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专题4.3.2坐标平面内图形的平移九大题型（一课一讲）
的平移规律具体如下：
左右平移：点（x，y）→点（x+a，y），即纵坐标不变，横坐标改变，规律为“左减右加”；
上下平移：点（x，y）→点（x，y+b），即横坐标不变，纵坐标改变，规律为“上加下减”。
题型一：求点沿x轴，y轴平移后的坐标
【例题1】在平面直角坐标系内，点先向左平移个单位，再向下平移个单位，则平移后的点坐标为（ ）
A． B． C． D．
【变式训练1-1】(24-25七下·云南罗平县·期末)点向左平移3个单位，再向上平移4个单位到点B，则点B的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【变式训练1-2】(25-26八上·广西南宁天桃实验学校·期末)在平面直角坐标系中，将点向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到点的坐标是（　　）
A． B． C． D．
【变式训练1-3】如图，在平面直角坐标系中，点A与点B关于y轴对称，将点A向右平移4个单位长度后，点A的坐标为，则点B的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练1-4】(24-25七下·辽宁盘锦大洼区·期中)若点在x轴上，先将点A向下平移4个单位长度，再向右平移7个单位长度到点，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【变式训练1-5】(24-25七下·陕西安康紫阳县毛坝中学·期末)在平面直角坐标系中，将点先向右平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度得到点，则点的坐标为 ．
题型二：已知平移前后的坐标推出平移方式
【例题2】若使四边形各顶点在直角坐标系中的横坐标保持不变，纵坐标比原来都减少，则此四边形（ ）
A．向上平移个单位长度 B．向下平移个单位长度
C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度
【变式训练2-1】(24-25八上·安徽安庆桐城第二中学·期末)在如图所示的平面直角坐标系内，画在透明胶片上的平行四边形，点的坐标是现将这张胶片平移，使点落在点处，则此平移可以是（ ）
A．先向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度
B．先向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度
C．先向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度
D．先向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度
【变式训练2-2】将点通过平移得到点，以下方式正确的是（　　）
A．沿x轴向右平移3个单位长度，再沿y轴向上平移4个单位长度
B．沿x轴向左平移3个单位长度，再沿y轴向下平移4个单位长度
C．沿x轴向左平移3个单位长度，再沿y轴向上平移4个单位长度
D．沿x轴向左平移4个单位长度，再沿y轴向上平移3个单位长度
【变式训练2-3】(25-26八上·安徽阜阳颍上县·月考)在平面直角坐标系中，经过平移得到，与的位置如图所示．
(1)分别写出点A，的坐标．
(2)请结合平移的相关知识说明可由经过怎样的平移得到．
【变式训练2-4】如图，在边长为1的小正方形网格中，三角形的顶点均在小正方形的格点上且．三角形平移后得到三角形，且点A、B、O的对应点分别是点，点O的坐标为，点的坐标为．请你分析平移规律，并写出点的坐标．
【变式训练2-4】(24-25七下·[名校联盟]天津塘沽第二中学·月考)如图，图中是经过平移得到的，请你写出平移的过程，并写出对应点的移动过程．
题型三：已知平移前后的坐标求代数式
【例题3】在平面直角坐标系中，点向右平移个单位长度，向上平移个单位长度得到点，则的值为（ ）
A．1 B． C．5 D．
【变式训练3-1】(24-25八上·安徽安庆宜秀区安庆九一六学校·期末)如图，点A，B分别在x轴和y轴上，，若将线段平移至线段的位置，则的值为（ ）
A．2 B．1 C． D．
【变式训练3-2】(25-26九上·河南鹤壁浚县五校·期中)如图，在平面直角坐标系中，，，将线段平移至的位置，则的值为 ．
【变式训练3-3】(24-25七下·河北邯郸冀南新区精英学校·期中)如图，在平面直角坐标系中，将线段平移到线段的位置，则 ．
【变式训练3-4】(25-26八上·安徽阜阳颍上县·月考)在平面直角坐标系中，已知点，，将线段平移至，点A的对应点为，点B的对应点为，则的值为 ．
【变式训练3-5】(24-25九下·辽宁抚顺新宾县木奇镇中学·模拟)点分别在轴的负半轴和轴的正半轴上，，将线段平移至，若点，的坐标分别为，则 ．
题型四：已知图形的平移求点坐标
【例题4】如图，在平面直角坐标系中，内部有一点，若将先向右平移，再向下平移，平移后点对应点的坐标是．若点的坐标是，则平移后点对应的点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练4-1】(24-25八下·贵州贵阳第十九中学·期中)如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为，将线段平移，使得点A平移到点，则平移后点B的坐标为（ ）
A． B． C． D．或
【变式训练4-2】(24-25八上·安徽蒙城县汇贤中学·期中)三角形是由三角形平移得到的，点的对应点为，则三角形内部点的对应点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【变式训练4-3】(24-25七下·广西南宁横州·期中)已知，在平面直角坐标系中A，B两点的坐标分别为，，将线段平移到线段，若点A的对应点C的坐标为，则点D的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练4-4】(25-26九上·甘肃武威凉州区新华镇九年制学校·期中)如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点C、D在x轴负半轴，将正方形平移得到正方形（点A、B、C、D的对应点分别是点、、、），若，，，则点的坐标为 ．
【变式训练4-5】(2025九·4月辽宁省抚顺市·模拟)如图，点的坐标为， 沿轴向右平移后得到．点的对应点在直线上，则向右平移 个单位长度．
题型五：在方格子中画出平移前后的图形
【例题5】如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为．
(1)画出关于y轴对称的，并写出的坐标；
(2)将向右平移8个单位，画出平移后的，写出的坐标；
【变式训练5-1】(22-23八下·广东东莞常平镇振兴中学·期中)如图，在平面直角坐标系中，经过平移后，使点与点重合．
(1)画出平移后的；
(2)若内有一点，经过平移后的对应点的坐标是 ．
【变式训练5-2】(22-23七下·陕西商洛丹凤县·期末)如图，在平面直角坐标系中有三点、、．
(1)请在图中画出三角形；
(2)若是线段上任一点，线段平移后的对应点的坐标是，点随一起平移，平移后点的对应点的坐标是 ．
【变式训练5-3】(24-25七下·甘肃武威古浪县·期中)作图题：
是由平移后得到的，中任意一点经过平移后对应点为，请在坐标系中画出三角形并求出，，的坐标．
【变式训练5-4】(24-25七下·河南许昌建安区·期中)如图，在平面直角坐标系中，点A、B、C、D都在坐标格点上，点D的坐标是，点A的坐标是．
(1)将三角形平移后使点C与点D重合，点A，B分别与点E，F重合，画出三角形．并直接写出E，F的坐标；
(2)若AB上的点M坐标为，则平移后的对应点M的坐标为__________．
【变式训练5-5】(24-25七下·云南德宏州·期末)如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别是，．将先向左平移5个单位长度，再向上平移4个单位长度后得到，其中点D，E，F分别为点A，B，C的对应点．
