资源简介

(共29张PPT)
第五章　四边形(含多边形)
第19节　平行四边形与多边形
章前复习思路
互逆
边、角特殊化
平行四边形
矩形
菱形
正方形
性质
判定
周长
面积
对称性
边
角
对角线
四边形
多边形
特殊
正多边形
节前复习导图
特殊
平行四边形
与多边形
平行四边形
多边形
性质
判定
面积计算公式
多边形的性质
正多边形的性质
考点梳理
考点精讲
1.边：两组对边分别平行，两组对边分别相等
2.角：两组对角分别相等
3.对角线：对角线互相平分
4.对称性：是中心对称图形，对称中心是两条对角线的交点
平行四边形
性质
平行四边形
2.角：两组对角分别相等的四边形是平行四边形
3.对角线：对角线互相平分的四边形是平行四边形
判定
1.边
两组对边分别平行的四边形是平行四边形
两组对边分别相等的四边形是平行四边形
一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
面积计算公式：S=底×高=ah(a表示边长，h表示该边上的高)
1.边：正多边形的各边相等
2.内角：正n边形的每个内角相等，都等于
3.外角：正n边形的每个外角相等，都等于
4.对称轴：正n边形有n条对称轴，n为偶数时是中心对称图形
多边形
多边形的性质(n为不小于3的整数)
1.内角和定理：n边形的内角和等于(n－2) 180°，如五边形的内角和为540°
2.外角和定理：任意多边形的外角和都等于360°
3.对角线：过n边形的一个顶点可以引(n－3)条对角线，n边形共
有条对角线，如八边形有20条对角线
正多边形的性质(n为不小于3的整数)
基础题练考点
1. (2025合肥蜀山区模拟)如图，在 ABCD中，若∠A＋∠C＝130°，
则∠B的度数是(　D　)
A. 65° B. 130°
C. 135° D. 115°
【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠A＝∠C，AD∥BC.
∵∠A＋∠C＝130°，∴2∠A＝130°，∴∠A＝65°，∴∠B＝180°
－∠A＝115°.
D
2. 在四边形ABCD中，O是对角线交点，下列条件中，不能判定四边形
ABCD是平行四边形的是(　D　)
A. AD∥BC，AD＝BC B. AB＝DC，AD＝BC
C. OA＝OC，OD＝OB D. AB∥DC，AD＝BC
【解析】A. 根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，可以判
定，不符合题意；B. 根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形，可
以判定，不符合题意；C. 根据对角线互相平分的四边形是平行四边形可
以判定，不符合题意；D. 一组对边平行，另一组对边相等的四边形，等
腰梯形满足条件，不能判定，符合题意.
D
3. (2025合肥庐阳区校级模拟)如图，在正五边形ABCDE中，AC，BD相交于点F，则∠AFB的度数为(　C　)
A. 36° B. 60°
C. 72° D. 75°
C
【解析】由题意可得，五边形ABCDE为正五边形，∴AB＝BC＝CD，
∠ABC＝∠BCD＝ ＝108°，∴∠BAC＝∠BCA＝∠DBC
＝∠BDC＝(180°－108°)÷2＝36°，∴∠AFB＝∠DBC＋∠BCA＝
36°＋36°＝72°.
4. 如图， ABCD的对角线AC与BD相交于点O，AB⊥AC，若AB＝
4，AC＝6，则BD的长为 .
【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，AB＝4，AC＝6，∴OB＝
OD，OA＝OC＝3.∵AB⊥AC，∴∠BAO＝90°，∴在Rt△BAO中，
BO＝ ＝5，∴BD＝2OB＝10.
10　
核心考点突破
平行四边形的判定与性质的有关的计算(10年8考)
例　 在四边形ABCD中，AB∥CD，且AB＝CD，E是AB上一点，连接DE.
(1)求证：四边形ABCD为平行四边形；
(1)证明：∵AB∥CD，AB＝CD，
∴四边形ABCD为平行四边形；
一题多设问
在四边形ABCD中，AB∥CD，且AB＝CD，E是AB上一点，连接
DE.
(2)如图①，连接CE，若CE平分∠BCD，AE＝3，EB＝5，DE＝4.求
证：∠DEA＝90°；
图①
证明：∵CE平分∠BCD，
∴∠BCE＝∠DCE.
