资源简介 (共24张PPT)第三章 函 数第11节 二次函数课时2 提升课 函数图象与系数的关系核心考点突破类型一 由系数判断函数图象(10年2考：2023.9，2017.9)一、已知函数图象→得出系数正负→判断新函数图象(仅2023.9考查)例1 已知反比例函数y＝ (k≠0)的图象如图所示，则二次函数y＝－kx2＋2x＋2k的图象大致为( A )A1. 已知函数图象→得出系数正负→判断新函数图象要点：已知函数图象，判断新函数图象时，要充分挖掘图象信息.二、分类讨论系数→判断两个函数图象例2 (沪科九上练习题改编)一次函数y＝－ax＋b(a≠0)与二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)在同一平面直角坐标系中的图象可能是( B )B【解析】A. 根据一次函数图象可知，a＜0，b＞0，∴抛物线开口向下，－ ＞0，抛物线的对称轴直线x＝－ ＞0，A选项不符合题意；B. 根据一次函数图象可知，a＜0，b＞0，∴抛物线开口向下，－ ＞0，抛物线的对称轴直线x＝－ ＞0，B选项符合题意；C. 根据一次函数图象可知，a＜0，b＜0，∴抛物线开口向下，－ ＜0，抛物线的对称轴直线x＝－ ＜0，C选项不符合题意；D. 根据一次函数图象可知，a＞0，b＞0，抛物线开口向上，D选项不符合题意.2. 分类讨论系数→判断两个函数图象判断每个选项中一次函数与二次函数系数的正负，当两函数中a，b正负一致时，一次函数与二次函数的图象在同一平面直角坐标系.三、通过解析式加减判断函数图象(仅2017.9考查)例3 (2023安徽9题4分)已知反比例函数y＝ (k≠0)在第一象限内的图象与一次函数y＝－x＋b的图象如图所示，则函数y＝x2－bx＋k－1的图象可能为( A )A一题多解法解法一：【解析】由题图可得，直线与反比例函数图象交于(1，k)和(k，1)，将(1，k)代入y＝－x＋b，得k＝－1＋b，即b＝k＋1，∵当x＝1时，y＝ ＝k＞1，∴b＞2，令－x＋b＝ ，整理，得－x2＋bx＝k，令y1＝－x2＋bx－k，由题意得y1与x轴交点中，左侧交点的横坐标为1，抛物线的开口向下，对称轴为直线x＝ ＞1，∵y＝x2－bx＋k－1＝－y1－1，即将y1的函数图象先关于x轴对称，再向下平移1个单位长度，∴y＝x2－bx＋k－1的函数图象开口向上，与x轴交点中，左侧交点的横坐标小于1，对称轴为直线x＝ ＞1，将x＝0代入y＝x2－bx＋k－1中，得y＝k－1＞0，∴抛物线不经过原点，∴选项A符合题意.例3 ( 快答App·答疑高频试题548次)(2023安徽9题4分)已知反比例函数y＝ (k≠0)在第一象限内的图象与一次函数y＝－x＋b的图象如图所示，则函数y＝x2－bx＋k－1的图象可能为( A )A一题多解法解法二：【解析】由题图可知，当x＝1时，y＞1，∴k＞1，∵一次函数图象与y轴的交点在正半轴，∴b＞0，∴二次函数图象的对称轴为直线x＝ ＞0，∵反比例函数图象与一次函数图象左侧交点的横坐标为1，∴k＝b－1，∴二次函数y＝x2－bx＋b－2，当x＝1时，y＝－1＜0，当x＝0时，y＝b－2＝k－1＞0，∴选项A符合题意.例3 (2023安徽9题4分)已知反比例函数y＝ (k≠0)在第一象限内的图象与一次函数y＝－x＋b的图象如图所示，则函数y＝x2－bx＋k－1的图象可能为( A )A一题多解法解法三：【解析】令y＝x2－bx＋k－1＝0，得x2－bx＝1－k，等式可变形为－x＋b＝ ，由题图可得函数y＝－x＋b与y＝ 的图象左侧交点的横坐标为1，根据反比例函数的性质可得｜k｜越小，距坐标轴的距离越近，∴函数y＝ 与y＝－x＋b的图象左侧的交点坐标在0到1之间，即函数y＝x2－bx＋k－1的图象与x轴交点中，左侧交点的横坐标在0到1之间，∴选项A符合题意.3. 通过解析式加减判断函数图象第一步：将复合函数或方程用已知的单一函数表示；第二步：结合函数图象的交点判断系数正负：复合函数 解题思路y＝0 观察函数图象与x轴的交点的横坐标y1－y2＝0 观察函数y1与y2图象交点的横坐标y1＋y2＝0 观察函数y1与y2关于x轴对称的函数图象交点的横坐标第三步：根据系数正负判断所求函数图象.类型二 二次函数图象与系数a，b，c之间的关系(仅2025.9考查)例4 如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，其对称轴为直线x＝1.根据图象，分析并判断下列结论，用“＞”“≥”“＜”“≤”或“＝”填空.【基础设问】(1)根据图象判断a，b，c类①a 0，b 0，c 0；②abc 0；(2)当x＝±1，±2类①a＋b＋c 0；②4a－2b＋c 0；＞ ＜ ＜ ＞ ＜ ＞ (3)当a，b，c三个缺一个类①2a＋b 0；②c－a 0；③2c－3b 0；＝ ＜ ＜ (4)b2－4ac类b2－4ac 0；＞ 【拓展设问】(5)①(a＋c)2 b2；②若m为任意实数，则有a＋b m(am＋b).＞ ≤ 如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，其对称轴为直线x＝1方法解读1. 根据二次函数图象判断相关结论a的 符号 观察图象开口方向：开口向上→a＞0；开口向下→a＜0b的 符号 观察对称轴位置：对称轴是y轴→b＝0；对称轴在y轴左侧→a，b同号；对称轴在y轴右侧→a，b异号(简记：左同右异)c的 符号 观察与y轴的交点位置：在y轴正半轴→c＞0；是原点→c＝0；在y轴负半轴→c＜0b2－4ac 的符号 观察与x轴的交点个数：与x轴有两个交点→b2－4ac＞0；与x轴有一个交点→b2－4ac＝0；与x轴没有交点→b2－4ac＜02. 二次函数图象与特殊代数式之间的关系(1)如遇见2a＋b，2a－b类的式子，可利用对称轴与±1比较进行判断；(2)如遇见a＋b＋c，a－b＋c类的式子，可利用x＝±1时求出y值的大小关系进行判断；(3)如遇见只有a，c或b，c关系的式子，可利用对称轴的大小关系与x取某个特殊值时y的式子联立进行判断，如2a＋c，b＋c等；(4)如遇见含有系数平方形式的式子，如(a＋c)2＜b2，先因式分解，再利用x取某两个特殊值时y的式子联立进行判断，如(a＋c)2＜b2，转化为(a＋c－b)(a＋c＋b)＜0的形式.练习1 (沪科九上习题改编)反比例函数y＝ (a≠0)与二次函数y＝ax2在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是( D )D练习2 (沪科九上练习改编)在同一平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2(a≠0)与一次函数y＝bx＋c(b≠0)的图象如图所示，则二次函数y＝ax2－bx－c的图象可能是( A )A练习3 (2017安徽9题4分)已知抛物线y＝ax2＋bx＋c与反比例函数y＝的图象在第一象限有一个公共点，其横坐标为1，则一次函数y＝bx＋ac的图象可能是( B )B【解析】∵抛物线y＝ax2＋bx＋c与反比例函数y＝ 图象的交点的横坐标为1，且交点在第一象限，∴b＞0，将x＝1代入反比例函数表达式可得y＝ ＝b＞0，∴交点坐标为(1，b)，将(1，b)代入抛物线表达式可得b＝a＋b＋c，∴a＋c＝0，∴a，c互为相反数，故ac＜0，∴对于直线y＝bx＋ac，b＞0，ac＜0，∴图象过第一、三、四象限.练习4 (2025安徽9题4分)已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，则( C )A. abc＜0 B. 2a＋b＜0C. 2b－c＜0 D. a－b＋c＜0C【点拨】①观察图象可以得出a＞0，c＜0；②根据对称轴可得b＜0.【解析】由题意可知，抛物线开口向上，故a＞0，抛物线对称轴在y轴右侧，故－ ＞0，∴b＜0，抛物线与y轴交于负半轴，故c＜0，∴abc＞0，故选项A错误；由题图可得抛物线对称轴在直线x＝1左侧，∴－＜1，∴－b＜2a，∴2a＋b＞0，故选项B错误；由图象可知，当x＝2时，y＝0，∴4a＋2b＋c＝0，∴c＝－4a－2b，∴2b－c＝2b＋4a＋2b＝4(a＋b)，由题图可得抛物线对称轴在直线x＝ 右侧，∴－ ＞ ，∴a＋b＜0，∴2b－c＜0，故选项C正确；由图象可知，当x＝－1时，y＞0，∴a－b＋c＞0，故选项D错误.(共17张PPT)第三章 函 数第10节 反比例函数课时1 反比例函数的图象与性质节前复习导图反比例函数的图象与性质反比例函数的图象与性质k的几何意义反比例函数解析式的确定k的取值范围图象图象特征所在象限增减性对称性k的几何意义计算与反比例函数图象上的点有关的图形面积待定系数法利用k的几何意义考点精讲定义：形如y=(k为常数，且k≠0)的函数，其中横纵坐标的乘积为常数，即xy=k反比例函数的图象与性质考点梳理k的取值范围 k＞0 k＜0图象 (草图)图象特征 图象无限接近坐标轴，但不与坐标轴相交 所在象限 第一、三象限(x，y同号) 第二、四象限(x，y异号)增减性 在每一象限内，y随x的增大而减小 在每一象限内，y随x的增大而增大对称性 关于直线y=x，y=－x对称，且关于原点O中心对称反比例函数的图象与性质【温馨提示】(1)判断某个点是否在反比例函数图象上，只需判断该点的横纵坐标之积是否等于k即可 (2)对于反比例函数图象上几个点的横坐标或纵坐标的大小比较，若在同一象限内，通过增减性比较；若不在同一象限内，通过判断横纵坐标的正负即可k的几何意义 1.k的几何意义：如图，设P(a，b)是反比例函数y=图象上任意一点，过点P 作PM⊥x轴于点M，PN⊥y轴于点N，则S矩形PNOM=PM PN=|b| |a|=|ab|=|k|2.计算与反比例函数y=(k≠0)图象上的点有关的图形面积：S△APP′= S△ABP=|k| S△OBP=|k| S△AOP= |k| 2|k|2.利用k的几何意义：题中已知面积时，考虑利用k的几何意义，由图形面积求出|k|，再根据函数图象所在象限判断k的符号，确定k值，即可得到解析式y=反比例函数解析式的确定1.待定系数法(1)设出反比例函数解析式为y=(k≠0)(2)找出在反比例函数图象上的一点P(a，b)(3)将P(a，b)代入解析式得k=ab(4)确定反比例函数解析式为y=基础题练考点1. 若反比例函数y＝ (k≠0)的图象经过第二、四象限，则点(k，3)在( B )A. 第一象限 B. 第二象限C. 第三象限 D. 