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2025—2026学年七年级数学上学期单元测试卷
第五章 一元一次方程 单元测试·基础卷
（ 全卷满分120 分，考试时间120 分钟）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D A B C B D A D A C
1．D
本题主要考查了一元一次方程的识别，解题的关键是掌握一元一次方程的定义．
根据一元一次方程的定义（只含有一个未知数，且未知数的最高次数为1的整式方程）判断各选项．
解：∵ 一元一次方程需满足：①只含一个未知数；②未知数的最高次数为1；③整式方程；
选项A：，不是整式方程，不符合题意；
选项B：，未知数次数为2，不符合题意；
选项C：，含两个未知数，不符合题意；
选项D：，只含一个未知数，且次数为1，是整式方程，符合题意；
故选：D．
2．A
本题主要考查了等式的基本性质，熟练掌握等式两边同时加、减、乘、除（除数不为）同一个数或式子，等式仍然成立是解题的关键．
根据等式的基本性质，对每个选项进行分析判断．
解：∵ ，
∴ ，故A项成立，符合题意．
∵ 是在等式两边分别减和加，不符合等式基本性质，
∴ 该等式不一定成立，故B项错误，不符合题意．
∵ 当， 时，符合，但，，此时不成立，
∴ 该等式不一定成立，故C项错误，不符合题意．
∵ 与已知 不符，
∴ 该等式不成立，故D项错误，不符合题意．
故选：．
3．B
本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，根据“如果每个同学分4本，则缺25本”，结合这个班级的人数，可得出这些图书共有本，结合所列方程，可得出这些图书共有本，进而可得出横线的信息，根据所列方程，找出缺失的条件是解题的关键．
解：如果每个同学分4本，则缺25本，且这个班级有名学生，
这些图书共有本，
所列方程为，
这些图书共有本，
横线的信息可以是：每个同学分3本，则剩余20本．
故选：B．
4．C
本题考查一元一次方程的应用，找准等量关系列出方程是解题的关键．
设需要安排名工人生产桌面，则安排名工人生产桌腿，再根据1个桌面配3条桌腿列出方程即可．
解：设需要安排名工人生产桌面，则安排名工人生产桌腿，根据题意得：
解得：
答：需要安排名工人生产桌面．
故选：．
5．B
本题考查有理数与数轴，有理数的运算，相反数，绝对值方程，根据相关知识点，逐一进行判断即可．
解：数轴上离原点越远的点表示的数的绝对值越大；故①说法错误；
如果两个数的商为正数，则两个数同号，它们的和可能为正数，也可能为负数；故②说法错误；
若，则，则或；故③说法正确；
当时，不一定大于，比如，；故④说法错误；
，可以为任意数；故⑤说法错误；
相反数等于其本身的有理数只有零；故⑥说法正确；
故选B．
6．D
本题考查了一元一次方程的解，将方程适当变形是解答本题的关键．方程可变形为：，再根据两个方程的特点得出，据此求解即可．
解：方程可变形为：，
∵关于x的一元一次方程的解为，
∴关于y的一元一次方程的解为，
解得：．
故选：D．
7．A
本题考查了解一元一次方程及方程的同解问题，如果两个方程的解相同，那么这两个方程叫做同解方程．求出方程的解，代入即可求出m的值．
解：解方程得，
∵方程与的解相同，
∴将代入，得：，
解得：，
故选：A．
8．D
本题主要考查了一元一次方程的解，先解含有字母参数a的方程，求出x，再根据关于x的方程的解是正整数，列出关于a的方程，求出符合条件的a，再求出它们的积即可．
解：，
去分母得，
移项、合并同类项得，
解得．
∵关于x的方程的解是正整数，
∴，且是正整数，
∴或2或3或6，
解得：或或或2，
∴符合条件的所有整数a的积为：
，
故选：D．
9．A
本题考查解一元一次方程，不等式，掌握知识点是解题的关键．
先求出，由，得到原方程的解为，且，则，即可解答．
解：，
去括号，得，
移项，合并同类项，得，
∵，
∴原方程的解为，且，
∴．
故选A．
10．C
本题考查了一元一次方程的求解，先根据题目中给出的定义列出方程，再进行求解即可．
解：，
，
解得：，
故选：C．
11．7