由(1)知，四边形ABCD为平行四边形，
∴AD＝BC，AB∥CD，
∴∠BEC＝∠DCE，
∴∠BEC＝∠BCE，
∴BC＝BE＝5，
∴AD＝5.
∵EA＝3，ED＝4，32＋42＝52，
∴EA2＋ED2＝AD2，
∴△ADE是直角三角形，且∠DEA＝90°；
图①
在四边形ABCD中，AB∥CD，且AB＝CD，E是AB上一点，连接
DE.
(3)在(2)的条件下，求CE的长；
解：由(2)知，∠DEA＝90°，
∵AB∥CD，AB＝CD，
∴∠CDE＝∠DEA＝90°，CD＝AB＝AE＋EB＝3＋5＝8，
在Rt△EDC中，由勾股定理，得CE＝ ＝ ＝4 ；
图①
在四边形ABCD中，AB∥CD，且AB＝CD，E是AB上一点，连接
DE.
(4)如图②，若E是AB的中点，连接CE，∠CED＝90°.若DE＝4，且
＝ .求四边形BCDE的面积；
解图
解：如解图，取CD的中点F，连接EF，
过点E作EH⊥CD，垂足为H，
∵E，F分别是AB，CD的中点，
四边形ABCD为平行四边形，
∴BE∥CF，BE＝CF，
∴四边形BCFE为平行四边形.
∟
F
H
又∵∠CED＝90°，F为CD的中点，
∴EF＝ CD＝CF，
∴平行四边形BCFE为菱形，
∴BC＝BE＝CF＝ CD.
∵ ＝ ，
∴CE＝ BC＝ CF，
∴ ＝ ，
解图
∟
F
H
又∵∠CED＝90°，
∴∠CDE＝60°，
∴∠DCE＝30°，
∴CD＝2ED＝8，BE＝ CD＝4，EH＝ED· sin 60°＝4× ＝2 ，
∴S四边形BCDE＝ (BE＋CD)·EH＝
(4＋8)×2 ＝12 ；
解图
∟
F
H
在四边形ABCD中，AB∥CD，且AB＝CD，E是AB上一点，连接
DE.
(5)如图③，若DE平分∠ADC交AB于点E，AF平分∠DAB交DC于点
F，交DE于点H，过点E作ED的垂线交DC于点G. 求证：FG＝BC.
图③
证明：由(1)知，四边形ABCD为平行四边形，
∴DC∥AB，DA＝BC，
∴∠ADC＋∠DAB＝180°.
∵DE平分∠ADC，AF平分∠DAB，
∴∠ADE＝ ∠ADC，∠DAF＝ ∠DAB，
∴∠DAF＋∠ADE＝90°，
∴∠DHA＝90°.
∵DE⊥EG，∴AF∥EG.
∵AB∥DC，
∴四边形AEGF是平行四边形，
∴FG＝AE.
∵DC∥AB，∴∠CDE＝∠AED.
∵DE平分∠ADC，
∴∠FDE＝∠ADE，
∴∠ADE＝∠AED，
∴DA＝AE，∴FG＝DA＝BC.
图③
满分技法
1. 当有角平分线时，可利用“平行＋角平分线 等腰三角形”的结论得
到等角、等边，如图①.
图①
2. 平行四边形两个邻角的平分线互相垂直，两个对角的平分线互相平
行，如图②.
图②
(1) ∠E＝90°；
(2) AE∥CF.
练习1　(2025合肥蜀山区三模)如图，在平行四边形ABCD中，∠BAD的
平分线AE交BC边于点E，BF⊥AE交AD边于点F，AB＝5，AE＝
4，则BF的长为(　D　)
A. 3 B.
C. 6 D. 2
D
【解析】如解图，设AE交BF于点O，连接EF，
∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠DAE＝∠AEB.
∵∠BAD的平分线AE交BC边于点E，∴∠DAE＝∠BAE，
∴∠BAE＝∠AEB，∴AB＝BE，
∵BF⊥AE，∴OA＝OE.