(1)在图中画出，并写出点的坐标；
(2)若内一点P经过上述平移后的对应点为，直接写出点P的坐标（用含m，n的式子表示）．
题型六：平移在方格中的面积问题
【例题6】如图，已知点、、，经过平移后得到．若点为内任一点，经过平移后得到
(1)画出平移后的，并写出点的坐标______；
(2)求的面积．
【变式训练6-1】(24-25七下·江苏南通通州区金郊初级中学·期中)在 中，、、．
(1)将 沿轴负方向平移个单位长度，再沿轴正方向平移个单位长度得到 ，直接写出 的三个顶点坐标．
(2)求 的面积．
(3)设点在轴上，且 与 的面积相等，求点的坐标．
【变式训练6-2】(25-26八上·四川成都天府第七中学·月考)如图，在平面直角坐标系中，，，．将向左平移4个单位长度、再向下平移1个单位长度，可以得到，其中点、、分别与点A、B、C对应．
(1)画出平移后的；
(2)写出坐标：________、________；
(3)求的面积．
【变式训练6-3】(23-24七下·云南迪庆州·期中)如图，将向右平移5个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到．
(1)请画出平移后的图形；
(2)写出各顶点的坐标；
(3)求出的面积．
【变式训练6-4】如图，有三个点，是的边上一点，经平移后得到，点P的对应点为．
(1)写出点的坐标．
(2)写出A点关于x轴对称的点的坐标 ；写出B点关于y轴对称的点的坐标 ．
(3)求三角形的面积．
【变式训练6-4】如图，在平面直角坐标系中，三角形三个顶点的坐标分别是．将三角形平移，使点B与点O重合，得到三角形，其中A，C的对应点分别为，．
(1)画出三角形；
(2)在三角形中，点经过平移后的对应点为，的坐标为 ；
(3)求在平移过程中，线段扫过的图形的面积．
题型七：点坐标规律探索
【例题7】如图，在平面直角坐标系中，半径均为个单位的半圆，，，，组成一条平滑的曲线．点从原点出发，沿这条曲线向右运动，速度为每秒个单位，则第秒时，点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练7-1】(25-26八上·贵州贵阳第十九中学·期中)如图，一动点按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点，第2次运动到点，第3次运动到点，……，按这样的运动规律，则第2025次运动到点（ ）
A． B． C． D．
【变式训练7-2】(25-26八上·安徽宣城皖东南·期中)如图，一个粒子在第一象限内及轴、轴上运动，在第一分钟，它从原点运动到点；第二分钟，它从点运动到点，而后它接着按图中箭头所示在与轴、轴平行的方向上来回运动，且每分钟移动1个单位长度，那么在第2026分钟时，这个粒子所在位置的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练7-3】(25-26八上·安徽合肥五十中学西校·期中)如图，在平面直角坐标系中，有若干个横、纵坐标均为整数的格点，其顺序按图中箭头的方向排列，如第一个格点为，以下依次为，其中记第个格点的坐标值为，前个格点的坐标值之和为，则的值为（ ）
A．0 B．1 C．2025 D．2026
【变式训练7-4】(25-26八上·广西南宁第十四中学·月考)如图，正方形中顶点，轴且边长为2，规定把正方形先沿x轴翻折，再向左平移1个单位长度为一次变换，连续经过2024次变换后，正方形的顶点B的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【变式训练7-5】(25-26八上·云南大理白族下关一中初中部教育集团·期中)如图，在平面直角坐标系中，已知点的坐标是，以为边在右侧作等边三角形，过点作轴的垂线，垂足为点，以为边在右侧作等边三角形，再过点作轴的垂线，垂足为点，以为边在右侧作等边三角形，按此规律继续作下去，得到等边三角形AI，则点的纵坐标为（ ）
A． B． C． D．
【变式训练7-6】(25-26八上·重庆十一中教育集团·期中)如图，在平面直角坐标系中，从点，，，，，，…，依次扩展下去，则的坐标为（ ）
A． B． C． D．
题型八：坐标平移中的新定义问题
【例题8】定义新运算：
在平面直角坐标系中，表示动点从原点出发，沿着x轴正方向或负方向平移个单位长度，再沿着y轴正方向或负方向平移个单位长度．例如，动点从原点出发，沿着x轴负方向平移2个单位长度，再沿着y轴正方向平移1个单位长度，记作；其加法运算法则为：，其中a，b，c，d为实数．若，则 ．
【变式训练8-1】对于平面直角坐标系中的任意一点，给出如下定义：记，，将点与点称为点M的一对卫星点．例如，点与点为点的一对卫星点．将点向右平移m个单位长度，向下移动m个单位，得到点，若点的一对卫星点重合，则 ．
【变式训练8-2】(24-25八上·陕西西安碑林区铁一中·月考)在平面直角坐标系中，已知点，，．给出如下定义：若点先向上平移个单位（若，即向下平移个单位），再向右平移6个单位后的对应点Q在的内部或边上，则称点P为的“平移关联点”．若直线上的一点P是的“平移关联点”，且是等腰三角形，则点P的坐标为 ．
【变式训练8-3】(2025九·河北省秦皇岛市·一模)定义新运算：
①在平面直角坐标系中，表示动点从原点出发，沿着轴正方向或负方向．平移个单位长度，再沿着轴正方向或负方向平移个单位长度．例如，动点从原点出发，沿着轴负方向平移个单位长度，再沿着轴正方向平移个单位长度，记作．
②加法运算法则：，其中，，，为实数．
若，则 ．
【变式训练8-4】(24-25七下·福建厦门尚文实验学校·期中)定义；在平面直角坐标系中，将经过变换后得到，其中，（k，b为常数且），我们把这种变换称为“G变换”，记作为．例如：当，时，．
(1)当，时，______；
(2)点是平面直角坐标系中第一、三象限角平分线上的一个点，点经过“G变换”得到，若点M与重合，请求出点M的坐标；
(3)已知点，，经过“G变换”的对应点分别是，E，F．若轴，且点F落在x轴上，求三角形的面积．
【变式训练8-5】(24-25八上·北京师达中学·月考)对于平面直角坐标系中的点与图形，我们给出如下定义：若，将图形关于直线对称，得到图形；若，将图形向上平移个单位长度，得到图形．并称为图形关于点的“斗转星移图”．
(1)点关于点的“斗转星移图”为________；
(2)若点关于点的“斗转星移图”坐标为，求的值；
(3)已知点，点，点，点，点，，若线段关于点的“斗转星移图”与线段关于点的“斗转星移图”有公共点，则的取值范围是________．
题型九：坐标平移中综合求解（压轴题）
【例题9】一数学兴趣小组探究勾股定理在折叠中的应用，如图，将一张长方形纸片放在平面直角坐标系中，点A与原点O重合，顶点B、D分别在x轴、y轴上，，，P为边上一动点，连接，将沿折叠，点C落在点处．
(1)如图1，连接，当点在线段上时，求点P的坐标．
(2)如图2，当点P与点D重合时，沿将折叠得，与x轴交于点E，求的面积．
(3)是否存在点P，使得点到长方形的两条较长边的距离之比为？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【变式训练9-1】(24-25七上·黑龙江牡丹江初中课改联盟第二子联盟·期末)如图，在平面直角坐标系中，直线AB与两坐标轴分别交于A，B两点，若点且满足，C为x轴负半轴上一点，三角形的面积为15，点在平行于x轴的直线l上．
(1)求点A和点B的坐标；
(2)若平移直线使其与x轴交于点C，与y轴交于点E，连接，当时，求三角形的面积S（用含m的代数式表示）；
(3)若点F在直线l上，三角形的面积为12，请直接写出满足条件的点F的坐标．
【变式训练9-2】(25-26八上·河北邯郸育华中学·月考)如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，的边在轴上，，两点的坐标分别为，，点，且，已知点从点出发，以每秒2个单位的速度沿射线匀速运动，设点的运动时间为秒．
(1)直接写出，两点的坐标；，；
(2)连接，当点在轴的负半轴上时，
①用含的代数式表示的面积；
②当为何值时，的面积等于的面积？
