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10.1.2 立方根
第10章
数的开方
华师大版2024·八年级上册
章节导读
学 习 目 标
理解立方根的基本概念与符号
定义的理解：能准确的说出立方根的定义，正确的使用立方根的符号，区别立方根和平方根的性质；
掌握立方根的运算与估算
熟练的求出一个数的立方根，明白正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0，能准确的估算非完全平方数的近似范围
运用计算器解决实际问题
正确操作计算器求立方根，准确的掌握计算器的使用步骤；
复习回顾
平方根的定义：如果一个数 x 的平方等于另一个数 a，即 x = a，那么 x 就叫做 a 的一个平方根。
因为 3 = 9，所以 3 是 9 的一个平方根。
因为 （-3） = 9，所以 -3 也是 9 的一个平方根。
因为 2 = 4，所以 2 是 4 的一个平方根（同时 -2 也是）。
因为 0 = 0，所以 0 是 0 的平方根。
正数有两个平方根，它们互为相反数，正的平方根叫做算术平方根；负数没有平方根；0的平方根是0
课堂引入
活动名称：立方王国密码锁
情境设定：“同学们，我们意外获得了一张通往神秘的‘立方王国’的藏宝图！但大门被一个特制的‘立方锁’锁住了。只有破解锁上的6位密码，我们才能进入。”
1cm3
8cm3
27cm3
64cm3
125cm3
216cm3
课堂引入
活动名称：立方王国密码锁
任务说明： “看，这锁有6个数字旋钮。王国守护者给了我们线索：王国里最重要的6个立方体守护石（展示卡片/图片）。每个守护石的体积就是一个密码提示！找到每个石头的边长（整数厘米），边长的个位数就是对应的密码数字！按顺序组合这6个数字就能开锁！”
1cm3
8cm3
27cm3
64cm3
216cm3
125cm3
学生在草稿纸上计算或估算每个给定体积的立方体的边长。
1cm
2cm
3cm
5cm
4cm
6cm
新知探究
活动名称：立方王国密码锁
任务结果： “汇总得到密码：1， 2， 3， 4， 5， 6。恭喜大家解开了密码！！！
“大家找边长1，2，3，4，5，6的过程顺利吗？对于体积1，8，27...的石头很快就能猜到边长是1，2，3...。但像125 cm ，你是怎么想到边长是5cm而不是4cm或6cm的呢？体积216呢？” 大家说一说分别是用什么方式来进行计算的呢
1×1×1=13=1
2×2×2=23=8
3×3×3=33=27
4×4×4=43=64
5×5×5=53=125
6×6×6=63=216
思考1的立方是1；2的立方是8；3的立方是27......；那么1是1的什么？2是8的什么？3是27的什么呢？
新知探究
体积 1 8 27 64 125 216
计算过程 1×1×1=13 2×2×2=23 3×3×3=33 4×4×4=43 5×5×5=53 6×6×6=63
边长 1 2 3 4 5 6
通过在课堂导入的探究，我们可以得出如下表所示的数据
1的立方是1，2的立方是8，3的立方是27，4的立方是64，5的立方是125，6的立方是216，那么反过来呢，这么我们引入一个新的概念立方根。
如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根；例如1的立方是1，则1是1的立方根，2的立方是8，则2是8的立方根，3的立方是27，则3是27的立方根等等
新知探究
上面我们学习了立方根的概念，①那么27的立方根是多少？②-27的立方根是多少？③0的立方根是多少呢。
3×3×3=33=27，所以27的立方根是3
（-3）×（-3）×（-3）=（-3）3=27，
-27的立方根是-3；
0的立方根是0
任何数的立方根如果存在的话，必定只有一个:正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0.
数a的立方根，记作，读作“三次根号a”.其中，a是被开方数，3是根指数，求一个数的立方根的运算，叫做开立方.
注意事项
可以借助立方运算求立方根，也可以用立方运算检验开立方是否正确.
典例分析
例1 （教材母题）求出下列各数的立方根
① ②-125 ③-0.008
因为，所以
因为（-5）3=-125，所以
因为（-0.2）3=-0.008，所以=-0.2
典例分析
例2 计算
（1） （2）
本题考査了求一个数的算术平方根，求一个数的立方根，利用立方根解方程，熟练掌握运算法则运算顺序是解题的关键(1)先进行开方运算，再进行加减运算;
(2)先把常数项移到方程右边，再把方程两边同时开立方，进而解方程即可得到答案.