第四象限【解析】∵反比例函数y＝ (k≠0)的图象经过第二、四象限，∴k＜0，∴点(k，3)在第二象限.B2. (2025阜阳一模)若正比例函数y＝－2x与反比例函数y＝ 的图象的一个交点坐标为(－1，2)，则另一个交点的坐标为( B )A. (2，－1) B. (1，－2)C. (－2，－1) D. (－2，1)【解析】∵正比例函数与反比例函数的图象均关于原点对称，∴两函数图象的两个交点关于原点对称，∵一个交点的坐标是(－1，2)，∴另一个交点的坐标是(1，－2).B3. (沪科九上习题改编)一次函数y＝kx＋k(k≠0)和反比例函数y＝ 的图象在同一平面直角坐标系中的图象可能是( C )【解析】当k＞0时，一次函数的图象经过第一、二、三象限，反比例函数的图象经过第一、三象限；当k＜0时，一次函数的图象经过第二、三、四象限，反比例函数的图象经过第二、四象限，∴选项C满足.C4. (沪科九上练习改编)若点A(－3，y1)，B(－1，y2)，C(4，y3)都在反比例函数y＝ 的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是( B )A. y3＜y2＜y1 B. y2＜y1＜y3C. y1＜y3＜y2 D. y3＜y1＜y2【解析】将点A(－3，y1)，B(－1，y2)，C(4，y3)分别代入y＝ ，得y1＝－ ，y2＝－4，y3＝1，∴y2＜y1＜y3.B5. 已知反比例函数y＝ (k≠0)，请回答下列问题：(1)若点(2，4)在该反比例函数的图象上，则该函数解析式为 ；y＝ (2)如图，在平面直角坐标系中，P是反比例函数y＝ (x＜0)图象上的一点，过点P分别作PA⊥x轴于点A，PB⊥y轴于点B，若四边形PAOB的面积为6，则k的值为 .－6 核心考点突破反比例函数的图象与性质(10年9考，多结合一次函数、几何图形考查)例 已知反比例函数y＝ (k≠0).(1) 若点A(1，－3)关于x轴的对称点A'在该函数图象上，则k的值为 ；(2019安徽5题考查)【解析】∵点A(1，－3)和点A'关于x轴对称，∴A'(1，3).∵点A'在反比例函数y＝ 的图象上，∴k＝1×3＝3.3 一题多设问核心考法(2)若点(－2，3)，(1，n)在该反比例函数的图象上，则n的值为 ；【解析】∵点(－2，3)在该反比例函数的图象上，∴k＝－2×3＝－6，∴该反比例函数的解析式为y＝－ ，将(1，n)代入，得n＝－6.(3)若点(a，－1)，(b，－4)在该反比例函数的图象上，且在第三象限内，则a b；(填“＞”“＜”或“＝”)【解析】∵点(a，－1)，(b，－4)在该反比例函数的图象上，且在第三象限内，∴y随x的增大而减小.∵－1＞－4，∴a＜b.－6＜ 例 已知反比例函数y＝ (k≠0).(4)若k＝4，点(x1，4)，(x2，－1)，(x3，2)都在反比例函数y＝ 的图象上，则x1，x2，x3的大小关系是 ；(用“＜”连接)【点拨】方法一：分别将三点带入反比例函数y＝中，求出x1，x2，x3然后进行比较.方法二：反比例函数x、y同号，所以x2＜0，x1＞0，x3＞0，利用反比例函数的增减性，进而比较x1和x3的值.x2＜x1＜x3 例 已知反比例函数y＝ (k≠0).(5)若A(x1，y1)，B(x2，y2)是反比例函数y＝ (k＞0)图象上的两点，且x1＜x2，y1＜y2，则点A位于第 象限，点B位于第 象限；(6)已知反比例函数y＝ 的图象与直线y＝mx相交于C，D两点，点D的坐标为(1，6)，则点C坐标为 ；【解析】易得点C与点D关于原点对称，∵D点的坐标为(1，6)，∴C点的坐标为(－1，－6).三 一 (－1，－6) 例 已知反比例函数y＝ (k≠0).(7) 如图，P是该函数图象上一点，过点P作PA⊥y轴于点A，点B是点A关于x轴的对称点，连接PB，若△PAB的面积为18，则k的值为 .18 一题多解法解法一：【解析】如图，连接OP. ∵点B是点A关于x轴的对称点，∴OA＝OB，∴S△AOP＝S△POB＝ S△PAB.∵S△PAB＝18，∴S△AOP＝9，∴｜k｜＝18.∵反比例函数的图象在第三象限，∴k＝18.例 已知反比例函数y＝ (k≠0).解法二：【解析】如解图，过点P作PC⊥x轴于点C，设BP交x轴于点D，则PC＝AO＝BO.∵∠CDP＝∠ODB，∠PCD＝∠BOD，∴△PCD≌△BOD，∴S△PCO＝S△BOD.∵S△PAB＝18，∴S矩形AOCP＝S△PAB＝18，∴｜k｜＝18.∵反比例函数的图象在第三象限，∴k＝18.(7) 如图，P是该函数图象上一点，过点P作PA⊥y轴于点A，点B是点A关于x轴的对称点，连接PB，若△PAB的面积为18，则k的值为 .18 一题多解法∟C例 已知反比例函数y＝ (k≠0).解图(共27张PPT)第三章 函 数第10节 反比例函数课时2 提升课 反比例函数与一次函数、几何图形综合核心考点突破一、反比例函数与一次函数综合(10年6考)例1 (沪科九上习题改编)如图，一次函数y＝kx＋b的图象与反比例函数y＝ 的图象交于点A(－1，6)，B(，a－3).(1)求反比例函数与一次函数的解析式；解：(1)∵反比例函数y＝ 的图象过点A(－1，6)，∴将(－1，6)代入y＝ 中，得6＝ ，解得m＝－6，∴反比例函数的解析式为y＝－ .∵点B在反比例函数图象上，∴将点B的坐标代入y＝－ 中，得a－3＝－ ，解得a＝1，∴B(3，－2)，将(－1，6)，(3，－2)分别代入y＝kx＋b中，得 解得∴一次函数的解析式为y＝－2x＋4；如图，一次函数y＝kx＋b的图象与反比例函数y＝ 的图象交于点A(－1，6)，B(，a－3).(2)〔求三角形面积〕过点B作BE∥x轴交y轴于点E，连接AE，求△AEB的面积；解：由(1)得B(3，－2)，∵BE∥x轴交y轴于点E，∴BE＝3，E(0，－2).∵A(－1，6)，∴S△AEB＝ BE·(yA－yB)＝12；方法解读求几何图形面积：通常将坐标轴上的边或与坐标轴平行的边作为底边，再利用点的坐标求得底边上的高，最后利用面积公式求解.常见图形如下：①S△AOB＝ OB·AD；如图，一次函数y＝kx＋b的图象与反比例函数y＝ 的图象交于点A(－1，6)，B(，a－3).(3)〔面积比例关系〕连接OA，OB，点M在x轴上，若S△OAM＝3S△OAB，求点M的坐标；解：设一次函数y＝kx＋b的图象与y轴交于点D，由(1)得B(3，－2)，D(0，4)，∵A(－1，6)，∴S△OAB＝S△AOD＋S△BOD＝ ×4×1＋ ×4×3＝8，设点M的坐标为(n，0)，∴S△OAM＝ ×6·｜n｜＝3｜n｜.∵S△OAM＝3S△OAB，∴3｜n｜＝3×8，解得n＝－8或n＝8，∴点M的坐标为(－8，0)或(8，0)；②S△ADB＝S△ACD＋S△BDC；③S△AOB＝S△ACO＋S△BOC＝S△ADO＋S△BDO.方法解读如图，一次函数y＝kx＋b的图象与反比例函数y＝ 的图象交于点A(－1，6)，B(，a－3).(4)〔线段相等〕连接OA，在x轴上是否存在一点G，使得OA＝GA. 若存在，求出点G的坐标；若不存在，请说明理由；(2016安徽20题考查)解：存在，设点G的坐标为(g，0)，∵A(－1，6)，∴GA＝ ，∵OA＝ ＝ ，OA＝GA，∴ ＝ ，解得g＝－2或g＝0(舍去)，∴点G的坐标为(－2，0)；如图，一次函数y＝kx＋b的图象与反比例函数y＝ 的图象交于点A(－1，6)，B(，a－3).(5) 若C(x1，y1)，D(x2，y2)是该反比例函数图象上两点，且x1＜x2，y1＞y2，指出点C，D各位于哪个象限，并简要说明理由.(2015安徽21题考查)解：点C在第二象限，点D在第四象限.理由如下：由题知反比例函数图象在第二、四象限内，因此应分情况讨论：①若x1＜x2＜0，点C，D在第二象限分支上，则y1＜y2，不符合题意；核心设问②若0＜x1＜x2，点C，D在第四象限分支上，则y1＜y2，不符合题意；③若x1＜0＜x2，点C在第二象限，点D在第四象限，则y2＜0＜y1，符合题意，∴点C在第二象限，点D在第四象限.二、反比例与几何图形综合(10年2考)例2 (一题多解法)如图，已知反比例函数y1＝ (x＞0)，y2＝ (x＞0)，P为反比例函数y2＝ 图象上的一点，且PA⊥x轴于点A，PB⊥y轴于点B，PA，PB分别交反比例函数y1＝ 的图象于D，C两点，连接CD，则△PCD的面积是 . 解法一：【解析】由题可知yB＝yc＝yp，xA＝xD＝xP，∵点P在反比例函数y2＝ 的图象上，点D，C在反比例函数y1＝ 的图象上，∴yP＝，yC＝ ，yD＝ ，∴xP＝4xC，yp＝4yD. 设BC＝a，AD＝b，∴BP＝4a，PC＝3a，PA＝4b，PD＝3b，∴C(a，4b)，∴a×4b＝1，∴ab＝ ，S△PCD＝ PC·PD＝ ·3a·3b＝ .方法解读一、坐标法由y＝ (k≠0)得到xy＝k，如：点A(xA，yA)，B(xB，yB)在反比例函数y＝ 的图象上，则xA·yA＝xB·yB＝k①，①式变形为 ＝ ②，即反比例函数图象上两点横坐标之比等于对应的纵坐标之“反比”.例2 (一题多解法)如图，已知反比例函数y1＝ (x＞0)，y2＝ (x＞0)，P为反比例函数y2＝ 图象上的一点，且PA⊥x轴于点A，PB⊥y轴于点B，PA，PB分别交反比例函数y1＝ 的图象于D，C两点，连接CD，则△PCD的面积是 . 解法二：【解析】如解图，过点C作CE⊥AO于点E，过点D作DH⊥OB于点H，交CE于点F，∴根据题意易得四边形CFDP，四边形BOEC和四边形PBOA都为矩形，∵点P在反比例函数y2＝ 的图象上，点D，C在反比例函数y1＝ 的图象上，∴S矩形PBOA＝4，S矩形BOEC＝1，∴PB＝4BC，同理得PA＝4AD，∴S矩形CFDP＝PB· PA＝ ，∴S△PCD＝ S矩形CFDP＝ .解图二、面积法面积法的本质即利用“k”的几何意义，由xy＝k可以得到；反比例函数图象上的点向x，y轴作垂线，得到的矩形面积都相等，均为｜k｜；进而得到下图中：S△AOB＝S△COD＝ ｜k｜.方法解读练习 (一题多解法)如图，已知反比例函数y＝(x＞0)的图象经过Rt△OAB斜边OB的中点D，与直角边AB相交于点C，DE⊥OA于点E，连接OC，若△OBC的面积为3，则k等于 .2 解法一：【解析】∵DE⊥OA，BA⊥OA，∴DE∥AB，∵D是OB的中点，∴OE＝ OA，DE＝ AB，∴ ＝ ＝2，又∵点C，D都在y＝ 的图象上，∴ ＝ ＝2，即DE＝2AC，∴AB＝4AC，∴BC＝3AC，∴S△OBC＝ BC·OA＝ ·3AC·OA＝ k＝3，∴k＝2.解法二：【解析】∵点C，D都在y＝ 的图象上，∴S△ODE＝S△OCA＝，易得△ODE∽△OBA，且相似比 ＝ ，∴ ＝ ，∴S△OBA＝4S△ODE＝2k，又∵S△OBA＝S△OBC＋S△OCA＝3＋ k，∴2k＝3＋ k，∴k＝2.练习 (一题多解法)如图，已知反比例函数y＝(x＞0)的图象经过Rt△OAB斜边OB的中点D，与直角边AB相交于点C，DE⊥OA于点E，连接OC，若△OBC的面积为3，则k等于 .2 安徽真题及变式反比例函数与一次函数综合(10年6考)( 快答App·答疑高频考点3 468次)命题点11. (2020安徽13题5分)如图，一次函数y＝x＋k(k＞0)的图象与x轴和y轴分别交于点A和点B，与反比例函数y＝ 的图象在第一象限内交于点C，CD⊥x轴，CE⊥y轴，垂足分别为点D，E.