AAS D．SSS
51．（2025春 梅江区校级期中）作△ABC的边BC上的高，下列作法中，正确的是（　　）
A． B．
C． D．
52．（2025春 南海区校级期中）用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图如下，则要说明∠AOB＝∠A′O′B′，需要证明△COD和△C'O'D'，则这两个三角形全等的依据是（　　）
A．SAS B．AAS C．SSS D．ASA
53．（2025春 新郑市期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，根据尺规作图的痕迹，判断以下结论错误的是（　　）
A．∠BDE＝∠BAC B．∠BAD＝∠B C．DE＝DC D．AE＝AC
54．（2024秋 东莞市校级期中）用直尺和圆规作一个角等于已知角，如图，能得出∠AOB＝∠A′O′B′的依据是（　　）
A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS
55．（2025春 顺德区校级期中）在Rt△ABC中，∠C＝90°，以A为圆心，适当长为半径画弧，交AC，AB于D，E两点，再分别以D，E为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点M．作射线AM交BC于点F，若BF＝5，BC＝9，则点F到AB的距离为（　　）
A．3 B．4 C．4.5 D．5
56．（2024秋 宿迁期中）请仔细观察用直尺和圆规作一个角∠A′O′B′等于已知角∠AOB的示意图，请你根据所学的图形的全等这一章的知识，说明画出∠A′O′B′＝∠AOB的依据是（　　）
A．SAS B．ASA C．SSS D．AAS
57．（2025春 成都期中）如图，在△ABC中，BD是AC边上的高，以点A为圆心，适当长为半径画弧，交AB于点M，交AC于点N；分别以M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P；画射线AP，与BD交于点E；作EF⊥AB，垂足为点F．若EF＝1，BD＝3DE，则BE的长为　 　 ．
58．（2024秋 宁阳县期中）如图，在△ABC中，∠C＝90°，以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC，AB于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交BC于点D，若CD＝2，AB＝5，则△ABD的面积是　 　 ．
59．（2024秋 祥云县校级期中）如图，在△ABC中，∠B＝90°，以顶点C为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC，BC于点E，F，再分别以点E，F为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线CP交AB于点D．若S△ACD＝9，AC＝6，则BD的长为　 　 ．
60．（2024春 长清区期中）如图，∠DAE＝100°，∠EAB＝65°，根据图中尺规作图的痕迹，可知∠ABC的度数为 　 　 ．专题07 图形的轴对称
▉考点01 轴对称图形
1.轴对称图形：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫作轴对称图形，这条直线就是它的对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫作对称点.这时，也说这个图形关于这条直线对称.
2.常见的轴对称图形及它们的对称轴
名称 图形及其对称轴 对称轴 对称轴的条数
角 角平分线所在直线 1
等腰三角形 底边上的高(顶角平分线、底边上的中线)所在直线 1
等边三角形 各边上的高(内角平分线、各边上的中线)所在直线 3
等腰梯形 上、下底的中点所在直线 1
长方形 对边中点所在直线 2
正方形 对边中点所在直线和两条对角线所在直线 4
圆 过圆心的每一条直线 无数条
▉考点02 轴对称
1.轴对称：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线成轴对称，也称这两个图形关于这条直线对称.同样地，这条直线叫作对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫作对称点.
2.轴对称图形和轴对称的区别与联系
轴对称图形 轴对称
图示
区别 对象 一个图形. 两个图形.
意义 一个形状特殊的图形. 两个图形之间的位置关系.
对称轴的 数量 一条或多条. 只有一条.
对称轴的 位置 一定经过这个图形上的一些点. 可能不经过这两个图形上的任一点.
联系 (1)都能沿某条直线折叠后互相重合； (2)把成轴对称的两个图形看成一个整体，它就是一个轴对称图形.把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，这两个图形关于这条轴对称.
▉考点03 线段的垂直平分线
1.线段的垂直平分线的定义
文字语言 符号语言 图示
经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫作这条线段的垂直平分线. 如图，∵OA=OB,直线l⊥AB,∴直线l是线段AB的垂直平分线.
2.线段的垂直平分线的性质及点在垂直平分线上的判定
性质 点在垂直平分线上的判定 图示
文字 语言 线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等. 与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上.
符号 语言 如图，∵直线l⊥AB,垂足为C,AC=CB,点P在l上，∴PA=PB. 如图，已知线段AB,∵PA=PB,∴点P在线段AB的垂直平分线上.
应用 证明线段相等. 确定点在线段的垂直平分线上，然后根据“两点确定一条直线”,可以判定线段的垂直平分线.