解：原式=5-2-2+1=2
解：
25的算是平方根为5
8的立方根是2
先算出-2的平方，再求算术平方根
先转换为最基础的形式：
典例分析
例3 已知2a-1的平方根是±3，3a-b+13的立方根是2，求a+b的算术平方根。
因为2a-1的平方根是±3，而9的平方根是±3，所以2a-1=9解得a
因为3a-b+13的立方根是2,而8的立方根是2，所以3a-b+13=8；
解：∵2a-1的平方根是±3，3a-b+13的立方根是2
∴2a-1=9，3a-b+13=8解得a=5,b=20.
∴a+b=25,25的算术平方根是5
注意事项
①一个正数有两个平方根，它们互为相反数，只有一个立方根为正数；
②0的平方根和立方根都是本身；
③负数没有平方根，有立方根为负数。
做一做
下列说法正确的是（ ）
A .的平方根是±4 B .8的立方根是±2
C .(-3)2的算术平方根是3 D .
先算出=4，在求4的平方根为±2
8的立方根是2
先算-3的平方根是9,再算9的算术平方根是3
先算出=8
新课探究
例4 （教材母题）用计算器求下列各数的立方根
（1）1331 （2）9.263（精确到0.01）
解：（1）本小题的按键顺序是
显示结果为11，所以=11
用计算器求一个正数的立方根，只需要直接按书写顺序按键即可。
（2）本小题的按键顺序是
显示结果为2.100151161，要求精确到0.01，根是
课堂练习
1．求下列各数的立方根
①512 ② -0.027 ③ ④0.729
基础巩固题
因为83=512，所以512的立方根是8.
因为（-0.3）3=-0.027，所以-0.027的立方根是-0.3
因为，所以的立方根是
因为93=729.所以729的立方根是9
课堂练习
2．下列各式正确的是（ ）
A . B . C . D .|1-|=1+
基础巩固题
36的算术平方根是6，A选项错误
64的立方根是4，B选项错误
-7的平方是49,49的算术平方根为7，故C选项正确
＜0，所以||=-1
课堂练习
3．若a、b为实数，且在数轴上的位置如图所示，且|a|＞|b|，化简：
基础巩固题
a＜0
b＞0
|a|＞|b|
解：由数轴可知：a＜0＜b，|a|＞|b| ∴2a+b＜0
原式=-a+（2a+b）+（-b）=-a+2a+b-b=a
课堂练习
4．已知一个正数m的两个平方根分别是2a-8和a-1，且，4c-b的立方根是-2
（1）求m的值
（2）求m+4c的平方根
基础巩固题
解：（1）∵一个正数m的两个平方根分别是2a-8和a-1
∴2a-8+a-1=0，解得a=3，∴a-1=2，∴m=4
（2）∵，∴2b-1=52=25，解得b=13
∵4c-b的立方根是-2，∴4c-13=8，解得，∴m+4c=4+4×=9
9的平方根是±3.
一个正数有两个不同的平方根，它们互为相反数。
课堂练习
5．解方程
（1）2（x-1）2-=0 （2）(-2+x)3=-125
基础巩固题
解：（1）∵2（x-1）2=
（x-1）2=
x-1=
解的
（2）-2+x=-5
x=-5+2
x=-3
两边同时开平方时，一边去平方根，另一边一定要加正负
负数的立方根是负数，要区别与平方根，不要混淆
课堂练习
6．如图个底面半径为3cm的瓶子内装着一些溶液.当瓶子正放时,瓶内溶液的高度为16cm;倒放时，空余部分的高度为4cm.瓶内的溶液正好倒满2个一样大的正方体容器(π取3，容器的厚度不计)
解：
（1）该瓶子的容积(装满时溶液的体积)是多少立方厘米
（2）正方体容器的棱长是多少厘米
解：
所以棱长=
瓶子的容积与同底、高为(16+4)cm的圆柱体积相等，由此可解
首先求出瓶内的溶液的体积，然后根据瓶内的溶液正好倒满2个一样大的正方体容器求解即可
课堂小结
正确使用计算器求一个数的立方根
正确使用计算器
如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根；
数a的立方根，记作，读作“三次根号a”.其中，a是被开方数，3是根指数，求一个数的立方根的运算，叫做开立方.
立方根的基本概念
①正数的立方根是正数；
②负数的立方根是负数；
③0的立方根是0。
立方根的性质
01
04
03
02
感谢聆听!

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