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第5章 直角三角形
5.2 勾股定理及其逆定理
第2课时 勾股定理的应用
1. 会运用勾股定理求线段长及解决简单的实际问题.
2.能从实际问题中抽象出直角三角形这一几何模型， 利用勾股定理建立已知边与未知边长度之间的联系，并进一步求出未知边长.
a=,
b=,
c=.
注意：a，b，c 为正数
直角三角形两直角边 a，b 的平方和，等于斜边 c 的平方.
a2 + b2 = c2.
公式变形：
勾股定理：
a
b
c
知二推一
揭示了直角三角形三边长的平方关系.
说一说：我们已经知道，实数与数轴上的点一一对应，如何在数轴上作出表示实数 和 的点
O
A1
A2
1
1
1
如图，当两条直角边都为1时
由勾股定理可知:
以原点O为圆心，OA1为半径画圆弧，与数轴的交点就是表示的点
如图，当两条直角边分别为，1时，该直角三角形的斜边OA2长为，
以原点O为圆心，OA2为半径画圆弧，与数轴的交点就是表示的点.
作法：
该直角三角形的斜边OA1=
你能在数轴上作出表示 的点吗
·
·
O
A1
A2
1
1
1
在数轴上作出表示 的点：
例1：如图是一位电工师傅准备利用梯子在墙上安装电灯的示意图.假设梯子长 4 m，他将梯子靠在墙上，此时梯脚离墙脚的距离为 1.5 m. 他爬上梯子后，发现高度不够，于是将梯脚往墙脚移近了 0.5 m，那么，梯子顶端是否也上移 0.5m？
(已知 )
抽象成
数学问题
解决实际问题
实际问题：梯子顶端往上移动的距离.
A'
C'
C
A
B
墙面
地面
梯子
几何问题：
利用_________，求_________的长.
勾股定理
AB，A'B
解：在 Rt△ABC 中，AC = 4 m，BC = 1.5 m，
由勾股定理得，
A'B =
因此 A'A = A'B－AB
≈3.87－3.71= 0.16 (m).
即梯子顶端 A 点大约向上移动了 0.16 m，而不是向上移动 0.5 m.
于是，AB = = 3.71(m).
在Rt△A'BC' 中，A'C = 4 m，BC' = 1 m，
A'
C'
C
A
B
武英殿聚珍版《九章算术》
例2 (古代数学问题) “今有池方一丈，葭(jia) 生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐，问水深、葭长各几何？”意思是：有一个池塘，其水面是边长为 10 尺的正方形，一棵芦苇生长在池的中央，其出水部分为1尺，如果将芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，它的顶端恰好碰到池边的水面，问水深与芦苇长各为多少？
分析:根据题意，先画出水池截面示意图，如图所示. 设 AB 为芦苇，BC 为芦苇出水部分，长 1 尺，将芦苇拉向岸边，其顶部 B 点恰好碰到岸边 B'.
例2 (古代数学问题) “今有池方一丈，葭(jia) 生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐，问水深、葭长各几何？”意思是：有一个池塘，其水面是边长为 10 尺的正方形，一棵芦苇生长在池的中央，其出水部分为1尺，如果将芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，它的顶端恰好碰到池边的水面，问水深与芦苇长各为多少？
5尺
1尺
水池
B
A
C
B’
提示：在直角三角形中，只知一边的长，另两边只知道它们的关系时，运用勾股定理列方程方法求解.
A
B
B'
1 尺
5尺
C
解：如图，设水深 x 尺，则 AC = x 尺，
因为池塘的水面是边长为10尺的正方形，
在Rt△ACB' 中，根据勾股定理得，52 + x2 = (x+1)2，
故芦苇长为 13 尺.
解得 x = 12.
答：水池的水深 12 尺.
AB = AB' = (x + 1) 尺.
所以 B'C = 5 尺.
利用勾股定理解决实际问题的一般步骤：
（1）读懂题意，分析已知、未知间的关系；
（2）构造直角三角形；
（3）利用勾股定理等列方程；
（4）解决实际问题.
数学问题
直角三角形
勾股定理
实际问题
转化
构建
利用
决解
要点归纳
1.如图，数轴上的点A所表示的数为（ ）
A． B． C． D．
C
2．强大的台风使得一根旗杆在离地面5m处折断倒下，旗杆顶部落在离旗杆12m处，旗杆折断之前的高度是（ ）m．
A．12 B．13
C．17 D．18
D
3.在一次研学活动中，小宣同学欲控制遥控轮船匀速垂直横渡一条河，但由于水流的影响，实际上岸地点C与欲到达地点B相距8米，结果轮船在水中实际航行的路程AC比河的宽度AB多2米，则河的宽度AB是（ ）
A．6米 B．9米
C．12米 D．15米
D
4.一艘渔船以18海里/时的速度由西向东追赶鱼群，在A处测得小岛C在船的北偏东60°方向;40 min后，渔船行至B处，此时测得小岛C在船的北偏东30°方向，如图所示.已知以小岛C为中心，周围10海里以内有暗礁，问:这艘渔船继续向东追赶鱼群是否有触礁的危险
(提示：过点C作CD⊥AB于点D)
构造直角三角形
解: 如图所示,过北点C作CD⊥AB交AB的延长线于点D.
由题意知AB=1812(海里)，
∠CAB = 90°-60°= 30°，
∠ABC=90°+30°=120°，
所以∠ACB=180°-∠CAB-∠ABC
=180°-30°-120°=30°，
所以∠CAB= ∠ACB，所以CB=AB=12海里.
因为∠BCD =30°，所以 BD =BC =6 海里.
在 Rt△BCD中,由勾股定理,得
CD = ==6(海里)，
即渔船继续向东行驶,距离小岛C的最短距离是6海里.
因为6>10,所以不会有触礁的危险.
1.数学思想：
实际问题
数学问题
转化
建模
(2)在直角三角形中，知道一边及另两边关系，可以求出未知的两边.
(1)在直角三角形中，已知两边，可以求出第三边.
2.使用勾股定理的两种情形：

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