(3)当点在线段上运动时，在轴正半轴上是否存在点，使与全等？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【变式训练9-3】(25-26八上·辽宁大连甘井子区第八十中学·月考)等腰中，，点A是x轴上一个动点，点B在y轴上且点，直角边交x轴于点D；
(1)如图1，若，求C点的坐标；
(2)如图2，若，作，且，连接交y轴于点P，直接写出点P的坐标（用含m的式子表示）；
(3)移动点A使交y轴于点F，若D恰好为中点时，连接，求证：．
【变式训练9-4】(24-25七下·湖北荆州沙区·期中)如图，已知点，，将线段先向右平移1个单位长度，再向上平移若干单位长度后，得到线段，且点在轴上，点的坐标为，连接、．
(1)请求出点A和点B坐标；
(2)点M从O点出发，以每秒1个单位长度的速度沿y轴向上运动．设运动时间为t秒，当四边形的面积等于8时，求t的值；
(3)点M从O点出发，以每秒1个单位长度的速度沿y轴向上运动，同时，点N从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿x轴向左运动，射线交y轴于点E．设运动时间为秒，问：的值是否会发生变化？若不变，请求出它的值；若变化，请说明理由．（特别地，三角形三个顶点重合时面积为0）
【变式训练9-5】(24-25七下·广西南宁第三中学·期末)如图，平面直角坐标系中，点在第一象限，轴于，轴于，，且满足．
(1)如图，求点的坐标；
(2)如图，点从点出发以每秒个单位的速度沿轴正方向运动，点从点出发，以每秒个单位的速度沿轴负方向运动，设运动时间为，当时，求的取值范围；
(3)如图，将线段平移，使点的对应点恰好落在轴负半轴上，点的对应点为（在第三象限），连接交轴于点，当时，求点的坐标．
【变式训练9-6】(24-25七下·甘肃临夏回族·期末)如图，在平面直角坐标系中，已知，，且满足，将线段沿轴正方向平移至，连接．
(1)点的坐标为___________，点的坐标为___________；
(2)点为的中点，点是线段上一动点(点不与点重合)，连接．
①如图1，若，，求的度数；
②如图2，已知，，射线与射线相交于点，点在下方，设，．在点运动的过程中，的值是否发生改变？若不变，请求出的值；若改变，请说明理由．
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专题4.3.2坐标平面内图形的平移九大题型（一课一讲）
的平移规律具体如下：
左右平移：点（x，y）→点（x+a，y），即纵坐标不变，横坐标改变，规律为“左减右加”；
上下平移：点（x，y）→点（x，y+b），即横坐标不变，纵坐标改变，规律为“上加下减”。
题型一：求点沿x轴，y轴平移后的坐标
【例题1】在平面直角坐标系内，点先向左平移个单位，再向下平移个单位，则平移后的点坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了坐标平移的规律，根据平移时，横坐标左移减，右移加；纵坐标下移减，上移加，计算求解即可，掌握坐标平移的规律是解题的关键．
【详解】解：∵点先向左平移个单位，再向下平移个单位，
∴平移后的点坐标为，即，
故选：．
【变式训练1-1】(24-25七下·云南罗平县·期末)点向左平移3个单位，再向上平移4个单位到点B，则点B的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查点的平移，掌握相关知识是解题的关键．
根据点的平移规律，左右平移，横坐标左减右加，纵坐标不变；上下平移，纵坐标上加下减，横坐标不变，即可解答．
【详解】解：点向左平移3个单位，再向上平移4个单位到点．
故选C．
【变式训练1-2】(25-26八上·广西南宁天桃实验学校·期末)在平面直角坐标系中，将点向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到点的坐标是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了点的平移规律，掌握点的平移规律：“横坐标左减右加，纵坐标上加下减”是解题的关键．
根据点的平移规律解答即可．
【详解】将点向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，
得到点的坐标是，即．
故选：D．
【变式训练1-3】如图，在平面直角坐标系中，点A与点B关于y轴对称，将点A向右平移4个单位长度后，点A的坐标为，则点B的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了平面直角坐标系内的点，关于y轴对称的点的坐标，
先根据平移求出点A的坐标，再根据对称可得答案.
【详解】解：点向右平移4个单位长度的坐标为，
∴点，即.
∵点A与点B关于y轴对称，
∴点.
故选：B.
【变式训练1-4】(24-25七下·辽宁盘锦大洼区·期中)若点在x轴上，先将点A向下平移4个单位长度，再向右平移7个单位长度到点，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了坐标轴上的点的特征、坐标与图形变化—平移，熟练掌握x轴上的点的纵坐标为0是解题的关键．
由点在x轴上，可得，则，再根据平移的性质即可求出点的坐标．
【详解】解：∵点在x轴上，
∴，
解得，
∴，
∵将点A向下平移4个单位长度，再向右平移7个单位长度到点，
∴点的纵坐标为，横坐标为，
∴点的坐标为．
故选：D．
【变式训练1-5】(24-25七下·陕西安康紫阳县毛坝中学·期末)在平面直角坐标系中，将点先向右平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度得到点，则点的坐标为 ．
【答案】
【分析】本题考查坐标与图形变换-平移，根据点的坐标平移规则“左减右加，上加下减”求解即可．
【详解】解：在平面直角坐标系中，将点先向右平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度得到点，则点的坐标为．
故答案为：．
题型二：已知平移前后的坐标推出平移方式
【例题2】若使四边形各顶点在直角坐标系中的横坐标保持不变，纵坐标比原来都减少，则此四边形（ ）
A．向上平移个单位长度 B．向下平移个单位长度
C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度
【答案】B
【分析】本题考查了平移的性质，纵坐标减小表示点向下移动，横坐标不变说明没有水平移动，据此进行分析，即可作答．
【详解】解：∵每个点的纵坐标都减小2，横坐标不变，
∴四边形向下平移2个单位长度，
故选：B
【变式训练2-1】(24-25八上·安徽安庆桐城第二中学·期末)在如图所示的平面直角坐标系内，画在透明胶片上的平行四边形，点的坐标是现将这张胶片平移，使点落在点处，则此平移可以是（ ）
A．先向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度
B．先向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度
C．先向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度
D．先向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度
【答案】C
【分析】此题主要考查了平面坐标系中点的平移，熟记左右移动横坐标，左减右加，上下移动纵坐标，上加下减是解题的关键．利用平面坐标系中点的坐标平移方法，利用点的坐标是，点得出横纵坐标的变化规律，即可得出平移特点．
【详解】解：根据的坐标是，点，
横坐标加，纵坐标减得出，故先向右平移个单位，再向下平移个单位，
故选：C．
【变式训练2-2】将点通过平移得到点，以下方式正确的是（　　）
A．沿x轴向右平移3个单位长度，再沿y轴向上平移4个单位长度
B．沿x轴向左平移3个单位长度，再沿y轴向下平移4个单位长度
C．沿x轴向左平移3个单位长度，再沿y轴向上平移4个单位长度
D．沿x轴向左平移4个单位长度，再沿y轴向上平移3个单位长度
【答案】C
【分析】本题考查了点的坐标平移，根据点的坐标平移法则：左减右加，上加下减，即可得解，熟练掌握点的坐标平移法则是解此题的关键．
