资源简介 (共23张PPT)第四章 三角形第14节 一般三角形及其性质节前复习导图三角形的分类三角形的边、角关系三角形的重要线段按边分按角分边的关系角的关系边角关系中线高线角平分线中位线一般三角形及其性质考点梳理考点精讲三角形的分类按边分三边都不相等的三角形等腰三角形底≠腰的等腰三角形_____________按角分：锐角三角形、_____________、钝角三角形等边三角形 直角三角形 边角关系：同一个三角形中，等边对________三角形的边、角关系边的关系：三角形中任意两边的和 第三边三角形中任意两边的差 第三边角的关系内角和定理：三角形的内角和等于180°三角形的外角 与它不相邻的两个内角的和三角形的外角 与它不相邻的任何一个内角大于小于等于大于等角 三角形中的重要线段 四线 图形 性质 延伸中线 AD是中线 BD= = BC (1)S△ABD=S△ACD=S△ABC；(2)三角形三条中线的交点为三角形的重心；(3)重心到三角形顶点的距离等于它到该顶点对边中心距离的2倍高线 AD是高线 AD⊥ ，即∠ADB= ∠ADC=90° 三角形的三条高线所在的直线的交点为三角形的垂心CD BC四线 图形 性质 延伸角平 分线 AD是角平分线 ∠BAD=________=∠BAC (1)三角形三个内角平分线的交点为三角形的内心；(2)内心到三角形三边距离相等中位线 DE是中位线 DE∥BC且DE= BC 【适用情况】当三角形中遇到中点时，常构造三角形中位线，可简单地概括为“已知中点找中位线”三角形中的重要线段 ∠CAD 【拓展知识】(1)外心：三角形三边垂直平分线的交点； (2)外心到三角形三个顶点的距离相等【满分技法】三角形的中位线、中线、角平分线一定在三角形内，而高线的位置可能在三角形内、三角形外或与三角形的边重合，当题目已知高线且未提供图形时，应考虑高线的不同位置，通常需要分类三角形中的重要线段 基础题练考点1. 下列图形具有稳定性的是( B )2. (沪科八上练习题改编)下列各组数中，能构成三角形三边长的是( C )A. 1，1，2 B. 1，1，3C. 1，2，2 D. 1，2，3BC3. (2025广东省卷) 如图，点D，E，F分别是 △ABC各边上的中点，∠A＝70°，则 ∠EDF＝( C )A. 20° B. 40°C. 70° D. 110°C4. (2025六安模拟)如图，DE为△ABC的中位线，点F在DE上，且∠AFB＝90°，若AB＝6，BC＝10，则EF的长为( A )A. 2 B. 3C. 4 D. 5A5. 如图，DE是△ABC中AC边的垂直平分线，若BC＝8厘米，AB＝10厘米，则△EBC的周长为( B )A. 16 厘米 B. 18 厘米C. 26 厘米 D. 28 厘米【解析】∵DE是△ABC中AC边的垂直平分线，∴AE＝CE，∴△EBC的周长＝BC＋BE＋CE＝BC＋BE＋AE＝BC＋AB＝10＋8＝18(厘米).B6. (2025合肥庐阳区校级模拟)如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，∠BAC，∠ABC的平分线交于点D，DE⊥BC于点E，DF⊥AC于点F，则CE的长为( B )A. 1.6 B. 2C. 2.4 D. 3B【解析】如解图，过点D作DH⊥AB于点H，∵BD平分∠ABC，AD平分∠BAC，DE⊥BC，DF⊥AC，∴DE＝DH，DF＝DH，∴DE＝DF. ∵∠DEC＝∠DFC＝∠C＝90°，∴四边形DECF是正方形，∴CE＝DE＝CF. ∵∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，∴AB＝ ＝10.∵BD平分∠ABC，∴∠DBH＝∠DBE.∵∠BHD＝∠BED，BD＝BD，∴△BDH≌△BDE，∴BE＝BH，同理可得，△AFD≌△AHD，∴AF＝AH.∵CE＋CF＝BC＋AC－(BE＋AF)，∴2CE＝BC＋AC－(BH＋AH)＝BC＋AC－AB＝6＋8－10＝4，∴CE＝2.解图7. (沪科八上习题改编)如图，D是△ABC中BC边上一点，连接AD.(1)若∠B＝30°，∠BAD＝25°，则∠ADC的度数为 ；【解析】∵∠ADC是△BAD的一个外角，∴∠ADC＝∠BAD＋∠B＝55°.55° (2)若∠BAC＝∠B＋20°，∠C＝60°，则∠B的度数为 ；【解析】在△ABC中，∵∠C＋∠B＋∠BAC＝180°，∴60°＋∠B＋∠B＋20°＝180°，∴∠B＝50°.(3)若∠B∶∠C∶∠BAC＝2∶3∶5，则△ABC是 三角形.(填“钝角”“锐角”或“直角”)【解析】∵∠B∶∠C∶∠BAC＝2∶3∶5，且∠B＋∠C＋∠BAC＝180°，∴∠BAC＝90°，∴△ABC是直角三角形.50° 直角 8. (人教八上习题改编)如图，在△ABC中，AB＝8，BC＝6，CE⊥AB于点E，AD⊥BC于点D，则 的值为 . 【解析】∵AB＝8，BC＝6，AB，BC边上的高分别为CE，AD，∴S△ABC＝ AB·CE＝ BC·AD，∴ ×8CE＝ ×6AD，∴ ＝ ＝ .核心考点突破与三角形重要线段有关的计算(10年12考，常在几何综合题中考查)例1 〔高线、角平分线、中线〕(沪科八上复习题改编)如图，在△ABC中，AE为边BC上的高，D为边BC上的一点，连接AD.(1)若D为边BC的中点，AE＝5，△ABC的面积为30，求CD的长；(1)解：∵AE⊥BC，AE＝5，△ABC的面积为30，∴S△ABC＝ BC·AE＝30，即 BC×5＝30，解得BC＝12.∵D是BC的中点，∴CD＝ BC＝6；在△ABC中，AE为边BC上的高，D为边BC上的一点，连接AD.(2)若AD平分∠BAC，∠C＝α，∠B＝β(α＞β)，①试用含α，β的代数式表示∠DAE＝ ；【解法提示】由题意得，∠BAC＝180°－(∠C＋∠B)＝180°－(α＋β).∵AD平分∠BAC，∴∠CAD＝ ∠BAC＝90°－ (α＋β).∵AE是高线，∴∠AEC＝90°，∴∠CAE＝90°－∠C＝90°－α，∴∠DAE＝∠CAD－∠CAE＝90°－ (α＋β)－(90°－α)＝ . 在△ABC中，AE为边BC上的高，D为边BC上的一点，连接AD.(2)若AD平分∠BAC，∠C＝α，∠B＝β(α＞β)，②若∠C＝2∠B，求证：AC＋CE＝BE.②证明：如图，在BE上取一点G，使EG＝CE，连接AG，∵AE⊥BC，GE＝CE，∴AE为线段CG的垂直平分线，∴AC＝AG，∴∠AGC＝∠C.∵∠C＝2∠B，∴∠AGC＝2∠B.∵∠AGC＝∠B＋∠BAG，∴2∠B＝∠B＋∠BAG，∴∠B＝∠BAG，∴AG＝BG，∴BG＝CA，∴CA＋CE＝BG＋GE＝BE.G题后反思若∠C＝2∠B，AC＋CD＝AB成立吗？请说明理由.解：成立，理由如下：如图，在AB上截取AH＝AC，连接DH，∵AD平分∠BAC，∴∠HAD＝∠CAD，在△AHD和△ACD中，AH＝AC，∠HAD＝∠CAD，AD＝AD，∴△AHD≌△ACD(SAS)，∴DH＝DC，∠AHD＝∠C.∵∠C＝2∠B，∴∠AHD＝2∠B.∵∠AHD＝∠B＋∠HDB，∴2∠B＝∠B＋∠HDB，∴∠B＝∠HDB，∴HB＝HD，∴HB＝CD，∴AC＋CD＝AH＋HB＝AB.H例2 〔重心、内心〕如图，O为△ABC内一点.(1)若O是△ABC的重心，△ABC的面积为9，则△AOB的面积为 ；3 【解析】(1)如解图，延长CO交AB于点D，∵O为△ABC的重心，∴OC＝2OD，即OD∶CD＝1∶3.