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专题4.3.1坐标平面内图形的对称九大题型（一课一讲）
平面坐标系内关系对称轴对称点的特点
①点（a，b）关于x轴的对称点的坐标为（a，－b），
②点（a，b）关于 y 轴的对称点的坐标为（－a，b）。
③点（a，b）关于原点的对称点的坐标为（－a，－b）
题型一：利用关于x轴对称的点特点求点坐标
【例题1】在平面直角坐标系中，已知点和点关于轴对称，则的值是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练1-1】在平面直角坐标系中，点和关于（ ）
A．原点对称 B．轴对称 C．轴对称 D．无法确定
【变式训练1-2】(25-26八上·新疆喀什部分学校·期中)已知点，、Q两点关于x轴对称，则点Q的点的坐标是 ．
【变式训练1-3】(25-26八上·重庆第十八中学·期中)平面直角坐标系中，点与点关于x轴对称，则的值为 ．
【变式训练1-4】(25-26八上·广东深圳·期中)在平面直角坐标系中，点关于x轴对称的点在第 象限．
【变式训练1-5】(25-26八上·江苏南通如皋外国语初中教育集团·月考)在平面直角坐标系中，点与点关于轴对称，则的值为 ．
【变式训练1-6】(24-25八上·山东菏泽成武县·期中)在平面直角坐标系中，如果三个顶点的坐标分别是，，，关于轴成轴对称的图形是，关于轴成轴对称的图形是，则点的坐标为 ．
题型二：利用关于y轴对称的点特点求点坐标
【例题2】在平面直角坐标系中，点关于轴的对称点的坐标为（　　）
A． B． C． D．
【变式训练2-1】(24-25八上·贵州遵义第五十五中学·期中)在平面直角坐标系中，点关于轴的对称点在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【变式训练2-2】(25-26八上·四川绵阳北川羌族自治县·期中)如图，在平面直角坐标系中，点是原点，已知点，，，如果与关于轴对称，则点的坐标为 ．
【变式训练2-3】(24-25八下·陕西西安西安经开第一学校（西安经发学校）·开学考)平面直角坐标系中，若点与点关于轴对称，则的值为 ．
题型三：平面直角坐标系中其他对称问题
【例题3】如图，在平面直角坐标系中，关于直线（直线上各点的横坐标都为1）对称，点的坐标为，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【变式训练3-1】如图是三色鹭在水面照镜子的画面，点和点关于水面所在直线对称．若将水面看作平行于轴且过点的直线，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【变式训练3-2】(24-25八上·陕西西安爱知初级中学·期末)如图，在平面直角坐标系中，将等腰沿直角边翻折，点B落在点C处，若点A坐标为，则点C坐标为（ ）
A． B． C． D．
【变式训练3-3】如图，该图形为中心对称图形，以其对称中心为坐标原点建立平面直角坐标系，若点的坐标为，则点的坐标为 ．
【变式训练3-4】(24-25八上·江苏苏州昆山周庄中学·期中)如图，在长方形中，在轴上，在轴上，且，，把沿着对折得到，交轴于点，则点的坐标为 ．
【变式训练3-5】如图，直线经过点且垂直于轴，若点与点关于直线对称，则的值为 ．
题型四：格子中的对称问题求面积
【例题4】如图所示，在平面直角坐标系中，已知，，．
(1)在图中画出并标出字母；
(2)若点P与点C关于y轴对称，则点P的坐标为______；
(3)已知Q为y轴上一点，若的面积为8，请直接写出点Q的坐标．
【变式训练4-1】(24-25八上·四川成都成华区嘉祥外国语学校成华校区·月考)在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，格点三角形（顶点是网格线的交点的三角形）的顶点的坐标分别为．
(1)请在如图所示的网格平面内作出平面直角坐标系；
(2)请作出关于轴对称的；
(3)求出的面积．
【变式训练4-2】如图，在平面直角坐标系中，已知，．
(1)若点与点关于轴对称，则点的坐标为______；
(2)在平面直角坐标系中画出；
(3)的面积为______．
【变式训练4-3】(24-25八下·宁夏银川第三十八中学·期中)如图，平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，．
(1)请在图中画出 先向右平移6个单位长度，再向下平移2个单位长度的；
(2)关于原点对称得到，请在图中画出；并写出坐标；
(3)求的面积．
【变式训练4-4】(24-25八上·福建厦门杏南中学·期中)在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，
(1)画出关于x轴的对称图形 ；
(2)写出的各顶点坐标 ， ， ；
(3)求的面积．
【变式训练4-5】(24-25八上·河南郑州二七区·期末)在正方形网格中，每个小正方形的边长为1，点，，与关于某直线成轴对称．
(1)在网格内画出平面直角坐标系，并画出；
(2)设l是过点C且平行于x轴的直线，点A关于直线l的对称点的坐标是 ；
(3)求的面积．
题型五：格子中的对称问题求最值
【例题5】如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为，点的坐标为．

(1)请画出关于轴对称的图形；
(2)求的面积；
(3)在轴上找一点，使周长最小，并求出这个最小值．
【变式训练5-1】(24-25八上·广东深圳宝安区深圳宝安区七校联考·期中)在平面直角坐标系的位置如图所示（注：图中每小正方形的边长均为1）．
(1)请画出关于y轴对称的图形（分别是的对应点，不写画法）；直接写出三点的坐标：_______，_______，_______；
(2)的面积是_______；
(3)在y轴上找一点P，使的值最小，则最小值为_______．
【变式训练5-2】(24-25八上·内蒙古赤峰·期中)如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，网格中有一个格点（即三角形的顶点都在格点上）．