【详解】解：将点通过平移得到点，平移方式可为沿x轴向左平移3个单位长度，再沿y轴向上平移4个单位长度，
故选：C．
【变式训练2-3】(25-26八上·安徽阜阳颍上县·月考)在平面直角坐标系中，经过平移得到，与的位置如图所示．
(1)分别写出点A，的坐标．
(2)请结合平移的相关知识说明可由经过怎样的平移得到．
【答案】(1)，；
(2)将向右平移2个单位，再向下平移1个单位得到．
【分析】此题主要考查了图形的平移．
（1）观察图形中点A，的位置即可得出其坐标；
（2）观察图形中和位置的变换可得出答案．
【详解】（1）解：由图可知，；
（2）解：观察图形中和的位置，可知将向右平移2个单位，再向下平移1个单位得到．
【变式训练2-4】如图，在边长为1的小正方形网格中，三角形的顶点均在小正方形的格点上且．三角形平移后得到三角形，且点A、B、O的对应点分别是点，点O的坐标为，点的坐标为．请你分析平移规律，并写出点的坐标．
【答案】向右平移4个单位，
【分析】本题主要考查坐标的平移变换，熟练掌握平移的变换，“左减右加，上加下减”是解题的关键．
根据点O平移后坐标，可知三角形是向右平移4个单位长度后得到三角形，再根据平移得到即可．
【详解】∵点O的坐标为，点的坐标为，
∴，
∴三角形是向右平移4个单位长度后得到三角形，
∵点，
∴点，
即点．
【变式训练2-4】(24-25七下·[名校联盟]天津塘沽第二中学·月考)如图，图中是经过平移得到的，请你写出平移的过程，并写出对应点的移动过程．
【答案】见解析
【分析】本题考查了图形的平移、点坐标的平移，熟练掌握平移的性质是解题关键．根据图形的变化可得先向右平移9个单位长度，再向上平移3个单位长度得到，再写出对应点的移动过程即可．
【详解】解：，，
则由图可知，先向右平移9个单位长度，再向上平移3个单位长度得到．
对应点的移动过程：点先向右平移9个单位长度，再向上平移3个单位长度得到点，
点先向右平移9个单位长度，再向上平移3个单位长度得到点，
点先向右平移9个单位长度，再向上平移3个单位长度得到点．
题型三：已知平移前后的坐标求代数式
【例题3】在平面直角坐标系中，点向右平移个单位长度，向上平移个单位长度得到点，则的值为（ ）
A．1 B． C．5 D．
【答案】B
【分析】本题考查了坐标与图形变化—平移，平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．根据向右平移横坐标加，向上平移纵坐标加计算即可．
【详解】解：点向右平移m个单位长度，向上平移n个单位长度得到点，
，
，
．
故选：B．
【变式训练3-1】(24-25八上·安徽安庆宜秀区安庆九一六学校·期末)如图，点A，B分别在x轴和y轴上，，若将线段平移至线段的位置，则的值为（ ）
A．2 B．1 C． D．
【答案】B
【分析】先求出线段平移的方向和距离，再求出a，b的值即可求解．
本题考查了线段的平移、点的平移，点的平移规律是横坐标左减，右加；纵坐标上加，下减，根据点的平移规律得出线段的平移规律是解题的关键．
【详解】解：∵点A，B分别在x轴和y轴上，，
∴点，
∵，
∴点A向右平移3个单位到达点，点B向下平移1个单位到达点，
∴线段向右平移3个单位，再向下平移1个单位至线段的位置，
∴，
∴．
故选：B
【变式训练3-2】(25-26九上·河南鹤壁浚县五校·期中)如图，在平面直角坐标系中，，，将线段平移至的位置，则的值为 ．
【答案】2
【分析】本题考查坐标与图形变化-平移，解题的关键是掌握平移变换的性质，
根据平移变换的规律解决问题即可．
【详解】解：由题意，线段向右平移1个单位，再向上平移1个单位得到线段，
∴，
∴，
故答案为：2．
【变式训练3-3】(24-25七下·河北邯郸冀南新区精英学校·期中)如图，在平面直角坐标系中，将线段平移到线段的位置，则 ．
【答案】
【分析】本题考查坐标与图形变化-平移，利用坐标平移的变化规律即可解决问题．根据点 平移到点，纵坐标的变化规律，可得：；根据点平移到点，横坐标的变化规律，可得：；把字母的值代入代数式计算求值即可．
【详解】解：点 平移到点，向上平移了个单位长度，
，
解得：，
点平移到点，向左平移了个单位长度，
，
解得：，
解得：．
故答案为：．
【变式训练3-4】(25-26八上·安徽阜阳颍上县·月考)在平面直角坐标系中，已知点，，将线段平移至，点A的对应点为，点B的对应点为，则的值为 ．
【答案】
【分析】本题考查了平移的性质．根据平移的性质即可求解．
【详解】解：∵将线段平移至，且，，，，
∴，，
∴，，
∴，
故答案为：．
【变式训练3-5】(24-25九下·辽宁抚顺新宾县木奇镇中学·模拟)点分别在轴的负半轴和轴的正半轴上，，将线段平移至，若点，的坐标分别为，则 ．
【答案】
【分析】本题考查了直角坐标系中的平移，熟练掌握平移法则是解题的关键．
由题意，线段由线段向右平移3个单位，再向上平移1个单位得到，即可得出答案．
【详解】解：由题意知：、的坐标分别为和，
点、的坐标分别为和，
，，∴线段由线段向右平移3个单位，再向上平移1个单位得到，
∴，，
∴．
故答案为： ．
题型四：已知图形的平移求点坐标
【例题4】如图，在平面直角坐标系中，内部有一点，若将先向右平移，再向下平移，平移后点对应点的坐标是．若点的坐标是，则平移后点对应的点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查坐标与平移，根据点和它的对应点的坐标，得到平移规则，进而求出点的坐标即可．
【详解】解：∵点平移后的对应点的坐标是，
∴先向右平移2个单位，再向下平移4个单位，
∵点的坐标是，
∴平移后点对应的点的坐标是，即；
故选：C．
【变式训练4-1】(24-25八下·贵州贵阳第十九中学·期中)如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为，将线段平移，使得点A平移到点，则平移后点B的坐标为（ ）
A． B． C． D．或
【答案】B
【分析】根据点平移到点可得该线段平移的方法，用这个平移方法即可得到平移后点B的坐标．本题考查了平移，掌握平移的性质是解题的关键．
【详解】解：点A的坐标为，点A平移到点，
故平移的方法为：向右平移2个单位，向上平移4个单位，
故将点向右平移2个单位，向上平移4个单位后，坐标为，
故选：B．
【变式训练4-2】(24-25八上·安徽蒙城县汇贤中学·期中)三角形是由三角形平移得到的，点的对应点为，则三角形内部点的对应点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查已知图形的平移，求点的坐标，先根据已知的对应点的坐标求出平移规则，再进行求解即可．
【详解】解：∵点的对应点为，，
∴三角形先向右平移2个单位，再向上平移3个单位得到三角形，
∴三角形内部点的对应点的坐标为，即；
故选B．
【变式训练4-3】(24-25七下·广西南宁横州·期中)已知，在平面直角坐标系中A，B两点的坐标分别为，，将线段平移到线段，若点A的对应点C的坐标为，则点D的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查坐标系内线段的平移，根据A点平移前后坐标判断出平移方式，进而可得点D的坐标．
【详解】解： 与对应，
平移方式为：向左平移个单位长度，向下平移个单位长度，
点B的坐标为，
点D的坐标是，即，
故选D．
【变式训练4-4】(25-26九上·甘肃武威凉州区新华镇九年制学校·期中)如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点C、D在x轴负半轴，将正方形平移得到正方形（点A、B、C、D的对应点分别是点、、、），若，，，则点的坐标为 ．
【答案】
【分析】本题考查坐标与平移，根据点，，确定平移规则，进而求出点的坐标即可．
【详解】解：∵，，
∴正方形先向右平移3个单位，再向上平移2个单位得到正方形，
∵，
∴，即：点的坐标为；
故答案为：．
【变式训练4-5】(2025九·4月辽宁省抚顺市·模拟)如图，点的坐标为， 沿轴向右平移后得到．点的对应点在直线上，则向右平移 个单位长度．
【答案】
【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及坐标与图形变化平移，利用平移的性质及一次函数图象上点的坐标特征，求出点的横坐标是解题的关键．利用平移的性质，可得出点的纵坐标，结合一次函数图象上点的坐标特征，可得出点的坐标，进而可得出向右平移个单位长度．
