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专题4.1平面直角坐标系十大题型
（一课一讲）
①平面直角坐标系
在平面内画两条相互垂直，并且有公共原点O的数轴，其中一条叫作 ，通常画成水平，另一条叫作 ，画成与x轴垂直。这么，我们就在平面内建立了平面直角坐标系，简称 。坐标系所在的平面就叫做 ，两坐标轴的公共原点O叫作平面直角坐标系的 （如图所示）
其中x叫作点M的 ，y叫作点M的 ，有序实数对（x，y）叫作点M的 。
题型一：用有序数对表示位置
【例题1】妙妙在教室的座位是第3列第6行，记作，东东的座位是第7列第4行，记作（ ）．
A． B． C． D．
【变式训练1-1】(25-26八上·广东佛山三水区·期中)根据下列表述，能够确定位置的是（ ）
A．某市位于北纬，东经 B．一只风筝飞到距A处15米处
C．甲地在乙地的正北方向上 D．影院座位位于一楼三排
【变式训练1-2】如图，网格图中的每一格的边长都相等，列和行都用字母标记，按照先列后行的顺序，方格的位置可用表示，则可表示图中的（　　）
A．方格 B．方格 C．方格 D．方格
【变式训练1-3】(24-25七下·湖北咸宁崇阳县·期末)2025年4月，解放军正在台湾海峡南部举行“海峡雷霆－2025A”军事演习．如图，解放军一艘船在雾中航行，某时刻雷达屏幕上出现了A，B，C三个目标．记图中目标A，B的位置分别为，．则目标C的位置应表示为（ ， ）．
【变式训练1-4】(23-24七下·甘肃武威古浪县第四中学·期末)有一个英文单词的字母顺序对应如图中的有序数对分别为，请你把这个英文单词写出来或者翻译成中文为 ．
【变式训练1-5】(2025·湖北省武汉市·模拟预测)某学校春季运动会七年级14个班的田赛成绩、径赛成绩和总成绩的名次情况如图所示，如P点表示该班级的田赛成绩的名次为第8，总成绩的名次为第1．若Q点表示七年级（1）班的径赛成绩和总成绩在全年级的名次情况，从图上可以看出七年级（1）班 （填“田赛”或“径赛”）成绩的名次更靠前．
x轴和y轴把坐标平面分成四个象限，如图所示。象限以数轴为界，x轴与y轴上的点不属于任何象限，四个象限中点的坐标的符号特征如下表所示。
题型二：判断点所在的象限
【例题2】在平面直角坐标系中，点在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【变式训练2-1】(25-26八上·陕西西安灞桥区滨河学校·月考)在平面直角坐标系中，点一定在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【变式训练2-2】(25-26八上·陕西咸阳实验学校·期中)在平面直角坐标系中，点在轴下方，且，则点在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【变式训练2-3】(25-26八上·四川成都实验中学·月考)已知点的坐标满足条件，则点在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【变式训练2-4】已知，则在如图所示的平面直角坐标系中，小手盖住的点的坐标可能是（ ）

A． B． C． D．
【变式训练2-5】(25-26八上·四川渠县贵福中学·月考)已知，且，则点在第 象限．
题型三：已知点所在的象限求参数
【例题3】若点在第二象限，则点在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【变式训练3-1】(24-25八上·浙江金华部分学校·期末)在平面直角坐标系中，若点在第四象限，则整数的值为（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
【变式训练3-2】(24-25七下·河北雄安新区·月考)如果点在第二象限，那么点在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【变式训练3-3】(23-24八下·四川乐山金口河区延风中学·期末)在直角坐标系中，点在第四象限，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练3-4】(24-25七下·湖南湘西州永顺县·期末)在平面直角坐标系中，点在第三象限，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
题型四：坐标轴上点的特点
【例题4】在平面直角坐标系中，点在轴上，则点坐标为（ ）
A． B． C． D．
【变式训练4-1】若点在x轴上，则点在( )
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【变式训练4-2】(24-25七下·浙江台州黄岩区、路桥区·期末)已知点在轴上，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【变式训练4-3】(24-25七下·四川泸州合江县第五片区·期末)已知点在轴的负半轴上，则点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【变式训练4-4】(24-25八下·河北唐山玉田县第三中学·月考)在平面直角坐标系中，有，，三点，为直线上的一点．当点恰好落在轴上，且点与点的距离最小时，点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练4-5】(25-26八上·山东济南育秀中学·期中)在平面直角坐标系中，已知点在轴上，则 ．
题型五：点到坐标轴的距离
【例题5】在平面直角坐标系中，第四象限内有一点，点到轴的距离为5，到轴的距离为4，则点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练5-1】(24-25八上·内蒙古包头东河区景开中学·月考)已知点在第二象限，且点P到x轴的距离与到y轴的距离之和为6，则a的值为（ ）
A． B．1 C． D．
【变式训练5-2】(25-26八上·宁夏银川第三中学·期中)已知平面直角坐标系中，点在第四象限，且点到轴和轴的距离分别为6和5，那么点的坐标为 ．
【变式训练5-3】(25-26八上·内蒙古包头第三十五中学·期中)已知点在第四象限，到x轴的距离是3，到y轴的距离是2，则的值是 ．