(1)在图中作出关于轴对称的；（要求点与点，点与点，点与点分别对应）
(2)在轴上找一点，使的值最小，请在图中标出点；
(3)求的面积．
【变式训练5-3】(25-26八上·四川泸州江阳区习之学校·期中)如图，在平面直角坐标系中，点，点．
(1)在图中画出关于轴对称的，其中、的对应点分别为、．写出、的坐标．
(2)请在轴上作点，使最小．
【变式训练5-3】(25-26八上·宁夏银川第六中学·月考)已知：在平面直角坐标系中，四边形的四个顶点坐标分别为，，，．
(1)试在如图所示的平面直角坐标系中，标出A，B，C，D四点；
(2)请利用网格，仅用无刻度的直尺在线段上作出点P，使的值最小，并直接写出点P的坐标．
【变式训练5-4】(22-23八上·辽宁大连西岗区第三十七中学·期末)如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为 ．
(1)在图中作出关于x轴的对称图形；
(2)直接写出点C关于y轴的对称点的坐标：_______；
(3)在y轴上找一点P，使得周长最小．（保留作图痕迹）
题型六：对称问题中中点问题
【例题6】如图，数轴上表示1、的对应点分别为、，如果点与点关于点的对称，那么点C所表示的数是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练6-1】(24-25下·辽宁鞍山铁东区·模拟)如图，在平面直角坐标系xOy中，为等腰三角形，AB=AC，轴，若，，则的面积为（ ）
A．8 B．9 C．12 D．24
【变式训练6-2】(24-25八上·吉林吉林吉化第九中学校·期末)等腰在平面直角坐标系中，底边的两端点坐标是，，则其顶点的坐标能确定的是（ ）
A．横坐标 B．纵坐标 C．横坐标及纵坐标 D．横坐标或纵坐标
【变式训练6-3】(24-25八下·广东河源江东新区·期末)如图，已知，，顶点），规定“把先沿x轴翻折，再向左平移1个单位长度”为一次变换，如此这样，连续经过2024次变换后，的对角线交点M的坐标变为（ ）
A． B． C． D．
【变式训练6-4】(25-26八上·四川成都嘉祥外国语学校·月考)平面直角坐标系中，若点，，则线段的长度为 ，当A，B关于C点对称时，C点的坐标为 ．
【变式训练6-5】(24-25八上·山东威海环翠区·期末)如图，在中，，，是中点，则点关于点的对称点的坐标是 ．
题型七：轴对称综合之线段最短问题
【例题7】如图，圆柱形玻璃杯，高为，底面周长为，在杯内离杯底的点处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿与蜂蜜相对的点处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为（ ）．
A．6 B．8 C．10 D．12
【变式训练7-1】(23-24八下·贵州遵义第十二中学·月考)如图，在平面直角坐标系中，为等边三角形，轴，，点C的坐标为，P为边上的一个动点，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．12
【变式训练7-2】(24-25七下·陕西咸阳旬邑县·期末)如图，是等腰三角形，是的高线，且．点，分别是上任意一点，连接，则的最小值为（ ）
A．12 B．10 C． D．
【变式训练7-3】(2025·安徽省马鞍山市·三模)在中，，，，点为上一点，为内部一点，且，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．3
【变式训练7-4】(24-25八上·江苏镇江丹徒区·月考)如图，在中，，，，，是的平分线，若，分别是和上的动点，则的最小值为 ．
【变式训练7-5】(24-25八上·江苏无锡新吴实验中学·月考)如图，，M，N分别为，上的点，，P，Q分别为，上的动点，则的最小值为 ．
题型八：轴对称综合之周长最小问题
【例题8】如图，面积为，在上分别找到一点，连接，则周长的最小值为 ．
【变式训练8-1】(24-25八上·江西赣州·期末)如图，在面积为12的中，，，于点D，直线垂直平分交于点E，交于点F，P为直线上一动点，则周长的最小值为 ．
【变式训练8-2】(24-25八下·湖北大冶临空初级中学·期中)如图，在平面直角坐标系中，，，，，是线段上的两个动点，且，则与周长和的最小值为 ．
【变式训练8-3】(24-25八下·贵州毕节梁才学校·期中)如图，点是内部一点，且，分别在边，上各取一点，，分别连接，，三点组成三角形，则最小周长为 ．
【变式训练8-4】(24-25七下·上海徐汇区世界外国语中学·期末)如图，边长为6的等边中，是上的中线且，点在上，连接，在右侧作等边，连接，则的周长最小值为 ．
【变式训练8-5】(24-25八下·湖北咸宁通城县·期中)如图，四边形中，，，，，点是边上一动点，则周长的最小值为 ．
题型九：轴对称综合之面积问题
【例题9】在中，，点是线段上一动点，作射线，点关于的对称点为，直线与射线相交于点，连接，下面结论正确的个数是（ ）
①线段；②当时，四边形的面积是3；③随着点D的移动，的角度不变；④线段长度的最大值是．
A．1 B．2 C．3 D．4
【变式训练9-1】如图，已知，点P在内部，点与点P关于对称，点与点P关于对称，连接，分别交，于点E，F，连接，．若，，则的面积为 ．(用含a，b的代数式表示)
【变式训练9-2】(24-25八上·黑龙江哈尔滨南岗区第六十九中学·月考)如图，点P为内部任意一点，点P、关于对称，点P、关于对称,，则的面积为 ．
【变式训练9-3】(22-23八上·江苏徐州丰县·月考)如图，点P为内一点，分别作出点P关于、的对称点、，连接交于M，交于N．若，则 ．
【变式训练9-4】(23-24七上·上海外国语大学附属外国语学校·期末)如图，在中，，，点A关于的对称点为，点B关于的对称点为，点C关于的对称点为．
(1)在图中画出；
(2)若的面积为，则的面积是______．
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专题4.3.1坐标平面内图形的对称九大题型（一课一讲）