【详解】解：点的坐标为，沿轴向右平移后得到，
点的纵坐标为8．
当时，，
解得：，
点的坐标为，
向右平移个单位长度．
故答案为：．
题型五：在方格子中画出平移前后的图形
【例题5】如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为．
(1)画出关于y轴对称的，并写出的坐标；
(2)将向右平移8个单位，画出平移后的，写出的坐标；
【答案】(1)见解析，的坐标是；
(2)见解析，
【分析】本题考查了图形的平移和翻折，熟练掌握利用平移变换与轴对称变换作图是解决本题的关键；
（1）分别作出点A，B，C关于y轴的对称点，顺次连接得到，根据点的位置得到的坐标即可；
（2）分别作出点A，B，C向右平移8个单位的对应点，顺次连接对应点得到，根据点的位置得到的坐标即可；
【详解】（1）解：作图如图，
∴为所作的图形，的坐标是；
（2）作图如图，
∴为所作的图形，．
【变式训练5-1】(22-23八下·广东东莞常平镇振兴中学·期中)如图，在平面直角坐标系中，经过平移后，使点与点重合．
(1)画出平移后的；
(2)若内有一点，经过平移后的对应点的坐标是 ．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题主要考查了平移作图，平移的性质，掌握图形的平移规律是解题的关键．
（1）根据平移得性质作图即可；
（2）首先求出平移方式，进而求解即可．
【详解】（1）解：如图，即为所求作．
（2）∵经过平移后，使点与点重合
∴平移方式为向右平移2个单位，向上平移1个单位，
∴点经过平移后的对应点的坐标是．
【变式训练5-2】(22-23七下·陕西商洛丹凤县·期末)如图，在平面直角坐标系中有三点、、．
(1)请在图中画出三角形；
(2)若是线段上任一点，线段平移后的对应点的坐标是，点随一起平移，平移后点的对应点的坐标是 ．
【答案】(1)图见解析
(2)
【分析】本题考查了网格作图，图形平移的性质等知识点，掌握这些是解题的关键．
（1）根据、、，描点、顺次连接三点，形成三角形即可；
（2）根据与对应点的坐标变化，明确图形移动的方法，写出平移后点的对应点的坐标即可．
【详解】（1）解：如图：
（2）解：，它的对应点的坐标是，
三角形可以是向右移动3个格子后，再向下移动2个格子，
平移后点的对应点的坐标是．
故答案为：．
【变式训练5-3】(24-25七下·甘肃武威古浪县·期中)作图题：
是由平移后得到的，中任意一点经过平移后对应点为，请在坐标系中画出三角形并求出，，的坐标．
【答案】图见解析，、、
【分析】本题考查坐标与图形变化——平移，解题关键是根据已知点的平移规律，求出各顶点的坐标，再进行作图．已知中任意一点经过平移后对应点为，说明是由向左平移3个单位，向下平移5个单位得到的，由坐标平移变化规律得出新坐标即可．
【详解】解：如图所示，、、
【变式训练5-4】(24-25七下·河南许昌建安区·期中)如图，在平面直角坐标系中，点A、B、C、D都在坐标格点上，点D的坐标是，点A的坐标是．
(1)将三角形平移后使点C与点D重合，点A，B分别与点E，F重合，画出三角形．并直接写出E，F的坐标；
(2)若AB上的点M坐标为，则平移后的对应点M的坐标为__________．
【答案】(1)作图见解析，，
(2)
【分析】本题考查平移作图，点的平移与坐标变化，理解平移的概念，掌握平移的规律：左减右加，上加下减是解题的关键．
（）把向左平移个单位，向下平移个单位即可，根据图即可写出点坐标；
（）根据平移规律左减右加，上加下减即可解答．
【详解】（1）解：如图所示，即为所求，其中、；
（2）解：由图形知，将向左平移个单位、再向下平移个单位得到，
∴平移后点的坐标为，
故答案为：．
【变式训练5-5】(24-25七下·云南德宏州·期末)如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别是，．将先向左平移5个单位长度，再向上平移4个单位长度后得到，其中点D，E，F分别为点A，B，C的对应点．
(1)在图中画出，并写出点的坐标；
(2)若内一点P经过上述平移后的对应点为，直接写出点P的坐标（用含m，n的式子表示）．
【答案】(1)作图见解析，点D、E、F的坐标分别为、、
(2)
【分析】本题主要考查了坐标与图形，平移作图，根据平移方式，求点的坐标，解题的关键是熟练掌握平移规律．
（1）先坐标平移后点A、B、C的对应点，然后顺次连接即可；
（2）根据平移规律，得出点P的坐标即可．
【详解】（1）解：如图，为所求作的三角形．点D、E、F的坐标分别为、、．
（2）解：∵将先向左平移5个单位长度，再向上平移4个单位长度后得到，
∴将先向右平移5个单位长度，再向下平移4个单位长度后得到，
∴先向右平移5个单位长度，再向下平移4个单位长度后得到点P，
∴点P的坐标为．
题型六：平移在方格中的面积问题
【例题6】如图，已知点、、，经过平移后得到．若点为内任一点，经过平移后得到
(1)画出平移后的，并写出点的坐标______；
(2)求的面积．
【答案】(1)见解析，
(2)8
【分析】本题考查了利用平移变换作图，根据已知点的坐标确定出平移方法，然后熟练掌握网格结构，准确找出对应点的位置是解题的关键．
（1）根据点P与确定出平移方法，再根据规律找出点平移后的对应点、、的位置，然后顺次连接可得，再写出点的坐标即可；
（2）利用所在的矩形的面积减去四周三个小直角三角形的面积，列式计算即可得解．
【详解】（1）解：∵点平移后的对应点为，
∴平移规律为向左平移3个单位，向下平移2个单位，
∴、、，
如图所示；
故答案为：．
（2）解：的面积．
【变式训练6-1】(24-25七下·江苏南通通州区金郊初级中学·期中)在 中，、、．
(1)将 沿轴负方向平移个单位长度，再沿轴正方向平移个单位长度得到 ，直接写出 的三个顶点坐标．
(2)求 的面积．
(3)设点在轴上，且 与 的面积相等，求点的坐标．
【答案】(1)，，
(2)
(3)或
【分析】本题主要考查了坐标与图形的平移、三角形面积的计算（割补法）以及平面直角坐标系中三角形面积与点坐标的关系，熟练掌握平移规律、割补法求面积和三角形面积公式是解题的关键．
（1）根据平移规律“沿轴负方向平移，横坐标减；沿轴正方向平移，纵坐标加”来计算各顶点坐标．
（2）利用割补法，用矩形面积减去周围三个直角三角形的面积来求的面积．
（3）设点坐标为，根据三角形面积公式，结合与面积相等列方程求解．
【详解】（1）解：∵、、，
将沿轴负方向平移个单位长度，再沿轴正方向平移个单位长度得到，
∴ ，，．
（2）解： ．
（3）解：设，
．
的底为的长度，高为点横坐标的绝对值，
∵ ，
∴ ，
即，
解得或，
∴ 或．
【变式训练6-2】(25-26八上·四川成都天府第七中学·月考)如图，在平面直角坐标系中，，，．将向左平移4个单位长度、再向下平移1个单位长度，可以得到，其中点、、分别与点A、B、C对应．
(1)画出平移后的；
(2)写出坐标：________、________；
(3)求的面积．
【答案】(1)见解析
(2)，
(3)
【分析】本题考查平面直角坐标系内图形的平移，求网格三角形的面积．
（1）根据平移方式找出对应点坐标，顺次连接即可；
（2）根据，在坐标系内的位置可直接写出坐标；
（3）利用割补法求解即可．
【详解】（1）解：如图，即为所求；
（2）解：由坐标系可得，，，
故答案为：，；
（3）解：的面积为．
【变式训练6-3】(23-24七下·云南迪庆州·期中)如图，将向右平移5个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到．
(1)请画出平移后的图形；
(2)写出各顶点的坐标；
(3)求出的面积．
【答案】(1)见解析；
(2)，，；
(3)．
【分析】本题主要考查了平移的性质、坐标与图形变化之平移以及三角形面积的计算（割补法），熟练掌握平移规律和割补法求面积是解题的关键．
（1）根据平移的性质，分别将△ABC的三个顶点按要求平移，再顺次连接各顶点得到平移后的图形．
（2）先确定原△ABC各顶点的坐标，再根据平移规律“右移横坐标加，下移纵坐标减”计算平移后各顶点的坐标．
（3）利用割补法，用矩形的面积减去周围三个直角三角形的面积来计算三角形的面积．
