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(共37张PPT)
第六章　圆
第21节　圆的基本性质(含正多边形与圆)
章前复习思路
弧长和扇形的面积
圆锥的有关计算
圆锥的侧面展开图是扇形
轴对称性
旋转不变性
圆的性质
弧长、扇形面积的相关计算
中心对称性
圆的基本性质
与圆有关的位置关系
点与圆的位置关系
直线与圆的位置关系
点在圆内
点在圆上
点在圆外
相交
弦：垂径定理
角：圆周角定理及其推论；
弦、弧、圆心角的关系
形：三角形的外接圆；
圆内接四边形；
正n边形和圆
相切
性质、判定
三角形的内切圆
※切线长及其定理
相离
圆
节前复习导图
相关概念
与圆有关
的性质
圆周角定理及其推论
垂径定理及其推论
弧、弦、弦心距、
圆心角的关系
三角形
的外接圆
圆内接四边形的性质
正多边形
与圆
对称性
旋转不变性
定义
圆心O
性质
角度关系
内角
中心角
外角
边心距
周长
面积
定理
推论
定理
推论
圆的基本性质
（含正多边形与圆）
考点梳理
考点精讲
如图①，点A，B，C，D均在圆上，线段AB过圆心O，且点D为的中点，连接AC，OC，OD.
1.图中的圆周角有　　　　，小于180°的圆心角有________________________
_________________；
2.图中所有的弦有__________，其中最长的弦为　　　，
它是圆的　　　　；
相关概念
图①
∠BAC　
∠AOC，∠BOC，∠BOD，
AC，AB　
∠AOD，∠COD　
AB　
直径
3.图中优弧有__________________________________，劣弧有_______________
_____________；
4.图中的等弧包含_______和________，_________和__________，_________和
___________　　　
相关概念
图①
，，，，　
，，，
　
，
　
　
　
对称性：圆既是轴对称图形，又是中心对称图形.任意一条直径所在的
直线都是它的对称轴，圆心是它的对称中心
旋转不变性：一个圆绕着它的圆心旋转任意一个角度，都能与原来的图
形重合
与圆有关的性质
定理：______________________________________________
圆周角定理及其推论
情况 圆心在圆周角 的一条边上 圆心在圆 周角的内部 圆心在圆 周角的外部
结论：
∠APB=_________
图形
一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半
∠AOB
圆周角定理及其推论
推论
(如图②)
1._____________________________________________________
___________________，即∠AC1B=∠AC2B=∠AC3B
2.半圆或直径所对的圆周角是________________，90°的圆周
角所对的弦是_______
【满分技法】1.一条弦对着两条弧，这两条弧所对的圆周角互补
　　 2.一条弧只对着一个圆心角，但却对着无数个圆周角
如图②
在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，相等的圆周角所对的弧也相等
直角(或90°)　
直径
定理：垂直于弦的直径　　　　　　，并且　　　这条弦所对的两条弧
(2022课标调整为考查内容)
推论：平分弦(不是直径)的直径　　　　于弦，并且　　　　弦所对的
两条弧
垂径定理
及其推论
(如图③)
【满分技法】根据圆的对称性，在以下五个结论中：(1)=______；(2) ____=；(3)AE=________；(4)AB⊥CD；(5)CD是直
径.只要满足其中的两个结论，另外三个结论一定成立，
即“知二推三”，若由(3)(5)推其他三个结论应满足AB
不是直径
图③
平分这条弦
平分
垂直　
平分
　
　
BE
1.在同圆或等圆中，如果两个圆心角以及这两个角所对的弧、所对
的弦、所对弦的弦心距中，有一组量相等，那么其余各组量都
分别相等
简记：在同圆或等圆中，圆心角相等 弧相等 弦相等 弦心
距相等
2.弧的度数等于它所对圆心角的度数
弧、弦、弦心距、圆心角的关系
