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指数函数的图形与性质
一
指数函数的图形与性质
　　指数函数y=ax(a>0且a≠1)的性质，归根结底源于幂运算的性质.例如，由于任意非零数的零次幂为1，即a0 =1，可见任意指数函数的图象都经过点(0，1)；由于正数的任意次幂仍为正，所以任意指数函数的图象都在x轴上方.由前述幂运算的基本不等式可得：
　　对任意的正数a＞1和两数r＞s，有　　　　　 ，即ar＞as.
　　对任意的正数a＜1和两数r＞s，有　 ，即ar ＜ as.
　　可见对a＞1，指数函数y=ax在(－∞，+∞)上单调递增；对0　　当a＞1，h＞0，对任意的实数u，有au+2h－au+h=ah (au+h－au)＞au+h－au ，可见au+nh－au≥n(au+h－au)，这表明：对a＞1，当x很大时y=ax可以大于任意的正数，
可以小于任意的正数.由此可得指数函数的值域为(0，+∞).
一
指数函数的图形与性质
　　下面将这些性质对比列表如下：
一
指数函数的图形与性质
　　有了这样基本的理性认识，就能够在作图之前预见到图象的大致模样.等到图象出来，对照栩栩如生的曲线来检验自己的想法，就更为亲切，更有成功感.
一
指数函数的图形与性质
　　　　作出指数函数y=ax和y=10x的图象.
　解　通过列表、描点连线(也可借助信息技术在计算机上作图)，得图4.2-3.
例
1
x … -2 -1 0 1 2 …
y=2x … 0.25 0.5 1 2 4 …
x … -1 -0.5 0 0.5 1 …
y=10x … 0.1 0.32 1 3.16 10 …
图4.2-3
一
指数函数的图形与性质
　　指数函数y＝2x，y＝10x的底数(2和10)都大于1.一般地，当底数a＞1时，指数函数y＝ax的图象走势类似于图4.2-3.
　　从图象看指数函数y＝ax (a＞1)的性质，和理性认识相符，例如：
　　当然，作出来的图象是有限的，从图象得出来的这些结论是看曲线走势发挥想象力的结果.
(1)图象总在x轴上方，且图象与x轴永不相交，值域是(0，+∞).
(2)图象恒过点(0，1)，用式子表示就是a0＝1.
(3)函数是区间(－∞，＋∞)上的增函数.
一
指数函数的图形与性质
　　如果底数a∈(0，1)，则它的倒数　＞1，函数 f(x)= ax =　　 的图象和函数f(－x)= a－x =　　 的图象关于y轴对称.例如 与 的图象关于y轴对称，如图4.2-4所示.
图4.2-4
　　你能借助结论，在图4.2-3上画出　　 与　 的图象吗？这两个函数，谁递减得更快些？
一
指数函数的图形与性质
　　函数　　　 的图象可以看成0一
指数函数的图形与性质
　　　　比较下列各组中两个数的大小：
　(1) 3.51.5，3.51.3； (2) 0.31.5，0.31.3；
　(3) 0.70.8，0.80.7．
　解　(1) 3.51.5，3.51.3可看作函数y=3.5x的两个函数值.
　　　由于底数3.5>1，所以指数函数y=3.5x在R上是增函数.
　　　因为1.5＞1.3，所以3.51.5 ＞ 3.51.3.
例
2
一
指数函数的图形与性质
　　(2) 0.31.5，0.31.3 可看作函数y=0.3x的两个函数值.
　　由于底数0.3<1，所以指数函数y=0.3x在R上是减函数.
　　因为1.5＞1.3，所以0.31.5 < 0.31.3.
　　(3)因为y=0.7x在R上是减函数，所以0.70.8＜0.70.7．
　　由　　　　　　　＞1得0.70.7＜0.80.7.
　　所以0.70.8＜0.70.7＜0.80.7．
　　比较两个数的大小，既可以作差，也可以用比的方法.
一
指数函数的图形与性质
　　　　已知指数函数f(x)=ax的图象经过点(2，7)，求f(－6)和f(3).
　解　因为f(x)=ax的图象经过点(2，7)，
　所以f(2)=a2=7，
　解得　　　，于是f(x)=　 .