【详解】（1）解：如图，即为所求；
（2）解：由（1）作图可得，，，；
（3）解：的面积：．
【变式训练6-4】如图，有三个点，是的边上一点，经平移后得到，点P的对应点为．
(1)写出点的坐标．
(2)写出A点关于x轴对称的点的坐标 ；写出B点关于y轴对称的点的坐标 ．
(3)求三角形的面积．
【答案】(1)，，
(2)
(3)
【分析】本题考查了坐标与图形变化-平移，关于x轴、y轴对称点的坐标，三角形的面积，掌握坐标与图形变化规律是解题的关键．
（1）由平移之后点P的对应点为的坐标即可知平移的方式，即可得出点的坐标；
（2）根据关于坐标轴对称的点的坐标特征即可解答；
（3）利用矩形面积减去三个三角形的面积进行计算即可解答．
【详解】（1）解：由平移之后点P的对应点为的坐标即可知，
先向右平移5个单位，又向上平移2个单位，
∴，，；
（2）解：A点关于x轴对称的点的坐标为，B点关于y轴对称的点的坐标为，
故答案为：，；
（3）解：由题意得：
的面积 ，
∴的面积为．
【变式训练6-4】如图，在平面直角坐标系中，三角形三个顶点的坐标分别是．将三角形平移，使点B与点O重合，得到三角形，其中A，C的对应点分别为，．
(1)画出三角形；
(2)在三角形中，点经过平移后的对应点为，的坐标为 ；
(3)求在平移过程中，线段扫过的图形的面积．
【答案】(1)见解析
(2)
(3)9
【分析】本题主要考查了坐标与图形变化-平移，熟知图形平移的性质是解题的关键．
（1）根据题意，画出图形即可．
（2）根据（1）得出平移的方向和距离，据此表示出点的坐标即可．
（3）利用“割补法”求出线段扫过的面积即可．
【详解】（1）解：如图所示，
即为所求作的三角形．
（2）解：由（1）知，
因为，，
所以向右平移了4个单位长度，向上平移了1个单位长度，
所以点的坐标为．
故答案为：．
（3）解：由（1）中所画图形可知，平移过程中，线段扫过的图形的面积为：．
题型七：点坐标规律探索
【例题7】如图，在平面直角坐标系中，半径均为个单位的半圆，，，，组成一条平滑的曲线．点从原点出发，沿这条曲线向右运动，速度为每秒个单位，则第秒时，点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查的是点的坐标规律，以时间为点P的下标，根据半圆的半径以及部分点P的坐标可找出规律“，，，”，依此规律即可得出第2024秒时，点P的坐标．
【详解】解：∵圆的半径都为1，
∴半圆的周长，
以时间为点P的下标．
观察发现规律：，，，，，，…，
∴，，，．
∵，
∴第2024秒时，点P的坐标为，
故选：B．
【变式训练7-1】(25-26八上·贵州贵阳第十九中学·期中)如图，一动点按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点，第2次运动到点，第3次运动到点，……，按这样的运动规律，则第2025次运动到点（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了规律型中的点的坐标，列出部分点的坐标，根据点的坐标变化找出规律“”，根据该规律即可得出结论．
【详解】解：观察，发现动点每4次为一个循环，点的坐标依次为“”，
∵，
∴第2025次运动是第507次循环的第1次运动，
∴第2025次运动的点的坐标是．
故选：A．
【变式训练7-2】(25-26八上·安徽宣城皖东南·期中)如图，一个粒子在第一象限内及轴、轴上运动，在第一分钟，它从原点运动到点；第二分钟，它从点运动到点，而后它接着按图中箭头所示在与轴、轴平行的方向上来回运动，且每分钟移动1个单位长度，那么在第2026分钟时，这个粒子所在位置的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了平面直角坐标系内的点的坐标，点的坐标规律问题，
先确定前几个点的坐标变化的规律，进而得出第2024分钟点的坐标，即可得出答案．
【详解】解：由题意可知
点表示粒子运动了0分钟，表示粒子运动了（分钟）；
再向左运动，表示粒子运动了（分钟）；
再向下运动，表示粒子运动了（分钟），将向左运动，
表示粒子运动了（分钟），此时粒子向下运动，
∴在第2024分钟时，粒子又向下运动了个单位长度，
此时粒子的位置是，再向右运动1分钟，并向上运动1分钟，
可得第2026分钟的位置是．
故选：D．
【变式训练7-3】(25-26八上·安徽合肥五十中学西校·期中)如图，在平面直角坐标系中，有若干个横、纵坐标均为整数的格点，其顺序按图中箭头的方向排列，如第一个格点为，以下依次为，其中记第个格点的坐标值为，前个格点的坐标值之和为，则的值为（ ）
A．0 B．1 C．2025 D．2026
【答案】B
【分析】本题考查了坐标的规律，正确得到点的坐标的规律是解题的关键．
根据图形可得推出是前8个为一组，后面16个为一组，再是24个为一组，以此类推，推出第2025个格点为第几组的第几个，再推出的值即可，同理可求．
【详解】解：根据图形上的点分为为第一圈，有个点，即个点，
为第二圈，有个点，即个点，
为第三圈，有个点，即个点，
则第圈有个点，
则总计为个点，
当时，，
则第2025个格点是第23圈的第1个点，
∵第一圈的第一个点为，第二圈的第一个点为，第三圈的第一个点为，第四圈的第一个点为，
则第圈的第一个点为个点，
∴第23圈的第一个点为，
，
根据图形上的点分为为第一圈，根据对称性可得坐标值之和为0，为第二圈，同理坐标值之和为0，
以此类推，第三圈的坐标值之和为0，第圈的坐标值之和为0，
∵第2025个格点在第23圈的第1个点，且前22圈的坐标值之和为0，
∴，
故选：B．
【变式训练7-4】(25-26八上·广西南宁第十四中学·月考)如图，正方形中顶点，轴且边长为2，规定把正方形先沿x轴翻折，再向左平移1个单位长度为一次变换，连续经过2024次变换后，正方形的顶点B的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查坐标系上点的翻折，平移后点的坐标，依据要求正确求出变化后点的坐标是解题关键．
依次按要求变化后写出坐标，得出坐标与变化次数n的关系即可．
【详解】解：∵点，轴，且边长为2，
∴点的坐标为，
第1次变换后，
第2次变换后，
第3次变换后，
第4次变换后，
……
从而找到规律：当为奇数时，；当为偶数时，．
∴当时，．
故选B．
【变式训练7-5】(25-26八上·云南大理白族下关一中初中部教育集团·期中)如图，在平面直角坐标系中，已知点的坐标是，以为边在右侧作等边三角形，过点作轴的垂线，垂足为点，以为边在右侧作等边三角形，再过点作轴的垂线，垂足为点，以为边在右侧作等边三角形，按此规律继续作下去，得到等边三角形AI，则点的纵坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
此题考查了点的坐标规律变化，涉及到等边三角形的性质，利用含的直角三角形的最短边是斜边的一半解题即可．
【详解】
解：∵三角形为等边三角形，轴，
，，
，
同理得：，……
综上可得：，
则点 的纵坐标为 ，
故选：A．
【变式训练7-6】(25-26八上·重庆十一中教育集团·期中)如图，在平面直角坐标系中，从点，，，，，，…，依次扩展下去，则的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查规律型：点的坐标，解答此题的关键是首先确定点所在的象限，该象限内点的规律，然后就可以进一步推出点的坐标．
根据各个点的位置关系，可得出下标为4的倍数的点在第一象限，被4除余1的点在第二象限，被4除余2的点在第三象限，被4除余3的点在第四象限，点在第二象限，再根据第二项象限点的规律即可得出结论．
【详解】解：由题意可得规律坐标四个一循环，下标为4的倍数的点在第一象限，被4除余1的点在第二象限，被4除余2的点在第三象限，被4除余3的点在第四象限，
，
点在第二象限，
点，点，点，
故可知位于第二象限的点，
点，即．
故选：B．
题型八：坐标平移中的新定义问题
【例题8】定义新运算：
在平面直角坐标系中，表示动点从原点出发，沿着x轴正方向或负方向平移个单位长度，再沿着y轴正方向或负方向平移个单位长度．例如，动点从原点出发，沿着x轴负方向平移2个单位长度，再沿着y轴正方向平移1个单位长度，记作；其加法运算法则为：，其中a，b，c，d为实数．若，则 ．
