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(共33张PPT)
26.2实际问题与反比例函数
第1课时实际问题与反比例函数
第26章 反比例函数
学习目标
1.学生要能理解反比例函数在实际问题中的意义，准确找出实际问题中的反比例函数关系，会用反比例函数的表达式表示实际问题中的变量关系，并且能根据反比例函数的性质解决实际问题;
2.通过对实际问题的分析、探究，培养学生观察、分析、归纳和概括的能力，提高学生从实际问题中抽象出数学模型的能力，让学生体会函数思想和方程思想在解决实际问题中的应用;
3.通过解决实际问题，让学生感受数学与生活的紧密联系，激发学生学习数学的兴趣，培养学生勇于探索和创新的精神，增强学生学好数学的信心.
情景导入
新知探究
典例讲解
针对练习
拓展探究
当堂巩固
课堂小结
布置作业
2025年蛇年春晚的舞台上，《秧BOT》节目开场，一群穿着花棉袄的机器人在现场扭起了秧歌，机器人们还会变换队形、舞动身体，多角度转手绢。这些机器人都来自杭州宇树科技，此机器人为公司2023年8月推出的Unitree H1，2023年、2024年的北京世界机器
人大会、英伟达GTC大会，还有张艺谋导
演的《澳门2049》长期2年驻场舞台剧，
都有它们的身影，而此次春晚是一场史
无前例的全AI驱动全自动集群人形机器人
表演。至此，智能机器全面进入我们的生活。
情景导入
机器狗是一种模拟真实犬只形态和部分行为的机器装置，其最快移动速度是载重后总质量的反比例函数．已知一款机器狗载重后总质量时，它的最快移动速度；
问1.请求出其反比例函数解析式
解：设反比例函数解析式为，
由题意可得：，即，
∴反比例函数解析式为
新知探究
问2.当其载重后总质量时，求它的最快移动速度.
当时，．
问3.当其最快移动速度为20m/s时，求其
载重后的总质量.
当时，
即．
新知探究
例1.市煤气公司要在地下修建一个容积为的圆柱形煤气储存室.
(1) 储存室的底面积(单位： ) 与其深度(单位：)有怎样的函数关系
解(1)根据圆柱体的体积公式，得，
∴关于的函数解析式为
典例讲解
(2)公司决定把储存室的底面积定为，施工队施工时应该向下掘进多深
解(2)把S=500代入，得
解得
如果把储存室的底面积定为 ，
施工时应向地下掘进深.
典例讲解
(3)当施工队按(2)中的计划掘进到地下时，公司临时改变计划，把储存室的深度改为. 相应地，储存室的底面积应改为多少 (结果保留小数点后两位)
解：根据题意，把代入，
得,解得： ().
当储存室的深度为时，底面积应改为
典例讲解
方法点拨：利用反比例函数解决实际问题，首先要抓住实际
问题中的等量关系，把实际问题转化为数学问题回答.经常
遇到的是知自变量取值，求对应的函数值取值；或者知函数
值的取值，求对应的自变量的取值.
典例讲解
例2 码头工人每天往一艘轮船上装载30吨货物，装载完毕恰好用了8天时间.
(1)轮船到达目的地后开始卸货，平均卸货速度(单位：吨/天)与卸货天数之间有怎样的函数关系
解(1)设轮船上的货物总量为吨，
根据已知条件得=30×8=240，
所以关于的函数解析式为
典例讲解
(2)由于遇到紧急情况，要求船上的货物不超过5天卸载完毕，那么平均每天至少要卸载多少吨
解(2)把代入，得(吨/天)
从结果可以看出，如果全部货物恰好用5天卸载完，则平均每天
卸载48吨.而观察求得的反比例函数的解析式可知，越小，越
大.这样若货物不超过天卸载完，则平均每天至少要卸载吨.
当题目中出现“至少”“超过”“不多于”等关键词时，我们既可以利用不等式解决问题，也可以利用反比例函数的增减性解决问题.
典例讲解
1.如图，小伟想要用撬棍撬动一块大石头，已知阻力为，阻力臂长为． (杠杆平衡时，动力动力臂阻力阻力臂，图中撬棍本身所受的重力略去不计．)
(1)动力与动力臂有怎样的函数关系？
解(1)：由题意可得：，
则，
即F关于l的函数表达式为；
针对训练
(2)当动力臂长为时，撬动石头至少需要多大的力？
(3)若想使动力F不超过题(2)中所用力的一半，则动力臂至少要加长多少．
解(2)：∵，∴当时，代入得
故当动力臂长为时，撬动石头至少需要的力；
(3)当时，由得，m,
∵
∴若想使动力F不超过题(2)中所用力的一半，则动力臂至少要加长1.5m．
针对训练
(4)小伟若想使动力不超过，在动力臂最大为的条件下，他能否撬动这块石头？请说明理由．
解(4) 他不能撬动这块石头，理由如下：
∵，∴，
∵, ∴， ∴，
∵，∴他不能撬动这块石头．
针对训练
2.一个用电器的电阻是可调节的，其范围为110～220Ω. 已知电压为220V，这个用电器的电路图如图所示.
(1)功率P与电阻R有怎样的函数关系
U
~
R
解(1)根据电学知识，
当时，得
针对训练
(2)这个用电器功率的范围是多少
U
~
R
解(2)根据反比例函数的性质可知，电阻越大，功率越小.
把电阻的最小值代入求得的解析式，得到功率的最大值 ;
把电阻的最大值代入求得的解析式，得到功率的最小值
∴因此用电器功率的范围为.