当矩形ODCE与△OAB的面积相等时，k的值为 .2 变式1.1 变条件——变为面积的2倍关系如图，一次函数y＝x＋k(k＞0)的图象与x轴和y轴分别交于点A和点B，与反比例函数y＝ 的图象在第一象限内交于点C，CD⊥x轴，CE⊥y轴，垂足分别为D，E. 若S矩形ODCE＝2S△OAB，则k的值为 .1 2. (2025安徽18题8分)如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝ax＋4(a≠0)与反比例函数y＝ (k≠0)的图象交于A，B两点.已知点A和B的横坐标分别为6和2.(1)求a与k的值；解：(1)由题意，得解得 (4分)在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝ax＋4(a≠0)与反比例函数y＝(k≠0)的图象交于A，B两点.已知点A和B的横坐标分别为6和2.(2)设直线AB与x轴、y轴的交点分别为C，D，求△COD的面积.(2)解：由(1)知直线AB对应的一次函数表达式为y＝－ x＋4，令y＝0，得x＝8，所以OC＝8，令x＝0，得y＝4，所以OD＝4，故△COD的面积为 OC·OD＝ ×8×4＝16.(8分)反比例函数与几何图形综合(10年2考)命题点23. (2022安徽13题5分)如图， OABC的顶点O是坐标原点，A在x轴的正半轴上，B，C在第一象限，反比例函数y＝ 的图象经过点C，y＝(k≠0)的图象经过点B. 若OC＝AC，则k＝ .3 【点拨】①过点C作CD⊥x轴于点D，CF⊥y轴于点F，过点B作BE⊥x轴于点E，②Rt△OCD≌Rt△ABE(HL)；【解析】如解图，过点C作CD⊥x轴于点D，CF⊥y轴于点F，过点B作BE⊥x轴于点E，∴四边形ODCF为矩形，∴S△COD＝S△OCF＝ .∵OC＝AC，∴S△COD＝S△CAD＝ ，∴S△OAC＝1.∵四边形OABC为平行四边形，∴S△ABC＝S△OAC＝1.∵∠CDO＝∠BEA＝90°，AB＝OC，CD＝BE，∴Rt△OCD≌Rt△ABE(HL)，∴S△ABE＝S△COD＝ ，∴S矩形FBEO＝2S△COD＋2S△OAC＝3＝｜k｜，由图象知，k＞0，∴k＝3.∟D∟E∟F解图(2)若∠OAB＝∠ACB＝90°，k＝3 ，则点B的坐标为 .(3 ，1)【解析】(2)如解图，过点B作BE⊥x轴于点E，∵∠OAB＝90°，∠OAC＝60°，∴∠CAB＝30°.∵∠ACB＝90°，∴AC＝ BC. 设BC＝a，则AC＝ a，∴OC＝ a，∴OD＝ OC＝ a，AD＝ OD＝ a，∴点A( a， a).∵点A在反比例函数y＝ (x＞0)的图象上，∴ a× a＝3 ，解得a＝2或a＝－2(舍去)，∴BC＝2，∴AC＝OC＝2 .∵∠ACO＝60°，∠ACB＝90°，∴∠BCE＝30°，∴BE＝ BC＝1，CE＝ BE＝ ，∴OE＝OC＋CE＝2 ＋ ＝3 ，∴B(3 ，1).∟D∟Ey＝ (k≠0，x＞0)△OAC是等边三角形解图4. 如图，反比例函数y＝ (k≠0，x＞0)的图象过△ABC的顶点A，B，点C在x轴的正半轴上，连接OA，已知△OAC是等边三角形.(1)若OA＝4，则k的值为 ；4 【解析】(1)如解图，过点A作AD⊥x轴于点D，∵△OAC是等边三角形，∴AC＝OC＝OA＝4，∴OD＝CD＝ OC＝2.∵∠DAC＝ ∠OAC＝30°，∴AD＝ DC＝2 ，∴A(2，2 ).∵点A在反比例函数y＝ (x＞0)的图象上，∴k＝2×2 ＝4 ；∟D解图(共22张PPT)第三章 函 数第9节 一次函数的图象与性质节前复习导图上加下减、左加右减一次函数的图象与性质一次函数的图象与性质一次函数图象的平移一次函数解析式的确定一次函数与方程(组)、不等式的关系一次函数k决定图象倾斜方向和增减性b决定图象与y轴的交点位置大致图象经过的象限与坐标轴的交点坐标方法步骤图示函数图象交点情况方程组解的情况不等式解集的情况考点精讲考点梳理一次函数的图象与性质一次函数 y=kx＋b(k，b为常数，k≠0)(特别地，当b=0时，y=kx为正比例函数，正比例函数的图象经过原点) k决定函数图象倾斜方向和增减性 k＞0 k＜0 函数图象从左向右呈上升趋势“/”，y随x的增大而________函数图象从左向右呈下降趋势“\”，y随x的增大而_______增大 减小一次函数的图象与性质b决定函数图象与y轴的交 点位置 b＞0 交点在y轴正半轴上 b=0 交 点即原点 b＜0 交点在y轴负半轴上 b＞0 交点在y轴正半轴上 b=0 交 点即原点 b＜0 交点在y轴负半轴上大致图象 _________ __________经过 的象限 __________________ _______ __________________ __________________ _______ __________________与坐标轴的交点坐标 与x轴交于点 (即令y=0)，与y轴交于点 (即令x=0)一、二、三 一、三 一、三、四一、二、四 二、四 二、三、四(－，0) (0，b) 位置关系 两直线平行 两直线垂直 两直线相交 系数关系 k1=k2 k1 k2=－1 k1＋k2=0 k1=－k2，b1=b2 k1=－k2，b1=－b2图象 两直线关于l1，l2均对称 两直线关于y 轴对称两直线关于x轴对称【知识拓展】两条直线(y1和y2)在同一平面内的位置关系一次函数的图象与性质一次函数图象的平移平移前解析式 要领 平移方式(m＞0) 平移后解析式 口诀y=kx＋b (k≠0) 左、右平移变x 向左平移m个单位长度 y=k(x＋m)＋b x左加右减，等号右边整体上加下减向右平移m个单位长度 y=k(x－m)＋b 上、下平移变等号右边的整体 向上平移m个单位长度 y=kx＋b＋m 向下平移m个单位长度 y=kx＋b－m1.设：设出一次函数解析式y=kx＋b(k≠0)2.找：找出在一次函数图象上的两个点，并将其坐标代入函数解析式，从而得到二元一次方程组3.解：解这个方程组，得到k，b的值4.还原：把求得的k，b的值代入y=kx＋b，写出函数解析式一次函数解析式的确定方法：待定系数法步骤一次函数与方程(组)、不等式的关系图示函数图象 交点情况 直线y=kx＋b与直线y=m的交点的横坐标为____ 直线y=kx＋b与直线y=k1x＋b1的交点坐标为(p，q)方程组解 的情况 方程kx＋b=m的解为______ 方程组 的解为不等式解 集的情况 不等式kx＋b＞m的解集为 ___________ 不等式kx＋b＜m的解集为 ____________ 不等式kx＋b＞k1x＋b1的解集为________不等式kx＋b＜k1x＋b1的解集为_________kx＋b=y，k1x＋b1=yx=p，y=qp x=px＞p x＜px＞p x＜p基础题练考点1. (人教八下复习题改编)若函数y＝－2x＋k－3(k为常数)是正比例函数，则k的值是( C )A. 1 B. 2C. 3 D. 4【解析】由题意，得k－3＝0，解得k＝3.C2. (北师八上复习题改编)若k＞0，b＜0，则y＝kx＋b的图象可能是( B )B3. (沪科八上习题改编)已知一次函数y＝3x－b的图象经过点(1，－3)，回答下列问题：(1)该一次函数的解析式为 ；(2)该一次函数的图象不经过第 象限；(3)该一次函数的图象与x轴的交点A的坐标为 ，与y轴的交点B的坐标为 ，△AOB的面积为 ；(4)当－1≤x≤3时，y的取值范围是 ；当－2≤y≤4时，x的取值范围是 .y＝3x－6 二 (2，0) (0，－6) 6 －9≤x≤3 ≤x≤ 4. (沪科八上习题改编)在平面直角坐标系xOy中，函数y＝－2x＋3和y＝ax＋b(a≠0)的图象如图所示，回答下列问题：(1)关于x的方程ax＋b＝0的解为 ，关于x的不等式ax＋b＜0的解集为 ；x＝3 x＜3 (2)关于x，y的二元一次方程组 的解是 ；【解析】二元一次方程组 可转化为 观察图象可得，函数y＝－2x＋3和y＝ax＋b的图象的交点的纵坐标为－1，将y＝－1代入y＝－2x＋3，得x＝2，∴这两个函数图象的交点坐标为(2，－1)，∴二元一次方程组的解为 (3)关于x的不等式ax＋b＜－2x＋3的解集为 .x＜2 核心考点突破一、一次函数的图象与性质(10年4考)例1 已知一次函数y＝kx＋b(k，b为常数，k≠0)，请解答下列问题：(1) 一次函数的图象经过点M(1，2)，且y随x的增大而增大，若点N在该函数的图象上，则点N的坐标可以是( D )(2025安徽7题考查)A. (－2，2) B. (2，1)C. (－1，3) D. (3，4)D核心考法(2) 若b＝k2，则一次函数y＝kx＋b与y＝k2x＋k的图象可能是( D )(2022安徽9题考查)D核心考法例1 已知一次函数y＝kx＋b(k，b为常数，k≠0)，请解答下列问题：(3)若点(－2，－1)，(1，－7)是该一次函数图象上的点，则下列各点在一次函数图象上的是 ；①(－2，－5)，②(－1，－3)，③(0，－1)，④(1，－5)(4)若k＞0，点A(x1，y1)，B(x2，y1－2)是一次函数图象上的两点，则x1 x2.(填“＞”“＜”或“＝”)② ＞ 例1 已知一次函数y＝kx＋b(k，b为常数，k≠0)，请解答下列问题：题后反思一次函数y1＝kx＋b的图象是由直线y＝－x平移得到的，且过点(2，3).若点A(t，yA)是一次函数y1＝kx＋b图象上一点，点B(t－1，yB)在一次函数y2＝2x的图象上，试证明：无论t取何值，yA＋ yB为定值.证明：∵直线y1＝kx＋b是由直线y＝－x平移得到的，且过点(2，3)，∴直线y＝－x向右平移2个单位长度，向上平移3个单位长度得到直线y1＝kx＋b，∴一次函数y1＝－(x－2)＋3＝－x＋5.∵点A(t，yA)是直线y1＝－x＋5上一点，∴yA＝－t＋5.∵点B(t－1，yB)在直线y2＝2x上，∴yB＝2(t－1)＝2t－2，∴yA＋ yB＝－t＋5＋ (2t－2)＝4，∴无论t取何值，yA＋ yB为定值4.二、一次函数解析式的确定(10年7考)例2 (沪科八上习题改编)已知一次函数y＝kx＋b(k，b为常数，k≠0)的图象经过(0，1)，(1，3)两点.(1)〔待定系数法求解析式〕该一次函数的解析式为 ；【点拨】将(0，1)，(1，3)分别代入y＝kx＋b，得到二元一次方程组，求解.y＝2x＋1 (2)〔平移求解析式〕将该函数图象向下平移3个单位长度，得到的函数图象的解析式为 ；(3)〔根据图象位置关系求解析式〕与该函数图象平行且过点(－1，－5)的一次函数的解析式为 .y＝2x－2 y＝2x－3 例2 (沪科八上习题改编)已知一次函数y＝kx＋b(k，b为常数，k≠0)的图象经过(0，1)，(1，3)两点.题后反思〔利用k，b的几何意义求解析式〕如图，已知点A的坐标为(5，0)，直线y＝x＋b与x轴交于点C，与y轴交于点B，连接AB，α＝75°，求b的值.解：令x＝0，则y＝b，∴B(0，b)；令y＝0，则x＝－b，∴C(－b，0)，∴OB＝OC＝b，∴∠BCO＝45°.