【答案】
【分析】本题考查直角坐标系中点的平移，二元一次方程组，熟练理解题意并根据题意列式是解题的关键．根据题意列出二元一次方程组，求解即可．
【详解】解：∵，
∴根据加法运算法则，得，
解得：，
则，
故答案为：．
【变式训练8-1】对于平面直角坐标系中的任意一点，给出如下定义：记，，将点与点称为点M的一对卫星点．例如，点与点为点的一对卫星点．将点向右平移m个单位长度，向下移动m个单位，得到点，若点的一对卫星点重合，则 ．
【答案】
【分析】本题考查了坐标与图形变化-平移，新定义，根据卫星点的定义列方程求解即可．
【详解】解：由题意得，，
此时，，，
则点的卫星点为和，
∵这两个卫星点重合，（即两点的横、纵坐标分别相等），
∴，
解得，，
故答案为：．
【变式训练8-2】(24-25八上·陕西西安碑林区铁一中·月考)在平面直角坐标系中，已知点，，．给出如下定义：若点先向上平移个单位（若，即向下平移个单位），再向右平移6个单位后的对应点Q在的内部或边上，则称点P为的“平移关联点”．若直线上的一点P是的“平移关联点”，且是等腰三角形，则点P的坐标为 ．
【答案】或
【分析】本题考查一次函数的综合应用，等腰三角形的性质，坐标与图形，设，根据平移规则，得到，进而得到点在直线上，根据是等腰三角形，分，两种情况讨论，求出点坐标，进而求出点坐标，本题的难度较大，掌握数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键．
【详解】解：∵，，，
∴，，
设，则：，
∴点在直线上，
当是等腰三角形，分两种情况：
①当时，过点作，则：，
∵，
∴两点重合，
∴，
∴，
∴，
∴；
②当时，过点作，则：，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
综上分析可知：点P的坐标为：或．
故答案为：或．
【变式训练8-3】(2025九·河北省秦皇岛市·一模)定义新运算：
①在平面直角坐标系中，表示动点从原点出发，沿着轴正方向或负方向．平移个单位长度，再沿着轴正方向或负方向平移个单位长度．例如，动点从原点出发，沿着轴负方向平移个单位长度，再沿着轴正方向平移个单位长度，记作．
②加法运算法则：，其中，，，为实数．
若，则 ．
【答案】
【分析】本题考查直角坐标系中点的平移，二元一次方程组，熟练理解题意并根据题意列式是解题的关键．根据题意列出二元一次方程组，求解即可．
【详解】解：∵，
根据加法运算法则，得，
解得：，
则，
故答案为：．
【变式训练8-4】(24-25七下·福建厦门尚文实验学校·期中)定义；在平面直角坐标系中，将经过变换后得到，其中，（k，b为常数且），我们把这种变换称为“G变换”，记作为．例如：当，时，．
(1)当，时，______；
(2)点是平面直角坐标系中第一、三象限角平分线上的一个点，点经过“G变换”得到，若点M与重合，请求出点M的坐标；
(3)已知点，，经过“G变换”的对应点分别是，E，F．若轴，且点F落在x轴上，求三角形的面积．
【答案】(1)
(2)点M的坐标为
(3)三角形的面积
【分析】本题考查坐标变换，坐标与图形性质，二元一次方程组的应用等知识．解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
（1）根据“变换”的定义求解；
（2）根据第一、三象限角平分线上的点的特征结合“变换”的定义列得，求解即可；
（3）根据“G变换”的定义求出，，再求出，，的坐标，利三角形的面积公式即可解决问题．
【详解】（1）解：当，时，点，
故答案为：；
（2）解：由题意得点变换为，
∵点是平面直角坐标系中第一、三象限角平分线上的一个点，
∴，
∵点M与重合，
∴，即，
∵，
∴．
∴点M的坐标为；
（3）解：由题意得：，
解得：，
∵，经过“G变换”的对应点分别是E，F，
∴，，
∵轴，且点F落在轴上，
∴，
∴，，
∴，，，
∴三角形的面积为：
．
∴三角形的面积．
【变式训练8-5】(24-25八上·北京师达中学·月考)对于平面直角坐标系中的点与图形，我们给出如下定义：若，将图形关于直线对称，得到图形；若，将图形向上平移个单位长度，得到图形．并称为图形关于点的“斗转星移图”．
(1)点关于点的“斗转星移图”为________；
(2)若点关于点的“斗转星移图”坐标为，求的值；
(3)已知点，点，点，点，点，，若线段关于点的“斗转星移图”与线段关于点的“斗转星移图”有公共点，则的取值范围是________．
【答案】(1)．
(2)；
(3)．
【分析】（1）根据新定义结合平移的性质，即可求解；
（2）根据新定义，得出向上平移个单位得，进而列方程即可求解；
（3）根据，，得出线段，的对应点，根据线段有交点，得出不等式，解不等式，进而即可求解．
【详解】（1）解：∵，
∴将向上平移个单位长度，得到，
即点关于点的“斗转星移图”为；
故答案为：．
（2）解：∵点关于点的“斗转星移图”坐标为，
又向上平移个单位得，
∴，且
解得；
（3）解：∵，
又∵点，点，点，
∴线段关于点的“斗转星移图”的横坐标为：，的横坐标为
∴，，在上，
∵，点，点，，
∴线段关于点的“斗转星移图”，
∵与有交点，
∴
解得：．
【点睛】本题考查了平移与轴对称变换，坐标与图象，解不等式组，一元一次方程的应用，理解新定义是解题的关键．
题型九：坐标平移中综合求解（压轴题）
【例题9】一数学兴趣小组探究勾股定理在折叠中的应用，如图，将一张长方形纸片放在平面直角坐标系中，点A与原点O重合，顶点B、D分别在x轴、y轴上，，，P为边上一动点，连接，将沿折叠，点C落在点处．
(1)如图1，连接，当点在线段上时，求点P的坐标．
(2)如图2，当点P与点D重合时，沿将折叠得，与x轴交于点E，求的面积．
(3)是否存在点P，使得点到长方形的两条较长边的距离之比为？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)点P的坐标为；
(2)
(3)点P的坐标为或．
【分析】此题考查了勾股定理与折叠问题，坐标与图形，解题的关键是根据题意分情况讨论．
（1）首先根据勾股定理求出，然后根据折叠的性质得到，，，设，则，在中，利用勾股定理得到，求出，得到，进而可求出点P的坐标；
（2）首先根据平行线的性质和折叠的性质得到，设，则，在中，根据勾股定理求出，然后利用三角形面积公式求解即可；
（3）过点C作交于点E，交于点F，根据题意得到，然后分两种情况讨论：和，分别根据勾股定理求解即可．
【详解】（1）解：∵，，，
∴，
∵将沿折叠，点C落在点处，
∴，，，
∴，
设，则，
∴在中，，
∴，
解得，
∴，
∴，
∴点P的坐标为；
（2）解：∵，
∴，
∵沿将折叠得，
∴，
∴，
∴，
设，则，
∴在中，，
∴，
解得，
∴，
∴的面积；
（3）解：如图所示，过点C作交于点E，交于点F，
∵，，
∴，
∴四边形是长方形，
∴，
当时，
∴，，
由折叠得，，
∴，
∴，
∴设，则，
∴在中，，
∴，
解得，
∴，
∴点P的坐标为；
当时，
∴，，
由折叠得，，
∴，
∴，
∴设，则，
∴在中，，
∴，
解得，
∴，
∴点P的坐标为；
综上所述，点P的坐标为或．
【变式训练9-1】(24-25七上·黑龙江牡丹江初中课改联盟第二子联盟·期末)如图，在平面直角坐标系中，直线AB与两坐标轴分别交于A，B两点，若点且满足，C为x轴负半轴上一点，三角形的面积为15，点在平行于x轴的直线l上．
(1)求点A和点B的坐标；
(2)若平移直线使其与x轴交于点C，与y轴交于点E，连接，当时，求三角形的面积S（用含m的代数式表示）；
(3)若点F在直线l上，三角形的面积为12，请直接写出满足条件的点F的坐标．
【答案】(1)
(2)
(3)或
【分析】本题主要考查图形与坐标及平移的性质，非负数的性质，熟练掌握图形与坐标及平移的性质是解题的关键．
（1）根据非负数的性质求出a、b的值，然后得出答案即可；
（2）过点C作于点N，过点E作轴交直线于点L，连接，根据三角形的面积为15，求出点C的坐标，根据平移得出，即可得出点，即，再由，即可求解；
（3）设l与y轴交于点G，延长交直线l于点H，，过点H作轴于点P，设点H的坐标为，则点，根据，可求出s的值，可得得到点，再根据，三角形的面积为12，可得，即可求解．
【详解】（1）解：∵，
∴，
解得：，
∵点，
∴点；
（2）解：如图，过点C作于点N，过点E作轴交直线于点L，连接，
