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人教版2024八年级上册
第17章 因式分解 单元测试·基础卷
试卷分析
一、试题难度
三、知识点分布
一、单选题 1 0.94 计算多项式乘多项式；已知因式分解的结果求参数
2 0.94 判断是否是因式分解
3 0.85 判断是否是因式分解；综合提公因式和公式法分解因式；十字相乘法
4 0.84 综合提公因式和公式法分解因式；因式分解的应用
5 0.75 完全平方公式分解因式；提公因式法分解因式；综合运用公式法分解因式
6 0.74 平方差公式分解因式；完全平方公式分解因式；提公因式法分解因式
7 0.85 判断能否用公式法分解因式
8 0.65 提公因式法分解因式
9 0.84 公因式
10 0.65 （x+p）（x+q）型多项式乘法；已知因式分解的结果求参数
三、知识点分布
二、填空题 11 0.85 综合提公因式和公式法分解因式
12 0.84 已知因式分解的结果求参数
13 0.75 因式分解的应用；提公因式法分解因式
14 0.74 多项式除以单项式；提公因式法分解因式
15 0.65 完全平方公式分解因式
16 0.64 综合运用公式法分解因式；已知式子的值，求代数式的值；整式的混合运算
三、知识点分布
三、解答题 17 0.85 提公因式法分解因式
18 0.84 完全平方公式分解因式
19 0.75 十字相乘法；因式分解的应用；分组分解法
20 0.74 十字相乘法
21 0.65 综合提公因式和公式法分解因式；因式分解的应用；分组分解法
22 0.65 计算多项式乘多项式；已知因式分解的结果求参数
23 0.64 已知因式分解的结果求参数
24 0.4 完全平方公式分解因式；综合运用公式法分解因式；三角形三边关系的应用2025—2026学年八年级数学上学期单元测试卷
第17章 因式分解 单元测试·基础卷
（ 全卷满分120 分，考试时间120 分钟）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题（每题 3 分，共 30 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1．把多项式分解因式，得，则，的值分别是（ ）
A．， B．， C．， D．，
2．下列各式由左边到右边的变形中，是因式分解的为（　　）
A． B．
C． D．
3．下列各式从左到右的变形，因式分解正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4．为保证数据安全，通常会将数据经过加密的方式进行保存，例加：将一个多项式因式分解为，当时，，，将得到的三个数字按照从小到大的顺序排列得到加密数据：，根据上述方法．当时，多项式分解因式后形成的加密数据是（ ）
A． B． C． D．
5．下列因式分解正确的是（　）
A． B．
C． D．
6．下列各式中不能进行因式分解的是（ ）
A． B．
C． D．
7．给出下列式子：①；②；③；④；⑤其中在实数范围内能用完全平方公式分解因式的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
8．把多项式分解因式得（ ）
A． B．
C． D．
9．将用提公因式法分解因式，应提取的公因式是（ ）
A． B． C． D．
10．如果二次三项式在整数范围内可因式分解为，那么m的值为（ ）
A．4 B． C．7 D．
二、填空题（每小题 3 分，共 18 分）
11．分解因式： （要求因式任意一项系数都是有理数）．
12．若能分解为两个一次因式的乘积，则的一个可能值是
13．已知可因式分解为，其中均为正整数，则的值为 ．
14．若，则M等于 ．
15．若实数，，，满足，，则 ．
16．已知，且，则代数式的值为 ．
三、解答题（第 17，18，19，20，21 题每题 8 分，第 22，23 题每题 10 分，第 24 题 12 分，共 72 分）
17．分解因式：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)
18．下面是某同学把多项式分解因式的过程．
解：设，
则原式
．
(1)该同学对该多项式的因式分解是否彻底 若不彻底，请直接写出因式分解的最后结果；
(2)请你模仿以上方法尝试把多项式分解因式．
19．我们已经学过将一个多项式分解因式的方法有提公因式法和运用公式法，其实分解因式的方法还有分组分解法、拆项法、十字相乘法等等．
①分组分解法：．
②拆项法：将一个多项式的某一项拆成两项后，可提公因式或运用公式继续分解的方法叫作拆项法．例如：
③十字相乘法：十字相乘法能用于二次三项式的分解因式．分解步骤：1．分解二次项；2．分解常数项；3．交叉相乘，求代数和，使其等于一次项；4．得出原二次三项式的两个因式．
