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第5章 直角三角形
5.4 角平分线的性质
第1课时 角平分线的性质定理及其逆定理
1.探究并理解角平分线的性质定理.
2.探究并理解角平分线性质定理的逆定理.
3.能初步运用角的平分线性质定理及其逆定理解决简单的推理与证明.
1.角平分线的定义
O
B
C
A
1
2
从角的顶点出发引出的一条射线把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线.
如图，射线OC是∠AOB的平分线.
2.右图中能表示点P到直线l的距离的是 .
线段PC的长
3.下列两图中线段AP能表示直线l1上一点P到直线l2的 距离的是 .
A
A
P
P
l1
l2
l1
l2
图1
图2
图1
P
l
A
B
C
D
P
A
B
C
D
探究： 在∠AOB 的平分线 OC 上任取一点 P，作 PD ⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为点 D、E. 比较线段 PD，PE 的长度，它们相等吗？由此你能得出什么结论？
猜想：PD = PE
你能证明它吗
C
P
∟
E
A
O
B
∟
D
PD=PE
△PDO≌△PEO
分析：
∠PDO=∠PEO=90°,∠DOP=∠EOP,OP=OP,
A
O
B
P
D
E
C
证明：因为PD⊥OA于点D，PE⊥OB于点E，
所以∠PDO=∠PEO=90°.
在△PDO和△PEO中,
∠PDO=∠PEO,
∠DOP=∠EOP,
OP=OP,
所以△PDO≌△PEO(角角边).
因此PD=PE.
C
P
∟
E
A
O
B
∟
D
应用所具备的条件：
(1) 角的平分线；
(2) 点在该平分线上；
(3) 垂直距离.
定理的作用：
证明线段相等.
角平分线的性质定理：
角的平分线上的点到角的两边的距离相等.
A
O
B
P
D
E
C
要点归纳
因为 ∠1=∠2，PD⊥OA，PE⊥OB，
所以 PD = PE.
(角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等).
几何语言：
注意：证明距离相等时的三个理由，必须写全，不能遗漏.
O
C
B
1
A
2
P
D
E
角平分线的性质定理：
角的平分线上的点到角的两边的距离相等
逆命题:角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上.
说一说：角平分线性质定理的的逆命题是什么 是真命题吗？
A
O
B
P
D
E
C
O
E
B
A
D
P
分析：只要画射线OP，证明OP平分∠ AOB即可.
C
∟
∟
已知：如图，点P在∠AOB的内部，作PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为点D，E，若PD=PE.求证：点P在∠AOB的平分线上.
逆命题:角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上.
证明：过点O，P作射线OC.
因为PD⊥OA，PE⊥OB，
所以∠PDO=∠PEO=90°.
在Rt△PDO和Rt△PEO中，
OP=OP,
PD=PE,
所以Rt△PDO≌Rt△PEO(斜边、直角边)，
从而∠AOC=∠BOC.
O
E
B
A
D
P
C
∟
∟
角平分线性质定理的逆定理：
角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上.
应用所具备的条件：
定理的作用：判断点是否在角平分线上.
（1）位置关系：点在角的内部.
（2）数量关系：该点到角两边的距离相等.
A
O
B
P
D
E
C
要点归纳
几何语言：
因为PD=PE，PD ⊥OA ，PE ⊥OB
所以∠1= ∠2.
即点P∠AOB的平分线OC上.
三个理由，必须写全
O
C
B
1
A
2
P
D
E
例1 如图，∠BAD=∠BCD=90°，∠1=∠2.求证:
(1)点B在∠ADC的平分线上; (2)BD平分∠ABC.
分析：
点B在∠ADC的平分线上
根据条件只需证明AB=BC
已知∠1=∠2
BD平分∠ABC.
∠ABD=∠CBD
Rt△BAD≌Rt△BCD
证明： (1)在△ABC中，
因为∠1=∠2，所以BA=BC.
又BA⊥AD，BC⊥CD，
所以点B在∠ADC的平分线上
(2) 在Rt△BAD和Rt△BCD中，
BA=BC,
BD=BD,
所以Rt△BAD≌Rt△BCD(斜边、直角边).
因此∠ABD=∠CBD，从而BD平分∠ABC.
1.如图，OP为∠AOB的平分线，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足分别是C，D，则下列结论错误的是(　　)
A．PC＝PD B．∠CPO＝∠DOP
C．∠CPO＝∠DPO D．OC＝OD
B
2.如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，DC＝AD，BD平分∠ABC，则点D到AB的距离等于(　　)
A．4 B．3
C．2 D．1
C
3.已知△ABC内一点M，如果点M到两边AB，BC的距离相等，那么点M(　　)
A．在AC边的高上 B．在AC边的中线上
C．在∠ABC的平分线上 D．在AC边的垂直平分线上
C
4.如图，已知AP，CP分别是△ABC的外角∠DAC，∠ECA的平分线，PM⊥BD，PN⊥BE，垂足分别为M，N，那么PM与PN的大小关系是(　　)
A．PM>PN B．PM＝PN
C．PMB
5.如图，已知CE⊥AB于点E，BD⊥AC于点D，BD，CE交于点0，且AO平分∠BAC.求证:OB=OC.
证明:因为AO平分∠BAC,CE⊥AB ，BD⊥AC
所以OE=OD.
在△OBE和△OCD中
∠EOB=∠DOC,OE=OD，
∠BEO=∠CDO，
所以△OBE ≌△OCD ( ASA ).
所以OB=OC.
角平分线
性质定理
逆定理
一个点：角平分线上的点；
二距离：点到角两边的距离；
两相等：两条垂线段相等
过角平分线上一点向两边作垂线段
角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上.

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