∵△AOD与△ADC的高相等，∴S△AOD＝S△ADC，同理可得S△BOD＝ S△BDC，∴S△AOD＋S△BOD＝(S△ADC＋S△BDC)，即S△AOB＝ S△ABC＝ ×9＝3；D(2)若O为△ABC的内心，∠OAB＝34°，∠OBC＝36°，则∠OCA的度数是 .【点拨】由点O为△ABC的内心，可知OA，OB，OC分别为∠BAC，∠ABC，∠BCA的平分线.20° 【解析】(2)∵点O为△ABC的内心，∴OA，OB，OC分别为∠BAC，∠ABC，∠BCA的平分线，∴∠BAC＝2∠OAB＝68°，∠ABC＝2∠OBC＝72°，∴∠OCA＝ ∠BCA＝ (180°－∠BAC－∠ABC)＝ (180°－68°－72°)＝20°.(共23张PPT)第四章 三角形第16节 全等三角形节前复习导图性质判定方法判定思路SSS（边边边）SAS（边角边）ASA（角边角）AAS（角角边）HL（斜边、直角边）已知两边对应相等已知一边和一角对应相等已知两角对应相等全等三角形考点梳理考点精讲1.全等三角形的对应边相等，对应角相等2.全等三角形的周长相等，面积相等3.全等三角形对应的中线、高线、角平分线、中位线都相等性质全等判定方法SSS(边边边) SAS(边角边) ASA(角边角) AAS(角角边) HL(斜边、直角边)三边分别相等的两个三角形全等(基本事实) 两边及其夹角分别相等的两个三角形全等(基本事实) 两角及其夹边分别相等的两个三角形全等(基本事实) 两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等 斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等3.已知两角对应相等判定思路1.已知两边对应相等找夹角→SAS找直角→HL或SAS找另一边→SSS2.已知一边和一角对应相等边为角的对边→找另外一个角→AAS边为角的一边找夹角的另一边→SAS找夹边的另一角→ASA找边的对角→AAS找夹边→ASA找一角的对边→AAS基础题练考点1. 〔平移型〕(沪科八上例题改编)如图，已知△ABC≌△DEF，点B，E，C，F依次在同一条直线上.若BC＝8，CE＝5，则CF的长为( A )A. 3 B. 4C. 5 D. 6【解析】∵△ABC≌△DEF，BC＝8，CE＝5，∴BC＝EF＝8，∴CF＝8－5＝3.A2. 〔旋转型〕如图，点B，F，E，C在一条直线上，AB∥CD，且AB＝CD，BF＝CE. 若∠AEB＝35°，则∠DFC的度数为( B )A. 32° B. 35°C. 37° D. 40°【点拨】①BE＝CF；②△ABE≌△DCF(SAS).B【解析】∵AB∥CD，∴∠B＝∠C.∵BF＝CE，∴BF＋EF＝EF＋CE，∴BE＝CF.∵AB＝CD，∴△ABE≌△DCF(SAS)，∴∠AEB＝∠DFC.∵∠AEB＝35°，∴∠DFC＝35°.模型分析基础 模型 1. 平移型2. 旋转型3. 〔对称型——有公共顶点〕(2025山西)如图，小谊将两根长度不等的木条AC，BD的中点连在一起，记中点为O，即AO＝CO，BO＝DO. 测得C，D两点之间的距离后，利用全等三角形的性质，可得花瓶内壁上A，B两点之间的距离.图中△AOB与△COD全等的依据是( B )A. SSS B. SASC. ASA D. HLB答题规范得分要点4. 〔对称型——有公共边〕(沪科八上复习题改编)如图，AB＝AC，DB＝DC，F是AD延长线上的一点.连接BF，CF，求证：∠BFA＝∠CFA.证明：∵AB＝AC，DB＝DC，AD＝AD，∴△ABD≌△ACD(SSS)，∴∠BAF＝∠CAF.又∵AB＝AC，AF＝AF，∴△ABF≌△ACF(SAS)，∴∠BFA＝∠CFA.公共边相等按照顺序依次罗列出对应关系并写出判定定理，得到相应三角形全等利用全等三角形性质得出结论基础 模型 3. 对称型——有公共顶点 4. 对称型——有公共边解题 思路 (1)找公共角、垂直、对顶角、等腰等条件得对应角相等；(2)找公共边、中点、等底角、相等边、线段的和差等条件得对应边相等模型分析核心考点突破全等三角形基本图形结构的综合应用(10年14考，常结合几何综合题考查)例1 〔旋转型〕(沪科八上习题改编)如图，在四边形ABCD中，E为AD上一点，连接BE，BD，AB＝BD，BE＝BC，∠ABD＝∠EBC＝90°.连接EC. 若∠ABE＝30°，AB＝4，求四边形ABCD的面积.解：如图，过点C作CF⊥BD于点F，∵AB＝BD，BE＝BC，∠ABD＝∠EBC＝90°，∴∠A＝∠ADB＝∠BEC＝∠BCE＝45°，∵∠ABD－∠EBD＝∠EBC－∠EBD，∴∠ABE＝∠DBC＝30°，在△AEB和△DCB中，∴△AEB≌△DCB(SAS)，∴∠A＝∠BDC＝45°，∟F在Rt△BCF中，∵∠DBC＝30°，∴BF＝ CF，在Rt△CDF中，DF＝CF，∵BD＝BF＋DF，即4＝ CF＋CF，解得CF＝2 －2，∴S△BCD＝ BD·CF＝ ×4×(2 －2)＝4 －4.∵S△ABD＝ AB·BD＝ ×4×4＝8，∴S四边形ABCD＝S△ABD＋S△BCD＝8＋(4 －4)＝4 ＋4.题型链接：更多试题详见本书 微专题 类型一 手拉手模型∟F例2 〔一线三等角〕如图，在等腰Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AD⊥CE于点D，BE⊥CE于点E，若DE＝2BE，求 cos ∠CAD的值.解：∵∠ACB＝90°，AD⊥CE，BE⊥CE，∴∠BCE＋∠ACD＝90°，∠ACD＋∠CAD＝90°，∴∠BCE＝∠CAD.∵△ABC为等腰直角三角形，∴AC＝BC，∵∠CEB＝∠ADC＝90°，∴△BCE≌△CAD(AAS)，∴BE＝CD，∠BCE＝∠CAD.∵DE＝2BE，∴CE＝DE＋DC＝3BE，∴BC＝ ＝ ＝ BE，∴ cos ∠CAD＝ cos ∠BCE＝ ＝ .例3 (一题多解法)〔截长补短型——截长补短〕如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，对角线AC，BD相交于点E，AE＝BE，∠DBC＝2∠ACB，若DE＝1，CE＝3，求AD的长.解法一：如图，延长线段ED至点F，使得AD＝DF，连接AF，∴∠DAF＝∠F.∵AD∥BC，∴∠DAE＝∠ACB，∠ADE＝∠DBC.∵∠DBC＝2∠ACB，∴∠ADE＝2∠DAE＝∠DAF＋∠F＝2∠F，∴∠F＝∠ACB，F在△BEC和△AEF中，∴△BEC≌△AEF(AAS)，∴CE＝FE.∵DE＝1，CE＝3，∴DF＝EF－DE＝CE－DE＝2，∴AD＝DF＝2.F解法二：如图，作∠DBC的平分线，交AC于点F，∴∠EBF＝∠CBF.∵∠DBC＝2∠ACB，∴∠FBE＝∠FBC＝∠ACB.∵AD∥BC，∴∠DAE＝∠ACB，∴∠DAE＝∠FBE.例3 (一题多解法)〔截长补短型——截长补短〕如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，对角线AC，BD相交于点E，AE＝BE，∠DBC＝2∠ACB，若DE＝1，CE＝3，求AD的长.F在△ADE和△BFE中，∴△ADE≌△BFE(ASA)，∴AD＝BF，DE＝FE.∵DE＝1，CE＝3，∴CF＝CE－FE＝2.∵∠FBC＝∠FCB，∴CF＝BF＝2，∴AD＝2.F例4 (一题多解法)〔截长补短型——构造 、 倍线段关系〕如图，在正方形ABCD中，E，F分别为BC，CD的中点，AF和DE相交于点P，连接BP，CP. 求证：PE＋PF＝ PC.