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专题04 有理数的乘法与除法
▉考点01 有理数的乘法法则
有理数乘法法则 字母表示
两数相乘，同号得正，异号得负，且积的绝对值等于乘数的绝对值的积 设a,b为正有理数，则(+a)×(+b)=a×b; (-a)×(-b)=a×b; (-a)×(+b)=-(a×b); (+a)×(-b)=-(a×b).
任何数与0相乘，都得0 设c为任意有理数，则c×0=0;0×c=0
▉考点02 倒数
1.倒数：乘积是1的两个数互为倒数.例如：-5的倒数是-与-与-互为倒数.
2.求一个数的倒数的方法
类型 方法 示例
非零整数a的倒数 用这个数作分母，1作分子，即直接写成. 3的倒数是,-3的倒数是-
分数(m≠0，n≠0)的倒数 把这个分数的分子和分母交换位置，即的倒数是 的倒数是的倒数是,-的倒数是-.
带分数的倒数 先把带分数化成假分数，再交换分子和分母的位置. -1=-,所以-1的倒数是-.
小数的倒数 先把小数化成分数，再求其倒数. -0.5=-,所以-0.5的倒数是-2.
▉考点03 有理数的乘法运算律
运算律 文字叙述 用字母表示 示例
乘法交换律 两个数相乘，交换乘数的位置，积不变. ab=ba. 5×(-6)=(-6)×5.
乘法结合律 三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积不变 (ab)c=a(be). [7×(-6)]×5=7×[(-6)×5].
分配律 一个数与两个数的和相乘，等把这个数分别与这两个数相乘，再把积相加. a(b+c)=ab+ac. 5×(-6+7)=5×(-6)+5×7.
▉考点04 有理数乘法法则的推广
1.几个不为0的数相乘，积的符号由负的乘数的个数决定.当负的乘数的个数是偶数时，积为正数；当负的乘数的个数是奇数时，积为负数.
2.几个数相乘，如果其中有乘数为0,那么积为0.
▉考点05 有理数除法法则
有理数除法法则一：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数.
字母表示：=a×()(b≠0)
2.有理数除法法则二：两数相除，同号得正，异号得负，且商的绝对值等于被除数的绝对值除以除数的绝对值的商.0除以任何一个不等于0的数，都得0.
▉考点06 有理数的乘除混合运算
1.有理数的乘除混合运算顺序：按照从左到右的顺序计算，有括号的先计算括号里面的.
2.有理数的乘除混合运算
有理数的乘除混合运算往往先将除法转化为乘法，然后按照乘法法则确定积的符号，最后求出结果.
▉考点07 有理数的加减乘除混合运算
1.有理数的加减乘除混合运算
先乘除，后加减，有括号的先计算括号里面的.同级运算中，按照从左到右的顺序计算，并能合理运用运算律，简化运算.
2.计算器的使用
计算器具有运算快、操作简便等优势，当有理数的混合运算的计算量大时，可借助计算器计算.各种类型的计算器在使用时，操作方法不尽相同(具体参见计算器的使用说明),但在进行加、减、乘、除四种运算时按键方法通常是一样的.
▉考点01 倒数
1．（2024秋 厦门校级期中）﹣4的倒数是（　　）
A．4 B．﹣4 C． D．
【答案】D
【解答】解：﹣4的倒数是，
故选：D．
2．（2024秋 福州期中）﹣2的倒数是（　　）
A．2 B． C． D．|﹣2|
【答案】C
【解答】解：﹣2的倒数是，
故选：C．
3．（2024秋 威远县校级期中）下列互为倒数的是（　　）
A．3和 B．﹣2和2 C．3和 D．﹣2和
【答案】A
【解答】解：A、∵31，
∴3和互为倒数，符合题意；
B、∵（﹣2）×2＝﹣4，
∴﹣2和2不互为倒数，不符合题意；
C、∵3×（）＝﹣1，
∴3和不互为倒数，不符合题意；
D、∵（﹣2）1，
∴﹣2和不互为倒数，不符合题意．
故选：A．
4．（2024秋 沙坪坝区校级期中）8的倒数是（　　）
A．﹣8 B．8 C． D．
【答案】C
【解答】解：8的倒数是，
故选：C．
5．（2024春 濉溪县期中）﹣3的倒数是（　　）
A．3 B． C． D．﹣3
【答案】B
【解答】解：∵﹣3×（）＝1，
∴﹣3的倒数是．
故选：B．
6．（2024秋 高陵区期中）已知a的相反数是﹣2024，则a的倒数是（　　）
A．﹣2024 B．2024 C． D．
【答案】D
【解答】解：∵a和﹣2024互为相反数，
∴a+（﹣2024）＝0，
∴a＝2024，
2024的倒数是．
故选：D．
7．（2024秋 北碚区校级期中）﹣2027的倒数是（　　）
A．﹣2027 B．2027 C． D．
【答案】C．
【解答】解：﹣2027的倒数是．
故选：C．
8．（2024秋 海珠区校级期中）﹣0.5的倒数的绝对值的相反数是（　　）
A．2 B．﹣2 C． D．
【答案】B
【解答】解：﹣0.5的倒数是﹣2，﹣2的绝对值是|﹣2|＝2，2的相反数是﹣（2）＝﹣2，
∴﹣0.5的倒数的绝对值的相反数是﹣2．
