资源简介

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第 1 页：封面
标题：27.2.1.3 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似
副标题：人教版九年级数学下册
配图：两个三角形（△ABC 与△A'B'C'），标注 AB=2cm、AC=3cm、∠A=60°；A'B'=4cm、A'C'=6cm、∠A'=60°，箭头标注边的比例（1:2）与相等的夹角
落款：授课教师 / 日期
第 2 页：学习目标
知识与技能：
理解 “两边成比例且夹角相等的两个三角形相似” 的判定定理，明确定理的两个核心条件
掌握定理的推导过程，能通过尺规作图、测量或逻辑推理验证定理
会运用该定理判定两个三角形是否相似，并解决线段计算、角度求解等问题
过程与方法：
类比全等三角形 “边角边（SAS）” 判定，经历 “猜想 — 验证 — 归纳” 的探究过程，提升类比迁移与逻辑推理能力
通过对比 “夹角” 与 “非夹角” 的差异，培养严谨的几何分析思维
情感态度：
在定理探究中感受数学的逻辑性与严谨性，增强几何学习的信心
通过小组合作验证定理，培养团队协作意识与动手实践能力
第 3 页：复习回顾与猜想提出
复习旧知：
已学相似三角形判定：①定义（对应角相等、对应边成比例）；②平行线分线段成比例推论；③三边成比例（SSS）
全等三角形判定对比：“边角边（SAS）”—— 两边及其夹角对应相等的两个三角形全等
问题驱动：
思考 1：全等三角形有 “SAS” 判定，相似三角形若满足 “两边成比例且夹角相等”，是否也能判定相似？
情境举例：如图，△ABC 中，AB=2，AC=3，∠A=50°；△A'B'C' 中，A'B'=4，A'C'=6，∠A'=50°。计算对应边比例（\(\frac{AB}{A'B'}=\frac{AC}{A'C'}=\frac{1}{2}\)），观察两个三角形形状是否相同？
提出猜想：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似。
第 4 页：探究活动 —— 验证定理猜想
动手操作（分组实验）：
任务 1：作图与测量
画△ABC：使 AB=3cm，AC=4cm，∠A=60°
画△A'B'C'：使 A'B'=6cm，A'C'=8cm，∠A'=60°（保证\(\frac{AB}{A'B'}=\frac{AC}{A'C'}=\frac{1}{2}\)，且∠A=∠A'）
测量：BC 与 B'C' 的长度，以及∠B 与∠B'、∠C 与∠C' 的度数
分析：计算\(\frac{BC}{B'C'}\)是否等于\(\frac{1}{2}\)，对应角是否相等，判断两三角形是否相似
任务 2：反例验证（非夹角情况）
画△DEF：使 DE=3cm，DF=4cm，∠D=120°（非夹角）
画△D'E'F'：使 D'E'=6cm，D'F'=8cm，∠F'=120°（两边成比例，但对应角为非夹角）
观察：两三角形形状是否相同，验证 “非夹角” 能否判定相似
初步结论：
当两个三角形满足 “两边成比例且夹角相等” 时，对应边成比例、对应角相等，符合相似定义；
若相等的角不是两边的夹角，则无法保证两三角形相似。
第 5 页：定理推导与规范表述
逻辑推理证明：
已知：在△ABC 和△A'B'C' 中，\(\frac{AB}{A'B'}=\frac{AC}{A'C'}=k\)，∠A=∠A'
求证：△ABC∽△A'B'C'
证明过程：
在△A'B'C' 的边 A'B' 上截取 A'D=AB，过点 D 作 DE∥B'C'，交 A'C' 于点 E
由平行线分线段成比例推论，得△A'DE∽△A'B'C'，故\(\frac{A'D}{A'B'}=\frac{A'E}{A'C'}=k\)，∠A'=∠A'DE
又∵A'D=AB，\(\frac{AB}{A'B'}=k\)，∴\(\frac{A'E}{A'C'}=\frac{AC}{A'C'}=k\)，即 A'E=AC
∵∠A=∠A'，∴△A'DE≌△ABC（SAS）
∴△ABC∽△A'B'C'
定理规范表述：
两边成比例且夹角相等的两个三角形相似（可简记为 “边角边（SAS）” 相似判定）
几何语言：
在△ABC 和△A'B'C' 中，若\(\frac{AB}{A'B'}=\frac{AC}{A'C'}\)且∠A=∠A'，则△ABC∽△A'B'C'
第 6 页：定理辨析 —— 关键条件与易错点
核心条件强调：
条件 1：“两边成比例”—— 需明确是 “对应边” 成比例（如 AB 对应 A'B'，AC 对应 A'C'）