针对训练
方法点拨：解决此类问题根据自变量的取值范围求函数值的取值范围时，先根据临界点自变量的取值求出其函数值的取值，再根据反比例函数的图象的增减性求出函数值的取值范围；反之亦然.
针对训练
3.为了预防流感，某中学用药熏消毒法对教室进行消毒．已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y（毫克）与时间x（分）成正比例，药物释放完毕后，y与x成反比例，整个过程中y关于x的函数图象如图所示．据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.45毫克以下时，学生方可
进入教室，则从药物释放完毕到学生能够
进入教室，至少要经过多少小时？
针对训练
解：设反比例函数解析式为，
将代入得：，
∴反比例函数解析式为，
当时，，解得：分小时，
∴小时，
∴从药物释放完毕到学生能够进入教室，至少要经过3.8小时.
针对训练
1.某商场出售一批进价为2元的贺卡，在市场营销中发现此商品的日销售单价x元与日销售量y个之间有如下关系：
(1)请你认真分析表中数据，从你所学习过的一次函数、反比例函数和其它函数中确定哪种函数能表示其变化规律，说明确定是这种函数而不是其它函数的理由，并求出它的解析式；
(元) 3 4 5 6
(个) 20 15 12 10
解(1)：反比例函数能表示其变化规律．因为表中每对x、y的值的乘积均为60，是一个定值．其解析式为；
拓展探究
(2)设经营此贺卡的销售利润为W元，试求出W（元）与x（元）之间的函数关系式．若物价局规定此贺卡的售价最高不能超过10元/个，请你求出当日销售单价x定为多少元时，才能获得最大日销售利润？
解(2)∵，
又∵，
∴当，W最大，
故当日销售单价x定为10元时，才能获得最大日销售利润．
拓展探究
1.如图，根据小孔成像的科学原理，当像距(小孔到像的距离)和物高(蜡烛火焰的高度)不变时，火焰的像高(单位：)是关于物距(小孔到蜡烛的距离)(单位：)的反比例函数，当时，，若火焰的像高为，则小孔到蜡烛的距离为（　　）
A．
B．
C．
D．
C
当堂巩固
2.当汽车的功率P（单位：）一定时，汽车的行驶速度v（单位：）与汽车所受阻力F（单位：N）之间成反比例函数关系，其图像如图所示．当汽车所受阻力低于时，汽车会有安全隐患，为保证汽车行驶安全，汽车的行驶速度应_____________
不大于
当堂巩固
3.某乡镇要在生活垃圾存放区建一个老年活动中心，这样必须把1200立方米的生活垃圾运走．
(1)假如每天能运立方米，所需时间为天，写出与之间的函数关系式；
(2)若每辆拖拉机一天能运12立方米，则5辆这样的拖拉机要用多少天才能运完？
解(1)：∵,∴;
(2) ,代入解析式得：(天)；
当堂巩固
(3)在(2)的情况下，运了8天后，剩下的任务要在不超过6天的时间内完成，那么至少需要增加多少辆这样的拖拉机才能按时完成任务？
解(3)：运了8天后剩余得垃圾是
剩下的任务要在不超过6天的时间完成则每天至少运,
则需要的拖拉机数是：(辆)，
则至少需要增加辆这样的拖拉机才能按时完成任务.
当堂巩固
4.我们知道当电压一定时，电流与电阻成反比例函数关系．现有某学生利用一个最大电阻为200欧姆的滑动变阻器及一电流表测电源电压，结果如图所示，当电阻R为6欧姆时，电流I为24安培．
(1)求电流I（安培）关于电阻R（欧姆）的函数解析式；
解(1)设函数解析式为，
∵当时，，∴，
解得：，
∴电流（安培）与电阻（欧姆）之间的表达式为．
当堂巩固
(2)若，求电流I的变化范围．
解(2)∵中，，，
∴图像在第一象限，随的增大而减小，
∵，
∴把电阻最小值代入,得电流的最大值，
把电阻最大值代入,得电流的最小值，
∴电流的变化范围是．
当堂巩固
5.一辆汽车往返于甲、乙两地之间，如果汽车以50千米／时的平均速度从甲地出发，则经过6小时可达到乙地.
(1)甲、乙两地相距多少千米？
(2)如果汽车把速度提高到(千米／时)，那么从甲地到乙地所用时间(小时)将怎样变化？
解(1)：由题意可得甲、乙两地相距千米;
(2)路程不变，当速度提高后所需时间将会减少，即；
当堂巩固
(3)因某种原因，这辆汽车需在5小时内从乙地到甲地，则此汽车的平均速度至少应是多少？
(4)已知汽车的平均速度最大可达80千米／时，那么它从甲地到乙地最快需要多长时间？
解(3)：当时，则，故此汽车的平均速度至少
应是60千米／时；
(4)当时，则,故从甲地到乙地最快需要
个小时；
当堂巩固
(5)若甲、乙两地限速为75千米/时，如果一辆汽车早上8点从甲地出发，什么时候回到甲地就说明该车有超速违规的行为？(路上的速度均保持不变，其余时间忽略不计)
解(5)：设小时返回甲地超速，
∴,
∴,
∴,
∴点前回到甲地就说明该车有超速违规的行为.
当堂巩固
实际问题与反比例函数
求解析式
根据图象或性质解决问题
待定系数法求解析式
知自变量取值代入解析式求函数值取值；知函数值取值代入解析式求自变量取值
课堂小结
布置作业
P15练习1、2、3题

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