例如：
分析：
解：原式
(1)仿照以上方法，按照要求分解因式：（写出过程）
①（分组分解法）
②（拆项法）
③= ．
(2)已知：、、为的三条边，，求的周长．
20．阅读理解：用“十字相乘法”因式分解：，
（1）二次项系数：；
（2）常数项：；
（3）验算：“交叉相乘之和”．
发现第③个“交叉相乘之和”，与一次项系数相等，则．
像这样，通过十字交叉线的帮助，把二次三项式因式分解的方法，叫作“十字相乘法”．
仿照以上方法，因式分解：
(1)
(2)
21．综合与实践
【阅读材料，掌握知识】
常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法等，但有的多项式不能直接用上述两种方法进行分解.某数学学习小组对分解因式题目进行了如下探究：
分解因式：
解法一：
解法二：
小结：对项数较多的多项式无法直接进行因式分解时，我们可以将多项式分为若干组，再利用提公因式法、公式法达到因式分解的目的，这就是因式分解的分组分解法．
【理解知识，尝试应用】
（1）因式分解：；
【提炼思想，拓展应用】
（2）已知三角形的三边长分别是，，，且满足，试判断这个三角形的形状，并说明理由．
22．仔细阅读下面例题，解答问题：
例题：已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及m的值．
解：设另一个因式为，得，则
解得： ∴另一个因式为，m的值为．
问题：仿照以上方法解答下面问题：
(1)若，则______；
(2)已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及p的值．
(3)已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及k的值．
23．因为，这说明多项式有一个因式为，我们把代入此多项式发现能使多项式的值为0．
利用上述阅读材料求解：
(1)若是多项式的一个因式，求的值；
(2)若和是多项式的两个因式，试求m，n的值；
(3)若能使多项式的值0，请将多项式进行因式分解．
24．利用完全平方公式和的特点可以解决很多数学问题．下面给出两个例子：
例1．分解因式：
．
例2：若，求M的最小值．
∵，，
∴当时，M的最小值是1．
仔细阅读上面例题，模仿解决下列问题：
(1)分解因式：；
(2)当x、y为何值时，多项式有最小值？并求出这个最小值；
(3)已知的三边长a、b、c都是正整数，且满足，求周长的最大值．2025—2026学年八年级数学上学期单元测试卷
第17章 因式分解 单元测试·基础卷
（ 全卷满分120 分，考试时间120 分钟）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B D C C A C C A C C
1．B
本题考查多项式乘法，根据因式分解结果求参数，解题的关键是熟练掌握多项式乘法．根据多项式乘法，计算，由对应项系数相等，即可得，的值．
解：∵把多项式分解因式，得，
∴，
∴，，
故选：．
2．D
本题主要考查因式分解的概念，根据题意逐项判断即可．
A、的右边不是因式相乘的形式，不符合题意；
B、的右边不是因式相乘的形式，不符合题意；
C、的右边不是因式相乘的形式，不符合题意；
D、是因式分解，符合题意；
故选：D．
3．C
本题主要考查因式分解，熟练掌握因式分解是解题的关键；根据因式分解的定义以及因式分解的方法逐项分析判断，即可求解．
解：A、，不属于因式分解；故不符合题意；
B、，等式的右边不是整式的乘积形式，不属于因式分解，故不符合题意；
C、，正确，故符合题意；
D、，原选项分解不彻底，故不合题意；
故选：C．
4．C
本题考查了多项式的因式分解，将多项式因式分解后代入计算各因式的值，按从小到大排列得到加密数据，正确理解题意、熟练掌握分解因式的方法是解题的关键．
解：，
当时，，，
∴将得到的三个数字按照从小到大的顺序排列得到加密数据：，
故选：．
5．A
此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确应用公式是解题关键．
直接利用提取公因式法以及公式法分解因式，进而分析即可．
解：A、，故此选项正确；
B、，故此选项错误；
C、，原式漏项，故此选项错误；
D、，不是因式分解，是整式的乘法，故此选项错误；
故选：A．
6．C
此题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．
通过检查每个选项是否能进行因式分解，使用提公因式法或公式法（如平方差、完全平方公式），判断出选项C不能因式分解．
A．，能因式分解；
B．，能因式分解；
C． 没有公因式，且不符合平方差或完全平方公式，不能因式分解；
D．，能因式分解．
故选：C．
7．C
本题考查了用完全平方公式分解因式.
