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第5章 直角三角形
5.4 角平分线的性质
第2课时 角平分线性质的应用
1.进一步理解角的平分线的性质及逆定理，并熟练利用它们
解决与角平分线相关的数学问题.
2.掌握三角形的内心的性质.
角的平分线上的点到角的两边的距离相等.
1.叙述角平分线的性质定理
2.叙述角平分线性质定理的逆定理
角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上
O
C
B
1
A
2
P
D
E
说一说：如图，在△ABC中，D，E，F 分别是 BC，AB，AC 边上的点，若 BE = CF，S△BDE=S△CDF，则点 D 在∠BAC的平分线上吗
由于S△BDE=S△CDF，BE = CF，所以点 D 到 BE，CF 的距离相等，因而点 D 在 ∠BAC 的平分线上.
思考：如图，已知 EF⊥CD 于点 E ，EF⊥AB 于点 F ，MN ⊥ AC 于
点 N ，M 是 EF 的中点.需要添加一个什么条件，就可使 CM ，AM
分别为∠ACD 和 ∠CAB 的平分线呢
CM为∠ACD的平分线
分析：
根据条件需MN=EM
AM为∠CAB的平分线
根据条件需MN=FM
已知EM=FM
需要添加一个什么条件
MN=EM
MN=FM
若添加条件MN=FM呢？
①若添加MN=EM
因为ME⊥CD，MNLAC,MN=ME,
所以点M在∠ACD的平分线上，
即CM是∠ACD的平分线.
又M是EF的中点，则MF=ME=MN.
同理可证AM是∠CAB的平分线.
例1 如图，在△ABC的外角∠CAD的平分线上任取一点P，作PE⊥DB，PF⊥AC，垂足分别为点E，F.试探索BE+PF与PB的大小关系.
分析：
BE+PF
必须把BE、PF转化到一条线段上或一个三角形中
根据题意可以将PF转化成PE
BE、PE、PB是一个三角形的三边
解: 因为AP是∠CAD的平分线，
又PE⊥DB，PF⊥AC，
所以PE=PF.
在△EBP中，BE+PE>PB,
因此BE+PF>PB.
例1 如图，在△ABC的外角∠CAD的平分线上任取一点P，作PE⊥DB，PF⊥AC，垂足分别为点E，F.试探索BE+PF与PB的大小关系.
做一做: 任意作一个△ABC，在△ABC 内部找一点 P ，使其到三边的距离相等.
A
B
C
思考: 如何才能在△内部作出到三角形三边的距离都相等的点呢？
A
B
C
P
N
M
D
E
F
角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上
根据题意可知点P在∠ABC、∠ACB、∠BAC的平分线上
找点P，只要画△ABC中任意两个内角的角平分线
在△ABC中分别作∠BAC与∠ABC的平分线，它们交于点P
这个点P为什么到三边的距离相等呢？
A
B
C
P
N
M
D
E
F
证明：过点P作PD⊥AB,PE⊥AC,PF⊥BC，垂足分别为点D，E，F.
因为AP是∠BAC的平分线，PD⊥AB，PE⊥AC，
所以PD=PE.
因为BP是∠ABC的平分线，PD⊥AB，PF⊥BC,
所以PD=PF.
故PD=PE=PF，
因此P为所求作的点.
结论：三角形的三条角平分线交于一点，并且这点到三边的距离相等.（三角形内心的性质）
针对练习：如图，在直角 △ABC 中，AC ＝ BC，∠C ＝90°，AP 平分∠BAC，BD 平分∠ABC；AP，BD 交于点 O，过点 O 作 OM⊥AC，若 OM ＝ 4，
M
E
N
A
B
C
P
O
D
12
(1) 点 O 到 △ABC 三边的距离和为 .
练一练
解：连接 OC，
(2)若 △ABC 的周长为 32，求 △ABC 的面积.
M
E
N
A
B
C
P
O
D
2.联系角平分线性质：
距离
面积
周长
1.应用角平分线的判定与性质：
判定角平分线
距离问题
条件
要点归纳
S=Ch
图形
已知 条件
结论
P
C
P
C
OP 平分∠AOB
PD⊥OA 于 D
PE⊥OB 于 E
PD = PE
OP 平分 ∠AOB
PD = PE
PD⊥OA 于 D
PE⊥OB 于 E
角的平分线的判定
角的平分线的性质
1.如图，已知是 的角平分线，，分别是
和 的高，，，则点到
直线 的距离为 _.
2.如图，在中， ，，是的平分线，
设 ，的面积分别为，，则 ( )
A
A. B.
C. D.
3.如图，点是 的内角平分线的交点，，，
，，则 等于( )
A
A.2 B.3
C.1 D.4
4.如图，AD⊥DE，BE⊥DE，AC，BC分别平分∠BAD，∠ABE，点C在线段DE上.求证:AB=AD+BE.
M
因为 AC平分∠BAD，AD⊥DE，CM⊥AB
在Rt△ACD和Rt△ACM中，因为 CM = CD，AC = AC，
所以 Rt△ACD ≌Rt△ACM (HL)
证明： 在作CM⊥AB，垂足为M
所以 CD = CM，
所以 CE = CM.
因为 BC平分∠ABE，AD⊥DE，CM⊥AB
所以 AD = AM
同理， BE = BM.
又 AB=AM+BM，
所以 AB=AD+BE.
角平分线
性质定理
角的平分线上的点到角的两边的距离相等.
逆定理
角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上.
三角形内心的性质：三角形的三条角平分线交于一点，并且这点到三边的距离相等.

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