【变式训练5-3】(25-26八上·内蒙古包头昆都仑区第三中学·期中)已知点在第二象限，且到x轴、y轴的距离相等， ．
【变式训练5-4】(24-25七下·江苏南京南京大学附属中学·期中)若，则点到x轴的距离是 ，到y轴的距离是 ．
【变式训练5-5】(24-25七下·贵州黔西南州·期末)在平面直角坐标系中，点A的坐标是，若点A到x轴的距离与到y轴的距离相等，且点A在y轴的右侧，则a的值为 ．
【变式训练5-6】已知的面积是 ．
题型六：在平面直角坐标角平分线上点的特点
【例题6】在平面直角坐标系中，点在第二、四象限的角平分线上，则的值是（ ）
A．2 B． C． D．
【变式训练6-1】(25-26八上·四川成都锦江区成都嘉祥外国语学校·期中)已知点在第一、三象限的角平分线上，则a的值为（ ）
A． B． C． D．
【变式训练6-2】已知点，分别根据下列条件求出点M的坐标．
(1)点M在x轴上；
(2)点M在一、三象限角平分线上．
【变式训练6-3】(24-25八下·吉林长春东北师范大学附属实验学校经开初中部·月考)在平面直角坐标系中，已知点
(1)若点在第四象限，则的取值范围是________；
(2)若点在第二、四象限的角平分线上，求的值．
题型七：与坐标轴平行的点的特点
【例题7】若点M的坐标为，，轴，且点N在第四象限，那么点N的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【变式训练7-1】(24-25八上·安徽安庆桐城第二中学·期末)已知点，点，若直线轴，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【变式训练7-2】(25-26八上·安徽安庆太湖县实验中学教育集团·月考)若直线轴，且点，点，则点的坐标为 ．
【变式训练7-3】在平面直角坐标系中，已知点，若轴，则两点间的距离为 ．
【变式训练7-4】(24-25七下·安徽阜阳·期末)在平面直角坐标系中，已知点P的坐标为．
（1）若点Q的坐标为，且轴，则点P的坐标为 ；
（2）若点P在第二象限，且它到x轴、y轴的距离相等，则的值为 ．
【变式训练7-5】(24-25七下·陕西·期末)已知点，，点A在x轴上，轴，点B到x轴的距离是4，且，则点B的坐标是 ．
题型八：平面直角坐标综合解答
【例题8】在平面直角坐标系中：
(1)若点在x轴上，求点P的坐标；
(2)已知点在第四象限，求a的取值范围．
【变式训练8-1】(25-26八上·山西运城垣曲县部分学校·期中)在平面直角坐标系中，点的坐标是．
(1)若点在轴上，求点的坐标．
(2)若点在第三象限，且点到轴的距离与到轴的距离相等，求的值．
【变式训练8-2】(25-26八上·陕西陕西多校·期中)在平面直角坐标系中，点的坐标为．
(1)若点在轴上，求点的坐标；
(2)已知点的坐标为，若直线轴，且线段的长为5，求的值及对应的点的坐标．
【变式训练8-3】(25-26八上·甘肃兰州兰州树人中学·期中)平面直角坐标系中，已知点
(1)在同一平面直角坐标系中，点，且轴，求点M的坐标．
(2)若点M在第二、第四象限的角平分线上，求点M的坐标．
【变式训练8-4】(25-26八上·浙江杭州拱墅区安吉路实验中学·月考)已知点，解答下列各题
(1)点在轴上，直接写出点的坐标为_____；
(2)点的坐标为，直线轴，直接写出点的坐标为_____；
(3)若点在第一象限，且它到轴的距离与轴的距离相等，求的值．
【变式训练8-5】已知点，解答下列各题．
(1)点在轴上，求出点的坐标；
(2)点的坐标为，直线轴，求出点的坐标；
(3)若点在第二象限，且它到轴、轴的距离相等，求的值．
【变式训练8-6】(24-25七下·河北邯郸冀南新区精英学校·期中)已知平面直角坐标系中有一点
(1)若点在轴上，求此时点的坐标；
(2)若点在过点且与轴平行的直线上，求此时的值；
(3)若点到轴的距离与到轴的距离相等，求点的坐标．
题型九：坐标系中描点
【例题9】如图，在平面直角坐标系中，已知．
(1)在平面直角坐标系中画出；
(2)若点是轴上一点，且点到、两点距离相等，求点的坐标．
【变式训练9-1】(24-25八上·甘肃武威凉州区金塔乡中学·月考)已知三个顶点坐标分别为，，．
(1)在平面直角坐标系中画出．
(2)画出关于直线y轴对称的．
(3)分别写出点，、的坐标．
【变式训练9-2】(25-26八上·广东清远清城区松岗中学·月考)在平面直角坐标系中的位置如图所示，三点都在格点上．
(1)请写出三点的坐标；
(2)描出点，；
(3)的面积为___________．
【变式训练9-3】(24-25七上·山东淄博博山区第六中学·期末)描出下面各点连成封闭图形．
，，
【变式训练9-4】已知：．
请在坐标系中描出各点，并找出点A和点D，点B和点F之间的位置关系．
【变式训练9-5】(24-25七下·山东济宁梁山县·期末)在如图所示的平面直角坐标系中描出下列各点，然后解答问题：
，，，，，．
(1)A点到原点的距离是______个单位长度；
(2)将点向左平移6个单位，它会与点______重合；
(3)连接，则直线与轴是什么位置关系？
(4)点F到、轴的距离分别是多少？
【变式训练9-6】现给出如下各点：．
(1)请你在给出的平面直角坐标系中描出上述各点，然后依次连接，得到一个封闭图形；
(2)观察（1）中得到的图形．
①是否存在经过上述点中的两点的直线与直线平行？请说明理由；
②计算该封闭图形的面积．
题型十：平面直角坐标系中新定义问题
【例题10】定义：横、纵坐标都是整数的点，称为格点；若一个三角形的顶点全是格点，则这个三角形称为格点三角形．格点三角形的面积可以用皮克定理来计算：．（其中是三角形内部格点数目，是三角形边上格点数目）．平面直角坐标系中，已知点，，，三角形的内部比边上多个格点，求三角形内部格点的个数为（ ）
A． B． C． D．
【变式训练10-1】定义：，，例如，，那么（ ）
A． B． C． D．
【变式训练10-2】(24-25七下·新疆喀什巴楚县·期中)定义：是平面直角坐标系中的一点且不在坐标轴上，过点分别向轴、轴作垂线段，若两条垂线段的长度的和为4，则点叫作“垂距点”，例如：图中的点是“垂距点”．若是第四象限的点，且点是“垂距点”，则的值为（ ）
A．2 B．4 C． D．10
【变式训练10-3】(24-25八下·辽宁沈阳铁西区·期中)定义：在平面直角坐标系中，对于点，若x，y均为整数，则称点P为“整点”．特别地，当（其中）的值为整数时，称“整点”P为“超整点”．已知点在第二象限，下列说法：①；②若点P为“整点”，则点P的个数为4个；③若点P为“超整点”，则点P的个数为1个；④若点P为“超整点”，则点P到两坐标轴的距离之和大于5．其中正确的是 ．（填序号即可）
