资源简介

加法公式
随机变量
全概率公式
贝叶斯公式
知识框图
条件概率
离散型随机变量
乘法公式
连续型随机变量
分布列
均值和方差
超几何分布
二项分布
正态分布
正态密度曲线
3σ原则
7.3 离散型随机变量的数字特征
7.3.2 离散型随机变量的方差
数学人教A版 选择性必修第三册
情境引入
从两名同学中挑出一名代表班级参加射击比赛.根据以往的成绩记录，甲、乙两名同学击中目标靶的环数X和Y的分布列如下表所示.
如何评价这两名同学的射击水平?
X
6
7
8
9
10
P
0.09
0.24
0.32
0.28
0.07
Y
6
7
8
9
10
P
0.07
0.22
0.38
0.30
0.03
【追问1】除了击中环数的均值外，我们还可以从哪些角度来评价这两名同学的射击水平？
因为 ，两个均值相等，所以根据均值不能区分
这两名同学的射击水平．
【问题1】结合前一节所学知识，你会从什么角度来评价这两名 同学的射击水平？
情境引入
为了能直观分析甲乙两名击中环数的离散程度，下面我们分别作出X和Y的概率分布图.
O
6
7
8
10
9
P
0.1
0.2
0.3
0.4
O
6
7
8
10
9
P
0.1
0.2
0.3
0.4
【追问2】比较以上两个图形， 你认为哪位同学的射击成绩稳定？
新知探究
问题2：如何定量的去刻画离散型随机变量取值的稳定性(离散程度) ？
追问1 在统计中，样本方差可以度量一组样本数据的离散程度，你知道样本方差是如何度量一组样本数据的离散程度的吗？
追问2 类比样本方差度量样本数据离散程度的方法，你能否给出度量离散型随机变量离散程度的表达式？
概念生成
一般地，若离散型随机变量X的分布列如下表所示.
X
x1
x2
???
xn
P
p1
p2
???
pn
则称
为随机变量X的方差，有时也记为Var(X)，并称 为随机变量X的标准差，记为σ(X).
随机变量的方差和标准差都可以度量随机变量取值与其均值的偏离程度，反映了随机变量取值的离散程度. 方差或标准差越小，随机变量的取值越集中；方差或标准差越大，随机变量的取值越分散.
离散型随机变量的方差：
新知探究
问题3 根据以上离散型随机变量方差的定义，你能评价一下情境中两名同学谁的射击成绩更稳定？
X
6
7
8
9
10
P
0.09
0.24
0.32
0.28
0.07
Y
6
7
8
9
10
P
0.07
0.22
0.38
0.30
0.03
性质探究
问题5：前面一节的学习中，我们知道????(????????+????)=????????(????)+????那么对于
方差是否具有类似的性质呢？
?
问题4：方差的计算可以简化吗？
（1）离散型随机变量X加上一个常数b,则
（2）离散型随机变量X乘以一个常数????,则
?
（3）类似于上面的，可以证明
这个问题我们分三个层次来探究：
典例讲解
例1 抛掷一枚质地均匀的骰子，求掷出的点数X的方差.
课本P69
典例讲解
表1 (1) 投资哪种股票的期望收益大？
(2) 投资哪种股票的风险较高？
例2 投资A、B两种股票，每股收益的分布列分别如表1和表2所示
表2
课本P69
股票A收益的分布列
股票B收益的分布列
收益X /元
－1
0
2
概率
0.1
0.3
0.6
收益Y /元
0
1
2
概率
0.3
0.4
0.3
概念解读
随机变量的方差是一个重要的数字特征,它刻画了随机变量的取值与其均值的偏离程度,或者说反映随机变量取值的离散程度.
在不同的实际问题背景中,方差可以有不同的解释----
（1）如果随机变量是某项技能的测试成绩,那么方差的大小反映了技能的稳定性;
（2）如果随机变量是加工某种产品的误差,那么方差的大小反映了加工的精度;
（3）如果随机变量是风险投资的收益,那么方差的大小大小反映了投资风险的高低.
决策问题
课堂练习
1. 已知随机变量X的分布列为
X
1
2
3
4
P
0.2
0.3
0.4
0.1
求D(X)和σ(2X＋7).
课本练习P70
2. 若随机变量X满足????(????=????)=????，其中c为常数，求????(????).
?
课堂练习
课本练习P70
3.甲、乙两个班级同学分别目测数学教科书的长度，其误差X和Y(单位: cm)的分布列如下:
甲班的目测误差分布列
X
－2
－1
0
1
2
P
0.1
0.2
0.4
0.2
0.1
先直观判断X和Y的分布哪一个离散程度大，再分别计算X和Y的方差，验证你的判断.
乙班的目测误差分布列
Y
－2
－1
0
1
2
P
0.05
0.15
0.6
0.15
0.05
课堂小结
名称
数学期望
方差
定义
　　????(????)=
　　????(????)=
性质
????(????????+????)=
(????，????为常数,且????≠????)
????(????????+????)=
(????，????为常数,且????≠????)
数学
意义


名称
数学期望
方差
定义
性质
数学
意义


????????(????)+????
?
????????????(????)
?
????(????)是一个常数,它反映了随 机变量取值的平均水平.
?
????(????)是一个常数,它反映了随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度.
?
课堂小结
请同学们回顾本节课的学习内容和学习过程，并回答下列问题：
(1)离散型随机变量的方差的定义是什么？为什么要学习方差？

(2)有哪些方法可以帮助我们简化方差的计算？
(3) 你能说说方差在实际生活中都有哪些应用？
课后作业
1.基础性作业：
教科书第70页练习 第2题；
第71页 习题7.3 第1，5，7，8题.
2.拓展性作业：
完成《同步导练》小本课时作业15 离散型随机变量的方差.
感谢欣赏
属于持续努力与勇敢攀登的人
数学的奇峰异景

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