故选：B．
9．（2024秋 大安区期中）的倒数是（　　）
A． B．﹣3 C．3 D．
【答案】B
【解答】解：∵，
∴的倒数是﹣3．
故选：B．
10．（2024秋 武江区校级期中）﹣2的倒数是（　　）
A．﹣2 B．2 C． D．
【答案】C
【解答】解：﹣2的倒数是
故选：C．
11．（2024秋 公主岭市期中）﹣9的倒数是（　　）
A．9 B． C．﹣9 D．
【答案】B
【解答】解：﹣9的倒数是．
故选：B．
12．（2024秋 雨城区校级期中）下列互为倒数是（　　）
A．和 B．和﹣2 C．和﹣2 D．和
【答案】B．
【解答】解：A．∵（）≠1，∴和不互为倒数，故不符合题意；
B．∵（﹣2）＝1，∴和﹣2互为倒数，故符合题意；
C．∵（﹣2）≠1，∴和﹣2不互为倒数，故不符合题意；
D．，∵1，∴和不互为倒数，故不符合题意．
故选：B．
13．（2024春 九龙坡区校级期中）﹣3的倒数是（　　）
A．3 B． C． D．﹣3
【答案】C
【解答】解：∵，
∴﹣3的倒数是．
故选：C．
14．（2024秋 东港市期中）若a，b互为相反数，c的倒数为1，则4a+3c+4b的值为（　　）
A．7 B．2 C．﹣3 D．3
【答案】D
【解答】解：∵a，b互为相反数，
∴a+b＝0，
∵c的倒数为1，
∴c＝1，
∴4a+3c+4b＝（4a+4b）+3c＝4（a+b）+3c＝3，
故选：D．
15．（2024秋 辽中区期中）的倒数是（　　）
A．0.75 B．﹣0.75 C． D．
【答案】C
【解答】解：的倒数为，
故选：C．
16．（2024秋 西湖区校级期中）2024的倒数是（　　）
A．2024 B．﹣2024 C． D．
【答案】C
【解答】解：2024的倒数是；
故选：C．
17．（2024秋 潮州校级期中）有理数2024的倒数是（　　）
A．2024 B．﹣2024 C． D．
【答案】C．
【解答】解：2024的倒数是．
故选：C．
18．（2024秋 洛江区期中）2024年是甲辰龙年，预示着国家兴旺昌盛，则2024的倒数是（　　）
A．2024 B．﹣2024 C． D．
【答案】C
【解答】解：2024的倒数是，
故选：C．
19．（2024秋 宜州区期中）有理数﹣2的倒数是　　 ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：有理数﹣2的倒数是，
故答案为：．
20．（2024秋 岚皋县期中）的倒数是　　 ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：的倒数是．
故答案为．
▉考点02 有理数的乘法
1．（2024秋 威远县校级期中）已知有理数a、b在数轴上表示的点如图所示，则下列结论中正确的是（　　）
A．ab＞0 B．a+b＞0 C．b﹣a＞0 D．
【答案】C
【解答】解：由数轴可得：a＜0＜b，且|a|＞|b|，
A、∵a＜0＜b，∴ab＜0，故A选项不符合题意；
B、∵a＜0＜b，且|a|＞|b|，∴a+b＜0，故B选项不符合题意；
C、∵a＜0＜b，且|a|＞|b|，∴b﹣a＞0，故C选项符合题意；
D、∵a＜0＜b，∴0＜1，故D选项不符合题意；
故选：C．
2．（2024秋 历城区期中）有理数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是（　　）
A．a+b＜0 B．ab＞0 C．﹣b＜0＜﹣a D．|a|＞|b|
【答案】C
【解答】解：根据数轴可知，﹣1＜a＜0，|a|＜|b|，
∴a+b＞0，﹣b＜0＜﹣a，
∴只有C选项正确．
故选：C．
3．（2024秋 晋中期中）有理数a，b在数轴上对应点所在的位置如图所示，则下列结论正确的是（　　）
A．|a|＞|b| B．ab＞0 C．a+b＞0 D．a﹣b＞0
【答案】D
【解答】解：根据数轴可知，b＜0 a，|b| |a|，
∴ab＜0，a+b＜0，a﹣b＞0，
∴四个选项中只有D选项中的结论正确，符合题意．
故选：D．
4．（2024秋 长顺县期中）有理数a，b在数轴上的位置如图所示，则下列结论正确的是（　　）
A．|a|＞|b| B．a﹣b＜0 C．ab＞0 D．a+b＜0
【答案】D
【解答】解：根据数轴可知，b＜0＜a，|a|＜|b|，
∴a﹣b＞0，ab＜0，a+b＜0，
∴选项A、B、C错误，不符合题意；
选项D正确，符合题意．
故选：D．
5．（2024秋 三元区期中）计算（﹣6）×（）的结果是（　　）
A．2 B．﹣2 C．﹣18 D．18
【答案】A
【解答】解：原式
＝2，
故选：A．
6．（2024秋 秀英区校级期中）下列计算不正确的是（　　）
A．﹣1.5×（﹣3）＝4.5 B．（﹣1.2）×（﹣7）＝﹣8.4
C．﹣8×（﹣1.3）＝10.4 D．0×（﹣1.6）＝0
【答案】B
【解答】解：A．∵﹣1.5×（﹣3）＝1.5×3＝4.5，∴此选项的计算正确，故此选项不符合题意；