【变式训练10-4】(24-25七下·江苏南通海安紫石中学·月考)在平面直角坐标系中，给出如下定义：点P到x轴、y轴的距离的较小值称为点P的“短距”；当点Q到x轴、y轴的距离相等时，则称点Q为“完美点”．若点C是“完美点”，则点的“短距”为 ．
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专题4.1平面直角坐标系十大题型
（一课一讲）
①平面直角坐标系
在平面内画两条相互垂直，并且有公共原点O的数轴，其中一条叫作 ，通常画成水平，另一条叫作 ，画成与x轴垂直。这么，我们就在平面内建立了平面直角坐标系，简称 。坐标系所在的平面就叫做 ，两坐标轴的公共原点O叫作平面直角坐标系的 （如图所示）
其中x叫作点M的 ，y叫作点M的 ，有序实数对（x，y）叫作点M的 。
题型一：用有序数对表示位置
【例题1】妙妙在教室的座位是第3列第6行，记作，东东的座位是第7列第4行，记作（ ）．
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了数对与位置的关系，熟练掌握数对中列与行的表示规则是解题的关键．根据妙妙座位的记法，明确数对中列数在前、行数在后的规则，据此确定东东座位的数对表示．
【详解】解：∵ 妙妙座位第3列第6行，记作，即数对中第一个数表示列，第二个数表示行，
东东座位是第7列第4行，
∴ 记作，
故选：．
【变式训练1-1】(25-26八上·广东佛山三水区·期中)根据下列表述，能够确定位置的是（ ）
A．某市位于北纬，东经 B．一只风筝飞到距A处15米处
C．甲地在乙地的正北方向上 D．影院座位位于一楼三排
【答案】A
【分析】题目主要考查坐标位置的确定，理解题意，明确一个位置需要两个条件是解题关键．
根据平面内确定位置需要两个有序数据（如坐标或距离和方向）的原则，判断各选项是否满足条件．
【详解】解：A、提供纬度和经度两个数据，∴ 能唯一确定位置；
B、只有距离无方向，∴ 不能确定位置；
C、只有方向无距离，∴ 不能确定位置；
D、只有排无具体座位号，∴ 不能确定位置，
故选：A．
【变式训练1-2】如图，网格图中的每一格的边长都相等，列和行都用字母标记，按照先列后行的顺序，方格的位置可用表示，则可表示图中的（　　）
A．方格 B．方格 C．方格 D．方格
【答案】B
【分析】本题考查了坐标与平面，解题的关键是找出坐标中两个数代表的意义，本题属于基础题，只要明白坐标系中点的意义，结合图形即可解决问题．
确定坐标表示的规则由点O的位置在第d列、第e行，可用表示，可知坐标中前面一个数表示列，后一个数表示行．
【详解】解：点O的位置在第d列、第e行，可用表示，
∵第c列、第d行处为点C，
∴可表示图中的点C，
故选：B．
【变式训练1-3】(24-25七下·湖北咸宁崇阳县·期末)2025年4月，解放军正在台湾海峡南部举行“海峡雷霆－2025A”军事演习．如图，解放军一艘船在雾中航行，某时刻雷达屏幕上出现了A，B，C三个目标．记图中目标A，B的位置分别为，．则目标C的位置应表示为（ ， ）．
【答案】 5
【分析】本题考查了坐标确定位置，根据题意得到圈数表示有序数对的第一个数，度数表示有序数对的第二个数是解题的关键．
根据题意可得圈数表示有序数对的第一个数，度数表示有序数对的第二个数，即可解答．
【详解】解：根据题意，目标C的位置应表示为．
故答案为：5；．
【变式训练1-4】(23-24七下·甘肃武威古浪县第四中学·期末)有一个英文单词的字母顺序对应如图中的有序数对分别为，请你把这个英文单词写出来或者翻译成中文为 ．
【答案】（学习）
【分析】本题主要考查了坐标确定位置，根据图形找出每个有序数对代表的字母是解题的关键．
根据图形找出有序数对代表的每个字母，合在一起即可解答．
【详解】解：由图形可知：表示s；表示t；表示u；表示d；表示y．即这个英文单词为，翻译成中文为学习．
故答案为：（学习）．
【变式训练1-5】(2025·湖北省武汉市·模拟预测)某学校春季运动会七年级14个班的田赛成绩、径赛成绩和总成绩的名次情况如图所示，如P点表示该班级的田赛成绩的名次为第8，总成绩的名次为第1．若Q点表示七年级（1）班的径赛成绩和总成绩在全年级的名次情况，从图上可以看出七年级（1）班 （填“田赛”或“径赛”）成绩的名次更靠前．
【答案】径赛
【分析】本题考查了对散点图的认识，属于基础题
P点表示该班级的田赛成绩的名次为第8，总成绩的名次为第1，可知纵坐标越往下，排名越好，横坐标越往左，排名越高；Q点下面有9个点，总成绩排名第10，左边有5个点，排名第6；所以七年级(1)班径赛成绩的名次更靠前，据此解答 ．
【详解】解：根据题意与分析可得：
Q点下面有9个点，总成绩排名第10，左边有5个点，径赛成绩排名第6；所以七年级（1）班径赛成绩的名次更靠前．
故答案为：径赛．
x轴和y轴把坐标平面分成四个象限，如图所示。象限以数轴为界，x轴与y轴上的点不属于任何象限，四个象限中点的坐标的符号特征如下表所示。
题型二：判断点所在的象限
【例题2】在平面直角坐标系中，点在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】B
【分析】本题重点考查了各象限坐标符号特征，解题的关键是牢记各象限内点的坐标的符号，四个象限的符号特点分别是：第一象限、第二象限、第三象限、第四象限．
此题中，横坐标为负，纵坐标为正，可判断点在第二象限，即可求解．
【详解】解：在平面直角坐标系中，点，
横坐标为为负，纵坐标为为正，
故点在第二象限，
故选：B．
【变式训练2-1】(25-26八上·陕西西安灞桥区滨河学校·月考)在平面直角坐标系中，点一定在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】B
【分析】本题考查点的坐标，各个象限内点的坐标的特点；第一象限的点的横坐标和纵坐标都是正数；第二象限的点的横坐标为负数，纵坐标为正数；第三象限的点的横坐标和纵坐标都是负数；第四象限的点的横坐标为正数，纵坐标为负数；分析点P的横坐标和纵坐标的符号即可确定P点所在象限．
【详解】解：的横坐标，是负数，纵坐标，是正数，
∴P点一定在第二象限，
故选：B．