▉考点04 轴对称和轴对称图形的性质
性质 图示
轴对称 (1)成轴对称的两个图形全等.如图，△ABC≌△A'B'C'. (2)成轴对称的两个图形中，连接对称点的线段被对称轴垂直平分.如图，对称轴MN垂直平分线段AA′,BB′,CC'.
轴对称图形 连接对称点的线段被对称轴垂直平分.如图，对称轴l垂直平分线段AA',BB'.
▉考点05 互逆命题和互逆定理
定义 说明
互逆命题 如果两个命题的题设、结论正好相反，那么这两个命题叫作互逆命题.如果把其中一个叫作原命题，那么另一个叫作它的逆命题. (1)一般地，原命题成立时，它的逆命题可能成立，也可能不成立. (2)命题有真有假，但定理都是真命题. (3)每个命题都有逆命题，但定理不一定有逆定理.
互逆定理 如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理叫作互逆定理，其中一个定理叫作另一个定理的逆定理.
▉考点06 垂直平分线和垂线的尺规作图
问题提出
无论是成轴对称的两个图形，还是轴对称图形，其对称轴都是其任意一对对称点所连线段的垂直平分线，如何作出轴对称图形或成轴对称的两个图形的对称轴
【问题探究】
作对称轴，即作线段的垂直平分线.由于“两点确定一条直线”,所以要作线段的垂直平分线，关键是确定所求作的垂直平分线上的两个点.根据与线段两端距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，可以作出这样的两个点.
作线段的垂直平分线：已知：线段AB(图15.1-5).
求作：线段AB的垂直平分线.
作法：
步骤 图示 说明
(1)分别以点A和点B为圆心，大于1/2AB的长为半径作弧，两弧相交于C,D两点. 得CA=CB,∴点C在线段AB的垂直平分线上； 得DA=DB,∴点D在线段AB的垂直平分线上.
(2)作直线CD.CD就是所求作的直线. 得CD垂直平分线段AB.
【问题解决】
作轴对称图形或成轴对称的两个图形的对称轴：
步骤
(1)找：找到轴对称图形或成轴对称的两个图形的任意一对对称点.
(2)作：作对称点所连线段的垂直平分线.
这条垂直平分线就是该轴对称图形或成轴对称的两个图形的对称轴.
一．生活中的轴对称现象（共12小题）
1．（2024秋 淄川区期中）视力表中的字母“E”有各种不同的摆放形式，下面每种组合的两个字母“E”不能关于某条直线成轴对称的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解答】解：A，B，D选项中，两个字母“E”关于某条直线成轴对称，而C选项中，两个字母“E”不能沿着直线翻折互相重合．
故选：C．
2．（2025春 厦门校级期中）一个台球桌面如图所示，一个球在桌面上的点A滚向桌边的PQ，碰着PQ上的点B后便反弹而滚向桌边RS，碰着RS上的点C便反弹而滚向桌边PQ上的点D，如此运动，球经过D点反弹到RQ上的点E，经过E点反弹到RS上的点F．如果PQ∥RS，RQ⊥PQ，SP⊥QP，AB、BC、CD、DE、EF都是线段，且∠ABC的平分线BN⊥PQ，∠BCD的平分线CM⊥RS，∠CDE的平分线DG⊥PQ，∠DEF的平分线EH⊥QR，且∠ABP＝65°，那么∠REF的度数是（　　）
A．20° B．25° C．30° D．35°
【答案】B
【解答】解：∵RQ⊥PQ，SP⊥QP，
∴RQ∥SP，∠DQE＝90°，
∵BN⊥PQ，CM⊥RS，DG⊥PQ，
∴BN∥CM∥DG，
∵BN平分∠ABC，
∴∠ABN＝∠CBN，
∵∠PBN＝∠QBN＝90°，
∴∠CBD＝∠ABP＝65°，
同理∠BCS＝∠DCR＝∠CDP＝∠QDE＝65°，
∴∠QED＝90°﹣65°＝25°，
∵∠DEF的平分线EH⊥QR，
∴∠QEH＝∠REH＝90°，∠DEH＝∠FEH＝65°，
∴∠REF＝25°，
故选：B．
3．（2024秋 文登区期中）如图，桌面上有M、N两球，若要将M球射向桌面的任意一边，使一次反弹后击中N球，则4个点中，可以瞄准的是（　　）
A．点A B．点B C．点C D．点D
【答案】D
【解答】解：
可以瞄准点D击球．
故选：D．
4．（2024秋 罗山县期中）如图是一个经过改造的规格为3×5的台球桌面示意图，图中四个角上的阴影部分分别表示四个入球孔，如果一个球按图中所示的方向被击出（球可以经过台球边缘多次反弹），那么球最后将落入的球袋是（　　）
A．1号袋 B．2号袋 C．3号袋 D．4号袋
【答案】A
【解答】解：根据轴对称的性质可知，台球走过的路径为：
所以球最后将落入的球袋是1号袋，
故选：A．
5．（2024秋 襄城县期中）下列四个图案中，具有一个共有性质．则下面四个数字中，满足上述性质的一个是（　　）
A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】C
【解答】解：四个图形都是轴对称图形，在6，7，8，9中是轴对称图形的只有8．
故选：C．