逐一整理后根据完全平方公式进行判断即可．
解：①，不能用完全平方公式分解因式；
②，能用完全平方公式分解因式；
③，不能用完全平方公式分解因式；
④，能用完全平方公式分解因式；
⑤，能用完全平方公式分解因式；
所以能用完全平方公式分解因式的有3个．
故选：C．
8．A
本题考查了利用提公因式法进行多项式因式分解，先通过变形将多项式中互为相反数的因式化为相同形式，再提取公因式，最后对剩余部分继续分解因式，再分析各选项的正误即可．
解：
．
故选：A．
9．C
本题考查了公因式，熟练掌握公因式的定义及确定公因式的方法是解题的关键：公因式的定义：多项式的各项都有一个公共的因式p，我们把因式p叫做这个多项式的公因式；需要注意：①公因式必须是每一项中都含有的因式；②公因式可以是一个数，也可以是一个字母，还可以是一个多项式；③某个或某些项中含有，而其他项中没有的因数或因式不能成为公因式的一部分；确定公因式的方法：①定系数，即确定各项系数的最大公因数；②定字母，即确定各项的相同字母因式（或相同多项式因式）；③定指数，即各项相同字母因式（或相同多项式因式）的指数的最低次幂．
根据公因式的定义及确定公因式的方法即可直接得出答案．
解：将用提公因式法分解因式，应提取的公因式是，
故选：C．
10．C
本题考查了因式分解和多项式的乘法．根据题意可将变为的形式，再根据题意进行判断即可．
解：由题意得，
二次三项式在整数范围内可因式分解为，
，
，
故选：C．
11．
本题主要考查了因式分解，熟练掌握完全平方公式和平方差公式，是解题的关键．先提公因式将原式变为，然后分别用完全平方公式和平方差公式，分解因式即可．
解：
．
故答案为：．
12．2（答案不唯一）
此题主要考查了因式分解，正确得出等式是解题关键．
设，可得，从而得到，，即可求解．
解：设，
∴，
∴，，
当，时， ．
此时，能分解为两个一次因式的乘积．
故答案为：2（答案不唯一）
13．
此题主要考查了因式分解的应用，提取公因式法分解因式，直接提取公因式，进而合并同类项得出即可．正确找出公因式是解题关键．
解：
可分解因式为，，
则，
故．
故答案为：．
14．
本题主要考查多项式除以单项式、因式分解等知识点，熟练掌握运算提取公因式进行因式分解是解题的关键．
根据题意可知：，然后再运用因式分解和多项式除以单项式即可解答．
解：∵，
∴
．
故答案为：．
15．
本题考查了完全平方公式与因式分解，熟悉掌握运算法则是解题的关键．
把和合并，利用完全平方公式化简后求解即可．
解：∵，
∴可得：，
整理可得：，
∵，，，，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
16．0
本题考查了因式分解、代数式求值、整式的混合运算，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．
整理条件式，根据公式法对其因式分解，进而解题．
解：，
，
，
，
，
即，
，
∴，
∴，
．
故答案为：0 ．
17．(1)
(2)
(3)
(4)
本题主要考查因式分解，熟练掌握因式分解是解题的关键；
（1）根据提公因式法可分别求解即可；
（2）根据提公因式法可分别求解即可；
（3）根据提公因式法可分别求解即可；
（4）根据提公因式法可分别求解即可．
（1）解：原式；
（2）解：原式
；
（3）解：原式
；
（4）解：原式
．
18．(1)不彻底，
(2)
本题考查了因式分解，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）理解题意，再结合题干的过程，进行分析，即可作答．
（2）模仿题干的过程，设，故原式，即可作答．