本题考查了一元一次方程的应用，熟练掌握工程问题求解的基本思路是解题的关键．先根据题意得出甲，乙的工作效率分别是，再结合现先由甲、乙合作2天后，乙有其他任务，剩下的工程由甲单独完成，进行列方程，解方程，即可作答．
解：设甲还需要天才能完成该工程，
根据题意，得方程：
方程化为：，
解得：，
故甲还需要7天
故答案为：7
12．2025
本题考查方程的解，代数式求值，掌握方程的解的定义是解题的关键．
将代入，得到和的数量关系并代入计算即可．
解：将代入，
得，
经整理，得，
则
．
故答案为：2025．
13．85
本题主要考查的知识点是常规赛和淘汰赛赛制的比赛场次计算．先计算第一阶段常规赛的比赛场次，再根据第二阶段淘汰赛的比赛场次，最后将两阶段场次相加得到总场次．
解：设总比赛场次为场
第一阶段∶单循环赛制，每支球队都要与其他球队比赛一场；每支球队需比赛的场次为球队总数减(不与自己比赛)，支球队共比赛场，但每场比赛被重复计算两次，所以需除以得到实际场次．
（场）
第二阶段∶淘汰赛制，分3轮共进行7场比赛，单场定胜负，最终决出联赛冠军，
因此，总场次等于第一阶段循环赛场次加上第二阶段淘汰赛场次，
（场），
故答案为：．
14．或
本题主要考查了去绝对值，解一元一次方程，解题的关键是熟练掌握分类讨论的数学思想．
根据绝对值的几何意义分类讨论，然后去掉绝对值，解一元一次方程即可．
解：①当时，，
解得，，符合题意；
②当时，，不符合题意；
③当时，，
解得，，不符合题意；
④当时，，不符合题意；
⑤当时，，
解得，，不符合题意；
⑥当时，，不符合题意；
⑦当时，，
解得，，符合题意；
综上，或．
15．7
本题考查了新定义，解一元一次方程，解题的关键是正确理解新定义．
根据定义，对于整数x，表示大于的最小整数，由于是整数，因此；表示小于的最大整数，由于是整数，因此，然后代入方程求解即可．
解：因为x是整数，
所以，
代入方程，
得，
解得，
故答案为：7．
16．②③⑤
本题主要考查了等式的性质、无限循环小数化分数、单项式的系数、反比例关系的判定以及绝对值的几何意义，熟练掌握这些概念和性质是解题的关键．分别对每个说法依据相关数学概念和性质进行判断，分析其正确性．
解：当时，，、无意义，故①不一定正确；
设，则，两式相减得，
解得，故②正确；
单项式的系数为，故③正确；
∵ 全班人数一定时，男生人数与女生人数之和为定值，而非乘积为定值，
∴ 男生人数与女生人数不成反比，故④错误；
分段讨论：当时，表达式为，在时取最小值；
当时，恒为；
当时，，在时取最小值，
∴ 的最小值为，说法⑤正确，
故答案为：②③⑤．
17．
本题考查解一元一次方程．去分母，去括号，移项，合并，系数化1，进行求解即可．
解：去分母得：，
去括号得：，
移项得：，
合并得：，
系数化为1得：．
18．(1)
(2)
(3)，或，
本题考查了解一元一次方程，新定义，已知方程的解求参数，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）先解得，因为方程与关于x的方程互为“归一方程”，得中的，则，即可作答．
（2）先分别把方程与方程表示出的代数式，再结合新定义进行列式得，再解方程，即可作答．
（3）与（2）同理得，，再结合新定义进行列式得，再解方程，根据m、n为正整数，即可作答．
（1）解：∵，
∴，
∵方程与关于x的方程互为“归一方程”，
∴中的
即
∴
（2）解：∵，
∴，
∴，
∵
∴
∴
∴
∴
∵关于x的方程与关于x的方程互为“归一方程”，
∴
∴
∴．
（3）解：∵
∴
∴
∵
∴
∴
∵关于x的两个方程与互为“归一方程”
∴
∴
∴
则
∴
∴
∵m、n为正整数
那么，此时，；
或，此时，；
综上：，或，
19．(1)该制药厂实际参加生产的工人有人；
(2)该车间还需要招聘名熟练工人
本题考查了一元一次方程的应用，根据题意找出等量关系是解题关键．
（1）设该制药厂实际参加生产的工人有人，根据题意列一元一次方程求解即可；
（2）设该车间还需要招聘名熟练工人，根据题意列一元一次方程求解即可．
（1）解：设该制药厂实际参加生产的工人有人，
由题意得：，
解得：，
答：该制药厂实际参加生产的工人有人；
（2）解：设该车间还需要招聘名熟练工人，
由题意得：，
解得：，
答：该车间还需要招聘名熟练工人
20．(1)有，可以节约740元钱
(2)1班有58人，2班有45人
(3)购买151张，总票价为5285元