∵∠FAO＝∠BEO，OA＝OE，∠AOF＝∠EOB，△AFO≌△EBO(ASA)，∴OF＝OB，
∴四边形ABEF为平行四边形，在Rt△ABO中，AB＝5，AO＝ AE＝2，∴OB＝ ＝ ＝ ，∴BF＝2OB＝2 .
O
解图
练习2　(2025安徽8题4分)在如图所示的 ABCD中，E，G分别为边
AD，BC的中点，点F，H分别在边AB，CD上移动(不与端点重合)，
且满足AF＝CH，则下列为定值的是(　C　)
A. 四边形EFGH的周长 B. ∠EFG的大小
C. 四边形EFGH的面积 D. 线段FH的长
C
【点拨】①连接EG；
②△AEF≌△CGH;
③S△EFG＝S四边形EFGH＝S四边形ABGE＝S四边形ABCD.
【解析】如解图，连接EG，∵四边形ABCD为平行四边形，
∴∠A＝∠C，AD＝BC，AD∥BC，
∵E，G分别为边AD，BC的中点，∴AE＝CG.
又∵AF＝CH，∴△AEF≌△CGH，∴EF＝GH，
同理可证EH＝GF，∴四边形EFGH为平行四边形.
∵AE∥BG，且AE＝BG，∴四边形ABGE为平行四边形，
∴S△EFG＝ S四边形EFGH＝ S四边形ABGE＝ S四边形ABCD，
∴S四边形EFGH＝ S四边形ABCD，∴四边形EFGH的面积为定值，其余选项皆随F，H点的变化而变化，故选C.
解图
练习3　(2019安徽20题10分)如图，点E在 ABCD内部，AF∥BE，
DF∥CE.
(1)求证：△BCE≌△ADF；
(1)证明：如解图，延长FA与CB的延长线交于点M，
∵四边形ABCD为平行四边形，∴AD∥BC，AD＝BC，
∴∠FAD＝∠M.
又∵AF∥BE，∴∠M＝∠EBC，∴∠FAD＝∠EBC.
同理得∠FDA＝∠ECB.
在△BCE和△ADF中，
∴△BCE≌△ADF(ASA)；(5分)
解图
如图，点E在 ABCD内部，AF∥BE，DF∥CE.
(2) 设 ABCD的面积为S，四边形AEDF的面积为T，
求 的值.
解法一：如解图①，连接EF，由(1)知
△BCE≌△ADF，
∴AF＝BE，S△BCE＝S△ADF.
又∵AF∥BE，
∴四边形ABEF为平行四边形，
∴S△AEF＝S△AEB.
解图
一题多解法
同理S△DEF＝S△DEC，
∴T＝S△AEB＋S△DEC.
∵T＝S△AED＋S△ADF＝S△AED＋S△BCE，
∴S＝S△AEB＋S△DEC＋S△AED＋S△BCE＝2T，
∴ ＝2.(10分)
解图
解法二：∵由(1)知△BCE≌△ADF，
∴S△BCE＝S△ADF，∴T＝S△AED＋S△BCE，
如解图②，过点E作EG⊥BC交BC于点G，
延长GE交AD于点H，则EH⊥AD，
∴T＝S△AED＋S△BCE＝ BC·(EG＋EH)＝ BC·GH＝ S，∴ ＝2.(10分)
解图
如图，点E在 ABCD内部，AF∥BE，DF∥CE.
(2) 设 ABCD的面积为S，四边形AEDF的面积为T，
求 的值.
一题多解法
题型链接：更多试题详见本书　微专题　特殊四边形中的面积问题(共21张PPT)
第五章　四边形(含多边形)
第20节　矩形、菱形与正方形
课时2　提升课 借助三角形解决特殊四边形综合题
核心考点突破
借助三角形解决特殊四边形综合题
(10年6考，常在几何综合题考查)
例　 如图①，在菱形ABCD中，∠BAD＝120°，AE⊥BC于点E，F为边AD的中点，连接CF，M为CF的中点，连接
AM并延长交CD于点N，交BC的延长线于点G.
一题多设问
(1)求证：CG＝FD；
图①
(1)解：∵四边形ABCD为菱形，
∴AD∥BC，∴∠FAM＝∠G.
∵M为CF的中点，∴FM＝CM.