条件 2：“夹角相等”—— 相等的角必须是成比例两边的夹角（而非第三边的对角）
易错点警示：
反例分析：如图，△ABC 中，AB=2，BC=3，∠B=40°；△DEF 中，DE=4，EF=6，∠F=40°。虽\(\frac{AB}{DE}=\frac{BC}{EF}=\frac{1}{2}\)，但∠B 与∠F 不是对应边的夹角，两三角形不相似（画图对比形状差异）
总结：“非夹角相等” 不能判定三角形相似，必须强调 “夹角” 这一关键条件
小练习：
判断下列情况能否判定△ABC∽△A'B'C'：
①\(\frac{AB}{A'B'}=\frac{BC}{B'C'}\)，∠B=∠B'（答案：能，两边成比例且夹角相等）
②\(\frac{AB}{A'B'}=\frac{AC}{A'C'}\)，∠B=∠B'（答案：不能，∠B 不是 AB 与 AC 的夹角）
第 7 页：定理应用（基础例题）
例 1：判定三角形相似
已知：如图，△ABC 中，∠C=90°，AC=6，BC=8；△DEF 中，∠F=90°，DF=3，EF=4。判断△ABC 与△DEF 是否相似，并说明理由。
解析：
步骤 1：确定夹角 ——∠C 与∠F 均为直角（90°），且分别是 AC 与 BC、DF 与 EF 的夹角
步骤 2：计算对应边比例 ——\(\frac{AC}{DF}=\frac{6}{3}=2\)，\(\frac{BC}{EF}=\frac{8}{4}=2\)，比例相等
步骤 3：得出结论 —— 两边成比例且夹角相等，故△ABC∽△DEF
例 2：利用相似求线段长度
已知：△ABC∽△A'B'C'，\(\frac{AB}{A'B'}=\frac{2}{3}\)，AB=4，AC=5，∠A=∠A'，A'C'=7.5。求 A'B' 的长度。
解析：
由定理可知，\(\frac{AB}{A'B'}=\frac{AC}{A'C'}\)
代入数据：\(\frac{4}{A'B'}=\frac{5}{7.5}\)，解得 A'B'=6
第 8 页：定理应用（综合例题）
例 3：几何证明与角度计算
如图，在△ABC 中，D 是 AB 上一点，且 AD=2，DB=4，AC=3，∠A=∠A（公共角），若\(\frac{AD}{AC}=\frac{AC}{AB}\)，求证：△ADC∽△ACB，并求∠ACD 的度数（已知∠B=30°）。
证明与解析：
① 计算对应边比例：AB=AD+DB=6，\(\frac{AD}{AC}=\frac{2}{3}\)，\(\frac{AC}{AB}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}\)（修正：调整数据使比例相等，设 AD=1.5，AC=3，AB=6，则\(\frac{AD}{AC}=\frac{1.5}{3}=\frac{1}{2}\)，\(\frac{AC}{AB}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}\)）
② 确定夹角：∠A 是 AD 与 AC、AC 与 AB 的公共夹角，满足 “两边成比例且夹角相等”，故△ADC∽△ACB
③ 求角度：由相似性质，∠ACD=∠B=30°
例 4：实际应用 —— 测量高度
如图，小明用侧倾器测量旗杆高度，已知侧倾器高 AB=1.5m，测得旗杆顶部 C 的仰角∠CBD=60°，小明到旗杆的水平距离 AD=10m。另有一同学用相同侧倾器在距离旗杆 15m 处测量（A'D'=15m），仰角∠C'B'D'=60°。求证：△CBD∽△C'B'D'，并求旗杆高度 CD。
解析：
① 证明相似：∠CBD=∠C'B'D'=60°（夹角相等），\(\frac{BD}{B'D'}=\frac{10}{15}=\frac{2}{3}\)，\(\frac{BD}{B'D'}=\frac{CD - AB}{C'D' - A'B'}\)（因 AB=A'B'=1.5m，且 CD=C'D'），满足两边成比例且夹角相等，故△CBD∽△C'B'D'
② 计算高度：在 Rt△CBD 中，tan60°=\(\frac{CD - 1.5}{10}\)，解得 CD=10\(\sqrt{3}\)+1.5≈18.8m
第 9 页：巩固练习
选择题：
（1）下列条件中，能判定△ABC∽△A'B'C' 的是（ ）
A. \(\frac{AB}{A'B'}=\frac{AC}{A'C'}\)，∠B=∠B' B. \(\frac{AB}{A'B'}=\frac{BC}{B'C'}\)，∠A=∠A'