【变式训练2-2】(25-26八上·陕西咸阳实验学校·期中)在平面直角坐标系中，点在轴下方，且，则点在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】C
【分析】本题考查由点的坐标特征求所在象限，解题的关键是熟练掌握各象限的点的坐标特征．
由点在轴下方，可知点在第三象限或第四象限，由，可知横纵坐标同号，从而可确定点所在的象限．
【详解】解：∵点在轴下方，
∴点在第三象限或第四象限，
∵，
∴，同号，
∴点在第三象限，
故选：C．
【变式训练2-3】(25-26八上·四川成都实验中学·月考)已知点的坐标满足条件，则点在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
【分析】本题主要考查了非负数的性质，判断点所在的象限，根据非负数的性质得到，则，再根据每个象限内点的坐标特点即可得到答案．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴在第四象限，
故选：D．
【变式训练2-4】已知，则在如图所示的平面直角坐标系中，小手盖住的点的坐标可能是（ ）

A． B． C． D．
【答案】D
【分析】因为，所以、同号，又，所以，，观察图形判断出小手盖住的点在第四象限，然后解答即可．
【详解】解：∵，
∴、同号，
又∵，
∴，，
A、在第一象限，因为小手盖住的点在第四象限，不符合题意；
B、在第二象限，因为小手盖住的点在第四象限，不符合题意；
C、在第三象限，因为小手盖住的点在第四象限，不符合题意；
D、在第四象限，因为小手盖住的点在第四象限，符合题意；
故选：D．
【变式训练2-5】(25-26八上·四川渠县贵福中学·月考)已知，且，则点在第 象限．
【答案】四
【分析】本题考查了有理数的乘法、加法，绝对值，点的坐标等知识点，解题的关键是掌握坐标系中每个象限内点的符号特点：第一象限，第二象限，第三象限，第四象限．
先根据有理数的乘法、加法，绝对值的知识判断出，即可判断点所在象限．
【详解】解：∵，
∴异号，
∵，，
∴，
∴点在第四象限，
故答案为：四．
题型三：已知点所在的象限求参数
【例题3】若点在第二象限，则点在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】C
【分析】本题主要考查象限点的概念，熟悉各象限点的特征是解题的关键．
由题知，解得，接着得到，再根据象限点的特征判断即可．
【详解】解：因为点在第二象限，
所以，解得，
所以，又，
所以点在第三象限．
故选：C．
【变式训练3-1】(24-25八上·浙江金华部分学校·期末)在平面直角坐标系中，若点在第四象限，则整数的值为（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
【答案】D
【分析】本题考查了点的坐标及解一元一次不等式组，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键．
根据第四象限的点的横坐标大于0，纵坐标小于0，列出不等式组，然后求解即可．
【详解】解：∵点在第四象限，
∴，
解得
，
∴整数的值为2．
故选D．
【变式训练3-2】(24-25七下·河北雄安新区·月考)如果点在第二象限，那么点在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】A
【分析】本题考查了点的坐标特征，根据第二象限点的坐标特征，确定和的符号，进而判断点的坐标符号，从而确定其所在象限，熟练掌握点的坐标特征是解此题的关键．
【详解】解：∵点在第二象限，
∴，，
∵点的横坐标，纵坐标，
∴点在第一象限，
故选：A．
【变式训练3-3】(23-24八下·四川乐山金口河区延风中学·期末)在直角坐标系中，点在第四象限，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，熟知平面直角坐标系中第四象限的点的坐标的符号特点是解题的关键．根据在第四象限点的坐标特征得到关于m的不等式，解得即可．
【详解】解：点在第四象限，
，，
则．
故选：D．
【变式训练3-4】(24-25七下·湖南湘西州永顺县·期末)在平面直角坐标系中，点在第三象限，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了点的坐标．记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键．四个象限的符号特点分别是：第一象限；第二象限；第三象限；第四象限； 再结合点在第三象限，运用上述的结论可得，再求解即可．
【详解】解：∵平面直角坐标系中，点在第三象限，
∴．
∴．
故选：D．
题型四：坐标轴上点的特点
【例题4】在平面直角坐标系中，点在轴上，则点坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了坐标轴上点的特征，根据轴上点的纵坐标为列方程求解即可，掌握坐标轴上点的特征是解题的关键．
【详解】解：∵点在轴上，
∴，
解得，
∴点坐标为，
故选：．
【变式训练4-1】若点在x轴上，则点在( )
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】C
【分析】该题考查了平面直角坐标系中点的特征，根据轴上点的纵坐标为0，求出的值，再代入点的坐标，根据坐标符号判断所在象限．
【详解】解：∵点在轴上，
∴，
∴点的坐标为，即，
∵点的横坐标和纵坐标均为负数，
∴点在第三象限．
故选：C．
【变式训练4-2】(24-25七下·浙江台州黄岩区、路桥区·期末)已知点在轴上，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了点坐标，熟练掌握轴上的点的横坐标等于0是解题关键．根据轴上的点的横坐标等于0可得的值，由此即可得．
【详解】解：∵点在轴上，
∴，
∴，
∴，
∴点的坐标为，
故选：C．
【变式训练4-3】(24-25七下·四川泸州合江县第五片区·期末)已知点在轴的负半轴上，则点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】A
【分析】本题考查点在坐标系中的位置．根据P点位置判断a的范围，从而判断Q点纵坐标的范围，进而得到答案．
【详解】解：∵点在轴的负半轴上，
∴，
∴，
∴Q的横坐标为正，纵坐标为正，
∴Q位于第一象限，
故选：A．
