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2025年秋人教新版八上数学情境课堂教学课件
第十六章 整式的乘法
16.1 幂的运算
16.1.1 同底数幂的乘法
为了扩大绿地面积，要把街心花园的一块长 p m，宽 b m的长方形绿地，向两边分别加宽 a m和 c m.
问题1 你能用几种方法表示扩大后的绿地面积？
问题2 不同的表示方法之间有什么关系？
b
c
a
p
b
p
p
a
p
c
b
c
a
p
b
p
p
a
p
c
整式乘法
p(a+b+c)=pa+pb+pc
回答上面的问题，要用到整式的乘法的知识.
本章我们将在七年级学习整式的加减法的基础上，继续学习整式的乘法.整式的乘法是代数运算以及解决许多数学问题的重要基础.我们可以类比数的运算，以运算律为基础，研究整式的乘法运算.
整式的乘法
整式的除法
幂的运算性质
乘法公式
(a+b)(a-b)=a2-b2
(a±b) 2=a2±2ab+b2
am·an=am+n
(am)n=amn
(ab)n = anbn
am ÷an=am-n
互逆运算
特殊形式
人教七上
人教八上
学习整式的加减是学习整式乘法的基础，为其提供了同类项、去括号等知识准备，而整式乘法是整式加减在运算规则和数学思想方法上的拓展.
人教八上
人教八上
整式的乘法是因式分解的基础，因式分解是整式乘法的逆向变形，两者互为逆运算，共同构成整式运算核心，实现多项式展开与乘积还原，用常用于代数化简、方程求解等.
人教八上
人教八上
整式乘法的运算规则与因式分解是分式运算的基础，而分式是整式乘法在代数运算上的延伸，体现知识从整式到分式的递进式衔接.
考查形式：
1.基础运算题(直接计算)→选择/填空题
直接给出幂的运算、整式的乘法、乘法公式，要求计算结果.
2.逆用公式(代数变形)→选择/简答题
通过代数式变形逆向考查乘法公式.
3.化简求值(综合应用)→解答题
整式乘法常与其他运算结合进行考查，先整体化简，再代入数值求结果，常与合并同类项、去括号等结合.
考查形式：
4.与几何图形结合(数形结合)→解答题
通过图形面积、周长等几何问题，建立整式乘法模型，例如：用代数式表示长方形面积、通过面积恒等变形验证乘法公式.
5.新定义问题(拓展迁移)→解答题
定义新运算规则(如“星号运算”)，要求用整式乘法知识解决问题。
1.理解并掌握同底数幂的乘法法则.
2.能够运用同底数幂的乘法法则进行相关计算，并解决一些实际问题.
回 顾
1. an 表示什么意义？
an=a×a×a×···a
n个a
乘方运算
乘法运算
an
幂
底数
指数
求n个相同因数的积的运算叫作______；乘方的结果叫作______.
乘方
幂
2. 将下列各式写成乘方的形式，指出底数和指数.
①2×2×2×2=________.
②(-3)×(-3)×(-3)=________.
③a·a·a·a·a=________.
④a·a·····a=________.
m个a
24
底数是2，指数是4
(-3)3
底数是-3，指数是3
a5
底数是a，指数是5
am
底数是a，指数是m
问 题 一种电子计算机每秒可进行 1 亿亿 (1016) 次运算，它工作 103s 可进行多少次运算？
它工作 103s 可进行运算的次数为 1016×103.
搭载国产芯片的“神威·太湖之光”是世界上首台运行速度超过每秒10亿亿次的超级计算机.
怎样计算 1016×103 呢？
思 考 观察这个算式，两个因式有何特点？
10 16 × 10 3
两个因数底数相同，是同底数的幂的形式.
我们把1016 ×103这种运算叫作同底数幂的乘法.
根据乘方的意义可知
1016 ×103 =
=
=1019.
问 题 根据乘方的意义，想一想如何计算 1016×103 ？
探 究 根据乘方的意义填空，观察计算结果，你能发现什么规律？
(1) 105×102=10 ( ) ；
=(10×10×10×10×10)
=
=107
×(10×10)
解：105×102
7
(2) a3 · a2 = a ( ) ；
解：a3 · a2
=(a · a · a)·
(a · a)
= a 5
5
探 究 根据乘方的意义填空，观察计算结果，你能发现什么规律？
(3) 5m×5n = 5 ( ) (m， n是正整数)
解：5m×5n
=
=
=5m+n
观察一下计算前后，底数和指数有何变化
m+n
=am+n
猜 想 am · an = am+n (当m、n都是正整数)
证明：
am · an
=(a · a · … ·a)
个a
(a· a · …· a)
个a
=(a · a ·…·a)
个a
(乘方的意义)
m
n
m+ n
猜 想 am · an = am+n (当m、n都是正整数)
证明：
am · an
=(a · a · … ·a)
个a
·(a· a · …· a)
个a
= a · a ·…·a
个a
= a
(乘方的意义)
(乘法的结合律)
(乘方的意义)
m
n
m+ n
m+n
归纳总结
一般地，对于任意底数a与任意正整数m，n，
因此，我们有
即同底数幂相乘，底数不变，指数相加.
