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第5章 直角三角形
5.1 直角三角形的性质定理
第2课时 含30°角的直角三角形的性质及其应用
1.探索并掌握含30°角的直角三角形的性质.
2.掌握“在直角三角形中，如果有一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于30 .”
3.能利用“有一个角为30°的直角三角形的性质与逆命题”解决实际问题.
1.直角三角形有哪些性质？结合图形，用图形语言叙述.
Rt ABC中，∠C=90°，D是AB的中点
D
C
B
A
∠A+ ∠B=90°
2.一个三角形应满足什么条件才能是直角三角形
(1)有一个角是直角的三角形是直角三角形；
(2)有两个角互余的三角形是直角三角形；
(3)一边上的中线等于这条边的一半的三角形是直角三角形.
CD=AD=BD =
AB
想一想：在一个锐角为30°的直角三角板中，这个锐角所对直角边的长度与斜边的长度存在怎样的数量关系 （测量身边的三角板看看）
发现：短直角边=斜边
猜想：30°的锐角所对直角边的长度等于斜边的一半.
你能证明吗
证明:在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，取斜边AB的中点D，连接CD.
根据直角三角形的性质定理得，CD=AB=BD，
于是△DBC是等腰三角形.
由于∠ACB=90°，∠A=30°，
因此∠B=60°.
于是△DBC是等边三角形，
因此BC=BD=AB.
猜想：30°的锐角所对直角边的长度等于斜边的一半.
你可以运用轴对称知识进行证明吗 试一试.
A
B
C
D
如图，△ADC 是 △ABC 的轴对称图形，
因此 AB = AD， ∠BAD = 2×30° = 60°，
从而 △ABD 是一个等边三角形.
再由 AC⊥BD，
可得 BC = CD =BD =AB.
运用轴对称知识进行证明：
含30°角的直角三角形的性质：
在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.
几何语言：
在Rt△ABC 中，
因为∠C=90°，∠A=30°，　　
所以BC=AB．　　
要点归纳
A
B
C
)
30°
例1 在 A 岛周围 20 海里水域内有暗礁，一轮船由西向东航行到 O 处时，测得 A 岛在北偏东 60°的方向，且与轮船相距 30 海里，如图所示. 若该轮船继续保持由西向东的航向，会有触礁的危险吗？(已知≈1.732)
分析：如图，取轮船航向所在的直线为 OB .过点 A 作 AD⊥OB ，垂足为D. AD 的长为 A 岛到轮船航道的最短距离，若 AD 大于 20 海里，则轮船由西向东航行不会有触礁的危险.
解：如图，取轮船航向所在的直线为OB.过点 A 作AD⊥OB，垂足为 D，连接 AO.
在 Rt△AOD中，AO = 30海里，∠AOD =3 0°，
于是 AD = AO = ×30=15 ≈25.98 (海里).
因为 AD ≈25.98 > 20，
所以轮船由西向东航行不会有触礁的危险.
(方法一) 解：如图，取线段 AB 的中点 D，连接 CD.
因为CD 是 Rt△ABC 斜边 AB 上的中线，
所以CD =AB = BD = BC，
即△BDC 为等边三角形．
所以∠B = 60°.
因为∠B +∠A = 90°，
所以∠A = 30°.
例2 如图，在 Rt△ABC 中，如果 BC =AB，求证∠A = 30° .
D
(方法二)如图，延长 BC 到 F，使 CF = BC，连接 AF
所以 BF = AB，
因此 BF = AB =AF，即△ABF 是等边三角形.
所以∠B = 60°，
因此∠CAB=90°-∠B = 30°.
因为 ∠BCA = 90°，BC = CF，
所以 AC 垂直平分 BF，于是 AB = AF
(线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等).
又 BC = AB，BC = CF = BF，
在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于 30°.
几何语言：
因为在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，　
A
B
C
BC =AB．　　
)
30°
所以∠A = 30°
要点归纳
1. 如图，一棵树在一次强台风中，于离地面 3 米处折断倒下，倒下部分与地面成 30° 角，这棵树在折断前的高度为( )
A．6 米 B．9 米
C．12 米 D．15 米
B
2. 如图，在 △ABC 中，∠ACB = 90°，CD 是高，∠A = 30°，AB = 4．则 BD 的长为 .
A
B
C
D
1
3. 在 △ABC 中，∠A∶∠B∶∠C = 1∶2∶3，若 AB = 10，则 BC 的长为 .
5
4. 如图，Rt△ABC 中，∠A = 30°，AB + BC = 12 cm，则 AB =______cm.
A
C
B
8
5. 在△ABC 中，∠C = 90°，∠B = 15°，DE 是 AB 的垂直平分线，BE = 5，求 AC 的长．
解：连接 AE，
因为DE 是 AB 的垂直平分线，
所以BE = AE，
所以∠B = ∠EAB = 15°，
所以∠AEC = 30°，
因为∠C = 90°，
所以AC =AE=BE = 2.5．
A
C
B
E
D
证明：因为AB = AC，∠BAC = 120°，
所以∠B = ∠C = 30°.
因为 D 是 BC 的中点，所以AD⊥BC.
所以∠ADC = 90°，∠BAD = ∠DAC = 60°.
所以 AB = 2AD. 因为DE⊥AB，所以∠AED = 90°.
所以∠ADE = 30°，所以AD = 2AE.
所以 AB = 4AE. 所以BE = 3AE.
6. 在 △ABC 中， AB = AC，∠BAC = 120°，D 是 BC 的中点，DE⊥AB于 E 点，求证：BE = 3AE.
A
B
C
D
E
内容
在直角三角形中，如果一个锐角等于 30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半（反之亦成立）
使用要点
含 30°角的直角三角形的性质
找准 30° 的角所对的直角边，点明斜边
注意
前提条件：含30° 角的直角三角形中

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