【变式训练4-4】(24-25八下·河北唐山玉田县第三中学·月考)在平面直角坐标系中，有，，三点，为直线上的一点．当点恰好落在轴上，且点与点的距离最小时，点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了坐标与图形，在y轴上的点的坐标特点，在y轴上的点的横坐标为0，据此求出m的值，进而求出A、B、C的坐标，则可推出轴，再由垂线段最短，可得当时，有最小值，则此时轴，据此可得答案．
【详解】解：∵点在轴上，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴轴，
∵垂线段最短，
∴当时，有最小值，
∴此时轴，
∴，
故选：B．
【变式训练4-5】(25-26八上·山东济南育秀中学·期中)在平面直角坐标系中，已知点在轴上，则 ．
【答案】
【分析】本题考查了平面直角坐标系中点的坐标特征．
点在y轴上时，其横坐标为0，据此列方程求解．
【详解】解：∵点 在y轴上，
∴横坐标，
解得：．
故答案为：．
题型五：点到坐标轴的距离
【例题5】在平面直角坐标系中，第四象限内有一点，点到轴的距离为5，到轴的距离为4，则点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了点的坐标，解题的关键是了解平面直角坐标系内各个象限点的坐标特征．根据点到x轴的距离为点的纵坐标的绝对值，到y轴的距离为点的横坐标的绝对值，得到点M的横纵坐标可能的值，进而根据所在象限可得点M的具体坐标．
【详解】解：设点M的坐标是，
∵点M到x轴的距离为5，到y轴的距离为4，
∴，，
又∵点M在第四象限内，
∴，，
∴点M的坐标为，
故选：B．
【变式训练5-1】(24-25八上·内蒙古包头东河区景开中学·月考)已知点在第二象限，且点P到x轴的距离与到y轴的距离之和为6，则a的值为（ ）
A． B．1 C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了点到坐标轴的距离，象限中点的符号问题，一元一次方程的应用．
根据第二象限点的横坐标是负数，纵坐标是正数，利用点P到x轴的距离与到y轴的距离之和为6，列出方程求解即可．
【详解】解：∵点在第二象限，
∴，．
∵点P到x轴的距离与到y轴的距离之和为6，
∴，
∴，
解得：．
故选A．
【变式训练5-2】(25-26八上·宁夏银川第三中学·期中)已知平面直角坐标系中，点在第四象限，且点到轴和轴的距离分别为6和5，那么点的坐标为 ．
【答案】
【分析】本题考查了点到坐标轴的距离，各象限内点的坐标特征；点P在第四象限，横坐标为正，纵坐标为负；点到x轴的距离等于纵坐标的绝对值，点到y轴的距离等于横坐标的绝对值；由此即可求解．
【详解】解：因为点P在第四象限，所以横坐标大于0，纵坐标小于0；
点P到x轴的距离为6，因此纵坐标为；
点P到y轴的距离为5，因此横坐标为5．
所以点P的坐标为．
故答案为：．
【变式训练5-3】(25-26八上·内蒙古包头第三十五中学·期中)已知点在第四象限，到x轴的距离是3，到y轴的距离是2，则的值是 ．
【答案】
【分析】本题考查平面直角坐标系中点的坐标，掌握第四象限点的特征：横坐标为正，纵坐标为负，是解题的关键．根据象限确定坐标的符号，根据距离确定坐标的绝对值，得到点的坐标．
【详解】解：点在第四象限，
横坐标是正的，纵坐标是负的，
到轴的距离是3，到轴的距离是2，
点的坐标为，
，
．
故答案为：．
【变式训练5-3】(25-26八上·内蒙古包头昆都仑区第三中学·期中)已知点在第二象限，且到x轴、y轴的距离相等， ．
【答案】2025
【分析】本题考查的是象限内点的坐标特点，一元一次不等式组的解法，根据点P在第二象限，可得横坐标小于零，纵坐标大于零；再根据到两轴距离相等，列方程求解a，再进一步代入计算即可．
【详解】解：∵点在第二象限，
∴，
解得：，
又∵点P到x轴、y轴的距离相等，
∴
∴或，
解得：（不符合题意，舍去）或，
∴．
故答案为：2025．
【变式训练5-4】(24-25七下·江苏南京南京大学附属中学·期中)若，则点到x轴的距离是 ，到y轴的距离是 ．
【答案】
【分析】本题考查了求点到坐标轴的距离，涉及了绝对值和算术平方根的非负性，由题意得，即可求解；
【详解】解：由题意得，
∴，
∴；
故点到x轴的距离是，到y轴的距离是；
故答案为：①②
【变式训练5-5】(24-25七下·贵州黔西南州·期末)在平面直角坐标系中，点A的坐标是，若点A到x轴的距离与到y轴的距离相等，且点A在y轴的右侧，则a的值为 ．
【答案】3
【分析】本题考查了坐标的性质．点A的坐标是，其到x轴距离为，到y轴的距离为，则 ；又由点A在y轴的右侧可知A的横坐标为正数，即，据此即可求出a的值．
【详解】解：由题可知，
即或，
解得，
故答案为：3．
【变式训练5-6】已知的面积是 ．
【答案】12
【分析】本题考查三角形面积的求解及坐标系里线段长度的计算，求出底边长度及边上的高，边上的高为C到x轴的距离，再利用三角形面积公式即可求解．
【详解】，
∵，
∴C到x轴的距离为，
∴，
故答案为：12．
题型六：在平面直角坐标角平分线上点的特点
【例题6】在平面直角坐标系中，点在第二、四象限的角平分线上，则的值是（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了点的坐标．解题的关键是掌握以下知识点：第二、四象限的角平分线上的点的横纵坐标互为相反数．
根据第二、第四象限坐标轴夹角平分线上的点，横纵坐标互为相反数，由此就可以得到关于的方程，解出的值．
【详解】解：点在第二、四象限的角平分线上，
，
解得，
故选：A．
【变式训练6-1】(25-26八上·四川成都锦江区成都嘉祥外国语学校·期中)已知点在第一、三象限的角平分线上，则a的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】此题主要考查了象限角平分线上点的特点．根据第一、三象限的角平分线上点的特点即可得到关于a的方程进行求解．
【详解】解：∵点在第一、三象限的角平分线上，
∴，
∴．
故选：B．
【变式训练6-2】已知点，分别根据下列条件求出点M的坐标．
(1)点M在x轴上；
(2)点M在一、三象限角平分线上．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查的是平面直角坐标系内x轴上的点以及一、三象限角平分线上的点的坐标特点，熟练掌握其特点并代入计算是解题的关键．