定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所
对弦的弦心距相等
推论
定义：经过三角形三个顶点的圆
圆心O：外心(三角形外接圆圆心或三角形三条边的垂直平分线的交点)
性质：三角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等
角度关系：∠BOC=2∠A，∠BOC=360°－2∠A′
【知识拓展】若在Rt△ABC中，a，b分别是Rt△ABC的两条直角边，c
为斜边，则外接圆半径r=　
三角形的
外接圆
(如图④)
图④
1.圆内接四边形的对角互补，如图⑤，∠A＋∠BCD=180°，
∠B＋∠D=180°
2.圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角，如图⑤，
∠DCE=∠A　　
圆内接四边
形的性质
图⑤
正多边形与圆(n为不小于3的整数)
名称 公式 图例
内角 正n边形的每个内角为=180°－
R：半径
r：边心距
a：边长
θ：中心角
中心角 正n边形的每个中心角θ为 外角 正n边形的每个外角为 边心距 正n边形的边心距r= 周长 正n边形的周长l=na 面积 正n边形的面积S=rl(l为正n边形的周长)
基础题练考点
1. 如图，AB是☉O的直径，CD是☉O的弦，若∠CDB＝32°，则
∠ABC的度数为(　D　)
A. 68° B. 64°
C. 62° D. 58°
D
2. 如图，AB是☉O的直径，D是劣弧 的中点，∠ABC＝54°，则
∠AOD的度数是(　D　)
A. 26° B. 27°
C. 36° D. 54°
D
3. (2025合肥瑶海区二模)如图，OA，OB，OC都是☉O的半径，AC，
OB交于点D. 若AD＝CD＝4，OD＝3，则BD的长为(　B　)
A. 2.5 B. 2
C. 1.5 D. 1
B
4. 　　　　　　 (2021安徽13题5分)如图，圆O的半径为1，△ABC内接于圆O，若∠A＝60°，∠B＝75°，则AB＝ .
解法一：【解析】如解图，连接OA，OB.
∵∠C＝180°－∠ABC－∠BAC＝180°－
75°－60°＝45°，∴∠AOB＝90°.
∵OA＝OB＝1，∴AB＝ OA＝ .
　
一题多解法
解图
解法二：【解析】如解图，连接BO并延长交☉O于点D，连接AD，CD，则∠BDC＝∠BAC＝60°.
∵BD是☉O的直径，∴∠BCD＝90°，∠BAD＝90°，∴∠CBD＝90°－∠BDC＝30°，∴∠ABD＝∠ABC－∠CBD＝45°，∴△ABD是等腰直角三角形，∴AB＝ BD＝ ×2＝ .
4. 　　　　　　 (2021安徽13题5分)如图，圆O的半径为1，△ABC内接于圆O，若∠A＝60°，∠B＝75°，则AB＝ .
　
一题多解法
D
解图
5. (北师九下习题改编)如图，四边形ABCD内接于☉O，E为BC延长线
上一点，连接OB，OD.
(1)若∠DCE＝72°，则∠BAD＝ °；
【解析】∵四边形ABCD内接于☉O，
∴∠BAD＝∠DCE＝72°.
72　
(2)若∠BCD＝100°，则∠BOD＝ °.
【解析】∵四边形ABCD内接于☉O，
∴∠A＋∠BCD＝180°.
∵∠BCD＝100°，
∴∠A＝80°，∴∠BOD＝2∠A＝160°.
160　
5. (北师九下习题改编)如图，四边形ABCD内接于☉O，E为BC延长线
上一点，连接OB，OD.
6. (2023安徽6题改编)如图，若五边形ABCDE为正五边形，且内接于
☉O，连接OC，OD.
(1)∠BAE－∠COD＝ ；
【解析】∵∠BAE＝ ＝108°，
∠COD＝ ＝72°，
∴∠BAE－∠COD＝108°－72°＝36°.
36°　
(2)若☉O的半径为5，则正五边形ABCDE的边长为 ，边心距为 ，面积为 .(结果保留整数，参考数据： sin 36°≈0.6， cos 36°≈0.8)
【解析】如解图，过点O作OF⊥CD于点F.
∵OC＝OD，∴△OCD为等腰三角形，∴点F为CD的中点，∠COF＝ ∠COD＝36°，∴CF＝FD＝OC· sin
36°≈3，OF＝OC· cos 36°≈4，即边心距为4，
∴CD＝6，∴正五边形ABCDE的面积＝ ×6×4×5＝60.