6．（2025春 如皋市期中）一张台球桌的桌面如图所示，一个球从桌面的点A滚向桌边PQ，碰着PQ上的点B后便反弹而滚向桌边RS，碰着RS上的点C便反弹而滚入点Q，一共反弹两次．已知AB，BC，CQ都是直线，PQ∥RS，且∠ABC的平分线BN垂直于PQ，∠BCQ的平分线CM垂直于RS，若∠CQR＝33°，则∠ABP的度数为 　57°　 ．
【答案】57°．
【解答】解：由题意可知，BN∥CM∥QR，∠BCM＝∠QCM，∠ABN＝∠CBN，
∵∠CQR＝33°，
∴∠BCM＝∠QCM＝∠CQR＝33°，
∴∠ABN＝∠CBN＝∠BCM＝33°，
∵BN垂直于PQ，
∴∠ABP＝90°﹣∠ABN＝57°．
故答案为：57°．
7．（2025春 福州期中）一张台球桌的桌面如图所示，一个球从图示方向击出，经过多次反弹最终落入2号袋．在反弹过程中，球滚动的路线和击出方向平行的次数是　3　 次．
【答案】3．
【解答】解：利用轴对称画出图形可知球的运动路线如图：
∴经过多次反弹最终落入2号袋．在反弹过程中，球滚动的路线和击出方向平行的次数是3次；
故答案为：3．
8．（2025春 阜宁县期中）如图，在长方形ABCD中，一发光电子开始置于AB边的点P处，并设定此时为发光电子第一次与长方形的边碰撞，将发光电子沿着PR方向发射，碰撞到长方形的边时均反射，每次反射的反射角和入射角都等于45°，若发光电子与长方形的边碰撞次数为2025次时，则它与AB边的碰撞次数是 　675　 ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：如图建立平面直角坐标系，
每6次反弹为一个循环组依次循环，经过6次反弹后动点回到出发点（6，0），且每次循环它与AB边的碰撞有2次，
∵2025÷6＝337…3，
当点P第2025次碰到矩形的边时为第337个循环组的第3次反弹，点P的坐标为（6，4），
∴碰撞次数是：337×2+1＝675（次），
故答案为：675．
9．（2024秋 苏州期中）有一个英语单词，其四个字母都关于直线l对称，如图是该单词各字母的一部分，请写出补全后的单词所指的物品 　书　 ．
【答案】书．
【解答】解：补全字母，如图所示：
故这个单词所指的物品是书．
故答案为：书．
10．（2024秋 集贤县期中）如图是一个经过改造的台球桌面示意图（该图由相同的小正方形组成，图中四个角上的阴影部分分别表示四个入球孔．如果一个球按图中所示的方向被击出（球可以经过多次反射），那么该球最后将落入 　1　 号球袋．
【答案】1．
【解答】解：如图，
该球最后将落入1号球袋．
故答案为：1．
11．（2024秋 盐都区期中）如图所示，有一个英语单词，四个字母都关于直线l对称，请依据轴对称的知识，写出这个单词所指的物品 　书　 ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：根据轴对称的知识，这个单词是book，
这个单词所指的物品是书，
故答案为：书
12．（2024秋 陵城区期中）如图，桌球的桌面上有M，N两个球，若要将M球射向桌面的一边，反弹一次后击中N球，则A，B，C，D，4个点中，可以反弹击中N球的是 　点D 点．
【答案】点D．
【解答】解：
可以瞄准点D击球．
故答案为：点D．
二．轴对称的性质（共12小题）
13．（2024秋 红花岗区校级期中）如图所示是三位同学的折纸示意图，则AD依次是△ABC 的（　　）
A．中线、角平分线、高 B．高、中线、角平分线
C．角平分线、高、中线 D．角平分线、中线、高
【答案】C
【解答】解：由图①可知，△ABD沿直线AD折叠可得△AB′D，
∴∠BAD＝∠B′AD，
即：AD是△ABC的角平分线；
由图②可知：△ABD沿直线AD折叠可得△AB′D，
∴AB＝AB′，∠BAD＝∠B′AD，
∴AD⊥BB′，即：AD⊥BC，
∴AD是△ABC的高线，
由图③可知：BD＝CD，即D为BC的中点，
∴AD是△ABC的中线，
综上分析可知：AD依次是△ABC的角平分线、高线、中线，
故选：C．
14．（2025春 泉州期中）如图，△ABC与△A'B'C′关于直线l对称，∠B＝35°，∠C'＝50°，则∠A＝（　　）
A．90° B．85° C．95° D．105°
【答案】C
【解答】解：∵△ABC与△A'B'C′关于直线l对称，
∴△ABC≌△A′B′C′，
∴∠C＝∠C′＝50°，
∴∠A＝180°﹣∠B﹣∠C＝180°﹣35°﹣50°＝95°．
故选：C．
15．（2025春 淮安区校级期中）如图，在2×2的方格纸中有一个以格点为顶点的△ABC，则与△ABC成轴对称且以格点为顶点三角形共有（　　）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
【答案】C
【解答】解：与△ABC成轴对称且以格点为顶点三角形有△ABG、△CDF、△AEF、△DBH，△BCG共5个，
故选：C．