∵α＝∠BCO＋∠BAO＝75°，∴∠BAO＝30°.∵点A(5，0)，∴OA＝5，∴b＝OB＝OA·tan∠BAO＝ .方法解读在一次函数y＝kx＋b(k≠0)中，b的几何意义：直线与y轴交点的纵坐标；k的几何意义：k＞0时，y随x的增大而增大；k＜0时，y随x的增大而减小.｜k｜＝tan α(α为直线与x轴所夹锐角).注：如图，在正比例函数y＝kx(k≠0)的图象中，｜k｜＝ ＝tan α.直线y＝kx＋b与直线y＝kx平行.(共44张PPT)第三章 函 数第11节 二次函数课时3 提升课 二次函数性质综合题一、与线段、面积有关的问题(10年4考)例1 如图①，已知抛物线y＝－x2＋bx＋c与x轴交于点A，B(3，0)，与y轴交于点C(0，3).(1)求抛物线的解析式与BC的长；图①解：(1)∵抛物线经过点B(3，0)，C(0，3)，∴将B(3，0)，C(0，3)代入y＝－x2＋bx＋c中，得 解得∴抛物线的解析式为y＝－x2＋2x＋3；如解图，连接BC，∵OB＝3，OC＝3，在Rt△OBC中，BC＝ ＝ ＝3 ，∴BC的长为3 ；解图已知抛物线y＝－x2＋bx＋c与x轴交于点A，B(3，0)，与y轴交于点C(0，3).(2)如图②，P是直线BC上方抛物线上的一个动点，过点P作PD⊥x轴于点D，交直线BC于点E，当PE＝2ED时，求点P的坐标；图②解：∵B(3，0)，C(0，3)，∴直线BC的解析式为y＝－x＋3.设直线PD的解析式为x＝a，则D(a，0)，E(a，－a＋3)，P(a，－a2＋2a＋3)，∴PE＝－a2＋2a＋3－(－a＋3)＝－a2＋3a，ED＝－a＋3－0＝－a＋3.∵PE＝2ED，∴－a2＋3a＝2(－a＋3)，解得a＝2或a＝3.∵P是直线上方抛物线上的一个动点，∴a＝2，当a＝2时，－a2＋2a＋3＝3，∴点P的坐标为(2，3)；图②已知抛物线y＝－x2＋bx＋c与x轴交于点A，B(3，0)，与y轴交于点C(0，3).(3)若P为抛物线上第一象限内一点，求点P到直线BC的最大距离；解：由(1)得，抛物线的解析式为y＝－x2＋2x＋3，由(2)得直线BC的解析式为y＝－x＋3，设点P(m，－m2＋2m＋3)，图①如解图②，过点P作PM⊥BC于点M，作PN∥y轴交BC于点N，∴N(m，－m＋3)，PN＝－m2＋2m＋3－(－m＋3)＝－m2＋3m.∵∠PNM＝∠BCO＝45°，∠PMN＝90°，∴PM＝ PN＝－ m2＋ m＝－ (m－ )2＋ .∵－ ＜0，0＜m＜3，∴当m＝ 时，PM有最大值，最大值为 ，∴点P到直线BC的最大距离为 ；解图②方法解读1. 利用二次函数性质求线段最值(1)求竖直线段的最值第一步：如图，设M(t，at2＋bt＋c)，则N(t，mt＋n)；第二步：表示线段MN的长，MN＝at2＋bt＋c－mt－n；第三步：化简MN＝at2＋bt＋c－mt－n＝at2＋(b－m)t＋c－n，利用二次函数性质求最值.(2)求斜线段的最值如图，利用锐角三角函数化斜为直得MP＝MN· sin ∠MNP，再根据(1)的步骤解题即可.已知抛物线y＝－x2＋bx＋c与x轴交于点A，B(3，0)，与y轴交于点C(0，3).(4)如图③，在该抛物线上是否存在一点G，使得S△ABG＝6，若存在，求出所有满足条件的点G的坐标；若不存在，请说明理由；解：存在，分两种情况：①当点G在x轴上方时，如解图，过点G作GP⊥AB于点P，设点G的坐标为(p，－p2＋2p＋3)，则GP＝－p2＋2p＋3，∵S△ABG＝ AB·GP＝6，易得AB＝4，∴ ×4(－p2＋2p＋3)＝6，∟P解图解得p＝0或p＝2，当p＝0时，－p2＋2p＋3＝3，当p＝2时，－p2＋2p＋3＝3，∴点G的坐标为(0，3)或(2，3)；②当点G在x轴下方时，如解图②，过点G作GQ⊥AB于点Q，设点G的坐标为(q，－q2＋2q＋3)，则GQ＝－(－q2＋2q＋3)＝q2－2q－3，∵S△ABG＝ AB·GQ＝6，∴ ×4(q2－2q－3)＝6，解图②∟P解图解得q＝1＋ 或q＝1－ ，当q＝1＋ 时，－q2＋2q＋3＝－3，当q＝1－ 时，－q2＋2q＋3＝－3，∴点G的坐标为(1＋ ，－3)或(1－ ，－3)，综上所述，在抛物线上存在一点G，使得S△ABG＝6，点G的坐标为(0，3)或(2，3)或(1＋ ，－3)或(1－ ，－3)；解图②已知抛物线y＝－x2＋bx＋c与x轴交于点A，B(3，0)，与y轴交于点C(0，3).(5)如图④，已知K是第一象限内抛物线上一动点，连接BC，CK，BK，过点K作x轴的垂线交线段BC于点I. 设点K的横坐标为k，△BCK的面积为S.①求S关于k的函数解析式；图④解：①由(2)知，直线BC的解析式为y＝－x＋3，设点K的坐标为(k，－k2＋2k＋3)，则点I的坐标为(k，－k＋3)，∴KI＝－k2＋2k＋3－(－k＋3)＝－k2＋3k，∴S＝S△KIB＋S△KIC＝ KI·OB＝ (－k2＋3k)×3＝－ k2＋ k，∴S关于k的函数解析式为S＝－ k2＋ k(0＜k＜3)；已知抛物线y＝－x2＋bx＋c与x轴交于点A，B(3，0)，与y轴交于点C(0，3).(5)如图④，已知K是第一象限内抛物线上一动点，连接BC，CK，BK，过点K作x轴的垂线交线段BC于点I. 设点K的横坐标为k，△BCK的面积为S.②求当k为何值时，S有最大值，最大值是多少？此时KI同时取到最大值吗？图④解：②将S＝－ k2＋ k化为顶点式得S＝－ (k－ )2＋ ，∵－ ＜0，0＜k＜3，∴当k＝ 时，S取得最大值，最大值为 .∵KI＝－k2＋3k＝－(k－ )2＋ ，0＜k＜3，∴当k＝ 时，KI取得最大值，最大值为 ，∴当k＝ 时，S有最大值，最大值是 ，此时KI同时取到最大值.图④2. 直角坐标系中面积计算方法一：直接公式法一边在坐标轴上(或平行于坐标轴)，S△ABC＝ AB·h.方法解读方法二：分割法三边都不在坐标轴上(或都不平行于坐标轴).S△ABC＝S△ABD＋S△BCD＝ BD·(AE＋CF)＝ BD·(yC－yA).方法三：补全法三边都不在坐标轴上(或都不平行于坐标轴).S△ABC＝S△ACD－S△ABD－S△BCD.注：对于四边形面积计算，可连接一条对角线将四边形面积转化为两个三角形面积之和求解.题型链接：更多试题详见本书 题型七 二次函数综合题二、与数式含参推理有关的问题(10年2考：2025、2024.23，结合二次函数性质综合题考查数式含参推理)例2 已知抛物线y＝ax2－2ax＋4，其中a≠0.(1)求该抛物线的对称轴；解：由题意得，对称轴是直线x＝－ ＝1一题多设问已知抛物线y＝ax2－2ax＋4，其中a≠0.(2)当a＜0时，已知点A(d，p)，B(3，q)在抛物线上，且p＞q，求d的取值范围；解：∵a＜0，∴抛物线开口向下，由(1)知，该抛物线的对称轴为直线x＝1，∴点B关于对称轴对称的点坐标为(－1，q).∵p＞q，在对称轴左侧，y随x的增大而增大，在对称轴右侧，y随x的增大而减小，∴d的取值范围是－1＜d＜3已知抛物线y＝ax2－2ax＋4，其中a≠0.(3)若无论a取何非零实数，该抛物线都经过C(x1，y1)，D(x2，y2)两个定点，其中x1＜x2，求x1＋2x2的值；解：由题意得，y＝ax2－2ax＋4＝a(x2－2x)＋4，∵无论a取何非零实数，该抛物线都经过C(x1，y1)，D(x2，y2)两个定点，∴令x2－2x＝0，即x＝0或x＝2，则y＝4.又∵x1＜x2，∴x1＝0，x2＝2，∴x1＋2x2＝0＋2×2＝4已知抛物线y＝ax2－2ax＋4，其中a≠0.(4)已知该抛物线经过点(1，5)且点E(x3，y3)在该抛物线上，点F(x3＋1，y3＋k)在抛物线y＝－x2＋bx上，求k关于x3的解析式.解：将点(1，5)代入y＝ax2－2ax＋4，解得a＝－1，∴抛物线的解析式为y＝－x2＋2x＋4，将E(x3，y3)代入y＝－x2＋2x＋4得y3＝－ ＋2x3＋4，将点F(x3＋1，y3＋k)代入y＝－x2＋bx得y3＋k＝－(x3＋1)2＋b(x3＋1)，将y3＝－ ＋2x3＋4代入y3＋k＝－(x3＋1)2＋b(x3＋1)可得，－ ＋2x3＋4＋k＝－(x3＋1)2＋b(x3＋1)，化简得k＝(b－4)x3＋b－5∴k关于x3的解析式为k＝(b－4)x3＋b－5.练习1 (2025安徽23题14分)已知抛物线y＝ax2＋bx(a≠0)经过点(4，0).(1)求该抛物线的对称轴；解：(1)由题意得，16a＋4b＝0，即b＝－4a，∴－ ＝2，∴该抛物线的对称轴是直线x＝2；(4分)已知抛物线y＝ax2＋bx(a≠0)经过点(4，0).(2)点A(x1，y1)和B(x2，y2)分别在抛物线y＝ax2＋bx和y＝x2－2x上(A，B与原点都不重合).(ⅰ)若a＝ ，且x1＝x2，比较y1与y2的大小；解：(2)(i)∵a＝ 时，b＝－4a＝－2，∴y1＝ －2x1，y2＝ －2x2，又∵x1＝x2，∴y2－y1＝(－2x2)－(－2x1)＝(－2x1)－(－2x1)＝ .∵抛物线y＝ x2－2x过原点，且点A与原点不重合，∴x1≠0，∴ ＞0，∴y2＞y1；(9分)已知抛物线y＝ax2＋bx(a≠0)经过点(4，0).(2)点A(x1，y1)和B(x2，y2)分别在抛物线y＝ax2＋bx和y＝x2－2x上(A，B与原点都不重合).(ⅱ)当 ＝ 时，若 是一个与x1无关的定值，求a与b的值.解：(ii)由题意知，y1＝a －4ax1，y2＝ －2x2，∵ ＝ ，∴ ＝ ，∵两条抛物线均过原点，且点A，B与原点都不重合，∴x1≠0，x2≠0，∴ ＝1，即x2＝a(x1－4)＋2，∴ ＝ ＝a＋ .由题意得，a＋ 是与x1无关的定值，∴将x1＝1和x1＝2分别代入a＋ ，可得2－3a＝1－a，解得a＝ ，经检验，当a＝ 时， ＝ 是一个与x1无关的定值，符合题意，∴a＝ ，b＝－4a＝－2.(14分)三、与对称性、增减性、最值有关的问题例3 已知抛物线y＝x2＋bx＋c的顶点坐标为(1，6)，点A(x1，y1)B(x2，y2)，C(3，y3)为抛物线上三点，且点A在点B左边.(1)求b，c值及点C的坐标；解：(1)由题意可知，抛物线可写成y＝(x－1)2＋6＝x2－2x＋7，∴b＝－2，c＝7，当x＝3时，y3＝(3－1)2＋6＝10，∴点C的坐标为(3，10)；已知抛物线y＝x2＋bx＋c的顶点坐标为(1，6)，点A(x1，y1)B(x2，y2)，C(3，y3)为抛物线上三点，且点A在点B左边.(2)当y1≤y3时，求x1的取值范围；解：(2)C点的关于直线x＝1的对称点为(－1，10)，∵y1≤y3，∴－1≤x1≤3；已知抛物线y＝x2＋bx＋c的顶点坐标为(1，6)，点A(x1，y1)B(x2，y2)，C(3，y3)为抛物线上三点，且点A在点B左边.