B．∵（﹣1.2）×（﹣7）＝1.2×7＝8.4，∴此选项的计算不正确，故此选项符合题意；
C．∵﹣8×（﹣1.3）＝8×1.3＝10.4，∴此选项的计算正确，故此选项不符合题意；
D．∵0×（﹣1.6）＝0，∴此选项的计算正确，故此选项不符合题意；
故选：B．
7．（2024秋 五华区校级期中）现有以下结论：①正有理数、负有理数和0统称为有理数；②若两个数的差是正数，则这两个数都是正数；③任意一个有理数都可以在数轴上找到一个点来表示；④若|a|＝|b|，则a＝b；⑤几个非零有理数相乘，若负因数的个数为奇数，则乘积为负数；⑥数轴上到原点的距离为3的点表示的数是3或﹣3．其中正确的有（　　）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】C
【解答】解：①∵正有理数、负有理数和0可以统称为有理数，
∴①说法正确；
②∵若两个数的差是正数，则这两个数不一定都是正数，比如：5﹣（﹣1）＝6，
∴②的说法错误；
③∵每个有理数都可以在数轴上找到一个点来表示，
∴③的说法正确；
④∵若|a|＝|b|，则a＝b或a＝﹣b，
∴④的说法错误；
⑤∵多个数相乘法则：几个非零有理数相乘，若负因数的个数为奇数，则乘积为负数，
∴⑤的说法正确；
⑥∵数轴上到原点的距离为3的点表示的数是3或﹣3，
∴⑥的说法正确，
综上可知：说法正确的有4个，
故选：C．
8．（2024秋 增城区期中）计算（﹣1）×5的结果是（　　）
A．﹣1 B．1 C．5 D．﹣5
【答案】D
【解答】解：（﹣1）×5＝﹣5．
故选：D．
9．（2024秋 澧县期中）有理数a，b，c在数轴上对应的位置如图所示：①abc＞0；②（b﹣a）（a﹣c）（c﹣b）＜0；③|b|＜1+ac；④|b﹣a|+|a﹣c|＝c+b其中正确的结论有（　　）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【解答】解：根据题意可得：b＜0，0＜a＜c＜1，
∴abc＜0，
故①错误；
∵b＜0，0＜a＜c＜1，
∴b﹣a＜0，a﹣c＜0，c﹣b＞0，
∴（b﹣a）（a﹣c）（c﹣b）＞0，
故②错误；
∵﹣1＜b＜0，0＜a＜c＜1，
∴|b|＜1，ac＞0，
∴1+ac＞1，
∴|b|＜1+ac，
故③正确；
∵b﹣a＜0，a﹣c＜0，
∴|b﹣a|+|a﹣c|＝﹣（b﹣a）+[﹣（a﹣c）]＝﹣b+a﹣a+c＝c﹣b，
故④错误；
∴正确的有1个，
故选：A．
10．（2024秋 费县期中）已知|x|＝5，|y|＝3，且xy＞0，则x﹣y的值等于（　　）
A．2或﹣2 B．1或﹣1 C．2或1 D．﹣2或﹣1
【答案】A
【解答】解：∵|x|＝5，|y|＝3，
∴x＝±5，y＝±3，
∵xy＞0，
∴x＝5，y＝3或x＝﹣5，y＝﹣3，
当x＝5，y＝3时，x﹣y＝5﹣3＝2；
当x＝﹣5，y＝﹣3时，x﹣y＝﹣5﹣（﹣3）＝﹣5+3＝﹣2，
综上可知：x﹣y的值等于2或﹣2，
故选：A．
11．（2024秋 万州区校级期中）如果两个数的积是正数，而它们的和是负数，那么这两个数（　　）
A．都是正数 B．都是负数 C．一正一负 D．不能确定
【答案】B
【解答】解：∵两个数的积是正数，
∴两数同号；
又∵它们的和是负数，
∴两数为负数．
故选：B．
12．（2024秋 市中区校级期中）下列各式结果为负数的是（　　）
A．﹣|﹣1| B．（﹣1）×（﹣1） C．﹣（﹣1） D．|1﹣2|
【答案】A．
【解答】解：A．﹣|﹣1|＝﹣1＜0，是负数；
B．（﹣1）×（﹣1）＝1＞0，是正数；
C．﹣（﹣1）＝1＞0，是正数；
D．|1﹣2|＝1＞0，是正数；
故选：A．
13．（2024秋 叙州区校级期中）已知|x|＝3，|y|＝5，且xy＜0，则x﹣y的值等于（　　）
A．﹣8或8 B．2或﹣8 C．﹣2或8 D．2或﹣2
【答案】A
【解答】解：∵|x|＝3，
∴x＝±3，
∵|y|＝5，
∴y＝±5，
又∵xy＜0，
∴x、y异号，
∴x＝3，y＝﹣5或x＝﹣3，y＝5，
当x＝3，y＝﹣5时，x﹣y＝3﹣（﹣5）＝8，
当x＝﹣3，y＝5时，x﹣y＝﹣3﹣5＝﹣8．
故选：A．
14．（2024秋 荔城区校级期中）若|x|＝2，|y|＝1，且xy＞0，则x+y的值是（　　）
A．3或﹣3 B．1或﹣1 C．1或﹣3 D．﹣1或3
【答案】A
【解答】解：∵|x|＝2，
∴x＝±2，
∵|y|＝1，
∴y＝±1，
∵xy＞0，
∴x＝2，y＝1或x＝﹣2，y＝﹣1，
当x＝2，y＝1时，x+y＝2+1＝3；
当x＝﹣2，y＝﹣1时，x+y＝（﹣2）+（﹣1）＝﹣3；
综上，x+y的值是3或﹣3，
故选：A．
15．（2024秋 邗江区校级期中）已知|x|＝3，y2＝4，且xy＜0，则x+y的值是　±1　 ．
【答案】±1．
【解答】解：∵|x|＝3，y2＝4，xy＜0，
∴x＝3时，y＝﹣2，则x+y＝3﹣2＝1；