平面坐标系内关系对称轴对称点的特点
①点（a，b）关于x轴的对称点的坐标为（a，－b），
②点（a，b）关于 y 轴的对称点的坐标为（－a，b）。
③点（a，b）关于原点的对称点的坐标为（－a，－b）
题型一：利用关于x轴对称的点特点求点坐标
【例题1】在平面直角坐标系中，已知点和点关于轴对称，则的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查平面直角坐标系中关于轴对称的点的坐标性质，解题关键是掌握“关于轴对称的点横坐标相同、纵坐标互为相反数”，易错点是混淆轴对称的坐标规律，解题思路为：根据关于轴对称的点的坐标性质求出、的值，进而计算．
【详解】解：∵点和点关于轴对称，
∴（横坐标相等），
（纵坐标互为相反数），
∴；
故选：C．
【变式训练1-1】在平面直角坐标系中，点和关于（ ）
A．原点对称 B．轴对称 C．轴对称 D．无法确定
【答案】B
【分析】本题考查了平面直角坐标系中关于坐标轴和原点对称的点的坐标．熟练掌握平面直角坐标系中关于坐标轴和原点对称的点的坐标是解题的关键．
根据关于轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数进行判断即可．
【详解】解：点和，横坐标都是2（相同），纵坐标1和互为相反数，符合关于轴对称的点的坐标特征，
所以，点和关于轴对称，
故选B．
【变式训练1-2】(25-26八上·新疆喀什部分学校·期中)已知点，、Q两点关于x轴对称，则点Q的点的坐标是 ．
【答案】
【分析】本题考查关于轴对称的点的坐标特征，掌握知识点是解题的关键．
根据关于轴对称的点的坐标特征，横坐标不变，纵坐标互为相反数，即可求解．
【详解】解：点关于轴对称的点的横坐标与相同，为；纵坐标与的纵坐标互为相反数，为，
故点的坐标为．
故答案为．
【变式训练1-3】(25-26八上·重庆第十八中学·期中)平面直角坐标系中，点与点关于x轴对称，则的值为 ．
【答案】3
【分析】本题考查了平面直角坐标系中关于x轴对称的点的坐标特征，解题关键是掌握关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数．
根据点与点关于x轴对称，横坐标相同，纵坐标互为相反数，列出方程求解即可．
【详解】点与点关于x轴对称，
纵坐标互为相反数，
，
．
【变式训练1-4】(25-26八上·广东深圳·期中)在平面直角坐标系中，点关于x轴对称的点在第 象限．
【答案】二
【分析】本题考查关于坐标轴对称的点的坐标变化，判断点所在的象限．先根据关于x轴对称的点的横坐标相同，纵坐标互为相反数求出点P对称点的坐标，进而判断其所在的象限．
【详解】解：点关于x轴对称的点的坐标为，它在第二象限．
故答案为：二．
【变式训练1-5】(25-26八上·江苏南通如皋外国语初中教育集团·月考)在平面直角坐标系中，点与点关于轴对称，则的值为 ．
【答案】
【分析】根据关于轴对称的点的横坐标相同，纵坐标互为相反数即可求得，的值，代入式子即可解答．本题主要考查了关于坐标轴对称的点的坐标特点，熟练掌握“关于轴对称的点的横坐标相同，纵坐标互为相反数”是解题的关键．
【详解】解：在平面直角坐标系中，点与点关于轴对称，
，，
．
故答案为：．
【变式训练1-6】(24-25八上·山东菏泽成武县·期中)在平面直角坐标系中，如果三个顶点的坐标分别是，，，关于轴成轴对称的图形是，关于轴成轴对称的图形是，则点的坐标为 ．
【答案】
【分析】本题考查关于x轴、y轴对称的点的坐标的特点，先利用两点关于y轴对称，纵坐标不变，横坐标互为相反数，再利用两点关于x轴对称，横坐标不变，纵坐标互为相反数．
简记：关于谁对称谁不变．
【详解】解：点关于y轴的对称点的坐标是，点关于x轴的对称点的坐标为．
故答案为：．
题型二：利用关于y轴对称的点特点求点坐标
【例题2】在平面直角坐标系中，点关于轴的对称点的坐标为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查的是平面直角坐标系中关于轴对称的点的坐标特征，掌握 “关于轴对称的点，纵坐标不变，横坐标互为相反数” 这一性质是解题的关键．根据关于轴对称的点的坐标特点，横坐标互为相反数，纵坐标不变．
【详解】∵点关于轴对称时，横坐标互为相反数，纵坐标不变，
∴点关于轴的对称点的坐标为．
故选：A．
【变式训练2-1】(24-25八上·贵州遵义第五十五中学·期中)在平面直角坐标系中，点关于轴的对称点在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
【分析】此题主要考查了关于轴、轴对称的点的坐标规律，根据关于轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数求出对称点的坐标，再根据各象限内点的坐标特点解答即可．
【详解】解：∵点关于轴的对称点是，点在第四象限，
∴关于轴的对称点在第四象限．
故选：D．
【变式训练2-2】(25-26八上·四川绵阳北川羌族自治县·期中)如图，在平面直角坐标系中，点是原点，已知点，，，如果与关于轴对称，则点的坐标为 ．
【答案】
【分析】本题考查了轴对称，由题意可知点和点关于轴对称，再根据关于轴对称的点纵坐标相同，横坐标互为相反数即可求解，掌握关于坐标轴对称的点的坐标特征是解题的关键．
【详解】解：由题意可知，点和点关于轴对称，
∵，
∴点的坐标为，
故答案为：．
【变式训练2-3】(24-25八下·陕西西安西安经开第一学校（西安经发学校）·开学考)平面直角坐标系中，若点与点关于轴对称，则的值为 ．
【答案】4
【分析】本题考查了点坐标与轴对称“在平面直角坐标系中，关于轴对称的两个点的横坐标互为相反数、纵坐标相等”，熟练掌握点坐标与轴对称变换规律是解题关键．根据点坐标与轴对称变换规律可得，，则可得的值，代入计算即可得．
【详解】解：∵平面直角坐标系中，若点与点关于轴对称，
∴，，
∴，，
∴，
故答案为：4．
题型三：平面直角坐标系中其他对称问题
【例题3】如图，在平面直角坐标系中，关于直线（直线上各点的横坐标都为1）对称，点的坐标为，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了平面直角坐标系中关于直线对称的点的坐标特征．熟练掌握平面直角坐标系中关于直线对称的点的坐标特征是解题的关键．
