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2025—2026学年七年级数学上学期单元测试卷
第五章 一元一次方程 单元测试·巩固卷
（ 全卷满分120 分，考试时间120 分钟）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题（每题 3 分，共 30 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1．下列变形中，错误的是（　　）．
A．若，则
B．若，则
C．若，则
2．下列各式中，是一元一次方程的是( )
A． B． C． D．
3．某商店将一件商品按进价提高后标价，又以9折销售，售价为216元，则该商品的进价为（ ）
A．200 元 B．210 元 C．180 元 D．190 元
4．如果与的值互为相反数，那么的值是（ ）
A． B． C． D．
5．若与为同类项，则的值为（ ）
A．2 B．1 C．0 D．
6．小明从家里骑自行车到学校，若每小时骑，则可早到；若每小时骑，则将迟到．小明家到学校的路程是（ ）
A． B． C． D．
7．数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美结合通过研究数轴，我们发现了许多重要的规律，比如：数轴上点和点表示的数为，，则，两点之间的距离，若，则可化简为若，则可化简为，请你利用数轴解决以下问题：若数轴上两点、对应的数分别为，，点为数轴上一动点，其对应的数为当到点、的距离之和为时，则对应的数的值为（ ）
A． B．和 C．和 D．和
8．某工艺品车间有20名工人，平均每人每天可制作12个大花瓶或10个小饰品，已知2个大花瓶与5个小饰品配成一套，则要安排x名工人制作大花瓶，才能使每天制作的大花瓶和小饰品刚好配套，方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
9．已知关于x的一元一次方程的解为，那么关于y的一元一次方程的解为（ ）
A．2023 B．-2013 C．2013 D．-2023
10．小强在解方程“”时，将“”中的“”抄漏了，得出，则原方程正确的解是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（每小题 3 分，共 18 分）
11．已知关于x的一元一次方程的解是，则m的值是 ．
12．如果关于x的一元一次方程的解是，那么t的值是 ．
13．一个人先沿水平道路前进千米，继而沿千米长的山坡爬到了山顶，之后又沿原路返回到出发点，全程共用了小时，已知此人在水平路上每小时走千米，上山每小时走千米，下山每小时走千米，则此人所走的全程是 千米．
14．定义：若关于的方程的解与关于的方程的解满足（为正数），则称方程与方程是“差解方程”．
（）若与是“差解方程”，则 ，
（）若关于的两个方程与方程是“差解方程”，则 ．
15．爱动脑筋的小亮同学设计了一种“幻圆”游戏，将一些数字分别填入图中的圆圈内，使横、竖以及内外两圈上的4个数字之和都相等，他已经将一些数填入了圆圈，则的值为 ．
16．一水平放置的数轴上有，两点，点表示的数为，点表示的数为6．一点从点出发以每秒2个单位速度沿数轴向右运动，到达点后立即返回，之后便沿数轴一直向左运动．设运动时间为秒，当 时，点到点的距离为8．
三、解答题（第 17，18，19，20，21 题每题 8 分，第 22，23 题每题 10 分，第 24 题 12 分，共 72 分）
17．解方程：
(1)
(2)
18．甲，乙两船从港口同时出发反向而行，甲船顺水，乙船逆水，两船在静水中的速度都是，水流速度是．
(1)后甲，乙两船相距多远？
(2)若甲船从港口顺水航行到达港口；从港口返回港口逆水而行，用了，求水流速度．
19．把一批图书分给七年级某班的学生阅读，若每人分3本，则剩余20本；若每人分4本，则差25本．
(1)这个班有多少名学生？
(2)读书周期间，这个班级的学生去图书馆整理图书，由1个人做要完成．现计划由一部分人先做4h，然后增加2人与他们一起做，正好完成这项任务．假设这些人的效率相同，具体应先安排多少人整理图书？