6　
4　
60　
∟
F
解图
安徽真题及变式
圆周角定理及其推论(10年10考)
命题点
1
1. (2019安徽13题5分)如图，△ABC内接于☉O，∠CAB＝30°，∠CBA＝45°，CD⊥AB于点D，若☉O的半径为2，则CD的长为 .
【解析】如解图，连接OC，OA. ∵∠B＝45°，
∴∠AOC＝90°.又∵OA＝OC＝2，∴AC＝2 .
在Rt△ACD中，∠CDA＝90°，∠CAD＝30°，
∴CD＝AC· sin 30°＝ .
　
解图
2. (2025安徽20题10分)如图，四边形ABCD的顶点都在半圆O上，AB是
半圆O的直径，连接OC，∠DAB＋2∠ABC＝180°.
(1)求证：OC∥AD；
(1)证明：∵∠DAB＋2∠ABC＝180°，∠AOC＝2∠ABC，
∴∠DAB＋∠AOC＝180°，
∴OC∥AD；(5分)
四边形ABCD的顶点都在半圆O上，AB是半圆O的直径，连接OC，
∠DAB＋2∠ABC＝180°.
(2)　　　　　　　若AD＝2，BC＝2 ，求AB的长.
一题多解法
(2)解法一：如解图，连接BD，交OC于点E.
由题意知∠ADB＝90°，O是AB的中点.
又∵OC∥AD，
∴OC⊥BD，OE是△ABD的中位线，
∴OE＝ AD＝1.
解图
设半圆O的半径为r，则CE＝r－1.
由勾股定理知OB2－OE2＝BE2＝BC2－CE2，
即r2－12＝(2 )2－(r－1)2，
解得r1＝3，r2＝－2(舍去)，
∴AB＝2r＝6.(10分)
解图
解法二：如解图，延长BC，AD交于点E.
∵OC∥AD，O为AB的中点，
∴OC为△ABE的中位线.
设半圆O的半径为R，则AE＝2R，
∴DE＝2R－2.
∵BC＝2 ，∴BE＝4 ，CE＝2 ，
四边形ABCD的顶点都在半圆O上，AB是半圆O的直径，连接OC，
∠DAB＋2∠ABC＝180°.
(2)　　　　　　　若AD＝2，BC＝2 ，求AB的长.
一题多解法
E
解图
∵∠B＋∠ADC＝180°，∠ADC＋∠EDC＝180°，
∴∠EDC＝∠B.
∵∠E＝∠E，
∴△EDC∽△EBA，
∴ ＝ ，
即 ＝ ，
解得R1＝3，R2＝－2(舍去)，
∴AB＝2R＝6.(10分)
E
解图
3. (2024安徽20题10分)如图，☉O是△ABC的外接圆，D是直径AB上一
点，∠ACD的平分线交AB于点E，交☉O于另一点F，FA＝FE.
(1)求证：CD⊥AB；
证明：∵FA＝FE，∴∠FAE＝∠AEF.
∵∠FAE与∠BCE都是 所对的圆周角，
∴∠FAE＝∠BCE，∴∠AEF＝∠BCE，
∵∠AEF＝∠CEB，∴∠CEB＝∠BCE.
∵CE平分∠ACD，
∴∠ACE＝∠DCE.
∵AB是☉O的直径，
∴∠ACB＝90°.
∴∠CEB＋∠DCE＝∠BCE＋∠ACE＝∠ACB＝90°.
∴∠CDE＝180°－∠CEB－∠DCE＝180°－90°＝90°，即
CD⊥AB；(5分)
☉O是△ABC的外接圆，D是直径AB上一点，∠ACD的平分线交AB于
点E，交☉O于另一点F，FA＝FE.
(2)设FM⊥AB，垂足为M. 若OM＝OE＝1，求AC的长.
(2)解：由(1)知，∠BEC＝∠BCE，∴BE＝BC.
∵OM＝OE＝1，AF＝EF，FM⊥AB，
∴MA＝ME＝MO＋OE＝2，∴AE＝4，
∴OA＝OB＝AE－OE＝3，
∴BC＝BE＝OB－OE＝2.