本题主要考查了一元一次方程的应用，解题的关键是找准确等量关系，要注意考虑全面，购票最省钱的办法就是团体购票．
（1）最节约的办法就是团体购票，节省的钱团体票价；
（2）分有两种情况：若1班和2班人数都在51～100之间；若1班人数是51～100，2班人数是1～50；分别计算，即可求解；
（3）先计算出148人的团体票价，再计算出151人的团体票价，即可求解．
（1）解：有．可以节约（元）．
（2）解：设1班有x人，则2班有人，根据题意，有两种情况：
若1班和2班人数都在51～100之间，
（不符合题意，舍去）；
若1班人数是51～100，2班是1～50，
，
解得：，
则，
答：1班有58人，2班有45人；
（3）解：若3班也去，则三个班团体购票最合理，三个班的总人数有148人，总票价元．
若买151张票，总票价为元，
∵，
∴最合理的方法是购买151张，总票价为5285元．
21．(1)该车间有男生31人，女生54人
(2)应该分配25名工人生产大齿轮，60名工人生产小齿轮
此题考查了一元一次方程的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程．
（1）设该车间有男生x人，则女生人数是人，根据“男生人数女生人数”列出方程并解答；
（2）设应分配y名工人生产大齿轮，名工人生产小齿轮，根据等量关系列出方程，再解即可．
（1）设该车间有男生x人，则女生人数是人，则
，
解得，
则，
答：该车间有男生31人，女生人数是54人．
（2）设应分配y名工人生产大齿轮，名工人生产小齿轮，
由题意得：
解得：，
答：应该分配25名工人生产大齿轮，60名工人生产小齿轮．
22．(1)①③
(2)5和6是“关联数对”，理由见详解
(3)
本题为新定义问题，考查有理数的四则运算，解方程等知识，难度较大，理解新定义是解题关键．
（1）根据“关联数对”定义逐一判断即可求解；
（2）设，根据“关联数对”定义得到，求出，即可得到5和6是“关联数对”；
（3）把变形为，根据前两步规律进一步变形为，再计算即可．
（1）解：①当，时，，，
∴，
∴2和3是“关联数对”；
②当，时，，，
∴，
∴3和7不是“关联数对”；
③当，时，，，
∴，
∴和是“关联数对”；
故答案为：①③；
（2）解：设，由题意得，
∵有理数m、n为“关联数对”，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴5和6是“关联数对”；
（3）解：
．
23．(1)
(2)不是方程的解；是方程的解
(3)
（1）根据一元一次方程的定义，可知，，解之即可得到答案；
（2）将（1）中得到的的值代入原方程，分别将，，代入方程中，若能使等式成立，即为方程的解，否则就不是；
（3）化简求值后，将（1）中得到的的值代入即可得到答案．
（1）解：由题意，得，解得．
（2）解：由（1）可知，，则方程为．
把代入，左边右边，故不是方程的解；
把代入，左边右边，故是方程的解．
（3）解：原式．
当时，原式．
本题考查了一元一次方程的解及其定义，熟练掌握一元一次方程的概念及解法是解题的关键．
24．(1)，10
(2)1或4
(3)①；②6或10
本题主要结合数轴考查动点问题，一元一次方程的应用，掌握数轴的知识和行程问题的解法是解题的关键．
（1）根据绝对值和偶次方的非负性求解即可．
（2）设点表示的数为，根据，得出点在，两点之间，则，．当时，列出方程，当时，列出方程，求解即可．
（3）①点表示的数是，点表示的数为，即可得出．
②当在的左侧时，列出方程，当在的右侧时，列出方程，求解即可．
（1）解：∵，
∴，
故答案为：，10．
（2）解：设点表示的数为，
因，则点在，两点之间，
所以，．
当时，，解得：；
当时，，解得：．
综上，点表示的数为1或4．
（3）解：①点表示的数是，点表示的数为，
．（如写“或”也可）
②当在的左侧时，，解得：；
当在的右侧时，，解得：．
即此时运动时间的值为6或10．2025—2026学年七年级数学上学期单元测试卷
第五章 一元一次方程 单元测试·基础卷
（ 全卷满分120 分，考试时间120 分钟）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题（每题 3 分，共 30 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1．下列是一元一次方程的是（ ）．