解法一：如图，延长DE至点N，使EN＝PF，连接CN，由题意易得△ADF≌△DCE，∴∠AFD＝∠DEC，∴∠CEN＝∠CFP.N∵四边形ABCD为正方形，E，F分别为BC，CD的中点，∴CE＝CF.∴△CEN≌△CFP(SAS)，∴NC＝PC，∠NCE＝∠PCF，∴∠PCN＝∠DCB＝90°，∴△PCN是等腰直角三角形，∴PN＝ PC.∵PN＝PE＋EN＝PE＋PF，∴PE＋PF＝ PC.N解法二：如图，过点C作CM⊥PC交AF的延长线于点M，易知∠EPM＝90°，通过证明△MFC≌△PEC(ASA)，得到MF＝PE，MC＝PC，从而得到△PCM为等腰直角三角形，此时PM＝ PC，即可得证.例4 (一题多解法)〔截长补短型——构造 、 倍线段关系〕如图，在正方形ABCD中，E，F分别为BC，CD的中点，AF和DE相交于点P，连接BP，CP. 求证：PE＋PF＝ PC.∟M(共42张PPT)第四章 三角形第17节 相似三角形(含位似)节前复习导图互逆相似三角形相似三角形性质相似判定方法相似多边形及其性质图形的位似两角两边一角三边定义性质定义性质考点梳理考点精讲1.相似三角形的对应角相等，对应边成比例2.相似三角形的对应线段(边、高、中线、角平分线)成比例，且等于相似比3.相似三角形周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方相似三角形的性质相似判定方法三边成比例的两个三角形相似 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似 两角分别相等的两个三角形相似 如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似(运用前需证明)相似多边形及其性质定义：各角对应相等，各边对应成比例的两个多边形叫做相似多边形，相似多边形对应边的比叫做相似比性质1.相似多边形对应角相等，对应边成比例2.相似多边形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方定义：如图①，②，两个多边形的顶点A与A′、B与B′、C与C′…的连线都经过同一点O，并且===…=k，像这样的两个多边形叫做位似多边形，点O叫做位似中心图形的位似图①图②【满分技法】位似变化与坐标的关系： 在平面直角坐标系中，如果以原点为位似中心，画出一个与原图形位似的图形，使它与原图形的相似比为k，那么与原图形上的点(x，y)对应的位似图形上的点的坐标为(－kx，－ky)或(kx，ky)(注：有两种情况)图形的位似性质1.位似图形是相似图形，具有相似图形的性质2.位似图形上的任意一组对应点到位似中心的距离之比等于相似比3.位似图形中的对应边平行(或在一条直线上)基础题练考点1. 如图，已知△ABC的角度和边长，则下列选项中的图形不一定与其相似的是( C )C2. (沪科九上习题改编)如图，在△ABC中，D，E分别是边AB，AC上的点，DE∥BC，且 ＝ .则 ＝ . 3. (沪科九上练习题改编)如图，点P在△ABC的边AB上，∠A＝70°，∠B＝45°，若△ABC∽△ACP，则∠APC的度数为 .65° 4. (2025 )如图，在平行四边形ABCD中，O是CD边上一点，连接AO并延长，与BC的延长线交于点E，若CO＝2OD，AD＝2，则BE的长为 .6 5. (人教九下习题、沪科九上习题改编)如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，若BD＝4，CD＝6，则AD的长为 .9 【解析】∵在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，∴∠ACB＝90°，∠CDA＝∠BDC＝90°，∴∠ACD＋∠BCD＝90°，∠A＋∠ACD＝90°，∴∠A＝∠BCD，∴△ACD∽△CBD，∴ ＝ ，∴AD＝ ＝ ＝9.6. (沪科九上复习题改编)如图，线段AE，BD交于点C，连接AB，DE，若AC＝9，CE＝4，BC＝CD＝6，DE＝3，则AB＝ .【解析】∵AC＝9，CE＝4，BC＝CD＝6，∴ ＝ ＝ .∵∠ACB＝∠DCE，∴△ACB∽△DCE，∴ ＝ ＝ .∵DE＝3，∴AB＝ . 7. (沪科九上习题改编)如图，△ABC与△DEF位似，点O是位似中心，其中OD＝2OA，△ABC的周长为10，则△DEF的周长是 .20 【解析】∵△ABC与△DEF位似，∴△ABC∽△DEF，AB∥DE，∴△OAB∽△ODE，∴ ＝ ＝ ，∴△ABC与△DEF的周长比为∶2.∵△ABC的周长为10，∴△DEF的周长是20.模型分析基础 模型 1. 8字型2. A字型解题 思路 (1)找同侧的一组相等角(2)找异侧的一组相等角核心考点突破相似三角形基本图形结构的综合应用(10年5考)例1 〔8字型〕如图，点E，F分别在菱形ABCD的边AB，AD上，且AE＝DF，BF交DE于点G，延长BF交CD的延长线于点H，若 ＝2，求 的值.答题规范得分要点解：∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC＝CD＝AD.∵ ＝2，∴设DF＝a，则AE＝DF＝a，AF＝EB＝2a，AB＝BC＝CD＝AD＝3a.∵HD∥AB，∴△HFD∽△BFA，∴ ＝ ＝ ＝ ，由菱形性质得邻边相等由平行线性质得到一组对应角相等对应顶点的字母写在对应的位置上利用相似三角形的性质得到对应边成比例答题规范得分要点∴HD＝1.5a， ＝ ，∴FH＝ BH.∵HD∥BE，∴△DGH∽△EGB，∴ ＝ ＝ ＝ ，∴ ＝ ，∴BG＝ BH，∴ ＝ ＝ .由平行线性质得到一组对应角相等对应顶点的字母写在对应的位置上利用相似三角形的性质得到对应边成比例例2 〔A字型〕如图，在锐角三角形ABC中，点D，E分别在边AC，AB上，AG⊥BC于点G，AF⊥DE于点F，∠EAF＝∠GAC. 若AD＝3，AB＝5，求 的值.解：在△ABC中，∵AG⊥BC于点G，AF⊥DE于点F，∴∠AFE＝∠AGC＝90°.∵∠EAF＝∠GAC，∴∠AED＝∠C.∵∠DAE＝∠BAC，∴△ADE∽△ABC，∴ ＝ ＝ .又∵∠AFE＝∠AGC，∠EAF＝∠CAG，∴△AEF∽△ACG，∴ ＝ ＝ .例3 〔一线三等角〕如图，M为线段AB的中点，AE与BD交于点C，∠DME＝∠A＝∠B＝α，且DM交AC于点F，ME交BC于点G. 连接FG，若α＝45°，AB＝4 ，AF＝3，求FG的长.解：当α＝45°时，易得AC⊥BC且AC＝BC，∵M为AB中点，AB＝4 ，∴AM＝BM＝2 ，由题知∠A＝∠B＝∠DME＝α，∵∠AFM＝∠DME＋∠E，∠BMG＝∠A＋∠E，∴∠AFM＝∠BMG，∴△AMF∽△BGM，∴ ＝ ，即 ＝ ，∴BG＝ ，∵AC＝BC＝AB· cos 45°＝4 × cos 45°＝4，∴GC＝BC－BG＝4－ ＝ ，CF＝AC－AF＝4－3＝1，∴在Rt△CFG中，根据勾股定理，FG＝ ＝ ＝ .题型链接：更多试题详见本书 微专题 利用一线三等角解决全等、相似问题例4 〔旋转放缩型〕如图①，在△ABC中，点D，E分别是AB，AC边上的点，DE∥BC，将△ADE绕点A逆时针旋转到如图②所示位置，连接BD，CD，已知AB＝2，AC＝ ，∠DBC＝30°，CD⊥BD，当B，D，E在同一直线上时，求AD的长.解：如图②，连接CE，设CD＝x，∵CD⊥BD，∠DBC＝30°，∴BC＝2x，BD＝ x，∵在题图①中，DE∥BC∴∠ADE＝∠ABC由旋转得，∠DAE＝∠BAC，∴△ADE∽△ABC，∴ ＝ ＝ ，∴ ＝ .