x＝﹣3时，y＝2，则x+y＝﹣3+2＝﹣1，
∴x+y的值是±1；
故答案为：±1．
16．（2024秋 古冶区期中）若■表示最大的负整数，则2025×■＝ 　﹣2025　 ．
【答案】﹣2025．
【解答】解：∵最大的负整数是﹣1，
∴■＝﹣1，
∴2025×■＝2025×（﹣1）＝﹣2025，
故答案为：﹣2025．
17．（2024秋 铜梁区校级期中）﹣3×（﹣2）＝　6　 ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（﹣3）×（﹣2）＝6．
故答案为：6．
18．（2024秋 开州区期中）绝对值小于2.5的所有非负整数的积为　0　 ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：绝对值小于2.5的所有非负整数为﹣2，﹣1，0，1，2，之积为0．
故答案为：0
19．（2024秋 丽江校级期中）三个有理数a、b、c满足abc＞0，则的值为 　3或﹣1　 ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：∵有理数a、b、c满足abc＞0，
∴a、b、c三数中的符号必定是三个正号或一正两负，
∴1+1+1＝3，
或1﹣1﹣1＝﹣1，
故答案为：3或﹣1．
20．（2024秋 沙洋县期中）已知a，b，c是有理数，a+b+c＝0，abc＞0，则　1　 ．
【答案】1．
【解答】解：∵a，b，c是有理数，a+b+c＝0，abc＞0，
∴a，b，c中一定是一正两负，
∵a+b+c＝0，
∴b+c＝﹣a，a+c＝﹣b，a+b＝﹣c，
∴
＝﹣1+1+1
＝1，
故答案为：1．
▉考点03 有理数的除法
1．（2024秋 海门区期中）计算（﹣7）÷（）×7的结果为（　　）
A．1 B．﹣7 C．7 D．343
【答案】D
【解答】解：
＝（﹣7）×（﹣7）×7
＝49×7
＝343；
故选：D．
2．（2024春 瑶海区期中）设a、b为实数，则下列说法正确的是（　　）
A．a≠b，则a2＞b2 B．若a＞b，a＜0，则
C．若a＜0，b＜0，则ab＜0 D．若|a|＞|b|，则a﹣b＞0
【答案】B
【解答】A．若a≠b，则a2≠b2，不能确定a2＞b2，选项说法错误，不符合题意；
B．若a＞b，a＜0，则0，选项说法正确，不符合题意；
C．若a＜0，b＜0，则ab＞0，选项说法错误，不符合题意；
D．若|a|＞|b|，则a＞b或a＜b，因此a﹣b不一定大于0，选项说法错误，不符合题意．
故选：B．
3．（2024秋 南宁期中）若a，b为有理数，它们在数轴上的位置如图所示，以下计算正确的是（　　）
A．a+b＜0 B．a﹣b＜0 C．ab＞0 D．a÷b＞0
【答案】A
【解答】解：由a、b在数轴上的位置可知：a＞0，b＜0，且|a|＜|b|，
∴a+b＜0，ab＜0，a﹣b＞0，a÷b＜0．
故选：A．
4．（2024秋 金牛区校级期中）已知a，b两数在数轴上对应的点如图所示，下列结论正确的是（　　）
A．a﹣b＜0 B．ab＞0 C．a+b＞0 D．
【答案】D
【解答】解：A、a﹣b＞0，故原选项错误，不符合题意；
B、ab＜0，故原选项错误，不符合题意；
C、a+b＜0，故原选项错误，不符合题意；
D、，故原选项正确，符合题意；
故选：D．
5．（2024秋 宁波期中）有理数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，下列各式正确的是（　　）
A．a+b＜0 B．a﹣b＜0 C．ab＞0 D．
【答案】B
【解答】解：∵﹣1＜a＜0，b＞1，
∴A．a+b＞0，错误，不符合题意；
B．a﹣b＜0，正确，符合题意；
C．ab＜0，错误，不符合题意；
D．，错误，不符合题意；
故选：B．
6．（2024秋 漳州期中）有理数a，b在数轴上对应的点的位置如图所示，对于下列四个结论：其中不正确的是（　　）
A． B．b﹣a＞0 C．|a|＜|b| D．a+b＞0
【答案】A
【解答】解：根据数轴可得：a＜0＜b，且|a|＜|b|，
∴，选项A说法错误，符合题意；
b﹣a＞0，选项B说法正确，不符合题意；
|a|＜|b|，选项C说法正确，不符合题意；
a+b＞0，选项D说法正确，不符合题意．
故选：A．
7．（2024秋 兰州校级期中）下列说法正确的个数为（　　）
①0的倒数是它本身；
②一个数的倒数一定小于这个数；
③0除以任何数都得0；
④两个数的商为0，只有被除数等于零．
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】B
【解答】解：①因为0没有倒数，则这个说法错误；
②一个数的倒数一定小于这个数，错误，例如﹣3的倒数就大于﹣3；
③0除以任何非0的数都得0，故原说法错误；
④两个数的商为0，只有被除数等于0，正确；
故选：B．
8．（2024秋 舒城县校级期中）有理数a、b在数轴上的位置如图所示，则下列各式正确的是（　　）
