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第5章 直角三角形
5.1 直角三角形的性质定理
第1课时 直角三角形的性质和判定
1. 掌握直角三角形两个锐角互余的性质.
2.会利用“两个锐角互余的三角形是直角三角形”判定直角三角形.
3.掌握“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”的性质.
直角三角形
有一个角为90°
一般三角形
直角边
直角边
斜边
想一想：直角三角形的定义是什么？
说一说1：如下图所示是我们常用的三角板，它们两锐角的度数之和分别为多少度 你能说说理由吗？
30° + 60° = 90°
45° + 45° = 90°
一般的直角三角形
是否也满足呢？
说一说2：如图，在直角 △ABC 中， ∠C = 90°，两锐角的和等于多少呢？由此，能得出直角三角形的什么性质？
在直角△ABC 中，由三角形内角和定理，得∠A +∠B +∠C = 180°，因为 ∠C = 90°，故∠A + ∠B = 90°.
A
B
C
直角三角形的两个锐角互余．　　
几何语言：
在 Rt△ABC 中，
因为∠C = 90°，
所以∠A +∠B = 90°．　
直角三角形的表示：直角三角形可以用符号“Rt△”表示，直角三角形 ABC 可以写成 Rt△ABC ．
要点归纳
议一议：
(1)“直角三角形的两个锐角互余”的逆命题是什么
(2)该逆命题是真命题吗
逆命题：“有两个角互余的三角形是直角三角形”.
真命题
证明
已知：如图，在△ABC中，∠A+∠B=90°,
求证：△ABC是直角三角形.
A
B
C
已知：如图，在△ABC中，∠A+∠B=90°,
求证：△ABC是直角三角形.
A
B
C
在△ABC中，因为 ∠A +∠B +∠C=180°， 又∠A +∠B=90°，
所以∠C=90°.
于是△ABC是直角三角形.
由此，你得出什么结论？
直角三角形的判定方法1：有两个角互余的三角形是直角三角形.
观察与思考：如图，用三角板画一个Rt△ABC，取线段 AB 的中点 D，连接 DC .以点 D 为圆心， DB 为半径画圆弧，则所画的弧经过点 C 吗？DC 与 AB 之间有怎样的数量关系？
可以发现，该弧经过点C
DC=DB
DC=DB=DA=AB
DB=DA=AB
你能证明吗？
证明：
过点 D 作 DE∥BC，DF∥AC，分别交 AC，BC 于点 E，F，
在 △ADE 与 △DBF 中，
∠AED =∠DFB，
∠ADE =∠B，
AD = DB，
所以∠ADE≌△DBF(角角边)，
E
F
如图，在Rt△ABC 中，∠ACB = 90°，CD 是斜边 AB 上的中线.
于是∠ADE =∠B，∠AED =∠ACB = 90°，
∠FDC =∠ECD，∠DFB =∠ACB = 90°.
从而 DE = BF. ①
在 △DFC 与△CED 中，
∠DFC = ∠CED，
∠FDC = ∠ECD，
DC = CD，
所以△DFC≌∠CED(角角边)，
从而 CF＝DE . ②
由 ① 式和 ② 式得，CF = BF.
因此，直线 DF 是线段 BC 的垂直平分线.
根据线段垂直平分线的性质定理得，DC = DB.
因此 DC = DB =
AB
E
F
直角三角形的性质定理：
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
几何语言：
在 Rt△ABC 中，D 为斜边 AB 上的中点，
所以有 CD = AD = BD = AB.
要点归纳
例1 如图，已知 CD 是 △ABC 的边 AB 上的中线，且CD=AB.
求证：△ABC 是直角三角形.
△ABC是直角三角形.
分析：
∠A+∠B=90°
∠A=∠1
∠B=∠2
∠A+∠B+∠1+∠2=180°
CD=DB
CD=DB
例1 如图，已知 CD 是 △ABC 的边 AB 上的中线，且CD=AB. 求证：△ABC 是直角三角形.
证明：
所以 ∠1 = ∠A，∠2 = ∠B.
因为∠A +∠B +∠ACB = 180°，
因为∠A +∠B = 90°.
所以△ABC 是直角三角形.
因为 CD = AB = AD = BD，
从而 2(∠A +∠B) = 180°.
所以∠A +∠B +∠1 +∠2 = 180°，
∠ACB = ∠1 + ∠2，
如果一个三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形.
已知 CD 是 △ABC 的边 AB 上的中线，且CD=AB. 则△ABC 是直角三角形.
图形语言转化 为文字语言
可用于判定
直角三角形
1. 如图，一张长方形纸片，剪去一部分后得到一个三角形，则图中∠1 + ∠2 的度数是________.
90°
2. 如图，AB、CD 相交于点 O，AC⊥CD 于点 C，若∠BOD = 38，则∠A = _____°.
52
第1题图
第2题图
4. 如图所示，△ABC 为直角三角形，∠ACB = 90°，CD⊥AB，与 ∠1 互余的角有（　　）
A．∠B B．∠A
C．∠BCD 和 ∠A D．∠BCD
C
3. 在 △ABC 中，若∠A = 43°，∠B = 47°，则这个三角形是
.
直角三角形
5. 如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB = 90°，D 是 AB 上一点，且∠ACD = ∠B．求证：△ACD 是直角三角形．
证明：因为∠ACB = 90°，
所以∠A +∠B = 90°．
因为∠ACD = ∠B，
所以∠A +∠ACD = 90°．
所以△ACD 是直角三角形．
6. 如图，已知 BD，CE 是 △ABC 不同边上的高，点G，F 分别是 BC，DE 的中点，试说明 GF⊥DE.
解：连接 EG，DG. 因为BD，CE 是△ABC的高，
所以∠BDC ＝ ∠BEC ＝ 90°.
因为点 G 是 BC 的中点，
所以EG ＝BC，DG ＝BC.
所以EG ＝ DG.
又因为点 F 是 DE 的中点，
所以GF⊥DE.
直角三角形的性质与判定
性质
直角三角形的两个锐角互余
判定
有两个角互余的三角形是直角三角形
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.

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