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第5章 直角三角形
5.2 勾股定理及其逆定理
第1课时 勾股定理
1.了解勾股定理的内容，理解并掌握直角三角形三边之间的数量关系．
2.能够运用勾股定理进行简单的计算．
观察：如图，在方格纸上(设小方格的边长为1)画一个顶点都在格点上的Rt△ABC，使其两直角边分别为3，4，将斜边AB绕点A旋转，使其处于水平位置，你发现这条斜边的长度是多少
b=4
A
C
c=
B
a=3
斜边的长度是5
想一想：斜边5与直角边3，4有什么数量关系呢？
古代有“勾三股四弦五”的说法
我国古代数学名著《周髀算经》把直角三角形较短的直角边叫作“勾”，较长的直角边叫作“股”，斜边叫作“弦”.
勾三股四弦五
勾 +股 =弦
你能验证它吗
4
A
C
5
B
3
勾
股
弦
探究：画一个边长为a+b的正方形，将其分割成4个小直角三角形和一个四边形，其中小直角三角形的两直角边都分别为a，b，斜边都为 c，如图所示.由此，你能探索出a +b =c 这一结论吗
面积法
四边形ABCD的面积S
=大正方形EFGH的面积-4个小直角三角形的面积，
分析：
S=(a+b) -ab4=a +2ab+b -2ab=a +b
而验证a +b =c
证明四边形ABCD是正方形
证明：在△ABE与△BCF中，
AE=BF，∠AEB=∠BFC,BE=CF,
所以△ABE≌△BCF(边角边)，
因此∠1=∠3.
又∠1+∠2=90°,
所以∠3+∠2=90°，
因此∠CBA=180°-(∠3+ ∠2)=90°.
同理可证∠DCB=∠ADC=∠BAD=9O°.
又BC=CD=DA=AB=c，
因此四边形ABCD是正方形，所以S=c .
综上可知，S=a +b =c
a=,
b=,
c=.
注意：a，b，c 为正数
直角三角形两直角边 a，b 的平方和，等于斜边 c 的平方.
a2 + b2 = c2.
公式变形：
勾股定理：
a
b
c
知二推一
要点归纳
揭示了直角三角形三边长的平方关系.
做一做：试通过图中两个边长为 a+b的正方形的面积表达式，验证勾股定理.
图(1)的面积：
=
图(2)的面积：
=
例1 在△ABC中，已知∠C=90°，BC=a,AC=b,AB=c.
(1)若a=1,b=2，求c. (2)若a=15，c=17，求b.
(2)根据勾股定理得，b =c -a =17 -15 = 64.
因为b>0，所以b=8.
C
A
B
解：(1)根据勾股定理得，c =a +b =1 +2 =5.
因为c>0，所以c=.
提示：没有图形，首先根据题意画出图形，明确已知什么求什么.
例2 如图，已知在等腰三角形ABC中，AB= AC=13，BC=10，AD是底边BC上的高线，求AD的长.
解:根据等腰三角形的性质定理得，AD也是底边BC上的中线，
因此BD=BC=5.
在Rt△ABD中，由勾股定理得，AD +BD =AB ，
因此AD= ===12.
故AD的长为12.
1.若一个直角三角形的两直角边的长分别为a，b，斜边长为c，则下列关于a，b，c的关系式中不正确的是(　　)
A．b2＝c2－a2 B．a2＝c2－b2
C．b2＝a2－c2 D．c2＝a2＋b2
C
2.在 中，两直角边的长分别为6和8，则其斜边上的中线长为( )
A.10 B.3 C.4 D.5
D
3.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，分别以AC，AB为边向外作正方形，且两个正方形的面积分别为9和25，则△ABC的面积为________．
6
4. 求下图中各直角三角形未知的边长.
a=3
a=5
c=15
5.已知直角三角形的三边的长分别为6，8，x，则x＝____________.
10或2
勾股定理
内容
在Rt△ABC中， ∠C=90°,a,b为直角边，c为斜边，则有a2+b2=c2.
注意
在直角三角形中
看清哪个角是直角
已知两边没有指明是直角边还是斜边时一定要分类讨论

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