根据关于直线对称的点的坐标特征来求解点的坐标即可．
【详解】关于直线对称，且直线上各点的横坐标都为1，
关于直线对称．
点的坐标为，设点坐标为，
，
解得，故点坐标为．
故选A．
【变式训练3-1】如图是三色鹭在水面照镜子的画面，点和点关于水面所在直线对称．若将水面看作平行于轴且过点的直线，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查图形与坐标，熟记平面直角坐标系中关于直线对称的点的坐标特征是解决问题的关键．设点的坐标为，由题意得到，求解即可得到答案．
【详解】解：设点的坐标为，
点和点关于水面所在直线对称，将水面看作平行于轴且过点的直线，
，
解得，
点的坐标为，
故选：B．
【变式训练3-2】(24-25八上·陕西西安爱知初级中学·期末)如图，在平面直角坐标系中，将等腰沿直角边翻折，点B落在点C处，若点A坐标为，则点C坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】此题重点考查翻折变换的性质、坐标与图形变化-对称、全等三角形的判定与性质等知识，正确地作出辅助线是解题的关键．
作轴于点F，作交FA的延长线于点E，由，得，由翻折得，则可证明，得，则，求得，即可解答．
【详解】解：作轴于点F，作交FA的延长线于点E，如图
，
∵，
∴．
∵将等腰直角三角形沿直角边翻折，点B落在点C处，
∴，，
∴．
在和中：
∴，
∴．
∵，
∴．
又∵点C的横坐标为7，纵坐标为，
∴．
故选C．
【变式训练3-3】如图，该图形为中心对称图形，以其对称中心为坐标原点建立平面直角坐标系，若点的坐标为，则点的坐标为 ．
【答案】
【分析】本题考查了中心对称的性质，根据中心对称的性质即可得解，熟练掌握中心对称的性质是解此题的关键．
【详解】解：由题意以及中心对称的性质可得，若点的坐标为，则点的坐标为，
故答案为：．
【变式训练3-4】(24-25八上·江苏苏州昆山周庄中学·期中)如图，在长方形中，在轴上，在轴上，且，，把沿着对折得到，交轴于点，则点的坐标为 ．
【答案】
【分析】本题考查了长方形的性质、折叠的性质、三角形全等的判定与性质、勾股定理．由长方形和折叠的性质可得：，，，证明，得出，再由勾股定理列式计算即可求解．
【详解】解：由折叠可得：，，
，，四边形是长方形，
，，
在和中，，
，
，
，
，
，
解得：，
点的坐标为，
故答案为：．
【变式训练3-5】如图，直线经过点且垂直于轴，若点与点关于直线对称，则的值为 ．
【答案】
【分析】本题考查图形与坐标，熟记平面直角坐标系中关于直线对称的点的坐标特征是解决问题的关键．由点与点关于直线对称，作出图形，得到求解即可得到答案．
【详解】解：点与点关于直线对称，如图所示：
，
解得，
，
故答案为：．
题型四：格子中的对称问题求面积
【例题4】如图所示，在平面直角坐标系中，已知，，．
(1)在图中画出并标出字母；
(2)若点P与点C关于y轴对称，则点P的坐标为______；
(3)已知Q为y轴上一点，若的面积为8，请直接写出点Q的坐标．
【答案】(1)见解析
(2)
(3)或
【分析】本题考查了直角坐标系下图形的绘制，点关于坐标轴对称的特征，三角形面积公式的计算，解决本题的关键是分类讨论点Q的位置．
（1）根据点的坐标画三角形即可；
（2）根据两个点关于y轴对称，则纵坐标不变，横坐标变为对应的相反数，由此求解即可；
（3）设点，根据点Q位于点A上方和点Q位于点A下方两种情况，结合面积求解即可．
【详解】（1）解：如下：
（2）解：∵点P与点C关于y轴对称，且，
∴；
故答案为：；
（3）解：∵点Q为y轴上一点，
∴设点，
当点Q位于点A上方时，
则，
即，解得，
此时点；
当点Q位于点A下方时，
则，
即，解得，
此时点；
∴点Q的坐标为或．
【变式训练4-1】(24-25八上·四川成都成华区嘉祥外国语学校成华校区·月考)在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，格点三角形（顶点是网格线的交点的三角形）的顶点的坐标分别为．
(1)请在如图所示的网格平面内作出平面直角坐标系；
(2)请作出关于轴对称的；
(3)求出的面积．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)
【分析】本题主要考查了作图—轴对称变化、平面直角坐标系、三角形的面积等知识点，根据轴对称的性质正确作图成为解题的关键．
（1）根据A点、C点坐标确定原点位置，然后再画出坐标系即可；
（2）先根据轴对称的性质确定A、B、C的对应点的位置，然后再顺次连接即可；
（3）利用矩形面积减去周围多余三角形的面积即可．
【详解】（1）解：如图即为所求．
（2）解：如图即为所求．
（3）解：．
【变式训练4-2】如图，在平面直角坐标系中，已知，．
(1)若点与点关于轴对称，则点的坐标为______；
(2)在平面直角坐标系中画出；
(3)的面积为______．
【答案】(1)
(2)见解析
(3)2
【分析】本题主要考查平面直角坐标系，关于y轴对称的点的特征等，数形结合是解题的关键．
（1）关于y轴对称，根据“横坐标互为相反数，纵坐标相等”求解即可；
（2）根据点的坐标在平面直角坐标系中找到相应位置，并依次连接即可；
（3）直接利用三角形面积公式求解即可；
【详解】（1）若点与点关于轴对称，，
点的坐标为．
故答案为：．
（2）如图所示：
（3）由图知，．
故答案为：2．
【变式训练4-3】(24-25八下·宁夏银川第三十八中学·期中)如图，平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，．
(1)请在图中画出 先向右平移6个单位长度，再向下平移2个单位长度的；
(2)关于原点对称得到，请在图中画出；并写出坐标；
(3)求的面积．
【答案】(1)图见解析
(2)图见解析，
(3)4
【分析】本题考查了坐标与图形．
（1）根据平移作图即可；
（2）根据对称作图即可，根据图像即可得到坐标；