在△AFM和△GCM中，
∴△AFM≌△GCM(AAS)，
∴CG＝AF.
又∵F为AD的中点，∴AF＝DF，∴CG＝FD；
图①
又∵AD∥BC，
∴四边形AECF为平行四边形.
又∵AE⊥BC，
∴∠AEC＝90°，
∴平行四边形AECF为矩形；
图①
在菱形ABCD中，∠BAD＝120°，AE⊥BC于点E，F为边AD的中
点，连接CF，M为CF的中点，连接AM并延长交CD于点N，交BC的
延长线于点G.
(2)判断四边形AECF的形状，并说明理由；
(2)解：四边形AECF为矩形.理由如下：
如解图，连接AC，
∵在菱形ABCD中，∠BAD＝120°，
∴△ABC和△ACD均为等边三角形.
∵AE⊥BC，F为AD的中点，
∴BE＝EC＝AF＝FD.
解图
在菱形ABCD中，∠BAD＝120°，AE⊥BC于点E，F为边AD的中
点，连接CF，M为CF的中点，连接AM并延长交CD于点N，交BC的
延长线于点G.
(3)若AB＝6，求MN长；
(3)解：由(1)(2)知，BE＝EC＝AF＝FD＝CG，
∵AD∥BG，∴ ＝ ＝2， ＝ ＝1，
∴AM∶MN∶NG＝3∶1∶2，∴MN＝ AG.
∵AB＝6，∠B＝60°，∴BE＝3，AE＝3 ，
在Rt△AEG中，AG＝ ＝ ＝3 ，
∴MN＝ ；
解图
在菱形ABCD中，∠BAD＝120°，AE⊥BC于点E，F为边AD的中
点，连接CF，M为CF的中点，连接AM并延长交CD于点N，交BC的
延长线于点G.
(4)在(3)的条件下，如图②，过点E作EP⊥AG，交AG于点Q，交AD于
点P，求证：FP＝PD；
图②
【思维教练】
由已知EP⊥AG，AE⊥EG进行导角可得△AEP∽△EGA，结合(3)中所求线段长，求得AP长，再求出对应线段长即可得.
证明：∵EP⊥AG，∴∠AEQ＋∠EAQ＝90°.
∵∠EAQ＋∠G＝90°，∴∠AEQ＝∠G.
又∵∠PAE＝∠AEG，∴△AEP∽△EGA，
∴ ＝ ，
由(3)知AE＝3 ，EG＝6，
∴ ＝ ，∴AP＝ ，
∴PD＝AD－AP＝6－ ＝ ，
∴PF＝AP－AF＝ －3＝ ，∴PD＝PF；
图②
在菱形ABCD中，∠BAD＝120°，AE⊥BC于点E，F为边AD的中点，连接CF，M为CF的中点，连接AM并延长交CD于点N，交BC的延长线于点G.
(5)如图③，连接BD交FC于点H，连接HN，求证：HN⊥BD.
图③
【思维教练】
设BD交AE于点K，由已知的中点条件，结合(2)所证得的矩形AECF，
进行线段数量关系转换，可得H为DK的中点，再由线段数量关系证得
△DKN∽△DBC，然后进行等角转换可得△KND为等腰三角形，由等腰
三角形三线合一性质即可得证.
(5)证明：如解图，设AE交BD于点K，连接NK，
由(2)知四边形AECF为矩形，
∴FH∥AK.
∵F为AD的中点，
∴H为DK的中点，
∴DH＝HK.
同理得BK＝KH，
∴ ＝2，
K
解图
又∵ ＝ ＝2，
∴ ＝ ，即 ＝ ，
∵∠KDN＝∠BDC，
∴△DKN∽△DBC，
∴KN∥BC.
∵AD∥BC，
∴∠ADB＝∠CBD＝∠CDB，
∴∠DKN＝∠KDN，
∴KN＝DN，∴NH⊥BD.