∵∠DAE＝∠BAC∴∠CAE＝∠BAD，∴△ACE∽△ABD，∴ ＝ ＝ ，∴ ＝ ，∴CE＝ x，在Rt△CDE中，DE＝ ＝ x，∵ ＝ ，∴ ＝ ，∴AD＝ .题型链接：更多试题详见本书 微专题 类型一 手拉手模型安徽真题及变式相似三角形的性质与判定(10年5考)( 快答App·答疑高频考点1 020次)命题点11. (2020安徽8题4分)如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，点D在AC上，∠DBC＝∠A. 若AC＝4， cos A＝ ，则BD的长度为( C )A. B.C. D. 4C【解析】∵在Rt△ABC中，AC＝4， cos A＝ ＝ ，∴AB＝5，∴BC＝ ＝ ＝3.∵∠DBC＝∠A，∠C＝∠C，∴△DBC∽△BAC，∴ ＝ ，∴BD＝ ×5＝ .变式1.1 变条件——线段从内变到外如图，在Rt△ABC中，AC＝6，BC＝10，点D在BC的延长线上，且∠BAD－∠B＝90°，则AD＋CD的值为( B )A. 20 B. 30C. 40 D. 16B【解析】由题意可得，AB＝ ＝8，∵∠BAD－∠B＝90°，∠BAD－∠CAD＝90°，∴∠B＝∠CAD，∴△BAD∽△ACD，∴ ＝ ＝ ，∴ ＝ ＝ ，∴4AD＝30＋3CD，3AD＝4CD，两式相减得AD＋CD＝30.2. (2019安徽7题4分)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝12，点D在边BC上，点E在线段AD上，EF⊥AC于点F，EG⊥EF交AB于点G，若EF＝EG，则CD的长为( B )A. 3.6 B. 4C. 4.8 D. 5B【解析】如图，过点D作DH∥EG交AB于点H，∵∠ACB＝90°，EF⊥AC，EG⊥EF，∴EF∥DC，∴ ＝ ＝ .∵EF＝EG，∴CD＝DH. 易得DH∥EG∥AC，∴ ＝ .设CD＝DH＝x，则有 ＝ ，解得x＝4，∴CD＝4.H变式2.1 变图形——变为一般三角形如图，在△ABC中，AB＝3，BC＝5，点D在边AB上，点E在线段CD上，EF∥AB交BC于点F，EG∥BC交AC于点G，若EF＝EG，则BD的长为( C )A. 2 B.C. D. 无法确定C【点拨】①过点D作DH∥BC交AC于点H；②△CEG∽△CDH，△ADH∽△ABC；③＝【解析】如图，过点D作DH∥BC交AC于点H，由题意可得，EG∥BC∥DH，∴△CEG∽△CDH，∴ ＝ ，同理可得 ＝ ，∴ ＝ .∵EF＝EG，∴BD＝DH，∵DH∥BC，∴△ADH∽△ABC，∴ ＝ 即 ＝ ，∴BD＝ .H全等、相似三角形的综合应用(近10年连续考查，常在几何综合题考查)命题点23. (2023安徽22题12分)在Rt△ABC中，M是斜边AB的中点，将线段MA绕点M旋转至MD位置，点D在直线AB外，连接AD，BD.(1)如图①，求∠ADB的大小；图①一题多解法(1)解法一：∵线段MA绕点M旋转至MD位置，∴MA＝MD，∴∠MAD＝∠MDA.∵M是AB的中点，∴MA＝MB，∴MB＝MD，∴∠MBD＝∠MDB.∵∠DAB＋∠ABD＋∠ADB＝180°，∴∠MAD＋∠MDA＋∠MBD＋∠MDB＝180°，∴2∠MDA＋2∠MDB＝180°，∴∠MDA＋∠MDB＝90°，∴∠ADB＝90°；(4分)图①解法二：如解图①，连接CM，∵∠ACB＝90°，M为AB的中点，∴MA＝MC＝MB，∵MD＝MA，∴A，C，D，B四点共圆，∴∠ADB＝∠ACB＝90°；(4分)解图① (2023安徽22题12分)在Rt△ABC中，M是斜边AB的中点，将线段MA绕点M旋转至MD位置，点D在直线AB外，连接AD，BD.一题多解法(1)如图①，求∠ADB的大小；图① M是斜边AB的中点，将线段MA绕点M旋转至MD位置，点D在直线AB外，连接AD，BD.(2)已知点D和边AC上的点E满足ME⊥AD，DE∥AB.(i)如图②，连接CD，求证：BD＝CD；图②一题多解法解法一：如图②，连接CM，∵点M是AB的中点，∠ACB＝90°，∴AM＝CM＝BM，∵EM⊥AD，由(1)知∠ADB＝90°，即DB⊥AD，∴EM∥BD，∵ED∥BM，∴四边形EMBD是平行四边形，∴ED＝BM，∴ED＝AM，∴四边形AMDE是平行四边形，∴AE∥DM，∴∠EAM＝∠DMB，∠ACM＝∠DMC，∵AM＝CM，∴∠EAM＝∠ACM，∴∠DMB＝∠DMC，∵MC＝MB，MD＝MD，∴△MCD≌△MBD(SAS)，∴BD＝CD；(8分)图②解法二：如解图②，由(1)知，A，C，D，B四点共圆，∵BD⊥AD，ME⊥AD，∴ME∥BD，∵DE∥AB，∴四边形DEMB为平行四边形，∴DE＝MB， M是斜边AB的中点，将线段MA绕点M旋转至MD位置，点D在直线AB外，连接AD，BD.(2)已知点D和边AC上的点E满足ME⊥AD，DE∥AB.(i)如图②，连接CD，求证：BD＝CD；一题多解法解图②图②∴DE＝AM，∴四边形EDMA为平行四边形，∵EM⊥AD，∴四边形EDMA为菱形，∴∠DAB＝∠CAD，∴ ＝ ，∴BD＝CD；(8分)解图② M是斜边AB的中点，将线段MA绕点M旋转至MD位置，点D在直线AB外，连接AD，BD.(2)已知点D和边AC上的点E满足ME⊥AD，DE∥AB.(ii)如图③，连接BE，若AC＝8，BC＝6，求tan∠ABE的值.图③一题多解法解法一：如图③，过点E作EH⊥AB于点H，∵AC＝8，BC＝6，∴AB＝ ＝10.∵EM⊥AD，∴四边形AMDE是菱形，∴AE＝AM＝ AB＝5，∟H∵∠EAH＝∠BAC，∠EHA＝∠BCA＝90°，∴△EAH∽△BAC，∴ ＝ ＝ ＝ ＝ ，∴EH＝3，AH＝4，∴BH＝AB－AH＝10－4＝6，∴tan ∠ABE＝ ＝ ＝ .(12分)图③∟H解法二：如解图③，过点E作EQ⊥AB于点Q，由(1)知，A，C，D，B四点共圆，∵AC＝8，BC＝6，∴AB＝ ＝10，由(i)知四边形EDMA为菱形，∴AM＝AE＝ AB＝5， sin ∠BAC＝ ，∴EQ＝3，AQ＝4，∴BQ＝6，∴tan∠ABE＝ ＝ ＝ .(12分) M是斜边AB的中点，将线段MA绕点M旋转至MD位置，点D在直线AB外，连接AD，BD.(2)已知点D和边AC上的点E满足ME⊥AD，DE∥AB.(ii)如图③，连接BE，若AC＝8，BC＝6，求tan∠ABE的值.一题多解法图③图③(共37张PPT)第四章 三角形第18节 解直角三角形及其应用节前复习导图特殊角解直角三角形及其应用锐角三角函数定义30°，45°，60°的三角函数值解直角三角形的实际应用正弦余弦正切仰角、俯角坡度(坡比)、坡角方向角考点梳理考点精讲如图①，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A为△ABC中的一个锐角，则有： ∠A的正弦：sin A=______ ∠A的余弦：cos A=_______ ∠A的正切：tan A=________锐角三角函数定义图① 特殊角的三角函数值 【满分技法】边角间的关系：sin A=cos B=；cos A=sin B=；tan A=；tan B=.