（3）根据割补法计算即可．
【详解】（1）解：如图所示；
（2）解：如图所示；
由图可知：坐标为；
（3）解：，
∴的面积为．
【变式训练4-4】(24-25八上·福建厦门杏南中学·期中)在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，
(1)画出关于x轴的对称图形 ；
(2)写出的各顶点坐标 ， ， ；
(3)求的面积．
【答案】(1)见详解
(2)，，
(3)
【分析】本题考查了坐标与图形，轴对称变换，关于轴对称的点的坐标，三角形面积的计算，构造三角形的外接矩形是解题的关键．
（1）先求出各顶点坐标关于轴对称的点的坐标，然后在平面直角坐标系描出这些点，最后顺次连接各点即可求解；
（2）由（1）可得各顶点坐标；
（3）作的外接矩形，根据求解即可．
【详解】（1）解：如图，点关于轴的对称点为，
连结，，，则即是所求作的三角形．
（2）由（1）知，
故答案为：，，；
（3）如图，构造的外接矩形，
，，
，
，
．
【变式训练4-5】(24-25八上·河南郑州二七区·期末)在正方形网格中，每个小正方形的边长为1，点，，与关于某直线成轴对称．
(1)在网格内画出平面直角坐标系，并画出；
(2)设l是过点C且平行于x轴的直线，点A关于直线l的对称点的坐标是 ；
(3)求的面积．
【答案】(1)见解析
(2)
(3)4
【分析】本题考查作图﹣轴对称变换、三角形的面积，熟练掌握轴对称的性质是解答本题的关键．
（1）根据点的坐标建立平面直角坐标系即可．由题意知与关于y轴对称，根据轴对称的性质画图即可．
（2）结合轴对称的性质可得答案．
（3）利用割补法求三角形的面积即可．
【详解】（1）解：（1）画出平面直角坐标系如图所示，
可知与关于y轴对称．
如图，即为所求．
（2）由题意得，点A关于直线l的对称点A′的坐标是．
故答案为：．
（3）的面积为．
题型五：格子中的对称问题求最值
【例题5】如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为，点的坐标为．

(1)请画出关于轴对称的图形；
(2)求的面积；
(3)在轴上找一点，使周长最小，并求出这个最小值．
【答案】(1)见解析
(2)
(3)见解析，
【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—轴对称，坐标与图形，轴对称最短路径问题，解题的关键是掌握轴对称变换的性质．
（1）利用轴对称变换的性质分别作出A，B，C的对应点D，E，F，再顺次连接D，E，F即可；
（2）利用割补法求三角形的面积即可．
（3）作点B关于y轴的对称点，连接，交y轴于点，由对称可得，，此时周长最小．根据勾股定理分别求出，，即可求出周长的最小值．
【详解】（1）解：如图，即为所求；

（2）解：由图可得：，，．
；

（3）解：作点B关于y轴的对称点，连接，交y轴于点，由对称可得，，
周长最小．
，，，
，
，
周长最小值为．

【变式训练5-1】(24-25八上·广东深圳宝安区深圳宝安区七校联考·期中)在平面直角坐标系的位置如图所示（注：图中每小正方形的边长均为1）．
(1)请画出关于y轴对称的图形（分别是的对应点，不写画法）；直接写出三点的坐标：_______，_______，_______；
(2)的面积是_______；
(3)在y轴上找一点P，使的值最小，则最小值为_______．
【答案】(1)图见解析，
(2)
(3)
【分析】本题主要考查了轴对称作图、轴对称-最短路线问题、三角形面积等知识点，熟练掌握轴对称的性质是解答本题的关键．
（1）根据轴对称的性质确定点的位置，然后顺次连接即可完成作图，然后直接写出的坐标即可；
（2）利用割补法求三角形的面积即可；
（3）如图：连接，交y轴于点P，则点P即为所求，再利用勾股定理求出最小值．
【详解】（1）解：如图，即为所求．
由图可得，．
（2）解：的面积是．
故答案为：．
（3）解：如图：连接，交y轴于点P，连接，
此时，
∴点P即为所求.的最小值为．
故答案为：．
【变式训练5-2】(24-25八上·内蒙古赤峰·期中)如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，网格中有一个格点（即三角形的顶点都在格点上）．
(1)在图中作出关于轴对称的；（要求点与点，点与点，点与点分别对应）
(2)在轴上找一点，使的值最小，请在图中标出点；
(3)求的面积．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)5
【分析】本题考查了作图：轴对称变换：作轴对称后的图形的依据是轴对称的性质，掌握其基本作法是解决问题的关键（先确定图形的关键点；利用轴对称性质作出关键点的对称点；按原图形中的方式顺次连接对称点）．也考查了最短路线问题，求解网格三角形的面积．
（1）利用网格特点和轴对称的性质画出A、B、C关于关于轴的对称点即可；
（2）连接交轴于Q点，根据两点之间线段最短可判断Q点满足条件．
（3）直接利用梯形的面积减去周围两个三角形的面积即可．
【详解】（1）解：如图所示．
（2）解：如图，连接，与轴相交于一点，即为点，
；
（3）解：的面积．
【变式训练5-3】(25-26八上·四川泸州江阳区习之学校·期中)如图，在平面直角坐标系中，点，点．
(1)在图中画出关于轴对称的，其中、的对应点分别为、．写出、的坐标．
(2)请在轴上作点，使最小．
【答案】(1)图象见解析，
(2)图象见解析
【分析】（1）点关于y轴对称，纵坐标不变，横坐标互为相反数，据此即可画图并求点的坐标；
（2）A关于轴的对称点为，连接，与x轴的交点即为所求点F．
本题考查轴对称的应用．
【详解】（1）解：如图：
；
（2）解：如图，A关于轴的对称点为，
连接，与x轴的交点即为所求点F．
．
【变式训练5-3】(25-26八上·宁夏银川第六中学·月考)已知：在平面直角坐标系中，四边形的四个顶点坐标分别为，，，．
(1)试在如图所示的平面直角坐标系中，标出A，B，C，D四点；
(2)请利用网格，仅用无刻度的直尺在线段上作出点P，使的值最小，并直接写出点P的坐标．
【答案】(1)见解析
(2)图见解析，