(3)在(2)的条件下，若x2－2x1＝2，求y2的取值范围；解：(3)由(2)可知，－1≤x1≤3，又∵x2－2x1＝2，∴x1＝ ，∴－1≤ ≤3，∴0≤x2≤8，∵抛物线开口向上，∴当x2＝1时，y2有最小值为6，∵8－1＞1－0，∴当x2＝8时，y2有最大值为55，∴6≤y2≤55已知抛物线y＝x2＋bx＋c的顶点坐标为(1，6)，点A(x1，y1)B(x2，y2)，C(3，y3)为抛物线上三点，且点A在点B左边.(4)若x1＋x2＝m2＋2(m≠0，且m为常数)，比较y1与y2的大小关系并说明理由；解：由题意可知，y1－y2＝(－2x1＋7)－(－2x2＋7)＝(－ )－2(x1－x2)＝(x1－x2)(x1＋x2－2).∵x1＋x2＝m2＋2，∴y1－y2＝m2(x1－x2).又∵m≠0，∴m2＞0.∵x1＜x2，∴x1－x2＜0，∴m2(x1－x2)＜0，∴y1＜y2已知抛物线y＝x2＋bx＋c的顶点坐标为(1，6)，点A(x1，y1)B(x2，y2)，C(3，y3)为抛物线上三点，且点A在点B左边.(5)若x1＋1＝x2，记点A，B之间的抛物线为G，G的最大值和最小值差为3，求点A的坐标.解：分三种情况：①当A，B两点都在直线x＝1左侧时，即x2＜1时，∵对称轴左侧y随x的增大而减小，∴此时，y1－y2＝3，由(4)可得，y1－y2＝(x1－x2)(x1＋x2－2)＝3，代入x1＋1＝x2，解得x1＝－1，此时A点坐标为(－1，10)，②当A点在对称轴左侧，B点在对称轴右侧时，抛物线最小值为6，当y1＝y2时，x1＝ ，x2＝ ，∴当0＜x1＜ 时，最大值为y1，此时(x1－1)2＋6－6＝3，解得x1＝ ＋1或－ ＋1，均不符合题意，舍去；当 ＜x1＜1时，最大值为y2，此时(x1＋1－1)2＋6－6＝3，解得x1＝± ，也不符合题意，舍去；③当A，B两点都在直线x＝1右侧时，即x1＞1时，∵y随x的增大而增大，∴此时，y2－y1＝3，同理可解得x1＝2，此时A点坐标为(2，7)，综上所述，点A坐标为(－1，10)或(2，7).题型链接：更多试题详见本书 题型七 二次函数综合题练习2 (2025福建)在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2＋bx－2的图象过点A(1，t)，B(2，t).(1)解：∵二次函数 y＝ax2＋bx－2的图象的对称轴为直线x＝－ ，点A(1，t)，B(2，t)在该函数的图象上，∴2－(－ )＝－ －1，∴ ＋ ＝－3，∴ ＝－3；(1)求 的值；在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2＋bx－2的图象过点A(1，t)，B(2，t).(2)已知二次函数 y＝ax2＋bx－2的最大值为 1－ a2.(ⅰ)求该二次函数的表达式；(2)(i)解：由(1)可得，b＝－3a，∴该二次函数的表达式为 y＝ax2－3ax－2＝a(x－ )2－ a－2，∴函数图象的顶点坐标为 (，－ a－2).∵函数的最大值为 1－ a2，∴a＜0，且－ a－2＝1－ a2，解得a＝－1或a＝4(舍去)，∴该二次函数的表达式为 y＝－x2＋3x－2；在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2＋bx－2的图象过点A(1，t)，B(2，t).(2)已知二次函数 y＝ax2＋bx－2的最大值为 1－ a2.(ⅱ) 若M(x1，m)，N(x2，m)为该二次函数图象上的不同两点，且m≠0，求证： ＝ .解法一：∵点 M(x1，m)在函数y＝－x2＋3x－2的图象上，∴m＝－ ＋3x1－2.一题多解法由(i)知，点M(x1，m)，N(x2，m)关于直线x＝ 对称，不妨设x1＜x2，则 x2－ ＝ －x1，即 x1＋x2＝3，∴ －＝＝＝＝＝ ＝0，∴ ＝ .在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2＋bx－2的图象过点A(1，t)，B(2，t).(2)已知二次函数 y＝ax2＋bx－2的最大值为 1－ a2.(ⅱ) 若M(x1，m)，N(x2，m)为该二次函数图象上的不同两点，且m≠0，求证： ＝ .一题多解法解法二：∵M(x1，m)为该二次函数图象上的点，∴m＝－ ＋3x1－2，∴ － ＝ － ＝－ ＝－ － ＝ ＝ ＝，由(i)知，点M(x1，m)，N(x2，m)关于直线x＝ 对称，不妨设 x1＜x2，则 x2－ ＝ －x1，即 x1＋x2＝3，∴ ＝0，则 － ＝0，∴ ＝ .四、与图象变化有关的问题(10年4考)例4 已知抛物线y＝ax2＋bx－3(a，b为常数，a≠0)经过点(－2，5)和(－6，－3).(1)求该抛物线的函数解析式；解：将点(－2，5)和(－6，－3)代入y＝ax2＋bx－3中，得 解得∴该抛物线的函数解析式为y＝－x2－6x－3一题多设问已知抛物线y＝ax2＋bx－3(a，b为常数，a≠0)经过点(－2，5)和(－6，－3).(2) 将抛物线y＝ax2＋bx－3向右平移n个单位长度，当0＜n≤4时，求平移后的抛物线与y轴交点纵坐标的最大值；(2021安徽14题考查，2020安徽22题考查)【思维教练】先将抛物线平移后的解析式表示出来，令其中的x＝0，可表示出平移后的抛物线与y轴交点的纵坐标，利用二次函数的性质求解即可.核心考法解：由题意得平移后的抛物线解析式为y＝－(x－n)2－6(x－n)－3＝－x2＋(2n－6)x－n2＋6n－3，∴平移后的抛物线与y轴的交点为(0，－n2＋6n－3)，∴平移后的抛物线与y轴交点的纵坐标为－n2＋6n－3＝－(n－3)2＋6.∵－1＜0，0＜n≤4，∴当n＝3时，平移后的抛物线与y轴交点的纵坐标有最大值，最大值为6已知抛物线y＝ax2＋bx－3(a，b为常数，a≠0)经过点(－2，5)和(－6，－3).(3)将抛物线y＝ax2＋bx－3向右平移m(m＞0)个单位长度得到一个新的抛物线，新抛物线的顶点关于原点O对称的点也在抛物线y＝ax2＋bx－3上，求m的值.【思维教练】先将原抛物线化为顶点式，将平移后的解析式表示出来后求得其顶点C的坐标，再表示出该顶点坐标关于原点O对称的点C'的坐标，将点C'的坐标代入抛物线y＝ax2＋bx－3中即可求解.解：∵y＝－x2－6x－3＝－(x＋3)2＋6，∴抛物线y＝－x2－6x－3向右平移m个单位长度得到抛物线y＝－(x＋3－m)2＋6，设平移后的抛物线的顶点为C，则C(－3＋m，6)，∴点C(－3＋m，6)关于原点O对称的点的坐标为C'(3－m，－6)，∵点C'(3－m，－6)在抛物线y＝－x2－6x－3上，∴－6＝－(3－m)2－6(3－m)－3，整理得m2－12m＋24＝0，解得m＝6±2 .∵m＞0，∴m的值为6＋2 或6－2 .(共24张PPT)第三章 函 数第11节 二次函数课时1 二次函数的图象与性质节前复习导图上加下减、左加右减二次函数的图象与性质二次函数的图象与性质确定二次函数解析式二次函数图象的变化与方程（组）、不等式的关系定义开口方向对称轴顶点坐标增减性最值平移的方法步骤二次函数图象的平移二次函数图象的对称二次函数的三种表达形式确定二次函数解析式的方法二次函数与方程的关系二次函数与一次函数交点和方程的关系考点精讲考点梳理二次函数的图象与性质 定义 形如y=ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，且a≠0)的函数 开口方向 a＞0，开口向上 a＜0，开口向下对称轴 1.直接运用公式x= 求解； 2.配方法：将一般式化为顶点式y=a(x－h)2＋k，则对称轴为直线x=h 注：还可利用x=(其中x1，x2为关于对称轴对称的两点的横坐标)求解－ 二次函数的图象与性质 定义 形如y=ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，且a≠0)的函数 顶点 坐标 1.直接运用顶点坐标公式(________，________)求解； 2.运用配方法将一般式转化为顶点式y=a(x－h)2＋k，则顶点坐标为(h，k)； 3.将对称轴x=x0代入函数表达式求得对应y0 增减性 a＞0时，在对称轴左侧，y随x的增大而_______；在对称轴右侧，y随x的增大而________ a＜0时，在对称轴左侧，y随x的增大而________；在对称轴右侧，y随x的增大而_______ 最值 a＞0时，y有最_____值 当x=－时，y的最小值为_______ a＜0时，y有最______值当x=－ 时，y的最大值为_________ － 减小增大 增大 减小小 大 确定二次函数解析式二次函数的三种表达形式一般式：y=ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)顶点式： ［a为常数，a≠0，(h，k)为顶点坐标］交点式： (a为常数，a≠0，x1，x2为二次函数图象与x轴交点的横坐标)y=a(x－h)2＋ky=a(x－x1)(x－x2)确定二次函数解析式确定二次函数解析式的方法解析式已给出：找出抛物线上的两个点或三个点坐标代入，联立求解即可解析式未给出1. 当已知抛物线与x轴的两个交点坐标或对称轴、抛物线与x轴的一个交点时，通常设解析式为y=a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，其中抛物线与x轴交点坐标为(x1，0)，(x2，0)2. 当已知抛物线的顶点坐标或对称轴及最大(小)值时，通常设解析式为y=a(x－h)2＋k(a≠0)，其中顶点坐标为(h，k)，对称轴为直线x=h二次函数图象的变化平移的方法步骤1.将二次函数解析式转化为顶点式y=a(x－h)2＋k(a≠0)，确定其顶点坐标2.保持二次函数图象的形状不变，平移顶点坐标(h，k)即可二次函数1. 从图象上考虑：二次函数图象平移的实质是图象上点坐标的整体平移(关键点是研究顶点坐标)，平移过程中a不变，因此可先求出其顶点坐标，根据顶点坐标的平移求解即可2. 从解析式上考虑：二次函数图象平移规律如下表：平移前的解析式 平移方式(n＞0) 平移后解析式 简记y=a(x－h)2＋k (a≠0) 向左平移n个单位 y=a(x－h ＋n )2＋k x左“＋”右“－”向右平移n个单位 y=a(x－h －n )2＋k 向上平移n个单位 y=a(x－h)2＋k ＋n 右边整体上“＋”下“－”向下平移n个单位 y=a(x－h)2＋k －n 二次函数图象的变化图象的平移二次函数图象的对称(a≠0)二次函数图象的变化变换类型 变换前后图象 (虚线表示翻折 前图象) 已知顶点式 y=a(x－h)2＋k 变换后的解析式 已知一般式y=ax2＋bx＋c变换后的解析式关于x轴对称 y=－a(x－h)2－k y=－ax2－bx－c关于y轴对称 y=a(x＋h)2＋k y=ax2－bx＋c如图，抛物线y1=ax2＋bx＋c(a≠0)与直线y2=mx＋n(m≠0)相交于A，B两点，方程ax2＋bx＋c=mx＋n的解是x1，x2［(方程也可以化为ax2＋(b－m)x＋(c－n)=0)］ 与方程(组)、不等式的关系二次函数与方程的关系方程ax2＋bx＋c=0的解是二次函数y=ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴的交点的横坐标值b2－4ac＞0 抛物线与x轴有两个交点 方程有两个不相等的实数根b2－4ac=0 抛物线与x轴有一个交点 方程有两个相等的实数根b2－4ac＜0 抛物线与x轴无交点 方程无解二次函数与一次函数交点和方程的关系基础题练考点1. (2025合肥瑶海区校级模拟)抛物线y＝－2(x＋1)2＋2的顶点坐标是( B )A. (1，2) B. (－1，2)C. (－1，－2) D. (1，－2)2. (人教九上习题改编)二次函数y＝ax2(a＞0)的图象一定经过( A )A. 