本章中，若没有特别说明，指数中的字母均为正整数.
思 考 类比同底数幂的乘法法则 am · an = am+n (当m、n都是正整数)，当三个或三个以上同底数幂相乘时，是否也具有这一性质呢？用字母表示am · an · ap等于什么呢？
猜 想 am · an · ap = am+n+p (当m、n都是正整数)
证明：am · an · ap =
=
=am+n+p
am· an· ap = am+n+p (m、n、p都是正整数)
解：(1)x2 · x5 = x2+5 = x7；
(2)a · a6 = a1+6 = a7；
例 计算：
(1)x2 · x5 ； (2)a · a6 ；
(3)(-2)×(-2)4×(-2)3； (4)xm · x3m+1 .
(3)(-2)×(-2)4×(-2)3
=(-2)1+4+3
=(-2)8 = 256；
(4)xm · x3m+1
=xm+3m+1
=x4m+1 .
①a=a1，不能忽略指数为 1 的情况；
②a可为一个数、单项式或多项式.
变式
计算：(1)(x－y)2 ·(x－y)·(x－y)5；
(2)(a＋b)2 · (a＋b)5；
(3)(x＋3)3 ·(x＋3)5 ·(x＋3)．
解：(1)(x－y)2·(x－y)·(x－y)5＝(x－y)2＋1＋5＝(x－y)8；
(2)(a＋b)2·(a＋b)5＝(a＋b)2＋5＝(a＋b)7；
(3)(x＋3)3·(x＋3)5·(x＋3)＝(x＋3)3＋5＋1＝(x＋3)9.
1.下列各式的结果等于26的是( )
A. 2+25 B. 2·25
C. 23·25 D. 0.22· 0.24
B
2.下列计算结果正确的是( )
A. a3 · a3=a9 B. m2 · n2=mn4
C. xm · x3=x3m D. y · yn=yn+1
D
2.计算：
(1) 已知an-3·a2n+1=a10，求 n 的值；
(2) 已知xa=2，xb=3，求 xa+b 的值.
公式逆用：am+n=am·an
解：n-3+2n+1=10，n=4；
解：xa+b=xa·xb=2×3=6.
公式运用：am·an=am+n
当幂的指数是和的形式时，可逆用，即 am+n=am·an (m，n都是正整数)，然后把幂作为一个整体代入变形后的幂的运算式中求解．
拓展应用
3.计算：
(1) (a+b)4 · (a+b)7 ;
(2) (m-n)3 ·(m-n)5 ·(m-n)7 ;
(3) (x-y)2·(y-x)5.
解： (a+b)4 · (a+b)7 = (a+b)4+7 = (a+b)11；
解： (m－n)3 ·(m－n)5 ·(m－n)7 =(m－n)3+5+7=(m－n)15；
解： (x－y)2·(y－x)5=(y－x)2·(y－x)5=(y－x)2+5=(y－x)7.
①底数相同时，直接应用法则；
②底数不相同时，先变成同底数再应用法则.
4.(阅读理解题)阅读材料：求1+2+22+23+24+…+22013的值．
解：设S＝1+2+22+23+24+…+22012+22013，将等式两边同时乘2得：
2S＝2+22+23+24+25+…+22013+22014
将下式减去上式得2S﹣S＝22014﹣1
即S＝22014﹣1
即1+2+22+23+24+…+22013＝22014﹣1
请你仿照此法计算：
(1) 1+2+22+23+24+…+210
(2) 1+3+32+33+34+…+3n(其中n为正整数)．
解：(1)设S＝1+2+22+23+24+…+210，
将等式两边同时乘2得：2S＝2+22+23+24+…+210+211，
将下式减去上式得：2S﹣S＝211﹣1，即S＝211﹣1，
则1+2+22+23+24+…+210＝211﹣1.
(1) 1+2+22+23+24+…+210
(2) 1+3+32+33+34+…+3n(其中n为正整数)．
解：(2)设S＝1+3+32+33+34+…+3n①，
两边同时乘3得：3S＝3+32+33+34+…+3n+3n+1②，
②﹣①得：3S﹣S＝3n+1﹣1，即S＝ (3n+1﹣1)，
则1+3+32+33+34+…+3n＝ (3n+1﹣1)．
直接应用法则
底数相同时
am·an=am+n (m，n都是正整数)
同底数幂相乘，底数不变，指数相加
法则
同底数幂
的乘法
底数不相同时
先变成同底数再应用法则
常见变形：(-a)2=a2， (-a)3=-a3
注意
Thanks!
https://www.21cnjy.com/recruitment/home/fine

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