【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—轴对称，在坐标系中描点，利用数形结合的思想求解是解题的关键．
（1）根据点的坐标在坐标系中描出各点即可；
（2）作点A关于直线的对称点E，连接交直线于点P，由轴对称的性质可得，则，故当P、E、D共线时的值最小，故点P即为所求．
【详解】（1）解：如图所示，即为所求；
（2）解：如图所示，点P即为所求，；
【变式训练5-4】(22-23八上·辽宁大连西岗区第三十七中学·期末)如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为 ．
(1)在图中作出关于x轴的对称图形；
(2)直接写出点C关于y轴的对称点的坐标：_______；
(3)在y轴上找一点P，使得周长最小．（保留作图痕迹）
【答案】(1)图象见解析
(2)
(3)见解析
【分析】本题考查了作图--轴对称变换，轴对称--最短路线问题，解决本题的关键是掌握轴对称的性质．
（1）根据轴对称的性质作出点关于轴的对称点，再顺次连接即可；
（2）一个点关于y轴对称的点，纵坐标不变，横坐标变为相反数；
（3）作关于轴的对称点，连接交轴于，则即为所求．
【详解】（1）解：关于x轴对称对应点分别为 ，如图所示：
；
（2）解：关于y轴对称点为，
故答案为：；
（3）解：如图，作关于轴的对称点，连接交轴于，则即为所求：
理由如下：
由对称可知，
的周长为，当且仅当三点共线时，等号成立，
∴当P为与y轴的交点时，的周长最小．
题型六：对称问题中中点问题
【例题6】如图，数轴上表示1、的对应点分别为、，如果点与点关于点的对称，那么点C所表示的数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了数轴上对称点的性质及无理数的运算，解题的关键是利用“对称点到对称中心的距离相等”建立等式求解．
设点C表示的数为，根据点A是点B与点C的对称中心，可得A到B的距离等于A到C的距离，据此列方程求解．
【详解】解：设点C所表示的数为，
∵点B与点C关于点A对称，
∴点A是线段BC的中点．
由中点性质得，
两边同乘2得，
解得．
故选：B．
【变式训练6-1】(24-25下·辽宁鞍山铁东区·模拟)如图，在平面直角坐标系xOy中，为等腰三角形，AB=AC，轴，若，，则的面积为（ ）
A．8 B．9 C．12 D．24
【答案】C
【分析】本题考查坐标与图形，等腰三角形的性质．过点作，利用等腰三角形的三线合一，求出，，据此求解即可．
【详解】解：∵轴，，，
∴点的纵坐标为，
过点作，交轴于点，交于点，则：，

∵
∴，
∴，，
∴的面积为．
故选：C．
【变式训练6-2】(24-25八上·吉林吉林吉化第九中学校·期末)等腰在平面直角坐标系中，底边的两端点坐标是，，则其顶点的坐标能确定的是（ ）
A．横坐标 B．纵坐标 C．横坐标及纵坐标 D．横坐标或纵坐标
【答案】B
【分析】此题主要考查了等腰三角形的性质，利用等腰三角形的三线合一的性质得出顶点的位置是解本题的关键．
根据题目条件可以求出等腰三角形底边中点的坐标，从而得出答案．
【详解】解：∵等腰三角形底边的两端点坐标是，，
∴两点都在y轴上，
∴底边中点的坐标为：，即，
∴由等腰三角形的性质可以知道其顶角顶点的纵坐标为．
故选：B．
【变式训练6-3】(24-25八下·广东河源江东新区·期末)如图，已知，，顶点），规定“把先沿x轴翻折，再向左平移1个单位长度”为一次变换，如此这样，连续经过2024次变换后，的对角线交点M的坐标变为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查图形变换规律问题，解题的关键在于熟练掌握平移与关于坐标轴对称的点的坐标特征．
先求得M点坐标，再根据题意列出经过变换后M点的坐标，然后发现规律即可得解．
【详解】解：∵中，点是对角线交点，且，，
∴，即
经过1次变换后M点的坐标为，
经过2次变换后M点的坐标为，
经过3次变换后M点的坐标为，
…，
经过n次变换后M点的坐标为，
则时，M点的坐标为，即．
故选：B．
【变式训练6-4】(25-26八上·四川成都嘉祥外国语学校·月考)平面直角坐标系中，若点，，则线段的长度为 ，当A，B关于C点对称时，C点的坐标为 ．
【答案】
【分析】此题主要考查了中点坐标公式及平面上两点间的距离公式，根据平面上两点间的距离公式求出线段的长度，根据题意得出点C是点A，B的中点，根据中点坐标公式即可求解．
【详解】解：∵，，
，
∵点A，B关于点C对称，
∴点C是点A，B的中点，
∴，
故答案为：，．
【变式训练6-5】(24-25八上·山东威海环翠区·期末)如图，在中，，，是中点，则点关于点的对称点的坐标是 ．
【答案】
【分析】本题考查图形与坐标，掌握等腰直角三角形的三边之比以及线段中点坐标公式，是解题的关键．
过点A作于D，然后求出的长，从而得到点A的坐标，再根据中点坐标公式，求出点C的坐标，然后利用中点坐标公式求出点O关于点C的对称点坐标，即可．
【详解】如图，过点A作于D，
∵，
∴，
∴点，
∵C是中点，
∴点C的坐标为，
∴点O关于点C的对称点的坐标是：
故答案为：．
题型七：轴对称综合之线段最短问题
【例题7】如图，圆柱形玻璃杯，高为，底面周长为，在杯内离杯底的点处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿与蜂蜜相对的点处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为（ ）．
A．6 B．8 C．10 D．12
【答案】C
【分析】本题考查了圆柱的展开图，轴对称，勾股定理，熟练掌握轴对称，勾股定理是解题的关键．利用展开图，轴对称，勾股定理计算即可．
【详解】解：如图，
根据题意，，
作点关于直线的对称点G，连接，则为所求最小值，
则，
过点作，交的延长线于点E，
则四边形是矩形，
故，
故，
故，
故选：C．
【变式训练7-1】(23-24八下·贵州遵义第十二中学·月考)如图，在平面直角坐标系中，为等边三角形，轴，，点C的坐标为，P为边上的一个动点，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．12