第一、二象限 B. 第二、三象限C. 第二、四象限 D. 第三、四象限BA3. 对于二次函数y＝－(x－2)2＋1，当函数值y随x的减小而减小时，x的取值范围是( B )A. x＜1 B. x＜2C. x＞1 D. x＞24. 抛物线y＝2x2＋x－c与x轴只有一个公共点，则c的值为( B )A. B. －C. 8 D. －8BB5. (沪科九上习题改编)已知抛物线y＝x2－2x－2，当0≤x≤3时，函数的最大值为( A )A. 1 B. －2C. －3 D. 2【解析】将抛物线解析式化为顶点式，得y＝(x－1)2－3，∴抛物线开口向上，对称轴是直线x＝1，∴当0≤x＜1时，y随x的增大而减小，当1≤x≤3时，y随x的增大而增大，当x＝0时，y＝(0－1)2－3＝－2，当x＝3时，y＝(3－1)2－3＝1，∴当0≤x≤3时，函数的最大值为1.A6. (沪科九上习题改编)已知一个二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象经过点A(－4，n)和B(2，n)，则这个二次函数图象的对称轴为直线 .7. (沪科九上练习题改编)已知抛物线y＝x2－2x＋3.将抛物线先向左平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度，所得到的抛物线的解析式为 .【解析】∵将原二次函数化为顶点式，得y＝(x－1)2＋2，∴平移后的二次函数解析式为y＝(x－1＋3)2＋2＋2＝(x＋2)2＋4＝x2＋4x＋8.x＝－1y＝x2＋4x＋88. 如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a＞0)与x轴交于(－1，0)，(3，0)两点.(1)一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的解为 ；根据图象，直接写出不等式ax2＋bx＋c＜0的解集为 ；(2)方程ax2＋bx＋c＝5的解为 ；根据图象，直接写出不等式ax2＋bx＋c＜5的解集为 ；(3)方程ax2＋bx＋c＝kx＋m的解为 ；根据图象，直接写出不等式ax2＋(b－k)x＋c－m＞0解集为 .x1＝－1，x2＝3 －1＜x＜3 x1＝－2，x2＝4 －2＜x＜4 x1＝－2，x2＝3 x＜－2或x＞3 核心考点突破一、二次函数的图象与性质(10年9考，常结合二次函数综合题考查)例1 已知抛物线y＝－x2＋2x＋3.(1)若点A(－1，y1)，B(2，y2)，C(5，y3)在该二次函数图象上，则y1，y2，y3的大小关系为 ；(用“＜”连接)(2)当－2≤x≤0时，函数值y的最大值是 ；当－1＜x≤1时，函数值y的最大值是 ；当2≤x≤3时，函数值y的最小值是 ；y3＜y1＜y2 3 4 0 (3)将抛物线向上平移a(a＞0)个单位后，函数值y的最大值为8，则a＝ .【解析】∵抛物线y＝－x2＋2x＋3＝－(x－1)2＋4，∴当x＝1时，y的大值为4，∵将抛物线向上平移a(a＞0)个单位后，函数值y的最大值为8，∴a＝4.4 例1 已知抛物线y＝－x2＋2x＋3.题后反思当m≤x≤m＋2时，函数值y的最大值为3，则m的值为 .【解析】∵抛物线开口向下，∴当x＝1时，y有最大值，最大值为4.∵当m≤x≤m＋2时，抛物线有最大值为3，∴x的取值范围一定在抛物线对称轴的左边或右边，①当m≥1时，抛物线在x＝m处取得最大值，即－m2＋2m＋3＝3，解得m＝0(舍去)或m＝2；②当m＋2≤1时，即m≤－1，抛物线在x＝m＋2处取得最大值，即－(m＋2)2＋2(m＋2)＋3＝3，解得m＝0(舍去)或m＝－2；综上所述，m的值为2或－2.2或－2 已知抛物线y＝－x2＋2x＋3.练习1 抛物线y＝(x－3)2＋c经过点A(2，a)，B(－2，b)，C(－1，d)，则a，b，d的大小关系为( C )A. a＜b＜d B. b＜d＜aC. a＜d＜b D. d＜a＜b【解析】∵y＝(x－3)2＋c，∴抛物线的对称轴为直线x＝3，∵1＞0，∴抛物线开口向上，∵｜－2－3｜＞｜－1－3｜＞｜2－3｜，∴点A(2，a)到对称轴的距离最近，点B(－2，b)最远，∴a＜d＜b.C练习2 已知A(3，1)和B(m，1)是抛物线y＝a(x＋1)2＋k(a≠0)上的点，则A，B两点之间的距离是( D )A. 2 B. 4C. 6 D. 8【点拨】①由A,B坐标可知A，B两点关于对称轴对称；②由抛物线y＝a(x＋1)2＋k可得出对称轴.D二、二次函数解析式的确定(近10年连续考查，常结合二次函数综合题考查)例2 根据下列条件解答问题：(1) 已知抛物线y＝ax2－4x＋c(a≠0)的对称轴为直线x＝－ ，且经过点A(－1，5)，求抛物线的解析式；(2023安徽23题考查)核心考法解：∵抛物线y＝ax2－4x＋c(a≠0)的对称轴为直线x＝－ ，∴－ ＝－ ＝－ ，解得a＝－4.∵该抛物线过点A(－1，5)，∴将A(－1，5)代入y＝－4x2－4x＋c中，得－4＋4＋c＝5，解得c＝5，∴该抛物线的解析式为y＝－4x2－4x＋5(2) 已知抛物线y＝－x2＋bx(b为常数)的顶点横坐标比抛物线y＝－x2＋2x的顶点横坐标大1，求b的值；(2024安徽23题考查)解：∵抛物线y＝－x2＋bx的顶点横坐标为 ，抛物线y＝－x2＋2x的顶点横坐标为1，∴ －1＝1，解得b＝4核心考法例2 根据下列条件解答问题：(3) 已知点A(1，2)，B(0，1)，C(－1，－2)，抛物线y＝ax2＋bx＋3(a≠0)恰好经过其中两点，求抛物线的解析式；(2020安徽22题考查)核心考法例2 根据下列条件解答问题：解：∵当x＝0时，y＝3，∴点A，C在二次函数图象上，把A(1，2)，C(－1，－2)代入y＝ax2＋bx＋3中，得 解得∴二次函数的解析式为y＝－3x2＋2x＋3(4) 已知抛物线y＝ax2＋c(a≠0)与直线y＝kx＋4的一个交点为(1，3)，另一交点是抛物线顶点，求k，a的值.(2019安徽22题考查)例2 根据下列条件解答问题：核心考法解：∵点(1，3)在直线y＝kx＋4上，∴k＋4＝3，解得k＝－1，∵直线y＝kx＋4与抛物线的另一交点是抛物线顶点，抛物线顶点为(0，c)，∴点(0，c)也在直线y＝kx＋4上，∴c＝4，将点(1，3)代入y＝ax2＋4，得a＋4＝3，解得a＝－1.综上所述，k＝－1，a＝－1.(共13张PPT)第三章 函 数第8节 平面直角坐标系与函数课时2 提升课 分析几何图形动态问题判断函数图象核心考点突破分析几何图形动态问题判断函数图象(10年3考)例1 (2025合肥包河区三模)如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝120°，AB＝2 cm，P点从B点出发，以1 cm/s的速度沿B→C→D运动，过点P作PE⊥AD，交折线B—A—D于点E，设点P运动的时间t(s)，△BEP的面积为S(cm2).则S与t的函数关系大致为( A )A例2 如图①，在平行四边形ABCD中，点P沿A→B→C方向从点A移动到点C，设点P移动路程为x，线段AP的长为y，如图②是点P运动时y随x变化的关系图象，则BC的长为( C )CA. 4.4 B. 4.8C. 5 D. 6例3 (2025马鞍山模拟)如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝ ，点D在折线ACB上运动，过点D作AB的垂线，垂足为E. 设AE＝x，S△ADE＝y，则y关于x的函数图象大致是( A )A【解析】由题意得，AC＝ ＝2 ，当点D与点C重合时，DE＝ ＝2，此时AE＝ ＝4，当0＜x≤4时，△ADE∽△ABC，∴ ＝ ，∴ ＝ ，∴DE＝ x，∴y＝AE·DE＝ x· x＝ x2，此抛物线开口方向向上；当4＜x＜5时，△BDE∽△BAC，∴ ＝ ，∴ ＝ ，∴DE＝10－2x，y＝ AE·DE＝ x·(10－2x)＝－x2＋5x，此抛物线开口方向向下；故符合题意的图象是选项A.方法解读分析判断几何动点问题的函数图象题目，一般有两种类型：1. 观察型(函数的图象有明显的增减性差异)：根据题目描述，只需确定函数值在每段函数图象上随着自变量的增减情况或变化的快慢即可得解：(1)当函数值随着自变量增大而增大时，函数图象呈上升趋势，反之则呈下降趋势；(2)当函数值随着自变量增大而不变时，函数图象与x轴平行.2. 计算型：先根据自变量的取值范围对函数进行分段，再求出每段函数的解析式，最后由每段函数的解析式确定函数图象的形状.题型链接：更多试题详见本书 题型二 分析几何图形动态问题判断函数图象练习1 (2020安徽10题4分)如图，△ABC和△DEF都是边长为2的等边三角形，它们的边BC，EF在同一条直线l上，点C，E重合.现将△ABC沿着直线l向右移动，直至点B与F重合时停止移动.在此过程中，设点C移动的距离为x，两个三角形重叠部分的面积为y.则y随x变化的函数图象大致为( A )A【点拨】分两种情况讨论：①当0≤x≤2时，CE＝x；②当2＜x≤4时，BF＝4－x.【解析】分两种情况讨论：①当0≤x≤2时，CE＝x，重叠部分的图形为等边三角形，设高为h，则h＝ x，y＝ CE · h＝ x2；②当2＜x≤4时，BF＝EF＋BC－CE＝4－x，重叠部分的图形为等边三角形，设高为h，则h＝ (4－x)，y＝ BF·h＝ (4－x)2，综上可知，图象的两段均为开口向上的抛物线，∴选项A正确.练习2 如图①，在△ABC中，P为BC上一点，设线段AP＝y，BP＝x，y关于x的函数图象如图②.Q(1， )是函数图象上的最低点.下列结论不正确的是( D )DA. AB＝2B. AP的最小值为 ，此时AP⊥BCC. 当x＝2时，△ABP是等边三角形D. 若△ABP为钝角三角形，则0＜x＜1【解析】A. 当x＝0时，y的值即是AB的长度，故AB＝2，故选项A正确；B. 结合图象可知，AP的最小值为 ，根据垂线段最短，可知此时AP⊥BC，故选项B正确；C. 如解图，过点A作AD⊥BC于点D，在Rt△ABD中，AD＝ ，BD＝1，AB＝2，则∠B＝60°.当x＝2时，BP＝AB＝2，此时△ABP是等边三角形，故选项C正确；D. ①当∠APB为钝角时，此时可得0＜x＜1；②当∠BAP为直角时，如解图，过点A作AP⊥AB，则BP＝2AB＝4，∴当4＜x≤6时，∠BAP为钝角.