A．ab＞0 B．0 C．a﹣b＞0 D．b﹣a＞0
【答案】C
【解答】解：由数轴可知：b＜0＜a，且|b|＞|a|．
A、因为a是正数，b是负数，根据有理数的乘法法则，异号得负，所以该选项错误，不符合题意；
B、因为a是正数，b是负数，根据有理数的除法法则，异号得负，所以该选项错误，不符合题意；
C、因为a＞b，所以a﹣b＞0，所以该项正确，符合题意；
D、因为a＞b，所以b﹣a＜0，该选项错误，不符合题意．
故选：C．
9．（2024秋 互助县期中）算式_____＝﹣3中的横线内应填（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【解答】解：（）÷（﹣3）．
括号内应填：．
故选：D．
10．（2024秋 广州期中）下列说法：①若数a的绝对值等于a，则a是正数；②若a+b+c＝0，则a、b、c互为相反数；③若两个数的和为正数，则这两个数中至少有一个是正数；④若两个数的商为﹣1，则这两个数互为相反数；⑤除以一个数等于乘这个数的倒数；⑥几个数相乘，积的符号由负因数的个数决定．其中正确的有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【解答】解：①若数a的绝对值等于a，则a是正数或0，故此选项错误；
②若a+b+c＝0，a、b、c不互为相反数，因为相反数指的是两个数，故此选项错误；
③若两个数的和为正数，则这两个数中至少有一个是正数，故此选项正确；
④若两个数的商为﹣1，则这两个数互为相反数，故此选项正确；
⑤除以一个数等于乘这个数（0除外）的倒数，故此选项错误；
⑥当几个不为0的数相乘时，积的符号由负因数的个数决定，故此选项错误．
则正确的只有2个，
故选：B．
11．（2024秋 渭城区校级期中）计算3÷（）的结果是（　　）
A． B． C．﹣6 D．6
【答案】C
【解答】解：3÷（）
＝3×（﹣2）
＝﹣6．
故选：C．
12．（2024秋 南明区校级期中）下列计算正确的是（　　）
A．（﹣3）×（﹣5）＝﹣15 B．21
C．﹣2﹣3＝﹣5 D．﹣2﹣（﹣3）＝﹣1
【答案】C
【解答】解：A．（﹣3）×（﹣5）＝15，故选项A不正确；
B.22×2＝4，故选项B不正确；
C．﹣2﹣3＝﹣5，故选项C正确；
D..﹣2﹣（﹣3）＝﹣2+3＝1，故选项D不正确；
故选：C．
13．（2024秋 美兰区校级期中）计算：1÷2结果是（　　）
A．1 B．﹣1 C． D．
【答案】C
【解答】解：原式．
故选：C．
14．（2024秋 官渡区校级期中）计算的结果等于（　　）
A．﹣32 B．32 C．﹣2 D．2
【答案】C
【解答】解：
＝﹣2．
故选：C．
15．（2024秋 江阳区校级期中）下列说法中，正确的有（　　）
①零除以任何数都等于零；
②相反数等于它本身的数只有0，倒数等于它本身的数是±1；
③绝对值相等的两个数一定相等，绝对值不相等的两个数一定不相等；
④一个不等于零的有理数除以它的相反数等于﹣1．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【解答】①零除以任何不为零的数都等于零，
∴①不正确．
②相反数等于它本身的数只有0，倒数等于它本身的数是±1，
∴②正确．
③绝对值相等的两个数相等或相反数，绝对值不相等的两个数一定不相等，
∴③不正确．
④一个不等于零的有理数除以它的相反数等于﹣1，
∴④正确．
综上，②④正确．
故选：B．
16．（2024秋 思明区校级期中）下列计算：
①0﹣（﹣4）＝4；
②（﹣3）+（﹣7）＝﹣10；
③3×（﹣4）＝﹣12；
④（﹣36）÷（﹣9）＝4．其中正确的个数是（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【解答】解：①0﹣（﹣4）＝0+4＝4，计算正确；
②（﹣3）+（﹣7）＝﹣10，计算正确；
（3）3×（﹣4）＝﹣12，计算正确；
④（﹣36）÷（﹣9）＝4，计算正确，
则计算正确的个数是4．
故选：D．
17．（2024秋 三河市校级期中）某同学在计算﹣12÷a时，误将看成“÷”看成“+”结果是﹣6，则﹣12÷a的正确结果是（　　）
A．2 B．﹣2 C． D．
【答案】B
【解答】解：由题意得，﹣12+a＝﹣6，
解得a＝6，
所以﹣12÷a＝﹣12÷6＝﹣2，
故选：B．
18．（2024秋 甘肃校级期中）1930年，德国汉堡大学的学生考拉兹，曾经提出过这样一个数学猜想：对于每一个正整数，如果它是奇数，则对它乘3再加1；如果它是偶数，则对它除以2．如此循环，最终都能够得到1．这一猜想后来成为著名的“考拉兹猜想”，又称“奇偶归一猜想”．虽然这个结论在数学上还没有得到证明，但举例验证都是正确的，例如：取正整数5，最少经过下面5步运算可得1，即：5168421如果正整数m最少经过6步运算可得到1，则m的值为　10或64　 ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：如图，利用倒推法可得：