16．（2024秋 南京期中）桌面上有A，B两个球，若要将B球射向桌面任意一边，使一次反弹后击中A球，则如图所示4个点中，可以瞄准的点是（　　）
A．D B．E C．F D．G
【答案】A
【解答】解：根据题中所给的信息进行判断可得：将B球射向桌面的点D，可使一次反弹后击中A球，
故选：A．
17．（2024秋 西宁期中）如图，若△ABC与△A1B1C1关于直线MN对称，BB1交MN于点O，则下列说法不一定正确的是（　　）
A．AC＝A1C1 B．BO＝B1O C．CC1⊥MN D．AB∥B1C1
【答案】D
【解答】解：∵△ABC与△A1B1C1关于直线MN对称，
∴AC＝A1C1，BO＝B1O，CC1⊥MN，
故选项A、B、C正确，不符合题意；
AB∥B1C1不一定成立，
故选项D错误，符合题意；
故选：D．
18．（2024秋 鄞州区校级期中）如图为一张锐角三角形纸片ABC，小明想要通过折纸的方式折出如下线段：①BC边上的中线AD；②∠A的平分线AE；③BC边上的高AF．根据所学知识与相关活动经验可知：上述三条线中，能够通过折纸折出的有（　　）
A．①②③ B．①② C．①③ D．②③
【答案】A
【解答】解：①BC边上的中线AD：如图1，使点B、C重合，中点为点D，连接AD，此时AD即为BC边上的中线；
②∠A的平分线AE：如图2，沿直线AE折叠，使AB与AC重叠，此时AE即为BC边上的角平分线；
③BC边上的高AF：如图3，沿直线AF折叠，使BF与CF重合，此时AF即为BC边上的高．
综上所述，所有能够通过折纸折出的有①②③．
故选：A．
19．（2025春 长汀县期中）折纸是一种以纸张折成各种不同形状的艺术活动，折纸与自然科学结合在一起，不仅成为建筑学院的教具，还发展出了折纸几何学成为现代几何学的一个分支．按如图所示方法折纸，则下列说法不正确的是（　　）
A．∠1与∠3互余 B．∠2＝90°
C．AE平分∠BEF D．∠1与∠AEC互补
【答案】C
【解答】解：根据折叠的性质可知，∠1＝∠AEB，∠3＝∠FEC，
∵∠1+∠AEB+∠3+∠FEC＝180°，
∴2（∠1+∠3）＝180°，
即∠1+∠3＝90°，故A不符合题意；
∴∠2＝90°，故B不符合题意，C符合题意；
∵∠1+∠AEC＝180°，
∴∠1与∠AEC互补，
故D不符合题意．
故选：C．
20．（2024秋 晋中期中）如图，用放大镜将平遥古城旅游图标放大，则放大前后两个图形之间属于图形的（　　）
A．平移 B．轴对称 C．相似 D．旋转
【答案】C
【解答】解：∵用放大镜将平遥古城旅游图标放大，两个图形的形状相同，大小不同，
∴这两个图形的关系是相似，
故选：C．
21．（2025春 大丰区期中）如图，△ABC与△A′B′C′关于直线MN对称，P为MN上任一点（A、P、A′不共线），下列结论中，错误的是（　　）
A．△AA′P是等腰三角形
B．MN垂直平分AA′、CC′
C．△ABC与△A′B′C′面积相等
D．直线AB，A′B′的交点不一定在直线MN上
【答案】D
【解答】解：∵△ABC与△A′B′C′关于直线MN对称，P为MN上任意一点，
∴△AA′P是等腰三角形，MN垂直平分AA′，CC′，这两个三角形的面积相等，故A、B、C选项正确，
直线AB，A′B′关于直线MN对称，因此交点一定在MN上，故D错误，
故选：D．
22．（2024秋 海沧区校级期中）如图，若△ABC与△A′B′C′关于直线MN对称，BB′交MN于点O，则下列说法不一定正确的是（　　）
A．AC＝A′C′ B．BO＝B′O C．AA′⊥MN D．AB∥B′C′
【答案】D
【解答】解：∵△ABC与△A′B′C′关于直线MN对称，
∴AC＝A′C′，AA′⊥MN，BO＝B′O，故A、B、C选项正确，
AB∥B′C′不一定成立，故D选项错误，
所以，不一定正确的是D．
故选：D．
23．（2024秋 龙口市期中）如图，AB＝AC，点B关于AD的对称点E恰好落在CD上，∠BAC＝124°，AF为△ACE中CE边上的中线，则∠ADB的度数为（　　）
A．24° B．28° C．30° D．38°
【答案】B
【解答】解：如图，∵△AED与△ABD关于AD对称，
∴AB＝AE，∠ADB＝∠ADE，∠BAD＝∠DAE，
∵AC＝AB，
∴AC＝AE，
∵AF是△ACE的中线，
∴∠CAF＝∠EAF，AF⊥CE，
∴∠DAF∠BAC＝62°，
∵∠AFD＝90°，
∴∠ADF＝90°﹣62°＝28°，
∴∠ADB＝∠ADF＝28°，
故选：B．
24．（2025春 江阴市期中）如图，AD所在直线是△ABC的对称轴，点E，F是AD上的两点，若BD＝3，AD＝5，则图中阴影部分的面积是（　　）
A．15 B．7.5 C．6 D．4.5
【答案】B
【解答】解：∵△ABC关于直线AD对称，
∴B、C关于直线AD对称，
∴△CEF和△BEF关于直线AD对称，
∴S△BEF＝S△CEF，
∵△ABC的面积是：BC×AD6×5＝15，
∴图中阴影部分的面积是S△ABC＝7.5．