锐角三角函数定义α 30° 45° 60° 三角 函数 sin α _______ _____ cos α ______ _______ tan α ______ 1仰角、俯角：如图②，在视线与水平线所夹的角中，当视线在水平线上方时叫做仰角；当视线在水平线下方时叫做俯角解直角三角形的实际应用坡度(坡比)、坡角：如图③，坡面的铅直高度h和水平宽度l的比叫坡度(坡比)，用字母i表示；坡面与水平线的夹角α叫坡角，i=tan α=图②图③方位角：一般指以观测者的位置为中心，将正北或正南方向作为起始方向旋转到目标方向线所成的角(一般指锐角)，通常表达成北(南)偏东(西)多少度，如图④，A点位于O点的北偏东30°方向，B点位于O点的南偏东60°方向，C点位于O点的北偏西45°方向(或西北方向)解直角三角形的实际应用图④解直角三角形的实际应用【满分技法】几何测量问题中，计算结果要求精确到哪一位，即将结果四舍五入到哪一位，如3.146 5保留整数是______，精确到0.1或精确到十分位为_______，精确到0.01或百分位为_____3 3.13.15基础题练考点1. 如图，乙地在甲地的北偏东50°方向上，则∠1的度数为( B )A. 60° B. 50°C. 40° D. 30°B2. (2025云南)如图，在Rt△ABC中， ∠C＝90°. 若AB＝13， BC＝5，则 sin A＝( D )A. B.C. D.D【解析】∵∠C＝90°，AB＝13，BC＝5，∴在Rt△ABC中， sin A＝＝ .3. 某小型水库拦水坝的横断面如图所示，背水坡AB的坡度i＝2∶1，测得坝高BC＝6 m，则坡面AB的长度为( C )A. 3 m B. 3 mC. 3 m D. 4 m【解析】∵背水坡AB的坡度i＝2∶1，∴BC∶AC＝2∶1.∵BC＝6 m，∴AC＝3 m，由勾股定理得AB＝ ＝ ＝3 (m).C4. (2025合肥庐阳区校级模拟)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D在BC边上，若AC＝5，BD＝7，tan∠ADC＝1，则 sin B为( A )A. B.C. D.【解析】∵∠C＝90°，点D在BC边上，AC＝5，BD＝7，tan∠ADC＝1，∴CD＝AC＝5，∴BC＝BD＋CD＝7＋5＝12，∴AB＝ ＝13，∴ sin B＝ ＝ .A5. (2025湖北省卷改编)如图，甲、乙两栋楼相距30 m，从甲楼A处看乙楼顶部B的仰角为 35°，A到地面的距离为18 m，则乙楼的高约为(参考数据： tan 35°≈0.7)( C )A. 35 m B. 37 mC. 39 m D. 42 mC【点拨】在Rt△ABC中，tan∠BAC＝，求出BC即可.【解析】如解图，由题意，得四边形AEDC为矩形，∠BAC＝35°，AE＝18 m，DE＝30 m，∴∠ACB＝180°－∠ACD＝180°－90°＝90°，CD＝AE＝18 m，AC＝DE＝30 m.∵在Rt△ABC中，tan∠BAC＝ ，∴BC＝AC·tan∠BAC＝30×tan 35°≈30×0.7＝21(m)，∴BD＝BC＋CD＝21＋18＝39(m)，∴乙楼的高约为39 m.解图安徽真题及变式命题点解直角三角形的实际应用(近10年连续考查，2019年与垂径定理的应用结合考查)( 快答App·答疑高频考点1 614次)类型一 背靠背型(10年3考)图形 示例常考关系式 BC＝BD＋CD AE＝CD，BC＝BE＋CE＝BE＋AD AE＝DF，BC＝BE＋EF＋FC＝BE＋AD＋FC1. (2025安徽17题8分)某公司为庆祝新产品上市，在甲楼与乙楼的楼顶之间悬挂彩带营造喜庆气氛.如图所示，甲楼和乙楼分别用与水平地面垂直的线段AB和CD表示，彩带用线段AD表示.工作人员在点A处测得点C的俯角为23.8°，测得点D的仰角为36.9°.已知AB＝13.20 m，求AD的长(精确到0.1 m).参考数据： sin 23.8°≈0.40， cos 23.8°≈0.91，tan 23.8°≈0.44，sin 36.9°≈0.60， cos 36.9°≈0.80，tan 36.9°≈0.75.解：如解图，过点A作AE⊥CD，垂足为E.由题意知，四边形ABCE为矩形，∴CE＝AB＝13.20 m，在Rt△ACE中，tan∠CAE＝ ，∴AE＝ ＝ ≈ ＝30.0(m)，在Rt△ADE中， cos ∠DAE＝ ，∴AD＝ ＝ ≈ ＝37.5(m)，∴AD的长约为37.5 m.(8分)∟E解图2. (2022安徽20题10分)如图，为了测量河对岸 A，B两点间的距离，数学兴趣小组在河岸南侧选定观测点 C，测得 A，B均在 C的北偏东 37°方向上，沿正东方向行走90米至观测点D，测得A在D的正北方向，B在D的北偏西 53°方向上.求 A，B两点间的距离.参考数据： sin 37°≈0.60， cos 37°≈0.80，tan 37°≈0.75.解：如解图，由题意可知，CE∥AD，∠ECA＝37°，∠ADB＝53°，∴∠A＝∠ECA＝37°，∴∠ABD＝180°－∠A－∠ADB＝90°.(2分)在Rt△CBD中，CD＝90米，∠BDC＝90°－∠ADB＝37°，∴BD＝CD· cos 37°≈90×0.8＝72(米)，(5分)在Rt△ABD中，∠A＝37°，BD＝72米，∴AB＝ ≈ ＝96(米).(8分)答：A，B两点间的距离约为96米.(10分)解图类型二 母子型(10年4考)图形 示例常考 关系 式 AB＝AD－BD 在Rt△ACD和Rt△BCD中，CD＝CD CE＝BD，AB＝BE＋AE＝CD＋AE3. (2023安徽19题10分)如图，O，R是同一水平线上的两点，无人机从O点竖直上升到A点时，测得A到R点的距离为40 m，R点的俯角为24.2°，无人机继续竖直上升到B点，测得R点的俯角为36.9°.求无人机从A点到B点的上升高度AB(精确到0.1 m).参考数据： sin 24.2°≈0.41， cos 24.2°≈0.91，tan 24.2°≈0.45，sin 36.9°≈0.60， cos 36.9°≈0.80，tan 36.9°≈0.75.解：在Rt△ARO中，∵AR＝40，∠ARO＝24.2°，∴AO＝AR· sin ∠ARO＝40 sin 24.2°，RO＝AR· cos ∠ARO＝40 cos 24.2°，(4分)在Rt△BRO中，∵∠BRO＝36.9°，∴BO＝OR·tan∠BRO＝OR·tan 36.9°，∴AB＝BO－AO＝40 cos 24.2°·tan 36.9°－40 sin 24.2°≈10.9(m).答：无人机从A点到B点的上升高度AB约为10.9 m.(10分)4. (2024安徽19题10分·源自沪科九上习题)科技社团选择学校游泳池进行一次光的折射实验.如图，光线自点B处发出，经水面点E折射到池底点A处.已知BE与水平线的夹角α＝36.9°，点B到水面的距离BC＝1.20 m，点A处水深为1.20 m，到池壁的水平距离AD＝2.50 m.点B，C，D在同一条竖直线上，所有点都在同一竖直平面内.记入射角为β，折射角为γ，求 的值(精确到0.1).参考数据： sin 36.9°≈0.60， cos 36.9°≈0.80，tan 36.9°≈0.75.解：如解图，过点E作EH⊥AD，垂足为H.由题意可知，∠CEB＝α＝36.9°，EH＝1.20 m，∴CE＝ ≈ ＝1.60(m)，∴AH＝AD－CE＝2.50－1.60＝0.90(m)，∴AE＝ ＝ ＝1.50(m)，∴ sin γ＝ ＝ ＝0.60.又∵ sin β＝ sin ∠CBE＝ ＝ cos ∠CEB＝ cos α≈0.80，∴ ＝ ≈1.3.(10分)∟H解图新考法推荐5. [项目式学习](2025合肥校级模拟)下面为某中学科学探索小组的学生在完成“测量南淝河两岸距离”之后撰写的项目报告(部分).项目 主题 测量南淝河两岸距离项目 背景 南淝河是合肥的母亲河，对其两岸距离的精确测量，有助于河道生态保护，景观规划以及桥梁建设等工作的开展.