由第6次计算后得1，可得第5次计算后的得数一定是2，
由第5次计算后得2，可得第4次计算后的得数一定是4，
由第4次计算后得4，可得第3次计算后的得数是1或8，其中1不合题意，因此第3次计算后一定得8
由第3次计算后得8，可得第2次计算后的得数一定是16，
由第2次计算后得16，可得第1次计算后的得数是5或32，
由第1次计算后得5，可得原数为10，
由第1次计算后32，可得原数为64，
故答案为：10或64．
19．（2024秋 凤台县期中）下列结论：①若a为有理数，则|a|＞0；②若|a|+|b|＝0，则a﹣b＝0；③若a﹣b＝0，则；④若abc＜0，则，则其中正确的结论的是 　②　 （填序号）．
【答案】②．
【解答】解：①∵a为有理数，
∴|a|≥0，
故结论①不正确；
②∵|a|≥0，|b|≥0，
又∵|a|+|b|＝0，
∴a＝0，b＝0，
∴a﹣b＝0，
故结论②正确；
③∵a﹣b＝0，
∴a＝b，
当a＝b≠0时，1，
当a＝b＝0时，没有意义，
故结论③不正确，
④∵abc＜0，
∴有以下两种情况：
（ⅰ）当a、b、c中有两正一负时，
不妨假设a、b为正，c为负，
∴|a|＝a，|b|＝b，|c|＝﹣c，
∴1+1﹣1＝1，
（ⅱ）当a、b、c都是负数时，
则|a|＝﹣a，|b|＝﹣b，|c|＝﹣c，
∴1﹣1﹣1＝﹣3．
故结论④不正确，
综上所述：正确的结论是②．
故答案为：②．
20．（2024秋 东阳市期中）如图，小天有5张写着不同数的卡片，从中抽出2张卡片，使卡片上的数相除，所得到的商最小，最小的商是 　　 ；从中抽出3张卡片，使卡片上的数相乘，所得到的积最大，最大的积是 　105　 ．
【答案】（1）；
（2）105．
【解答】解：（1）由题意可得：抽取﹣7，+2，最小的商是，
故答案为：；
（2）由题意可得：抽取﹣7，﹣3，5，最大的乘积是105．
故答案为：105．专题04 有理数的乘法与除法
▉考点01 有理数的乘法法则
有理数乘法法则 字母表示
两数相乘，同号得正，异号得负，且积的绝对值等于乘数的绝对值的积 设a,b为正有理数，则(+a)×(+b)=a×b; (-a)×(-b)=a×b; (-a)×(+b)=-(a×b); (+a)×(-b)=-(a×b).
任何数与0相乘，都得0 设c为任意有理数，则c×0=0;0×c=0
▉考点02 倒数
1.倒数：乘积是1的两个数互为倒数.例如：-5的倒数是-与-与-互为倒数.
2.求一个数的倒数的方法
类型 方法 示例
非零整数a的倒数 用这个数作分母，1作分子，即直接写成. 3的倒数是,-3的倒数是-
分数(m≠0，n≠0)的倒数 把这个分数的分子和分母交换位置，即的倒数是 的倒数是的倒数是,-的倒数是-.
带分数的倒数 先把带分数化成假分数，再交换分子和分母的位置. -1=-,所以-1的倒数是-.
小数的倒数 先把小数化成分数，再求其倒数. -0.5=-,所以-0.5的倒数是-2.
▉考点03 有理数的乘法运算律
运算律 文字叙述 用字母表示 示例
乘法交换律 两个数相乘，交换乘数的位置，积不变. ab=ba. 5×(-6)=(-6)×5.
乘法结合律 三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积不变 (ab)c=a(be). [7×(-6)]×5=7×[(-6)×5].
分配律 一个数与两个数的和相乘，等把这个数分别与这两个数相乘，再把积相加. a(b+c)=ab+ac. 5×(-6+7)=5×(-6)+5×7.
▉考点04 有理数乘法法则的推广
1.几个不为0的数相乘，积的符号由负的乘数的个数决定.当负的乘数的个数是偶数时，积为正数；当负的乘数的个数是奇数时，积为负数.
2.几个数相乘，如果其中有乘数为0,那么积为0.
▉考点05 有理数除法法则
有理数除法法则一：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数.
字母表示：=a×()(b≠0)
2.有理数除法法则二：两数相除，同号得正，异号得负，且商的绝对值等于被除数的绝对值除以除数的绝对值的商.0除以任何一个不等于0的数，都得0.
▉考点06 有理数的乘除混合运算
1.有理数的乘除混合运算顺序：按照从左到右的顺序计算，有括号的先计算括号里面的.
2.有理数的乘除混合运算
有理数的乘除混合运算往往先将除法转化为乘法，然后按照乘法法则确定积的符号，最后求出结果.
▉考点07 有理数的加减乘除混合运算
1.有理数的加减乘除混合运算
先乘除，后加减，有括号的先计算括号里面的.同级运算中，按照从左到右的顺序计算，并能合理运用运算律，简化运算.
2.计算器的使用
计算器具有运算快、操作简便等优势，当有理数的混合运算的计算量大时，可借助计算器计算.各种类型的计算器在使用时，操作方法不尽相同(具体参见计算器的使用说明),但在进行加、减、乘、除四种运算时按键方法通常是一样的.