K
解图
安徽真题及变式
与矩形有关的证明与计算(10年2考)( 快答App·答疑
高频考点1 164次)
命题点
1
1. (2025池州模拟)如图，在矩形ABCD中，AB＝3，E是BC边上的一动
点，连接DE，AE，过点D作DF⊥AE，垂足为F，若DE＝ ，且
ED平分∠AEC，则BC的长为(　B　)
A. 4 B. 5
C. D. 2
B
2. (2025阜阳校级模拟)如图，在矩形ABCD中，边AB的长为3，点E，F
分别在AD，BC上，连接BE，DF，EF，BD. 若四边形BEDF是菱
形，且EF＝AE＋FC，则边BC的长为 .
3 　
【解析】∵四边形ABCD是矩形，四边形BEDF是菱形，
∴∠A＝90°，AD＝BC，DE＝BF，OE＝OF，EF⊥BD，∠EBO＝
∠FBO，∴AE＝FC.
∵EF＝AE＋FC，∴EF＝2AE＝2CF.
∵EF＝2OE＝2OF，∴AE＝OE，
∴Rt△ABE≌Rt△OBE，∴∠ABE＝∠OBE，
∴∠ABE＝∠EBD＝∠DBC＝30°，∴BE＝2AE，BA＝ AE＝3，∴AE＝ ，BE＝2 ，∴BF＝BE＝2 ，
∴CF＝AE＝ ，∴BC＝BF＋CF＝3 .
与菱形有关的证明与计算(仅2021.8考查)
命题点
2
3. (2021安徽8题4分·源自人教八上例题)如图，在菱形ABCD中，AB＝
2，∠A＝120°，过菱形ABCD的对称中心O分别作边AB，BC的垂
线，交各边于点E，F，G，H，则四边形EFGH的周长为(　A　)
A. 3＋ B. 2＋2
C. 2＋ D. 1＋2
A
与正方形有关的证明与计算(10年3考)
命题点
3
4. (2023安徽8题4分)如图，E在正方形ABCD的对角线AC上，EF⊥AB
于点F，连接DE并延长，交边BC于点M，交边AB的延长线于点G. 若
AF＝2，FB＝1，则MG＝(　B　)
A. 2 B.
C. ＋1 D.
B
【解析】∵四边形ABCD是正方形，∴BC⊥AB.
∵EF⊥AB，∴EF∥BC，∴ ＝ ＝ .
∵CD∥AG，∴∠DCE＝∠GAE.
∵∠DEC＝∠GEA，∴△DCE∽△GAE，∴ ＝ ＝ ，
∴AG＝2CD，∴点B为AG的中点，∴MB为△DAG的中位线.
∵AB＝2＋1＝3＝CD，∴AG＝2CD＝6，
在Rt△ADG中，DG＝ ＝3 ，∴MG＝ DG＝ .
5. (2022安徽14题5分)如图，四边形ABCD是正方形，点E在边AD上，
△BEF是以E为直角顶点的等腰直角三角形，EF，BF分别交CD于点
M，N，过点F作AD的垂线交AD的延长线于点G. 连接DF，请完成下
列问题：
(1)∠FDG＝ °；
45　
【解析】(1)∵△BEF是以E为直角顶点的等腰直角三角形，∴BE＝
FE，∠BEF＝90°.∵FG⊥AG，∴∠G＝90°，
∵四边形ABCD为正方形，∴∠A＝90°，∴∠A＝∠G.
∵∠AEB＋∠GEF＝∠GEF＋∠GFE＝90°，∴∠AEB＝∠GFE，∴△AEB≌△GFE(AAS)，∴AE＝GF，AB＝EG.
又∵AD＝AB，∴EG＝AD，∴DG＝AE，
∴DG＝GF，∴△DGF为等腰直角三角形，
∴∠FDG＝45°；
(2)若DE＝1，DF＝2 ，则MN＝ 　 　.
【点拨】①过点F作FO⊥CD于点O，则四边形DGFO为正方形，
②△EDM∽△FOM，△OFN∽△CBN，
③ ＝ ,
④MN＝OM＋ON .
　
∟
O
解图
【解析】(2)如解图，过点F作FO⊥CD于点O，则四边形DGFO为正方形.又∵DE＝1，DF＝2 ，
∴DG＝FG＝2，AD＝AE＋DE＝GD＋DE＝3，
∴DC＝AD＝BC＝AB＝EG＝3，OD＝OF＝2，
∴OC＝DC－DO＝1.