20．已知关于的方程．
(1)当为何值时，该方程与的解相同？
(2)佳佳同学在解这个方程，去分母时忘记给右边的乘分母的最小公倍数，最终解得，求这个方程正确的解．
21．数形结合是解决数学问题的重要思想方法.例如，的几何意义是数轴上所对应的点与2所对应的点之间的距离．因为，所以的几何意义就是数轴上所对应的点与所对应的点之间的距离．
【探究问题】
如图，数轴上，点A、B、P分别表示数，因为的几何意义是线段与的长度之和，当点在线段上时，，而当点在点的左侧或点的右侧时，．所以当点在线段上时，有最小值，最小值是3．
【解决问题】
（1）根据绝对值的几何意义，当时，的值为_____________；
（2）利用绝对值的几何意义，直接写出式子的最小值为_____________；
（3）利用绝对值的几何意义，当时，的值为_____________；
（4）利用绝对值的几何意义，写出的最小值为_____________．
22．如图为一个“鱼形”计算程序．输入值，由上面的一条运算路线从左至右逐步进行运算得到，由下面的一条运算路线从左至右逐步进行运算得到．例：若输入，则．
(1)若输入，则__________，__________：
(2)若得到，求输入的值及相应的值；
(3)若输入所得值与输入所得值相同，求输入的值．
23．周末，小月和爸爸在的环形跑道上骑车锻炼，她们在同一地点沿着同一方向同时出发，爸爸第一次追上小月后，小月说：“爸爸，您要两分钟才能第一次追上我哦”，爸爸回答道：“我骑完一圈的时候你才骑半圈，以后要多跟爸爸一起锻炼身体哦．”
(1)请根据她们的对话内容，求小月和爸爸的骑行速度．
(2)爸爸第一次追上小月后，小月立刻掉头沿原路骑行，再经过多少分钟后，小月和爸爸在相遇前相距米？
24．【问题背景】我国著名数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”，数形结合是解决数学问题的重要思想方法．我们知道的几何意义是：在数轴上数对应的点与原点的距离．这个结论可以推广为：如图1，在数轴上有理数对应的点为点，有理数对应的点为点，两点之间的距离表示为或，记为．例如，在数轴上，表示-4和-2的点的距离为．
【问题解决】
（1）数轴上表示3和的两点之间的距离是______；
（2）数轴上有理数与对应的两点之间的距离用绝对值符号可以表示为______；
（3）若数轴上有理数与1对应的两点之间的距离，则等于______；
【联系拓广】
（4）如图2，点是数轴上的三点，点表示的数为4，点表示的数为，动点表示的数为，若点在点两点之间，则______；若，则点表示的数为______；
（5）对于任何有理数，是否有最小值？如果有，请写出最小值并说明理由．2025—2026学年七年级数学上学期单元测试卷
第五章 一元一次方程 单元测试·巩固卷
（ 全卷满分120 分，考试时间120 分钟）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B C A D D C C D B A
1．B
本题考查等式的基本性质：①等式两边同时加上（减去）同一个数，等式仍然成立；②等式两边同时乘以（除以）同一个不为0数，等式仍然成立，熟记等式的基本性质是解决问题的关键．
由等式的基本性质逐项验证即可得到答案．
解：A、由等式基本性质，等式两边同时加上，等式成立，不符合题意；
B、由等式基本性质，等式两边同时除以一个不为0的数，等式成立，但选项中并未明确，选项变形错误，符合题意；
C、由等式基本性质，等式两边同时减去，等式成立，不符合题意；
故选：B．
2．C
本题主要考查了一元一次方程的定义，熟练掌握含有一个未知数，且未知数的次数为1的整式方程是一元一次方程是解题的关键．根据一元一次方程的定义，即可求解．
解：A. ，不是一元一次方程，不符合题意；
B. ，不是一元一次方程，不符合题意；
C. 是一元一次方程，符合题意；
D. 不是方程，不符合题意．
故选：C．
3．A
本题考查了一元一次方程的应用，通过列方程直接求解，注意计算准确．