综上可得，当0＜x＜1或4＜x≤6时，△ABP为钝角三角形，故选项D错误.解图练习3 如图，在△ABC中，AC＝5 m，BC＝3 m，∠ABC＝90°，D是AC边上一动点，动点P以1 m/s的速度从点A出发沿折线A→B→C运动，且PD⊥AC. 设点P的运动时间为x s时，点P到AC的距离PD为y m，求y与x的函数关系式并注明自变量x的取值范围.解：当点P在AB边上运动时，∵AC＝5 m，BC＝3 m，∠ABC＝90°，∴AB＝4 m.∵PD⊥AC，∴ sin A＝ ＝ ＝ ，即 ＝ ，∴y＝ x(0≤x≤4)；当点P在BC边上运动时，则AB＋BP＝x m，PC＝AB＋BC－x＝(7－x) m，∵ sin C＝ ＝ ＝ ，即 ＝ ，∴y＝－ x＋ (4＜x≤7)，∴y与x的函数关系式为y＝(共30张PPT)第三章 函 数第12节 函数的实际应用1. (2021安徽6题4分)某品牌鞋子的长度y cm与鞋子的“码”数x之间满足一次函数关系.若22码鞋子的长度为16 cm，44码鞋子的长度为27 cm，则38码鞋子的长度为( B )A. 23 cm B. 24 cmC. 25 cm D. 26 cmB基础题练考点2. 如图，一边靠墙(墙足够长)，其它三边用12 m长的篱笆围成一个矩形(ABCD)花园，这个花园的最大面积是( C )A. 16 m2 B. 12 m2C. 18 m2 D. 以上都不对【解析】设与墙垂直的矩形的边长为x m，则这个花园的面积是S＝x(12－2x)＝－2x2＋12x＝－2(x－3)2＋18，∴当x＝3时，S取得最大值，此时S＝18.C3. (沪科九上习题改编)某商店购进一批单价为8元的商品，如果按每件10元出售，每天可以销售100件，经调查发现，销售单价每提高1元，销售量相应减少10件，则销售单价提高 元时，可以使每天的销售利润最大.【解析】设销售价提高x元时，每天的销售利润为y元，由题意得，y＝(10＋x－8)(100－10x)＝－10(x2－8x－20)＝－10(x－4)2＋360，由二次函数的性质可知，当x＝4时，y取得最大值，即销售价提高4元时，可以使每天的销售利润最大.4 4. 某校想将新建图书楼的正门设计为一个抛物线型拱门，现把这个方案中的抛物线型拱门图形放入平面直角坐标系中，如图，拱门的跨度ON＝12 m，拱高PE＝4 m.其中，点N在x轴上，PE⊥ON，OE＝EN，要在拱门中设置矩形框架ABCD(A，D两点均在抛物线上，B，C两点在x轴上)，当AB＝3 m时，矩形框架ABCD的周长为 .18m 【点拨】由抛物线的顶点可设抛物线的函数解析式为y＝a(x－6)2＋4，再代入(0，0)点求出函数解析式.【解析】由题意得，抛物线的顶点为P(6，4)，∴可设抛物线的函数解析式为y＝a(x－6)2＋4，把O(0，0)代入得0＝a(0－6)2＋4，∴a＝－ ，∴y＝－ (x－6)2＋4.令y＝－ (x－6)2＋4＝3，∴x＝3或x＝9，∴BC＝9－3＝6(m)，∴矩形框架ABCD的周长为2(AB＋BC)＝2×(3＋6)＝18(m).核心考点突破一、销售利润问题(10年2考)例1 (2025合肥瑶海区校级模拟)某市公安局交警支队在全市范围内开展“一盔一带”安全守护行动，某商场的头盔销量不断增加，该头盔销售第x天与该天销售量y(件)之间满足函数关系式为y＝20x＋200(1≤x≤30且x为整数)，为减少库存，该商场将此头盔的价格不断下调，其销售单价z(元)与第x天成一次函数关系，当x＝1时，z＝98；当x＝2时，z＝96.已知该头盔进价为40元/件.(1)求z与x之间的函数关系式；解：(1)根据题意，设z＝mx＋n，当x＝1时，z＝98；当x＝2时，z＝96，∴ 解得∴z与x之间的函数关系式为z＝－2x＋100(1≤x≤30)；①销售第x天与该天销售量y(件)：y＝20x＋200(1≤x≤30)②销售第x天与销售单价z(元)：z＝－2x＋100(1≤x≤30)③头盔进价为40元/件(2)求这30天中第几天销售利润最大，并求出最大利润；解：(2)设第x天的利润为w元，则w＝y(z－40)＝(20x＋200)(－2x＋60)＝－40(x－10)2＋16 000，∵－40＜0，∴当x＝10时，w取得最大值，∴第10天销售利润最大，最大利润为16 000元；①销售第x天与该天销售量y(件)：y＝20x＋200(1≤x≤30)②销售第x天与销售单价z(元)：z＝－2x＋100(1≤x≤30)③头盔进价为40元/件(3)在实际销售的前15天，为配合“骑乘人员佩戴头盔专题周”活动的开展，商场决定将每个头盔的单价在原来价格变化的基础上再降价a元(a＞2)销售，通过销售记录发现，前8天中，每天的利润随时间x(天)的增大而增大，试求a的取值范围.解：(3)由题意可设第x天的销售利润为w1元，则w1＝(20x＋200)(－2x＋60－a)＝－40x2＋(800－20a)x＋200(60－a)，∴图象的对称轴为直线x＝－ ＝10－ a，∵前8天中，每天的利润随时间x(天)的增大而增大，∴10－ a≥8，即a≤8，又∵a＞2，∴2＜a≤8.基本关系式总售价＝单价×销量利润＝售价－进价＝进价×利润率总利润＝单件利润×销量练习1 安徽三潭枇杷是国家地理标志产品，皮薄、肉厚、营养丰富.某特产水果连锁店销售安徽三潭枇杷，其进价为20元/千克，销售一段时间后发现：该枇杷的日销售量y(千克)与售价x(元/千克)的函数图象关系如图所示.(1)求y关于x的函数解析式；解：(1)设y关于x的函数解析式为y＝kx＋b(k，b为常数，k≠0)，根据题意得 解得∴y关于x的函数解析式为y＝－2x＋160；①销售量y(千克)与售价x(元/千克)：y＝－2x＋160②枇杷进价为20元/千克(2)当售价为多少元/千克时，日销售利润最大，最大利润为多少元？解：(2)设当售价是x元/千克时，日销售利润为w元，根据题意得w＝(－2x＋160)(x－20)＝－2x2＋200x－3 200＝－2(x－50)2＋1 800，∵－2＜0，∴当x＝50时，w有最大值，最大值为1 800元，答：当售价是50元/千克时，日销售利润最大，最大利润是1 800元；①销售量y(千克)与售价x(元/千克)：y＝－2x＋160②枇杷进价为20元/千克(3)由于某种原因，该水果进价提高了m元/千克(m＞0)，物价局规定该水果的售价不得超过40元/千克，该连锁店在今后的销售中，日销售量与售价仍然满足(1)中的函数关系.若日销售最大利润是1 280元，请求出m的值.解：(3)根据题意得w＝(x－20－m)·(－2x＋160)＝－2x2＋(200＋2m)x－3 200－160m，∴图象的对称轴为直线x＝－ ＝50＋ m，∵m＞0，∴50＋ m＞40，∴当x＜40时，w随x的增大而增大，∴当x＝40时，w有最大值为1 280，代入得－2×402＋(200＋2m)×40－3 200－160m＝1 280，解得m＝4.二、抛物线型问题(2022.23)例2 (2025陕西)某景区大门上半部分的截面示意图如图所示，顶部 L1，左、右门洞 L2，L3均呈抛物线型，水平横梁AC＝16 m，L1的最高点 B到AC 的距离BO＝4 m，L2，L3关于BO所在直线对称.MN，MP，NQ为框架，点M，N在 L1上，点P，Q分别在L2，L3上，MN∥AC，MP⊥AC，NQ⊥AC. 以O为原点，以AC所在直线为x轴，以BO所在直线为y轴，建立平面直角坐标系.(1)求抛物线L1的函数表达式；解：(1)依题意，得抛物线L1的顶点为B(0，4)，且过点C(8，0)，设抛物线L1的函数表达式为y＝ax2＋4(a≠0)，将C(8，0)代入，得0＝64a＋4，解得a＝－ ，∴抛物线L1的函数表达式为y＝－ x2＋4；MN∥AC，MP⊥AC，NQ⊥AC；抛物线L1的函数表达式为y＝－ x2＋4(2)已知抛物线L3的函数表达式为 y＝－ (x－4)2，NQ＝ m，求MN的长.解：(2)设点N的横坐标为x，则点Q的横坐标为x，∵NQ＝ m，∴－ x2＋4－[－ (x－4)2]＝ ，解得x1＝x2＝6，∴点N到y轴的距离为6，由对称性，得MN＝2×6＝12(m)，∴MN的长为12 m.方法解读此类问题一般涉及抛球、投篮、隧道、拱桥、喷泉水柱等.解决此类问题的关键是理解题目中的条件所表示的几何意义.1. 判断抛球是否过网即判断此点的坐标是否在抛物线上方；2. 判断投篮是否能投中即判断篮筐是否在球的运动轨迹所在的抛物线；3. 判断货车是否能通过隧道即判断货车上方两端点的坐标是否在抛物线的下方；4. 判断船是否能通过拱桥即判断船两端点的坐标是否在抛物线的下方；5. 判断人是否会被喷泉淋湿即判断人所处位置的水的高度是否大于人的身高.练习2 一个物体从地面竖直向上抛，有这样的关系式：h＝vt－ gt2(不计空气阻力)，其中h是物体距离地面的高度，v是初速度，g是重力加速度(g取10 m/s2)，t是抛出后所经历的时间.圆圆用发射器(发射器的高度忽略不计)将一个小球从地面竖直向上抛出.(1)当小球距离地面的高度最大时，求小球运动的时间(用含v的式子表示)；新考法跨物理学科解：(1)∵h＝－5t2＋vt，－5＜0，∴抛物线开口向下，即当t＝－ ＝ 时，小球距离地面的高度最大；h＝vt－gt2其中h是物体距离地面的高度，v是初速度，g是重力加速度(g取10 m/s2)，t是抛出后所经历的时间.(2)当圆圆以10 m/s的初速度竖直向上抛出时，小球的高度能达到5.4 m吗？请作出判断，并说明理由；解：(2)小球的高度不能达到5.4 m，理由如下：当v＝10 m/s时，h＝－5t2＋10t，∵－5＜0，∴当t＝－ ＝1时，h最大，当t＝1 s时，h最大为5 m，∵5＜5.4，∴小球的高度不能达到5.4 m；h＝vt－gt2其中h是物体距离地面的高度，v是初速度，g是重力加速度(g取10 m/s2)，t是抛出后所经历的时间.(3)若方方在圆圆抛出小球之后将另一个完全相同的小球以相同的初速度从地面竖直向上抛出，这两个小球在某一时刻的高度均为4.2 m，求方方与圆圆抛球的时间差.解：(3)由题意得4.2＝－5t2＋10t，∴令5t2－10t＋4.2＝0，解得t1＝0.6，t2＝1.4，∴t2－t1＝0.8 s，答：方方与圆圆抛球的时间差为0.8 s.三、几何图形面积问题例3 (北师九下习题改编)如图①，小亮父亲想用长为80 m的栅栏，再借助房屋的外墙围成一个矩形羊圈ABCD，已知房屋外墙长50 m，设矩形ABCD的边AB＝x m，面积为S m2.(1)写出S与x之间的函数关系式，并写出x的取值范围；图①解：(1)∵AB＝CD＝x m，∴BC＝(80－2x)m，∴S＝x(80－2x)＝－2x2＋80x，∵AB＞0，0＜BC＝AD≤50，∴x＞0，0＜80－2x≤50，∴15≤x＜40，∴S＝－2x2＋80x(15≤x＜40)；已知房屋外墙长50 m，设矩形ABCD的边AB＝x m，面积为S m2.(2)当AB，BC的长分别为多少时，羊圈的面积最大？