故选：B．
三．轴对称图形（共12小题）
25．（2025春 泗洪县期中）围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有四千多年的历史，下列由黑白棋子摆成的图案是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解答】解：A、图形不是轴对称图形，不符合题意；
B、图形不是轴对称图形，不符合题意；
C、图形不是轴对称图形，不符合题意；
D、图形是轴对称图形，符合题意，
故选：D．
26．（2025春 湖南校级期中）在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解答】解：选项A、B、C不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形，
选项D能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形，
故选：D．
27．（2024秋 和平区校级期中）下列手机中的图标是轴对称图形的是（　　）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解答】解：A，B，D选项中的图形都不能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
C选项中的图形能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；
故选：C．
28．（2024秋 莆田校级期中）汉字是中华文明的标志，从公元前16世纪殷商后期的被认为是汉字的第一种形式的甲骨文到今天，产生了金文、小篆、隶书、楷书、草书、行书等多种字体，每种字体都有着各自鲜明的艺术特征．下面的小篆体字是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【解答】解：A，C，D选项中的图形都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
B选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形．
故选：B．
29．（2024秋 丹徒区期中）数学在建筑美学中扮演着重要的角色，下列图形中是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解答】解：选项B、C、D的图形均不能找到这样的一条直线，使这个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
选项A的图形能找到这样的一条直线，使这个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；
故选：A．
30．（2024春 琼海校级期中）在“珍爱生命，远离毒品”的禁毒标语中，下列文字是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解答】解：选项A、B、C不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形，
选项D能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形，
故选：D．
31．（2024秋 淄博期中）下面四幅作品分别代表二十四节气中的“立春”、“芒种”、“白露”、“大雪”，其中是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解答】解：A、图形不是轴对称图形，不符合题意；
B、图形不是轴对称图形，不符合题意；
C、图形不是轴对称图形，不符合题意；
D、图形是轴对称图形，正确，符合题意，
故选：D．
32．（2024秋 浙江期中）下列分别表示“节水”、“节能”、“回收”、“绿色食品”含义的四个标志的图形中，是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解答】解：A、不是轴对称图形，选项错误；
B、不是轴对称图形，选项错误；
C、不是轴对称图形，选项错误；
D、是轴对称图形，选项正确．
故选：D．
33．（2024秋 临夏县校级期中）下列交通标志图形中，轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【解答】解：A、不是轴对称图形，故此选项不合题意；
B、是轴对称图形，故此选项符合题意；
C、不是轴对称图形，故此选项不合题意；
D、不是轴对称图形，故此选项不合题意；
故选：B．
34．（2024秋 砚山县期中）以下是清华大学、北京大学、浙江大学、中国人民大学四个大学的校徽，其中是轴对称图形的是（　　）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解答】解：B、C、D选项中的图形均不能找到这样的一条直线，使直线两旁的部分能够完全重合的图形，所以不是轴对称图形，不符合题意；