设进价为x元，根据提高后标价，再打9折，售价为216元，列出方程求解．
解：设进价为x元，根据题意得，
∵ 标价，
售价=标价，
∴ ，
，
∴ 进价为200元．
故选：A．
4．D
此题考查了解一元一次方程，其步骤为：去括号、移项、合并、将未知数系数化为，求出解．
根据互为相反数两数之和为列出方程，求出方程的解即可得到的值．
解：根据题意得：，
去括号得：，
移项得：，
合并同类项得：，
系数化为得：．
故选：D．
5．D
本题考查了已知同类项求指数中字母或代数式的值，熟练掌握同类项的定义是解题的关键；
根据同类项的定义，两个单项式中相同字母的指数必须相等，因此可列出关于和的方程求解．
∵ 与 为同类项，
∴ 的指数相等：，
∴ 的指数相等：，
解得：，，
∴ ．
故选：D．
6．C
本题考查了列一元一次方程解实际问题的运用，行程问题的数量关系的运用，解答时根据小明到校的规定时间不变建立方程是关键．
设小明家到学校的路程是千米，根据小明到校的固定时间不变建立方程求出其解即可．
解：设小明家到学校的路程是千米，
由题意得：，
解得：．
答：小明家到学校的路程是千米．
故选：C．
7．C
本题考查数轴上两点间的距离．根据两点间的距离公式，分三种情况进行讨论求解即可．
解：当点在点左侧时，则：，
解得；
当点在点和点之间时，则：，不符合题意；
当点在点右侧时，则：，
解得；
综上：或；
故选：C．
8．D
本题考查一元一次方程的应用，设生产大花瓶的为x人，则生产小饰品的为人，再由2个大花瓶与5个小饰品配成一套列出方程，进一步求得x的值，计算得出答案即可．
解：根据题意，得，
故选：D．
9．B
本题主要考查了换元法解一元一次方程，熟练掌握换元法的思想是解题的关键．通过观察两个方程的结构特征，利用换元法将关于的方程转化为已知解的关于的方程形式，进而求解的值．
解：对于方程，
∵令，
∴原方程可化为．
∵已知关于的方程的解为，
∴．
∵，
∴．
故选：B．
10．A
本题考查了解一元一次方程和一元一次方程的解的应用，能求出的值是解此题的关键．小强漏抄负号后解得的可求出k的值，再代入原方程求解即可．
小强将方程抄为，解得，
则将代入错误方程得：，
解得：．
原方程为：，
移项得：，
即，
解得：．
故选：A．
11．2
本题考查了已知方程的解，求参数；一元一次方程的解．根据方程的解的定义，将代入原方程，得到关于m的一元一次方程，解方程即可求出m的值．
解：依题意，将代入方程，
得，
即，
解得，
故答案为：2．
12．
本题主要考查了一元一次方程解的定义，解一元一次方程．根据一元一次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值把代入原方程求出t的值即可．
解：∵关于x的一元一次方程的解是，
∴，
∴，
故答案为：．
13．
本题考查了代数式求值，等式的性质，由题意可知，解得，然后代入即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键．
解：由题意可知，
解得，
∴（千米），
故答案为：．
14． 或
（）求出两个方程的解，再根据定义解答即可；
（）求出两个方程的解，再根据定义解答即可；
本题考查了解一元一次方程，绝对值的意义，理解新定义是解题的关键．
解：（）解方程，得；解方程，得，
∵与是“差解方程”，
∴，
∴，
故答案为：；
（）解方程，得；解方程，得，
∵方程与方程是“差解方程”，
∴，
即，
解得或，
故答案为：或．
15．
本题考查有理数的运算与方程思想，通过设公共和为定值，利用横、竖及内外圈数字和相等列方程求解，关键是建立等式关系，易错点是数字求和或解方程时的计算错误；解题思路：设公共和为定值，根据横、竖、内外圈数字和相等列方程，求解．
解：先计算外圈数字的和：；
再计算内圈数字的和：；
因为内外圈数字和相等，所以；
再看横向数字和：；
纵向数字和：；
因为横、纵向数字和相等，所以；
即；
将代入：，解得；
；
故答案为．
16．4或12