在△ABC中，AB＝6，BC＝2，∠ACB＝90°，
∴AC＝ ＝ ＝4 ，即AC的长为4 .(10分)
垂径定理及其推论(10年6考)(2022课标调整为考查内容)
命题点
2
4. (2022安徽7题4分)已知☉O的半径为7，AB是☉O的弦，点P在弦AB
上.若PA＝4，PB＝6，则OP＝(　D　)
A. B. 4
C. D. 5
D
5. (2020安徽9题4分)已知点A，B，C在☉O上，则下列命题为真命题的
是(　B　)
A. 若半径OB平分弦AC，则四边形OABC是平行四边形
B. 若四边形OABC是平行四边形，则∠ABC＝120°
C. 若∠ABC＝120°，则弦AC平分半径OB
D. 若弦AC平分半径OB，则半径OB平分弦AC
B
【解析】A. 由半径OB平分弦AC，无法得到弦AC平分半
径OB，所以四边形OABC不一定是平行四边形，故此选项
是假命题；B. 如解图①，若四边形OABC为平行四边形，
则四边形OABC为菱形，OA＝AB＝OB，∴△AOB为等
边三角形，∠OAB＝60°，∴∠ABC＝180°－∠OAB＝
120°，故此选项是真命题；
解图
C. 如解图②，若∠CBO＝45°，∵OB＝OC，∴∠BCO＝45°，
∠BOC＝90°，∴∠A＝ ∠BOC＝45°，∠ACB＝180°－∠A－
∠ABC＝15°，∴∠OCD＝∠BCO－∠ACB＝30°，∴OD＝
OC·tan∠OCD＝ OC＝ OB≠ OB，∴弦AC不一定平分半径OB，
故此选项是假命题；D. 如解图③，若AC经过
OB的中点D，但AC不与OB垂直，根据垂径定
理及其推论可知半径OB不平分弦AC，故此选
项是假命题.
解图
与圆的基本性质相关的最值问题(10年2考)( 快答App·
答疑高频考点1 108次)
命题点
3
6. (2016安徽10题4分)如图，Rt△ABC中，AB⊥BC，AB＝6，BC＝
4，P是△ABC内部的一个动点，且满足∠PAB＝∠PBC. 则线段CP长
的最小值为(　B　)
A. B. 2
C. D.
B
【点拨】点P始终在以AB的中点O为圆心，OA为半径的圆上运动.
【解析】如解图，∵∠PAB＝∠PBC，∠ABC＝
90°，∴∠BAP＋∠PBA＝90°，∴∠APB＝90°，
∴点P始终在以AB的中点O为圆心，以OA＝OB＝
OP＝ AB＝3为半径的圆上运动.∴以点O为圆心OA
为半径画圆，连接OC交☉O于点P'，连接OP，PC.
由解图知只有当在点P在OC与☉O的交点处时， PC的
长最小.在Rt△OBC中，OC＝ ＝
＝5，∴P'C＝OC－OP'＝5－3＝2，∴线段CP长的最小值为2.