A选项中的图形能找到这样的一条直线，使直线两旁的部分能够完全重合的图形，所以是轴对称图形，符合题意；
故选：A．
35．（2024秋 临海市校级期中）以下图形是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【解答】解：A，B，D不是轴对称图形，C是轴对称图形，
故选：C．
36．（2024秋 新昌县校级期中）下列运动图标中，是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解答】解：A、图形不是轴对称图形，不合题意；
B、图形不是轴对称图形，不合题意；
C、图形不是轴对称图形，不合题意；
D、图形是轴对称图形，符合题意．
故选：D．
四．线段垂直平分线的性质（共12小题）
37．（2024秋 射阳县期中）如图，AC＝AD，BC＝BD，下列结论一定正确的是（　　）
A．CD平分∠ACB B．CD垂直平分AB
C．AB垂直平分CD D．AB与CD互相垂直平分
【答案】C
【解答】解：由条件可知点A、B 在CD的垂直平分线上，
∴AB垂直平分CD，
故选：C．
38．（2024秋 如皋市期中）如图，DE⊥BC，BE＝EC，且AB＝5，AC＝8，则△ABD的周长为（　　）
A．21 B．18 C．13 D．9
【答案】C
【解答】解：∵DE⊥BC，BE＝EC，
∴DE是线段BC的垂直平分线，
∴BD＝CD，
∴△ABD的周长＝AB+BD+AD＝AB+AC＝5+8＝13．
故选：C．
39．（2024秋 凤台县期中）如图，在△ABC中，AB，AC的垂直平分线l1，l2相交于点O，若∠BAC＝80°，则∠OBC的度数是（　　）
A．15° B．20° C．10° D．25°
【答案】C
【解答】解：如图所示，连接OA，
∵∠BAC＝80°，
∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠BAC＝180°﹣80°＝100°，
∵AB、AC的垂直平分线交于点O，
∴OB＝OA，OC＝OA，
∴∠OAB＝∠OBA，∠OAC＝∠OCA，∠OBC＝∠OCB，
∴∠OBA+∠OCA＝∠OAB+∠OAC＝∠BAC，
∴∠OBC+∠OCB＝100°﹣（∠OBA+∠OCA）＝100°﹣∠BAC＝100°﹣80°＝20°，
∴∠OCB＝∠OBC＝10°，
所以∠OBC的度数为10°，
故选：C．
40．（2025春 漳州期中）在△ABC中，AB的垂直平分线分别交AB，BC于点M，P，AC的垂直平分线分别交AC，BC于点N，Q．若BC＝10，QP＝2，则△AQP的周长为（　　）
A．8或14 B．12或10 C．8或10 D．10或14
【答案】D
【解答】解：如图所示：
由线段垂直平分线性质可知AP＝BP，AQ＝QC，
∴△AQP的周长＝AP+AQ+PQ＝BP+QC+PQ＝BC＝10；
如图所示：
由线段垂直平分线的性质可知AP＝BP，AQ＝QC，
∴△AQP的周长＝AP+AQ+PQ＝BP+QC+PQ＝BP+CP+PQ+PQ＝BC+2PQ＝10+4＝14，
综上所述，△AQP的周长为10或14，
故选：D．
41．（2025春 成都期中）如图，在△ABC中，D为BC边上的一点，AC＝AD，EF为线段BD的垂直平分线，若AB＝9，AC＝7，则△ADE的周长为（　　）
A．22 B．20 C．18 D．16
【答案】D
【解答】解：∵D为BC边上的一点，EF为线段BD的垂直平分线，AB＝9，AC＝7，
∴ED＝BE，
∴AE+BE＝AE+DE＝9，
∵AC＝AD，
∴AD＝7，
∴△ADE的周长为AD+DE+AE＝7+9＝16，
故选：D．
42．（2024秋 新会区校级期中）如图，是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭，要使凉亭到草坪三个顶点的距离相等，凉亭应选的位置是（　　）
A．△ABC的三条中线的交点
B．△ABC三条角平分线的交点
C．△ABC三边的垂直平分线的交点
D．△ABC三条高所在直线的交点
【答案】C
【解答】解：∵线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，
∴要使凉亭到草坪三个顶点的距离相等，凉亭应选的位置是△ABC三边的垂直平分线的交点，
故选：C．
43．（2025春 揭阳校级期中）如图，P为△ABC内一点，过点P的线段MN分别交AB、BC于点M、N，且M、N分别在PA、PC的中垂线上．若∠ABC＝80°，则∠APC的度数为（　　）
A．120° B．125° C．130° D．135°
【答案】C
【解答】解：∵∠ABC＝80°，
∴∠BMN+∠BNM＝180°﹣80°＝100°，