A． B． C． D．
2．已知，则下列等式中一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
3．把一些图书分给某班学生阅读，如果_____；如果每个同学分4本，则缺25本．设这个班级有x名学生，可列出方程．则横线的信息可以是（ ）
A．分给3个同学，则剩余20本 B．每个同学分3本，则剩余20本
C．分给3个同学，则缺20本 D．每个同学分3本，则缺20本
4．学校需要定制一批3条腿的桌子．已知某工厂有24名工人，每人每天可以生产20块桌面或300条桌腿．为使每天生产的桌面和桌腿刚好配套，则生产桌面的工人应安排（ ）
A．18名 B．21名 C．20名 D．16名
5．下列表述中正确的个数是（ ）
①数轴上离原点越远的点表示的数越大；②如果两个数的商为正数，则他们的和也为正数；③若，则或8；④若，则；⑤若（，都不为零），则和的绝对值一定相等；⑥相反数等于其本身的有理数只有零；
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6．关于x的一元一次方程的解为，则关于y的一元一次方程的解为（ ）
A． B． C． D．
7．已知关于的方程的解和的解相同，则的值为（ ）
A． B．2 C． D．1
8．已知关于x的方程的解是正整数，则符合条件的所有整数a的积是（ ）
A．12 B．46 C． D．
9．若，则关于的方程的解一定是（ ）
A．正数 B．负数 C．零 D．无解
10．定义，若，则的值是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
二、填空题（每小题 3 分，共 18 分）
11．一件工程，甲单独做需12天完成，乙单独做需8天完成，现先由甲、乙合作2天后，乙有其他任务，剩下的工程由甲单独完成，则甲还需要 天才能完成该工程．
12．已知是方程的一个解，则整式的值为 ．
13．在2025年江苏省城市足球联赛(“苏超”)中，13个地级市分别组建代表队，于5月10日正式开赛．比赛分为常规赛和淘汰赛两个阶段：第一阶段为常规赛，13支球队采用单循环赛制，前八名进入淘汰赛；第二阶段采用单回合淘汰赛制，分3轮共进行7场比赛，单场定胜负，最终决出联赛冠军．那么本次联赛共进行了 场比赛．
14．方程的解为 ．
15．规定：用表示大于n的最小整数，例如等；用表示小于n的最大整数，例如，如果整数x满足关系式：，则x＝ ．
16．①若，则；②将无限循环小数化为分数为；③单项式的系数为；④全班的人数一定，男生人数与女生人数成反比；⑤的最小值为3．以上说法中一定正确的是 ．（填序号）
三、解答题（第 17，18，19，20，21 题每题 8 分，第 22，23 题每题 10 分，第 24 题 12 分，共 72 分）
17．解方程：．
18．“程，课程也，二物者二程，三物者三程，皆如物数程之，并列为行，故谓之方程”这是我国古代著名数学家刘徽在《九章算术》对方程一词给出的注释．定义：如果两个一元一次方程的解的和为1，则称这两个方程互为“归一方程”．
(1)若方程与关于x的方程互为“归一方程”，求m的值．
(2)若关于x的方程与关于x的方程互为“归一方程”，求a的值．
(3)若关于x的两个方程与互为“归一方程”，求出所有满足条件的正整数m、n值．
19．近期流感高发，接种疫苗是阻断流感的有效途径，针对疫苗急需问题，某制药厂紧急批量生产．计划全体工人每天工作8小时，每人每小时生产疫苗400剂．受其它因素影响，实际参与生产的工人比原计划少10名，为了应对市场需要，实际参与生产的工人加班生产，由原来每天工作8小时增加到每天工作10小时，每人每小时完成的工作量不变，这样恰好能完成每天预定产量．
(1)求该制药厂实际参加生产的工人有多少人？
(2)生产5天后，接到通知，再生产25天，加上这5天的生产量共需完成800万剂的生产任务．为保证按时完成任务，该厂决定招聘熟练工人立即到岗加入生产，每天生产时间仍为10小时，每人每小时完成的工作量不变，问该车间还需要招聘多少熟练工人？