最大面积是多少？解：(2)S＝－2x2＋80x＝－2(x－20)2＋800，∵15≤x＜40，－2＜0，∴当x＝20时，S有最大值，最大值为800，即当AB＝20 m，BC＝40 m时，羊圈的面积最大，最大面积为800 m2；图①已知房屋外墙长50 m，设矩形ABCD的边AB＝x m，面积为S m2.(3)为了便于管理羊群，小亮的父亲决定用这80 m的栅栏围成如图②所示的两个大小相同的矩形羊圈，当围成的羊圈的面积最大时，求此时AB的长是多少？图②解：(3)根据题意，得S＝(80－3x)x＝－3x2＋80x＝－3(x－ )2＋ ，∵AB＞0，0＜BC≤50，∴x＞0，0＜80－3x≤50，∴10≤x＜ ，∵－3＜0，∴当x＝ 时，S取得最大值，即当围成的羊圈的面积最大时，AB的长是 m；已知房屋外墙长50 m，设矩形ABCD的边AB＝x m，面积为S m2.(4) 为了便于管理羊群，小亮的父亲再次将羊圈改成了如图③所示的三块矩形区域，而且这三块矩形区域的面积相等.①求S与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；核心考法图③解：(4)①由题意，得AE·AD＝2BE·BC，∵AD＝BC，∴AE＝2BE，∴AE＝ x，BE＝ x，∴BC＝ (80－2x－ x)，∵AB＞0，0＜BC≤50，∴x＞0，0＜ (80－2x－ x)≤50，∴0＜x＜30，∴S＝AB·BC＝x· (80－2x－ x)＝－ x2＋40x，∴S与x之间的函数关系式为S＝－ x2＋40x(0＜x＜30)；已知房屋外墙长50 m，设矩形ABCD的边AB＝x m，面积为S m2.(4) 为了便于管理羊群，小亮的父亲再次将羊圈改成了如图③所示的三块矩形区域，而且这三块矩形区域的面积相等.②x取何值时，S有最大值，最大值是多少？(2015安徽22题考查)核心考法解：②S＝－ x2＋40x＝－ (x－15)2＋300，∵－ ＜0，0＜x＜30，即当x＝15时，S有最大值，最大值为300 m2.图③方法解读几何图形面积问题的解题方法：针对此类问题，设一边长为x，结合题意用含x的代数式表示出另一边，利用矩形的面积公式得出S与x之间的函数关系式，化为顶点式即可求得面积最大值，注意自变量x的取值范围.(共23张PPT)第三章 函 数第8节 平面直角坐标系与函数课时1 平面直角坐标系点坐标特征及函数初步章前复习思路函数的应用解决问题应用研究函数的一般路径平面直角坐标系与函数坐标系中点的坐标特征对称点的坐标特征点平移的坐标特征点到坐标轴及点到点的距离一次函数反比例函数二次函数函数解析式图象性质图象平移与方程(组)、不等式的关系①增减性；②对称性；③最值建模思想数形结合思想函 数节前复习导图上加下减、左加右减点的坐标特征对称点的坐标特征点平移的坐标特征点到坐标轴及点到点之间的距离各象限内坐标轴上各象限角平分线上与坐标轴垂直的直线平面直角坐标系与函数考点精讲点的坐标特征各象限内 第一象限：x＞0，y＞0第二象限：___________第三象限：___________第四象限：___________注：坐标轴上的点不属于任何象限坐标轴上 点M1在x轴上：y=____点M2在y轴上：x=____原点的坐标：________考点梳理x＜0，y＞0 x＜0，y＜0x＞0，y＜000(0，0)点的坐标特征各象限角 平分线上 点A1(x1，y1)在第一、三象限角平分线上，则x1=y1，点A2(x2，y2)在第二、四象限角平分线上，则x2=________与坐标轴垂直的直线 垂直于x轴的直线l1上的点的_______坐标相同垂直于y轴的直线l2上的点的_______坐标相同－y2 横纵 【知识拓展】1. 点(a，b)关于直线x=m对称的点的坐标为(2m－a，b)2. 点(a，b)关于直线y=n对称的点的坐标为(a，2n－b)对称点的坐标特征P(a，b) P′(a，－b)P(a，b) P′__________P(a，b) P′____________口诀：关于谁(x轴或y轴)对称谁不变，另一个变号，关于原点对称都变号(－a，b) (－a，－b)点平移的坐标特征 点P的坐标 平移方式(a＞0，b＞0) 平移后点P′的坐标 口诀(x，y) 向左平移a个单位长度 (x－a，y) 左右平移横坐标：左减右加向右平移a个单位长度 (x＋a，y) 向上平移b个单位长度 ____________ 上下平移纵坐标：上加下减向下平移b个单位长度 ____________(x，y＋b) (x，y－b)1.如图①，点P(a，b)到x轴的距离为________，到y轴的距离为________，到原点的距离为___________点到坐标轴及点到点之间的距离2.如图②，垂直于y轴的直线l：y=b上的两点P1(x1，b)，P2(x2，b)间的距离是|x1－x2|3.如图③，垂直于x轴的直线l：x=a上的两点P1(a，y1)，P2(a，y2)间的距离是|y1－y2|图①图②图③|b| |a| 点到坐标轴及点到点之间的距离【拓展延伸】如图④，已知坐标平面内任意两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2). 1.P1，P2两点间的距离P1P2=； 2.P1P2的中点坐标为(，).图④基础题练考点1. (人教七下习题改编)在平面直角坐标系中，已知点A(2－a，3a＋1).(1)若点A在x轴上，则a的值为 ；(2)若点A在第一象限，则a的取值范围是 ；(3)若点B的坐标为(5，－1)，且直线AB∥y轴，则点A的坐标为 ；(4)若点A在第二、四象限的角平分线上，则点A到直线x＝1的距离为 ，点A与点(3，－2)之间的距离为 .－ － ＜a＜2 (5，－8) 2. (沪科八上复习题改编)在平面直角坐标系中，已知点A(2，3).(1)点A关于x轴对称的点的坐标为 ，关于y轴对称的点的坐标为 ，关于原点对称的点的坐标为 ；(2)点A关于直线x＝3对称的点的坐标为 ，点A关于直线y＝ 对称的点的坐标为(2，－1)；(3)点A先向上平移2个单位长度，再向左平移5个单位长度得到的点B的坐标为 ，连接AB，则线段AB的中点坐标为 .(2，－3) (－2，3) (－2，－3) (4，3) 1 (－3，5) (－ ，4) 3. (沪科八上例题改编)求下列函数中自变量的取值范围.(1)函数y＝ 中自变量x的取值范围为 ；(2)函数y＝ 中自变量x的取值范围为 ；(3)函数y＝ 中自变量x的取值范围为 .x≠－3 x≤5 x≥－2且x≠1 核心考点突破分析、判断实际问题的函数图象(10年2考)例1 (2022安徽5题4分)甲、乙、丙、丁四个人步行的路程和所用的时间如图所示，按平均速度计算，走得最快的是( A )A一题多解法A. 甲 B. 乙C. 丙 D. 丁解法一：【解析】如解图，甲、乙、丙、丁四个人步行的路程和时间满足正比例函数关系，即满足y＝kx(k≠0)，∴k＝ ＝ ＝速度，∴k越大，速度越大，走得越快，∴甲的速度最大，走得最快.解图例1 (2022安徽5题4分)甲、乙、丙、丁四个人步行的路程和所用的时间如图所示，按平均速度计算，走得最快的是( A )A一题多解法A. 甲 B. 乙C. 丙 D. 丁解法二：【解析】∵ ＝速度，∴由题图图象可知，v甲＝ ＝(km/min)，v乙＝ ＝ (km/min)，v丙＝ ＝ (km/min)，v丁＝(km/min)，∴v甲＞v乙＞v丁＞v丙，∴甲走得最快.解法三：【解析】∵30分钟甲比乙步行的路程多，50分钟丁比丙步行的路程多，∴甲的平均速度＞乙的平均速度，丁的平均速度＞丙的平均速度，∵步行3千米时，甲比丁用的时间少，∴甲的平均速度＞丁的平均速度，∴走得最快的是甲.例2 (北师八上习题改编)已知A，B两地相距80 km，甲、乙两人沿同一条路从A地匀速前往B地，l1，l2分别表示甲、乙两人离开A地的距离s(km)与乙出发后的时间t(h)之间的关系，其函数关系图象如图所示.(1)〔图象分析〕下列说法正确的是( D )A. 乙出发1.5 h后，甲才出发B. 甲的速度为40 km/h，乙的速度为20 km/hC. 甲、乙两人相距20 km时，乙行驶了 hD. 甲比乙提前3 h到达B地D【解析】A. 乙出发1 h后，甲才出发，选项A错误；B. 由题图可知，甲的速度为 ＝40(km/h)，乙的速度为 km/h，选项B错误；C. 易得直线l1的函数表达式为s＝40t－40，直线l2的函数表达式为s＝ t，观察图象可知，在乙出发1.5 h后，甲、乙两人会相遇，当甲未到达B地时，甲、乙两人相距d＝40t－40－ t＝ t－40，令d＝20，解得t＝ ，当甲到达B地时，甲、乙两人相距d＝－ t＋80，令d＝20，解得t＝ ，∴经过 h或 h后，甲、乙两人相距20 km，选项C错误；D.乙从A地到达B地的时间为80÷ ＝6 (h)，∴甲比乙提前6－2－1＝3 (h)到达B地，选项D正确.(2)〔图象判断〕从两人出发直至均到达B地的过程中，能表示甲、乙两人之间距离d(km)随乙出发后的时间t(h)变化的函数关系图象是( C )C题后反思如果x轴表示乙出发后的时间，y轴表示甲、乙两人与B地的距离，你能画出他们的函数图象吗？解：画出函数图象如解图所示.解图方法解读分析实际问题判断函数图象的解题方法：1. 弄清楚横轴与纵轴所表示的函数变量；2. 找起点：结合题干中所给自变量及因变量的取值范围，在图象中找相对应的起点；3. 拐点：图象上的拐点既是前一段函数图象的终点，又是后一段函数图象的起点，反映函数图象在这一时刻开始发生变化；4. 水平线：函数值随自变量的变化而保持不变；5. 交点：表示两个函数的自变量与函数值分别对应相等，这个交点是函数值大小关系的“分界点”.练习 (沪科八上习题改编)已知A，B两地相距30千米，乙从B地以6千米/小时的速度步行前往A地，20分钟后，甲从A地以14千米/小时的速度骑自行车前往B地，两人相遇时停止.下列选项中，能反映乙行走的时间x(小时)与两人之间的距离y(千米)的函数关系的图象是( B )B【点拨】结合路程=分析图象.【解析】∵乙先走20分钟，6× ＝2(千米)，∴图象第一个拐点是(，28)，故选项A，C错误；20分钟后，甲出发，28÷(14＋6)＝ (小时)，∴两人在乙出发后第 小时时相遇，运动停止，故选项D错误，选项B正确. 展开更多...... 收起↑ 资源列表 第10节 课时1 反比例函数的图象与性质.pptx 第10节 课时2 提升课 反比例函数与一次函数、几何图形综合.pptx 第11节 课时1 二次函数的图象与性质.pptx 第11节 课时2 提升课 函数图象与系数的关系.pptx 第11节 课时3 提升课 二次函数性质综合题.pptx 第12节 函数的实际应用.pptx 第8节 课时1 平面直角坐标系点坐标特征及函数初步.pptx 第8节 课时2 提升课 分析几何图形动态问题判断函数图象.pptx 第9节 一次函数的图象与性质.pptx
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