（1）根据x轴上的点的坐标特点为纵坐标都为0，求出a的值，再代入计算即可；
（2）根据一、三象限的角平分线上的点的横纵坐标相等，进行列式计算即可．
【详解】（1）解：∵点在x轴上，
∴，
解得．
∴．
∴点M的坐标为；
（2）解：∵点M在一、三象限角平分线上时，
∴．
解得．
∴，
∴点M的坐标为．
【变式训练6-3】(24-25八下·吉林长春东北师范大学附属实验学校经开初中部·月考)在平面直角坐标系中，已知点
(1)若点在第四象限，则的取值范围是________；
(2)若点在第二、四象限的角平分线上，求的值．
【答案】(1)
(2)0
【分析】（1）根据第四象限内，横坐标为正，纵坐标为负，建立不等式组解答即可；
（2）点在第二、四象限的角平分线上，得解答即可．
本题考查了点与象限，第二、四象限的角平分线上的点的坐标互为相反数，熟练掌握性质是解题的关键．
【详解】（1）解：点在第四象限，
解得．
故答案为：．
（2）解：点在第二、四象限的角平分线上，
得，
解得．
故答案为：0．
题型七：与坐标轴平行的点的特点
【例题7】若点M的坐标为，，轴，且点N在第四象限，那么点N的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查坐标与图形的关系，正确理解坐标系上点的性质是解题的关键．
由于平行于y轴，点M和点N的x坐标相同；根据和点M的坐标，可求出点N的y坐标；再结合点N在第四象限，据此求解即可．
【详解】解：轴
点N的横坐标与点M的横坐标相同，即
，即
或
或
又点N在第四象限
且
点的坐标为．
故选：B．
【变式训练7-1】(24-25八上·安徽安庆桐城第二中学·期末)已知点，点，若直线轴，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查平行于坐标轴的直线上点的坐标特点：平行于轴的直线上所有点的纵坐标相等，平行于轴的直线上所有点的横坐标相等．掌握平行于轴的点的坐标特征是解题的关键．根据平行于轴的直线的纵坐标相等，列方程求解即可．
【详解】解：因为点，点，直线轴，
所以，
解得．
故选：A
【变式训练7-2】(25-26八上·安徽安庆太湖县实验中学教育集团·月考)若直线轴，且点，点，则点的坐标为 ．
【答案】
【分析】本题考查了坐标与图形的性质，利用平行于x轴的点的纵坐标相同列出方程是解题的关键．
根据平行于x轴的点的纵坐标相同列出方程求出m的值即可．
【详解】解：直线轴，且
∴，
解得，
则，
∴．
故答案为：．
【变式训练7-3】在平面直角坐标系中，已知点，若轴，则两点间的距离为 ．
【答案】
【分析】本题考查两点间的距离公式，与坐标轴平行的直线上的点的坐标特征．理解和掌握两点间的距离公式是解题的关键．利用与轴平行的直线上点的坐标特征得到，求出得到、点的坐标，然后计算它们的纵坐标之差的绝对值得到、两点间的距离；
【详解】解：∵轴，
∴ 点和点的横坐标相等，
∴，
解得：，
∴，，
∴、两点间的距离为．
故答案为：．
【变式训练7-4】(24-25七下·安徽阜阳·期末)在平面直角坐标系中，已知点P的坐标为．
（1）若点Q的坐标为，且轴，则点P的坐标为 ；
（2）若点P在第二象限，且它到x轴、y轴的距离相等，则的值为 ．
【答案】 2024
【分析】本题主要考查了坐标与图形性质，熟知平行于y轴的直线上及到坐标轴距离相等的点的坐标特征是解题的关键．
（1）根据平行于y轴的直线上点的坐标特征进行计算即可．
（2）根据到坐标轴距离相等的点的坐标特征求出a的值，再进行计算即可．
【详解】解：（1）由题知，
因为点P的坐标为，点Q的坐标为，且轴，
所以，
解得，
则，
所以点P的坐标为
故答案为：
（2）因为点P在第二象限，且它到x轴、y轴的距离相等，
所以，
解得，
所以
故答案为：
【变式训练7-5】(24-25七下·陕西·期末)已知点，，点A在x轴上，轴，点B到x轴的距离是4，且，则点B的坐标是 ．
【答案】
【分析】此题考查了坐标与图形的性质，正确掌握平面内点的坐标特点是解题的关键．
直接利用x轴上点的坐标特点得出a的值，根据轴求出b的值，根据点B到x轴的距离是4求出m的值，进而可求出点B的坐标．
【详解】解：∵点A在x轴上，
∴，
∴，
∴，
∵轴，
∴，
∵点B到x轴的距离是4，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴点B的坐标是，
故答案为：.
题型八：平面直角坐标综合解答
【例题8】在平面直角坐标系中：
(1)若点在x轴上，求点P的坐标；
(2)已知点在第四象限，求a的取值范围．
【答案】(1)；
(2)
【分析】本题考查了点在坐标轴上和点在象限内的坐标特征，解一元一方程，解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
（1）根据轴上点的纵坐标为0列方程求解即可；
（2）根据第四象限内的点的横坐标为正，纵坐标为负进行列不等式组求解即可．
【详解】解：（1）点在x轴上，
，
解得，
点P的坐标为；
（2）点在第四象限，
，
解得
【变式训练8-1】(25-26八上·山西运城垣曲县部分学校·期中)在平面直角坐标系中，点的坐标是．
(1)若点在轴上，求点的坐标．
(2)若点在第三象限，且点到轴的距离与到轴的距离相等，求的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了坐标的特点，点到坐标轴的距离相等，解绝对值方程，熟练掌握解方程是解题的关键．
（1）根据点在轴上，横坐标为0，建立方程解答．
（2）根据题意，得，解答即可．
【详解】（1）解：点的坐标是且在轴上，
故，
解得，
故，
故点的坐标为．
（2）解：因为点在第三象限，且点到轴的距离与到轴的距离相等，
故，
故或，
解得或，
当时，，符合题意；
当时，，不在第三象限，不符合题意；
故．
【变式训练8-2】(25-26八上·陕西陕西多校·期中)在平面直角坐标系中，点的坐标为．
(1)若点在轴上，求点的坐标；
(2)已知点的坐标为，若直线轴，且线段的长为5，求的值及对应的点的坐标．
【答案】(1)
(2)当的值为2时，点的坐标为；当的值为时，点的坐标为
【分析】本题考查了点的坐标，坐标轴上的点的特征，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）根据点在y轴上横坐标为0求解；
