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2025—2026学年九年级数学下学期单元测试卷
第一章 解直角三角形 单元测试·基础卷
（ 全卷满分120 分，考试时间120 分钟）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C B C A C C D B C A
1．C
本题考查求角的正弦值，根据正弦的定义，进行求解即可．
解：∵，，，
∴；
故选：C．
2．B
本题考查了解直角三角形，解题的关键是掌握正弦和余弦的定义．
解：∵，，
∴．
故选：B．

3．C
此题主要考查了锐角三角函数的定义以及勾股定理，熟练应用锐角三角函数的定义是解决问题的关键．先运用勾股定理求得第三边的长，再根据锐角三角函数的定义分别进行求解即可．
解：∵，
∴，
A．，故此选项错误；
B．，故此选项错误；
C．，故此选项正确；
D．，故此选项错误．
故选：C．
4．A
本题考查三角函数的定义，掌握相关知识是解决问题的关键．利用三角函数定义逐项判断即可．
A、在中，，原结论错误，故此选项符合题意；
B、在中，，原结论正确，故此选项不符合题意；
C、在中，，原结论正确，故此选项不符合题意；
D、在中，，原结论正确，故此选项不符合题意．
故选：A．
5．C
本题主要考查了解直角三角形，熟知正弦的定义是解题的关键．
根据正弦的定义即可解决问题．
解：∵，
∴，
故选：C．
6．C
本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，过点B作于点D，根据题意可得，四边形是矩形，再根据锐角三角函数求出，再根据勾股定理即可求出的长．
解：如图，过点B作于点D，
根据题意可知：
，
∴四边形是矩形，
∴，
∵，
∴，
∵P处测得建筑物底端点A的俯角比顶端点B的俯角大，
∴，
∴，
∴，
在中，，
∴，
即，
∴，
∴，
在中，根据勾股定理，得
即，
解得．
所以建筑物的高度为25米．
故选：C．
7．D
本题考查相似三角形的性质与判定、勾股定理及三角函数，正确添加辅助线是解题的关键．
根据，构造直角三角形，过点作于点，过点作于点，由是等腰三角形，利用“三线合一”的性质可证明，根据相似三角形的性质建立方程组，解方程组即可．
解：过点作于点，过点作于点，如图：
，
，
设，，则
在中，
，即
在中，由勾股定理得
联立
解得：，
．
故选：D．
8．B
本题考查了勾股定理，三角函数，含角的直角三角形的性质，熟记等腰三角形三线合一的性质是解题的关键．
过点作于点，根据等腰三角形三线合一的性质得出的长，再根据三角函数求解即可．
解：如图，过点作于点，
，
∴，
∵，
∴，
∵，为边的中点，
∴，
∴，
又∵，
∴在中，，
∴．
故选：B．
9．C
本题主要考查特殊角的三角函数值及零指数幂的运算，需逐一计算各部分后合并同类项即可．
解：
，
故选：C．
10．A
分析题意，过点作，交于点，是在各自图形中找到面积表达式，利用已知的等量关系，结合所给的图及直角三角形高线性质，找出与得关系，即可解决问题．
解：如图所示，过点作，交于点，
=
，
，
，
，
由题目中所给的图及直角三角形高线性质可知：
，
，
，
．
故选：A．
本题考查对于三角形面积公式的运用，解题关键是在各自图形中找到面积表达式，利用已知的等量关系，结合所给的图及直角三角形高线性质，找出与得关系．
11．米
本题考查的是解直角三角形在实际生活中的运用，掌握相关知识是解决问题的关键．此题可根据楼，地面和光线正好构成直角三角形，利用勾股定理求解．
解：如图，过作于，
∴，
由题意，
∴，
米，
米．
∴米．
故答案为：米．
12．10
本题考查了根据角的余弦值求边长，根据余弦函数的定义可得，据此求解即可．
解：∵在中，，，
∴，
∵，
∴，
故答案为：10．
13．
本题考查勾股定理逆定理以及正弦的定义，先通过勾股定理的逆定理判断三角形为直角三角形，然后再利用正弦的定义解题即可．
解：在中，，，，
∵ ，，
∴ ，
∴ 是直角三角形，．
∴ ．
故答案为：．
14．35
过点B作于C，由迎水坡的坡度为，得到，求出米，再利用勾股定理求出答案即可．
此题考查坡度的定义，解直角三角形的实际应用，勾股定理，正确理解迎水坡的坡度为得到是解题的关键．
解：过点B作于C，
∵迎水坡的坡度为，
∴，
米，
∴米，
∴ (米)，
故答案为：35．
15．①②③
根据等边三角形的性质得到，，根据等边对等角得到，再利用角的和差以及等量代换可判断①；在上取点，使得，连接，通过证明得到，再利用线段的和差可判断②；当时，取最小值，此时，再利用正切的定义可判断③；过点作于点，利用等边三角形的性质和勾股定理求出，再分2种情况求出和的长，求出的值可判断④，即可得出结论．