（1）解：观察题干过程，得出该同学对该多项式的因式分解不彻底，
过程如下：
依题意，原式
；
（2）解：依题意，设，
原式
．
19．(1)①，②，③
(2)7
本题考查因式分解的方法，读懂题中的分解方法并熟练掌握整式乘法公式是解题的关键．
（1）①将原式化为，再利用完全平方公式和平方差公式分解即可；②将原式化为，再利用完全平方公式和平方差公式分解即可；③直接利用十字相乘法分解即可；
（2）先利用完全平方公式对等式的左边变形，再根据偶次方的非负性可得出，，的值，然后求和即可得出答案．
（1）解：①
；
②
；
③；
故答案为：，，
（2）解：∵，
∴，
∴，
∴，，，
∴．
∴的周长为7．
20．(1)
(2)
本题考查利用十字相乘法进行因式分解，解答关键是仿照例题方法解题．
（1）根据题意利用十字相乘解题即可；
（2）根据题意利用十字相乘解题即可．
（1）解：：
二次项系数，常数项．
验算交叉相乘之和：，与一次项系数相等．
所以；
（2）解：：
二次项系数，
常数项，验算交叉相乘之和：，不符合；
再尝试常数项，验算交叉相乘之和：，不符合；继续尝试常数项，验算交叉相乘之和：，不符合；最后尝试常数项，验算交叉相乘之和：，与一次项系数相等．
所以．
21．
(1)
(2) 等腰三角形，理由见解析
本题主要考查了分解因式，熟练掌握分组分解因式的方法是解题的关键．
(1) 对多项式进行分组，提取公因式后因式分解；
(2) 将等式变形为因式乘积形式，利用三角形三边关系判断其形状.
（1）解：
原式
（2）∵
∴
∵三角形的三边长分别是，，
∴
∴即
∴这个三角形是等腰三角形.
22．(1)
(2)，另一个因式是
(3)，另一个因式是
本题考查了因式分解的结果求参数，多项式乘多项式，解题的关键是：理解因式分解与多项式乘法互为逆运算．
（1）将，等式右边展开，根据对应项系数相等，即可求解，
（2）设另一个因式为，根据多项式的乘法运算法则展开，根据对应项系数相等，即可求解，
（3）设另一个因式是，根据多项式的乘法运算法则展开，根据对应项系数相等，即可求解．
（1）解：，
，，
，
故答案为：；
（2）解：设另一个因式为，
则，
，解得，，
另一个因式是；
（3）解：设另一个因式是，则
，
则，解得，，
另一个因式是．
23．(1)
(2),
(3)
本题考查因式分解的特殊方法，阅读相关材料能够举一反三是解题的关键．
（1）根据材料把代入多项式中使多项式值为零，解方程即可求出k值；
（2）把和分别代入式子中使原式值为零，解方程组即可求出m，n值；
（3）把，，代入多项式中，使原式值为零，即可求解．
（1）解：依题意，把代入，
∴
∴；
（2）解：把和分别代入，
即
解得：
（3）解：∵能使多项式的值0，
∴是多项式的一个因式
又∵当时，，
当时，
∴是的因式
∴．
24．(1)
(2)当，时，多项式有最小值，最小值为3
(3)周长的最大值为13
本题考查因式分解，偶次方的非负性，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．
（1）把原式变换成完全平方式与一个常数的差的形式，再利用平方差公式分解因式即可；
（2）把原式变换成两个完全平方式与一个常数的和形式，根据完全平方式为非负数即可解答；
（3）把等式变形为三个完全平方式的和等于0的形式，根据几个非负数的和为零时，几个非负数都等于0，由此求出a、b，再根据三角形三边的关系求出的最大值，由此可求出答案．
（1）解：
；
（2）
，
当，时，多项式的最小值为3；
（3）∵，
∴，
∴，
∴，．
∴，
∵c是正整数，
∴当时，周长取最大值，
∴周长的最大值．

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