本题考查了数轴上的动点问题，数轴上两点之间的距离，一元一次方程的应用，由题意可得点、之间的距离为，故当点运动到点时，点到点的距离为8，点到达点后立即返回，表示的数为，再根据题意列出一元一次方程，计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
解：∵点表示的数为，点表示的数为6，
∴点、之间的距离为，
∵点从点出发以每秒2个单位速度沿数轴向右运动，
∴当点运动到点时，点到点的距离为8，所花时间为秒，
∵点到达点后立即返回，之后便沿数轴一直向左运动，
∴点到达点后立即返回，表示的数为，
∵点到点的距离为8，
∴，
解得：；
综上所述，当或时，点到点的距离为8，
故答案为：4或12．
17．(1)
(2)
本题考查解一元一次方程．熟练掌握解一元一次方程的基本步骤是解题关键．
（1）依次移项、合并同类项、系数化为1即可求解；
（2）依次去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1即可求解．
（1）
去括号，得，
移项，得
合并同类项，得，
系数化为1，得．
（2）
去分母得：，
去括号得：，
移项得：
合并同类项得：，
系数化为1得：．
18．(1)
(2)
本题主要考查了一元一次方程的应用，整式加减运算的实际应用，正确掌握船在水中顺流与逆流时的速度关系是解题关键．
（1）首先根据题意得出甲船顺水时的航行速度为，乙船逆水时的航行速度为，由此即可得出二者2小时后各自的航行距离，据此进一步计算即可得出答案．
（2）根据往返路程相等，列出方程，即可求解．
（1）解：由题意得，
，
答：后甲，乙两船相距；
（2）解：根据往返路程相等，列得方程，，
去括号，得，
移项及合并同类项，得，
系数化为1，得，
答：水流的速度为．
19．(1)这个班有45名学生
(2)应先安排2人整理图书
（1）设这个班有名学生，根据如果每人分本，则剩余本；如果每人分本，则差本．列出一元一次方程，解方程即可；
（2）设应先安排人整理图书，现计划由一部分人先做，然后增加人与他们一起做，正好完成这项任务，列出一元一次方程，解方程即可．
（1）解：设这个班有名学生．
由题意，得，
解得．
答：这个班有名学生．
（2）解：设应先安排人整理图书．
由题意，得，
解得．
答：应先安排人整理图书．
本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
20．(1)
(2)
本题主要考查了一元一次方程的解和解一元一次方程，熟练掌握解方程的步骤是解答本题的关键．
（1）首先求出方程的解，然后代入求解即可；
（2）首先将代入，求出，然后代入求解即可．
（1）解：解方程，得．
将代入，
得，
解得；
（2）解：由题意，将代入，
得，
解得．
将代入，
得，
解得，
所以这个方程正确的解为．
21．（1）或1；（2）；（3）或5；（4）
本题考查了绝对值以及绝对值方程，掌握绝对值的几何意义是解题关键．
（1）根据绝对值求解即可；
（2）根据绝对值几何意义求解即可；
（3）由（2）可知，的最小值为，则当时，或，再分别求解即可；
（4）根据绝对值几何意义求解即可；．
解：（1）当时，，
解得：或1，
故答案为：或1；
（2）表示到4和的距离和，
当时，有最小值，最小值，
故答案为：6；
（3）由（2）可知，的最小值为，
则当时，在左侧或的右侧，即或，
当时，，解得：；
当时，，解得：，
故答案为：或5；
（4）表示到、2、5的距离和，
则当时，距离和最小为，
即的最小值为8，
故答案为：8．
22．(1)1；
(2)，
(3)．
本题主要考查了解一元一次方程，理解程序图是解题的关键．
（1）根据程序图输入，即可求解；
（2）根据程序图可得，从而得到，直一步计算即可求解；
（3）根据得到m的值等于n的值，可得到关于x的方程，即可求解．
（1）解：输入，得到，；
故答案为：1；；
（2）解：由题意得：，
解得：，
∴；
（3）解：由计算程序，可知，．
∵m的值等于n的值，
∴，
解得：．
23．(1)小月骑行速度为米/分钟，爸爸骑行速度为米/分钟
(2)再经过或分钟，小月和爸爸在相遇前相距m
本题考查一元一次方程的应用：
