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第5章 直角三角形
5.2 勾股定理及其逆定理
第3课时 勾股定理的逆定理
1.掌握直角三角形的勾股定理的逆定理.
2.能够运用勾股定理的逆定理解决问题.
3.了解勾股数的概念.
说一说：勾股定理:“如果直角三角形的两条直角边分别为a， b，斜边为c，那么a +b =c .”它的逆命题是什么？
如果三角形的三条边a，b，c满足 a +b =c ，那么这个三角形是直角三角形.
逆命题：
真命题
如何证明呢
有一个角是直角或两个角互余.
想一想：判定一个三角形是直角三角形的方法有哪些？
证一证：如图，在△ABC中，已知AB=c，BC=a，AC=b，且a +b =c ，求证△ABC是直角三角形.
A
B
C
a
b
c
A'
B'
C'
a
b
③只需证△ABC≌△A′B′C′ 　
②只需证∠C 是直角
①要证△ABC 是直角三角形
构造两直角边分别为a，b 的Rt△A′B′C′
证明：作Rt△A'B'C'，使∠C'=90°,B'C'=a,A'C'=b.
在Rt△A'B'C'中，根据勾股定理得，
A'B' =a +b .
因为a +b =c ，所以A'B'=c ，即A'B'=c.
在△ABC和△A'B'C中，
BC=B'C'=a,AC=A'C'=b，AB=A'B'=c,
所以△ABC≌△A'B'C'(边边边).
因此∠C=∠C'=90°.
所以△ABC是直角三角形.
A
B
C
a
b
c
A'
B'
C'
a
b
如果三角形的三边长 a ，b ，c 满足
a2 + b2 = c2，
那么这个三角形是直角三角形.
A
C
B
a
b
c
该定理是直角三角形的判定定理，即已知三角形的三边长，且满足两条较小边的平方和等于最长边的平方，即可判断此三角形为直角三角形 ，最长边所对应的角为直角.
特别说明：
勾股定理的逆定理：
要点归纳
勾股定理与逆定理的区别与联系
勾股定理 勾股定理的逆定理
条件
结论
区别
联系 两者都是三角形的三边的平方关系 在 Rt△ABC 中，∠C = 90°
a2 + b2 = c2
在 △ABC 中，a2 + b2 = c2
∠C = 90°
勾股定理是以“一个三角形是直角三角形”为条件，进而得到数量关系“a2+b2=c2”，即由“形”到“数”.
勾股定理逆定理以“一个三角形的三边满足a2+b2=c2”为条件，进而得到“这个三角形是直角三角形”，即由“数”到“形”.
例1 下面以 a，b，c 为边长的三角形是不是直角三角形？
(1) a = 6， b = 8，c = 10；
(2) a = 12，b = 15，c = 20.
分析： 根据勾股定理的逆定理，判断一个三角形是不是直角三角形，只要看两条较短边的平方和是否等于最长边的平方.
解：(1) 因为 62 + 82 =100，102=100，所以 62 + 82 =102.
因此这个三角形是直角三角形.
(2) 因为122 + 152 = 369，202 =400，所以122 + 152≠202.
因此这个三角形不是直角三角形.
满足a2+b2=c2的三个正整数称为勾股数.
(1) a = 6， b = 8，c = 10；
(2) a = 12，b = 15，c = 20.
例2 如图，在 △ABC 中，已知 AB = 10，BD = 6，AD = 8，AC = 17，求 DC 的长.
解：在 △ABD 中，AB =10，BD = 6，AD = 8，
因为 6 + 8 = 10 ，即 BD + AD = AB ，
所以△ADB 为直角三角形，且∠ADB = 90°.
所以∠ADC =180° -∠ADB = 90°.
在Rt△ADC中，DC = AC -AD ，
所以 DC = = 15.
D
2．若△ABC中，BC＝13，AC＝5，AB＝12，则下列判断正确的是(　　)
A．∠A＝90° B．∠B＝90°
C．∠C＝90° D．△ABC是锐角三角形
A
3.下列各组数中，不是勾股数的是(　　)
A．13，12，5 B．9，40，41
C．12，16，20 D．5，7，9
D
4.在△ABC中,∠A,∠B,∠C的对边分别记为a,b,c,由下列条件不能判定△ABC为直角三角形的是 ( )　　　　 　　　　　 　　　　　
A.∠A+∠B=∠C
B.∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶3
C.a2=c2-b2
D.a∶b∶c=3∶4∶6
D
提示：判断一个三角形是不是直角三角形，1.从边的角度：只要看两条较短边的平方和是否等于最长边的平方；
2.从角的角度：看有没有一个角是直角或两个角互余.
5. 如图，在边长为4的正方形ABCD中，F为CD的中点，E是BC上一点，且EC=BC.求证:△AEF是直角三角形.
A
B
C
D
E
F
解：依题意得：AB=AD=4,DF=CF=2,CE=1,BE=3
所以AE==5
AF==
EF==
又因为=
即，EF2+AF2=AE2
所以 AEF是直角三角形
勾股定理的逆定理
如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形.
勾股数：满足a2+b2=c2的三个正整数.

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