解图(共21张PPT)
第六章　圆
第23节　弧长、扇形面积的相关计算
节前复习导图
圆锥的侧面展开图是扇形
弧长、扇形
面积的相关计算
弧长公式
面积公式
圆锥的相关计算
阴影部分面积的计算
圆的周长
扇形弧长
圆的面积
扇形面积
规则图形
不规则图形
考点梳理
考点精讲
弧长公式
圆的周长：C=________
扇形弧长：l=__________
面积公式
圆的面积：S=_________
扇形面积：S扇形=_________=r l　
r为圆(扇形)的半径，n°为扇形圆心角的度数，l是扇形的弧长
2πr　
　
πr2　
　
1.r为圆锥底面圆的半径，则底面圆的面积S=　　　　，周长C=　　　　；
2.r为圆锥底面圆的半径，α为圆锥侧面展开图的扇形的圆心角，l为母线长，
则α=　　　　；
3.h为圆锥的高，l为圆锥的母线长，r为圆锥底面圆的半径，则r2＋　　=l2
圆锥的相关计算
πr2　
2πr
　
h2
1.规则图形：直接用面积公式计算；
2.不规则图形：①割补法；②拼凑法；③等积转化法
注：实质是转化，即将不规则图形的面积转化为规则图形的面积或几
个规则图形面积的和或差
【满分技法】圆锥与扇形的关系：
　　1. 圆锥的侧面展开图是扇形
　　2. 圆锥的底面周长等于其侧面展开后所得扇形的弧长
　　3. 圆锥的母线长等于其侧面展开后所得扇形的半径
阴影部分面
积的计算
基础题练考点
1. (2024安徽5题4分)若扇形AOB的半径为6，∠AOB＝120°，则 的
长为(　C　)
A. 2π B. 3π
C. 4π D. 6π
C
2. (2025芜湖二模)已知半径为1，圆心角为60°，则扇形的面积为(　C　)
A. π B. π
C. π D. π
C
3. 　　　　　　　　　　 物理实验课上，同学们分组研究定滑轮“可以改变用力的方向，但不能省力”时，爱动脑筋的小颖发现：重物上升时，滑轮上点P的位置在不断改变，如图，半径为5 cm的定滑轮边缘上一点P绕滑轮中心O顺时针转动了160°，则物体上升的高度为(　C　)
A. cm B. cm
C. cm D. cm
C
新考法
跨物理学科
4. (2025合肥包河区三模)徽派建筑是中国传统建筑中的瑰宝，其以精巧的
布局、典雅的形制和深厚的文化意蕴，成为江南地域文化的鲜明符号.如
图是扇形花窗造型，若AB＝BO＝20 cm，∠BOD＝120°，则该阴影部
分的面积为(　C　)
A. 100π cm2 B. 200π cm2
C. 400π cm2 D. cm2
C
【解析】该阴影部分的面积为 － ＝400π(cm2).
5. 如图，圆锥底面半径为r cm，母线长为10 cm，其侧面展开图是圆心角
为216°的扇形，则r的值为 .
【解析】∵圆锥底面半径为r cm，母线长为10 cm，其侧面展开图是圆心
角为216°的扇形，∴2πr＝ ×2π×10，解得r＝6.
6　
6. (人教九上活动改编)当车轮设计成正方形，转动过程如图，其轨迹是连
续的形似“波浪线”，会很颠簸. 以车轮转动一次(以一个顶点为支点旋
转)为例，中心的轨迹是弧BD；其转动一周，共有 个弧BD；已知
车轮的边长为2，则车轮转动一周时，中心转动的轨迹长为 .
4　
2 π　
【解析】根据题图可知，∠BAC＝∠DAC＝45°，∴∠BAD＝90°.∵正方形车轮的边长为2，∴AB＝ ×2＝ .当车轮转动一周时，中心
的轨迹为四个弧BD，此时中心转动的轨迹长为 ×4＝2 π.
核心考点突破
阴影部分面积的相关计算
例　 如图①，在等腰△ABT中，AB＝AT＝4，∠BAT＝
90°，以AB为直径的☉O交BT于点C.
一题多设问
(1)如图②，连接OC，则图中阴影部分的面积为 ；
π　
图①
图②
【解析】∵△ABT为等腰三角形且∠BAT＝90°，∴∠ABT＝45°，
∴∠AOC＝90°.
∵AB＝4，∴☉O的半径为2，∴S阴影＝ ＝π.
图①
图②
方法突破
阴影部分面积的计算方法：
1. 公式法
S阴影＝S扇形MEN
(2)如图③，连接OC，AC，则图中阴影部分的面积为 ；
图③
【解析】由(1)得∠AOC＝90°.
∵☉O的半径为2，∴OA＝OC＝2，
∴S阴影＝S扇形AOC－S△AOC＝ －
OA·OC＝π－2.
π－2　
例　 如图①，在等腰△ABT中，AB＝AT＝4，∠BAT＝
90°，以AB为直径的☉O交BT于点C.
一题多设问
2. 直接和差法
(以点A为圆心，AC长为半径作弧交AB于点D)
S阴影＝S△CAB－S扇形CAD
方法突破
(3)如图④，则图中阴影部分的面积为 ；
解图
6－π　
【解析】如解图，连接OC，由(1)得∠AOC＝
90°，∴∠BOC＝90°.