某中学科学探索小组决定开展测量南淝河两岸距离的实践活动测量 工具 测角仪，卷尺测量 示意图测量 过程 1.在南淝河南岸CD的点F处放置测角仪，从点F处测得北岸点E的仰角∠CFE＝53°；2.使用卷尺从点F处沿南岸CD方向量取12米，到达点G，在点G处放置测角仪，从点G处测得北岸点E的仰角∠CGE＝45°.注：测角仪的高度忽略不计请你根据报告中的测量数据，计算南淝河两岸之间的距离.(精确到1米.参考数据： sin 53°≈ ， cos 53°≈ ，tan 53°≈ )解：如解图，过点E作EH⊥CD于点H，设EH＝x米，在Rt△EHF中，∠CFE＝53°，∴FH＝ ＝ 米，在Rt△EHG中，∠CGF＝45°，∴GH＝EH＝x米.∵GH－FH＝FG＝12米，∴x－ ＝12，解得x≈48，答：南淝河两岸之间的距离约为48米.∟H解图类型三 拥抱型(2018.19)图形 示例常考 关系 式 在Rt△ABC和Rt△BCD中，BC＝BC CF＝BC－BF＝EF－CE AB＝GE，AG＝BE，BC＋CE＝AG6. (2025合肥蜀山区一模)如图，在淮河的右岸边有一座高楼AB，左岸边有一坡度i＝1∶ 的山坡CF，点C与点B在同一水平面上，CF与AB在同一平面内.某数学兴趣小组为了测量楼AB的高度，在坡底C处测得楼顶A的仰角为45°，然后沿坡面CF上行了20 米到达点D处，D在水平面上的投影为点E，此时在D处测得楼顶A的仰角恰好等于∠DCE，求楼AB的高度.(结果保留整数)(参考数据： ≈1.414)解：由于山坡CF的坡度i＝1∶ ，不妨设DE＝x米，则CE＝ x米，又∵CD＝20 米，∴x2＋( x)2＝(20 )2，解得x＝20(负值已舍去)，∴DE＝20米，CE＝20 米，如解图，过点D作DG⊥AB，垂足为G，则四边形DEBG为矩形，∴BG＝DE＝20 m，DG＝BE，解图由题意知，△ABC是等腰直角三角形，∴设AB＝a米，则BC＝a米，AC＝ a米，∴AG＝(a－20)米，DG＝EB＝(a＋20 )米，在Rt△ADG中，tan ∠ADG＝ ＝tan∠DCE＝ ，即 ＝ ，解得a＝80＋40 ≈137，即楼AB的高度约为137米.解图类型四 实物模型(10年2考)7. (2021安徽17题8分·源自北师九下复习题)学生到工厂劳动实践，学习制作机械零件.零件的截面如图阴影部分所示，已知四边形AEFD为矩形，点B，C分别在EF，DF上，∠ABC＝90°，∠BAD＝53°，AB＝10cm，BC＝6 cm.求零件的截面面积.(参考数据： sin 53°≈0.80， cos53°≈0.60)解：∵四边形AEFD是矩形，∴AD∥EF，∠E＝∠F＝90°.∵∠BAD＝53°，∴∠ABE＝∠BAD＝53°.在Rt△ABE中，AE＝AB· sin ∠ABE≈10×0.80＝8(cm)，BE＝AB· cos ∠ABE≈10×0.60＝6(cm).(3分)∵∠ABC＝90°，∴∠BCF＋∠CBF＝∠ABE＋∠CBF＝90°，∴∠BCF＝∠ABE＝53°.在Rt△BCF中，BF＝BC· sin ∠BCF≈6×0.80＝4.8(cm)，CF＝BC· cos ∠BCF≈6×0.60＝3.6(cm)，(6分)∴S阴影＝S矩形AEFD－S△ABE－S△BCF＝8×(6＋4.8)－ ×8×6－ ×4.8×3.6＝53.76(cm2).答：该零件的截面面积约为53.76 cm2.(8分)新考法推荐8. [跨化学学科](2025合肥校级模拟)如图，这是小雅同学为准备实验考试组装的制取氧气的实验装置.已知试管AB＝24 cm，BE＝ AB，试管倾斜角α为10°.实验时，导气管紧贴水槽MN，延长BM，交CN的延长线于点F，且MN⊥CF，AC∥DE(点C，D，N，F在同一条直线上).经测量，得DE＝27.36 cm，MN＝8 cm，∠BFC＝45°.请求出铁架杆DE与水槽MN之间的水平距离DN.(结果精确到1 cm，参考数据： sin10°≈0.17， cos 10°≈0.98，tan 10°≈0.18)解：如解图，过点B分别作BH⊥DE于点H，BP⊥FC于点P，∵AB＝24 cm，BE＝ AB，∴BE＝ ×24＝8(cm).易得四边形HBPD为矩形，∴BH＝DP，BP＝HD.解图在Rt△BEH中，HE＝BE· sin ∠EBH＝8· sin 10°≈8×0.17＝1.36(cm)，BH＝BE· cos ∠EBH＝8· cos 10°≈8×0.98＝7.84(cm)，∵DE＝27.36(cm)，∴DP＝BH＝7.84 cm，HD＝DE－HE＝27.36－1.36＝26(cm)，∴BP＝HD＝26 cm.∵∠BFP＝45°，MN＝8 cm，∴PF＝BP＝26 cm，NF＝MN＝8 cm，∴DN＝DP＋PF－NF＝7.84＋26－8≈26(cm).解图(共25张PPT)第四章 三角形第15节 等腰三角形与直角三角形节前复习导图等腰三角形与直角三角形等腰三角形等边三角形直角三角形等腰直角三角形图形性质面积计算公式判定考点梳理考点精讲图形名称 等腰三角形 等边三角形 直角三角形 等腰直角三角形图形性质 1.两底角相等，两腰相等 1.具有等腰三角形的所有性质 2.三边相等 1.两锐角之和等于90° 2.斜边上的中线等于斜边的一半 1.具有等腰三角形和直角三角形的所有性质图形名称 等腰三角形 等边三角形 直角三角形 等腰直角三角形图形性质 2.等腰三角形的顶角平分线、底边上的高线、底边上的中线相互重合(简记为“三线合一”) 3.三个角相等，且每一个角都等于60° 3.30°角所对的直角边等于斜边的一半 4.勾股定理：若直角三角形的两直角边分别为AB，BC，斜边为AC，则有AB2＋BC2=AC2 2.两直角边相等，即AC=BC图形 名称 等腰三角形 等边三角形 直角三角形 等腰直角三角形图形性质 3.等腰三角形是轴对称图形，有一条对称轴，对称轴是底边上的高所在的直线 4.等边三角形是轴对称图形，有3条对称轴，对称轴是三边的高所在的直线 5. 逆定理：如果三角形的一条边的平方等于其他两条边的平方和，那么这个三角形是直角三角形 注：已知直角三角形中AB，BC，AC，h，q，p六条线段，已知任意两条线段长即可求出另外4条线段长，即“知二推四” 3.两锐角相等且都等于45°图形名称 等腰三角形 等边三角形 直角三角形 等腰直角三角形图形面积计 算公式 S=________ S=ah=________a2 S=AC h=________ S=a2=ch=c2ah AB BC判定 基础题练考点1. (人教八下习题改编)下列由线段a，b，c组成的三角形不是直角三角形的是( A )A. a∶b∶c＝1∶2∶3 B. a＝ ，b＝1，c＝C. a＝4，b＝5，c＝ D. a＝3，b＝4，c＝5A2. (人教八上习题改编)如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，观察尺规作图的痕迹，则AD的长为( C )A. 6 B. 5C. 4 D. 3C3. (2025安徽6题4分)如图，在△ABC中，∠A＝120°，AB＝AC，边AC的中点为D，边BC上的点E满足ED⊥AC. 若DE＝ ，则AC的长是( B )A. 4 B. 6C. 2 D. 3B4. (人教八上例题改编)若等腰三角形一边长为2，周长为8，则它的腰长为( B )A. 2 B. 3C. 4 D. 5【解析】若等腰三角形的腰长是2，则等腰三角形的底边长是8－2×2＝4，∵2＋2＝4，不满足三角形三边关系定理，∴等腰三角形的腰长不能是2；若等腰三角形的底边长是2，则等腰三角形的腰长是 ×(8－2)＝3，∵3＋2＞3，满足三角形三边关系定理，∴等腰三角形的腰长是3.B5. 