解：∵边长为8的等边三角形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
设，
∴，，
∴，故①正确；
在上取点，使得，连接，
∵，，
∴是等边三角形，
∴，，
∴，
∴，
又∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，故②正确；
当时，取最小值，
∴，
∴，
∴，故③正确；
过点作于点，
∵等边三角形，
∴，
∴，
当时，
则，，
∴，
∴，
∴，
∴；
当时，
则，，
∴，
∴，
∴，
∴；
∴当动点D分线段为两部分时，则或，故④错误；
∴综上所述，正确结论的序号是①②③；
故答案为：①②③．
本题考查了等边三角形的性质与判定、全等三角形的性质与判定、勾股定理、特殊角的三角函数值，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
16．
本题考查了平行线的性质、等腰三角形的性质及特殊角度的三角函数值．先根据，可得为等腰三角形，再由直线直线l，得到内错角相等，即可求得α的角度，进而求得的值．
解：∵，，
∴，
又∵直线直线l，
∴，
∴．
故答案为：．
17．(1)
(2)
本题考查特殊角三角函数值的运算，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键．
（1）根据、、进行计算即可；
（2）根据、、进行计算即可．
（1）解：
；
（2）解：
．
18．
本题考查了旋转，勾股定理，和三角函数的知识．根据勾股定理求出的长，再由旋转的性质可得，然后勾股定理求出，即可求解．
解：∵，
，
将绕点逆时针旋转得到，
，
，
，
．
19．(1)141米；
(2)不够，见解析．
（１）如图，过点D作，垂足为点F，则，解，得（米）；
（2）解，，，，从而，，计算（米），总造价，得出结论．
（1）如图，过点D作，垂足为点F，则
中，
∴（米）；
（2）中，，
∴，
而
∴
∴
∴（米）
∴总造价；
∴预算不满足需求．
本题考查解直角三角形的运用，添加辅助线构造特殊角直角三角形是解题的关键．
20．，树高
本题考查的是直角三角形的三角函数应用，灵活运用三角函数的定义是解题的关键．通过分析图形中的两个直角三角形和，利用三角函数分别求出，，，进而通过线段的和差关系求出树高．
解：为水平线，
，
在中，，，
，
；
在中，，，
．
．
21．(1)
(2)存在，
本题考查了二次函数的应用，三角函数的应用，矩形的判定与性质，解题的关键是掌握相关知识．
（1）由题意可知，二次函数图象的顶点坐标为，设二次函数表达式为，把点代入求出，即可求解；
（2）无人机所处位置记为点，遥控车所处位置记为点，连接、，过点作轴于点，由题意可得，证明四边形为矩形，得到，由，推出，得到，设点的坐标为，得到，即可求解．
（1）解：由题意可知，二次函数图象的顶点坐标为，
设二次函数表达式为，
把点代入，得，
解得：．
彩虹桥中间拱形的二次函数表达式为；
（2）存在．
如图，无人机所处位置记为点，遥控车所处位置记为点，连接、，过点作轴于点，
无人机水平方向的速度为，遥控车的速度为，
，
又，
四边形为矩形．
，
由题意得：，
，
，
，
设点的坐标为．
，
解得：（舍去），，
当时，无人机到点的距离是遥控车到点距离的倍．
22．(1)
(2)
(3)
(4)
（1）由题意可得出答案；
（2）当点Q在上时，与点P重合，此时，求出，则可得出答案；
（3）取的中点O，连接交半圆于点Q，此时最小，由勾股定理可得出答案；
（4）分两种情况，当点Q在三角形内部时，当点Q在三角形外部时，由相似三角形的性质可得出答案．
（1）解：∵点P从A出发，以每秒2个单位的速度沿向终点C匀速运动（P不与A、C重合），
∴，
故答案为：；
（2）当点Q在上时，与点P重合，此时，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴当点Q在内部时，t的取值范围是；
（3）∵，
∴点Q在以为直径的半圆上运动，
取的中点O，连接交半圆于点Q，此时最小，
∵，
∴．
∴的最小值为；
故答案为：；
（4）当点Q在三角形内部时，
过点A作于点D，
则，
设，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
当点Q在三角形外部时，
过点A作于点N，同理可得，
∴．
综上所述，t的值为．
本题属于三角形综合题，主要考查的是相似三角形的性质和判定、勾股定理、以及圆周角定理，解答本题的关键是熟练掌握以上知识．
23．(1)
(2)的值为或
(3)
（1）由题意可得，，，然后依据定义进行判断即可；
（2）设点，则，然后分为和两种情况求解即可；
（3）根据角是钝角，且点是角终边上一点，得出点在第二象限，过点P作轴于点，根据三角函数定义得出，求出，得出，，最后求出结果即可．