∵AB＝AT＝4，AB为☉O的直径，∴☉O的半径为2，∴OB＝OC＝2，
∴S阴影＝S△ABT－S扇形AOC－S△BOC＝ AB·AT－ － OB·OC＝6－π.
例　 如图①，在等腰△ABT中，AB＝AT＝4，∠BAT＝
90°，以AB为直径的☉O交BT于点C.
一题多设问
3. 构造和差法
S阴影＝S△ODC－S扇形DOE
方法突破
(4)如图⑤，则图中阴影部分的面积为 .
图⑤
4　
【点拨】①连接AC；
②S弓形BC＝S弓形AC.
例　 如图①，在等腰△ABT中，AB＝AT＝4，∠BAT＝
90°，以AB为直径的☉O交BT于点C.
一题多设问
解图
【解析】如解图，连接AC，∵AB为☉O的直径，
∴∠ACB＝∠ACT＝90°.
∵∠BAT＝90°，AB＝AT，∴∠ATB＝∠ABT＝∠CAT＝∠CAB＝45°，
∴△ABC，△ACT均是等腰直角三角形.
∵AB＝AT＝4，AC＝CT＝ AT＝2 ，易知S弓形BC＝S弓形AC，∴S阴影＝S△ACT＝ ×2 ×2 ＝4.
4. 等面积转化法
(C，D为半圆上任意两点，且CD∥AB，P为直径AB上任意一点)
S阴影＝S扇形COD
方法突破(共28张PPT)
第六章　圆
第22节　与圆有关的位置关系
节前复习导图
与圆有关
的位置关系
点与圆的
位置关系
直线与圆的
位置关系
点在圆外
点在圆上
点在圆内
相交
相切
相离
切线的
性质与判定
定义
性质
判定定理
判定方法
切线长和*切线长定理
三角形的内切圆
定义
圆心O
性质
角度关系
考点梳理
考点精讲
设⊙O的半径为r，平面内任一点到圆心的距离为d
点在圆外 d　　　r，如点A
点在圆上 d　　　r，如点B
点在圆内 d　　　r，如点C　
点与圆的位置关系
＞　
=　
＜
直线与圆的位置关系(设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d)
位置关系 相离 相切 相交
d与r的关系 d　　　r d　　　r d　　　r
公共点的个数 　　　公共点 有且只有一个公共点 有　　　个公共点
示意图
＞　
=　
＜
无　
两
1. 直线与圆有公共点：“有公共点，连半径，证垂直”：若已知直线
经过圆上一点，则连接这点和圆心得到半径，再证所作半径与这
条直线垂直
2. 直线与圆公共点未知：“公共点未知，作垂直，证半径”：若已知
条件中不确定直线与圆是否有公共点，则过圆心作直线的垂线段，
再证明垂线段的长等于半径的长
切线的性质与判定
定义：如果直线与圆只有一个公共点，这时直线与圆的位置关系叫做相切，
这条直线叫做圆的切线，这个公共点叫做切点
性质
1.圆心到切线的距离等于半径
2.圆的切线垂直于经过切点的半径判定定理：经过半径外端点并且垂
直于这条半径的直线是圆的切线
判定方法
切线长：切线上一点到切点之间的线段长叫做这点到圆的切线长
*切线长定理：过圆外一点可以作圆的两条切线，两条切线长相等，圆心与这一点的
连线平分两条切线的夹角
定义：与三角形三边都相切的圆
圆心O：内心(三角形内切圆圆心或三角形三条角平分线的交点)
性质：三角形的内心到三角形的三条边的距离相等
角度关系：如图，∠BOC=90°＋∠BAC
三角形的内切圆
【满分技法】若△ABC的三边长分别为a，b，c，内切圆的半径为r，则
S△ABC=(a＋b＋c)r.
思考：你知道怎么证明这个结论吗？
基础题练考点
1. (沪科九下练习题改编)已知点A在半径为3的圆O上，如果点A到直线
a的距离是6，那么圆O与直线a的位置关系是(　D　)
A. 相交 B. 相离
C. 相切 D. 相切或相离
D
2. 如图，△ABC为等边三角形，AB＝4，作△ABC的内切圆，圆心为点
O，则∠BOC的度数为 ，点O到边BC的距离为 .