（2）结合直线轴，得出，即，根据线段的长为5，进行分类讨论，再进行列式计算，即可作答．
【详解】（1）解：由题意可得，，
解得，
，
；
（2）解：直线轴，
，C两点的横坐标相等，
即，
解得，
，
点A的坐标为．
线段的长为5，
当点C在点A上方时，，
解得，此时点C的坐标为；
当点C在点A下方时，，
解得，此时点C的坐标为．
综上所述，当b的值为2时，点C的坐标为；当b的值为时，点C的坐标为．
【变式训练8-3】(25-26八上·甘肃兰州兰州树人中学·期中)平面直角坐标系中，已知点
(1)在同一平面直角坐标系中，点，且轴，求点M的坐标．
(2)若点M在第二、第四象限的角平分线上，求点M的坐标．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查的知识点是象限及点坐标的特点，掌握以上知识点是解题的关键．
（1）根据轴得到点的横坐标相等，即可求出，继而求解；
（2）若点M在第二、四象限的角平分线上，则点M的横纵坐标互为相反数，即，解方程即可．
【详解】（1）解：∵轴，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）解：∵点M在第二、第四象限的角平分线上，
∴点的横坐标和纵坐标互为相反数，
，解得，
，
∴点M的坐标为．
【变式训练8-4】(25-26八上·浙江杭州拱墅区安吉路实验中学·月考)已知点，解答下列各题
(1)点在轴上，直接写出点的坐标为_____；
(2)点的坐标为，直线轴，直接写出点的坐标为_____；
(3)若点在第一象限，且它到轴的距离与轴的距离相等，求的值．
【答案】(1)点P的坐标为；
(2)
(3)2026
【分析】本题考查了求点的坐标以及已知点所在的象限求参数、坐标与图形．
（1）根据在轴上的点的纵坐标为0，进行列式计算，即可作答；
（2）根据直线轴，得出点和点的横坐标是相等的，进行列式计算，即可作答；
（3）根据点在第一象限，且它到轴、轴的距离相等，得出点的纵坐标和横坐标相等，即，解出，再把代入求解即可作答．
【详解】（1）解：∵点在x轴上，
，
，
，
∴点P的坐标为；
（2）解：点Q的坐标为，点，直线轴，
，
，
；
；
（3）解：∵点在第一象限，且它到x轴的距离与y轴的距离相等，
∴点的纵坐标和横坐标相等，
∴，
，
．
【变式训练8-5】已知点，解答下列各题．
(1)点在轴上，求出点的坐标；
(2)点的坐标为，直线轴，求出点的坐标；
(3)若点在第二象限，且它到轴、轴的距离相等，求的值．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题考查了平面直角坐标系坐标系中点的坐标的特点等知识．
（1）根据点在轴上得到，解得，即可求出点P的坐标；
（2）根据点的坐标为，直线轴，得到，解得，即可求出点P的坐标；
（3）根据点在第二象限，且它到轴、轴的距离相等，得到，解得，即可求出的值．
【详解】（1）解：点在轴上，
，
解得，
，
点的坐标；
（2）解：点的坐标为，直线轴，
，
解得，
，
点的坐标为；
（3）解：点到轴、轴的距离相等，
∴，
∵点在第二象限，
，
解得，
．
【变式训练8-6】(24-25七下·河北邯郸冀南新区精英学校·期中)已知平面直角坐标系中有一点
(1)若点在轴上，求此时点的坐标；
(2)若点在过点且与轴平行的直线上，求此时的值；
(3)若点到轴的距离与到轴的距离相等，求点的坐标．
【答案】(1)；
(2)；
(3)或
【分析】本题考查点的坐标，熟练掌握坐标轴上的点的特征，平行于坐标轴的直线上的点的特征，是解题的关键：
根据轴上的点纵坐标为，得到，解方程求出的值，根据的值求出点的坐标即可；
根据平行于轴上的点的横坐标相同，得到，解方程求出的值，根据的值求出点的坐标即可；
根据点到坐标轴的距离等于横纵坐标的绝对值，分两种情况进行求解即可．
【详解】（1）解：当点在轴上时，点的纵坐标为，
，
解得：，
，
点的坐标是；
（2）解：点在过点且与轴平行的直线上，
，
解得：；
（3）解：点到轴的距离与到轴的距离相等，
或，
解得：或，
当时，，
当时，，，
点的坐标为或．
题型九：坐标系中描点
【例题9】如图，在平面直角坐标系中，已知．
(1)在平面直角坐标系中画出；
(2)若点是轴上一点，且点到、两点距离相等，求点的坐标．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了在平面直角坐标系中描点，两点间距离公式的应用，解题的关键是数形结合．
（1）先描点，再依次连接即可；
（2）作出边的垂直平分线与轴交点即为，求出点坐标即可．
【详解】（1）解：如图，即为所求．
（2）解：如图：
由题意可得为的垂直平分线与轴的交点，设．
，
．
【变式训练9-1】(24-25八上·甘肃武威凉州区金塔乡中学·月考)已知三个顶点坐标分别为，，．
(1)在平面直角坐标系中画出．
(2)画出关于直线y轴对称的．
(3)分别写出点，、的坐标．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)，，
【分析】本题考查作图-轴对称变换，写出坐标系中的点的坐标；
（1）根据点的坐标，描点连线，画出；
（2）根据轴对称的性质找到的对应点顺次连接即可求解．
（3）根据坐标系写出点的坐标，即可求解．
【详解】（1）解：如图所示即为所求．
（2）解：如图所示，即为所求．
（3）根据坐标系可得，，．
【变式训练9-2】(25-26八上·广东清远清城区松岗中学·月考)在平面直角坐标系中的位置如图所示，三点都在格点上．
(1)请写出三点的坐标；
(2)描出点，；
(3)的面积为___________．
【答案】(1)，，；
(2)见解析；
(3)．
【分析】本题考查了平面直角坐标系，三角形面积公式，掌握知识点并应用是解题的关键．
（）根据平面直角坐标系即可求解；
（）在平面直角坐标系中描点即可；
（）连接，，，然后利用三角形面积公式即可求解．
【详解】（1）解：由平面直角坐标系可得，，，；
（2）解：如图，
（3）解：如图，连接，，，
∴的面积为，
故答案为：．
【变式训练9-3】(24-25七上·山东淄博博山区第六中学·期末)描出下面各点连成封闭图形．
，，
【答案】见解析
【分析】本题考查了数对与位置问题的相关知识，用数对表示位置时，第一个数表示第几列，第二个数表示第几行；由此即可标出图中各个点的位置；将各点连线成封闭图形．
【详解】解：根据数对表示位置的方法在平面图中标出各点的位置，并顺次连接起来得出直角三角形如下图所示：