若一个等边三角形的周长是6，则该等边三角形的面积是( B )A. 6 B.C. 2 D. 3【解析】如解图，△ABC为等边三角形，AD为BC边上的高，∵等边三角形周长为6，∴BC＝2，D为BC的中点，∴BD＝1，∴AD＝ ＝ ，∴S△ABC＝ BC·AD＝ ×2× ＝ .解图B6. 如图，在△ABC中，∠B＝∠C＝30°，D，E为BC上的两点，连接AD，AE，AD＝BD，AE＝CE，若△ADE的周长为6，则BD的长为( B )A. 1 B. 2C. 3 D. 4【解析】∵AD＝BD，AE＝CE，∠B＝∠C＝30°，∴∠BAD＝∠B＝30°，∠EAC＝∠C＝30°，∴∠ADE＝∠AED＝60°，∴△ADE是等边三角形.∵△ADE的周长为6，∴AD＝BD＝2.B7. 如图，一架梯子AB斜靠在竖直墙上，M为梯子AB的中点，当梯子底端向左水平滑动到点D位置时，滑动过程中OM的变化规律是( B )A. 变小 B. 不变C. 变大 D. 先变小再变大【解析】∵∠AOB＝90°，M为AB的中点，∴OM＝ AB，同理OM＝ CD.∵AB＝CD，∴OM的长度不变.B8. (2025安庆二模)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边上的中线，CE⊥AB于点E，若AC＝2BC，则 cos ∠DCE的值为( D )A. B.C. D.D【点拨】先设BC为a，表示出AC，再用勾股定理求AB，结合中线性质得CD，利用三角函数或等面积法求CE，进而得DE，最后在Rt△CDE中求cos∠DCE.【解析】设BC＝x，则AC＝2x，则AB＝ ＝ x，由条件可知 sin ∠CAE＝ ＝ ＝ ＝ ，∴CE＝ AC＝ ，由条件可知，AD＝CD＝ AB＝ ，∴ cos ∠DCE＝ ＝ ＝ .核心考点突破特殊三角形的性质综合(10年20考，常在几何综合题中考查)例 如图①，在Rt△ABC中，AC＝BC，点D在AB的延长线上，且CD＝AB.图①一题多设问(1)求 的值；(1)解：如图，过点C作CM⊥AB于点M.∵AC＝BC，∠ACB＝90°，∴M为AB的中点，∴AM＝CM＝MB.设AM＝x，则CD＝AB＝2x，在Rt△CMD中，MD＝ ＝ ＝ x，∴BD＝MD－MB＝ x－x＝(－1)x，∴ ＝ ＝ ；∟M在Rt△ABC中，AC＝BC，点D在AB的延长线上，且CD＝AB.(2)求∠BCD的度数；(2)解：如图①，过点C作CM⊥AB于点M，取CD边的中点E，连接ME，在Rt△CMD中，E为CD的中点，∴CE＝EM＝ED.由(1)知CM＝AM＝BM，∵AB＝CD，∴CM＝ME＝CE，∴△CME为等边三角形，∴∠MCE＝60°.又∵∠MCB＝ ∠ACB＝45°，∴∠BCD＝15°；图①∟ME在Rt△ABC中，AC＝BC，点D在AB的延长线上，且CD＝AB.(3)如图②，过点B作BE⊥CD于点E，若BE＝1，求AD的长；图②(3)解：如图②，在CE上取一点F，使EF＝ED，连接BF，∵BE⊥CD，∴BF＝BD.由(2)知∠BCD＝15°，∵∠ABC＝45°，∴∠D＝30°，∴∠EFB＝30°，∴∠FBC＝15°，∴∠FCB＝∠FBC，∴FC＝FB.F在Rt△BEF中，∵BE＝1，∴BF＝2，∴由勾股定理可得，EF＝ ，∴ED＝EF＝ ，∴AB＝CD＝CF＋EF＋ED＝2＋2 ，∴AD＝AB＋BD＝4＋2 ；图②F在Rt△ABC中，AC＝BC，点D在AB的延长线上，且CD＝AB.(4)如图③，若E为边CD的中点，连接AE，BE.①求证：AE⊥BE；图③(4)①证明：如图③，过点C作CM⊥AB于点M，连接ME，由(1)知AM＝CM＝BM，在Rt△CMD中，∵E为CD的中点，∴CE＝ME＝ED.∟M∵AB＝CD，∴AM＝ME＝MB，∴∠MAE＝∠MEA，∠MEB＝∠MBE.又∵∠MAE＋∠MEA＋∠MEB＋∠MBE＝180°，∴∠AEB＝90°，即AE⊥BE；图③∟M在Rt△ABC中，AC＝BC，点D在AB的延长线上，且CD＝AB.(4)如图③，若E为边CD的中点，连接AE，BE.②探究线段AE，BE，DE之间的数量关系.②解：BE＋ ED＝AE，理由如下：如图③，在AE上取一点F，使AF＝BE，连接CF，由①可知∠BEA＝∠BCA＝90°，∴∠CAF＝∠CBE.图③F在△ACF和△BCE中，∴△ACF≌△BCE(SAS)，∴CF＝CE，∠ACF＝∠BCE，∵∠ACF＋∠BCF＝90°，∴∠ECF＝∠ECB＋∠BCF＝90°，∴△CFE为等腰直角三角形，∴AE＝AF＋EF＝BE＋ CE＝BE＋ ED，即BE＋ ED＝AE.图③F(共32张PPT)第四章 三角形第13节 线段、角、相交线与平行线(含命题)章前复习思路解决问题三角形全等、相似三角形锐角三角函数特殊线段、角、相交线与平行线直线和线段角及角平分线相交线平行线命题等腰三角形直角三角形全等、相似三角形的性质全等、相似三角形的判定实际应用性质面积判定角边角关系边重要线段(角平分线、中线、高线、中位线)三角形节前复习导图互逆线段和直线角及角平分线相交线平行线黄金分割命题两个基本事实线段的中点线段的和与差度分秒的换算余角补角角平分线对顶角邻补角三线八角垂线的性质线段垂直平分线定义真命题假命题互逆命题平行公理及推论平行线的判定平行线的性质平行线分线段成比例线段、角、相交线与平行线(含命题)考点精讲考点梳理线段和直线线段的中点：如图①，若有AM=_______=______AB，则M是线段AB的中点线段的和与差：如图②，在线段AC上取一点B，则有：______＋BC=AC；AB=_____ － BC；BC=AC－______ 两个基本事实图①图②BM AB AC AB 性质：___________________________________，如图③，OC是∠ AOB的平分线，D是OC上一点，DE ⊥ OA于点E，DF ⊥ OB于点F，则DE=________逆定理：角的内部到角的两边距离______的点在角的平分线上角及其平分线度分秒的换算：1°＝60′，1′＝60″，度、分、秒之间是60进制余角、补角余角：若∠1＋∠2＝________，则∠1与∠2互为余角补角：若∠1＋∠2＝________，则∠1与∠2互为补角性质：同角(等角)的余角_______，同角(等角)的补角_______角平分线90° 180° 相等 相等 角平分线上的点到角两边的距离相等 相等图③DF相交线(如图④)对顶角邻补角三线八角图④∠4 ∠8相等180° ∠6∠8∠5相交线(如图④)垂线的性质线段垂直平分线一 垂线段 【满分技法】1. 在同一平面内，垂直于同一条直线的两直线平行；2. 两条平行线之间的距离处处相等平行线平行公理及推论公理：过直线外一点有且只有______条直线与这条直线平行(基本事实)推论：如果两条直线和第三条直线平行，那么这两条直线_______(基本事实)平行线的判定与性质同位角________ 两直线平行内错角________ 两直线平行同旁内角________ 两直线平行一平行 相等互补相等基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例，如图⑤，当l3∥l4∥l5时，有=，=等平行线平行线分线段成比例推论：平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)，所得的对应线段成比例，如图⑥，当DE∥D′E′∥BC时，有=，=，==等图⑤图⑥黄金分割：如图⑦，一般地，点C把线段AB分成两条线段AC和BC(AC＞BC)，如果=，那么点C叫做线段AB的黄金分割点，AC与AB的比叫黄金比，且=≈0.618命题1.