120°　
　
3. (2025安徽12题5分·源自人教九上练习、沪科九上习题)如图，AB是
☉O的弦，PB与☉O相切于点B，圆心O在线段PA上，已知∠P＝
50°，则∠PAB的大小为 °.
【解析】如解图，连接OB. ∵PB为☉O切线，
∴∠OBP＝90°.
又∵∠P＝50°，∴∠BOP＝40°，
∴∠A＝20°.
20　
解图
4. (沪科九下练习题改编)如图，PA，PB是☉O的切线，A，B为切点，
连接OA，OB，AB，PO，PO交☉O于点C，交AB于点D.
(1)若∠OAB＝30°，则∠APB的度数是 ；
【解析】∵PA，PB是☉O的切线，A，B为切点，∴PA＝PB，OA⊥PA，∴∠OAP＝90°.
∵∠OAB＝30°，∴∠BAP＝90°－30°＝60°，∴△ABP为等边三角形，∴∠APB＝60°.
60°　
(2)若AD＝2 ，CD＝2，则☉O的半径为 .
【点拨】①OP垂直平分AB；
②再根据勾股定理得出OA2＝OD2＋AD2，解得OA即可.
4　
4. (沪科九下练习题改编)如图，PA，PB是☉O的切线，A，B为切点，
连接OA，OB，AB，PO，PO交☉O于点C，交AB于点D.
【解析】∵PA，PB是☉O的切线，∴PA＝PB，AP⊥OA，∴∠OAP＝90°，
∵OA＝OB，∴OP垂直平分AB，∴∠ADO＝90°.
在Rt△AOD中，AD＝2 ，OD＝OC－CD＝OA－2.由勾股定理，知OA2＝OD2＋AD2，即OA2＝
(OA－2)2＋(2 )2，解得OA＝4，即☉O的半径是4.
核心考点突破
切线性质的相关证明与计算(10年4考)
例　 如图，AB是☉O的弦，点C在过点B的切线上，且
OC⊥OA，OC交AB于点P.
(1)求证：△CBP为等腰三角形；
一题多设问
证明：∵OC⊥OA，∴∠AOC＝90°，
∴∠A＋∠APO＝90°.
∵BC与☉O相切于点B，
∴∠OBC＝90°，∴∠OBA＋∠CBP＝90°.
∵OA＝OB，
∴∠A＝∠OBA，
∴∠APO＝∠CBP.
∵∠APO＝∠CPB，
∴∠CPB＝∠CBP，
∴CP＝CB，
∴△CBP为等腰三角形；
方法解读
1. 证明两线段相等的方法：
(1)若所证两线段相连不共线，则可以考虑：①证两线段所在三角形全
等；②将两条线段放到一个三角形中，利用等腰三角形或等边三角形
“等角对等边”来证明；
(2)若所证两线段相连共线，则可以考虑等腰三角形“三线合一”或直角
三角形斜边上的中线等于斜边的一半来证明；
(3)若所证两线段平行，则可以考虑特殊四边形对边相等来证明.
AB是☉O的弦，点C在过点B的切线上，且OC⊥OA，OC交AB于点P.
(2)求证：∠BCP＝2∠A；
证明：由(1)，得∠A＋∠APO＝90°，∠APO＝∠BPC＝∠CBP.
∵∠BCP＋∠CBP＋∠BPC＝180°，
即∠BCP＋2∠APO＝180°，
∴∠BCP＋2(90°－∠A)＝180°，
∴∠BCP＝2∠A；
2. 证明两角之间的数量关系：
(1)证明两角相等：在两个直角三角形中通过同角或等角的余角相等证
明；根据半径相等，转化到等腰三角形中利用等边对等角证明；
(2)证明角的倍数关系：一般利用等腰三角形的外角定理或圆心角与圆周
角之间的关系证明.
方法解读
AB是☉O的弦，点C在过点B的切线上，且OC⊥OA，OC交AB于点P.
(3)若PC＝2OP，AP＝ ，求☉O的半径；
解：∵PC＝2OP，
设OP＝x，则CB＝CP＝2x，OC＝3x.