C. \(\frac{AB}{A'B'}=\frac{AC}{A'C'}\)，∠A=∠A' D. \(\frac{AB}{A'B'}=\frac{BC}{A'C'}\)，∠C=∠C'
（2）△ABC 中，AB=4，AC=6，∠A=60°；△DEF 中，DE=2，DF=3，∠D=60°，则△ABC 与△DEF 的相似比为（ ）
A. 1:2 B. 2:1 C. 1:4 D. 4:1
填空题：
（1）在△ABC 和△DEF 中，若\(\frac{AB}{DE}=\frac{AC}{DF}\)，且∠A=∠D=70°，则△ABC____△DEF（填 “相似” 或 “不相似”）；
（2）已知△ABC∽△A'B'C'，\(\frac{AB}{A'B'}=\frac{3}{5}\)，AB=6，AC=9，∠A=∠A'，则 A'C'=____。
解答题：
如图，在△ABC 中，∠B=90°，AB=5，BC=12；△DEF 中，∠E=90°，DE=10，EF=24。判断△ABC 与△DEF 是否相似，并说明理由。
第 10 页：课堂小结
知识梳理：
判定定理：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似（SAS 相似）
核心条件：①两边对应成比例；②夹角相等（缺一不可，且角必须是夹角）
应用场景：判定三角形相似、求线段长度、求角度、实际测量等
思想方法：
类比思想：类比全等三角形 “SAS”，推导相似三角形 “SAS” 判定，实现知识迁移
数形结合：通过作图、测量直观验证定理，结合逻辑推理严谨证明
易错点回顾：
混淆 “夹角” 与 “非夹角”，误用非夹角相等判定相似
对应边比例计算错误，未按对应关系比对边长
第 11 页：布置作业
基础作业：教材对应习题，完成 3 道三角形相似判定题和 2 道线段 / 角度计算题
提升作业：
（1）如图，在△ABC 中，D 是 AC 上一点，CD=2AD，∠ACB=∠ABD，求证：△ABC∽△ADB；
（2）已知△ABC 中，AB=5，AC=4，∠A=60°，若△DEF 与△ABC 相似，且 DE=10，DF=8，求∠D 的度数及 EF 的长度。
实践作业：用硬纸板制作两个满足 “两边成比例且夹角相等” 的三角形，通过叠合、测量验证对应角相等、对应边成比例，加深对定理的理解
2025-2026学年人教版数学九年级下册【公开课精做课件】
授课教师： . 班 级： . 时 间： .
27.2.1.3两边成比例且夹角相等的两个三角形相似
第二十七章 相似
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
1. 回忆我们学习过的判定三角形相似的方法. 类比证
明三角形全等的方法，猜想证明三角形相似还有
哪些方法？
2. 类似于判定三角形全等的 SAS 方法，能不能通过
两边和夹角来判定两个三角形相似呢？
复习引入
利用刻度尺和量角器画 △ABC 和 △A′B′C′，使
∠A =∠A′， 量出 BC 及 B′C′ 的长，它
们的比值等于 k 吗？再量一量两个三角形另外的两个
角，你有什么发现？△ABC 与 △A′B′C′ 有何关系？
两边成比例且夹角相等的两个三角形相似
合作探究
两个三角形相似
改变 k 的值和∠A 的大小，是否有同样的结论？
我们来证明一下前面得出的结论：
如图，在 △ABC 与 △A′B′C′ 中，已知∠A = ∠A′，
证明：在 △A′B′C′ 的边 A′B′ 上取点 D，使 A′D = AB．过点 D 作 DE∥B′C′，交 A′C′ 于点 E.
∵ DE∥B′C′，∴ △A′DE∽△A′B′C′.
求证：△ABC∽△A′B′C′.
B
A
C
D
E
B'
A'
C'
∴
∴ A′E = AC.
又 ∠A′ = ∠A，
∴ △A′DE≌△ABC.
∴ △A′B′C′∽△ABC.
∵ A′D = AB， ，
∴
B
A
C
D
E
B'
A'
C'
由此得到利用两边和夹角来判定三角形相似的定理：
两边成比例且夹角相等的两个三角形相似．
符号语言：
∵ ，∠A =∠A′，
B
A
C
B'
A'
C'
∴ △ABC ∽ △A′B′C′ .
归纳：
在 △ABC 和 △A′B′C′ 中，
对于△ABC和 △A′B′C′，如果
∠C = ∠C′，这两个三角形一定会相似吗？试着画画看.
不一定，如下图，因为不能证明构造出来的三角形一定和原三角形全等.
A
B
C
思考：
A′
B′
B″
C′
结论：
如果两个三角形两边成比例，但相等的角不是这两边的夹角，那么这两个三角形不一定相似，相等的角一般应是成比例的两边的夹角才能判定相似.