20．又到了春暖花开的时节，淮安外国语学校一年一度的“踏青节”即将拉开帷幕．“烟花三月下扬州”，美丽的瘦西湖成了同学们的首选目标．国家旅游胜地“五星级”风景区瘦西湖的团体参观门票价格规定如下表：
购票人数（人） 1～50 51～100 101～150 150以上
参观门票价格（元/人） 50 45 40 35
去年我校七（1）、（2）两班共103人（其中（1）班人数多于（2）班人数）去参观瘦西湖，如果两班都以班级为单位分别购票，则一共需付4860元．
(1)你认为有没有最节约的购票方法？如果有，可以节约多少元钱？
(2)你能确定两班各有多少名学生吗？
(3)如果本校初一（3）班共45人也一同前去参观，那又如何购票最合理呢？共需多少元钱？
21．工业园区某机械厂的一个车间主要负责生产大小齿轮，该车间有工人85人，其中女生人数比男生人数的2倍少8人，每个工人平均每天可以生产大齿轮16个或者小齿轮10个．
(1)请问该车间有男生、女生各多少人？
(2)已知2个大齿轮与3个小齿轮配套，为使每天生产的大小齿轮恰好配套，应该分配多少工人负责生产大齿轮，多少工人负责生产小齿轮？
22．给出定义：，（m、n都是有理数）．如果m、n能满足，则称有理数m、n为“关联数对”．
(1)下列各组数是“关联数对”的是______．（填序号）
①，；②，；③，；
(2)写出一对不同于（1）的“关联数对”，并说明它是“关联数对”的理由；
(3)计算：．
23．已知关于的方程是一元一次方程．
(1)求的值．
(2)请判断和是否为方程的解．
(3)求的值．
24．如图1，已知数轴上点表示的数为，点表示的数为，且满足．是数轴上的一个动点，点到点的距离表示为，点到点的距离表示为．
(1)________，________；
(2)当时，求点所表示的数；
(3)如图2，动点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向右运动，动点从点出发，以与点相同的速度沿数轴向左运动．
①若运动时间均为，用代数式表示，之间的距离；
②若点，之间的距离是点，之间距离的2倍，求此时运动时间的值．(共6张PPT)
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第五章 一元一次方程
单元测试·基础卷试卷分析
一、试题难度
三、知识点分布
一、单选题 1 0.94 判断是否是一元一次方程
2 0.85 等式的性质1；等式的性质2
3 0.65 比例分配(一元一次方程的应用)
4 0.75 配套问题(一元一次方程的应用)
5 0.74 绝对值方程；有理数的除法运算；相反数的定义；有理数加法运算
6 0.64 一元一次方程解的关系
7 0.65 解一元一次方程（二）——去括号；已知一元一次方程的解，求参数
8 0.75 解一元一次方程（三）——去分母；已知方程的解，求参数
9 0.65 解一元一次方程（二）——去括号
10 0.64 解一元一次方程（一）——合并同类项与移项
三、知识点分布
二、填空题 11 0.85 工程问题(一元一次方程的应用)
12 0.75 已知式子的值，求代数式的值；已知方程的解，求参数
13 0.65 比赛积分(一元一次方程的应用)
14 0.65 带有字母的绝对值化简问题；解一元一次方程（二）——去括号；绝对值的几何意义
15 0.64 解一元一次方程（一）——合并同类项与移项；解一元一次方程（二）——去括号
16 0.64 带有字母的绝对值化简问题；单项式的系数、次数；等式的性质2
三、知识点分布
三、解答题 17 0.85 解一元一次方程（三）——去分母
18 0.85 解一元一次方程（三）——去分母；一元一次方程解的关系；解一元一次方程（一）——合并同类项与移项；已知一元一次方程的解，求参数
19 0.75 工程问题(一元一次方程的应用)
20 0.74 有理数乘法的实际应用；方案选择(一元一次方程的应用)
21 0.65 配套问题(一元一次方程的应用)；和差倍分问题(一元一次方程的应用)
22 0.65 有理数四则混合运算；解一元一次方程（三）——去分母
23 0.64 判断是否是方程的解；已知字母的值 ，求代数式的值；判断是否是一元一次方程
24 0.4 数轴上两点之间的距离；几何问题(一元一次方程的应用)；绝对值非负性

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