在Rt△OBC中，OB＝ ＝ x，
∴OA＝OB＝ x.
∵AP＝ ，∴在Rt△AOP中，( x)2＋x2＝()2，解得x＝ ，
∴OA＝ x＝ ，
即☉O的半径为 ；
AB是☉O的弦，点C在过点B的切线上，且OC⊥OA，OC交AB于点P.
(4)若 sin A＝ ，OA＝8，求BC的长.
解：在Rt△AOP中， sin A＝ .
∵ sin A＝ ，
设OP＝ x，则AP＝5x.
∵在Rt△AOP中，OP2＋OA2＝AP2，
∴( x)2＋82＝(5x)2，
解得x1＝ ，x2＝－ (舍去)，
∴OP＝ x＝ × ＝4.
∵∠OBC＝90°，
∴BC2＋OB2＝OC2.
∵CP＝CB，OB＝OA＝8，
∴BC2＋82＝(BC＋4)2，
解得BC＝6，
∴BC的长为6.
3. 求线段长的方法：
(1)若题干中含特殊角度(如30°，45°，60°等角度)或出现三角函数
sin ， cos ，tan等时，一般考虑用三角函数解题；
(2)若题干中不含(1)中的情况，一般考虑用相似三角形，勾股定理等方法
解题.
方法解读
安徽真题及变式
命题点
切线的性质(10年4考)
1. (2022安徽19题10分)已知AB为☉O的直径，C为☉O上一点，D为BA
的延长线上一点，连接CD.
(1)如图①，若CO⊥AB，∠D＝30°，OA＝1，求AD的长；
(1)解：∵OA＝1，∴OC＝1.
又∵∠D＝30°，OC⊥OD，
∴OD＝ ＝ ，
∴AD＝OD－OA＝ －1；(4分)
已知AB为☉O的直径，C为☉O上一点，D为BA的延长线上一点，连接
CD.
(2)如图②，若DC与☉O相切，E为OA上一点，且∠ACD＝∠ACE，求
证：CE⊥AB.
(2)证明：∵DC与☉O相切，∴∠DCO＝90°，
∴∠ACD＋∠ACO＝90°.
∵OA＝OC，∴∠ACO＝∠CAO. (7分)
又∵∠ACD＝∠ACE，∴∠ACE＋∠CAE＝90°，
∴∠CEA＝90°，∴CE⊥AB. (10分)
2. (2025六安校级模拟)如图，在△ABC中，∠A＝90°，点O在边BC
上，☉O经过点B并且与AC相切于点D，连接BD，OD.
(1)尺规作图：过点D作DE⊥BC，垂足为E；(保留作图痕迹，不写作
法)
(1)解：如解图，DE即为所求；
解图
在△ABC中，∠A＝90°，点O在边BC上，☉O经过点B并且与AC相
切于点D，连接BD，OD.
(2)在(1)所作的图形中，
①求证：BD平分∠ABC；
(2)①证明：∵☉O经过点B并且与AC相切于点D，
∴OD⊥CD，∴∠ODC＝90°＝∠A，
∴OD∥AB，∴∠ABD＝∠ODB.
∵OB＝OD，∴∠OBD＝∠ODB，
∴∠OBD＝∠ABD，∴BD平分∠ABC；
在△ABC中，∠A＝90°，点O在边BC上，☉O经过点B并且与AC相
切于点D，连接BD，OD.
(2)在(1)所作的图形中，
②若四边形ABED的周长与面积均为18，求BD的长.
②解：∵BD平分∠ABC，∠A＝90°，DE⊥BC，
∴AD＝DE，∠A＝∠DEB＝90°，AB2＋AD2＝BD2.
又∵BD＝BD，
∴Rt△ABD≌Rt△EBD，
∴AB＝BE.
解图
∵四边形ABED的周长与面积均为18，
∴AB＋BE＋DE＋AD＝2AB＋2AD＝18，2× AB·AD＝18，
∴AB＋AD＝9，AB·AD＝18，
∴(AB＋AD)2＝AB2＋AD2＋2AB·AD＝BD2＋2×18＝81，
∴BD＝ ＝3 .
解图

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