定义：判断一件事情的语句叫做命题，命题有题设和结论两部分2.真命题：如果题设成立，那么结论一定成立，这样的命题叫做真命题3.假命题：如果提升成立时，不能保证结论一定成立，这样的命题叫做假命题4.互逆命题：在两个命题中，如果第一个命题的题设是另一个命题的结论，且第一个命题的结论是另一个命题的题设，那么这两个命题叫做互逆命题图⑦基础题练考点1. (北师七上习题改编)木匠师傅锯木料时，一般先在木板上画出两个点，然后过这两点弹出一条墨线，这是因为( A )A. 两点确定一条直线B. 两点之间线段最短C. 经过一点有无数条直线D. 两点之间线段的长度，叫作这两点之间的距离A2. (沪科七上习题改编)如图，OC平分∠AOB，点P在OC上，PD⊥OB，PD＝2，则点P到OA的距离是( C )A. 4 B. 3C. 2 D. 1C3. 如图，由下列条件能得到l1∥l2的是( B )A. ∠1＝∠2 B. ∠1＝∠4C. ∠3＝∠4 D. ∠2＋∠4＝180°B4. (北师八上习题改编)下列命题中，真命题是( D )A. 相等的角是对顶角B. 两条直线被第三条直线所截，同位角相等C. 不相交的两条直线是平行线D. 等角的余角相等D5. (沪科新教材七上练习题改编)如图，直线AB，CD相交于点O，OE平分∠COB. 若∠AOD＝100°，则∠BOE的度数是 .50° 6. (沪科新教材七上习题改编)已知线段AB，延长AB至点C，使BC＝AB，D是线段AC的中点，如果DC＝2，则AB的长为 .3 7. 如图，直线c与直线a，b都相交.若a∥b，∠1＝38°，则∠2的度数为 .【解析】如解图，∵a∥b，∠1＝38°，∴∠1＝∠3＝38°，∴∠2＝180°－∠3＝142°.解图142° 8. 如图，直线l1∥l2∥l3，已知AE＝1，BE＝2，DE＝3，则CD的长为 . 9. 大自然是美的设计师，即使是一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”，P为AB的黄金分割点(AP＞PB)，如果AB的长度为10 cm，那么PB的长度约为 .(结果保留到小数点后两位)3.82cm 【解析】∵P为AB的黄金分割点(AP＞PB)，∴AP＝ AB＝ ×10≈6.18，∴PB＝AB－AP＝10－6.18＝3.82(cm).10. (沪科八上习题改编)如图，△ABC的边AB的垂直平分线交AC于点D，连接BD. 若BD＝3，CD＝5，则AC的长为 .【解析】∵△ABC的边AB的垂直平分线交AC于点D，∴AD＝BD.∵BD＝3，∴AD＝BD＝3.∵CD＝5，∴AC＝AD＋CD＝3＋5＝8.8 11. 如图，已知直线l1∥l2，则△AOB和△COD的面积之比为 .【解析】如解图，过点B作BE⊥l1于点E，过点C作CF⊥l1于点F，∵l1∥l2，∴BE＝CF，∴S△ABD＝S△ACD，∴S△ABD－S△AOD＝S△ACD－S△AOD，即S△AOB＝S△COD，∴S△AOB∶S△COD＝1∶1.解图1∶1 安徽真题及变式角、角平分线(仅2022.6考查)命题点11. (2022安徽6题4分)两个矩形的位置如图所示，若∠1＝α，则∠2＝( C )A. α－90° B. α－45°C. 180°－α D. 270°－αC变式1.1 变图形——变为正方形与三角形结合正方形ABCO与Rt△DEO的位置如图所示，∠DOE＝90°，已知∠AOD＋∠COE＝α，则∠DOC＝( C )A. 90°－α B. 90°＋αC. 90°－ D. 90°＋C平行线的判定及性质(10年2考)命题点22. (2017安徽6题4分)直角三角板和直尺如图放置，若∠1＝20°，则∠2的度数为( C )A. 60° B. 50°C. 40° D. 30°C变式2.1 变条件——改变直尺和三角板位置一个等腰直角三角尺和一把直尺按如图所示的位置摆放(厚度忽略不计)，若∠α＝20°，则∠β的度数为( C )A. 45° B. 40°C. 25° D. 20°C3. (2021安徽5题4分)两个直角三角板如图摆放，其中∠BAC＝∠EDF＝90°，∠E＝45°，∠C＝30°，AB与DF交于点M，若BC∥EF，则∠BMD的大小为( C )A. 60° B. 67.5°C. 75° D. 82.5°【解析】由题意可知∠F＝45°，∠B＝60°.∵BC∥EF，∴∠BDM＝∠F＝45°，∴∠BMD＝180°－∠B－∠BDM＝180°－60°－45°＝75°.C变式3.1 变图形——改变两个三角板位置将一副三角板ADE和ABC(其中∠C＝30°)按如图所示的方式摆放，一直角顶点D落在BC上.若AE∥BC，则∠BAD的度数是( B )A. 72° B. 75°C. 60° D. 65°B【解析】∵AE∥BC，∴∠C＝∠EAC＝30°.∵∠EAD＝45°，∴∠CAD＝∠EAD－∠EAC＝15°.∵∠CAB＝90°，∴∠BAD＝∠CAB－∠CAD＝75°.新考法推荐4. [真实问题情境](2025阜阳三模)杆秤是我国古代劳动人民的一种计量工具，杆秤在称物时的状态如图，此时AB∥CD，∠1＝108°，则∠2的度数为( D )A. 108° B. 82°C. 78° D. 72°【解析】如解图，∵∠1＋∠3＝180°，∠1＝108°，∴∠3＝180°－∠1＝180°－108°＝72°.∵AB∥CD，∴∠2＝∠3＝72°.解图D5. [与折叠结合]如图，把一张长方形纸片ABCD沿EF折叠后，D，C分别落在D'，C'的位置上，ED'与BC交于G点，若∠EFG＝56°，则∠AEG的度数为( D )A. 38° B. 48°C. 58° D. 68°【解析】∵AD∥BC，∠EFG＝56°，∴∠DEF＝∠GFE＝56°，由折叠的性质可得，∠GEF＝∠DEF＝56°，∴∠DEG＝112°，∴∠AEG＝180°－112°＝68°.D6. [跨物理学科](2025合肥蜀山区二模)如图，是光在进入单反相机中的五棱镜时两次全反射的光路图，已知∠B＝90°，光从M点平行于BC进入棱镜，在CD边上点G处反射，到达AE边点F处，经过再一次反射，然后沿垂直BC边方向，从点N处离开棱镜，若∠α＝70°，则∠β的度数为( C )A. 55° B. 60°C. 65° D. 70°C【点拨】通过反射定律可知∠DGF＝∠α，∠β＝∠EFG.【解析】如解图，∵∠B＝90°，∴BC⊥AB.∵FN⊥BC，∴FN∥AB，∠CNF＝∠B＝90°.∵MG∥BC，∴∠FHG＝∠CNF＝90°，由光的反射定律得到，∠DGF＝∠α＝70°，∠β＝∠EFG，∴∠FGH＝180°－70°－70°＝40°，∴∠GFH＝90°－40°＝50°，∴∠β＝ ×(180°－50°)＝65°.解图命题点 3 命 题(10年2考，2020年9题与圆结合考查)7. (2019安徽12题5分·源自沪科八上习题)命题“如果a＋b＝0，那么a，b互为相反数”的逆命题为 .如果a，b互为相反数，那么a＋b＝0. 展开更多...... 收起↑ 资源列表 第13节 线段、角、相交线与平行线(含命题).pptx 第14节 一般三角形及其性质.pptx 第15节 等腰三角形与直角三角形.pptx 第16节 全等三角形.pptx 第17节 相似三角形(含位似).pptx 第18节 解直角三角形及其应用.pptx
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