∵M、N分别在PA、PC的中垂线上，
∴MA＝MP，NC＝NP，
∴∠MPA＝∠MAP，∠NPC＝∠NCP，
∴∠MPA+∠NPC（∠BMN+∠BNM）＝50°，
∴∠APC＝180°﹣50°＝130°，
故选：C．
44．（2024秋 新昌县校级期中）如图，在△ABC中，DE是BC的垂直平分线．若AB＝5，AC＝8，则△ABD的周长是（　　）
A．13 B．5 C．8 D．26
【答案】A
【解答】解：∵DE是BC的垂直平分线，
∴BD＝CD，
∴△ABD的周长是AB+BD+AD＝AB+CD+AD＝AB+AC＝13．
故选：A．
45．（2025春 龙凤区期中）如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AC＝6cm，且△ABD的周长为13cm，则△ABC的周长为（　　）
A．13cm B．19cm C．10cm D．16cm
【答案】B
【解答】解：∵DE是AC的垂直平分线，AC＝6cm，
∴DA＝DC，
∵△ABD的周长为13cm，
∴AB+BD+AD＝AB+BD+DC＝AB+BC＝13cm，
∴△ABC的周长＝AB+BC+AC＝19cm，
故选：B．
46．（2024秋 泸县校级期中）如图，在△ABC中，边AB的垂直平分线分别交AC于点D，交AB于点E，若AE＝3，△BCD的周长为8，则△ABC的周长为（　　）
A．8 B．11 C．14 D．18
【答案】C
【解答】解：∵DE是线段AB的垂直平分线，
∴AB＝2AE＝6，DA＝DB，
∵△BCD的周长为8，
∴BD+CD+BC＝8，
∴AD+CD+BC＝8，
∴AC+BC＝8，
∵AB＝6，
∴△ABC的周长＝AB+BC+AC＝6+8＝14，
故选：C．
47．（2024秋 平舆县校级期中）如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，垂足为E，AE＝3cm，△ABD的周长为12cm，则△ABC的周长为（　　）
A．15cm B．16cm C．17cm D．18cm
【答案】D
【解答】解：∵AC的垂直平分线DE交BC于D，E为垂足，
∴AD＝DC，AC＝2AE＝6cm，
∵△ABD的周长为12cm，
∴△ABD的周长＝AB+BD+AD＝AB+BD+CD＝AB+BC＝12cm，
∴△ABC的周长＝AB+BC+AC＝12+6＝18（cm）．
故选：D．
48．（2024秋 定陶区校级期中）如图，在△ABC中，∠A＝105°，AC的垂直平分线l交BC于点M，AB+BM＝BC，则∠B的度数为（　　）
A．45° B．50° C．55° D．60°
【答案】B
【解答】解：如图，连接AM，
∵AC的垂直平分线l交BC于点M，
∴CM＝AM，
∵AB+BM＝BC，CM+BM＝BC，
∴AB＝CM＝AM，
∴∠C＝∠MAC，∠AMB＝∠B，
设∠C＝∠MAC＝x，则∠AMB＝∠B＝2x，
∴∠BAM＝180°﹣4x，
∵∠BAC＝∠MAC+∠BAM＝x+180°﹣4x＝105°，
∴x＝25°，
∴∠B＝2x＝50°，
故选：B．
五．作图—基本作图（共12小题）
49．（2025春 杏花岭区校级期中）如图，已知∠AOB，点P为OA上一点，小明借助无刻度的直尺和圆规，经过点P作PM∥OB，根据尺规作图的痕迹，判断小明得出这一结论的依据是（　　）
A．两直线平行，同位角相等
B．同位角相等，两直线平行
C．内错角相等，两直线平行
D．同旁内角互补，两直线平行
【答案】B
【解答】解：∵∠APM＝∠AOB，
∴PM∥OB（同位角相等，两直线平行），
故选：B．
50．（2024秋 杭州期中）如图用尺规作“与已知角相等的角”的过程中，作出∠A′O′B′＝∠AOB的依据是（　　）
A．SAS B．ASA C．AAS D．SSS
【答案】D
【解答】解：由作图可知，OD＝OC＝O′D′＝O′C′，CD＝C′D′，
∴△DOC≌△D′O′C′（SSS），
∴∠BOA＝∠B′O′A′．
故选：D．
51．（2025春 梅江区校级期中）作△ABC的边BC上的高，下列作法中，正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解答】解：选项D中，线段AD是BC边上的高，
故选：D．
52．（2025春 南海区校级期中）用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图如下，则要说明∠AOB＝∠A′O′B′，需要证明△COD和△C'O'D'，则这两个三角形全等的依据是（　　）
A．SAS B．AAS C．SSS D．ASA
【答案】C
【解答】解：由尺规作图可知，OC＝O'C'，OD＝O'D'，CD＝C'D'，
在△COD和△C'O'D'中，
，
∴△COD≌△C'O'D'（SSS），
即这两个三角形全等的依据是SSS，
故选：C．