∵FO∥AG，∴△EDM∽△FOM，∴ ＝ ＝ ，∴OM＝ DO＝ .∵FO∥BC，∴△OFN∽△CBN，
∴ ＝ ＝ ，∴ ＝ ＝ ，∴ON＝ ，
∴MN＝OM＋ON＝ ＋ ＝ .
∟
O
解图(共20张PPT)
第五章　四边形(含多边形)
第20节　矩形、菱形与正方形
课时1　矩形、菱形与正方形的性质与判定
节前复习导图
矩形
正方形
菱形
温馨提示
矩形、菱形
与正方形的
性质与判定
特殊四边形的性质
判定
中点四边形
边
角
对角线
对称性
周长
面积
边
角
对角线
考点梳理
考点精讲
特殊四边形的性质　
图形 矩形 菱形 正方形
边 对边平行且相等 对边平行，四条边都相等 对边平行，四条边都相等
角 四个角都是直角 (或90°) 对角相等 四个角都是直角(或90°)
特殊四边形的性质　
图形 矩形 菱形 正方形
对角线 互相平分且相等 互相垂直平分，且平分一组对角 互相垂直平分且相等，平分一组对角
对称性 中心对称图形，轴对称图形，有2条对称轴 中心对称图形，轴对称图形，有2条对称轴 中心对称图形，轴对称图形，有4条对称轴
周长 C=2(a＋b) C=4a C=4a
面积 S=ab S=ah=mn S=a2=l2
判定
中点四边形
原图形 任意四边形 对角线相等的 四边形(如矩形) 对角线垂直的 四边形(如菱形) 对角线垂直且相等
的四边形(如正方形)
中点四边形形状 平行四边形 菱形 矩形 正方形
图示
基础题练考点
1. (沪科八下习题改编)如图，已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论
中不正确的是(　C　)
A. 当AB＝BC时，它是菱形
B. 当AC⊥BD时，它是菱形
C. 当∠ABC＝90°时，且AC＝BD，它是正方形
D. 当AC＝BD时，它是矩形
C
2. (2025滁州三模)如图，将菱形沿着对角线所在的直线l平移，若∠1＝
65°，则∠2的度数为(　B　)
A. 45° B. 50°
C. 55° D. 60°
B
3. (2025合肥瑶海区二模)如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，
AD＝12，DC＝5，则△AOB的周长是(　D　)
A. 13 B. 15
C. 17 D. 18
【解析】∵四边形ABCD是矩形，∴∠ADC＝90°，AO＝BO＝ AC，
∴△ACD是直角三角形.
∵AD＝12，DC＝5，∴在Rt△ACD中，AC＝ ＝13，
∴AO＋BO＝13，∴△AOB的周长是13＋5＝18.
D
4. (北师九上习题改编)如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝7，E是
边BC上一点，连接AE，DE，若AB＝BE，则DE的长为(　A　)
A. 5 B. 6
C. 7 D. 8
【解析】∵四边形ABCD是矩形，∴CD＝AB＝4，BC＝AD＝7，
∠ABC＝∠C＝90°.∵BE＝AB＝4，∴CE＝BC－BE＝3，
∴在Rt△DCE中，DE＝ ＝5.
A
5. (沪科八下习题改编)如图，已知E是正方形ABCD对角线AC上一点，
且AB＝AE，则∠DBE度数是(　C　)
A. 15° B. 32.5°
C. 22.5° D. 30°
【解析】∵AC，BD是正方形ABCD对角线，∴∠BAE＝∠ABD＝
45°.又∵AB＝AE，∴∠ABE＝∠AEB＝67.5°，∴∠DBE＝67.5°
－45°＝22.5°.
C
6. (人教八下习题改编)如图，四边形ABCD是菱形，AC＝6，BD＝8，
AH⊥BC于点H，则AH的长为(　C　)
A. 4 B. 4.5
C. 4.8 D. 5
C
【点拨】由菱形性质可知，CO＝ AC，BO＝ BD，AC⊥BO，再通过菱形的面积公式求出AH.
核心考点突破
特殊四边形的判定与性质相关证明及计算
(10年10考，常在几何综合题中考查)
例　 如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AE⊥BC，交CB的延长线于点E，CF⊥AD，交AD的延长线于点F.