　所以f(－6)=　　　　　　　　　，
　f(3)=
例
3
一
指数函数的图形与性质
　　　　一种放射性物质不断衰变为其他物质，每经过1年剩余的量是原来的84%，画出这种物质的剩余量随时间变化的图象，并从图象上观察大约要经过多少年，剩余量是原来的50%.
　解　可设原来的量是1个单位，经过x年后，剩余量是y个单位.
　可得函数解析式为y＝0.84x.列表如下：
　　
例
4
一
指数函数的图形与性质
　　在直角坐标系中画出y=0.84x的图象，如图4.2-5所示.从图象和上表都可以看到，大约经过4年，剩余量是原来的50%.
图4.2-5
一
指数函数的图形与性质
　　1.在同一直角坐标系内作出下列各函数的图象：
　　(1) y=3x； 　　　　(2) y=3－ x.
　　2.求函数y=2|3－x|的值域.
　　3.比较下列各组中两个数的大小：
　　(1) 0.20.3和0.20.2； 　 (2) 1.20.3和1.20.2；
　　(2) 0.30.1和0.3－0.1； (4) 1.350.2和1.35－ 0.2.
　　4.已知指数函数f(x)= ax的图象经过点(2， 2)，求f(1)的值.
练 习
二
习题4.2
学而时习之
　　1.已知函数f(x)=2x，计算：
　　(1) f(0)－ f(－1)； 　(2) f(2)－ f(－1) ；
　　(3) f(4)－ f(3)； (4) f(6)－ f(5).
　　试比较这些计算结果，说一说你的发现.
　　2.如果某林区的木材蓄积量每年平均比上一年增长12%，经过x年可以增长到原来的y倍，写出y关于x的函数解析式.
　　3. 小张新购买某型号轿车的价格为16万元，使用x年后的轿车参照P(x)=16·(0.9)x来衡量价值.
　　(1)试解释上述函数表达式中0.9的含义；
　　(2)使用3年后的轿车价值多少？9年后呢？
二
习题4.2
　　4.某食品的保鲜时间y(h)与储藏温度x(℃)满足函数关系式y=ekx+b(e=2.71828…，k ， b为常数).若该食品在0℃的保鲜时间是192h，在22℃的保鲜时间是48h，求该食品在33℃的保鲜时间.
　　5.求下列函数的定义域：
　　(1) ； (2)
　　6.在同一直角坐标系内作出下列各函数的图象：
　　y=4x，y=4－ x，y=4 x+1 ，y=4x－1 .
　　并说明后三个函数图象可由y=4x的图象经过怎样的变换而得到.
二
习题4.2
　　7.设a，b，c，d都是不等于1的正数，y=ax，y=bx，y=cx，y=dx在同一直角坐标系中的图象如下图所示，则a，b，c，d的大小关系是　　　　　　　　　.
(第7题）
二
习题4.2
　　8.已知0＜a＜1，b＜－1，则函数y＝ax＋b的图象不经过哪一象限？
　　9.比较下列各组中两个数的大小：
　　(1) 1.62.5，1.73； 　(2) 0.6－0. 1，0.6－0. 5 ； (3) 1.70.3，0.93.1.
温故而知新
　　10.运用图象法，判断函数y=2x与y=x2的图象的交点个数，并借助计算机作图，检验自己的判断是否正确.
二
习题4.2
　　11.已知函数f(x)=a|3x－1| (a>0且a≠1)满足f(1)=
　　(1)求a的值；
　　(2)求函数f(x)的单调区间；
　　(3)求函数f(x)的值域.
　　12. 若函数f(x)=(a2－8)x是区间(－∞，+∞)上的减函数，求实数a的取值范围.
　　13.设函数f(x)=　　　　　　若f(x)是奇函数，求g(2)的值.
二
习题4.2
　　14.若函数f(x)=a2x+ax－2(a>0且a≠1)在区间［－1，0］上的最小值为　 ，求a的值.
　　15.函数y=3·ax与y=ax有哪些相同点和不同点？函数y=－2·ax呢？思考分析后作出图象，并观察检验自己的判断.
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结束

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