【变式训练9-4】已知：．
请在坐标系中描出各点，并找出点A和点D，点B和点F之间的位置关系．
【答案】见解析，点A和点D都在y轴上，并且到原点的距离相等，都是1，点B和点F都在x轴上，且到原点的距离也相等，都是2．
【分析】本题主要考查在直角坐标系中描点，观察点的关系，掌握点的坐标是解题的关键．
根据点坐标在直角坐标系中描绘出，观察点之间的关系即可．
【详解】如图所示：
从平面直角坐标系中可以看出，点A和点D都在y轴上，并且到原点的距离相等，都是1，
点B和点F都在x轴上，且到原点的距离也相等，都是2．
【变式训练9-5】(24-25七下·山东济宁梁山县·期末)在如图所示的平面直角坐标系中描出下列各点，然后解答问题：
，，，，，．
(1)A点到原点的距离是______个单位长度；
(2)将点向左平移6个单位，它会与点______重合；
(3)连接，则直线与轴是什么位置关系？
(4)点F到、轴的距离分别是多少？
【答案】(1)
(2)
(3)平行
(4)7 ；5．
【分析】此题主要考查了点的坐标性质以及平移的性质，根据坐标系得出各点的位置是解题关键．
（1）根据点坐标可得出点在轴上，即可得出点到原点的距离；
（2）根据点的平移的性质得出平移后的位置；
（3）利用图形性质得出直线与轴的位置关系；
（4）利用点的横纵坐标得出点分别到、轴的距离．
【详解】（1）如图所示：点到原点的距离是3；
故答案为3；
（2）将点左平移个单位，它与点重合；
故答案为；
（3）点和点的横坐标相同，所以直线平行于轴，
（4）因为，所以点到轴的距离为7、到轴的距离为5．
【变式训练9-6】现给出如下各点：．
(1)请你在给出的平面直角坐标系中描出上述各点，然后依次连接，得到一个封闭图形；
(2)观察（1）中得到的图形．
①是否存在经过上述点中的两点的直线与直线平行？请说明理由；
②计算该封闭图形的面积．
【答案】(1)见解析
(2)①存在，理由见解析；②
【分析】本题考查了坐标与图形的性质，能准确在平面直角坐标系中找出点的位置是解题的关键．
（1）在平面直角坐标系中找到各点的位置，再依次连接即可；
（2）①根据点C、D的坐标可知直线是一条平行于 x轴的直线，由此可得结果；
②结合图形，该封闭图形可看作是由和梯形组成的，的面积加上梯形的面积即为该封闭图形的面积．
【详解】（1）解：（1）如图所示．
（2）①存在经过两点的直线与直线平行．
理由如下： 两点的纵坐标相等，两点的纵坐标相等，
直线都平行于轴，
．
②该封闭图形的面积为．
题型十：平面直角坐标系中新定义问题
【例题10】定义：横、纵坐标都是整数的点，称为格点；若一个三角形的顶点全是格点，则这个三角形称为格点三角形．格点三角形的面积可以用皮克定理来计算：．（其中是三角形内部格点数目，是三角形边上格点数目）．平面直角坐标系中，已知点，，，三角形的内部比边上多个格点，求三角形内部格点的个数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，先由，，，在平面直角坐标系描点，求出面积，然后列出方程组，再解方程组即可，熟练掌握格点三角形的面积公式，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
【详解】解：由，，，在平面直角坐标系描点，
∴
，
∴，
解得，
∴三角形内部格点的个数为，
故选：．
【变式训练10-1】定义：，，例如，，那么（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查新定义，点的坐标．先求出，然后根据逐项判断，即可解答．
【详解】解：由，得：，
A．，与相等，符合题意；
B．，与不相等，不符合题意；
C．，与不相等，不符合题意；
D．，与不相等，不符合题意；
故选：A．
【变式训练10-2】(24-25七下·新疆喀什巴楚县·期中)定义：是平面直角坐标系中的一点且不在坐标轴上，过点分别向轴、轴作垂线段，若两条垂线段的长度的和为4，则点叫作“垂距点”，例如：图中的点是“垂距点”．若是第四象限的点，且点是“垂距点”，则的值为（ ）
A．2 B．4 C． D．10
【答案】B
【分析】本题考查新定义，根据新定义正确列出方程是解题的关键．根据是第四象限内的点，得出点M到x轴的距离为，点M到y轴的距离为，根据点是“垂距点”，得出，解方程即可．
【详解】解：∵是第四象限内的点，
∴点M到x轴的距离为，点M到y轴的距离为，
∵点是“垂距点”，
∴，
解得：，
故选：B．
【变式训练10-3】(24-25八下·辽宁沈阳铁西区·期中)定义：在平面直角坐标系中，对于点，若x，y均为整数，则称点P为“整点”．特别地，当（其中）的值为整数时，称“整点”P为“超整点”．已知点在第二象限，下列说法：①；②若点P为“整点”，则点P的个数为4个；③若点P为“超整点”，则点P的个数为1个；④若点P为“超整点”，则点P到两坐标轴的距离之和大于5．其中正确的是 ．（填序号即可）
【答案】②③④
【分析】本题考查了新定义，点到坐标轴的距离，各象限内点的特征，不等式组的解法等知识，利用各象限内点的特征求出a的取值范围，即可判断①，利用“整点”定义即可判断②，利用“超整点”定义即可判断③，利用“超整点”和点到坐标轴的距离即可判断④．
【详解】解：∵点在第二象限，
∴，
∴，故①错误；
∵点为“整点”， ，
∴整数a为，，0，1，
∴点P的个数为4个，故②正确；
∴“整点”P为，，，，
∵，，，，
∴“超整点”P为，故③正确；
∵点为“超整点”，
∴点P坐标为，
∴点P到两坐标轴的距离之和，故④正确，
故答案为：②③④．
【变式训练10-4】(24-25七下·江苏南通海安紫石中学·月考)在平面直角坐标系中，给出如下定义：点P到x轴、y轴的距离的较小值称为点P的“短距”；当点Q到x轴、y轴的距离相等时，则称点Q为“完美点”．若点C是“完美点”，则点的“短距”为 ．
【答案】3或6
【分析】本题考查了新定义背景下坐标的确定，理解新定义是解答本题的关键．
先根据“完美点”的定义列出绝对值方程求解，再分别将值代入，然后利用“短距”的定义即可得出答案．
【详解】解：∵点是“完美点”，
∴点到轴、y轴的距离相等，即，
∴或，
解得或．
当时，点．
∵，，
∴“短距”为3；
当时，点．
∵，，
∴“短距”为6．
综上所述，点的“短距”为3或6．
故答案为：3或6
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