【答案】C
【分析】作关于的对称点，连接交于点，连接，则此时的值最小，根据勾股定理求出，即可得出答案
【详解】解：如图，作关于的对称点，连接交于点，连接，
此时，的值最小，
为等边三角形，轴，
，
，
，
点C的坐标为，
，
，
，
即最小值为．
故选：C．
【点睛】本题考查了对称—最短路线问题，等边三角形的判定和性质，勾股定理的运用，凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．
【变式训练7-2】(24-25七下·陕西咸阳旬邑县·期末)如图，是等腰三角形，是的高线，且．点，分别是上任意一点，连接，则的最小值为（ ）
A．12 B．10 C． D．
【答案】C
【分析】利用等腰三角形的对称性，将转化为，则，根据垂线段最短，当时，取得最小值，即的长度，再通过三角形面积公式求出．本题主要考查了等腰三角形的性质以及垂线段最短，熟练掌握等腰三角形三线合一和利用面积法求线段长度是解题的关键．
【详解】解：连接、，
∵ ，，
∴ 是的垂直平分线，
∴ ，
∴ ．
根据垂线段最短，当、、三点共线，且时，取得最小值，即的长度．
∵ ，
，，，
∴ ，
解得．
∴ 的最小值为．
故选：C．
【变式训练7-3】(2025·安徽省马鞍山市·三模)在中，，，，点为上一点，为内部一点，且，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．3
【答案】C
【分析】本题考查轴对称求最短距离，角平分线的判定，勾股定理，含度角的直角三角形的性质；能够通过给的面积关系，确定点的位置是解题的关键．
设点到的距离为，点到的距离为，根据面积比求得，则点在的角平分线上，作点关于的对称点，当、、三点共线，且时，的值最小，此时最小值为，在等边三角形中求出的长即可．
【详解】解：设点到的距离为，点到的距离为，
，
，
点在的角平分线上，
作点关于的对称点，
，
当、、三点共线，且时，的值最小，此时最小值为，
，
是等边三角形，
，
，
，
，
的最小值为，
故选：C．
【变式训练7-4】(24-25八上·江苏镇江丹徒区·月考)如图，在中，，，，，是的平分线，若，分别是和上的动点，则的最小值为 ．
【答案】
【分析】本题考查利用轴对称求最短距离，能够利用轴对称将线段和的最小值转化为线段长求解是关键．
在上截取，连接，，可证，根据全等三角形的性质可知点和点关于对称，再根据轴对称的性质及最短路径结合面积法即可得出答案．
【详解】解：如图，在上截取，连接，，
是的平分线，
在与中
点和点关于对称，连接，与交于点，连接，此时，
是动点，
也是动点，当与垂直时，最小，即最小．
此时，由面积法得．
故答案为：．
【变式训练7-5】(24-25八上·江苏无锡新吴实验中学·月考)如图，，M，N分别为，上的点，，P，Q分别为，上的动点，则的最小值为 ．
【答案】3
【分析】本题考查轴对称－最短路线问题，等边三角形的判定与性质，轴对称的性质，能用一条线段的长表示出三条线段的和的最小值是解题的关链．
作点关于的对称点，点关于的对称点，连接交于点，交于点，连接，根据轴对称的性质，得到的最小值为，推出为等边三角形，进一步得出结果．
【详解】解：如图，作点关于的对称点，点关于的对称点，连接交于点，交于点，连接，
则，
，
的最小值为，
由轴对称的性质得，，，，
，
∵，
为等边三角形，
，
即的值最小为3；
故答案为：3．
题型八：轴对称综合之周长最小问题
【例题8】如图，面积为，在上分别找到一点，连接，则周长的最小值为 ．
【答案】10
【分析】本题考查了线段和的最小值问题，轴对称的性质，等边三角形的判定与性质，熟练掌握相关知识点，并作出适当的辅助线是解题的关键；
作点E关于的对称点G，点E关于的对称点H，利用轴对称的性质，推出当G、D、F、H四点共线时，的周长最小，
为的长，再利用题中条件证明是等边三角形，可得，当时，最短，此时的周长最小，
再利用三角形的面积公式求解即可．
【详解】如图，作点E关于的对称点G，点E关于的对称点H，连接，
由对称性可知，，
的周长为，
当G、D、F、H四点共线时，的周长最小，为的长．
，，，
，
，
，
又，
是等边三角形，
，
当时，最短，此时的周长最小，
由，得，
解得，
的周长最小值为．
故答案为：．
【变式训练8-1】(24-25八上·江西赣州·期末)如图，在面积为12的中，，，于点D，直线垂直平分交于点E，交于点F，P为直线上一动点，则周长的最小值为 ．
【答案】7
【分析】本题考查轴对称—最短问题，线段的垂直平分线的性质，等腰三角形的三线合一的性质，如图，连接．利用三角形的面积公式求出，由垂直平分，推出，推出，推出，即可得解．
【详解】解：如图，连接，
∵，，，
∴，
∵，
∴，
∵垂直平分，
∴，
∵P为直线上一动点，
∴，
∴，
∴，
∴周长的最小值为7．
故答案为：7．
【变式训练8-2】(24-25八下·湖北大冶临空初级中学·期中)如图，在平面直角坐标系中，，，，，是线段上的两个动点，且，则与周长和的最小值为 ．
【答案】30
【分析】本题考查轴对称最短问题，勾股定理，坐标与图形性质等知识，作点C关于的对称点E，作，使得，连接，使得，连接，，．则，，求出的最小值，可得结论．
【详解】解：作点C关于的对称点E，作，使得，连接，，．则，，
∴，
∵，，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∵E，C关于对称，
∴，
∴，
∴的最小值为13，
∵，，，
∴，，，
∴，
∴，
∵与的周长的和为：
，
∴与的周长的和的最小值为．
故答案为：30．
【变式训练8-3】(24-25八下·贵州毕节梁才学校·期中)如图，点是内部一点，且，分别在边，上各取一点，，分别连接，，三点组成三角形，则最小周长为 ．
【答案】
【分析】本题考查了轴对称的性质、勾股定理，作点关于的对称点，点关于的对称点，连接交于，交于，连接、，由轴对称的性质可得，，，，，从而可得当、、、在同一直线上时，的周长最小，为，再由勾股定理计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
