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第5章 直角三角形
5.3 直角三角形全等的判定
1.探索并理解直角三角形全等的判定方法“HL”．
2.能熟练利用“HL”判定两个直角三角形全等．
3.掌握尺规作图：已知斜边和直角边会作直角三角形.
具有下列条件的Rt△ABC与Rt△A′B′C′(其中∠C=∠C′= 90°)是否全等？如果全等在括号里填写理由，如果不全等在括号里打“×”.
(1)AC=A′C′，∠A=∠A′ ( )
(2)AC=A′C′， BC=B′C′ ( )
(3)∠A=∠A′，∠B=∠B′ ( )
(4) AB=A′B′，∠B=∠B′ ( )
(5) AB=A′B′， AC=A′C ′( )
ASA
SAS
×
？
\
\
AAS
议一议
思考：若有一条直角边和斜边分别相等，这两个三角形全等吗
已知：如图，在Rt△ABC和Rt△A'B'C'中，∠C=∠C'=90°，AB=A'B'，AC=A'C'，求证：Rt△ABC≌Rt△A'B'C'.
A
B
C
A′
B′
C′
Rt△ABC≌Rt△A'B'C'
分析：
先找隐含条件
AB=A'B'或∠A=∠A'、∠B=∠B'
再找现有条件
AB=A'B'，AC=A'C'
最后找准备条件
×
√
×
由勾股定理，两直角边确定，那么第三边也就确定了.
×
证明：在Rt△ABC中，由勾股定理得，
BC =AB - AC ,
同理，在Rt△A'B'C'中,B'C' =A'B' -A'C' .
由于AB=A'B',AC=A'C',
因此BC =B'C' ，从而BC=B'C'.
在△ABC与△A'B'C'中，
AB=A'B',
BC=B'C',
AC=A'C',
因此△ABC≌△A'B'C'(边边边).
A
B
C
A′
B′
C′
直角三角形的斜边、直角边”(或“HL”)定理:
斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等.
几何语言：
条件1
条件2
前提
A
B
C
A
B
C
┓
┓
在Rt△ABC和Rt△A B C 中
所以 Rt△ABC≌Rt△A B C（HL）
AB=A′B′
AC=A′C′
(或BC=B′C′)
\
\
要点归纳
例1 如图，BD，CE是△ABC的高，且BE=CD.
求证:Rt△BEC≌Rt△CDB.
Rt△BEC≌Rt△CDB
分析：
先找隐含条件
公共边BC(斜边)
再找现有条件
BE＝CD（直角边）
最后找准备条件
\
\
证明：因为BD，CE是△ABC的高，
所以∠BEC=∠CDB=90°.
在Rt△BEC和Rt△CDB中，
BC=CB，
BE=CD,
所以Rt△BEC≌Rt△CDB(斜边、直角边).
\
\
例1 如图，BD，CE是△ABC的高，且BE=CD.
求证:Rt△BEC≌Rt△CDB.
例2 已知一直角边和斜边作直角三角形.
已知：如图，线段a，c(c>a).
求作 Rt△ABC，使得斜边AB=c，一条直角边BC=a.
作法：
(1)作一条直线l，在直线l上截取BC=a;
(2)过点C作直线l的垂线CD;
(3)以点B为圆心，以c为半径画圆弧，交
CD于点A，连接AB，于是△ABC为所求作的直角三角形
1.下面说法是否正确 为什么
（1）两个锐角对应相等的两个直角三角形全等;
（2）两条直角边对应相等的两个直角三角形全等.
×
√
判断两个三角形全等至少要有一组边对应相等.
SAS
AAA
2．如图，OD⊥AB于点D，OP⊥AC于点P，且OD＝OP，则△AOD与△AOP全等的理由是(　　)
A．SSS B．ASA C．SSA D．HL
D
3.如图，BE＝CF，AE⊥BC，DF⊥BC，要根据“HL”证明Rt△ABE≌Rt△DCF，则还需要添加的一个条件是(　　)
A．AE＝DF B．∠A＝∠D
C．∠B＝∠C D．AB＝DC
D
4. 如图，有两个长度相同的滑梯，左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向的长度DF相等，且AC⊥AB，DE⊥DF.两个滑梯的倾斜角∠ABC和∠DFE的大小有什么关系 为什么
解:∠ABC +∠DFE=90°.理由如下:
因为AC⊥AB,DE ⊥DF,
所以∠BAC= ∠EDF=90°.
解:∠ABC +∠DFE=90°.理由如下:
因为AC⊥AB,DE ⊥DF,
所以∠BAC= ∠EDF=90°.
在 Rt△ABC和 Rt△DEF中，
BC=EF(已知)，
AC=DF(已知)，
所以 RtΔABC≌Rt△DEF(HL)，
所以∠ACB= ∠DFE.
在Rt△ABC 中,因为∠ABC+∠ACB=90°，
所以∠ABC+ ∠DFE =90°.
SAS
ASA
AAS
SSS
HL
全等直角三角形的判定

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