典例精析
例 1 根据下列条件，判断 △ABC 和 △A′B′C′ 是否相似，并说明理由：
∠A = 120°，AB = 7 cm，AC = 14 cm，
∠A′ = 120°，A′B′ = 3 cm，A′C′ = 6 cm．
解：∵ ， ，
∴
又 ∠A′ = ∠A，∴△ABC∽△A′B′C′.
1. 在△ABC 和△DEF 中，∠C =∠F = 70°，AC = 3.5 cm，
BC = 2.5 cm，DF = 2.1 cm，EF = 1.5 cm.
求证：△DEF∽△ABC.
A
C
B
F
E
D
证明：∵ AC = 3.5 cm，BC = 2.5 cm，DF = 2.1 cm，EF = 1.5 cm，
又 ∵∠C =∠F = 70°，∴△DEF∽△ABC.
练一练
∴
例 2 如图，△ABC 与 △ADE 都是等腰三角形，AD =
AE，AB = AC，∠DAB =∠CAE. 求证：△ABC∽△ADE.
证明：∵△ABC 与△ADE 都是等腰三角形，
∴ AD = AE，AB = AC．
∴
又 ∵∠DAB =∠CAE，
∴∠DAB +∠BAE =∠CAE +∠BAE，
即∠DAE =∠BAC．∴△ABC∽△ADE．
A
B
C
D
E
解：∵ AE = 1.5，AC = 2，
A
C
B
E
D
例3 如图，D，E 分别是 △ABC 的边 AC，AB 上的点，
AE = 1.5，AC = 2，BC = 3，且 ，求 DE 的长.
∴
又∵∠EAD =∠CAB，
∴ △ADE∽△ABC．
∴
∴
提示：解题时要找准对应边.
证明：∵ CD 是边 AB 上的高，
∴∠ADC =∠CDB = 90°.
∴△ADC∽△CDB. ∴∠ACD =∠B.
∴∠ACB =∠ACD +∠BCD =∠B +∠BCD = 90°.
例4 如图，在 △ABC 中，CD 是边 AB 上的高，且
，求证：∠ACB = 90°．
A
B
C
D
∵ ，
方法总结：解题时需注意挖掘隐含条件，如垂直关系（三角形的高）可转化为 90° 角等.
C
返回
1．
如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，则下列说法错误的是(　　)　　　　　　　　　　　　　　　
A．△ACD∽△CBD
B．△ACD∽△ABC
C．△BCD∽△ABC
D．△BCD∽△BAC
返回
D
2．
[2024天津和平区一模]已知在△ABC中，∠B＝60°，
AB＝6，BC＝8.将下列选项中的△ABC沿图中的DE剪开，剪下的阴影三角形与△ABC不相似的是(　　)
3．
如图，E，G，F，H分别是矩形ABCD四条边上的点，EF⊥GH，垂足为O.若AB＝2，BC＝3，则EF：GH＝(　　)
A．2：3
B．3：2
C．4：9
D．无法确定
【点拨】
如图，过点F作FM⊥AB于点M，过点H作HN⊥BC于点N，则∠4＝∠5＝90°＝∠AMF.
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC＝3，∠A＝∠D＝90°＝∠AMF.
∴四边形AMFD是矩形．∴FM＝AD＝3.
同理可得四边形ABNH是矩形，
∴HN＝AB＝2，HN∥AB.
【答案】B
返回
4．
返回
∠ADE＝∠C
(答案不唯一)
如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上．添加一个条件使△ADE∽△ACB，则这个条件可以是______________(写出一种情况即可)．
5．
[2024宜宾]如图，正五边形ABCDE的边长为4，则这个正五边形的对角线AC的长是________．
【点拨】
如图，连接BE，交AC于点O.
∵五边形ABCDE是正五边形，且它的边长为4，
∴∠CBA＝∠BAE＝(5－2)×180°÷5＝108°，
BC＝AB＝AE＝4.
∴∠BCA＝∠BAC＝∠ABE＝∠AEB＝(180°－108°)÷2＝36°.
∴∠CBO＝∠ABC－∠ABE＝108°－36°＝72°.
∴∠BOC＝180°－∠CBO－∠BCA＝180°－72°－36°＝72°.
返回
6．
如图，在△ABC中，AB＝2，BC＝5，且∠ABC＝2∠C，为了求边AC的长，聪明的小亮想出了一个好办法，将边BC反向延长至点D，使DB＝AB，连接AD，从而小亮发现图中存在一对相似三角形，问题便迎刃而解了！
(1)请你找出图中存在的一对相似三角形，并进行证明；
(2)求边AC的长．
返回
两边成比例且夹角相等的两个三角形相似
利用两边成比例且夹角相等判定三角形相似
相似三角形的判定定理的运用
B
A
C
B'
A'
C'
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
谢谢观看！

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