【详解】解：如图，作点关于的对称点，点关于的对称点，连接交于，交于，连接、，
由轴对称的性质可得：，，，，，
∴的周长，
∴当、、、在同一直线上时，的周长最小，为，
∵，
∴，
∴，
∴最小周长为，
故答案为：．
【变式训练8-4】(24-25七下·上海徐汇区世界外国语中学·期末)如图，边长为6的等边中，是上的中线且，点在上，连接，在右侧作等边，连接，则的周长最小值为 ．
【答案】/
【分析】本题考查轴对称最短问题、等边三角形的性质和判定，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是证明点E的运动轨迹，本题难度比较大，属于中考填空题中的压轴题．通过分析点E的运动轨迹，点E在射线上运动，作点A关于直线的对称点M，连接交于点，此时的值最小，求出最小值即可．
【详解】解：连接，如图所示：
∵均为等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴点E在射线上运动，
作点A关于直线的对称点M，连接交于点，连接，
∴，
∵为定值，
∴当最小时，的周长最小，
∵两点之间线段最短，
∴当点E在点处时，的周长最小，且最小值为的长，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∴周长的最小值是．
故答案为：．
【变式训练8-5】(24-25八下·湖北咸宁通城县·期中)如图，四边形中，，，，，点是边上一动点，则周长的最小值为 ．
【答案】18
【分析】本题考查轴对称最短问题，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
如图，作点关于的对称点，连接证明，再计算周长即可．
【详解】解：如图，作点关于的对称点，连接
，，
，
，
，
垂直平分线段，
，
，
的最小值为，
的周长最小值为．
题型九：轴对称综合之面积问题
【例题9】在中，，点是线段上一动点，作射线，点关于的对称点为，直线与射线相交于点，连接，下面结论正确的个数是（ ）
①线段；②当时，四边形的面积是3；③随着点D的移动，的角度不变；④线段长度的最大值是．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】由轴对称的性质可知垂直平分，可判断①结论；过点作于点，由含30度角的直角三角形，得到，从而求出，再得出，求出，可判断②结论；根据等边对等角的性质，得到，，再利用平角求解，可判断③结论；连接，利用对称的性质，证明是等边三角形，得到，即当最大时，最大，再根据当时，有最大值，可判断④结论．
【详解】解：点关于的对称点为，
垂直平分，
，①结论正确；
如图，过点作于点，
由对称的性质可知，，，
，
，
，
，
，，
，
四边形的面积，②结论正确；
是等腰三角形，
，
，，
，
，
随着点D的移动，的角度不变，③结论正确；
如图，连接，
点关于的对称点为，
垂直平分，
，
由③可知，，
是等边三角形，
，
当最大时，最大，
点是线段上一动点，
如图，当时，有最大值，
由对称的性质可知，，
，
线段长度的最大值是4，④结论错误；
正确结论有①②③，
故选：C．
【点睛】本题考查了对称的性质，含30度角的直角三角形，等腰三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，垂直平分线的性质等知识，掌握相关知识点是解题关键．
【变式训练9-1】如图，已知，点P在内部，点与点P关于对称，点与点P关于对称，连接，分别交，于点E，F，连接，．若，，则的面积为 ．(用含a，b的代数式表示)
【答案】
【分析】本题考查了轴对称图象的性质，全等三角形的性质，解题的关键是证明出为直角三角形，利用轴对称的性质得到三角形全等，证明出为等腰直角三角形，进一步证明出为直角三角形即可求解．
【详解】解：连接，
根据轴对称的性质可知：，
，，，
，
，
，
，
，
为直角三角形，
，
故答案为：．
【变式训练9-2】(24-25八上·黑龙江哈尔滨南岗区第六十九中学·月考)如图，点P为内部任意一点，点P、关于对称，点P、关于对称,，则的面积为 ．
【答案】
【分析】本题考查轴对称的性质，难度一般，要求学生熟练掌握轴对称的性质特点，并能灵活运用，便能简单做出此题．
连接，，根据轴对称的性质得到，，，求出，根据面积公式计算即可．
【详解】解：连接，，
点P、关于对称，点P、关于对称，，
，，，
，
的面积，
故答案为：．
【变式训练9-3】(22-23八上·江苏徐州丰县·月考)如图，点P为内一点，分别作出点P关于、的对称点、，连接交于M，交于N．若，则 ．
【答案】/60度
【分析】连接，，，根据对称的性质证明，，即可作答．
【详解】解：连接，，，如图，
∵点P关于的对称点，
∴，，
∴平分，
∴，
同理可证明：，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了对称的性质，掌握对称的性质是解答本题的关键．
【变式训练9-4】(23-24七上·上海外国语大学附属外国语学校·期末)如图，在中，，，点A关于的对称点为，点B关于的对称点为，点C关于的对称点为．
(1)在图中画出；
(2)若的面积为，则的面积是______．
【答案】(1)见详解
(2)
【分析】本题考查作图轴对称变换、三角形的面积，熟练掌握轴对称的性质是解答本题的关键．
（1）根据轴对称的性质作点A关于的对称点为，即过点A向引垂线并倍长得到对称点，其他点同理作图即可．
（2）设交于点，延长交于点，根据轴对称的性质可得，，，，则与关于点成中心对称，可得，，，，进而可得．根据三角形的面积公式可得，则可得的面积．
【详解】（1）解：如图，作点A关于的对称点为，即过点A向引垂线并倍长得到对称点，其他同理，
即为所求．
（2）设交于点，延长交于点，
点关于的对称点为，
，．
点关于的对称点为，
，
点关于的对称点为，
，
与关于点成中心对称，
，，
，，
．
的面积为，
，
的面积是．
故答案为：．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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