▉考点01 倒数
1．（2024秋 厦门校级期中）﹣4的倒数是（　　）
A．4 B．﹣4 C． D．
2．（2024秋 福州期中）﹣2的倒数是（　　）
A．2 B． C． D．|﹣2|
3．（2024秋 威远县校级期中）下列互为倒数的是（　　）
A．3和 B．﹣2和2 C．3和 D．﹣2和
4．（2024秋 沙坪坝区校级期中）8的倒数是（　　）
A．﹣8 B．8 C． D．
5．（2024春 濉溪县期中）﹣3的倒数是（　　）
A．3 B． C． D．﹣3
6．（2024秋 高陵区期中）已知a的相反数是﹣2024，则a的倒数是（　　）
A．﹣2024 B．2024 C． D．
7．（2024秋 北碚区校级期中）﹣2027的倒数是（　　）
A．﹣2027 B．2027 C． D．
8．（2024秋 海珠区校级期中）﹣0.5的倒数的绝对值的相反数是（　　）
A．2 B．﹣2 C． D．
9．（2024秋 大安区期中）的倒数是（　　）
A． B．﹣3 C．3 D．
10．（2024秋 武江区校级期中）﹣2的倒数是（　　）
A．﹣2 B．2 C． D．
11．（2024秋 公主岭市期中）﹣9的倒数是（　　）
A．9 B． C．﹣9 D．
12．（2024秋 雨城区校级期中）下列互为倒数是（　　）
A．和 B．和﹣2 C．和﹣2 D．和
13．（2025春 九龙坡区校级期中）﹣3的倒数是（　　）
A．3 B． C． D．﹣3
14．（2024秋 东港市期中）若a，b互为相反数，c的倒数为1，则4a+3c+4b的值为（　　）
A．7 B．2 C．﹣3 D．3
15．（2024秋 辽中区期中）的倒数是（　　）
A．0.75 B．﹣0.75 C． D．
16．（2024秋 西湖区校级期中）2024的倒数是（　　）
A．2024 B．﹣2024 C． D．
17．（2024秋 潮州校级期中）有理数2024的倒数是（　　）
A．2024 B．﹣2024 C． D．
18．（2024秋 洛江区期中）2024年是甲辰龙年，预示着国家兴旺昌盛，则2024的倒数是（　　）
A．2024 B．﹣2024 C． D．
19．（2024秋 宜州区期中）有理数﹣2的倒数是　 　 ．
20．（2024秋 岚皋县期中）的倒数是　 　 ．
▉考点02 有理数的乘法
1．（2024秋 威远县校级期中）已知有理数a、b在数轴上表示的点如图所示，则下列结论中正确的是（　　）
A．ab＞0 B．a+b＞0 C．b﹣a＞0 D．
2．（2024秋 历城区期中）有理数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是（　　）
A．a+b＜0 B．ab＞0 C．﹣b＜0＜﹣a D．|a|＞|b|
3．（2024秋 晋中期中）有理数a，b在数轴上对应点所在的位置如图所示，则下列结论正确的是（　　）
A．|a|＞|b| B．ab＞0 C．a+b＞0 D．a﹣b＞0
4．（2024秋 长顺县期中）有理数a，b在数轴上的位置如图所示，则下列结论正确的是（　　）
A．|a|＞|b| B．a﹣b＜0 C．ab＞0 D．a+b＜0
5．（2024秋 三元区期中）计算（﹣6）×（）的结果是（　　）
A．2 B．﹣2 C．﹣18 D．18
6．（2024秋 秀英区校级期中）下列计算不正确的是（　　）
A．﹣1.5×（﹣3）＝4.5 B．（﹣1.2）×（﹣7）＝﹣8.4
C．﹣8×（﹣1.3）＝10.4 D．0×（﹣1.6）＝0
7．（2024秋 五华区校级期中）现有以下结论：①正有理数、负有理数和0统称为有理数；②若两个数的差是正数，则这两个数都是正数；③任意一个有理数都可以在数轴上找到一个点来表示；④若|a|＝|b|，则a＝b；⑤几个非零有理数相乘，若负因数的个数为奇数，则乘积为负数；⑥数轴上到原点的距离为3的点表示的数是3或﹣3．其中正确的有（　　）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
8．（2024秋 增城区期中）计算（﹣1）×5的结果是（　　）
A．﹣1 B．1 C．5 D．﹣5
9．（2024秋 澧县期中）有理数a，b，c在数轴上对应的位置如图所示：①abc＞0；②（b﹣a）（a﹣c）（c﹣b）＜0；③|b|＜1+ac；④|b﹣a|+|a﹣c|＝c+b其中正确的结论有（　　）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
10．（2024秋 费县期中）已知|x|＝5，|y|＝3，且xy＞0，则x﹣y的值等于（　　）
A．2或﹣2 B．1或﹣1 C．2或1 D．﹣2或﹣1
11．（2024秋 万州区校级期中）如果两个数的积是正数，而它们的和是负数，那么这两个数（　　）
A．都是正数 B．都是负数 C．一正一负 D．不能确定
12．（2024秋 市中区校级期中）下列各式结果为负数的是（　　）
A．﹣|﹣1| B．（﹣1）×（﹣1） C．﹣（﹣1） D．|1﹣2|
13．（2024秋 叙州区校级期中）已知|x|＝3，|y|＝5，且xy＜0，则x﹣y的值等于（　　）
A．﹣8或8 B．2或﹣8 C．﹣2或8 D．2或﹣2
14．（2024秋 荔城区校级期中）若|x|＝2，|y|＝1，且xy＞0，则x+y的值是（　　）
A．3或﹣3 B．1或﹣1 C．1或﹣3 D．﹣1或3
15．（2024秋 邗江区校级期中）已知|x|＝3，y2＝4，且xy＜0，则x+y的值是　 　 ．