∵三角形的面积为15，
∴，
∵点，
∴，
∴，即点，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
∴点，即，
∵轴，
∴轴，
∵，
∴，
∴
，
即；
（3）解：如图，设l与y轴交于点G，延长交直线l于点H，过点H作轴于点P，
设点H的坐标为，则点，
∵，
∴，
∴，
∴点，
∵，三角形的面积为12，
∴，
∴，
∴点F的坐标为或．
【变式训练9-2】(25-26八上·河北邯郸育华中学·月考)如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，的边在轴上，，两点的坐标分别为，，点，且，已知点从点出发，以每秒2个单位的速度沿射线匀速运动，设点的运动时间为秒．
(1)直接写出，两点的坐标；，；
(2)连接，当点在轴的负半轴上时，
①用含的代数式表示的面积；
②当为何值时，的面积等于的面积？
(3)当点在线段上运动时，在轴正半轴上是否存在点，使与全等？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)①，②当为1时，的面积等于的面积
(3)存在，点Q的坐标为或
【分析】本题考查了绝对值与乘方的非负数的性质，全等三角形的性质，求点的坐标等知识，一元一次方程，利用三角形全等是解题的关键；
（1）由非负数的性质即可求解；
（2）①由题意得，，由三角形面积公式即可求解；
②先求出的面积，再根据的面积等于的面积，列出一元一次方程，求出t的值即可；
（3）分两种情况，，，利用三角形全等的性质，考虑点Q的位置即可求解．
【详解】（1）解：∵，且，
∴，
∴，
∴；
（2）解：①如图
∵，，
∴，
由题意得：，
当点P在x轴的负半轴上时，，
∴；
②∵，
∴，
∴，
当时，，
解得，
答：当为1时，的面积等于的面积．
（3）解：存在，理由如下：
①当时，则，
如图，当点Q在y轴正半轴上时，；
②当时，则，
如图，当点Q在y轴正半轴上时，；
综上，点Q的坐标为或．
【变式训练9-3】(25-26八上·辽宁大连甘井子区第八十中学·月考)等腰中，，点A是x轴上一个动点，点B在y轴上且点，直角边交x轴于点D；
(1)如图1，若，求C点的坐标；
(2)如图2，若，作，且，连接交y轴于点P，直接写出点P的坐标（用含m的式子表示）；
(3)移动点A使交y轴于点F，若D恰好为中点时，连接，求证：．
【答案】(1)C点的坐标为；
(2)点P的坐标为；
(3)见解析
【分析】（1）作轴于点，证明，利用全等三角形的性质即可求解；
（2）作轴于点，由（1）知，，再证明，利用全等三角形的性质即可求解；
（3）过点C作交y轴于点，证明，求得，推出，再证明，据此即可证明．
【详解】（1）解：作轴于点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴C点的坐标为；
（2）解：作轴于点，
由（1）知，，
∵轴，，
∴，，
∴，
∴，
∴点P的坐标为；
（3）证明：过点C作交y轴于点，如图所示：
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵D恰好为中点，
∴，
∵等腰，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了坐标与图，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，直角三角形的性质，解答时证明三角形的全等是关键．
【变式训练9-4】(24-25七下·湖北荆州沙区·期中)如图，已知点，，将线段先向右平移1个单位长度，再向上平移若干单位长度后，得到线段，且点在轴上，点的坐标为，连接、．
(1)请求出点A和点B坐标；
(2)点M从O点出发，以每秒1个单位长度的速度沿y轴向上运动．设运动时间为t秒，当四边形的面积等于8时，求t的值；
(3)点M从O点出发，以每秒1个单位长度的速度沿y轴向上运动，同时，点N从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿x轴向左运动，射线交y轴于点E．设运动时间为秒，问：的值是否会发生变化？若不变，请求出它的值；若变化，请说明理由．（特别地，三角形三个顶点重合时面积为0）
【答案】(1)，
(2)
(3)不变，它的值为3
【分析】本题考查了点坐标的平移变换、坐标与图形，较难的是题（3），正确分两种情况讨论是解题关键．
（1）根据平移的性质可得，，，求出的值，由此即可得；
（2）先求出直角梯形的面积为，则可得点在点的上方，再根据求出，然后根据求解即可得；
（3）分两种情况：①当点在上时，则，连接，根据即可得；②当点在延长线上时，则，连接，根据即可得．
【详解】（1）解：∵点，，将线段先向右平移1个单位长度，再向上平移若干单位长度后，得到线段，且点在轴上，点的坐标为，
∴，，
∴，，
∴，
∴，．
（2）解：由平移的性质得：，
∵，
∴，
∵，，，
∴，
∴直角梯形的面积为，
∵四边形的面积等于，
∴如图，点在点的上方，
∴，
∴，
∴，
由题意得：，
又∵，
∴．
（3）解：①如图1，当点在上时，则，
连接，
∴
；
②如图2，当点在延长线上时，则，
连接，
∴
；
综上，的值不变，它的值为3．
【变式训练9-5】(24-25七下·广西南宁第三中学·期末)如图，平面直角坐标系中，点在第一象限，轴于，轴于，，且满足．
(1)如图，求点的坐标；
(2)如图，点从点出发以每秒个单位的速度沿轴正方向运动，点从点出发，以每秒个单位的速度沿轴负方向运动，设运动时间为，当时，求的取值范围；
(3)如图，将线段平移，使点的对应点恰好落在轴负半轴上，点的对应点为（在第三象限），连接交轴于点，当时，求点的坐标．
【答案】(1)
(2)或
(3)
【分析】（）根据非负数的性质解答即可；
（）由题意得，，再分点在上和点在的延长线上两种情况解答即可；
（）设点，由平移的性质得，过点作轴于，可得，，进而得到，即得到，再根据得，解方程即可求解；
本题考查了非负数的性质，平移的性质，坐标与图形，运用分类讨论思想解答是解题的关键．
【详解】（1）解：∵，
∴，，
∴，，
∴；
（2）解：∵，轴于，轴于，
∴，，
由题意得，，，
当点在上，即时，则，
∴
，
∵，
∴，
解得，
∴；
当点在的延长线上，即时，则，
∴，
，
∵，
∴，
解得；
综上，当时，的取值范围为或；
（3）解：设点，则，
∵，，
∴由平移的性质得，，
过点作轴于，如图，
则，，
∴，
，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得或，
∵点在第三象限，
∴，
∴，
∴，
∴．
【变式训练9-6】(24-25七下·甘肃临夏回族·期末)如图，在平面直角坐标系中，已知，，且满足，将线段沿轴正方向平移至，连接．
(1)点的坐标为___________，点的坐标为___________；
(2)点为的中点，点是线段上一动点(点不与点重合)，连接．
①如图1，若，，求的度数；
②如图2，已知，，射线与射线相交于点，点在下方，设，．在点运动的过程中，的值是否发生改变？若不变，请求出的值；若改变，请说明理由．
【答案】(1)，
(2)①，②不变，3
【分析】本题考查非负性，坐标与图形变换—平移，平行线的判定和性质，三角形的内角和定理，熟练掌握平移的性质，求出点的坐标，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键．
（1）非负性求出的值，进而得到A点坐标，再根据平移的性质，求出点B的坐标即可；
（2）①过点E作，平移得到，进而得到，根据平行线的性质，推出，即可；
②设交于点G，由①可知：，根据给定的角度之间的关系，结合三角形的内角和定理，求出，进一步得出结果即可．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∴，
∴，
∵平移后的点的坐标为，
∴，即：；
故答案为：，；
（2）①过点E作，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∴；
②不变，设交于点G，则：，
∵，，
∴，，
由①知：，
∴，
∴，
∴，
∴，为定值．
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