（1）解：如图1，
，
点在第四象限，
，，
，
，，，
、、中的正值是，
故答案为：．
（2）解：直线经过原点和第一、第三象限，且角的终边与直线重合，
点在第一象限或第三象限，且可以表示为，作轴于点．
如图2，点在第一象限，则，，
，
；
如图3，点在第三象限，则，，
，
；
综上所述，的值为或．
（3）解：如图4，
角是钝角，且点是角终边上一点，
点在第二象限，
作轴于点，
，且，
，
解得：，
，
，，
．
本题主要考查了正比例函数的性质、三角函数的定义，两点间距离公式，理解三角函数的定义是解题的关键．
24．(1)米
(2)①；②2
本题主要考查了解直角三角形的实际应用，勾股定理，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键。
（1）利用勾股定理求出的长即可得到答案；
（2）过点C作交延长线为E，过点D作交延长线为F，
求出，解得到（米），解得到（米），据此求出的长即可得到答案；
②如图所示，过点D作交延长线于E，设交于H，根据，可推出当时，有最大值，即此时有，则可求出，，即r的最大值为2．
（1）解：在中，由勾股定理得米，
∴米
∴机械臂机器人抓手距离地面的最大高度为米；
（2）解：①如图，过点C作交延长线为E，过点D作交延长线为F，
∴，
由题意得：，
∴，
在中，米，，
∴（米），
∵，
∴，
在中，米，，
∴（米），
∴（米），
∴；
②如图所示，过点D作交延长线于E，设交于H，
∵，
∴当点E和点H重合，且最小时，有最大值，
∴当时，有最大值，即此时有，
∴此时，，
∴，
∴，
∴r的最大值为2．2025—2026学年九年级数学下学期单元测试卷
第一章 解直角三角形 单元测试·基础卷
（ 全卷满分120 分，考试时间120 分钟）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题（每题 3 分，共 30 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1．如图，在中，，，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
2．在中，， ，则的值为（　　）
A． B． C． D．
3．在中，，那么下列锐角三角比中，正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．如图，在中，，过点作，垂足为点，则下列结论不正确的是（ ）
A． B． C． D．
5．在中，若，则的长为（ ）
A． B．2 C．8 D．10
6．如图，一无人机在建筑物上空点P处测得建筑物底端点A的俯角比顶端点B的俯角大，已知建筑物位于水平地面上，小明从A处出发沿着走了24米后到达点C处，发现无人机正好在他的正上方．无人机，建筑物都与水平面垂直．则建筑物AB的高度为（　　）（参考数据：，，）
A．米 B．米 C．25米 D．28米
7．如图，中，为上一点，，，，则的长是（ ）
A．8 B． C． D．
8．在中，，，D为边的中点，E为边上任意一点．若，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
9．计算 结果是（ ）
A．2 B． C．1 D．
10．如图，在中，是斜边上的高，将得到的两个和按图、图、图三种方式放置，设三个图中阴影部分的面积分别为，，，若，则与之间的关系是（ ）
A． B． C． D．
填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．如图所示，小明家住在米高的A楼里，小丽家住在B楼里，B楼坐落在A楼的正北面，已知当地冬至中午时太阳光线与水平面的夹角为．如果A，B两楼相距米，那么A楼落在B楼上的影子有 ．
12．在中，，，，则 ．
13．在中，，，，那么 ．
14．如图，水库水坝的坝高为28米，如果迎水坡的坡度为，那么该水库迎水坡的长度为 米．
15．如图，动点D在边长为8的等边三角形的边上，点E在边的延长线上，连接、，；则下列结论中：①；②；③当取最小值时，则；④当动点D分线段为两部分时，则；其中正确结论的序号是 ．
16．如图，直线直线l，，若，则 ．
三、解答题（第 17，18，19，20，21 题每题 8 分，第 22，23 题每题 10 分，第 24 题 12 分，共 72 分）
17．计算：
(1)
(2)
18．如图，在中，，将绕点逆时针旋转得到，使点落在边上，连接，求的值．
19．某工厂的平面示意图如下，四边形为厂房区域，三角形广场紧邻厂房，经测量，点A在点E的正北方向，米，点B，C在点E的正东方向，米，点A在点B的北偏西60°方向，点D在点A的正东方向且在点C的北偏西45°方向．（参考数据：，

(1)求的长度（结果精确到个位）；