53．（2025春 新郑市期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，根据尺规作图的痕迹，判断以下结论错误的是（　　）
A．∠BDE＝∠BAC B．∠BAD＝∠B C．DE＝DC D．AE＝AC
【答案】B
【解答】解：根据尺规作图的痕迹可得，
∵DE可以理解成是平角∠AEB的角平分线，
∴DE⊥AB，AD是∠BAC的平分线，
∵∠C＝90°，
∴DE＝DC，∠B+∠BDE＝∠B+∠BAC＝90°，
∴∠BDE＝∠BAC，
在Rt△AED和Rt△ACD中，
，
∴Rt△AED≌Rt△ACD（HL），
∴AE＝AC，
∵DE不是AB的垂直平分线，故不能证明∠BAD＝∠B，
综上所述：A，C，D不符合题意，B符合题意，
故选：B．
54．（2024秋 东莞市校级期中）用直尺和圆规作一个角等于已知角，如图，能得出∠AOB＝∠A′O′B′的依据是（　　）
A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS
【答案】A
【解答】解：在△ODC和△O′D′C′中，
，
∴△ODC≌△O′C′D′（SSS），
∴∠AOB＝∠A′O′B′．
故选：A．
55．（2025春 顺德区校级期中）在Rt△ABC中，∠C＝90°，以A为圆心，适当长为半径画弧，交AC，AB于D，E两点，再分别以D，E为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点M．作射线AM交BC于点F，若BF＝5，BC＝9，则点F到AB的距离为（　　）
A．3 B．4 C．4.5 D．5
【答案】B
【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，过F点作FH⊥AB于H点，如图，
∵BF＝5，BC＝9，
∴FC＝4，
由作图可知：AM平分∠BAC，
∴FH＝FC＝4，
∴点F到AB的距离为4．
故选：B．
56．（2024秋 宿迁期中）请仔细观察用直尺和圆规作一个角∠A′O′B′等于已知角∠AOB的示意图，请你根据所学的图形的全等这一章的知识，说明画出∠A′O′B′＝∠AOB的依据是（　　）
A．SAS B．ASA C．SSS D．AAS
【答案】C
【解答】解：由作法易得OD＝O′D′，OC＝O′C′，CD＝C′D′，依据SSS可判定△COD≌△C'O'D'，则∠A′O′B′＝∠AOB．
故选：C．
57．（2025春 成都期中）如图，在△ABC中，BD是AC边上的高，以点A为圆心，适当长为半径画弧，交AB于点M，交AC于点N；分别以M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P；画射线AP，与BD交于点E；作EF⊥AB，垂足为点F．若EF＝1，BD＝3DE，则BE的长为　2　 ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：∵BD是AC边上的高，EF⊥AB，
∴DE＝EF＝1，
由条件可知BD＝3，
∴BE＝BD﹣DE＝2，
故答案为：2．
58．（2024秋 宁阳县期中）如图，在△ABC中，∠C＝90°，以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC，AB于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交BC于点D，若CD＝2，AB＝5，则△ABD的面积是　5　 ．
【答案】5．
【解答】解：作DE⊥AB于E，
∵∠C＝90°，
∴CD⊥AC，
由作图步骤可得AD为∠CAB的平分线，
∵DE⊥AB，
∴DE＝CD＝2，
∵AB＝5，
∴△ABD的面积．
故答案为：5．
59．（2024秋 祥云县校级期中）如图，在△ABC中，∠B＝90°，以顶点C为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC，BC于点E，F，再分别以点E，F为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线CP交AB于点D．若S△ACD＝9，AC＝6，则BD的长为　3　 ．
【答案】3．
【解答】解：如图，作DG⊥AC于G，
∵S△ACD＝9，
∴AC DG＝9，
∵AC＝6，
∴DG3，
∵∠B＝90°，
∴DB⊥CB，
∵CD平分∠ACB，DG⊥AC，
∴BD＝DG＝3，
故答案为：3．
60．（2024春 长清区期中）如图，∠DAE＝100°，∠EAB＝65°，根据图中尺规作图的痕迹，可知∠ABC的度数为 　35°　 ．
【答案】35°．
【解答】解：由作法得∠ABC＝∠DAB，
∵∠DAE＝100°，∠EAB＝65°，
∴∠DAB＝100°﹣65°＝35°，
∴∠ABC＝35°．
故答案为：35°．

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