(1)求证：四边形AECF为矩形；
一题多设问
证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AD∥BC.
∵AE⊥BC，CF⊥AD，∴AE⊥AD，CF⊥BC，
∴∠EAD＝∠E＝90°，∠F＝∠ECF＝90°，
∴四边形AECF是矩形；
在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AE⊥BC，交CB的延
长线于点E，CF⊥AD，交AD的延长线于点F.
(2)若∠BAE＝30°，菱形ABCD的面积为4 ，求菱形ABCD的边长；
解：∵∠BAE＝30°，由(1)知，∠EAF＝90°，∴∠DAB＝60°，
∴在菱形ABCD中，BD＝AB＝AD，∠OAB＝30°，
∴OA＝ OB，
即AC＝ BD，
∴S菱形ABCD＝ AC·BD＝ × BD2＝4 ，
解得BD＝2 ，
∴菱形ABCD的边长AB＝BD＝2 ；
在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AE⊥BC，交CB的延
长线于点E，CF⊥AD，交AD的延长线于点F.
(3)若∠ACE＝30°，BD＝2，求AF的长；
解：∵在菱形ABCD中，∠ACE＝30°，
∴∠BCD＝60°，即△BCD是等边三角形，
∴OC＝ BD＝ ，∴AC＝2OC＝2 ，
∴在Rt△AEC中，CE＝ AC＝3，
由(1)可知，四边形AECF为矩形，
∴AF＝CE＝3；
在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AE⊥BC，交CB的延
长线于点E，CF⊥AD，交AD的延长线于点F.
(4)若AE＝4，AF＝6，求 的值；
解：设BE＝x，
根据题意可知，AB＝BC＝6－x，
∴在Rt△AEB中，42＋x2＝(6－x)2，
解得，x＝ ，即BE＝ ，AB＝ .
∵在Rt△AEC中，AC＝ ＝2 ，
∴ ＝
在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AE⊥BC，交CB的延
长线于点E，CF⊥AD，交AD的延长线于点F.
(5)连接OE，若AE＝4，AD＝5，求tan∠OEC的值.
解：如图，连接OE，
∵四边形ABCD为菱形，∴AD＝AB＝BC＝5，AO＝CO.
易得在Rt△AEC中，OE＝OC，
∴∠OEC＝∠OCE，
在Rt△ABE中，AE＝4，∴BE＝ ＝3，
∴CE＝BE＋BC＝8，
∴tan∠OEC＝tan∠ACE＝ ＝ .
练习　(2025合肥包河区校级模拟)如图①，分别在正方形ABCD的边
AB，BC，CD，DA上截取相等的线段AE，BF，CG，DH，连接
EF，FG，GH，HE得四边形EFGH.
(1)求证：四边形EFGH是正方形；
图①
(1)证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC＝CD＝DA，∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，
∵AE＝BF＝CG＝DH，
∴AB－AE＝BC－BF＝CD－CG＝DA－DH，
∴BE＝CF＝DG＝AH，
在△AEH和△BFE和△CGF和△DHG中，
，
∴△AEH≌△BFE≌△CGF≌△DHG(SAS)，
∴HE＝EF＝FG＝GH，∠AEH＝∠BFE，
∴四边形EFGH是菱形，
在△BEF中，∠BEF＋∠BFE＝90°，
∵∠AEH＝∠BFE，
∴∠BEF＋∠AEH＝90°，
∴∠HEF＝180°－(∠BEF＋∠AEH)＝90°，
∴菱形EFGH是正方形；
图①
分别在正方形ABCD的边AB，BC，CD，DA上截取相等的线段AE，BF，CG，DH，连接EF，FG，GH，HE得四边形EFGH.
(2)如图②，连接EG，若AB＝7，BE＝3，求EG的长.
图②
(2)解：∵AB＝7，BE＝3，
∴AE＝AB－BE＝4，AH＝BE＝3，
在Rt△AEH中，由勾股定理得，HE＝ ＝ ＝5，
∵四边形EFGH是正方形，
∴HE＝GH＝5，∠EHG＝90°，
在Rt△EHG中，由勾股定理得，EG＝ ＝ ＝5 .

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