(2)为满足环保要求，工厂预算投入25万元在厂房四周安装除尘降噪设施．据调查，除尘降噪设施的平均造价为500元/米，请通过计算说明该笔预算是否足够．
20．如图，在一个坡角为的斜坡上有一棵树，高为，当太阳光线与水平线成角时，测得该树斜坡上的树影的长为，延长，交过点的水平线于点，求与树高（精确到），（已知，，，，，．供选用）．
21．郑州彩虹桥以其独特的造型成为城市地标，三个连续拱形设计雄伟壮观．已知彩虹桥中间拱形的最高点距离桥面，建立如图所示的平面直角坐标系，中间拱形的一端点为坐标原点，另一端点为，拱的形状可以近似看作二次函数图像的一部分．
(1)求彩虹桥中间拱形的二次函数表达式．
(2)一架无人机从原点出发，沿着拱形的轨迹匀速飞行，已知无人机飞行时在水平方向的速度为，同时有一遥控车从原点出发，沿方向以的速度匀速行驶，设运动时间为，问在运动过程中，是否存在某一时刻t，使得无人机到点O的距离是遥控车到点距离的倍？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
22．如图，在中，，点P从A出发，以每秒2个单位的速度沿向终点C匀速运动（P不与A、C重合），连结，过点C作射线于点Q．设点P的运动时间为t．
(1) ______（用含t的代数式表示）；
(2)当点Q在内部时，求t的取值范围；
(3)连结，则的最小值为______；
(4)当时，直接写出t的值．
23．我们学习了锐角三角函数的意义，为了研究需要，我们再从另一个角度来规定一个角的三角函数的意义：设有一个角，我们以它的顶点作为原点，以它的始边作为轴的正半轴，建立平面直角坐标系（如图所示），在角的终边上任取一点，它的横坐标是，纵坐标是，点和原点的距离为（总是正的），把角的三角函数规定为：，，．很显然，图中三个比值的大小仅与角的大小有关，而与点所在角的终边位置无关．
根据上述定义，解答问题：
(1)若，则角的三角函数值，，，其中取正值的是______；
(2)若角的终边与直线重合，求的值；
(3)若角是钝角，其终边上一点，且，求的值．
24．2025年春节联欢晩会上，我们看到了机器人跳舞的场景，随着科技的进步，人工智能得到了巨大的发展．如图是一款机械臂机器人，基座与地面垂直，基座米，大臂米，小臂米，大臂与水平线的张角为，小臂与大臂的张角为，其中，（图中点线在同一个平面内）．
(1)经过实验发现，当取最大值，且点、、三点共线时（如图2），抓手距离地面高度最大，则抓手距离地面的最大高度是 米．（结果保留根号）
(2)设抓手到直线的水平距离为．
①当时，求的值．
②当时，则的最大值为 米（结果保留两位小数，参考数据：，，，，，）．(共5张PPT)
浙教版 九年级下册
第一章 解直角三角形 单元测试·基础卷
试卷分析
二、知识点分布
一、单选题 1 0.94 求角的正弦值
2 0.94 正弦的概念辨析；求角的余弦值
3 0.85 求角的正弦值；求角的余弦值；用勾股定理解三角形；求角的正切值
4 0.75 余弦的概念辨析；求角的正切值；正弦的概念辨析
5 0.75 已知正弦值求边长
6 0.65 仰角俯角问题(解直角三角形的应用)
7 0.65 相似三角形的判定与性质综合；解直角三角形的相关计算；含30度角的直角三角形；用勾股定理解三角形
8 0.65 特殊三角形的三角函数；含30度角的直角三角形；用勾股定理解三角形
9 0.64 零指数幂；特殊角三角函数值的混合运算
10 0.4 构造直角三角形求不规则图形的边长或面积
二、知识点分布
二、填空题 11 0.85 其他问题（解直角三角形的应用）
12 0.85 已知余弦求边长
13 0.75 判断三边能否构成直角三角形；求角的正弦值
14 0.74 用勾股定理解三角形；坡度坡比问题(解直角三角形的应用）
15 0.65 等边三角形的判定和性质；用勾股定理解三角形；证一条线段等于两条线段和差（全等三角形的辅助线问题）；特殊三角形的三角函数
16 0.64 等边对等角；特殊三角形的三角函数；根据平行线的性质求角的度数
二、知识点分布
三、解答题 17 0.85 特殊角三角函数值的混合运算
18 0.84 根据旋转的性质求解；求角的正弦值；用勾股定理解三角形
19 0.75 解直角三角形的相关计算；构造直角三角形求不规则图形的边长或面积
20 0.74 坡度坡比问题(解直角三角形的应用）；解直角三角形的相关计算
21 0.65 根据特殊角三角函数值求角的度数；拱桥问题(实际问题与二次函数)；根据矩形的性质与判定求角度
22 0.65 用勾股定理解三角形；相似三角形的判定与性质综合；列代数式；利用同角三角函数关系求值
23 0.64 三角函数综合；求角的正弦值；求角的余弦值；求角的正切值
24 0.4 其他问题（解直角三角形的应用）

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