16．（2024秋 古冶区期中）若■表示最大的负整数，则2025×■＝ 　 　 ．
17．（2024秋 铜梁区校级期中）﹣3×（﹣2）＝　 　 ．
18．（2024秋 开州区期中）绝对值小于2.5的所有非负整数的积为　 　 ．
19．（2024秋 丽江校级期中）三个有理数a、b、c满足abc＞0，则的值为 　 　 ．
20．（2024秋 沙洋县期中）已知a，b，c是有理数，a+b+c＝0，abc＞0，则　 　 ．
▉考点03 有理数的除法
1．（2024秋 海门区期中）计算（﹣7）÷（）×7的结果为（　　）
A．1 B．﹣7 C．7 D．343
2．（2024春 瑶海区期中）设a、b为实数，则下列说法正确的是（　　）
A．a≠b，则a2＞b2 B．若a＞b，a＜0，则
C．若a＜0，b＜0，则ab＜0 D．若|a|＞|b|，则a﹣b＞0
3．（2024秋 南宁期中）若a，b为有理数，它们在数轴上的位置如图所示，以下计算正确的是（　　）
A．a+b＜0 B．a﹣b＜0 C．ab＞0 D．a÷b＞0
4．（2024秋 金牛区校级期中）已知a，b两数在数轴上对应的点如图所示，下列结论正确的是（　　）
A．a﹣b＜0 B．ab＞0 C．a+b＞0 D．
5．（2024秋 宁波期中）有理数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，下列各式正确的是（　　）
A．a+b＜0 B．a﹣b＜0 C．ab＞0 D．
6．（2024秋 漳州期中）有理数a，b在数轴上对应的点的位置如图所示，对于下列四个结论：其中不正确的是（　　）
A． B．b﹣a＞0 C．|a|＜|b| D．a+b＞0
7．（2024秋 兰州校级期中）下列说法正确的个数为（　　）
①0的倒数是它本身；
②一个数的倒数一定小于这个数；
③0除以任何数都得0；
④两个数的商为0，只有被除数等于零．
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
8．（2024秋 舒城县校级期中）有理数a、b在数轴上的位置如图所示，则下列各式正确的是（　　）
A．ab＞0 B．0 C．a﹣b＞0 D．b﹣a＞0
9．（2024秋 互助县期中）算式_____＝﹣3中的横线内应填（　　）
A． B． C． D．
10．（2024秋 广州期中）下列说法：①若数a的绝对值等于a，则a是正数；②若a+b+c＝0，则a、b、c互为相反数；③若两个数的和为正数，则这两个数中至少有一个是正数；④若两个数的商为﹣1，则这两个数互为相反数；⑤除以一个数等于乘这个数的倒数；⑥几个数相乘，积的符号由负因数的个数决定．其中正确的有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
11．（2024秋 渭城区校级期中）计算3÷（）的结果是（　　）
A． B． C．﹣6 D．6
12．（2024秋 南明区校级期中）下列计算正确的是（　　）
A．（﹣3）×（﹣5）＝﹣15 B．21
C．﹣2﹣3＝﹣5 D．﹣2﹣（﹣3）＝﹣1
13．（2024秋 美兰区校级期中）计算：1÷2结果是（　　）
A．1 B．﹣1 C． D．
14．（2024秋 官渡区校级期中）计算的结果等于（　　）
A．﹣32 B．32 C．﹣2 D．2
15．（2024秋 江阳区校级期中）下列说法中，正确的有（　　）
①零除以任何数都等于零；
②相反数等于它本身的数只有0，倒数等于它本身的数是±1；
③绝对值相等的两个数一定相等，绝对值不相等的两个数一定不相等；
④一个不等于零的有理数除以它的相反数等于﹣1．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
16．（2024秋 思明区校级期中）下列计算：
①0﹣（﹣4）＝4；
②（﹣3）+（﹣7）＝﹣10；
③3×（﹣4）＝﹣12；
④（﹣36）÷（﹣9）＝4．其中正确的个数是（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
17．（2024秋 三河市校级期中）某同学在计算﹣12÷a时，误将看成“÷”看成“+”结果是﹣6，则﹣12÷a的正确结果是（　　）
A．2 B．﹣2 C． D．
18．（2024秋 甘肃校级期中）1930年，德国汉堡大学的学生考拉兹，曾经提出过这样一个数学猜想：对于每一个正整数，如果它是奇数，则对它乘3再加1；如果它是偶数，则对它除以2．如此循环，最终都能够得到1．这一猜想后来成为著名的“考拉兹猜想”，又称“奇偶归一猜想”．虽然这个结论在数学上还没有得到证明，但举例验证都是正确的，例如：取正整数5，最少经过下面5步运算可得1，即：5168421如果正整数m最少经过6步运算可得到1，则m的值为　 　 ．
19．（2024秋 凤台县期中）下列结论：①若a为有理数，则|a|＞0；②若|a|+|b|＝0，则a﹣b＝0；③若a﹣b＝0，则；④若abc＜0，则，则其中正确的结论的是 　 　 （填序号）．
20．（2024秋 东阳市期中）如图，小天有5张写着不同数的卡片，从中抽出2张卡片，使卡片上的数相除，所得到的商最小，最小的商是 　 　 ；从中抽出3张卡片，使卡片上的数相乘，所得到的积最大，最大的积是 　 　 ．

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