（1）设小月的骑行速度为x米/分钟，则爸爸的骑行速度为米/分钟，根据追及路程差是一圈列方程求解即可得到答案；
（2）设再经过y分钟，小月和爸爸在相遇前相距米，分拉开米或拉开米两类列方程求解即可得到答案；
（1）解：设小月的骑行速度为x米/分钟，则爸爸的骑行速度为米/分钟，
根据题意得：，解得：，
∴，
答：小月骑行速度为米/分钟，爸爸骑行速度为米/分钟．
（2）解：设再经过y分钟，小月和爸爸在相遇前相距米，
当时，
解得
当时，
解得，
答：再经过或分钟，小月和爸爸在相遇前相距．
24．（1）8（2）（3）或7；（4）6，或6；（5）有，最小值是10．理由：表示的是一个数到和6的距离的和，而和6的距离为10，所以最小距离就是10．
本题主要考查了列代数式，数轴，绝对值，正确列出含绝对值的代数式是基础，通过分类讨论去掉绝对值符号是解答本题的关键．
（1）根据数轴上A、B两点之间的距离，代入数值运用绝对值即可求任意两点间的距离；
（2）根据数轴上两点之间的距离代入值运用绝对值化简即可求得；
（3）根据数轴上两点之间的距离列出等式，结合绝对值计算即可；
（4）根据数轴上两点之间的距离判断出为的距离，再结合已知值和最小值分别求解即可；
（5）根据x是动点，结合绝对值的意义和（3）最小值的取值可能，即可知由最小值且位于和6之间．
解：（1）数轴上表示3和的两点之间的距离等于；
（2）数轴上有理数x与对应的两点之间的距离用含x的式子表示为；
（3）若数轴上有理数x与1对应的两点A，B之间的距离，则，
∴或；
（4）∵P在点M，N之间，且点M表示的数为4，点N表示的数为，
∴
∵，
∴点在线段外，
当P在N左边，即，，
解得，；
当P在M点右边时，即，，
解得，；
∴点表示的数为或6；
（5）表示的是一个数到和6的距离的和，而和6的距离为10，所以当x位于和6时，取得最小距离就是10．(共6张PPT)
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第五章 一元一次方程
单元测试·巩固卷试卷分析
一、试题难度
三、知识点分布
一、单选题 1 0.94 等式的性质1；等式的性质2
2 0.94 判断是否是一元一次方程
3 0.85 销售盈亏(一元一次方程的应用)
4 0.84 解一元一次方程（一）——合并同类项与移项；解一元一次方程（二）——去括号
5 0.75 已知同类项求指数中字母或代数式的值；解一元一次方程（一）——合并同类项与移项
6 0.74 行程问题(一元一次方程的应用)
7 0.65 动点问题（一元一次方程的应用）；数轴上两点之间的距离
8 0.65 配套问题(一元一次方程的应用)
9 0.65 一元一次方程解的关系
10 0.64 解一元一次方程（一）——合并同类项与移项；已知一元一次方程的解，求参数
三、知识点分布
二、填空题 11 0.85 解一元一次方程（一）——合并同类项与移项；已知方程的解，求参数
12 0.84 解一元一次方程（二）——去括号；已知方程的解，求参数
13 0.75 已知式子的值，求代数式的值；等式的性质2
14 0.65 绝对值方程；已知一元一次方程的解，求参数；解一元一次方程（一）——合并同类项与移项
15 0.65 数字问题(一元一次方程的应用)
16 0.64 数轴上两点之间的距离；动点问题（一元一次方程的应用）
三、知识点分布
三、解答题 17 0.85 解一元一次方程（二）——去括号；解一元一次方程（三）——去分母
18 0.84 整式加减的应用；行程问题(一元一次方程的应用)
19 0.75 和差倍分问题(一元一次方程的应用)；工程问题(一元一次方程的应用)
20 0.74 解一元一次方程（三）——去分母；已知一元一次方程的解，求参数
21 0.65 绝对值的几何意义；绝对值方程；数轴上两点之间的距离
22 0.65 程序流程图与代数式求值；解一元一次方程（三）——去分母
23 0.64 行程问题(一元一次方程的应用)
24 0.4 动点问题（一元一次方程的应用）；绝对值方程；数轴上两点之间的距离；绝对值的几何意义

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